Анализ фундаментального решения уравнения Дирака как обобщенной функции тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

1 Уравнение Дирака. Основная теория

1.1 Возникновение уравнения Дирака.

1.2 Ковариантная форма уравнения Дирака

1.3 Матрицы Дирака.

1.4 Релятивистская инвариантность уравнения Дирака

1.5 Проблема классического предела.

2 Фундаментальное решение уравнения Дирака для свободной частицы как обобщенная функция пространственных переменных

2.1 Анализ фундаментального решения.

2.2 Образ Фурье фундаментального решения.

2.3 Экспоненциальный вид образа Фурье.

2.4 Образ Фурье в случае нейтрино.

2.5 Нерелятивистский предел.

2.6 Мгновенная скорость электрона Дирака.

3 Предмера Дирака, зависящая от значений п произвольных линейных функционалов (п — конечное)

3.1 Процесс Орнштейна - Уленбека для меры Винера

3.2 Мера Дирака цилиндрических множеств

3.3 Процесс Орнштейна - Уленбека для уравнения Дирака

3.4 Цилиндрическое множество с гг-мерным основанием

Уравнение Дирака, как известно, играет важную роль в теоретической физике, и соответственно в описании важных явлений микромира. Оно было предложено П. А. М. Дираком для электрона и других частиц со спином 1/2. К сожалению это уравнение и его решение, также как и многие вопросы современной физики, до сих пор не имеют полной физической интерпретации. Сложность в случае Дирака связана с тем, что мы имеем дело с обобщенными функциями и обращение с ними стандартными математическими подходами оказывается довольно трудным.

Одной из главных задач теории Дирака, и которая до наших дней не решена удовлетворительным образом, является получение классического предела для этого уравнения. Хотя попыток ее решения было довольно много, по видимому до сих пор не встречалось достойного ответа на этот вопрос.

В настоящей работе мы представляем новый метод изучения фундаментального решения уравнения Дирака на основе теории обобщенных функций и на изучении образа Фурье фундаментального решения этого уравнения. Этим методом мы получаем без приближений классический предел для свободной частицы. Удобства данного подхода заключаются в том, что используются финитные функции и устраняются проблемы сингулярности при изучении упомянутых выше уравнений.

Основные полученные нами результаты настоящей диссертационной работы излагаются с главы Z по 4.

В главе 1 вводятся нами уже известные основные принципы в теории Дирака. Показывается кратким образом как Дирак получил релятивистское уравнение и из каких принципов. Рассматриваются основные свойства матриц Дирака и в конце доказывается релятивистская инвариантность уравнения Дирака. Также приводится крат3 кий исторический обзор работ других авторов по проблеме классического предела.

В главе 2 излагаются основные особенности фундаментального решения уравнения Дирака для свободной частицы

DT{x) = 7° (V^ - iml)

5(t2-ж2) тл/ ,JAmV¥^)

----6{t — х)— , —1

2тг 4л" ~\/t —

Оно является обобщенной функцией и в пределе при t —> 0 становится дельта-функцией. Также доказывается, что его образ Фурье

D™(w) = Icos(tVm2 + w2) - sm(Wm2 + w2).

VmHr можно записывать в виде обобщенной формулы Эйлера: где показатель экспонента следует понимать как единую матрицу вследствие некоммутативности матриц Дирака (т. е. произведение двух таких экспонент не производится путем суммы их показателей). Образ Фурье является аналитической функцией от w и и поэтому лишен многих трудностей, возникающих при обычном рассмотрении решения уравнения Дирака. Исходя из этой формулы, получен нерелятивистский предел (с —> оо): lim e-^UwHmI}t = ^ + с—> оо

В правой части равенства, первый член показателя вместе с экспонен-той совпадает с известной формулой образа Фурье фундаментального решения уравнения Шрсдингсра. Второй член показателя содержит энергию покоя, которая всегда возникает при переходе к нерелятивистскому пределу. Матрица 7° дает решения вперед во времени и вспять во времени.

Так же найдена мгновенная скорость электрона Дирака как lim Для этого мы рассматриваем предел lim / ПГШ^х, и преобразуем его, откуда приходим к следующему утверждению: limD™(x) = IS(v - 1) - IS'(v - 1).

ВВЕДЕНИЕ 5

Имея в ввиду, что мы работали в системе единиц в которой с = 1, первый член правой части означает, что при t —» 0, скорость электрона оказывается равной скорости света, таким образом подтверждается известное явление дрожательного движения Шрёдингера для электрона (Zitterhewegung).

Основные результаты третьей главы опубликованы в работах [9,

В главе 3 приводится теория предмер для уравнения Дирака на основе цилиндрических множеств с многомерным основанием. Основаниями служат введенные нами функционалы от "траектории" частицы Дирака так что сама "траектория" характеризуется совокупностью чисел А\,.Ап. Как частный случай этих множеств (а именно множеств с одномерным основанием) мы построим аналог процесса Орнштей-на - Уленбека для фундаментального решения уравнения Дирака для нейтрино. Эти результаты опубликованы в работе [32].

В главе 4 получен классический предел фундаментального решения уравнения Дирака с помощью теории обобщенных мер и принципа причинности. Для этого мы находим отклонение траектории ди-раковского электрона хт от классической траектории частицы х(т). Оказывается, что в пределе Н —> 0 траектория дираковского электрона сводится к траектории классической частицы. Результаты этой главы опубликованы в работе [31].

12, 17, 30, 10]. о

Заключение

1. В настоящей диссертационной работе представлен новый метод для изучения фундаментального решения уравнения Дирака, основанный на теории обобщенных функций и на изучении образа Фурье этого решения. Большинство существующих работ по изучению фундаментального решения аппроксимируют его с помощью регулярных функций и в рамках этих аппроксимаций совершаются предельные переходы. В нашей работе, пользуясь этим методом, мы не делаем аппроксимаций и достигаем наших результатов с помощью строгого математического аппарата теории обобщенных функций.

2. Получена и изучена структура для образа Фурье фундаментального решения уравнения Дирака, а также изучено и само фундаментальное решение. Этот образ Фурье, который имеет экспоненциальный вид, позволяет намного проще рассматривать основные свойства фундаментального решения и структуру пространства-времени в релятивистской квантовой механике. Таким образом также подтверждается правильность известной формулировки самого фундаментального решения через функцию Паули - Йордана.

3. Получен квантовый нерелятивистский предел фундаментального решения уравнения Дирака, используя образ Фурье, так что образ Фурье фундаментального решеиия уравнения Дирака переходит в пределе с —> оо к образу Фурье фундаментального решения уравнения Шрёдингера.

4. Изучена мгновенная скорость для электрона (и нейтрино) Дирака, которая в точности равна скорости света, что отвечает известному явлению дрожательного движения (Zitterbewegung) Шрёдингера, где, как известно, собственное значение оператора ско

1. W. Pauli. // Helv. phys. acta. 1932. T. 5, 179-199.

2. А. А. Бейлипсон. // Стахостические уравнения в квантовой теории и квантование нестационарных классических систем. М.:Изд. РУДН. 1997.

3. Боголюбов Н.Н., Шириов Д. В. Введение в теорию квантованных полей // М.: Наука, 1976. —480 с.4j Гельфанд ИМ., Шилов Г.Е. Обобщенные функции, вып. 1 // М.: Фитматгиз. 1958. —439 с.

4. Гельфанд И.М. Шилов Г.Е. Обобщенные функции, вып. 2 // М.: Фитматгиз. 1958. —307 с.

5. Гельфанд И.М., Виленкии Л. Я. Обобщенные функции, вып. 4 // М.: Фитматгиз, 1961.

6. Н. Bateman. Tables of Integral Transforms, vol. II j j McGraw-Hill Book Company, Inc., 1953. 335 c.

7. Feynman R. P. // Rev. of Mod. Phys., 20, No. 2, 1948. 371.9j Бейлинсон А. А., Бесерра A.P. О структуре фундаментального решения уравнения Дирака // Вестник РУДН, Серия Физика 2001, № 9, стр. 51-55.

8. Бейлинсон А.А., Бесерра А.Р. О микроструктуре пространства-времени, ответсвенной за возникновение квантовых эффектов. // Принято в печать в Вестник РУДН спец. выпуск, 2002 г.

9. Бейлинсон А. А., Федор Гарин Ананъос. j j Изв. вузов, физика, № И, 46-49 (1993).

10. Бейлинсон А.А., Бесерра А.Р. Об одном свойстве матриц Дирака. // Тезис на XXXVII Всероссийской Научной Конференции63по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин// 22-26 мая 2001 г.

11. К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер. Квантовая теория поля, т. 1// М.: Мир, 1984 г.

12. Beilinson A. A., Emerson P. Leal// J. Phys. A.: Math. Gen., 26, 1775-1782 (1993).

13. Бейлинсон А.А., Носова Е.П., Хасан Я., Абу-Диаб Н. Взаимосвязь фундаментальных решений уравнений Дирака и Шрёдингера /'/ XXXIII научная конференция РУДЫ, 1998 г.

14. Бейлинсон А.А., Носова Е.П., Нибал Хасан, Сусалев А.В.Об интеграле по путям, соответствующем уравнению Дирака. Вестник РУДН, физика, 1999.

15. Бейлинсон А.А., Бесерра А.Р. Пространственно-временная структура уравнения Дирака. // Вестник РУДН, Серия Физика 2000, № 8, стр. 75-77.

16. Додонов Б. В., Манько В. И. //Труды ФИАН АН СССР, Т. 183. М. : Наука, 1987.

17. Jens Bolte, Stefan Keppeler. A semiclassical approach to the Dirac equation. //Abteilung Theoretishe Physic Universitat Ulm, Albert-Einstein-AUee 11 D-89069 Ulm. Germany. 1998 r. 39 c.

18. M. C. Gutzwiller. Periodic Orbits and Classical Quantization Conditions. // J. Math. Phys. 12 (1971) 343-358.

19. M. C. Gutzwiller. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. // Springer-Veiiag, New York, (1990). 343-358.

20. P. Бете. Квантовая Механика. Изд. "Мир". Москва, 1965.

21. R. D. Horowitz. Characters of Free Groups Represented in the Two-Dimensional Special Linear Group . // Commun. Pure Appl. Math. 25(1972) 635-649.

22. K. Yavana, H. Hourich. Semi-Classical quantization for MultiDimensional Coupled-Channel Equation. /7 Prog. Theor. Phys. 77(1987) 517 547.

23. Н. Kuratsuji, S. Iida. Effective Action for Adiabatic Proccss. // Prog. Theor. Phys. 74 (1985) 439-445.

24. H. Kuratsuji, S. Iida. Deformation of symplectic structure and anomalous commutators in field theory. // Phys. Rev. D 37 (1988) 441-447.

25. R. G. Littlejohn, W.G. Flynn. Geometric Phases in the Bohr-Sommerfield Quantization of Multicomponent Wave Fields // Phys. Rev. Lett. 66(1991) 2839-2842.

26. R. G. Littlejohn, W. G. Flynn, Geometric Phases in the Asymptotic Theory of Coupled Wave Equations. // Phys. Rev. A 44(1991) 52395256.

27. C. Emmrich, A. Weinstein. Geometry of the transport equation in multicomponent WKB approximations. // Commun. Math. Phys. 176 (1996) 701-711. 343-358.

28. Бейлинсон А.А., Бесерра А.Р. Аналог процесса Орнштейна -Улснбека для случая уравнения Дирака. // Принято в печать в Вестник РУДН, Серия Физика 2002, № 10.

29. Л. Шифф. Квантовая Механика // М.: Издательство Инностран-ной Литературы , 1957. —475 с.

30. Р. Фейнман, А. Хибс Квантовая Механика и интегралы по траекториям // М.: Мир , 1968. —382 с.

31. Jonathan Dimock and James Glimm. Measures on Schwartz Distribution Space and Applications to Р{ф)г Field Theories. // Adv. Math. 12 (1974) 58-83.