Аналитический подход к центральной граничной теореме от эргодических цепей Маркова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Рг Б од

;?П. НХЩСНАЯНІА АКАДЕМІЯ ЇІАУК УКРАЇВ! ІНСТИТУТ МЛТ2МАТЖ

На праизл руксг.::су МОСКАІЬЦСВА. ііатела Ваг.онт’.'лг.ика

анаГі!7»яізя підхід

ДО !£гП?АДЬНОЇ ГРАНІ !ЧНСЇ ТЕСРЕЛС:

- БІД йГТедГИИ ЛАІІІХГІВ .ЧАРКОЗА

01.01.05 - теорія іасвірнотма та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового отутоид кандидата фізико-математичних наук

Киї с - 199-1

ацієп с р>хс::і!с. с»:коііана у еідцілі теорії оипадкових процесів .';ТЄ;.і:-ігі:ки НАН України.

її-.. хоьг.Й керізняк: дектор фізико-математичних наук,

і?рог :цна установа:

професор іЮТЕНКСБ Б „і!.

доктор фізкко-математичних наук, процесор КАРТАШОЗ М.В. кандидат фізико-математичних наук

в:ж:іл!н я.§.

Кяїбський політехнічний інститут

Злх/.ст відбудеться "

//■ /£> _І994 р. о годин і

•п .'-асідаь'ні спеціалізованої р£»и Д 016.50.01 при Інституті пглемггяки НАН України за адресо»:

252-'.аМ, Київ 4, вут.. Тере^енківська, 3.

З дксортаціся можна ознайомитесь у бібліотеці інституту.

Автореферат розісланий " /У" О*? 1994 р.

Вчений секретар *

спеціалізованої ради

доктор фізихо-математкчних наук

ГУСАК Д.В.

Актуальність т е к її. Дослідження, лов’лз ані ' з центрально» гранмчноп теореиоя для ергодичних ланцогів Маркова,стали традиційним розділом сучасної теорії випадкових процесів. Цо тематиігу розвивали такі автори як Є«И. Каллан,

Д.С. Сільвестровс КЛ* ЧкуИр С.В* Нагасв та багато іниїх математиків, Останнім ч&сон цей напрям досліджень отримав додатковий імпульс завдяки зусиллям Е. Нуммеліна, П. Нея, К. Атроя та інших вчених, що висунули концепцію гак званих втучних моментів регенерації. При цьому иояна виділити декілька підходів до центральної граничної теореми,, які відрізняються не стільки технічно, скільки ідеологічно.

Як відомо, початковий об’єктом длл вивчання будь-якого, а у шшоцу випадку ергодичного» лянірга іїаркова виступає імовірність перехо^ за один крок Р(х{А\ хєЕ!г /і £ дь(Е.-./і)— це фазовий простір ланцзга, Знаючи імовірність переходу, ?.;к маено повну інформацію про розподіли усіх функціонал із на дано1,г/ ланцпгу0 не торкаивдсь питання про обчислення цих розподіл іа. Зокрема„ мо.гна пріиіустиги, що над відомі розподілі? моментів повернення та накопичених суп до цих иокент ів„ Саме такий підхід використав у обоїй монографії "Загальні репризиід-ні ланцзги Маркова ?а невід'ємні опзраторн" Еса Нушодін. Однш із оташщнісс мінусів такого підходу с неоднозначність вибору иоменту повернення данцвга, тобто моменту штучно; рагекер&дії.

У даній роботі запрспокогано альтернативний підхід- Бій такок пов’язаний з повним апріорний знанням перехідної .

імовірності. Зншочи ио.гла вважати, що пан відомі

потенціали (або резольвенти/ Рі {х,А) ~ 2 t Р (хіА)>

а £ то

де Р Ы.А) — імовірність переходу за Я кроків. Ергодичність ланцюга, як автор рсауиіє її у запропонованій роботі,

рівносильна тому, цо Ійп (хА)*я(/І)для всіх

ІГІ і

, Де х(') — єдиний імовірнісний розподіл лаш^эг , Виходята з останнього твердження, виникає питання про

структуру тих /^-вимірних обмежених функцій J , для яких існує границя '

і'т Рі і (х.). і'і)

, ІП

Цета роботи ткраз і полягає у відповіді на це питання. " . .

Необхідна умова існування границі (і) :

<д}{>- / ж(сСх)і'х)*0. /2)

' є

Виявляється - це і с один із наших основних висновків,, — цо таких функцій існує досить багато. їх лінійними коыб інаціяш

• ' ./ . У ■ [

:ао«н& апроксимувати яку завгодно -вимірну функцію * , цо задовольняє уиот' (2) . Бідьн того, еначбшія границі (1) ііоеє

бути записаним у вагледі ) , '.,э гпалосуінне

ядро ШЫ^Лъь,

згідовагьйл-ьдй^і^; пгздаадоі^і. ~ сиаагаиості.

•апріорну характеристику ланцзга на піди і ну рід ^гучних цементів регенерації„ вибір яких, як було :'.-(значено шсци, с неоднозначний. У ?сй та час, ядро у тісний спосіб пов'язано з усмєнтрми регенерації.

до того н, дисперсія граничного нормального закону кас вираз

Метод дослідкення полягає у застосуванні результатів про асимптотичну поведінку потенціалів ергодичних ланцзгів язг аналітичного апарату для центральних граничних

Я а у и о а а новизна результатів дисертаційної

робо?" ПГМТЧГРР V 11ПГ*Г*\НТ11П*.Л\Г'>

лачтрга Иаркоаа у зліченному фазовому просторі. Зроблено ряд висновків, корисних для потреб центральної граничної теореми для ланцагів Паркова, зокрема, умова, еквівалентна скінчен-ності другого моменту часу першого повернення до стану.

2. На підставі результатів, що стосуються поводішв:’потенціалу, зліченного ергодичного ланпрга Маркова,для певних класів функцій доведено асимптотичну норелальність випадкової послі-

через

теорем

за Абвлеа потенціалу £ Л ЬО

/ о .

овності і~г О^ . Асимптотичну нормальність центрованих

астот здобуто без застосування умови скінченност і другого с«е!ггу ««су першого повернення до стану ландога.

3. Допедено теореми про існування потенціалу ергодичного Л'.чігзгБ Маркова у довільному фазовому просторі та деякіиислід-

. ч

і. Отримано умови асимптотичної нормальності стохастично

здк'.'квних фуккц і опалів від ергодичних ланцюгів Маркова у до-іч:: ьч г >.;у' флл о в о му просторі. .

б. -Наслідок попередніх результатів посирено деякі класи

Л -їх\іірких функцій { , для яких має місце асимптотична

п-(

нормальність випадкової послідовності (X) ДЛЯ

Л'О л

■лакисгів Маркоьг. у довільному фазовому просторі.

Теоретична та практична цінність роботи. Робота мас теоретичний характер. Результати, отримані з дисертації,можуть мати практичну цінність у зв'язку з дослідаеншши, ;цо пов’язані з вивченням процесів Маркова та сумісних питань теорії випадкових процесів.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на Другому українсько-.. угорському симпозіумі "Нові напрямки в теорії імовірностей та математичній статистиці";/ Мукаче.вой ,27 вересня — З жовтня 1992 р. ) , на Іі! Донецькій міжнародній .конференції '"Імовірнісні моделі процесів в дшравлінні ®а «вдійності" ‘'("Маріуполь., б — Ц вересня 1993 р.) та на *семімараа <ьіідцдлів теорії датад-

.іових процесів та теорії імовірностей та математичної статистики Інституту математики ШШ України.

Публікації . Результати дисертації опубліковані у чотирьох друкованих працях [і ~ <і] .

Структура роботи. Дисертація складається із вступу, двох розділів та списку літератури, їло містить 2в найменувань » Загальний обсяг роботи становить 78 сторін™ друкованого тексту.

ЗМІСТ РСБСТИ

У вступі обгрунтовується актуальність обраного налрлкху досліджень, наводиться стислий огляд робіт по темі дисчргації і дається перелік основних отриманих результатів.

Перший розділ МІСТИТЬ результати, ЛК.І С""ОСу»ТЬСЛ ОЛІ'ТСК-них ергодичних ланцргі». З 5 1 розглядаються потеїщіаяи одно-рідких ергодичних лачцеглв.і.». - клас всїх ^хіш'ііхх аун/лтіЗ яз.

доріз-

НГЯТЬ иуяв ВСЮДИ, окрім деякої скінченної МгО-ЗДСХ З її. , для

яких У{(Ц'О. Доведена, що кат фугашій / нагашть до і£Е "

класу ^5 » 70 границя (1 ) іонус та е скінченно» длк 'зехх *очок фазового простору. Доведено три каолі^й:-. зокрема, надає умову„ еквівалентну скінчзкнос?і,.другого клиенту часу першого повернення до етану. У § 2 г:а гщсгаві попередніх результатів для потенціалу данірга докодеко цэктэадьк^ гранюлу теорему, яка установляє асіоттотичку нормальність зиладкокої

фазовому просторі £, » тобго обме.тен'-г/: $укчзій /

я-' ,

л .'слідсшіесті —-с— ПА / для тих функції! / , цо належаті

{а

А, . Доведено, що середне граничного нормального розподілу дсрішос нуля, а дисперсію виражено через деяке невід'ємні

‘ДРО V .

Другий розділ присвячений ергодичним лаицяггш Маркова у доїльному фазовому просторі (Е,Л)ш і злічєнно породяеною £>‘-алгесроо А . У § 1 наведено наступні поняття.

Означання 1. Сукупність .У-вимірних множин називатимемо мізерним класом £ , якщо вона замкнена відносно скінченного

об’єдм&кнл своїх елементів та містить всі їх А -вимірні під-:,;нс:?.и.пи. .

•. • Сзначзння 2. Якщо деякий клас £ містить таку зліченну

послідовність своїх елементів, цо покриває весь простір Е-. , то в:н надирається повним.

г' Означення 3. у/ -вимірну функцію j називатимемо -фінітно £, якн:о вона дорівнюватиме нуля всюди окрім деякої множини

класу <5* . .. .

' Означання 4. Невід’емне ядро и/ будемо називати -обме.

О із класу С? .

, Знаяозкінне ядро називатимемо -обмеженим, якщо його

можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних С -обьм жэндх ядер. .

Через /(^позначено клас обмежених (Ц* -фінітних функцій^. „для. яких Еиконано (2 ). .. Доведено дві. теореми про існування; потенціалу,- ланцога. та їх. наслідок-.. наведемо

>.;енщ,і, якцо ЕИд-онано умову sup і VV(Z,uJ<~ для всіх множин

формул!)вшшя однієї .з цих теорем повністю. '

ТЕОРЕМ ї. існує такий мізерний попнііЛ кит (!. .?ц таїсо

С -обмежене ядро ИЛЧо ШіПх) ДЛЯ БО І

ІН .

хс£ та для всіх функцій ( класу Від. :

/ О

О

Суттєво використовуючи цей результат, у > другого розділу доведено центральну граничну теорему.

& ,

ТЕОРЕМА 2. Існує такий мізерний попний клал С ' їй <і-.?кв

£ -обмежене ядро И/ , що для всіх [б В '(£■). яиііадкоиа юслі-' л-і * .

довність -==2../М / асимптотично нормальна з >/у. ьсвнм . серед-

К9О о ' \ /• ' * ■

нїм та дисперсією б в 2<Х^>- < 7С^ > , дв ^'(х) хІ^)і/[//{х)

Як наслідок, цієї теореми, отримані денлі кор/.онх рєауліл'ати/

зокрема, здобуто асимптотичну нормальність цзптровэнйх час?о|

без застосування умови скінчешості другого иомниуу часу пзр~

и;ого повернення до стану ландага.

Третій параграф присвячений доведенню цічгг^альйсї гранпч-

ної теореки для стохастично адитивних фукиці :>излір п

'$■$ (X ,Х\Черм р

позначено умоше середню пр» умові, що /Г 1 ^ ,5^0 , а через ./^ () () -

міру, що відповідає розподілу X . Зроблено при-іуцошія, що

. ' ' > ‘ виконані умови ,

Рж$,(х.А)-о ~ ^?:(К,х,)<- .(*>

та доведено наступний результат. '

, ■ ' - ґ7> .

ТЕОРЕМА.З. Існує такий мізерний повний клас С ^'-"н танк

^ -обмежене ядро ІУ , що стохасткчко адитивний функціонал

— є асимптотично нормальним, якщо виконані умови (З) та Ш *

функція т/ґх/” Р§'(х> X]і'. обмеженою та (^-фінітного. Дисперсію граничного нормального закону виписано через ядро V/ , а саме,

якщо позначити

а

і/

•ф-Р'К'ІХ^-ІїСЩгМАі.

& г-.Р V 2 ([у (х]х((їх}І/\/{х! сЬ)у(у).

то

в V

£ £

X ! ....................Дисперсія дорівню-

ватиме пуле тоді І ТІЛЬКИ тоді, коли можна -м.н

'ґ я

представити у вигляді різниці значень деякої ^-вимірної функції и(х) а Хб£ , тобто Р ()( X}-и(ХУ и(Х.).

і? у/ І о *

Цей рааульїат отримано5 суттов^ використоііупчк фнтрлльну гранігтау геораау із монографії В.М. Щуренкова "Ергодичні процесі’ ІЙарков2.% же: в нашому зїшщку зручно сформулювати таким

‘*іїгїСі*с

Т£2?Ш 4, ІЬхай вигонено уу.озй (3) Тоді якщо буде знайдено таку ушогзкао збійну до одакиці послідовність І та таку Я -додати/ мкатаку І)£з( ь що для стохастично адитивного функціоналу <5уд8 аияояано у«говн

(іу }%2 Ґ (жшРз *<~

V. -* ■■ я ■> / л

та • ' ' ’

■ /г-ї,.)!2 і ' } я (<£х)Р„ 5. / <~

л ^ г* $ ~ А

.уія всіх /4 ^л'І) , тс 5* «атиив прк л—*«>о гоанично

нормальїіі-іі розподіл, днзперсія якого дорівнюватиме нулю тоді

та тільки тоді, .коли £ (ЛХ) можна буди .JP -м.н. продев.-1 -f О ‘ < л

'* ,■ \ Екта у вигляді різниці значень деякої Уі-пимірніл функції

ХЄ£ о тобто £ (У X )~У-(Х)~ц(/] ).

ґ * С з f & J

У § 4 розглянуто наступні об’єкти:

- клас % ,'що містить всі обмежені, ^-ліміриі функції

/ „ для яких існує та е скінченною рівномірна по зс£ £. г^ігі-

ниця ((хї ;

ІИ j , ' ■ . f

- «лас Л , що містить -Л -вип/риі обмадоні функції j ,

для яких, по-перше, границя tun ft, ffzi існує та скінченню

іи .

для всіх X Є Е , а по-друге, резольвента ланцдаа №

рівномірно обмежена по І та X , тобто sup sup (fx)l<™ ,

// oit*t xk£

- клас dL операторів, переставних з оператором імовірності переходу QhJ) ланцюга Маркова, "otiro UQ%/i: >.

РОЗГЛЯНУТО ЛІНІЙНИЙ Обмежений ОПЄра?0}; U :/3 itВ у ба -

наховому просторі /В) обмежених А-шчцнт. функцій, нкі:й належить до класу сХ- . Використовуючи попередні результати, було доведено наступні факти,

ТЕОРЕМА 5. Якщо J£ 7£ , а лінійний оператор и;В-В є обмеженим оператором класу Л , то випадкова послідовність

€

zmj має симетричний нормальний розподіл при ..

ТЕОРЕМА б. Якщо j Є “Ж , а лінійний обмежений оператор

псласу сХ- -о -слабо неперервним в.ІВ , "о послідовність

п-і

JL Т

'0 2) 'ЩиЛ^мав на-границі-дяшетріга»Ш-нор^і^ййц{'»?іі<уїі«.,.

і

ТЕОРЕМА У. Існуа тшшй іліоершій клас £ , ЩО ПОСЛІДОВ-

НІ'/

і

Н«»ь-І W асимптотично нормальна для іййїх. ІЗ {£у

і для тих лінійних обменених операторів U £’ оС , які е слабо неперервними в /S .

Дисперсіет граничного нормального закону ДЛЯ КОЖНОГО її розглянутих виаю випадків представлено череп деяке -обмаке ядро. Наведено приклади тик операторів (J , що задовольняють умови останніх трьох теорем.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Цоскальцова Н-В., ІЦурер^ов B.I.L Об асимптотике потенциала счетной зргодкческой цепи Маркоьа // Укр. кат. журн. -1993.- 45, » 2.- С.265-270.

2. Ьоскальцова H.B.S Щуренков Е.М. Центральная предельная теорема для.цонтрироьаиных частот счетной эргодическсй цепи Паркова // Укр. мат. журн. - 1993.- 45, 1? 12.- С.І7ІЗ-І7І5.

3. Mo:,kaltsova й, , ShxirenfcoT У» Ы. Central і.in.it theor

for ergcxiic iiarkov ehaixs // rsoa. Second Шгг.-Hunger. Cortf. о Her/ їгепЙ!;. in JrTobab. I’hoory ааб r.atii. Stat;. - Kiev; YSr, Utrocbt/ їВіШ, 1993- - £. aoS-2'iu. .

4. Москадьцова H.B.t Щурвнков B.il. Про потенціали ергодич

них ланцогів Маркова // Укр. пат. лодрн.- IS94.- : 46, J? 4.-

С. 446-449,__________________________________________'J/.J&tf'

ГІідп. до друку їй.09.94о Формат 60x04/16.Папір друк, Офс.друк ум.друк. ари- 0,70. Ум. &лрбо-відб. 0,70. Обл.-зид. апк. 0,о Ти pas 100 пр. Зам»________ьелцоатоино._________________________

Втвдрукозано в Інституті математики ИДЯ України 252601 Київ 4, ГСІІ, вул. Терещенківська, З