Аналитические свойства мер, ассоциированных с гиббсовскими системами на многовидах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ8 . ОД- . "" ' ^

и Я^л

4 АКАДЕМ1Я<НАУК УКРА1Ш! ОРДЕНА ТРУДОВОГО ЧЕРБОНОГО ПРАПОРА Гнстатут МАТЕМАТИКИ АН УКРА1Ш

Не праеах рукопиеу ^

• __

АНТОНШ Олексаидр» В}ктор}Ъна

АНЛДГШЧН! йЛАСШОСТ! М1Р,

АСОЦ1ПОВАШХ 3 ПНШЛг'Л (ЖТЕМЛШ'

/

^, 'НА МНОГСШДАХ

01.01. ОТ - математнчлн!5 имелся

--- !

Л в ? о р е " е р а ?

- ^

^исертА^Т на зцобуттч вч^Н'ТТ) ступе?|р мчцицлт* 8йко-»'ат?мвги'«)их

\ -

Роботу виконано у в!дцглг фуикц!опального анал1эу Ьттитугу математики АН УгераТни -

. НвуковпГ -кертвник - доктор-Фхзико-математичнйх наук,

прс!)ес6р КОНДРАТЪеВ Ю. Г. ' . .

ЗДтйнг опоненти - доктор фхзико-математичних наук, допент,

коЗщший ю.в.

. - ч ' кандидат фгзико-матемаТичних наук,

' допент К0НСТАНТ1 НОВ О.Ю., . '

npjiBfnna.ycTa.4Qca- КиТвськи* пол!техн{чний }нститут,

Мастерство вищо! А середньо! осв1ти

а" Захист дисертацЛ В1дбудеться " ЧИ^^ ' 19 Чр.

п годи?^ но ра<удаинг спецгалгзованоГ раци^Ц 016.50.01-

при 1нсгитут{ математики АН УкраГни за адресов: * ' •

- ^ - *

252501 Ки1в-4, ГСП,- вул.Терещетпвеька, 3 3 дисертац?ею мохна ознакомлюсь в бхбл1отец! ¡нституту ,

Автореферат роэгслано

. В»,сскР,гаР' < . <<А[ ' пуедкд.в.

^спС1т?йл!эовлно1 "ради I — ч-' '

ЗАГАЛШ ХАРАКТЕРИСТИКА Р0БСГП1

Актуальность теми. Бажливим роздхлом сучасного фушпцо-нального аналхзу е геор!я мгри на-нескхнченновимхрних просторах. Так! мгри виникавть при строгому математичному огтнс} багатьох моделей натематично! фхзики, а також е природинм об'ектом досл1а^ення в теорН випадкових пpoueciв. В загаль-теор}* таких г.ар видг ляегься клас так эваних гладких ш р, якх припускають побудову зв'яэаного э ниш досить розвиненого несктнченновюпрного аиалтзу. Бипчення властивосте^ гладких М1р було эалочатковано f проводилось в роботах 13.1-Авербуха, С.Альбевер:о, В.М.Бе'резанського, fI.fl.Biлонктна, !.М.Гельг|йнда, Ю.Л.Далецького, Ю.Г.Кондратьева, А.В.Скорохода, О.Г.Смолянова, С.В.Фомина та тнших.

1нши.1 нлас м1р на несктнченновимгрлих просторах пкладають так званг гхббсовг м1рн. Ва.жлив1сть цього класу эумовлпеться, по-перше, явним 1 хоиетруктивним алгоритмом !х побудови.

3 точки эору зястоеувань за допоыогою ггббсових мтр можуть бути описан! р1вноваян1 стани класичиих I квантогих систем матеиатшаю! ^хэики.

Натехлъш вивченим е тдклас гхббсових мгр на злт чинному» добутку метриодих просторгв, що вгдповгцагсть класичнкм системам статистично! 'Мпики. 1х дослтпл?ння в першу чергу поп'яаано з роботами Г.Л.Добрушина, О Ланкорда, В.ЛЛ'а^шц^яя . Р.Л.М^илес*, Д.Рччля. Я.Г.Сгная. При г.ьочу н^грев^алнгу в!граять додяткорт топологИт мп в!дпопЬ"и м" •'

ри"ит гщогт^гй (типу !(тдт1я'"пи1стт п^т ^ - иг'*'п»ктм г и ,

ьгрогий анал1тичний опис ксантових систем математично! "1зики в терминах гхббсовкх шр започатковано в роботах ■ .Альбевер1о, Й.Кингбра, Р.Хег-Кроиа I роэвивався у подальшо-му, наприклад, в роботах 'З.Дайсона, Л.НлеЯна, Ю.Г.Ксндратьева, Л.1.Ландау, Е.Лгба, Л.Л.Пастура, Й.М.Парка, Б.Саймона, Ю.Фрьолхха та багатьох хнших.

В дисертащ! цосл1цжуиться два класи гхббсових систем. 3 одного боку, це системи, пов'язащ з так званими гхббсовими стихами квантових систем на С* - алгебрах оператор:в, якх задовольняють певну умову аналгтичностт Кубо-Мартша-КЫнгера (КШ). В ряд! важливих мотеле'1 так1 стани ножуть бути описан} в терьпнах в^пэвхцних 1м гхббсових мхр. Така вхдповхднхсть зводить на формальному ртвн! дослхдження квантових стантв до задачг вивчення гхббсових- м}р на певних ^ункмгональних просторах пер10цичних траокторхА.'Нескхнченновимхршсть гього простору е основное складнхстю, яка не дозволяе прямого з-а^тосування теорт! гхббсових мхр в квантовому випадку.

3 ¡ниого боку, в дисертаихТ розглядаеться ситуаих-я гхббсово! мгря на злхченному добутку фтанових многовидхв. У випадку компактних многовидгв задача т снування т -единостх•таких мгр виртшена в роботах Р.Л.Добрутина, Л.Гросса, Г.Зьоллмора. Проте некомпактна ситуацхя цосх е лише частково дослхдженоя нав!ть вхдносно проблеми }снуЕання та единостх гхббсових«йгр. Тим б1льш складшш. виявляеться питания детального вивчення властивостей таких мхр як, наприклад, ивидк1сть спадания корреляций.

Диоертагля присвячрна пивченн«! властивосте;1 гхббсових к-тр на злтчгнни:< добутках -'"нкпональних простортв та рЬ«анопих

многовип^в. За допомогою таких Mip i/окуть бути описшп моа,ельнi системи квантовоТ та класично! математично* Уазики, niti при-вертагать увагу багатьох досл1цник1в. 3 uiel точки зору цослтд-ження, проведенi в цисертацН, е актуальними.

Метою дисертщцйно! роботи е цосл}дяення Mip, асоцгйова--яих з ггббсовими системами.

Методика цослгддеиь. В роботг використаш метод» |)ункцгонального анал}зу, циференц1йноТ геометр!!, Teopil стантв на С* - алгебрах, Teopit представлень опер&торно-значних <!>ушпцй, teopit випадкових прогеств г тэорт! ртвнянь в частинних псшцних.

Наукова новизна т основнт результат» дтгдртантТ. Зс{ результат!!, отримшн в ^HcepTai't^nif» робот}, е новимт.. Газвемо основнт з них.

Е. Отримано умови iснуваннл i единостт гтббсових оеклгдовкх nip для квантовнх граткових систем на компактнкх ртманових многовидах. Доведено спадания коррелят'' для гих Mtp. I. Побуцовано квазгвхлышй КМИ - стал квантово! гратковоТ снетеми, для якого те мгсце нскомутатиша центральна гранична теорема.

Отриняно необхтдн! i доотстш умови представления екстонеч nittno опуклих пэр^однчних оггораторноянячних ¡ТушаяП, К Отриуано умови едииоет! f експончицтfno твидкого сподялчя яорреляи!* для гтббсорих мтр чз ялтчочному г,спугну Нто»»-пактних р}м?лоР!»х unmenntn. Пт результата пастве:г

до гдч^у pii^t^m q orrv7',in<a nrrjwo^^po^ дг лр,

Теоретична i практична_£!хннхсть. |)Каяано, що нейтральна гранична теорема для евкл}дових ггббсо--чих мхр пае ыожлиргсть вщтворити кваэхвхльнип К1ЛШ - стан, для •жого мае м?сие некомутатиша центральна гранична теорема. Запропоновано cxew.y дослхдження спадшшя коррелят t* для ггббсово! мгри на ялгченному добутку некомпактних рхманових многовид1в, що спираеться на спеи!вльн! BaroBi ошнки. Схему эастосовано при дослгдженнт моделеР з опуклою негауссовою взаемодгеп.

Публхкаха!. Реяультсти дисертащ! опублхкопант в пботах [I - бЗ .

Структура i об'ем роботи. Дисертацхя складаеться si вступу, грьпх роздгл!в i деох додатк}в, га списку лхтератури, що нарахову! "? назви i викладгна на 129 сторхиках магаинопису.,

зм1сг роюта

Коротко эупинимось на структур! i основних результатах дцеертяшйноГ роботи.

- В роэдгчвх I i 2 випчатчьсл, так звонх, тееттературпх •¡ббсовх систоми на граттп, При иьсму виповхдна ггббсова мгра класться на простор! ^ - перЬдичних непереришх вгдобра-чгсиг, r,ci в злхченниР добуток компактних ршанових много-

r'"Bfp. *

Роз/ил I присвячений побуцов1 температурного гхббсового ■'тчну f виччерню гластивопт?« асоцхКовано? ri66c>Foi ?«ipt?.

В Ь I.I наведено необктд>п факти з теорх! 1ШШ i пббсовнх сташв на С •- алгебрах оператор!п.

Температуршш Kt'J - станом па С* - алгебр! називаеться невгд'емнкП нормований лгнтПннО ;Ъуш<цхонал TaKiiii, що ieiiye аналгтична у смуэт iie С .о t^w» -i неперервна на границ! функцхя така,

що

V U и* ; Mt( ЬУ)

аз "S ^ - деяка фп:сована гр\щб И -- автсмэр-глэшв алгебри дЪ. • Важливс« властиысто Кг/Ж-етшив е те, що f.yHKIliï

для Ди 6 R*, А*, ., , A m t припускав?e

аналгти<шй процовкення у смугу \о t Зги ь .. fc I5»vi гм t ^ 'j Í H. Aeafeî., Ces l^t.bUÍ,. Sot.- 1973. - 9- P.I¿5-2G9). Остаине две моялив1сть застосуваиня иэтодхв ïeopiï аналгтич-иих ФункшП .4,0 р.ивчення КИ!1 - стянтв.

При п,одатков1й умов} стокастичноТ цоцатност! FJ'.ffi - с-;ану з ним коже бути пов'язана мтра на простор} .л. ^

пер}оцичних вхцобраяень oci SR* в спектр алгебри ( A ,1.3.1-Wftu. , Зо^аг, FKnr 1SÔI - ¿3 - P.3:8-

420). При пьсму по тгшй nip' момт Biryfommi Ю'Ш - стаи, отримапш явне представления птя яналтггного процоь^сння ''утнсщГ' (I): S^ , для О *

... t ^ f ^ , N^e -tf , Д" к-^татигна nii-

лчгебрп ачг^ри '¿^ , тчхя irso fô = U t 5*4-90 # f'tP4 наривчетьсс точ^рэтурчп^ M'n-;»-., q-, pfn^cr '¡'ч*-

1'МЛ1 - стану ^

В 5 1.1 також розглядаегься вяжливи'* птдклас ШИ-статв, е сане, так звант гтббсовт стаии, для лких втдпов! дни"- 'Т'ушпаонал ^ на С * - алгебр! оператор{Е яацаеться

ЧЛ ^(М . ий(.е ^Г* иСАе

для деягсого самоспряяеного оператора И э ядерноч кшпвгру-по!). При цьому екшченнэвимрн! проекш! в!дпэв1дно1 температурим! »при консгруюються по ядру налтвгрупи оператора Н.

В § 1.2 реал!зуеться строга процедура побудови гЯбсоиих КМШ - систем на гратцт як гралицт в!дпов1дних систем в

сгсЬшеиних гйдоб'емах С 2 ^ . НехаЛ з котним гуэлом грат 1:и

I

У—(.Р-1,.. ,КсО е ^ пов'лэаиия КОМП9КТНИР рТИОГПВ МНСГОВИД

з ртмановгщ об'смом 6к . Розглянемо ст'>1 трансляции а тнвартантних 'ЗункшП \ ф^ е С (, М /Ч") , \ М , /ч с ^ яка эащоволыше наступиу умот?у ск1ппеппоет! ран!уса :

3 V-« 7о •. V А, с гА , (АдаIV. ^ р г„ ,,-> ф^ = О <2^ Тут \М " * Г\ ик Мк.

Пббповому стану у сктнч?ннсму ол,гм' А С 2. па

алг^Срт ог:?«ежчних опрратортв . у простор) ^ ЛбУ )

ке /ч

* Г | / -^чГ'1 I г к А \

4 * К ^СЛ

т ЛК - оператор Лапласа-Бельтрамт на , р.гдпп«1ппг

температурил мгра "а простпр* С1 ( К\. ) :

V 2 ф . ( Л^У) Лт ) -... , г 0 р^сь ^

' -----------------: ---- ----------------- сЯичСУ)

це - \ = i ^

■температурив м(ра, асог}Рована з втдповЦним г?ббсовим станом, побудованим по оператору Лапласа-Бсльтрвмг Д^.

ПббсоЕиЯ стан ^^ на алгебр} локальних спостережу-в&них = ^л будуеться як acol!^1oвaни', э

слабкою границею мтр ^ , , коли \ ЛД —. Теорема 1.2.П. Неха? Уункпт! задовольняють

умову (2). Тод! за.умови иалост1 добутку Зч1снуе слабка границл = ^ е>, • Нртм того,

мгра ^ е едтгаю б клас1 евклтдових гтббеових м}р з потешуалами ^ при обернен}^ температур! ^ .

Доведения цього .^акту базувться на узагальнеинт с хеки Л.Гросса ( Со»им К79, " Р.8-29) I Г.Фьоллмера

(Зоиял.^илч^. А.ла/- - 1982 - 46 - Р.387-395) на температурпи пипадок.

В § Г.З доел}дчугаться властивостт тпмпературно! »"{ри 1!(|>, Результата гього параграфу е. в поенсму сснст птдго-товчима до еивчения пластивосте!» вг дппвт дм их температуриих стантв у роздгл! 2.

Т е о р г м а 1.3.4. Цеха? "укь'гт! ^ <$>л зядорольнг^ть умэчу (2). Тодт за у1/0ЕИ »/алоетт добутку д.. ь мге т'тетт; ? кппо!1?н>'Ь'*но ыг.ицке старания кэррвляр!" для три :

дг $ - "епг-рет>гнт пялтиппи-«;} по гратит ■'■*/!*китТ но 1' о

гро"тор{ И. С С. "г)» и у.\ } т. позчп-'ад оплратс«

V, . ' ^

наслхдок r< T F о p 9 ii f 1.3,5 показано, що пае i'icue

, тобтс ябттпт

.„«V^*^ (3)

•••»•грчлька рр«ни'жа тпорога для мхри ^ , тобто ябЫисть

- >■ *>

?| >4 \ oal'V^ (woV)

-> а

Sj ( ,0 (.-,), —= x L^uw iv> - \ -I dfy ^

'JTav.»

"'я i-enspepnHoï цилгидри'шо! по гратш «TiUKtif T W^O).

Рогэцтл ?, дисертагт! црие.влчсмо побудога так званого квяя!-втльного ГО.1Ш - стану i довпцечню некомутативно! нйнтрально! '■pRHii'iHOï теореми.

Некай ^^ е дзякгй трячсляшЯно тнвагтентни!' стан па С^ - алгебр! локальниг ctr.••тсре.тч'Еаких <sf ■ Дяя /\ ç. ,9Î fof i CKi«»U'.'J*îT nf пин от ин и Л. с введено та?: я ««ну

¡•л\'ктуап!г в об'ен! А ?а iopMv.nci«!

N N _4_

Гч ■ (Ш -

ас t nowanan к -• рртеморТтям »лгебпя Мь>с. « тпдуктчгм""

тупом на вектор к & ^ . ПроСлом* полягае г доо.-ri плеши

умов певяо! ябтгкнестт А , коли А вичерпус "H1* f п

характеризяпИ mon',int поюттг cmcf-p^rvmmx A f ^ toc

1.14 рких тоачитш гснуе.

В роботах Д.Г»иертс*, Л.Вер*ы>ря, П.Еется i (Wm Ma.l РЦ«..

ГР90 ■ 120 Р.533-519 JSB> - I?? orntown vrn»-"!

1?ч!Ря спраРсцяивост! некомутвтирт'^т мечтр?~'-:. '. Î гря»ч«чнеТ

■'opf'in идя квантових грягкогич "истом. При гьем? ••«итралша

wuimip t«w\ j ■»аг'че "слетал*!""!!* vpk те Kr»r»î»»

к т ж

- •"•«»и' ч? с»*1 — й-те^г*. Цт укогч» В'хея'.ч!"'' ег'Т''р">*

иоровтрити лирк» у випя*шу 1'ачпгпсттпих лп;т«и. п гкиг >:згглис" гтльб'-'рггр простfp iwnnf честится « crcfn't«ir«ofw'p~ 'nnv, a ni чповтгля С * - я?г»"рл сюст-'П'"уп»чпх ? алг"^*1 с к т f ! ■ч е нн о в им i рч и г. г а г р и i -ь.

В poaniл! 2 проптустм;? роав'гтпг. паляч! пг'ут,м» кваэгвтльного стану тля ргппчку спст~?<, чпксчи:«» р ргчд!."! коли BinnoBi va алгебра спсст'р'-^гяних л в няск!|»чсин-*-pm.iipwM банахояим простором ?гг?ратср!р. При иьсиу сутт^ро викорнстовуеться зв'яэок шт Ш.ЗЗ - стппкуи f iîjyifatvnwii тснперятугкинп Mi ра»>и.

" S 2.1 наведен! н<;обх! ty'i 'якги з т«ор!Т я^стрчггнкх гарант Нних стпч1в, accu! Гсаних ? гауосогкуя vf ракп па оск?.г;':-но!г» г; л Аортовому простерт.

В 1 '¿.Z побудовапс1 кгва!гглм!к:* ЮТ - стая, для ятмго час н^уомутатипнч н'-.чтральна rpnîwm» fopwa.

гтльбррт!в простip К t0v. °к пстовяения у сонет сгадяризго »обутку < •, z-cev wcmiK С,у (-М )tM.iiwipp'nmx по тоатп! ноп';опсе?!и,х 'улт!4 ча П , M b , ТакториловгепТ р*дг?ос!с ««шгскал'-рчто до'угиу

С \ о cov-, '.и^'-'^Лк^иЛи)))

' „г'1 ^ *

онвлчгмги" тИугчг ргорсхтио п <?илу юрчи^иоп

у p.'-r:'"!! I чТ«ор--м9 Т.З.т) crw.n'mn р'гт""'тт" дли "три

^ . П" о;т-рат?рчо?1'а'си !Г !-уч"и: Т С (О у npocropt «i,

яка •зяд'тьсл ctfî nnf

'••г г''"'' тг>'пг•рптуг";п rayccc* >'ips tM(j, иа простор!

1«якв 0си8цзиня простору

пк наслЦск центрально! гранично! теореми (5) в 5 2.2 поводиться эбЫигть мсменттв ытри ^ цо исмент^ и!ри

у наступноыу с^нст:

№1

S • ' ^ I у (»и

П и V. < ^ ^.(илГ) —»

ДО^ Iе4 Й

3 }нгаого Соку олераторноэначн» ''.ункггя С IV) мае пред--

ставдрння у простор} ^ слу :

<~ - to^ - С ^ - ^ ь-

СШ" \ 5----

° 1 + е ^

^ п.еякап операто^юзначною м!рою Г^. ГЛ-(. «и.

На основ} такого представления в § 2.2 побудовано КИЕ -стан , асоцтГюЕаннЛ з гауссовою рою ^ , як«!*

грае роль кв&э!в1лшого КИШ-стену в некомутативн*й ц^цтральш? граничитй тег»рем1. Як насл1док эбтгност} ('5) } КМИ - умог>и оарииапо тлярхг.рнчл пекомутативко! н^нтральмо! граничит! тчореми в иаступноь'у с«нсг,

Т ■ о р е I' а 2.2.7. НехаИ !>уик1',1! \ ^ ^ ^ яацпволыи^т:-у«ову (2). Тодт при доски., »«опому добутку иве ».*■*•I«-

•чг»т с'еь в!дпов<дл1!х &ийл} тц«ниг пгоплр-.снь '*уик11{р (i) "я у«»-'! i -•

) ^, ( е ) ) —>»

—^ с,в Со. Се ) Се I )

1Г - пеп»л в' дсбрэ-'-г^чня ь+ьерг-рпы'х т'лтчд-

г:ц»рп?х нн1'* ? р ¡'."•1'УТ»1"'™",' их С * -

acot'î Ровалу з ста/ten Ç^ . Тут 1 ^ ^ - пчгггНлт ■Н - аРтсморЧзУи тля ¡{¡•'ill - стяи!р ^ i ,

В ' Й.Я чосл! т?ться H^ixf чмт t т'стятм' у>"гц rim, що ол^раториояиячна и!ря Г». РИ г pomt.-ev-M iiífmvt д-ккт!"! сачоспрят'ногп •-чтпрат >ря у пр-'ст^р} «jV • "rpmw НвСЛ! ЦНИ 1"П ДЧ0Я1 ГЦП1Х K'.'ü! - сгвнтп.

П[11 ньоиу ПК ОСНОВ!!»!"1 tHCTpyv;HÎ ц-сл1дг?»тп Еикористо-вуеться тссрпма про пргдстарленнл окспон'-нн}Сип опуглоТ оппраторноэнпчмлТ î^tikiu Т. Нагадаемо, що 1пярбТор»1озиачна |у!нипя э1 >-* С е палигаеться

егспснп""!"но огг'глос на Lp, , якцо для г!уць-пкпх

ti, m С lO.^V} , , 'J , , W8R îjî ci;rr HOpimtiCTb

M

S^ïl л tiv

T n о p о и a 2.3.3. Сла'.'ко ггп'рг-рвна отрятпрнозначча

vyhkt'fn cu") tôfl^wv^ л— кпе пр"дстягл'ч'пя

-ЛИ V -IM

CWaî.eM Is +e J )

3 дткп» с0уг,спрг»"янгм "П'-рчторт* Vi у rrpicTopi $ (ОУ T'.ni f лит? толг, к эли СЧ ^ ) sw'Tppwa. Bitr'-cw (

тспсн^игтч ?пукл8 на 1.0,^3 , СЧ'-'Л i тадор^льпяе

спггртгчтг^ч-1- V vt <v0> Э

ч-V

сс^'ч) -tc<^ » (cu'! . ctw) с л")

Роллтл 2 аисерташI присряч^чо вивчшд*) класичпих Г7^б'""-Г»х систем, тс'ím стр'жтуги t рлчстивостчй унпжкни гг öfr^'tir, it t р на nif'i^KHOMj ло^утгсу нрчомпактнчх котрячних

ЧПСТ^ГП'.

■ le -

.ibixTn, jütip^ncíioiííiiK,' Р.Я.До^рУШ'Ши «Теория вероятностей и ч.цл . - ¿3 - 0.19''-224, I-ункпмон. анализ и прил.- 1958 - 2 -

í .ü.jiaH;jpnow i Д.Рг-^лем ( Сомм.МяМ. РЦ<. - 19'9 '. Iv'i-¿I:.) до аадамш ¡при на злаченному цобутку метрячних ij>- ::iDpi в як riíj.'^iicl a ^нсовашти умосжши м i рами, дав мокли-г.к:ть oTpiwarn • !-кт>шк! крит'фЛ ¡снуьання i ел;иност1 таких игр, рвотах Л.Гроьса i E.Caí'Mona ( Comm. MaU РЦ.*. - 1979 -- h* 1,2) Гул.) показано, що г. ochobí критерШ типу Добрушима J BüriH'iKy компактных мстричних npocr.ipiB лететь ri^Biii отпнкя вгцег ч» пл bapïûiiiï í'?v умовпт.ш'i'ipaj.iH. S некомпактному внпацку нанв-iiicïb таких сшнск принципаьа ьЦсутня через ыожливу н^обмекенгеть изаетд'Т. Наявн! тут результата стосуитьс;. и!р, що манть епбпталь-II! '*-> <a7'K.Hii властиБостг, так! як, нытриклад, гауссова мавдрачхн í.3U2!.'or;ií aSo вт дМггкопа цодатнгсть. В цьому напрямку глдом! результат« №.Кассандра, Н.Лебовтца, В, А.Ыалшава, Р.А.Мшлоса, E.OjÍB'epi, A.l!öAarpiiraf¥i, F..Презуггг, О.Е.Плоскаиа..

h трегьому роз я bit циезртшл! наведено схему дэелтддення опадания Ropp<vmi'tn } структури инокини пСбсовчх nip ни злтчен--нему цобутку нркоепактнпх ртлокмх многоьипдв. ЗапрэпонованиС niaxtа спираеться на спепачьну вагову о'чшс.у, щ;> мдобракае •юяедтцку в ewoaiï, í застэсовуеться при досд* дхенш систем н ппукло1 нггауссовов взаеммйпи.

ß 5 C.I введено к лас гтббеових wip на зяИитому цобутку иокомпактних pinsnornix мтговидтв i доведено oiúhk.v гсплши у епектр! пешюро оператора Jliptxflp, пов'язапога з pl{¡"ooiw. ■яро«. Неxfi'i Ц - гладкий зв'язнкЯ ршенгч многоьид з р'Кбно-. ним об'емэ!" s t f'HoDÍpuof.Hf. MÍ pe y >«ve '"Лльптст* ф t C'iU) , тобто Hu , wfl - ф^ Лс5 . Игра m

e piBHOMipHO логариЧэЛчно опуклою, я игр 3 Vacfc U • « *

це fUc позначае тензор крипини Ртччт i V «

оператором ковартантного дн: сренптгпаннп. Теорема 3.1.2. Для pfBHOMfpfw логари'мгчно опуклоТ мтри з ¡цКчынстю $ е Сг мае wicve наступив HepiniifcTb:

и м м

для ^ е Со I М) . Тут < • , • > поэначае скалярии!1 ргмановиЯ добуток.

Нергвнтсть (6) е узагальменням портгеюст? флкни у спектр! для оператора Ц - ^J * ^ , дв позначве

спряжений градтент у простерт L t ( Ц, ^Г).

НехаЯ конному вуэлу гратки v; е егддов}дае

гладкий зв'яэниП р!ма>пв многовид Мк . Розглянемо ciMT фупкцМ V t сЧ W О , W^ «= С* ( М w х W j) , kl * ^ V, що эадовольняе наступит умови:

1) \ С- ^ ¿-э с g J*-t £> <-3 Wk

2) скхнчоннтсть paqiyca взаст<од{Т

8 г, >о '. •. > v. -> VJ- О

3} ртшсмтрна логарифм?чна опук.ттсть'слиоточкорих умовних wip: Э 3 t С С МО

Rcc„ + тт*. (\ "2. j >,

Уыовн! »мри i f л в сктнченних шцэб'енах гратки , J -¿J.

/V с э граничное умовою ijfc М зацаються

С1ПБВХДНОШ£НИЯЫ

u г л. - ¿ »

« -----г-Ги«а* (7)

де иормувчип ыноглик i Z - С* ^ i ^ /Г) .

Як наелтдок nepiBHocTi (б) доведено наступну теорему про OiiiHKy колипаяь одноточкових умоних Mip.

Тчорем» 3.1.5. НехаР бункцтГ ^^ VI задовольняють

>ТИОЬИ I) - 3) i

N е гСы-j. 2-v^p fe.

х t М

Тодт ese мтспе оптика

У М ¿yb * * (8)

ne * ibuvU^t.

ъ-л^ « vm> ¿i--, - ív. ,

Тут метрика ^ ^ на шоговидт М ^ задаетьоя сгпввхдно--шонням■

-j-

В 5 3.2 доелтджуються питания единост! i спадания япррелнптй для ггббеових м!р в облает! Р.Л.Добругпичя (Теория поргмтпоте* и пгил. --■ 1970 - _15 С.458-48'" 1, тобто ттдп м'о 4 унпмшчч

м(г?м!1 (71, rfiri ЯЯД01>0ЛМ!п>1Г'-> VI.'OPV

^ и*'

И

ке г? М

з деяким ^ (г М

Основнт результата >■ 3.2 мтстяться в теорема > 3.2.4 I 3.2.8 { мотсуть бути с.^ормульован} мастутшим чином. Теорема. НехаГ, ''¿уккцт! 1Ф у эадопольнячть

умови I) - 3) I

^ = , е' С\; «г«1 ^^ '

Тодх для Л е 10,

1. Для будь-чких гтббсових ь<тр и, ^ я уугтнкмм мерами ("') що задовольнп«ть (9) з деяким ^б-М , маемо ^ ?,

2. Для мри ^ (?) з ,'7'тниуи м}рами ("') мае ^{сг0 сг.апоненшПно гагядк'? спадания корпелгг:гР, тобто

I 1К1

е.

а м^С^л».^ \ е ^ъА Г д

■.10)

по $ , ^ - неперервнг гилтндричш по грапт# Чнттнт ГункгтТ на } ■

'В 5 3.3 схема 5 3.2 застосована при доел!цтенн* систем я опуклою негауссовоп взасмодге»! на . В{длов!дна

егм'я 'унки1П \ } " задовольняе умови:

I') генуе парна г.ункшя Р е С така, що г е >0

. РС^г-") , к*

2') 1снуить пари г спуклт 'ункит* С: < С* ( К , ^ г

О

Vi.it г-1 : -

З') сктнчсннгсть радгу'са взагмодг!

3 г, ■> О : . V ^ . 1 > v. 1 •»> й' гО.

я » м ! 3.3.1 цоЕецеио непорочность иног.иии Нббсових

ц э уиовними м}рами (7) г '!унки!яии I/) - З7), якз Г

налйжать облает! Добрушна (9) э ^=О е \к

^ Чл ^ V0 (и)

и

^ --

Теорема 3.3. умови I') - э') I

Теорема 3.3.2. Пехай функцИ задовольняють

I (,*К-

"2- е I —-- I »

т - с __

: : и 4ля X € 10,

''коянна Нббсових Ир (7), (II) складаеться т!льки з ОДНГе? точки

Для м! ри у ше м+сие експонени!*но гавидке спадания коррелят Г> (10). 3. Для й; >0 , 2. О; множима

л ^

Р шояиноп повмо! ^ - м!ри.

На зак5нченяя автор пвадае необг1пччм рисловйти вдпчитсть начтсовоиу к?ртишгов! про.-Тчлгору Юл*« Гр(«г,ор'>в1"П' !?ом.",пягь«пз-■ая ч/итрилгу Т уяаг\' ДО гоботи,

ОсновхЛ резилътпати лКсертацп опубликовав е. HacTTvyrvHux роботах

1. Лмгомюк Л.Викг. Кластерные, разложения для функциональных интеграле», отвечающих гиббсоаским состояниям кванта ■ых рашеточних систем // Методы функционального анализе . а задачах матвматической^фиэики.'-Кие«: Ии-т математики АН

, УССР.1990.-С.21-30ГХУ " - , -., _~:-

2. Антон»* А.Викт.,Конвратье» Ю.Г. Кпастерныераэгожени* для %

- гиббсоеских мер квантовых'решеточных систем при нулмой -температуре// Применение метояо»фуняционапьного^нвлиэа »математической фиэихе.-Кие»: Ин-т математики АН^ССР, 1991.-С. 14-20. . . -

3. Antonjuk A.VaL.Antonjuk W.Vict.,Konc!rati«y Yu.G. The cgns.ruc-tion of macroscopic, Gibbs state? via functional integration'// Methods of functional analysis In problems of mathematical physlcs.-

Kiav: ln»t. of Math. Acad. Sci.of Ukraine ,1992.-P. 13-35.

* »

4. Antonjuk A.Val..Antonjuk A.Vict. Gibbe measures-on the infinite •product of manifolds and Hermitian realizations of form«! Hamilto-

nians // Method! of functional analysis in problem» of mathematical physics Kiev: Inst, of Math.tAcal.Sci.of Ukraine .I992.-P.36-46.

5. Antonjuk A.Val.,Antonjuk A.Vict. Smoothing properties of semi-grvvps for Dirichtet operators of Gibbe meeeuree.- Kiev,1993.v " 59 p.-( Preprint A cad.Sci.of Ukraine .- Init. of Math.;N 93.22.)

6. Antonjuk A.Val., Antonjuk A.Vict. Weighted spectral gap and - \ Lof-SeMev inequaOtlas and their applications.-Kiev.1993,-68 p.-

(Prepfint Acad.Sci.of Ukraine.- Inst, of Meth.;N 93.33.) '

-:-:-:-—-:- ' ' 1/

Шдц. до друку '10. fi IB- vopi.ia? 60xfi4/I6.( Itonip друк. Офс. д Ум. друк. арк. С] i>3 Ум. уарбо-вщб.С, УЗ Обл.-вид. арк. •(/1 Тирая j(.'С пр. Зам. И'О Бегкоштовно. . . -

в1ддруковано в 1нститут1 математики ¡'ill УкраТна '• ' - -

25Z66I КиГв 4; ГСП, вул.,'Герещенмвська,-3