Аналитические решения двумерных краевых задач теории упругости в конечных областях с угловыми точками границы

Меньшова, Ирина Владимировна

Аналитические решения двумерных краевых задач теории упругости в конечных областях с угловыми точками границы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Меньшова, Ирина Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Чебоксары МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Аналитические решения двумерных краевых задач теории упругости в конечных областях с угловыми точками границы»

Автореферат диссертации на тему "Аналитические решения двумерных краевых задач теории упругости в конечных областях с угловыми точками границы"

На правах рукописи

Меньшова Ирина Владимировна

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В КОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ ГРАНИЦЫ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г п СЕН 2013

005533587

Чебоксары - 2013

005533587

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Московский государственный открытый университет имени B.C. Черномырдина»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Кулиев Валех Джафарович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

главный научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки «Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Хри-стиановича Сибирского отделения Российской академии наук»

Немировский Юрий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» Максимова Людмила Анатольевна

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учрежде-

ние науки «Институт прикладной механики Российской академии наук»

Защита состоится 23 октября 2013 г. в 11.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.300.02 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» по адресу: 428000, Чувашская Республика, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38, ауд. 406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева».

Электронная версия автореферата размещена на сайте ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации http://vak2.edu.ru и на официальном сайте ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» wwwchgpu.edu.ru.

Автореферат разослан 20 сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

С. В. Тихонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Теория упругости является основой инженерных методов расчета на прочность. Между тем, число имеющихся аналитических решений теории упругости незначительно. Не найдены аналитические решения в прямоугольнике, треугольнике и т.д., т.е. в конечных канонических областях с угловыми точками границы. Еще хуже обстоит дело в том случае, когда помимо угловых точек границы имеются точки смены типа граничных условий, разрывы сплошности и другие сингулярности.

Интерес к решениям краевых задач теории упругости в областях с угловыми точками границы, в частности, в прямоугольнике (полуполосе), не утихал никогда (последний обзор 2003 года содержит более 700 ссылок на наиболее существенные работы по бигармонической проблеме за почти 200 лет), достигнув пика в 1940-1980 годы. В этот период было опубликовано несколько тысяч работ, в основном советскими математиками и механиками. После этого заметных публикаций фактически не было. Можно выделить несколько направлений или школ, которые сложились в эти годы в Советском Союзе. Их представителями были крупнейшие ученые тех лет. Ленинградская школа (Папкович П.Ф., Лурье А.И., Гринберг Г.А., Джанелидзе Г.И., Прокопов В.К., Костарев A.B., Гуревич С.Г., Нуллер Б.М. и другие) и Московское направление (Гусейн-Заде М.И., Лурье С.А., Васильев В.В., Зверяев Е.М., Малый В.И. и многие другие) в своих исследованиях опирались на, так называемое, соотношение ортогональности Папковича. Ростовская-на-Дону школа под руководством акад. Воровича И.И. (Копасенко В.В., Ковальчук В.Е., Устинов Ю.А., Юдович В.И.) использовала различные подходы к решению краевых задач в прямоугольнике. Очень сильную украинскую школу математиков и механиков (Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Гомилко A.M., Мелешко В.В. и многие другие) отличал высочайший уровень исследований. Сильные и яркие работы публиковались в Докладах Азербайджанской, Армянской, Грузинской АН ССР. Значимых работ зарубежных авторов немного: Benthem J.P., Bogy D.B., Brahtz J.N.A., Dougall J., Flügge W., Kelkar V.S., Little R.W., Smith R.C.T., Theokaris P.S.

Однако точного решения бигармонической краевой проблемы в прямоугольнике все же найдено не было.

Аналитические решения теории упругости составляют ее фундамент. Поэтому построение новых аналитических решений двумерной теории упругости в канонических областях с угловыми точками границы является важной и актуальной задачей.

Цель работы:

- аналитические решения двумерных краевых задач теории упругости в прямоугольнике с различными граничными условиями на его сторонах (формулы для перемещений и напряжений);

- примеры аналитических решений некоторых нерешенных краевых задач теории упругости для прямоугольных подкрепленных и защемленных по торцам пластин, а также для прямоугольных пластин с разрывами сплошности;

- исследование свойств аналитических решений в прямоугольнике: их особенности и принципиальные отличия от решений в областях с гладкой границей (математическая и физическая стороны задачи).

Метод исследования. Решения ищутся в виде разложений по функциям Фадля-Папковича, которые появляются естественным образом при решении краевой задачи в прямоугольнике методом разделения переменных. Функции Фадля-Папковича не образуют базиса на отрезке, но они образуют базис на ри-мановой поверхности логарифма. Теория базиса этих функций, разработанная около 10 лет назад, послужила основой для решения рассмотренных в диссертации задач.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- впервые построены точные аналитические решения краевых задач теории упругости в прямоугольнике и получены формулы для напряжений и перемещений при различных граничных условиях на его сторонах;

- даны примеры аналитических решений некоторых известных краевых задач плоской упругости в прямоугольнике, точные решения которых ранее не были найдены;

- установлено, что решения краевых задач теории упругости в прямоугольнике не единственны и, следовательно, существуют нетривиальные решения при нулевых граничных условиях, представимые в виде разложений по функциям Фадля-Папковича и описывающие собственные (начальные, остаточные) напряжения в прямоугольнике.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математического аппарата, используемого в работе, предельными переходами к известным решениям, сравнением с решениями в нестрогой постановке.

стать основой для разработки теории собственных напряжений. Методология построения решений в прямоугольнике может быть использована для аналогичных решений в канонических областях другой формы.

Практическая значимость работы состоит в том, что найденные аналитические решения можно использовать в прочностных расчетах характерных для аэрокосмической промышленности конструкций типа тонкостенных панелей, для определения НДС в многослойных массивах горных пород (плоская деформация), а также для определения остаточных напряжений различного происхождения.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- аналитические решения краевых задач теории упругости в прямоугольнике с различными граничными условиями на его сторонах (готовые формулы) и методология их построения;

- примеры аналитических решений некоторых известных краевых задач теории упругости в прямоугольнике, точные решения которых ранее не были найдены;

- особенности аналитических решений двумерных краевых задач в конечных областях с угловыми точками границы, заключающиеся, прежде всего, в неединственности этих решений и, как следствие, в существовании собственных полей напряжений и перемещений, описываемых рядами по функциям Фадля-Папковича.

Апробация и внедрение результатов работы. Основные результаты и работа в целом докладывались и обсуждались: в научно-исследовательском, проектно-изыскательском и конструкторско-технологическом институте оснований и подземных сооружений им. Н.М. Герсеванова (Москва, 2013); в Институте прикладной механики РАН (Москва, 2013); на Общеуниверситетском научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при ФГБОУ ВПО «Московский государственный открытый университет им. B.C. Черномырдина» (Москва, 2012); на XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 22-31 мая 2013); на семинаре по механике деформируемого твердого тела при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» (Чебоксары, 2013); на Международной научно - практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий» (Чебоксары, 12-15 августа 2013); на VII региональной

научно-практической конференции студентов, аспирантов, ученых и специалистов «Наука, экономика общество» (Воскресенск, 28 апреля 2013).

Диссертационная работа выполнялась при поддержке грантов РФФИ 0905-00767,13-08-00118.

Результаты диссертации внедрены в расчетную практику НПЦ «ЭКОРЕ-СУРСЫ» (г. Губкин), что подтверждено справкой о внедрении.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 научных работ, включая 4 статьи, входящие в перечень ведущих рецензируемых журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Структура диссертационной работы и объем. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав основной части, заключения, списка использованной литературы (135 наименований), а также приложения, содержащего справку о внедрении результатов работы. Общий объем работы - 125 страниц в том числе, 52 рисунка и 1 таблица.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, приведен обзор публикаций по теме диссертации, кратко представлено содержание диссертационной работы по главам.

В первой главе дается решение плоской задачи теории упругости в прямоугольной области в различных постановках. Эта глава занимает центральное место в работе.

Методологически, прежде чем приступить к решению задачи для прямоугольника, удобно рассмотреть вначале краевую задачу для полуполосы {П : х > 0,| у |< 1} со свободными продольными сторонами у — ±1 и заданными на ее торце х = 0 напряжениями или перемещения. Общие формулы для напряжений и перемещений в полуполосе имеют такой вид (Не А/: < 0):

ю — .—. ^

с,(г.Ц) = '' 4-агаг(\,у)е

к=1

\ — — 7* у) = Е ака^\-+ акач(\>у)с' "х>

Г (т.,у) •• у; rt,.v,.,,(A/:.?/),A'j +_акт (\,у)гУ\

(1)

к=1

А,,т

¿=1

к=\

где U(x,y) = Gu(x,y), V(x,y) = Gv(x,y) (u(x,y) и v(x, у) - соответственно продольное и поперечное перемещения), G - модуль сдвига, ак - неизвестные коэффициенты разложений. Функции Фадля-ГТапковича в случае симметричной деформации полуполосы равны (¡г - коэффициент Пуассона):

ах(Хк,у) = (I + ^^.{(sitiAj. — Хк cos Ад.) cos Аку — Хку sin Хк sin Хку},

ау(Хк,у) = (1 + ti)Xk{(sinXk +Хк cosXk)cosXky + XkysmXk sin Лку}, т (\,у) = (1 + ц)Хк {cos Хк sin Хку — у sin Хк cos Хку},

(2)

ЩХк..у).

ПК,У)

1-м - , i+£\ X

—-— sm Хк---— A¿. cos Хк

\ 1 + М > • \ • \

cos Хку---— Xkysm Хк sin Аку,

1 + /'

X, cos А, + sin А,

• \ 1+М, • ч \

sin Aj у---— Хку sin Хк cos Хку,

причем т (Afc,±l) = <7u(Afr,±l) = 0, так что граничные условия по продоль-

V"*

ным сторонам полуполосы г (:г,±1) = ±1) = 0 выполняются автоматически. Числа (±А(,,,±Аа.)^1 = Л- множество всех комплексных нулей целой функции

ДА) = А + зтАсоэА. (3)

Удовлетворяя с помощью выражений (1) заданным на торце полуполосы нормальным а(у) и касательным т(у) напряжениям, приходим к задаче определения коэффициентов ак из краевых разложений:

к=i

т(у) = ИактЛХк'У) + актАУ)-

к = 1

Искомые коэффициенты разложений находятся отсюда в явной форме по той же схеме, что и в решениях Файлона-Рибьера в тригонометрических рядах, т. е. с использованием биортогональных систем функций. А выражения для самих биортогональных систем определяются из решения уравнений вида

\ЦХ)

/ <уг(Ку)ХкШу =

А, € Л (к > 1),

где Хк(у) - система функций, биортогональная к системе функций Фадля-Папковича a l^,у) (т > 1). Найти их удается благодаря обобщению классического понятия базиса, как базиса на римановой поверхности логарифма.

Ниже приведены окончательные решения для полуполосы и прямоугольника {| х \< a, ¡ у |< 1} со свободными продольными сторонами и заданными на

их торцах нормальными напряжениями а(у): для полуполосы

11 (А,. у) — sin b. х v. 1 ' X, А,-

f/'(x,y) = -E2Re

к=1

<7, ———- А, Л. -— е

' V'/: 1 '■ Ьк

V(\,.y)

к=\ 1 !V'k

М,

eos h, х — с,

sin h^x

"к

М-!/) =

k=1

м,

eos bj,X — c,_

"к

sin b^x

(5)

= \ak k=1

k=I

«(\>У)\Хк

Мк К rJ\>y)

COS ftfcX + Cf.

sin b^r,

— sin b, X r

\Mk fc * h

для прямоугольника

U(x,y) = ¿2 2R«.

í—1

U(\.,y) Im(A^. A^. siuh Aj.asiuh\x) k Iin(A^sinhAjtacosliAi.a)

V(x,y) = ¿2 Re *: = I

V{\k,y) InifA^. sinli A^acosli At..r)

Tj. = = i

Wi- ImíAj. sinh A^.n.cosh Ak,a) j

^(.^=¿2110 t=l

"„,(■'••//) = E2Rü t=i

ст (Ад.,?/) Iin(A^. sinhXf.acosh A^.x)

t=i

1ш(Ад. sinli Aka cosli A ¡.a)

a,,('\i V) lni(X¡.\siüli\.acosh \.:r.) Mk Xk 1т(Ад. sinh Afrn cosh \n)

TJy(\< y) Ini(A,.Ад. sinh Akasinh \x) k A, M,

(6)

I[11(\ binh A^acobh A^a) I Здесь Mk = eos2 A;., ck = Re Afc. bk = Im X¡.. Числа ak находятся, как интегра-

[ Фурье от граничной функции а(у) по формуле

cas Ад.у

~dy.

(7)

2(1 + //)АД. sin \к

Аналогичные формулы получены для тех случаев, когда на торцах заданы только касательные напряжения, а нормальные равны нулю; когда на торцах заданы продольные и поперечные перемещения. Например, если на торцах прямоугольника т (±а,у) = т(?/), ат(±а,у) = 0, то формулы для напряжений

приобретают такой вид: ат(х,у) =

к=1

cr (\к.у) Iin(cosh Aj.ftcosh Хкх) j hii(A^ sinh \к.а cosh Ака)

<*ч(х,У) = -E2Ro

fc=l

гху(х.,У) =

t=1

ау(\>У) 1ш(А2 cosh Акпcosh \х)

Тк --==-=i-:—

Хк Мк Тш(Ад. sinh Акаcosh A¿„a)

" ni(\ - !l) 1ш(Ад. cosh Xhasinh Ад..г)

(8)

A^k Iin(A, sinh Aka cosh Afca)

где

Гмп A, ti

;<//)-1 ■ --1ц.

2(1 + //)й'т Xk

(9)

-i

Заметим, что если, например, в формулах (8) перейти к пределу при * ктт, то получим известное решение Файлона-Рибьера в тригонометрических рядах для прямоугольника с заданными на его торцах нулевым нормальным и равным т(у) касательным напряжениями.

Опираясь на формулы, дающие решение в прямоугольнике, можно построить новые аналитические решения самых разных задач. Рассмотрим, например, краевую задачу для прямоугольника с разрывом поперечных перемещений (рис. 1). Пусть форма разрыва имеет вид

«(у) = (»2-1)-(5у2-1). (Ю)

Решение задачи получается суперпозицией решений задачи для бесконечной полосы с разрывом (10) и решения для прямоугольника с заданными на его торцах нормальным и касательным напряжениями, равными по величине соответствующим напряжениям в полосе в сечениях х — ±а, но взятыми с обратным знаком. В расчетах считалось, что прямоугольник достаточно узкий: а = 1 / 2. Численный анализ показывает, что напряжения не слишком сильно отличаются в задачах для полосы и прямоугольника, но перемещения отличаются весьма существенно. На рис. 2 показан профиль торцов (сплошная кривая). Там же (пунктиром) для сравнения показана форма разрыва (10). На рис. 3 приведены кривые распределения нормальных напряжений в прямоугольнике (сплошная кривая) и полосе (пунктир) при х — 0.

Вторая глава диссертации посвящена дальнейшему анализу результатов,

1 ..........А X

1 а ! а

■

Рисунок 1. Прямоугольник с разрывом продольных перемещений

и(*.у)

ад

Оу(х.у) сру(*.у)

...........- у? ..................У 2

[...........р.....-2 \ У -6 -----------------М- В ................

Рисунок 2. Профиль правого ториа прямоугольника и форма разрыва (пунктир)

Рисунок 3. Распределение напряжений в прямоугольнике и в полосе (пунктир) при = 0

полученных в первой главе. Один из главных выводов, полученных здесь, заключается в том, что угловые точки прямоугольника идентичны внутренним точкам, т.е. представляют собой бесконечно малые элементы, содержащие точку вместе с ее окрестностью. Из этого следует, что для единственности решения краевой задачи теории упругости в конечной области с угловыми точками границы нужно знать, как граничная функция продолжается вне отрезка, на ко-

тором она задана (впервые на это обратил внимание акад. Е.И. Шемякин, 1996 г.). Чтобы понять, в чем состоит физический смысл неединственности, обратимся к краевой задаче для правой полуполосы {ж > 0, | у |< 1} со свободными

продольными сторонами и с заданными на ее торце нормальными напряжениями а(у). Ее решение дается формулами (5). Рассмотрим также левую полуполосу, являющуюся зеркальным отображением правой. Вместо полуполос возьмем соответствующие им почти полуполосы такие, что если к их криволинейным торцам приложить напряжения а(у), то они станут полуполосами. Склеив теперь полуполосы по торцам, получим бесконечную полосу с собственными напряжениями. Таким образом, решение (5) описывает собственные напряжения в бесконечной полосе, удовлетворяющие условиям а,с(0,у) = а(у),

т (0,у) = 0, а формулы (5) для V(х,у) и У(х,у) описывают собственные перемещения, которые возникают в результате сброса собственных напряжений, если полосу разрезать по месту склеивания полуполос. Оказывается, что при тех же условиях на ■ Р стыке полуполос, соотношение профилей торцов и горизонтальных сторон почти полуполос может быть подобрано неединственным способом. Численно это продемонстрировано, в частности, на задаче для квадрата (| х |< 1, | у |< 1}, нагруженного по двум противоположным сторонам сосредоточенными силами Р (рис. 4). Построе- Рисунок 4. Сх™а нагружения ны два решения этой задачи и показано, что рас- квадрата пределения напряжений в обоих решениях хотя и

отличаются весьма мало, но не тождественны. Соответствующие этим решениям формы профилей сторон почти квадратов различаются в большей степени.

В третьей главе даны примеры аналитических решений нескольких задач для защемленного по торцам прямоугольника и для прямоугольника с ребрами жесткости, которым традиционно уделяется весьма много внимания в научных публикациях, в силу их важности в различных приложениях. Рассмотрены только классические постановки задач, которые легко могут быть изменены. Например, вместо обычного защемленного по торцам прямоугольника, можно рассмотреть защемленный или подкрепленный прямоугольник с трещинами и т.д.

Защемленная полуполоса (в постановке акад. И.И. Воровича). Рассмотрим полуполосу {х > 0. | у | < 1} • Будем считать, что короткая сторона полуполосы

жестко защемлена, а к продольным сторонам на некотором расстоянии а от места защемления приложены две одинаковые, нормальные, разнонаправленные сосредоточенные силы.

Этой задаче было посвящено очень много публикаций, особенно Ростов-ской-на-Дону школой механики. Как правило, краевая задача сводилась к решению бесконечной нераспадающейся системы алгебраических уравнений, из которой приближенно находились коэффициенты разложений по базисным системам функций. При этом основные трудности возникали при решении бесконечных систем уравнений. В некоторых работах в полученных решениях выделялась степенная особенность для напряжений в угловых точках полуполосы, которая, по мнению авторов, там неизбежно присутствует. Считалось, что плохая обусловленность бесконечной системы алгебраических уравнений вызвана именно особенностью в напряжениях в угловых точках полуполосы (украинская школа механики). В других работах эта особенность игнорировалась. Решение, полученное в диссертации, строится по классической схеме, как суперпозиция решений для бесконечной полосы, нагруженной парой сосредоточенных сил, и для полуполосы с заданными на ее торце перемещениями такими, что при сложении этих двух решений суммарные а

перемещения на торце будут равны нулю.

Решение для защемленного прямоугольника (рис. 5). Для решения задачи на основе принципа суперпозиции вновь можно воспользоваться тем же решением для бесконечной полосы и добавить к нему решение для прямоутольника, обнуляющее перемещения на торцах.

Решение для защемленного прямоугольника, нагруженного равномерным давлением. На продольных сторонах прямоугольника действует равномерное давление интенсивности р. Результат складывается из решения задачи для бесконечной полосы, к сторонам которой приложена равномерно распределенная нормальная нагрузка р, и решения задачи для прямоугольника с заданными на его торцах перемещениями.

Решение для бесконечной полосы имеет вид:

1-й

- ->

Рисунок 5. Защемленный прямоугольник под действием сосредоточенных сил

Щх1у) = 0,тту(х,у) = 0,У(х.у)--

-ру.ат(х.,у) = -рц-а (х,у) = -р.

2 ' - ......^

Следовательно, в решении задачи для прямоугольника на его торцах должны быть заданы перемещения 11(±а,у) = 0, У(±а,у) = (1 — ц)р.у /2. Окончательное решение задачи находится по формулам (только напряжения):

сгт(т,у) = -;>ц + XI 2110

к = 1

■МУ'/) 1.. М^У^ФЛ^)] М, * 11!!;л/>(л<л-гил,.,,)| I

¿:=1

М,

(П)

где Ук = -(1 + ц)р / а функции (/г, <? - параметры)

8х{к,ч,х) = мф(Лх + <?<г) — ехр(—/¡х + б/а), сх(1г,Г1.х) = схр(Л.т + 7«) + охр(-/га; +<?а), с(Л,^) = схр(/га + <7а) + ехр(—Ла + з{к.ц) = схр (/га + да) — схр(—Ла + qa).

Передача нагрузки от вертикального стрингера к горизонтальной полосе. Прямолинейный стрингер впаян в полосу перпендикулярно к ней и нагружен разнонаправленными силами Р, приложенными к его концам (рис. 6). Обозначим через С, < модуль сдвига для пластины и ее толщину, а через Е^,/- модуль упругости и площадь

поперечного сечения стрингера. Коэффициенты Пуассона стрингера и пластины считаются одинаковыми и равными р. Тогда расчетные формулы для напряжений в пластине будут такими:

р к \

Р '

Рисунок б. Вертикальный стрингер в горизонтальной полосе

к.=\

Мк к Ьп(\Як)

ау* .и ¿-^

Р( 1 + Ц)

¿=1

М,

1ш(А.,<?,)

(12)

Е2В«

А;=1

Мк\г * 1т(Аг9Д:)

Здесь

Ук = -2 / \2к; як = К + 2/(1- ц)\, К = Е{/ / 2С7..

Для безразмерных усилий в стрингере можно получить формулу

р гп-ц^

Решения для прямоуго льника, продольные стороны которого усилены ребрами жесткости, отличается от решений для гладкого прямоугольника лишь видом функций Фадля-Папковича, значениями собственных чисел и видом биортогональных систем. Для вычисления собственных чисел в качестве начальных приближении можно взять собственные числа для гладкого прямоугольника.

Основные выводы и результаты диссертационной работы:

1. Получены аналитические решения краевых задач теории упругости в прямоугольнике с различными граничными условиями на его сторонах. Решения представляются в виде разложений по функциям Фадля-Папковича, коэффициенты которых определяются в явном виде.

2. Даны ранее неизвестные аналитические решения плоской задачи теории упругости для прямоугольника с поперечным и продольным разрывами сплошности.

3. Даны примеры аналитических решений краевых задач теории упругости для прямоугольника, защемленного по торцам и для пластин с ребрами жесткости, точные решения для которых не были построены.

4. Показано, что полученные в диссертации аналитические решения в прямоугольнике описывают собственные (начальные, остаточные) напряжения и перемещения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Меньшова, И. В. Разложения по функциям Фадля-Папковича. Основные формулы // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. -2012. - № 4(14). - С. 133-139. (Перечень ВАК РФ).

2. Меньшова, И. В. Передача нагрузки от поперечного ребра жесткости к полосе // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2012. - № 4(14). - С. 140-146. (Перечень ВАК РФ).

мк АА_АА

У,(у)

3. Меньшова, И. В. Разложения по функциям Фадля-Папковича. Примеры решений в полуполосе / Коваленко М. Д., Меньшова И. В., Шуляков-ская Т. Д. // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2013. - №5. - С. 136-158. (Перечень ВАК РФ).

4. Меньшова, И. В. Собственные напряжения в полосе / И. В. Меньшова // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2013. - Т. 19, №3. - С. 353-371. (Перечень ВАК РФ).

5. Меньшова, И. В. Концентрация напряжений в угловых точках (антиплоская деформация) / В. Д. Кулиев, И. В. Меньшова // Вестник МГОУ. - 2009. - № 3. - С. 94-112.

6. Меньшова, И. В. Напряженное состояние защемленной полосы // Вестник МГОУ. Серия: Техника и технология. - 2012. - № 4. - С. 73-79.

7. Меньшова, И. В. Разложения по функциям Фадля-Папковича в полуполосе (симметричная деформация) / И. В. Меньшова // Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС, 2013), 22-31 мая 2013 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ, 2013. - С. 393-395.

8. Меньшова, И. В. Разложения по функциям Фадля-Папковича в полуполосе / М. Д. Коваленко, И. В. Меньшова // Статьи победителей конкурса внутривузовских грантов МГОУ 2011-2012 учебного года: сб. статей. - М. : Изд-во МГОУ, 2013. - С. 76-98.

9. Меньшова, И. В. О собственных напряжениях в бесконечной полосе / И. В. Меньшова // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий : сб. ст. по мат-лам междун. научн.-практ. конф. (Чебоксары, 12-15 августа 2013 г.) : в 2 ч. Ч. 1. Механика твердого тела. - Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2013. - С. 192-197.

Автореферат разрешен к печати диссертационным советом Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» 12.08.13 г. Подписано в печать 16.09.13. Формат 60X84/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ. № 1410

Отпечатано в отделе полиграфии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева» 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Меньшова, Ирина Владимировна, Чебоксары

Министерство образования и науки Российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ B.C. ЧЕРНОМЫРДИНА»

На правах рукописи

04201362218

Меньшова Ирина Владимировна

УДК 539.3

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук,

профессор В.Д. Кулиев

Чебоксары - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1 РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФУНКЦИЯМ ФАДЛЯ-ПАПКОВИЧА. 9 ОСНОВЫ ТЕОРИИ

1.1 Решение для полуполосы с заданными на торце напряжениями 9

1.2 Решения для полуполосы с заданными на торце перемещения- 20 ми

1.3 Решения в прямоугольнике 38

1.4 Численные результаты 41

1.5 Выводы 50

2 ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ ОСНОВНОЙ 63 КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛУПОЛОСЕ

И В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ

2.1 Самоуравновешенная нормальная нагрузка на торцах полупо- 63 лосы и прямоугольника, распределенная по закону квадратной параболы

2.2 Квадрат под действием двух сил 67

2.3 Выводы 71

3 ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ 89 ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

3.1 Необходимые формулы 89

3.2 Полуполоса, защемленная по короткой стороне, сжатая двумя 93 сосредоточенными силами

3.3 Решение для защемленного прямоугольника 95

3.4 Передача нагрузки от поперечного стрингера к полосе 96

3.5 Выводы 103 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 111 ЛИТЕРАТУРА 112 ПРИЛОЖЕНИЕ 126

ВВЕДЕНИЕ

Теория упругости является основой инженерных методов расчета на прочность. Между тем, число имеющихся аналитических решений теории упругости незначительно. Не найдены аналитические решения в прямоугольнике, треугольнике и т.д., т.е. в конечных канонических областях с угловыми точками границы. Еще хуже обстоит дело в том случае, когда помимо угловых точек границы имеются точки смены типа граничных условий, разрывы сплошности и другие сингулярности.

В 1940-1980 годы интерес к этой проблеме разгорелся с новой силой. В эти годы было опубликовано несколько тысяч работ, в основном советскими математиками и механиками. После этого заметных публикаций фактически не было. Можно выделить несколько направлений или школ, которые сложились в эти годы в Советском Союзе. Их представителями были крупнейшие , ученые тех лет. Ленинградская школа (Папкович П.Ф. [97, 98], Лурье А.И. [79], Гринберг Г.А. [33, 34], Джанелидзе Г.И., Прокопов В.К. [40, 99-103, 104], Костарев A.B. [69, 70], Гуревич С.Г. [36, 37], Нуллер Б.М. [95] и другие) и Московское направление (Гусейн-Заде М.И. [38-39], Лурье С.А., Васильев В.В. [139] и многие другие) в своих исследованиях опирались на, так называемое, соотношение ортогональности Папковича. Ростовская-на-Дону школа под руководством акад. Воровича И.И. использовала различные подходы к решению краевых задач в прямоугольнике. Отметим некоторые их работы: Ворович И.И. [20-22], Копасенко В.В. [20, 63, 64], Ковальчук В.Е. | [22], Устинов Ю.А., Юдович В.И. [111, 112]. Очень сильную украинскую

школу математиков и механиков (Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Гомилко

A.M., Мелешко B.B. [26-31, 35] и многие другие) отличал высочайший уровень исследований. Сильные и яркие работы публиковались в Докладах Азербайджанской, Армянской, Грузинской АН ССР. Отметим наиболее значимые работы зарубежных авторов: Benthem J.P. [116], Bogy D.B. [117], Brahtz J.N.A. [118], Dougall J. [119], Flügge W., Kelkar V.S. [120], Little R.W. [134, 80], Smith R.C.T. [137]. Одна из самых ранних работ принадлежит Shiff P.A. [138].

Однако точного решения бигармонической краевой проблемы в прямоугольнике все же найдено не было.

Цель работы:

- решения двумерных краевых задач теории упругости в прямоугольнике с различными граничными условиями на его сторонах (формулы для перемещений и напряжений);

- исследование свойств аналитических решений в прямоугольнике; их особенности и принципиальные отличия от решений в областях с гладкой границей (математическая и физическая стороны задачи).

Метод исследования. Решения ищутся в виде разложений по функциям

Фадля-Папковича, которые появляются естественным образом при решении

краевой задачи в прямоугольнике методом разделения переменных. Функции

Фадля-Папковича не образуют базиса на отрезке, но они образуют базис на

римановой поверхности логарифма. Теория базиса этих функций, разработанная около 10 лет назад, послужила основой для решения краевых задач в прямоугольнике.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- даны примеры аналитических решения некоторых известных краевых задач плоской упругости в прямоугольнике, точные решения которых ранее не были найдены;

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математического аппарата, используемого в работе; предельными переходами к известным решениям; сравнением с решениями в нестрогой постановке.

Теоретическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что на основе полученных решений могут быть найдены решения более сложных задач (в том числе смешанных). Полученные решения могут стать основой для разработки теории остаточных напряжений. Методология получения решений в прямоугольнике может быть использована для построения аналитических решений в канонических областях другой формы.

Практическая значимость состоит в том, что найденные аналитические решения можно использовать в прочностных расчетах характерных для

аэрокосмической промышленности конструкций типа тонкостенных панелей, для определения НДС в многослойных массивах горных пород (плоская деформация), а также для определения остаточных напряжений различного происхождения.

На защиту выносятся следующие основные положения:

(Чебоксары, 2013); на Международной научно - практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий» (Чебоксары, 12-15 августа 2013); на VII региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов, ученых и специалистов «Наука, экономика общество» (Воскресенск, 28 апреля 2013).

Диссертационная работа выполнялась при поддержке грантов РФФИ 09-05-00767, 13-08-00118.

Результаты диссертации внедрены в расчетную практику НПЦ «ЭКО-РЕСУРСЫ» (г. Губкин), что подтверждено справкой о внедрении.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 10 научных работ, включая 5 статей, входящих в перечень ведущих рецензируемых журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Структура диссертационной работы и объем. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основной части, заключения, списка использованной литературы (139 наименований), а также приложения, содержащего справку о внедрении результатов работы. Общий объем работы -125 страниц в том числе, 52 рисунка и графика, 1 таблица.

Первая глава служит теоретической основой двух последующих глав. В ней приводятся окончательные формулы, дающие аналитическое решение краевой задачи теории упругости в прямоугольнике с различными граничными условиями, в том числе, с разрывами перемещений.

Вторая глава посвящена дальнейшему анализу результатов первой главы. Один из выводов, полученных в результате этого анализа, заключается в том, что угловая точка в конечной области устроена не так, как угловая

точка в вершине бесконечного клина (впервые внимание на это обратил акад. Е.И. Шемякин [114]). По этой причине, использовать решения для бесконечного клина в качестве асимптотических приближений для решений в окрестности угловых точек в конечной области нужно с осторожностью.

В третьей главе диссертации даются точные решения известных, нерешенных, прикладных краевых задач теории упругости о распределении напряжений в защемленных и подкрепленных пластинах в различных постановках.

Результаты численных расчетов помещены в конце каждой главы.

1. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФУНКЦИЯМ ФАДЛЯ-ПАПКОВИЧА.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

1.1. Решение для полуполосы с заданными на торце

напряжениями

На примере первой основной краевой задачи для полуполосы

{П+ : х > 0,| у |< 1} со свободными продольными сторонами у = ±1 и заданными на торце х = 0 нормальным и касательным напряжениями формулируется суть проблемы и способ ее решения, разработанный в статьях [4762, 121-133]. Приводятся (частично полученные в упомянутых работах) проверенные, отредактированные и дополненные формулы для напряжений и перемещений, которые затем используются в диссертации для решения конкретных краевых задач. Обсуждается физическая природа описываемых этими формулами точных решений. Рассмотрена только симметричная относительно оси х деформация полу полосы.

Решения в полуполосе, записанные в виде разложений по функциям Фадля-Папковича, имеют такой вид (без элементарного решения Яе Хк < 0):

оо ^ — — —■

«х&у) = Т,аках{хк^у)е кХ + аках^у)е к=1

оо ^ — — —^

ау(х>у) = Иакау(хк>у)е кХ + акаУ^у)е **> к=1

оо — — —

Тху{Х>У)=Т,акТху(Хк>У)е кХ +акТху^У)е (1ЛЛ)

к=1

ОО — — —

и(х,у) = ^аки(\к,у)е**х +аки(\к,у)еЪх,

к=1

ОО — — —

к=1

где и (ж, у) — Си{х, у), у) = (?г>(ж, у), а ?/) и г>(ж, у) - соответственно продольное и поперечное перемещения, (7 - модуль сдвига.

Функции Фадля-Папковича в случае симметричной деформации полуполосы равны - коэффициент Пуассона):

ах{-Хк л) = + {(вт \ - \к сов Хк) соз \y-\y вт А^ зт \у}, ау {Хк'У) = + ^\{{8[пХк + Хк соз А^)соз А^ + \кувш\к зт Аку},

тху{Хк'У) = {1 +1*)>${С08\8*пХкУ ~ у (1Л-2)

и(\к,у)

ху

¡1 1 + м , , -Т~8тЛА;--^ХксозХк

у{хк>у) = хк с°8 \ +зЬ хк \у -Vз1п \ с°3

причем т ^,±1) = сг ^,±1) = 0, так что граничные условия по продольным сторонам полуполосы т = стДж, ±1^ = 0 выполняются ав-

008 \У - ^Г" вт Хк зт Аку,

1 + М

I оо

тематически. Числа Хк~ множество |±А^,±А^| = Л всех комплексных

> к=1

нулей целой функции

Х(А) = А + втЛсозЛ. (1.1.3)

Для определения точных значений Хк можно воспользоваться асимптотической формулой

7Г % 1

А, « (Атг--- еЛ + -1п(4Ьг - тг - е,), е, =-1п(4А;7г - тг). (1.1.4)

4 2 Л к 4Ьг

Удовлетворяя с помощью выражений (1.1.1) заданным на торце полуполосы нормальным с (у) и касательным т[у) напряжениям, приходим к

задаче определения коэффициентов из краевых разложений

_____V

= Е аках +аках (А*> у)'

к=1 (1.1.5)

оо _ — .

т(у) = Е актху (А*> у) + актху (А*> И • Л=1

Искомые коэффициенты разложений определяются отсюда в явном виде по той же схеме, что и в известных решениях Файлона-Рибьера в тригонометрических рядах, т. е. на основе использования биортогональных систем функций.

Общая схема решения краевых задач в прямоугольнике следующая.

1. Вначале изучаются разложения только одной функции по какой-либо одной системе функций Фадля-Папковича. К ней строится биортогональная система функций, с помощью которой находятся коэффициенты разложений. Полученные так разложения одной функции были названы [123] разложениями Лагранжа. Разложения Лагранжа являются аналогами разложений в тригонометрические ряды Фурье и играют такую же роль при определении коэффициентов разложений (1.1.5), какую ряды Фурье играют в классических решениях Файлона и Рибьера.

Соотношения биортогональности для систем функций Фадля-Папковича удается построить благодаря следующему обобщению классического понятия биортогональности. В основе классической теории базиса для заданной на отрезке | у \ < 1 системы экспонент лежит двойственность между классом целых функций экспоненциального типа равного 1 и классом функций аналитических в плоскости комплексного переменного х + гу, разрезанной по отрезку мнимой оси | у | < 1. Эта двойственность устанавливается преобразованием Бореля в классе целых функций экспоненциального типа [8, 13, 16, 24, 41, 43, 76, 78]. Определенные на отрезке | у |< 1 функции Фадля-Папковича можно рассматривать как обобщение систем экспонент, порождающее другой тип двойственности: между классом квазицелых функций экспоненциального типа равного 2 и классом функций аналитических и од-

нозначных в плоскости комплексного переменного х + iy, разрезанной по отрезку мнимой оси | у \ < 1 и по произвольному лучу, проведенному из начала координат1. Поэтому носитель искомой биортогональной системы функций есть совокупность упомянутых разрезов.

2. Рассмотрим систему функций ja^A^y)}^ ^. Явные выражения для

функций Хр{у) биортогональной к ней системы определяются по классической схеме, как решение уравнения

7 ax{\y)Xv{y)dy = )т , А^Л {v > 1), (1.1.6)

(Л2 - АI)

где

°х f) = /-О-М А — A cos Л) cos Ху — At/ sin A sin Л у} (1.1.7) порождающая функция. Принимая в (1.1.6) X — Хк, получим соотношение

биортогональности для рассматриваемой системы функций Фадля-Папковича

Понятие биортогональности включает также следующие равенства

оо

f *x(*k>vK(v№

—оо

Mk = cos xk = (1Л<8)

оо

/ ax(Xk,y)Xiy(y)dy

—оо

и (к, v - любые)

О'

(1.1.9)

оо --оо -

/ *х{\,у)ХиШу= I °х{\,У)Хи{у)йу = 0. (1.1.10)

—оо —оо

Для комплексных значений параметра А интегралы (1.1.6) - (1.1.10) в общем не существуют. Но их можно сделать существующими благодаря со-

' Такой тип двойственности устанавливается преобразованием Бореля в классе квазицелых функций экспоненциального типа [132], [50].

ответствующей деформации контура интегрирования. При этом целую порождающую функцию (1.1.7) нужно заменить целой функцией более общего вида (как это делается, например, в теории тригонометрических рядов)

аех{\,у) = (1 + /i)A{(sinA — Acos+ AzsinXe^z} (z = x + iy).(1.1.11) В частности, если в формуле (1.1.8) считать, что Re > 0, то интеграл берется по контуру, составленному из луча х < 0 и отрезка | у |< 1. Функции X (у) можно представить следующим образом

х$\> И"!' (1Л.12)

МУ), I У \>

где

eos А у

X (у) =-^-. (1.1.13)

vKUi 2(1 + sin

Назовем жДу) финитной, а х (у) - не финитной частями функции Х„(у) (V > 1) • Так как функции X (у) не обращаются в нуль при | у |> 1, то, чтобы разложить некоторую заданную на отрезке [—1,1] функцию /(у) в ряд Лагранжа

оо

/М = £V. М (1ЛЛ4)

к=1

ее вначале нужно каким-либо образом продолжить вне отрезка [— 1,1] на всю вещественную ось. Наиболее простые выражения для коэффициентов разложений в ряды Лагранжа по системам функций (1.1.2) получаются тогда, когда продолжения раскладываемых функций выполнены периодически с периодом равным 2, поскольку в этом случае в определении коэффициентов разложений будут участвовать только финитные части функций биортого-нальных систем. В частности, для коэффициентов разложения (1.1.14) получим

(1.1.15)

Тогда

(1.1.16)

Разложение Лагранжа (1.1.16) можно