Краевые задачи для системы Дуглиса-Ниренберга в областях с кусочно гладкой границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. О нетеровости краевых задач для эллиптических по Дуглису - Ниренбергу систем

§ 1. Весовые пространства Соболева и Гельдера.

§ 2. Некоторые вспомогательные сведения

§ 3. Понятие эллиптичности по Дуглису - Ниренбергу.

Постановка краевых задач

§ 4. Об одной априорной оценке. Полунетеровость задачи

§ 5. О нетеровости задачи. Некоторые свойства решений

Глава II.Индекса формулы для краевых задач

§ 1. М - линейные задачи.

§ 2. Индекса формула для Ж - линейной задачи.

Случай к = ¿о — 1 •

§ 3. Индекса формула для М - линейной задачи.

Случай к = ¿о + 5 ^о ^ 0.

§ 4. Индекса формула для правильно эллиптических задач

Глава III. Некоторые приложения

§ 1. Краевые задачи для системы Стокса.

§ 2. Краевая задача с условием прилипания на границе

§ 3. Краевая задача со свободной границей

§ 4. Смешанная краевая задача.

§ 5. Нахождение концевых символов краевых задач для системы Стокса.

В последние два десятилетия построена общая теория эллиптических краевых задач в областях, границы которых содержат особенности - углы, конические точки, ребра и т. п. Нарушение условия гладкости границы приводит к появлению у решения особенностей в окрестностях нерегулярных точек границы. К изучению краевых задач для уравнения в частных производных в областях с нерегулярными точками на границе приводят многие важные прикладные задачи. Эта теория имеет широкие и важные приложения в механике сплошных сред, в различных разделах асимптотической теории дифференциальных уравнений с частными производными, в теории приближенных методов. Этим вопросам посвящена общирная литература [8, 10, 14].

Как всегда в современной теории краевых задач, для правильной постановки задачи в области с негладкой границей необходимо подобрать подходящие функциональные пространства, в которых рассматриваются решения задачи и правые части уравнения и граничных условий. Во многих таких задачах удобно использовать функциональные протранства с весовой нормой, где вес - некоторая степень расстояния до множества нерегулярных точек границы. Такие пространства функций в этих задачах правильно описывают особенности решения и его производных в окрестности нерегулярных точек границы.

Среди многочисленных подходов к исследованию краевых задач в областях с негладкой границей можно выделить два основных. Одним их них является сведение краевой задачи к решению интегральных уравнений.

Изучение эллиптических задач в областях с угловыми точками берет начало в классической работе Радона [22]. Он применил метод решения уравнений с частными производными, основанный на сведении краевой задачи к интегральным уравнениям на границе области, в случае плоской области с угловыми точками на ее границе для задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. В дальнейшем метод Радона нашел широкое применение в краевых задачах теории функций плоской теории упругости, общей теории эллиптических задач. Широкий класс краевых задач в областях с кусочно гладкой границей для аналитических функций тесно связан с сингулярными интегральными уравнениями и в комбинации с конформными отображениями допускает прямое эффективное исследование [3], [4], [19]. С помощью представления общего решения уравнения через аналитические функции этот метод нашел многочисленные приложения. Существенное затруднение, которое вносит здесь наличие угловых точек границы, состоит в том, что в указанном представлении помимо самой аналитической функции фигурируют и ее производные.

Одной из первых работ, посвященных краевым задачам для эллиптических систем в двумерной области с угловой точкой была работа Я. Б. Лопатинского [16]. В его работе рассматриваются краевые задачи с постоянными коэффициентами. Применяя метод сведения краевой задачи к интегральному уравнению на границе, он получил условия нормальной разрешимости такой краевой задачи в пространствах Ск(С2) — функций, у которых все производные порядка к включительно непрерывны в Я. Б. Лопатинский сводит общую граничную задачу для эллиптической системы в плоской области с границей, содержащей конечное число угловых точек к системе интегральных уравнений и изучая эту систему с помощью теории Ф - операторов, находит явную формулу для ее индекса [16]. Наличие угловых точек делает эту систему сингулярной.

Большое число работ, посвященных изучению общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки, опубликовали В. Г. Мазья и Б. А. Пламеневский. В работе [18] они впервые рассмотрели общие краевые задачи на многобразиях довольно общей природы, построили теорию краевых задач для эллиптических по Дуглису - Ниренбергу систем уравнений на многобразиях, имеющих многомерные особенности, например, " ребра" различных размерностей и их всевозможные пересечения. Изучению свойств решений краевых задач теории упругости в областях с изолированными особыми точками на границе посвящена работа В. Г. Мазьи, Б. А. Пламеневского [18]. Результаты основаны на оценках собственных значений вспомогательных краевых задач, определяющих особенности решений в особых точках границы. В работе получены оценки решений в весовых пространствах типа 1Р и весовых пространствах Гельдера.

Фредгольмовость краевой задачи в областях с коническими точками в гильбертовых пространствах доказана в работе Кондратьева [12].

Краевые задачи с постоянными коэффициентами хорошо изучены (в смысле нетеровости и формулы для индекса). Такого полного исследования для задач с переменными коэффициентами до сих пор не было. В настоящей диссертации изучаются краевые задачи для общих эллиптических по Дуглису - Ниренбергу систем с переменными коэффициентами в областях с кусочно гладкой границей. Для поставленных задач получен критерий нетеровости и формулы для индекса. Дается применение полученных результатов к краевым задачам для системы Стокса, получены необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислены индексы.

Краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена вопросам нетеровости краевых задач для общих эллиптических по Дуглису - Ниренбергу систем. Она состоит из пяти параграфов.

В § 1 приводятся определения весовых пространств Соболева и Гельдера и их некоторые свойства.

В § 2 даются определения функции от матрицы и концевого символа А. П. Солдатова.

В § 3 дается определение эллиптичности по Дуглису - Ниренбергу и приводятся постановки основных краевых задач.

В § 4 рассматривается задача г = / е х;а(д), &(х,@)у = <р е Урпь(дЯ\а), (1) е ЩО),

О, — область плоскости с кусочно гладкой границей, J — конечное подмножество граничных точек (куда, в частности, включаются все угловые точки), и <Ж) — квадратная и прямоугольная матрицы, элементы которых линейные дифференциальные выражения с коэффициентами из С00 (ф) и С°°(дС2 \ соответственно, Хра(С2), Урь(д(Э \ ¿7") — весовые пространства Соболева и

Гельдера (см. стр. 37).

Пространства Урь(дС2 \ когда задача рассматривается над весовыми пространствами Соболева определены равенствами х;т = д ^,-«„(0). *?-.(«) = П те.-.оС?). г=1 г=1

ЛГ/2 Я = П \ -Я. 1 а когда задача рассматривается над пространствами Гельдера, они даются равенствами

Пх;~м=п г=1 г=1 и/2 у;ь(дд \ з) = п \ л, г=\ где числа г = 1, ст^-, $ = 1, .,Л/", из определения (подробнее см. ниже стр. 37) эллиптичности по Дуглису - Ниренбергу, £

N — ^^(йг + и), I — порядок матрицы . г=1

Получен критерий полунетеровости задачи (1):

Теорема 1. Задача (1) тогда и только тогда полунетеровая с конечномерным ядром, или, что эквивалентно, имеет место априорная оценка ц л»: г;ь(дд\з)\\ +11«; л;-1«»!!, где с > 0 — константа, не зависящая от V £ когда выполнены условия эллиптичности по Дуглису - Ниренбергу, условие дополнительности (см. стр. 37) и условия: на, прямой Re (¿А) = ¡Зт нет точек спектра пучка т 6 J.

Здесь ^(А) — эллиптический пучок, полученный преобразованием Меллина к главным частям j£?o и о операторов if и ^ после перехода к полярным координатам (г, по переменной г. В §5 приводятся некоторые свойства решений задачи (1),

Теорема 2. Пусть е Ж такое, что на прямой Re(iX) = (Зт нет точек спектра из т G J. Тогда справедливы утверждения: а) Пусть v 6 Xp+1(Q) — решение задачи (1), где f е

V е Y^b\dQ \ J). Тогда v 6 bj Пусть i; G П KuP+U ~t0(Q) — решение задачи (1), где / 6 г=1 аг/2

П V 6 П W \ J), причем 1 < Р1 < г=1 г=1

Р2 < +оо. Тогда „ G П K,7+U-t0 Ю)" г=1 с) Пусть 1) £ П — решение задачи (1), где / <Е г=1

АГ/2

П ^П H;^!aito{dQ \ J), причем 7 = (3 - 2/р. i=1 г=1

Тогда v G Д (Q) для достаточно больших р. г=1

Здесь ^Т(А) — эллиптический пучок, полученный из ^Т(А) заменой Jzfo на j£?o и ^ на при переходе к новой системе координат посредством диффеоморфизма (подробнее см. стр. 34). Доказана следующая

Теорема 3. В условиях теоремы 1 ядро оператора задачи (1) и ядро сопряженного оператора не зависят от п,р,/и (п — 0,1,.'; 1 < р < +оо, О < /i < 1). Кроме этого ядра не меняются при переходе от (весовых) пространств Сооболева к пространствам Гельдера.

Получен критерий нетеровости задачи (1):

Теорема 4. Для нетеровости задачи (1) необходимо и достаточно выполнения условий эллиптичности по Дуглису - Ниренбергу, условия дополнительности (см. стр. 37) и условия: на прямой Re(iX) = /Зт нет точек спектра пучка %т(\), т £ J. При выполнении этих условий индекс задачи не зависит от п, р, ц (n > а0 или n > max{0,cr0}; 1 < р < +оо; 0 < ц < 1), a также от пространств, над которыми рассматривается задача (они могут быть как весовыми пространствами Соболева, так и Гельдера).

Вторая глава посвящена формулам для индекса общих эллиптических систем на плоскости. Она состоит из четырех параграфов.

В § 1 рассматривается Ш — линейная задача

Г J&?(®, v = / G ®(Q), i7€2t(Q), 1 Re (Щх, @)v) =(p Gí {dQ \ J), где 05(Q), 21(Q), <í(dQ\J) — некоторые конечномерные расширения пространств из (1) (подробнее см. стр. 18).

В § 2 получены необходимые и достаточные условия нетеровости задачи (3) и формула индекса оператора этой задачи в случае к = ¿0 — 1, где к — максимальный из порядков граничных условий.

Пусть выполнены условия:

7г Ф -ñ-m + ji, ji = to + s»,., t0 - 1, i = 1,., £, при sí < 0,

4)

Зт ф ф-n + ji, ji = 0,l,-.-,to-ti-l, г = 1,.,£, при ti < ¿o, где m, n — любые целые, to = max{í¿, i = 1,2,.,^}, — раствор криволинейного сектора с вершиной в точке г (Е J\

T-¿o + l£Nu{0}, rej. (5)

3) теорема 5. Пусть выполнены условия (4) и (5) и пусть его ■= тах {<7ц} ^ — 1. Для нетеровости задачи (3) необходимо и достаточно выполнения условий:

3е£ N ф 0 всюду на \

6)

1еЩт± 0)ф0 тeJ, (7) det%'j(() ф О на прямой 11е( = (Зт - £0 + 1, г = т5 <Е (8)

При выполнении последних индекс задачи дается формулой: та = ШгЫ ^ - ^Ш^+^ОУ^С) - &%(тп -1)

3 = 1 и\ Л

Г Л I у г

3 = 1 ^ > ¿=1 <=1

9) где

7=1 ^ ¿=1 те/г ^ мет = -£(-*,•) т-1+

7=1 ^ ¿=о теа

Рт-г о + +0—

7г т - ¿0 - 81 - г) —

7г

1 , 1

Пусть (3 = {¡Зт}, 7 = {7т} два весовых порядка, для которых выполнены условия (4), (5), (6), (7) и пусть з/р, <я£у операторы соответствующие задаче (3) при /3 = (З.и /3 = 7. Тогда индексы з/р и связаны равенством тс!^ - тс!^ = ^ вт — (тс1£7 - т6.£р) - (тсШ7 — икЩ/з), где ±ST равен числу нулей концевого символа Tj — те 3 с учетом кратности) между прямыми Re С, - /Зг — ¿о + 1, Re С = 7Т — ¿0 + 1. Знак «—» соответствует случаю (Зт < 7Т, а «+» —

А ^ 7т

Здесь К, Uj (С) ~" это специальным образом определяемые матрицы по коэффициентам системы и краевых условий, при этом SC¡ (С) называем концевым символом задачи (подробнее см. стр. 28).

В § 3 получены необходимые и достаточные условия нетеровости задачи (3) и формула индекса оператора этой задачи в случая к — ^о -Ь с"о? ^о ^ 0. Пусть г = к + 1, где г - максимальный порядок системы.

Теорема б. Пусть выполнены условия (4), (5), (8) и пусть <jq ^ 0, где сто = max{a¿j}. Для нетеровости задачи (3) необходимо и достаточно выполнения условий (6), (7). При выполнении последних индекс задачи дается формулой:

J\ ind^ = Indr^o Ч -J^bdb-r+i&fiQvJ1«;) ~ ir(m - 1)

3=1 l

Y, {*,■(«; + 1) + (t - tj)(to + tj - 1)}

3=1

J\ J/ k з=i i=i j=to rej

-£to(ao + 1)|J\ - £(cr0 + l)a0\J\/2 - ind£ - indOT.

Пусть (3 = {/3T}, 7 = {7т} два весовых порядка, для которых выполнены условия (4), (5), (6), (7) и пусть з/р, ^ операторы соответствующие задаче (3) при (3 = (3 и (3 — 7. Тогда индексы g/р и связаны равенством т(- тс= Зт — (шс/£7 - тсНёр) — (шсШ7 - шсШ/з), та где ±.5Т равен числу нулей концевого символа (С), т^ = т е ¿7" (с учетом кратности) между прямыми В,е( = (Зт—г+1, = 7Т—г+1. Знак «—» соответствует случаю ¡Зт ^ 7Г, а «+» — /Зт ^ 7Т.

В § 4 рассматривается задача для правильно эллиптической системы г 0)« = /е.®«?), I Щх,@)у = ср ее(<9д\¿г), где 03 (ф)? такие же как в (3).

Получены необходимые и достаточные условия нетеровости задачи (10) и формула для индекса.

Теорема 7. Пусть выполнены условия (4), (5) и пусть его = тах ^ — 1. Для нетеровости задачи (10) необходимо и достаточно выполнения условий: аеЬ^аеЬ^ т^ 0 всюду на дQ\J, (11)

1еЬЩт±0)(1еЬЩт±0)^0 т е J, (12) с1еЩ(С) ф 0, Яе( = Рт - ¿о + 1, т = тjeJ, где £}(С) = diag(¿%'lj, &23) концевой символ задачи. При выполнении последних индекс задачи дается равенством шс!^/ = ^ ^гй;1^ - ]Г - НКш - 1)л I т л \

-о 1^1 Е^++ ~+- +ЕЕк- + ч

7=1 7=1¿=1 / л где [а] - целая часть числа а, шс?£, ш<39Т такие же как ив (9). Теорема дополняется и второй частью, аналогичной теореме 5.

Теорема 8. Пусть выполнены условия (4), (5), (8) и пусть <то ^ О, где <то = тах{о^}. Для нетеровости задачи (10) необходимо и достаточно выполнения условий (11) и (12). При выполнении последних индекс задачи равен половине правой части формулы (9). Теорема дополняется и второй частью, аналогичной теореме 6.

Четвертая глава посвящена приложению полученных результатов к краевым задачам для системы Стокса. Она состоит из пяти параграфов.

В § 1 Рассматривается задача вида

Аи1- др дх\

Аи2 — др дх2 ди1 ди2 дх\ дх2 з {х € 0)\

13) х,9)и = ч> на дQ\J, где I/ = (гл1, гл2,р)4 - столбец из неизвестных; р = и - кинематический коэффициент вязкости, который считаем постоянной, q - давление установившегося плоско-параллельного течения вязкой несжимаемой однородной жидкости; и = (и1, и2) - компоненты вектора скорости.

Получена факторизация вида *В = Tdiag(Лl, Л2)Т~1 для эллиптической матрицы, соответствующей (13).

В §2 рассматривается для системы (13), где fi 6 г =

1,2, /з е краевая задача с условиями: = л, ^ = 1,2, (14) и-7 , = 1,2, и принадлежат и соответственно.

Получено необходимое и достаточное условие нетеровости задачи и формула индекса.

Теорема 9. Задача (13), (14) нетеровая тогда и только тогда, когда выполнено условие еЩ(() = (1 - (1 - е2^"1)) х х (1 + е4^"1) - е2^-1) ((С2 + 204вт2^ + 2со82^)))2 ф 0 на прямой = /Зт — 1, т = т, 6 5, - раствор криволинейного сектора с вершиной в точке т, 6

При выполнении последнего индекс задачи дается формулой

1 ( — т ш*/ = - (ыгн - -1 ^(С)г/71 (С)+

1-я +£

3=1

7г

7г

-3|Л-10(т-1)|

Пусть (3 = {/?г} и 7 = {7Т} два допустимых весовых порядка, пусть з/р, ^ операторы, соотвествующие задаче (13), (14) при (3 = (3 и (3 = 7. Тогда индексы я^р, ^ связаны равенством тс! «й^у — т<3 &/р =

T£J

It'

7Г

7t " 1)

7г

A*

7г

- 1)

7г где ±5Т равен числу нулей концевого символа ъ = т £ с учетом кратности) между прямыми Яе( = (Зт — 1, Яе( = 7Т — 1. Знак «-» соответствует случаю (Зт ^ 7Т, а «+» — /Зт ^ ут.

В § 3 для системы (13) рассматривается краевая задача с условиями fc-ii + S&i2 = (pi € yj) (5(3 \ JT), г = 1, 2, ч -Su1 . dw1 du2 сц(^) = 2—--p, 0i2(u) = ^— +

15) dx\

0x2 dxi' du1 dii2 , ч

СГ21Ы = + 7Г-, V22{u) = 2— -p,

Доказана

Теорема 10. Задача (13), (15) нетерова тогда и только тогда, когда выполнены условия

3 - 16) (х) ф 0 всюду на \ J,

3-iS)(т±0)ф0, rej. О еЩ(С) = (1- (l - e2^-^"1)) (l + + х (C24sin2^ + С(1 - е-2^)(1 ~ e2ilpj) ~ 2*cos.2^))2 ф 0 на прямой Re( = ¡Зт - 1, т — tj е J, (pj = arg(/3(rj - 0), <5(т^ - 0)) -arg^fo+O^ifo.+ O)).

При выполнении последнего индекс задачи дается формулой

1 ( т = - ( МгК ^ - -1 (Оу]~ 1 (С) +

А*

7г \J| - 10(m — 1)

J\ Е i=i

Теорема дополняется и второй частью, аналогичной теореме 9.

Pi-iA

7Г

16)

В § 4 для системы (13) рассматривается задача с краевыми условиями an(u)ni + ai2(u)n2 = ф{ е У^1^), i,j = 1,2, где {п\, — нормаль к границе, cr¿j (u), i,j = 1,2, такие же как в (15). Здесь Li, L2 — непересекающиеся части границы, каждая из которых состоит из объединения некоторго числа ra¿, i = 1,2, связных компонент Го,. ,Гт границы, причем (J Tj = 8Q. Справедлива

Теорема 11. Для нетеровости задачи (13), (16) необходимо и достаточно выполнение условия det^-(C) = (1 - еш*) (l - е2^"1)) х (cos2№ (C - 1)) - (С - I)2 sin2 ф О на прямой Re( = — 1, т — Tj Е J.

При ¡3T — 1 = 1 — £j, где Sj > 0 — достаточно малое для любого Tj е J, индекс задачиравен -4\j\,\J\- число точек J. Для любых других (Зт индекс задачи дается формулой

I > 4- > t П—4- í—p.-l^1 t£J

1-еЛ

7г

-sj)

7г где ±5Т равен числу нулей т = т}- 6 J (с учетом кратности) между прямыми Де£ = (Зт — 1 и Яе( = 1 — е^. Знак «+» соответствует случаю ¡Зт ^ 2 — е^, знак «—» — случаю (Зт ^ 2 — е^.

В § 5 вычислены концевые символы А. П. Солдатова краевых задач для системы Стокса.

1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // УМН. Т. 49, № 3. 1964. С. 53-160.

2. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.:Наука, 1966.

3. Веку а И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.:Наука, 1988.

4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М:.ГИФМЛ, 1963.

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.:Наука, 1988.

6. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.:Наука, 1975.

7. Жура Н. А. О краевой задаче для эллиптических систем в областях с кусочно гладкой границей // ДУ. Т. 25, № 5. 1989. С. 839843.

8. Жура Н. А., Солдатов А. П. Смешанно-контактная задача плоской теории упругости в областях с кусочно гладкой границей // ДУ. Т. 24, № 1. 1988. С. 55-64.

9. Жура Н. А. Краевые задачи типа Бицадзе-Самарского для ээли-птических в смысле Дуглиса-Ниренберга систем // ДУ. Т. 28, №1. 1992. С. 91-91.

10. Жура Н. А. Нелокальная краевая задача для стационарной системы Стокса в многосвязной области // ДУ. Т. 27, № 1. 1991. С.51-59.

11. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // УМН. Т. 38, №2. 1983. С. 3-76.

12. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравненийв областях с угловыми и коническими точками // Тр. Моск. мат. общества. Т. 16. 1967. С. 202-292.

13. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

14. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., 1970.

15. Лопатинский Я. Б. Об одном типе сингулярных интегральных уравнений // Теоретич. и прикл. матем., Львов, вып. 2 1963. С. 53-57.

16. Лопатинский Я. Б. Теория общих граничных задач. Киев:Наук. думка, 1984.

17. Магнарадзе Л. Г. Основные задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками // Тр. Тбилисск. матем. инта. Т. 4. 1938. С. 43-76.

18. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // ДАН. Т. 210, № 3. 1973. С. 529-532.

19. Мусхелешвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.:Наука, 1968.

20. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.:Наука, 1991.

21. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений М.: Мир, 1979.

22. Радон И. О. О краевых задачах для логарифмического потенциала // УМН. Т. 1, вып. 3-4. 1946. С. 96-124.

23. Сираэюудинов М. М. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости // Изв.РАН, сер. матем. Т. 61, № 5. 1997.

24. Сираэюудинов М. М. О задаче Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка в многосвязной области // Матем. сб. Т. 184, № 11. 1993. С. 39-62.

25. Солдатов А. П. Эллиптические системы высокого порядка // ДУ. Т. 25, № 1. 1989. С. 136-144.

26. Солдатов А. П. Общая краевая задача для эллиптических систем // ДАН СССР. Т. 311, № 3. 1990. С. 539-543.

27. Солдатов А. П. Общая краевая задача (&-1)-го порядка для эллиптических уравнений // ДАН СССР. Т. 311, № 1. 1990. С. 3943.

28. Солдатов А. П. Смешанная задача теории упругости в областях с кусочно- гладкой границей // ДУ. Т. 23, № 1.1987. С. 161-167.

29. Солдатов А. П. Метод теории функций в эллиптических задачах на плоскости. 2. Кусочно- гладкий случай // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 56, № 3. 1992. С. 566-604.

30. Солдатов А. П. Сингулярные интегральные операторы и краевые задачи теории функций. М.:ВШ, 1991.

31. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Дуглиса и Л. Ниренберга. I // Изв. АН СССР. Т. 28, № 3. 1964. С. 665-706.

32. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Дуглиса и Л. Ниренберга. II // Тр. матем. ин-та им. Стеклова. Т. СИ. 1966. С. 233-297.

33. Сиражудинов М. М., Магомедов А. Г., Магомедова В. Г. Краевые задачи эллиптических систем на плоскости. II. // Изв. РАН, сер. матем. 2000.

34. Магомедова В. Г. Краевые задачи для эллиптических систем по Дуглису-Ниренбергу. // Тезисы докладов четвертой СевероКавказской региональной конференции. Махачкала, 1997.