Аналитическое и численное исследование нестационарных течений газа с ударными волнами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Федераль 804614453 юности Федеральное государственное унитарное предприятие „ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имели профессора Н.Е. Жуковского" ФГУП „ЦАГИ"

УДК 533.6.011

На правах рукописи

Тугазаков Ренат Ямшович

Аналитическое и численное исследование нестационарных течений газа с ударными волнами

Специальность: 01.02. 05 - механика жидкостей, газа и плазмы

Автореферат Диссертации на соискание ученой степени доктора физико — математических наук

2 5 но Я РОЮ

Жуковский Московской области 2010г.

004614453

Работа выполнена в Федеральном государственном унитарном предприятии , ДЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени профессора Н.Е. Жуковского"

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор В.Н. Шманенко^

доктор физико-математических наук,

профессор А.И. Толстых

доктор технических наук Г.Г. Судаков

Ведущая организация:

Институт Механики МГУ

Защита состоится «_»

2010 г. в

часов на заседании

диссертационного совета Д 403.004.01. в Центральном

-Т v

аэрогидродинамическом институте им. проф. Н.Е. Жуковского" по адресу: 140180 Московская область, г. Жуковский, ул. Жуковского, д. 1, ЦАГИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦАГИ.

Ваш отзыв на автореферат в 2-х экз., заверенный гербовой печатью, просим выслать по адресу:: 140180 Московская область, г. Жуковский, ул. Жуковского, д. 1, ЦАГИ, Ученому секретарю диссертационного совета

Телефон для справок: (495) 556-40-65

Автореферат разослан «_»_2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 403.004.01

доктор технических наук,

профессор

© Центральный Аэрогидродинамический институт им. профессора Н.Е. Жуковского, 2010 г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Вопросы безопасности полета летательных аппаратов при сверхзвуковых скоростях требуют решения задач взаимодействия ударных волн с движущимися телами и неоднородностями, встречающихся в атмосфере. К данному классу начально-краевых задач с неизвестными движущимися границами (поверхности сильного разрыва) относятся, во-первых, взаимодействие падающей ударной волны с газодинамическими разрывами, реализующимися около движущегося тела, приводящее к существенному изменению результирующего потока, обтекающего тело. Во - вторых, воздействие нестационарного импульса, созданного ударной волной, на органы управления и поверхности в местах, где возникают значительные пиковые тепловые или аэродинамические нагрузки. В - третьих, рефракционные задачи взаимодействия возмущений от движущегося тела с неоднородностями, встречающимися в атмосфере, или с вихревыми следами, образующимися от другого движущегося тела. Необходимость решения этих пространственных нестационарных задач для определения как интегральных аэродинамических характеристик летательного аппарата, так и локальных нагрузок на его поверхности обуславливает актуальность данных исследований.

В перечисленных задачах изучаются течения невязкого нетеплопроводного газа, когда роль эффектов нестационарности преобладает над другими факторами, что позволяет в исключительных случаях аналитически решить ряд принципиальных нелинейных задач газодинамики. Например, автором аналитически решены: задача усиления ударной волны умеренной интенсивности в сужающейся полости, моделирующей излом поверхности л.а.; создана теории отрыва нестационарного сверхзвукового потока газа с задней кромки обтекаемого тела за счет сил инерции; получены точные решения в задаче взаимодействия движущегося со сверхзвуковой скоростью клина с границей раздела двух газов.

В общем случае для решения нестационарных задач взаимодействия наиболее приемлемо численное моделирование процесса, так как

экспериментальное моделирование данных задач связано со значительными трудностями методического характера и требует больших затрат.

Цель работы. Исследование не изученных явлений, возникающих при нестационарном взаимодействии ударных волн со сверхзвуковой скоростью телами, определение локальных максимальных нагрузок и интегральных аэродинамических сил, действующих на движущиеся объекты.

Научная новизна. Основная часть результатов, получена автором впервые и не имеют аналогов в отечественной и зарубежной литературе. К такого рода результатам следует отнести: построение теории отрыва нестационарного потока идеального газа с выпуклой поверхности обтекаемого тела; получение точных решений задачи о столкновении тонкого тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью, с границей раздела газов; получение точного решения в задаче затекания волны умеренной интенсивности в полость с конечным углом раствора и установление принципа независимости решения для величины максимального давления в окрестности угловой точки от интенсивности падающей волны.

Практическая ценность. В работе аналитическими и численными методами получены решения для конкретных задач нестационарной аэродинамики. Точные решения, найденные в работе, позволяют выявить роль нестационарных эффектов в задачах взаимодействия, служат проверкой как экспериментальных, так и численных методов моделирования существенно нестационарных процессов.

Результаты, полученные в работе, использовались для инженерных оценок максимальных нагрузок, возникающих на летательных аппаратах, находящихся как в условиях полета, так и на стоянке.

Достоверность представленных расчетных и аналитических результатов проверялась путем сравнения с имеющимися результатами других авторов. В частности, метод численного моделирования проверялся получением ранее известных решений. Кроме того, полученные точные решения нелинейных задач рефракции, усиления ударных волн при затекании в полость, отрыва

сверхзвукового потока с кромок обтекаемого тела дали возможность всесторонне апробировать численные методы расчета и воспроизвести картины течений с приемлемой точностью.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 7 - ой и 8-ой конференциях по аэродинамике гиперзвуковых скоростей ЦАГИ (1972, 1974г.г.), на школе - семинаре " Фундаментальные проблемы физики ударных волн" в Азау, 1987г., на семинаре " Распространение ударных волн в неоднородной среде" в ИВТАН АНСССР в 1988г., Юбилейной научно -технической конференции НИО - 8 ЦАГИ по аэродинамике больших скоростей в Жуковском, 1989г., на Всесоюзном семинаре - совещании "Нестационарные взаимодействия ударных волн", Ташкент, 1989г., на "Гагаринских научных чтениях по космонавтике и авиации" в Москве, 1991г., 1995г., на 7 - ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в Москве, 1991г., на Школах - семинарах ЦАГИ "Механика жидкости и газа" в 1990 - 1992 и 1994г.г., на Международной конференции "Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке" в ЦАГИ, 1994г., на школе - семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" под руководством Г.Г. Черного, в Туапсе, 2001 г., на школе - семинаре ЦАГИ "Аэродинамика летательных аппаратов" в 2003 г., на семинарах ЦАГИ (руководители В.В. Сычев, В.Я. Нейланд) в 1995, 2003, 2008 г., на 12 - ой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Владимир в 2003 г., на 4 - 6 Международном школе-семинаре "Модели и методы аэродинамики ", г. Евпатория в 2004 -2006 г.г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в печатных 28 работах.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы. Она содержит 195 страниц текста, включая 82 рисунка и 3 таблицы по тексту диссертации. Список цитированной литературы насчитывает 150 наименования.

Личный вклад автора.

Все параграфы диссертации, кроме §§ 1.3, содержат результаты, полученные автором лично. §§ 1.3 написан на основе результатов совместной работы с В. Н. Голубкиным и Г. Н. Дудиным.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) Определение существенно нестационарных режимов обтекания движущегося Л.А. при боковом воздействии на него ударной волны.

2) Точное решение задачи усиления ударной волны произвольной интенсивности в местах излома поверхности Л.А.

3) Влияние неоднородностей атмосферы (температуры, скорости) на нестационарные нагрузки, действующие на движущийся Л.А. Обобщение теории регулярной рефракции. Аналитические и численные решения.

4) Механизм образования вихрей в нестационарном потоке газа. Встречное и догонное взаимодействие ударных волн с концевыми вихрями Л.А.

5) Теория отрыва нестационарного сверхзвукового потока газа за счёт инерционных сил при обтекании Л.А. ударной волной.

Содержание диссертации

Во введении дан обзор публикаций в области взаимодействия ударных волн с неподвижными и движущимися телами, сформулирована тема диссертации, обоснована её актуальность и кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена исследованию процессов взаимодействия ударных волн с движущимися и неподвижными телами простой формы.

В § 1.1.1 представлены численные решения задачи бокового встречного взаимодействия ударной волны, падающей на клин конечной толщины, движущийся со сверхзвуковой скоростью. Так в [1] методом характеристик решается автомодельная задача, когда интенсивности головной и падающей ударных волн равны и угол падения ограничен такими значениями, чтобы на поверхности клина реализовалось правильное отражение ударной волны (рис. 1).

В диссертации показано, что для величины максимального давления на поверхности клина выполняется закон подобия по числу К = М sin ф, где М — число Маха набегающего потока, <р - угол головной ударной волны. Изучение коэффициентов отражения волны разрежения от поверхности клина, ударной волны и контактного разрыва выявило, что максимальные изменения газодинамических параметров до 50% происходят при отражении волны разрежения от поверхности клина для больших углов падения, когда угол после первой отражённой ударной волны от поверхности клина приближается к предельному.

В случае больших углов падения, когда на поверхности клина реализуется маховское отражение, задача решается численно методом сквозного счёта [2]. В диссертации отмечено существенное (почти квадратичное) увеличение коэффициентов подъёмной силы и момента с ростом интенсивности падающей волны. На рис. 2 приведены коэффициенты момента и подъёмной силы, отнесенные к первоначальному набегающему скоростному потоку, в

зависимости от интенсивности падающей волны Р для клина с а = 40, числом М= 4 при угле падения ап„ = 55 . Анализ осесимметричного течения газа при лобовом столкновении движущегося конуса с ударной волной подтвердил [3], что значения параметров газа в дифрагированной области могут значительно (до 25%) отличаться от их стационарных значений в носике. При этом вышеприведенные исследования течений газа указывают на существенное влияние показателя адиабаты у на количественные значения параметров газа, воздействующего на тело. Задача о боковом взаимодействии ударной волны на движущийся конус решена в работе [Кутлер П., Сакелл JI., 1975].

В § 1.1.2 приводятся аналитические выкладки, подтверждающие выполнение закона подобия по числу К = М sin ф для максимальных давлений на поверхности движущегося клина [4]. В случае разных интенсивностей ударных волн, применяя гиперзвуковой закон плоских сечений, (М» 1, толщина тела ю мала, а М-со ~ 1) задача о взаимодействии сводится к одномерной нестационарной задаче столкновения движущегося поршня с набегающей на него ударной волной (рис. 3). Указано, что для разных интенсивно стей взаимодействующих волн установление стационарного режима качественно различно. Так, при падении более сильной ударной волны на систему: ударная волна - поршень, максимальное нестационарное давление для у = 1.1 возрастает в несколько раз по сравнению со стационарным значением.

В §1.2 изучена пространственная нестационарная задача взаимодействия плоского треугольного крыла, движущегося со сверхзвуковой скоростью в режиме дозвуковых передних кромок, с набегающей ударной волной [5]. Здесь для определённых конечных углов атаки и стреловидности крыла и чисел М набегающего потока газа вычислены стационарные и нестационарные характеристики обтекания. Аналитическое решение дифракции ударной волны на тонком крыле представлено в работе [Ting L., Gunzburger М., 1969]. На рис. 4 приведена зависимость нестационарных коэффициентов подъёмной силы Су и моментов тангажа пи и крена тх от безразмерного времени Т для двух

вариантов задачи, определяемых на фигуре комплексами чисел: M, х, а, Р, Р-Здесь /, а, Р - углы стреловидности, атаки и скольжения, Р - интенсивность падающей волны. За единицу Т взято время, в течение которого набегающая спереди на крыло под углом 63 к оси движения волна пройдёт расстояние равное корневой хорде. Анализ результатов указывает на не монотонное поведение момента крена Мх, когда крыло движется с М= 1.2. При малых временах взаимодействия на крыле со скольжением происходит уменьшение момента крена, а для Т > 2 величина его значительно возрастает, особенно для варианта с M - 1.6.

В § 1.3 исследуются возможности увеличения аэродинамического качества треугольного крыла за счёт интерференции волн, образуемых при изломе его поверхности в поперечном направлении к вектору скорости сверхзвукового невозмущённого потока. Аналитически и численно в рамках уравнений Эйлера получено, что при А/=4 + 6и уте атаки а от 0 до 6 происходит увеличение качества крыла до 10% за счёт отгиба вниз его носовой части. Ранее такой эффект был получен в гиперзвуковом приближении тонкого ударного слоя [ Голубкин В.Н., Негода В.В., 1991]. В настоящее время наличие этого эффекта подтверждено и в вязких течениях [7-8]. На рис. 5 приведено поведение качества крыла в зависимости от угла отгиба его носовой части 5 в середине крыла. Эффект увеличения качества крыла при деформации его в продольном направлении изучен в работах [ Pittman J. L.,1987, Таковицкий С.А.,1998].

Вторая глава посвящена изучению поведения ударных волн при фокусировании их в местах излома обтекаемой поверхности. В реальных условиях полёта это может привести к значительным тепловым и аэродинамическим пиковым нагрузкам в этих местах.

В § 2.1 исследована задача затекания ударной волны в угловую полость. Известно, что при этом интенсивность ударной волны усиливается из-за серий взаимодействий ударных волн между собой и боковыми сторонами полости [1012]. Существует акустическое решение для слабых волн [Гувернюк C.B., 1976] и экспериментальные данные для сильных волн [Белоконь В.А., и др., 1965]. В

диссертации показано, что для узких полостей (угол при вершине полости а < 30°) даже слабые волны с избыточным давлением ДР = 0.02 вызывают в точной постановке увеличение коэффициента усиления давления в вершине полости в два раза, по сравнению с акустическим решением. В случае волн умеренной и сильной интенсивности численным моделированием показано, что величина максимального давления, отнесённая к давлению, получаемому при лобовом столкновении волны со стенкой, асимптотически стремится к предельной величине, зависящей только от параметра у и угла раствора полости. То есть выполняется принцип независимости решения в окрестности угловой точки от интенсивности падающей волны. Поведение данной предельной величины Р в зависимости от угла раскрытия полости для у = 1.4 приведено на рис. 6а. Откуда видно, что максимальное усиление волны происходит при затекании в полость с а = 45°.

В § 2.2 приводится точное решение задачи затекания ударной волны произвольной интенсивности в полость конечного угла раскрытия [10]. Решение построено при условии, что в точках столкновения ударных волн в полости реализуется правильное отражение, а к поверхности полости отражённые ударные волны подходят под углом 90. В этом случае в полости реализуется простая картина течения, состоящая из конечного числа ударных волн и областей с кусочно-постоянными решениями (рис. 66). Здесь в точках А и В реализуется правильное отражение волн, ВС X ОЕ Положения I и II соответствуют двум моментам времени, когда ударная волна, затекая в полость, не достигла вершины А и когда она отразилась от вершины ударной волной ВС. Тогда из геометрических условий следует формула:

= 30° + (<5, - <52)/3 , (2.1)

где <5[ = Ю]- <м2, ¿2 ~ с°з~ ®4- При заданной интенсивности набегающей волны величины и ¿2 находятся по формулам отражения ударной волны от стенки и определяют значение полуугла при вершине полости а/2 = 90 - «ь Формула (2.1) полностью определяет решение задачи затекания волны произвольной интенсивности в клиновидную полость с конечным углом раствора 109 < а < 127 при вершине (у = 1.4). Анализ точного решения

подтверждает, что при увеличении интенсивности падающей ударной волны отношение максимального значения давления в вершине полости к давлению лобового отражения стабилизируется.

В § 2.3 приведено численное моделирование задачи затекания ударной волны произвольной интенсивности в полость. В первом случае, рассмотрен случай, когда на пластину, закреплённую на плоской твердой поверхности под углом 90° [13], падает волна под углами: 0, 45°, 60°. Поведение нестационарного момента, выворачивающего пластину, для двух интенсивностей падающих волн представлено на рис. 7 в виде кривых 1-5, где величина М (t) вычисляется относительно приращения давления А Р при нормальном падении ударной волны на плоскость: M(t) = М /(Л Р ¿7 2).

Анализ максимального давления, получающегося в начальный момент времени в точке сопряжения плоскости и пластины, показывает, что при а = 45° и 60° для слабых волн (А Р ~ 0,1 - 0,2) существует область «коротких волн», где течение газа описывается нелинейными уравнениями [Рыжов О.С., Христианович С.А., 1958].

Во втором случае ударная волна затекает в полость с произвольным углом раствора. В работе численно решается задача о вхождении ударной волны из плоского канала в полость с углами раствора 90, 45 и 22,5° Из анализа результатов счёта объясняется принцип независимости максимального давления в вершине полоста: затекающая волна становится достаточно сильной в результате нескольких отражений в полости, и в момент подхода её к угловой точке, на формирование максимальной величины давления не сказывается влияние потока за ударной волной.

В настоящее время существуют компактные разностные схемы, позволяющие получить решения достаточно сложных задач аэродинамики [Толстой А.И., 1990]. В диссертации, когда в расчётном поле имеются несколько сильных разрывов, взаимодействующих между собой, для моделирования плоских и пространственных нестационарных течений газа используется метод сквозного счёта без выделения этих разрывов [27].

В § 2.4 представлен модифицированный вариант двухшаговой схемы Лакса-Вендроффа, первоначально опубликованный в работе [ Рубин Е., Бурштейн С., 1967]. Данная явная разностная схема, которая имеет второй порядок точности на гладких решениях, была адаптирована к расчёту течения газа в окрестности сильных ударных волн и контактных разрывов [3]. Для этого в процессе решения задачи для каждой расчётной центральной точки проводился анализ по окружающим её точкам для определения присутствия сильного разрыва. В случае его существования, в конечно-разностную схему вводился дополнительный член, обеспечивающий устойчивость счёта на разрывах. Так, уравнение неразрывности для идеального газа в пространстве ((,х,у) аппроксимируется разностным соотношением:

Р, + (ри)х + (ру)у =(1"Р) (Рхх Ах2 /Д1 + Руу Ду2 /Д1) + 0(Д12) + 0(Дх2) + 0(Ду2)

На гладком решении ф = 1) схема имеет второй порядок точности. В случае (3 Ф 1 схема сохраняет второй порядок точности по времени, а по координате -точность между первым и вторым порядками. Введение коэффициента (3 в схему позволяет увеличить шаг по времени в два раза, по сравнению со временем, определяемым из условия Куранта -Фридрихса -Леви, когда схема дополняется искусственной вязкостью для преодоления разрывов [Лаке Р., Вендрофф В., 1964]. Данный численный алгоритм успешно используется в широком классе задач, не вошедших в диссертацию, учитывающих реальные свойства среды, её фазовые переходы [9].

Третья глава посвящена исследованию теории рефракции ударной волны на границе раздела двух сред. Данный вопрос изучается в аспекте влияния границ неоднородностей, существующих в потоке газа, на аэродинамику движущихся около этих неоднородностей со сверхзвуковой скоростью тел.

В § 3.1 приводится обобщение регулярной теории рефракции ударных волн на поверхности раздела двух газов. В отличие от ранее существующей

теории рефракции, где не учитывался разрыв скорости на границе раздела сред [Taub А., 1947], при решении нестационарных рефракционных задач необходимо учитывать, помимо разрыва плотности и у, разрыв скорости q. В диссертации получено уравнение 12-ой степени [14], определяющее угол ударной волны, прошедшей через границу раздела газов. Вариации параметра q, входящего в это уравнение, позволяет найга новые схемы взаимодействия в рефракционных задачах. В общем случае решение уравнения ищется численно, хотя для частных случаев из него получают точные решения газодинамики. Результаты численного исследования обобщённой теории рефракции анализируются на рис. 8. Так на рис. 8а представлена схема течения газа при движении клина со сверхзвуковой скоростью около границы раздела газов, когда головная ударная волна AB отражается от границы раздела ВД в виде волны ВЕ (ударной или разрежения), падающей на поверхность клина [15]. На рис. 86 представлена интенсивность волны ВЕ в зависимости от величины скорости q, (кривая 1 для yi = 1.1; 2 - 1.4), когда остальные параметры задачи равны: 0 = 10°, Р0 = р0 = 1, у0 =1.4, q0 = 2.01, pi= 1.6. Видно, что при qi < 1.35 волна ВЕ является волной разрежения, а при <71 > 2 интенсивность ВЕ возрастает до 1.4. С учётом отражения волны ВЕ от поверхности клина имеем, что за волной ЕК на поверхности давление на 80% большем, чем в носовой части. Таково влияние неоднородности (газа в области 1) на движущееся рядом тело. На рис. 8с приведено изменение интенсивности волны ВЕ в зависимости от <71 для двух значений pi= 0.8 (кривая 1) и pi = 1.4 (2) при одинаковых параметрах набегающего потока.

В § 3.2 представлены два класса точных решений задачи о взаимодействии движущегося тела с границей раздела газов. Основное условие для получения точных решений задачи - конечное число взаимодействий между газодинамическими разрывами, что делает возможным полностью её рассчитать. На рис. 9а приведена картина течения газа для первого класса точных решений при столкновении клина полуугла раствора 9 = 10, движущегося с М0 = 2.4, с границей раздела газов ВД [16]. В результате пересечения головной ударной волны ВС с границей раздела газов образуются:

отражённая ударная волна ВЕ, перпендикулярная к поверхности клина, преломлённая граница газов ВБ и прошедшая через границу газов без преломления ударная волна АВ. Направления скоростей для областей 0—4 представлены в подвижной системе координат, связанной с точкой В. Для данного точного решения взяты у0 =1.1 и у! =1.4. На рис. 96 показано поведение интенсивности ударной волны ВЕ (Р3/Р4) в зависимости от числа М0 для трёх 0 = 10°, 20°, 30° (кривые 1-3). Видно, что она возрастает до 1.75 при падении сильной волны (кривая 3) на поверхность раздела газов.

На рис. 10 представлен второй класс точных решений, когда головная волна, взаимодействуя с границей раздела газов, не порождает отражённых волн [17]. Данное решение возможно только в рамках обобщённой теории рефракции, т.е. при существовании разрыва скоростей газа на первоначальной границе раздела газов. В работе отмечено немонотонное поведение величин давления и плотности в областях 3 (до взаимодействия) и 2 (после взаимодействия) в зависимости от скорости движущегося клина для конкретного варианта задачи (0 = 10°, уо =1.4 и у] =1.1).

Оценки результатов, полученных в рамках обобщённой регулярной рефракции, указывают на существенное влияние неоднородности, находящейся в поле течения, на движущееся тело. В то же время точные решения задачи регулярной рефракции явились строгой проверкой для численного метода, используемого в решении задач взаимодействия. Так, интенсивности отражённых ударных волн от границы газов и падающих на движущийся клин, найденные из точного решения и прямого численного моделирования в рамках уравнений Эйлера, совпадают с точностью процента. Углы отражения головной ударной волны от границы сред, находятся в пределах 0.5°, хотя в численном решении граница размыта на 2-3 пространственных шага, в отличие от точного решения.

Изучение нерегулярной рефракции представлено в § 3.3, где рассмотрена задача лобового столкновения движущегося со сверхзвуковой скоростью тела (плоского или осесимметричного) с границей раздела газов [18]. В диссертации показано, что в зависимости от плотности (числа М)

набегающего газа при взаимодействии реализуются разные схемы течения газа, которые и определяют разное поведение силы сопротивления, действующее на тело. На рис. 11 приведено поведение силы сопротивления по времени для тела формы конус + цилиндрическая юбка, набегающего с М = 2 на границу легкого или тяжёлого газа. Угол при вершине конуса равен 20; пунктирная кривая - данные для плоского тела. Анализ поведения кривых показывает, что после столкновения тела с границей газов, квазистационарная сила сопротивления уменьшается или увеличиваеься в К = л/ р,/ р0 раз- Здесь ро, р\ - плотности газа на границе (ро~ в набегающем невозмущённом газе).

Четвёртая глава посвящена аналитическому и численному исследованию теории распада двумерного произвольного разрыва.

Автомодельная задача о распаде одномерного произвольного разрыва является основополагающей при изучении газодинамических задач, имеющих разрывы в начальных условиях [Кочин Н.Е., 1949]. В двумерных течениях газа это относится к задачам дифракции и отражения ударных волн на неподвижных и движущихся телах, когда на поверхности разрыва имеются точки излома, так что задача изначально является нестационарной (автомодельной) и двумерной. В диссертации проведена систематизация типов конфигураций разрывов, аналитически и численно исследован распад произвольного разрыва общего типа, по сравнению со схемой [Шуршалов Л.В., 1974], когда в начальный момент времени вдоль границы разрыва возникают касательные составляющие скорости. В этом случае решение задачи находится численным моделированием, а для разрывов слабой интенсивности - аналитически. По физической сути к даннным задачам близки локальные задачи о внезапном движении в каждый момент времени частиц газа в турбулентных движениях, когда течение рассчитывается без учёта диссипативной вязкости.

В § 4.1 аналитически и численно исследована задача о распаде двумерного произвольного разрыва в газе, когда прямолинейная граница первоначального разрыва имеет излом на конечный угол [20]. Так на рис. 12а для у > 0 изображено начальное положение произвольного разрыва ( линия 00 ),

имеющего излом границы на а0 в момент < = 0, а для у < 0 приведена картина течения газа после распада разрыва 00 (< > 0) на ударную волну АА', тангенциальный разрыв СС' и волну разрежения Д Ц'. Параметры газа во вновь образовавшихся областях 2, 3 рассчитываются по формулам одномерного разрыва и могут быть использованы для контроля точности счёта задачи численным методом. В окрестности точки О все разрывы, отражаясь от стенки, взаимодействуют между собой, образуя сложную картину течения. Случай, когда а близко к 90°, рассмотрен [Тещуков В.М., 1972], где сформулирована краевая задача по малому ушу е = 90°- а. Для учёта в решении конечного угла «, в диссертации сформулирована и решена краевая задача Дирихле при произвольном а для малого избыточного давления, поведение которого приведено на рис. 126. Из графика видно, что для а близкого к 90° реализуется почти одномерное решение в центре области 5. При уменьшении величины угла а до 45° и ниже распределение давления внутри области 5 происходит почти по линейному закону. Исследования распада разрыва произвольной интенсивности показало, что на картину течения существенную роль оказывает вихревой слой, образующийся на границе областей 2, 3. В зависимости от начальных параметров задачи часть этого слоя превращается в замкнутые вихревые структуры в результате действия нестационарных сил. Так как движение вихревых структур играет важную роль как в существенно нестационарных турбулентных течениях, так и в течениях обтекания тел, то в следующем параграфе на основе уравнений Эйлера построено решение для движущейся вихревой структуры, которое в дальнейшем используется как объект взаимодействия с возмущениями разного характера.

В § 4.2 описан механизм образования вихрей в нестационарном потоке сжимаемого идеального газа, когда частица газа, определённого объёма, совершает внезапное движение относительно окружающего её газа [21]. Эта нестационарная задача с разрывными начальными данными непосредственно связана с задачей распада двумерного произвольного разрыва на границах выбранной частицы, с образованием ударных волн и разрежения, их

взаимодействием. В результате, в поле течения, когда акустические возмущения погасят друг друга, образуются вихревые структуры в виде овалов Кельвина или тора в плоском или пространственном течениях. При этом первоначальная форма выбранной частицы влияет в основном лишь на время образования вихревой структуры. При движении частицы в возмущённом поле (поперек сдвигового слоя) показано, как образуются вихри внутри слоя смешения, сносимые со средней скоростью потока. На рис. 13 представлено поле изэнтроп в плоскости у = 0 при движении пространственной частицы (начальное положение: 60 < г < 80, 30 < х < 50; 0 < у < 10) в положительном направлении оси z с M = 0.5. Видно, что две высокоэнтропийные зоны (сечения тора) соединены между собой вихревым жгутом. Вокруг тора существует наведённое слабо вихревое поле, состоящее из отдельных вихрей, наматывающихся на тор. Из рис. 14а, где дано распределение скорости w по оси z в плоскости у = 0, видно, что внутри тора скорость положительна (сплошные кривые), с боков - отрицательна, и практически равна 0 во всей остальной области. Распределение параметров Р, р, S, w в плоскости xoz при х = 41, приведённые на 146, показывает, что в центральной области, окруженной тором, Р, р, S_= S - 0.5 слабо возмущены по сравнению с параметрами в дальнем поле, компонента скорости и здесь максимальна. Сечение тора представляет собой высокоэнтропийную зону, где газ вращается, с минимальными значениями Р, р в центре сечения.

Данное вихревое возмущение является организованной структурой, движущейся в потоке газа со своей средней скоростью и имеющей неоднородное распределение параметров внутри себя. Это вносит существенное различие при взаимодействии вихревой структуры (по сравнению с обычной неоднородностью потока) с набегающей ударной волной, так как надо рассматривать процессы лобового бокового или догонного взаимодействия ударной волны с вихревой структурой. Такие задачи возникают при столкновении ударной волны с вихревой системой, образуемой за движущимся летательным аппаратом или с крупномасштабными вихрями, существующими в развитых турбулентных течениях.

В § 4.3 изучается встречное и догонное взаимодействие вихревых структур с ударньми волнами слабой или умеренной интенсивности в двумерной постановке [22]. Двумерный подход обосновывается тем, что хотя концевые вихри и совершают медленные колебания перпендикулярно к направлению основного движения л. а., но период их колебаний достаточно велик. Так что на расстоянии в пределах хорды крыла можно рассматривать взаимодействие ударной волны с цилиндрическим вихревым жгутом, параметры которого не зависят от продольной координаты, а лишь от круговой и радиальной. Такая задача для оценок аэроакустического шума, возникающего в струе газа за движущимся л.а., рассматривалась для слабых волн и одиночного вихря, с фиксированными "твёрдым" ядром и циркуляцией в работе [Ribner H.S., 1986].

В настоящем анализе показано, что при падении слабых волн (АР = 0.04) как при встречном, так и догонном взаимодействиях приращение давления в центре вихревых ядер удваивается по сравнению с ДР. При этом внутри вихревой структуры для встречного взаимодействия, когда поток газа, движущийся между вихревыми ядрами, сталкивается с ударной волной, происходит приращение давления в 3-3,5 раза. Для умеренных интенсивностей волн (ДР = 0.4) при встречном и догонном взаимодействии в центре вихревых ядер происходит приращение давления на ДР. При встречном взаимодействии в центре структуры реализуется максимальный рост давления в 2,75 раза по сравнению с ДР, а при догонном, в зависимости от интенсивности вихревой структуры, ударная волна может выродиться в звуковую.

На рис. 15-16 приведены картины течения газа при встречном и догонном взаимодействиях ударной волны с движущейся вправо вихревой структурой для плоской задачи. Сплошные кривые - изобары, штриховые - линии постоянной завихренности. Анализ результатов показывает, что при догонном взаимодействии суммарная циркуляция вихревой структуры T(t) = Xfii практически не меняется, а при встречном - уменьшается.

На рис. 17 приведены картины пространственных течений газа в виде полей постоянной энтропии в сечении xoz (у = 0) при встречном

взаимодействии ударной волны АВ с движущимся влево тором. При догонном взаимодействии ударная волна интенсивности 1.5, проходя через тор, слабо деформируется и решение здесь не приведено. На рис.17, а, б, в, где приведены картины течения газа при встречном взаимодействии для трёх моментов времени, ударная волна, после прохождения сквозь тор, сильно деформируется, интенсивность её существенно возрастает. При удалении её от тора, в центральной области начинается волновой процесс, в результате которого интенсивность головной волны начинает падать. Это видно на рис. 18а-в, где приведены кривые, описывающие параметры течения Р, р, , Д = 0.2 + (Б -1)10 для тех же моментов времени вдоль линии, проходящей через центр тора параллельно оси 02. Анализ течения газа показывает, что после взаимодействия образуется новая вихревая система в виде тора и высокоэнтропийный след, движущийся за тором.

Рассмотренные в данной главе нестационарные задачи с разрывными начальными данными порождают отрывные решения в виде организованных вихревых структур, движущихся в потоке идеального газа, или в виде вихревых пелен, сходящих с острых кромок обтекаемого тела. Более подробный анализ данного явления представлен в следующей главе.

Пятая глава посвящена изучению отрывных течений идеального газа при нестационарном обтекании тел, построению теории отрыва сверхзвукового потока идеального газа при обтекании выпуклого угла.

В § 5.1 численно в рамках уравнений Эйлера исследовано влияние нестационарных эффектов на аэродинамические коэффициенты летательного аппарата при отклонении его органов управления или всего аппарата.

При совершении л.а. маневра при умеренных сверхзвуковых скоростях, возникают режимы обтекания его с достаточно большими углами атаки. Это особенно относится к малогабаритным высокоманевренным л.а. Кроме того, при умеренных сверхзвуковых скоростях существуют режимы обтекания крыла с дозвуковыми кромками, когда поток газа срывается с передних кромок вдоль вихревой пелены. В этом случае, если крыло будет совершать резкие

колебания, то вихревые пелены, оторвавшись от крыла, будут сноситься потоком. И дальнейшее их взаимодействие друг с другом и поверхностью крыла определяет поведение динамических характеристик крыла.

В настоящей работе [26] численно анализируется поведение по времени коэффициентов подъемной силы, моментов тангажа и крена при резком отклонении органов управления или колебания всего крыла около центра масс для конкретных чисел Струхаля и амплитуды изменения угла атаки.

На рис. 19 представлено поведение Су, т2, тх и ссф (кривые 1-4) для треугольного крыла при увеличении (а) и уменьшении (б) угла атаки на 5°. Начальным значениям стационарного обтекания (углы атаки, стреловидности и скольжения: 5°, 75°, 5°; М = 1.5) соответствуют их значения в момент Т = 0.

При увеличении угла атаки (рис. 19,а) Су растёт; - немонотонно, тх -уменьшается. В момент Т = 3 течение выходит на новое стационарное решение.

При уменьшении угла атаки (рис. 19,6) величина тх практически не меняется в промежутке времени 0 < Т < 1.5 1р. То есть при уменьшении угла атаки до 0, вихри, сходящие с передних кромок крыла, достаточно долго сохраняют свою интенсивность. Величина Су, уменьшаясь до 0 при Т = 0.5^, достигает минимального значения при Т = 1.5 В момент Т = 3.0 возмущения в поле течения затухают.

На рис. 20 представлено гистерезисное решение Су (а) , для крыла, обтекаемого стационарным потоком газа с а0 = 10°, Р = 5°, при совершении колебаний рулей управления с разными частотами. За время 1Р рули, образованные поверхностью, преломленной по координате х, равной половине продольной хорды крыла Ь, отклоняются на 10° от основной поверхности крыла и возвращаются в исходное положение.

Кривая 1 описывает поведение Су когда угол поверхности руля относительно вектора набегающего газа уменьшается от 10° до 0, а кривая 2 -когда этот угол снова возрастет до 10°. Видно, что при угле атаки руля 6° величина Су для двух ветвей решения отличается в 5 раз. Это эффекты существенно нестационарного нелинейного процесса.

При малых числах Sh = 0.18 (кривая 3) обе ветви решения близки между собой. То есть процесс успевает устанавливаться с малым запаздыванием по времени.

В § 5.2 построена теория отрыва сверхзвукового потока идеального газа при нестационарном обтекании им выпуклого угла. Данная проблема впервые была обозначена в экспериментальной работе [Jones D.M., Martin P.M., Thornhill С.К., 1951] при дифракции ударной волны около выпуклого угла. С тех пор проведены многочисленные экспериментальные и расчётные исследования, подтверждающие отрывной характер течения, но не было теории объясняющей этот эффект.

В диссертации изучены две задачи: о дифракции ударной волны на выпуклом угле и внезапном движении потока газа около выпуклого угла со сверхзвуковой скоростью [25-26]. На основе анализа результатов численного счёта, проведённых в рамках нестационарных уравнений Эйлера, была выдвинута гипотеза о квазиодномерности потока газа в пристеночной области перехода от стационарного течения к нестационарному. Так на рис. 21,а в областях 1- 4 параметры газа около стенки описываются практически одномерными уравнениями, т.к. разрывы AB, CD и ЕЕ] перпендикулярны к поверхности стенки, а потоки газа в областях 1 и 2 одномерны. В результате для малых (предотрывных) углов Ô получается нелинейная связь параметров течения газа из кормовой части (области 2, 4) с параметрами в носовой части (1, 3). Используя данную связь при увеличении В, находятся условия, когда возмущения из донной области влияют на течение в носке, т.е. происходит срыв потока с вершины угла. Математически выдвинутая гипотеза сводит рассмотренную двумерную нестационарную задачу к задаче взаимодействия одномерных потоков газа, изучаемых в рамках теории распада произвольного разрыва. Для определения угла 0К, при котором происходит отрыв потока с вершины угла, и угла срыва потока 6S, вдоль которого движется оторвавшийся газ, в диссертации сформулированы два условия: Q]= Dab И М3=1 (5.1)

Первое из которых означает, что ударная волна АВ ( рис. 22а) с увеличением угла 0 дошла до вершины О и информация из донной части может повлиять на отрыв потока от поверхности угла. Второе условие указывает, что это влияние осуществляется, когда поток газа в области 3 дозвуковой.

Показано, что при 0S < 0 < 0К отрыв потока происходит с боковой поверхности угла в виде высокоэнтропийной струи AAjFE, которая закручивается в образующийся вихрь F, что приведено на рис. 21 в. На рис. 22 представлено превращение особенности типа «точки Ферри» в вихрь при движении газа около угла с M = 1.5. 22а) и 226) - изолинии плотности и энтропии около угла раствора 0 = 45°. Образование мощного вихря и изгиб ударной волны при растворе угла 55°( рис. 22 в).

На рис. 23 представлены зависимости и 0S от числа M набегающего потока, полученные теоретически (сплошные кривые) и экспериментальным и численным моделированием (кружочки). Кривые 3, 1 соответствуют Оь а 4, 2 -0S в первой и второй задачах, соответственно. Поведение величин углов срыва 0S, вычисленных в рамках нестационарных уравнений Эйлера, представлено на фигуре кружочками. Анализ данных, представленных на рис. 23, показывает, что теоретические кривые 2 и 4, с уточнением, достаточно точно описывают величину угла срыва 0S при сравнении с данными эксперимента и результатами численного счета. При этом теоретические кривые находятся на 1-3° выше экспериментальных данных.

На рис. 24 приведены фрагменты полей плотности р, полной скорости q, энтропии S и компоненты скорости по оси у в задаче дифракции ударной волны на выпуклом угле, найденные численно для предотрывного режима обтекания. Из рис. 24d видно, что газ в вихре F вращается по часовой стрелке так, что газ на поверхности под вихрем движется к вершине угла (сплошные линии), тормозя набегающий поток из области 1. Верхняя граница высокоэнтропийной зоны AiF, отделяющая область дозвуковых и сверхзвуковых течений газа, является слоем смешения, который при 0 = 0К сходит с вершины угла.

В § 5.3 аналитически показывается, что условие для угла 05, которое ранее найдено из физических соображений, соответствует условию, когда вихревая особенность (в.о.) типа "точки Ферри" всплывает с поверхности. То есть отрыв реализуется вдоль линии срыва, являющейся "следом" вихревой особенности, "всплывшей" с обтекаемой поверхности. Ранее это было получено для отрывного стационарного обтекания конуса. То есть свойство прохождения скорости через звуковое значение является фундаментальным как в стационарных, так и в нестационарных отрывных сверхзвуковых течениях идеального газа.

Выводы

1. В задаче бокового взаимодействия ударной волны с движущимся со сверхзвуковой скоростью телом простой формы найдены существенно нестационарные режимы обтекания, когда нестационарные нагрузки, действующие на поверхность тела, превосходят их стационарные значения в несколько раз.

2. Найдено точное решение задачи затекания ударной волны произвольной интенсивности в полость конечного угла раствора. Для волн умеренной и сильной интенсивности установлен принцип независимости величины максимального давления в вершине полости от интенсивности падающей волны.

3. Обобщена теория рефракции ударных волн на поверхности раздела двух газов с учётом на ней разрыва тангенциальной составляющей скорости. Найдены два класса точных решений задачи о столкновении движущегося со сверхзвуковой скоростью клина с границей раздела двух газов.

4. Исследована теория распада двумерного произвольного разрыва при изломе его первоначальной границы на конечный угол. Решена задача о встречном и догонном взаимодействии ударных волн с вихревыми структурами, образующимися за летательными аппаратами.

5. Построена теория отрыва нестационарного потока идеального газа при сверхзвуковом обтекании выпуклого угла за счёт инерционных сил. Теоретически, показано, как в потоке газа формируются нестационарные силы, вызывающие отрыв невязкого потока газа от обтекаемой поверхности.

Основные публикации по теме диссертации.

1. Тугазаков Р.Я. Взаимодействие ударной волны с клином, движущимся со сверхзвуковой скоростыо//Уч. Зап. ЦАГИ. 1971. Т. II, № 2. С. 34-39.

2. Тугазаков Р.Я. Дифракция ударной волны на движущемся клине//Уч. Зап. ЦАГИ. 1975. Т. VI. № 1. с. 80-84.

3. Тугазаков Р.Я. Систематические расчёты обтекания движущихся конусов при падении на них ударной волны/А^ч, Зап. ЦАГИ. 1974. Т. V. № 3. С. 98-103.

4. Тугазаков Р.Я. Расчёт нестационарных нагрузок, действующих на поверхность движущегося тела при падении на него ударной волны//Уч. Зап. ЦАГИ. 1981. Т. XII, № 1. С. 134-138.

5. Тугазаков Р.Я. Нестационарная пространственная задача о падении ударной волны на движущееся плоское треугольное. крыло/Лруды ЦАГИ, 1978. Вып. 1917. С. 32-37.

6. Голубкин В.Н., Тугазаков Р.Я. Влияние излома поверхности треугольного крыла на его обтекание и аэродинамические характеристики при сверхзвуковых скоростях//Ученые зап. ЦАГИ. 2001. Т. XXXII. № 1-2. С. 13-21.

7. V. N. Golubkin, G. N. Dudin, R. Ja. Ttigasakov. Supersonic Flow Past a Bent Delta Wings ant Its Aerodynamik Characteristics. Fluid Mech. 2002. V. 37. № 1. p. 164-175.

8. Голубкин B.H., Дудин Г.Н., Тугазаков Р.Я. Обтекание и аэродинамические характеристики треугольного крыла с изломом поверхности в сверхзвуковом потоке газа//Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 1. С. 175-186.

9. Товбин Ю.К., Тугазаков Р.Я. Микродинамика начальных этапов процессов контакта жидкости с пластиной в сильнонеравновесных условиях//Изв. РАН. ТОХТ. 2002. Т. 36. № 6. С. 563-576.

10. Тугазаков Р.Я. Усиление ударной волны при вхождении её в клиновидную полость//Изв. АН СССР, МЖГ. 1987. № 5. С. 123-129.

11. Тугазаков Р.Я. Фокусирование ударной волны в клиновидной полости//Сб. трудов «Нестационарные течения газов с ударными волнами». Ленинград, ФТИ им. А.Ф. Иоффе АН СССР. 1990. С. 98-108.

12. Тугазаков Р.Я. Усиление ударных волн умеренной и сильной интенсивности при вхождении в клиновидную полость//Сб. трудов «Фундаментальные проблемы физики ударных волн». Черноголовка. 1988. Т. 2. С. 181-183.

13. Тугазаков Р.Я. Систематические расчёты нестационарных моментов и нагрузок, действующих на тело при падении на него ударной волны//Сб. трудов «Нестационарные течения газа с ударными волнами». Труды ЦАГИ. 1988. Вып. 2382. С.

14. Тугазаков Р.Я. К общей теории рефракции ударных волн//Труды ЦАГИ. Сб. работ «Исследование нестационарных течений газа с ударными волнами». 1983. Вып. 2184. С. 50-55.

15. Тугазаков Р.Я. Задача о взаимодействии движущегося со сверхзвуковой скоростью клина с границей раздела двух газов// Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. № 3. С. 92-96.

16. Тугазаков Р.Я. Точное решение задачи взаимодействия движущегося со сверхзвуковой скоростью клина с границей раздела двух газов//ПМТФ. 1983. № 5. С. 94-98.

17. Тугазаков Р.Я. Точные решения задачи взаимодействия движущегося тела с границей раздела двух газов// Труды ЦАГИ. Сб. работ. «Исследование нестационарных течений газа с ударными волнами». 1983. Вып. 2184. С. 56-64.

18. Тугазаков Р.Я. Численное решение задачи о проникании движущегося со сверхзвуковой скоростью тела в газ другой плотности// Уч. Зап. ЦАГИ. 1980. Т. XI. №4. С. 139-144.

19. Тугазаков Р.Я. Исследование схода газодинамического разрыва с кромки пластины в рамках уравнений Эйлера//Уч. Зап. ЦАГИ. 1987. Т. XVIII. № 1. С. 9-17.

20. Тугазаков Р.Я. Исследование задачи о распаде двумерного произвольного разрыва//Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. № 2. С. 159-164.

21. Тугазаков Р.Я. Механизм образования вихрей в нестационарном потоке идеального газа//Уч. Зап. ЦАГИ. 1989. Т. XX. № 2. С. 81-86.

22. Тугазаков Р.Я. Нестационарные взаимодействия волн слабой и умеренной интенсивности с вихревой структурой, движущейся в потоке газа//Уч. Зап. ЦАГИ. 1992. Т. XXIII. № 2. С. 47-54.

23. Тугазаков Р.Я., Голубкин В.Н. и др. Оптимальные формы элементов сверхзвуковых летательных аппаратов. // «ЦАГИ - основные этапы научной деятельности 1993-2003» под общ. научн. редак. Г.С.Бюшгенса. Москва. Физматлит, 2003, с. 409-414.

24. Тугазаков Р.Я. Влияние нестационарных эффектов на отрыв сверхзвукового потока газа с кормовой кромки обтекаемого тела//Уч. Зап. ЦАГИ. 2004. Т. XXXV. № 1-2. С. 21-31.

25. Тугазаков Р.Я. Теория нестационарного отрыва сверхзвукового потока газа при обтекании выпуклого угла//Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 3. С. 169-179.

26. Тугазаков Р.Я. Влияние нестационарности на аэродинамические коэффициенты летательных аппаратов при отклонении его органов управления// Ученые записки ЦАГИ, 2008, T.XXXIX, №4. С. 14 - 20

27. Тугазаков Р.Я., Наумов A.M. Расчет течения в ударной трубе вблизи раскрывающейся диафрагмы. Ученые записки ЦАГИ. 1976, т.7, №2. С.154 -159

28. Тугазаков Р.Я. Фундаментальное свойство отрывных течений в нестационарных сверхзвуковых потоках идеального газа.//Уч. Зап. ЦАГИ. 2010. T.XLI, №3. С.24 —30

Plie. 1 Падение ударной волны I (момент t = 0) и П ( t = 1) на движущийся клин. CD - начальный головной скачок. ^ - угол падения волны I. -угол раствора клина, р - угол начального головного скачка.

г

-Cr-

0.1

' __________х rn,

3

Рис.2

5 Р

В Рнс.З

Рис. -I

о s- 5

Рис. 5 Сравнение качества крыла К, обтекаемого идеальным (1) и вязким (2) газами в зависимости от угла отклонения носовой части

Mit)

Plie. 6

PlIC.P

M, А

Рис. 10

V

í\o .

___ 0=0; (V0,5

^UPr'OJ

Рис.11 e Рис. 12

Рис. 19 Установление по времени характеристик крыла при увеличении (а) и уменьшении (6) угла атаки на 5°. ЗЬ = 1.5 Кривые 1-4. Су, т„ шн а© - закон изменения угла атаки в градусах.

РИС. 20 Гистерезисные решения для с вер jo Букового обтекания: Sil = 0.57 (кривые 1, 2), Sh = 0.18 (кривая 3)

Введение.

1. Взаимодействие ударных волн с движущимися телами.

1.1. Определение нестационарных нагрузок, действующих на поверхность простых тел, при боковом падении на них ударных волн.

1.1.1 Численное моделирование взаимодействия движущихся тел с ударными волнами при произвольном угле падения на поверхность тела.

1.1.2. Оценки максимального нестационарного давления на поверхности движущегося тела в рамках гиперзвукового закона плоских сечений.

1.2. Нестационарная пространственная задача о падении ударной волны на движущееся треугольное крыло.

1.3. Способ увеличения аэродинамического качества крыла, движущегося со сверхзвуковой скоростью, за счет интерференции зд волн при деформации его поверхности.

Выводы по главе 1.

2. Фокусирование ударных волн в местах излома обтекаемой поверхности.

2.1 Усиление ударной волны в клиновидной полости.

2.2. Точное решение задачи затекания ударной волны ^ произвольной интенсивности в полость конечного угла раствора.

2.3. Численное решение и обобщение результатов усиления ударной волны в полости конечного угла раствора.

2.4 Модификация численного метода Лакса - Вендроффа для расчета нестационарных задач взаимодействия сильных газодинамических разрывов, имеющихся в поле течения.

Выводы по главе 2.

3. К общей теории рефракции ударных волн.

3.1. Обобщение теории рефракции ударных волн на поверхности двух газов.

3.2. Два класса точных решений задачи о столкновении движущегося со сверхзвуковой скоростью клина с границей раздела газов.

3.3 Численное решение задачи о проникании движущегося со сверхзвуковой скоростью тела в газ другой плотности.

Выводы по главе 3.

4. Некоторые вопросы теории распада произвольного двумерного разрыва.

4.1. Аналитическое и численное исследования задачи о распаде произвольного двумерного разрыва при конечном угле излома первоначальной границы разрыва.

4.2. Механизм образования вихрей в нестационарном потоке сжимаемого идеального газа.

4.3. Встречное и догонное взаимодействие вихревых структур с ударными волнами.

Выводы по главе 4.

5. Отрывные течения идеального газа при нестационарном обтекании

5.1 Влияние нестационарности на обтекание крыла, движущегося со сверхзвуковой скоростью.

5.2 Теория отрыва нестационарного потока идеального газа при сверхзвуковом обтекании выпуклого угла.

5.3 Фундаментальное свойство отрывных течений в нестационарном сверхзвуковом потоке идеального газа.

Выводы по главе 5.

Выводы.

Вопросы безопасности полета летательных аппаратов при сверхзвуковых скоростях требуют решения задач взаимодействия ударных волн с движущимися телами и неоднородностями, встречающихся в атмосфере. К данному классу начально - краевых задач с неизвестными движущимися границами (поверхности сильного разрыва) относятся, во-первых, взаимодействие падающей ударной волны с газодинамическими разрывами, реализующимися около движущегося тела, приводящее к существенному изменению результирующего потока, обтекающего тело. Во - вторых, воздействие нестационарного импульса, созданного ударной волной, на органы управления и поверхности в местах, где возникают значительные пиковые тепловые или аэродинамические нагрузки. В - третьих, рефракционные задачи взаимодействия возмущений от движущегося тела с неоднородностями, встречающимися в атмосфере, или с вихревыми следами, образующимися от другого движущегося тела. Необходимость решения этих пространственных нестационарных задач для определения, как интегральных аэродинамических характеристик летательного аппарата, так и локальных нагрузок на его поверхности обуславливает актуальность данных исследований.

В первоначальных работах, посвященных этому вопросу, аналитические решения обычно искалось для слабых волн. Так в работах [3, 4] вычисляется величина импульса нестационарного давления, действующая на тела в жидкости и газе. В работах [7, 8, 10, 51, 70] исследуются задачи взаимодействия слабой волны с клином или пластиной. Дифракция волны конечной интенсивности на тонком клине изучено в [121]. Обтекание неподвижных или движущихся со сверхзвуковой скоростью крыльев волнами слабой интенсивности рассмотрено в [30, 31, 32, 69, 97].

С развитием вычислительной техники стало возможно решать задачи взаимодействия волн умеренной и сильной интенсивности с неподвижными

2, 6, 20, 33, 48, 54, 58, 83, 110, 118, 122, 136 - 139, 141, 143 - 144] и движущимися телами [13, 16, 18, 28, 34, 61, 72] .

Экспериментальные работы по этой теме ограничиваются в основном задачами дифракции ударной волны на неподвижных телах [1, 50,53, 55, 56, 95, 123, 124 - 126]. Отсутствие работ на движущихся телах объясняется тем, что экспериментальное моделирование данных задач связано со значительными трудностями методического характера и требует больших затрат [87]. Поэтому в работе для решения нестационарных задач взаимодействия наиболее приемлемо численное моделирование.

Так как процессы взаимодействия скоротечны, то роль эффектов нестационарности преобладает над другими факторами, что позволяет решать задачи взаимодействия волн умеренной и сильной интенсивности с движущимися телами в рамках нестационарных уравнений Эйлера. Изучаются течения невязкого нетеплопроводного газа.

Существенная нестационарность процессов позволяет в исключительных случаях аналитически решить ряд принципиальных нелинейных задач газодинамики. Например, автором аналитически решены: задача усиления ударной волны умеренной интенсивности в сужающейся полости; создана теории отрыва нестационарного сверхзвукового потока газа с задней кромки обтекаемого тела за счет сил инерции; получены точные решения в задаче взаимодействия движущегося со сверхзвуковой скоростью клина с границей раздела двух газов.

Цель работы. Исследование не изученных явлений, возникающих при нестационарном взаимодействии ударных волн со сверхзвуковой скоростью телами, определение локальных максимальных нагрузок и интегральных аэродинамических сил, действующих на движущиеся объекты. Научная новизна. Основная часть результатов, получена автором впервые и не имеют аналогов в отечественной и зарубежной литературе. К такого рода результатам следует отнести: обобщение теории рефракции на поверхности раздела двух газов с учетом их скорости движения; получение двух классов точных решений задачи о столкновении тонкого тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью, с границей раздела газов; получение точного решения в задаче затекания волны умеренной интенсивности в полость с конечным углом раствора; установление принципа независимости решения для величины максимального давления в окрестности угловой точки от интенсивности падающей волны; создание теории отрыва нестационарного потока идеального газа с задней кромки обтекаемого тела. Практическая ценность. В работе численными и аналитическими методами получены решения для конкретных задач нестационарной аэродинамики. Точные решения, найденные в работе, позволяют выявить роль нестационарных эффектов в задачах взаимодействия, служат проверкой как экспериментальных, так и численных методов моделирования нестационарных процессов.

Результаты, полученные в работе, использовались для инженерных оценок максимальных нагрузок, возникающих на летательных аппаратах, находящихся как в условиях полета, так и на стоянке.

Достоверность представленных расчетных и аналитических результатов проверялась путем сравнения с имеющимися результатами других авторов. В частности, метод численного моделирования проверялся получением ранее известных решений. Кроме того, полученные точные решения нелинейных задач рефракции, усиления ударных волн при затекании в полость, срыва сверхзвукового потока с кромок обтекаемого тела дали возможность всесторонне апробировать численные методы расчета и воспроизвести картины течений с приемлемой точностью.

Личный вклад автора.

Все параграфы диссертации, кроме §§ 1.3, содержат результаты, полученные автором лично. §§ 1.3 написан на основе результатов совместной работы с В. Н. Голубкиным и Г. Н. Дудиным.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 7 - ой и 8 -ой конференциях по аэродинамике гиперзвуковых скоростей ЦАГИ (1972, 1974г.г.), на школе - семинаре " Фундаментальные проблемы физики ударных волн" в Азау, 1987г., на семинаре " Распространение ударных волн в неоднородной среде" в ИВТАН АНСССР в 1988г., Юбилейной научно -технической конференции НИО - 8 ЦАГИ по аэродинамике больших скоростей в Жуковском, 1989г., на Всесоюзном семинаре - совещании "Нестационарные взаимодействия ударных волн", Ташкент, 1989г., на "Гагаринских научных чтениях по космонавтике и авиации" в Москве, 1991г., 1995г., на 7 - ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в Москве, 1991г., на Школах - семинарах ЦАГИ "Механика жидкости и газа" в 1990 - 1992 и 1994г.г., на Международной конференции "Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке" в ЦАГИ, 1994г., на школе - семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" под руководством Г.Г. Черного, в Туапсе, 2001 г., на школе - семинаре ЦАГИ "Аэродинамика летательных аппаратов" в 2003 г., на семинарах ЦАГИ (руководители В.В. Сычев, В.Я. Нейланд) в 1995, 2003, 2008 г., на 12 - ой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Владимир в 2003 г., на 4, 5, 6, 7 Международном школе-семинаре "Модели и методы аэродинамики ", г. Евпатория в 2004 - 2007 г.г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура,диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав и выводов и списка литературы. Она содержит 195 страниц текста, включая 82 рисунка и 3 таблицы по тексту диссертации. Список цитированной литературы насчитывает 150 наименований.

Выводы

1. В рамках гиперзвукового закона плоских сечений, найдены существенно нестационарные режимы обтекания, когда нестационарные нагрузки, действующие на поверхность Л.А., превосходят их стационарные значения в несколько раз.

2. Найдены точные решения задачи затекания ударной волны произвольной интенсивности в полость конечного угла раствора. Установлен принцип независимости безразмерной величины максимального давления в вершине полости от интенсивности падающей волны.

3. Обобщена теория рефракции ударных волн на поверхности раздела двух газов с учётом на ней разрыва тангенциальной составляющей скорости. Найдены два класса точных решений задачи о столкновении движущегося со сверхзвуковой скоростью клина с границей раздела двух газов.

4. Исследована теория распада двумерного произвольного разрыва при изломе его первоначальной границы на конечный угол. Решена задача о встречном и догонном взаимодействии ударных волн с вихревыми структурами и концевыми вихрями, образующимися за движущимися Л. А.

5. Построена теория отрыва нестационарного потока идеального газа при сверхзвуковом обтекании выпуклого угла: а) теоретически, для данных чисел М набегающего потока, найдены значения углов, при которых происходит срыв потока газа с кромки обтекаемого тела, и углы срыва потока, вдоль которых движется оторвавшийся газ. б) определены нестационарные силы, вызывающие срыв потока с поверхности тела в виде слоя смешения, в котором развивается «свободная» турбулентность.

1. Иванов А.Н., Чернявский С.Ю. Исследование взаимодействия сферической ударной волны с телами.// ПМТФ, №6, 1969.

2. Колган В. П., Фонарев А. С. Установление обтекания при падении ударной волны на цилиндр и сферу//Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. № 5. С. 97-103.

3. Никольский A.A., Смирнов В. А. Действие ударной волны на препятствие.// Инженерный жур., №1, 1962.

4. Голубинский А.И., Коган М.Н. Об импульсе нестационарного давления, действующего на тела в жидкости или газе.// Изв. АН СССР. МЖГ. 1970, № 6.

5. Голубинский А. И. Набегание ударной волны на клин, движущийся со сверхзвуковой скоростью.// ПММ, 1964, т. 28, вып. 4, с. 778-779.

6. Тугазаков Р.Я. Расчёт нестационарных нагрузок, действующих на поверхность движущегося тела при падении на него ударной волны//Уч. Зап. ЦАГИ. 1981. Т. XII, № 1. С. 134-138.

7. Бежанов К. А. Дифракция ударной волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью. // ПММ, 1969, т. 33, вып. 4.

8. Агога N. L. An integral transform method for shock - shock interaction studies.// J. Fluid Mech.,1968, V. 34, № 2, p. 209-228.

9. Овсянников JI. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

10. Тер Минасянц С. М. Задача о дифракции плоской волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью.// Докл. АН СССР, 1964, т. 155, №4.

11. И. Inger G.R. Blast wave impingement on a slender wedge moving at hypersonic speeds.//AIAA, vol. 1, № 3, 1966.

12. Хейз У. Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Изд-во иност. лит. 1962. 608 с.

13. Тугазаков Р. Я. Взаимодействие ударной волны с клином, движущимся со сверхзвуковой скоростью. //Ученые записки ЦАГИ, т. И, № 2, 1971.С. 34-39.

14. Курант Р., Фридрикс К. О. Сверхзвуковое течение и ударные волны М., Изд. иностр. лит., 1961.

15. МизесР. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М , Изд. иностр. лит., 1951.

16. Тугазаков Р.Я. Дифракция ударной волны на движущемся клине//Уч. Зап. ЦАГИ. 1975. Т. VI. № 1. С. 80-84.

17. Годунов С. К. Разностный метод расчета ударных волн. //Успехи матем. наук, вып. 1, № 12, 1957.

18. Kutler P. and Sakell L. Three Dimensional, Shock - on - Shock Interaction Problem// AIAA Paper 75 - 49. 1975.

19. Lax P. D. and Wendroff B. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy.// Comm. Pure and Appl. Math., vol 17, 1964.

20. Moretti A. Time Different Comput. Method for Blunt Body Flowes// AIAA Journal, vol. 4, № 12, 1966.

21. MacCormack R. W. A numerical method for Solving the Equations of Compressible Viscous Flow// AIAA Journal, vol. 20, № 9, 1982.

22. Белошицкий А. В., Крикунов В. В., Липницкий Ю. М., Ляхов В. Н. Исследование различных газодинамических течений с помощью явных разностных схем сквозного счета.// Труды НИИ механики МГУ, 1973, № 19.

23. Ephraim L. Rubin and Samuel Z. Burstein. Difference methods for the inviscid and viscous equations of a compressible gas.// J. of Сотр. Physics, 2, 1967.

24. Русанов В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений.// ДАН СССР, т. 180, № 6, 1968.

25. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

26. Колган В. П. Конечно разностная схема для расчета двумерных разрывных решений нестационарной газовой динамики.// Ученые записки ЦАГИ, т. VI, № 1, 1975. С. 9-14

27. Fursenko A., Sharov D., Timofeev et al. // ShockWaves@Marseille IV. 1995. P. 371-376.

28. Тугазаков Р.Я. Систематические расчёты обтекания движущихся конусов при падении на них ударной волны//Уч. Зап. ЦАГИ. 1974. Т. V. № 3. С. 98-103.

29. Ralph A., Alpher R. and Rubin I. Normal reflect of shock waves from moving boundaries //J. Applied Physics, v. 25, № 3, 1954.

30. Майлс Д ж. У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М., Гос. изд. физ.-мат. лит., 1963.

31. Казаков В. А. Об определении импульсов сил давления на треугольных крыльях, движущихся со сверхзвуковой скоростью, при падении на них слабых ударных волн. //Ученые записки ЦАГИ, т. VI, № 6, 1975.

32. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М., Наука, 1971.

33. Тугазаков Р. Я. Решение методом установления задачи о пространственном обтекании треугольного крыла с дозвуковыми кромками. //Ученые записки ЦАГИ, 1975. Т. 6. № 4. С. 64-66.

34. Тугазаков Р. Я. Нестационарная пространственная задача о падении ударной волны на движущееся плоское треугольное крыло // Тр. ЦАГИ. 1978. Вып. 1917. С. 32-37.

35. Pittman J.L. Supersonic airfoil optimization// J.Aircraft 1987. V. 24. № 12. P. 873-879.-18536. Таковицкий С.А. О выборе системы геометрических параметровоптимизируемого крыла//ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 825-833.

36. Голубкин В.Н., Негода В.В. Оптимизация пространственной формы несущих тел малого удлинения при гиперзвуковых скоростях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1991. Т. 31. №12. С. 1858-1870.

37. Тугазаков Р.Я. К общей теории рефракции ударных волн//Труды ЦАГИ. Сб. работ «Исследование нестационарных течений газа с ударными волнами». 1983. Вып. 2184. С. 50-55.

38. Тугазаков Р.Я. Усиление ударной волны при вхождении её в клиновидную полость//Изв. АН СССР, МЖГ. 1987. № 5. С. 123-129.

39. Dunavant J.C., Narayn K.Y., Walberg G.D. A survey of leeside flow and heat transfer on delta planform configurations // AIAA Paper. 1976. № 118. P. 1-13.

40. Chang I Shin. Three - dimensional supersonic internal flows// AIAA Paper. 1976. №423. P. 1-15.

41. Burstein S. Z. Finite difference calculations for hydrodynamic flows containing discontinuities // J. Comput. Phys. 1966. V. 1. № 2. P. 198-222.

42. Ковеня B.M., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.304 с.

43. Майкапар Г.И. Отрывные течения у подветренной стороны треугольного крыла и тела вращения в сверхзвуковом потоке // Учен, зап. ЦАГИ. 1982. Т. 13. № 4. С. 22-33.

44. Дудин Г.Н. Расчет обтекания треугольного крыла сверхзвуковым потоком вязкого газа // Тр. ЦАГИ. 1988. Вып. 2376. С. 30-43.

45. Шманенков В.Н. О характеристиках пристеночных турбулентных пульсаций давления в сверхзвуковом пограничном слое.//Модели и методы Аэродинамики. МЦНМО. Москва. 2009г., стр. 173-174

46. МасСогтаск R. W., Baldwin B.S. A numerical method for solving the Navier- Stokes equation with application to shock boundary layer interactions //AIAAPaper. 1975. № l.P. 1-8.

47. Белоцерковский O.M., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод "крупных частиц" для решения задач газовой динамики. // Журн. вычислит, матем. и матем. физ. 1971. Т 11. № 1

48. Гувернюк С. В. Дифракция акустической волны внутри полого клина // Науч.тр. Ин-та механ. МГУ. 1975. № 41. С. 115-129.

49. Белоконъ В. А., Петрухин А. В., Проскуряков В. А. Вхождение сильной ударной волны в клиновидную полость // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1965. Т. 48. Вып. 1. С. 50-60.

50. Арутюнян Г. М. О набегании ударной волны на клин, движущийся со сверхзвуковой скоростью.//Изв. АН АССР. МЖГ, 1968, № 4. С. 166.

51. Арутюнян Г. М., Карчевский J1. В. Отраженные ударные волны. М.: Машиностроение, 1973. 376 с.

52. Баженова Т. В., Гвоздева JI. Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн.М.: Наука, 1977. 274 с.

53. Ting L., Ludloff H.F. Aerodynamics of blast.// J. Aeronaut. Sci. 1951. V. 18. №2. P. 143-144.

54. Setchell R. E., Storm E., Sturtevant B. An investigation of shock strengthening in a chemical convergent channel// J. Fluid Mech. 1972. V. 56. №3. P. 505-522. ~

55. Skews B. W. Shock shock reflection //CASI Trans. 1971. V. 4. № l.P. 16- 19.

56. Сагомонян А. Я. Отражение ударной волны от внутренней поверхности полного конуса // Вестн. МГУ. Математика, механика. 1976. № 1. С. 7782.

57. Тугазаков Р. Я. Систематические расчеты нестационарных моментов и нагрузок, действующих на тело при падении на него ударной волны. //

58. Труды ЦАГИ. Сборник "Нестационарные течения газа с ударными волнами" 1988. Вып. 2382.

59. Рыжов О.С., Христианович С.А. О нелинейном отражении слабых ударных волн // ПММ. 1958. Т. 22, вып. 5.

60. Наумов А. М., Тугазаков Р. Я. Расчет течения в ударной трубе вблизи раскрывающейся диафрагмы. //Ученые записки ЦАГИ, т. 7, № 2, 1976.

61. Тугазаков Р. Я. Численное решение задачи о проникании движущегося со сверхзвуковой скоростью тела в газ другой плотности.//Ученые записки ЦАГИ, т. 11, № 4, 1980.

62. Courant R., Friedrichs К. О. Interaction of shock and rarefaction waves in one-dimensional motion.// Office Sci. and Develop. AMP Rept., 38. JR. 1948.

63. Polachek H., Seeger R. J. On shock-wave phenomena: Interaction of shock waves in gases.// Proc. Symposia Appl. Math., v.l New York: Amer. Math. Soc., 1949, p. 119-144.

64. Polachek H., Seeger R.J. Regular reflection of shock in ideal gases.//Bur. Ord. Explosives Research Rept., 13, 1944.

65. Taub A. H. Reflection of plane shock waves. // Phys. Rev., v. 72, № 51, 1947.

66. Henderson L. F. On the Confluence of Three Shock Waves in a Perfect Gas// The Aeronautical Quarterly, May. 1964.

67. Polachek H., Seeger R. J. On shock-wave phenomena. Refraction of shock waves at a in gaseous interface.// J. Rhys. Rev., vol. 84. № 922. 1951.

68. Яковлев Ю.С. Гидродинамика взрыва. Ленинград: Судпромгиз, 1961. 316 с.

69. Тер-Миносянц С. М. Задача о сверхзвуковом обтекании нижней поверхности треугольного крыла.// Изв. АН СССР. МЖГ, 1966, № 6.

70. Тугазаков Р. Я. Задача о взаимодействии движущегося со сверхзвуковой скоростью клина с границей раздела двух газов // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. № 3. С. 92-96.

71. Тугазаков Р.Я. Точное решение задачи взаимодействия движущегося со сверхзвуковой скоростью клина с границей раздела двух газов//ПМТФ. 1983. № 5. С. 94-98.

72. Кочин Н. Е. К теории разрывов в жидкости//Собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1949. Т. 2. С. 5-42.

73. Тугазаков Р.Я. Исследование задачи о распаде двумерного произвольного разрыва. // Изв. АН СССР. МЖГ, 1989, № 2, С. 159164.

74. Козманов М. Ю. К задаче о распаде двумерного разрыва // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1978. Т. 9. № 2. С. 60-75.

75. Тугазаков Р. Я., Фонарев А. С. Начальная стадия столкновения взрывных волн // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. № 5. С. 41-48.

76. Тещуков В. М. Распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности//ПМТФ. 1980. № 2. С. 126-133.

77. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1954. 795 с.

78. Тещуков В. М. Автомодельная задача о распаде двумерного разрыва// ПМТФ. 1972. № 2. С. 29-38.

79. Шуршалов Л. В. Об одном классе двумерных нестационарных течений с ударными волнами//Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 2. С. 69-74.

80. Тугазаков Р. Я. Механизм образования вихрей в нестационарном потоке идеального газа // Ученые записки ЦАГИ.— 1989. Т. 20, № 2.

81. X о ш и Мин, У э р р е П. Возмущенная в свободных сдвиговых слоях. М.: Мир, Механика, 42, 1987.

82. Pozrikidis С. The nonlinear instability of Hill's vortex //J Fluid Mech. 1986.vol. 168.

83. Липницкий Ю. M. , Красильников А. В. , Покровский A. H. , Шманенков В. H. Нестационарная аэродинамика баллистического полета. М.: Физматлит. 2003. 174 с.

84. Browand F.K., Но С. The mixing layer: an example of quasi two -dimensional turbulence // J. Mec., 2.1983.

85. Picone J. M., Boris J. P. Vorticity generation by shock propagation through bubbles in a gas // J. Fluid Mech.-— 1988, vol. 189.

86. Ribner H. S. Cylindrical sound wave generated by shock vortex interaction// AIAA J. — 1986, v. 23, N 11.

87. P а о S. P., S a 1 a s M. D. A numerical study of two- dimensional shock vortex interaction// AIAA Paper.— 1981. N 1205.

88. Moore D. W., Pullin D. I. The compressible vortex pair//J. Fluid Mech.— 1987, v. 185.

89. Виноградова M. В., Руденко O.B., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. 384 с.

90. Глотов Г.Ф. Особенности зарождения и развития зон рециркуляционного течения в сдвиговых слоях сверхзвуковых потоков.//ПМТФ. 1995. Т.36. №5. С. 30-39

91. Шугаев В.Ф. Взаимодействие ударных волн с возмущениями. М., 1983.

92. Тугазаков Р.Я. Нестационарные взаимодействия волн слабой и умеренной интенсивности с вихревой структурой, движущейся в потоке газа//Уч. Зап. ЦАГИ. 1992. Т. XXIII. № 2. С. 47-54.

93. Ashworth J., Crisler W., Luttges M. Vortex flows created by sinusoidal oscillation of the three dimensional wings// AJAA - 89 - 2227 - CP.

94. Колинько К.А., Храбров A.H. Экспериментальные исследования аэродинамических характеристик модели при динамических выходах на сверхбольшие углы атаки// Уч. Зап. ЦАГИ. 2004. Т.35, №3-4. С. 13-19

95. Ericsson L. Е., King Н. Н. Rapid prediction of high alpha unsteady aerodynamics of slender - wing aircraft. // J. Aircraft. V.29, №1. 1992. P.P. 85-92

96. Ekaterinaris J. A. Compressible studies on dynamic stall.// AJAA 89 -0024.

97. Hassan A. A., Sankar L. N. Separation control using moving surface effects: a numerical simulation. J. Aircraft. V.29. №1. 1992. P.P. 131 139

98. Белоцерковский С. M., Ништ М. Н. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978.

99. Виноградов Ю.А., Жук А. Н., Колинько К.А., Храбров А.Н. Учет динамики разрушения вихрей при математическом моделировании нестационарных аэродинамических характеристик треугольного крыла//Уч. Зап. ЦАГИ. 1997. Т.28, №1. С. 105-120

100. Тугазаков Р.Я. Влияние нестационарности на аэродинамические коэффициенты летательных аппаратов при отклонении его органов управления// Ученые записки ЦАГИ, 2008, T.XXXIX, №4. С. 14 20

101. Тугазаков Р.Я. Влияние нестационарных эффектов на отрыв сверхзвукового потока газа с кормовой кромки обтекаемого тела. Уч. Зап. ЦАГИ , 2004, т.35, №1-2, стр.21-31

102. Голубкин В.Н., Дудин Г.Н., Тугазаков Р.Я. Обтекание и аэродинамические характеристики треугольного крыла с изломом поверхности в сверхзвуковом потоке газа//Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 1. С. 175-186.

103. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть 1. М., «Высшая школа», 1976, 384с.

104. Никольский А. А. О «второй» форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела. //ДАН СССР, 1957, т. 116, № 2.

105. Никольский А. А., Бетяев С. К., Малышев И. П. О предельной форме отрывного автомодельного течения идеальной жидкости.— В кн.: «Проблемы прикладной математики и механики». — К 60-летию акад. А. А. Дородницына. М.: Наука, 1971.

106. Ильичев К. П., Постоловский С. Н. Расчетное исследование нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 2.

107. Судаков Г. Г. Расчет некоторых автомодельных трехмерных отрывных течений. //Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. 6, № 2.

108. Бетяев С. К., Гайфуллин А. М. Течение в окрестности центра спиральной свободной границы.// Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14, №6.

109. Korst Н. Н. A theory for base pressures in transonic and supersonic flow // J. Appl. Mech. 1956. Vol. 23.

110. Tanner M. Theoretical prediction of base pressure for steady base flow //Progr. Aerospace Sei. 1973. Vol. 14.

111. Tanner M. Two different theoretical approaches to the base pressure problem in two-dimensional super sonic flow.// Aeronautical Quarterly. 1978. v.29. P. 114-130

112. Пб.Гогиш JI.B., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течения. М.: Наука, 1979.

113. Гогиш Л.В., Нейланд В.Я., Степанов Г.Ю. Теория двумерных отрывных течений.- В кн.: Гидромеханика. Итоги науки и техн. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1975, т. 8. С. 5 73.

114. Минайлос А.Н. Расчет поля сверхзвукового течения с вихрями за тонким прямоугольным крылом. //Ученые записки ЦАГИ, 1978, т. 9, № 5.

115. Griffith W. С. Shock waves // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 106.

116. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1987, 840с.

117. Lighthill М. J. The diffraction of a blasts. 1. //Proc. Roy. Soc. London. Ser. A., 1949. V.198, N 1055. P. 454-470.

118. Hillier R. Computation of shock wave diffraction at a ninety degrees convex edge. // Shock Waves. 1991. V. 1. № 2. P. 89-98.

119. Jones D.M., Martin P.M., Thornhill C.K. A note on the pseudostationary flow behind a strong shock diffracted or reflected at a corner. // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A., 1951. V.209, N 1097. P. 238-240.

120. Баженова T.B., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. М.: Наука, 1977. 274 с.

121. Баженова Т.В., Базаров С.Б., Булат О.В., Голуб В.В., Шульмейстер A.M. Экспериментальное и численное исследование ослабления ударных волн при выходе из плоского и осесимметричного каналов. // Изв. РАН. МЖГ, 1993. № 4. С. 204-207.

122. Тарнавский Г.А., Хоничев В.Н., Яковлев В.И. Дифракция ударной волны на прямом угле и на выходе из плоского канала. // Изв. СО АН СССР. Сер. Техн. Наук, 1974. Вып.2. № 8. С. 56-65.

123. Ekaterinaris J.A. Compressible studies on dynamic stall. // AIAA Paper. 1989. № 89-0024. P.9.

124. Ericson L.E., King H.H. Rapid prediction of high alpha unsteady aerodynamics of slender-wing aircraft. // J. Aircraft. 1992. V. 29, N 1. P. 85-92.

125. Тугазаков Р.Я. Теория нестационарного отрыва сверхзвукового потока газа при обтекании выпуклого угла//Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 3. С. 169-179.

126. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6.

127. Гидродинамика. М.: Наука, 1988., 736 с.

128. Черный Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

129. Антонов А. Н., Купцов В. М., Комаров В. В. Пульсации давления при струйных и отрывных течениях. М.: Машиностроение. -1990.

130. Fletcher C.A.J. Vortical Singularity behaind a Highly Yawed Cone// AIAA Journal. 1975. V. 13. No. 8. P. 1073-1078

131. Сагомонян А.Я. Поручиков В.Б. Пространственные задачи неустановившегося движения сжимаемой жидкости. Изд во МГУ. 1970. 120с.

132. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.

133. Берёзкина М.К., Красовская И.В., Офенгейм Д.Х. Дифракция двухударной конфигурации отражения на выпуклой цилиндрической поверхности//ЖТФ. 2006. Т.76. Вып.7. С. 8-14.

134. Берёзкина М.К., Красовская И.В., Офенгейм Д.Х. Дифракция двухударной конфигурации отражения на вогнутой цилиндрической поверхности// ЖТФ. 2007. Т.77. Вып. 10. С. 24-33.

135. Тугазаков Р. Я. Нестационарная задача о внезапном движении клина и конуса с до- и сверхзвуковой скоростями. //Ученые записки ЦАГИ, 1973, т. 4, № 1.С. 1-9

136. Rhodes J. A., Lavante Е. Comparison of inviscid and viscous separated flows // AIAA J. 1990. Vol. 28, N 3.

137. Булах Б. М. Нелинейные конические течения газа. М.: Наука, 1970.344с.

138. Крайко А. Н., Пьянков К.С. Течения с отрывными зонами и движущимися контактными разрывами в результате интегрирования нестационарных уравнений идеального газа.// МЖГ, №5, 2006

139. Тугазаков Р. Я., Голубкин В.Н. и др. Оптимальные формы элементов сверхзвуковых летательных аппаратов. // «ЦАГИ — основные этапы научной деятельности 1993-2003» под общ. научн. редак. Г.С.Бюшгенса. Москва. Физматлит, 2003. С. 409-414.

140. Липницкий Ю.М., Ляхов В.Н. Численное решение задачи дифракцииударной волны на клине//Изв. АН СССР, сер. МЖГ. 1974. № 6. С. 88-93

141. Головизнин В.П., Жмаков А.И., Фурсенко A.A. Об одном методе расчета нестационарных взаимодействий ударных волн//ЖВМ и МФ. 1982. Т. 22. № 2. С. 484 488.

142. В. А. Головкин, В. М. Калявкин, А. А. Масленников. Исследование методом оптической визуализации начальной стадии развития плоских отрывных течений около различных тел в ускоряющемся потоке. «Ученые записки ЦАГИ» №1, 2, 2003 г. С. 55-67.

143. Р.Я. Тугазаков. Фундаментальное свойство отрывных течений в нестационарных сверхзвуковых потоках идеального газа. «Ученые записки ЦАГИ» № 3, т. XLI, 2010г. С. 24-30.

144. И. С. Васин, В. С. Вождаев, Е. С. Вождаев, В. А. Головкин, М. А. Головкин, Г. Г. Муравьев. Вихревые системы на режимахштопора и методы улучшения характеристик штопора самолетов. «Ученые записки ЦАГИ» №1,2, 2006 г. С. 34-45.

145. В. С. Садовский. Об особенностях плоского течения, образованного источником и вихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости. «Ученые записки ЦАГИ» №1,2, 2001 г. С. 60-67.