Анализ Фурье проекционно-сеточных аппроксимаций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДОИЯ НАУК

Р Г б ОД СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

" 1 л ¡г г ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

■ I и ¡И

На правах рукописи

СТРЕЛКОВ Николай Александрович

УДК 519.6

АНАЛИЗ ФУРЬЕ ЛРОЕКЦШШО-СЕТОЧНЫХ АППРОКСИМАЦИЯ 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1993

Работа выполнена е Ярославском государственном университете.

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Еухгейм А.Л., д.ф.-м.н., профессор Лебедев В.И., д.ф.-м.н. Мацокин A.M.

Ведущая организация:

механико-математический факультет МГУ.

Защита состоится .. /с _1993г. в часов на заседании

специализированного совета Д 002.10.01 при Вычислительном центре СО РАН (630090, Новосибирск, пр-т Акад.Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ВЦ СО РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н.

Ю. И. Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы обусловлена интенсивным использованием проекционно-сеточных (п.-с.) методов в вычислительной практике и наличием ряда открытых вопросов в анализе этих методов.

Сочетая в себе лучшие качества проекционных и разностных методов, п.-с. методы в последнее время эффективно используются для решения различных задач математической физики. Такого типа методы приводят к разреженным алгебраическим задачам, сохраняя при этом типичную для проекционных методов оптимальность скорости сходимости. Имеющие отношение к этим методам теоретические исследования касаются как теории проекционных мстодсв, так и Е~:гросоЕ аяпроксимзциг при помощи функция специального вида, являющихся элементами п.-с. подпространств.

Используемые в п.-с. методах п.-с. подпространства применяются в вычислительной практике не только для численного решения краевых задач, но и для аппроксимации функций, обработки сигналов и т.д.; к ним относятся подпространства сплайнов, функций-всплесков (wavelets) и т.п. Каадое из таких подпространств определяется выбором функции (или нескольких функций) и сетки, по которой сдвигается аргумент этой функции, причем имеется достаточно много различных способов такого выбора. При использовании п.-с. подпространств возникает вопрос о том, какое из них следует выбрать для решения какой-либо конкретной задачи (или класса задач). Критериями этого выбора могут быть такие качества п.-с. подпространств как оптимальность (в том или ином смысле) аппроксимации, .наличие определенных свойств у порождаемых этими подпространствами п.-с. методов (например, сохранение свойств исходной задачи, простота структуры, точность заданного порядка, совпадение о наперед заданной аппроксимацией, наличие эффективных прямых или итерационных методов отыскания приближенных решений) и т.д.

Цель, работы состоит в конструировании и исследовании п.-с. подпространств, которые являются, линейными оболочками сдвигов одной или.нескольких фиксированных функций по некоторой сетке. Эти подпространства изучаются как с точки зрения их аштроксимационных свойств, так и с позиций качества и простоты

структуры определяемых ими п.-с. методов.

Общая методика связана с использованием современных методов численного анализа, теории функций и геометрии чисел. Для доказательства основных результатов типична работа с гладкими объектами, что позволяет отвлечься от дискретного характера доказываемых утверждений (это обстоятельство особенно заметно в двух последних главах диссертации).

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми, что, конечно ае, не означает отсутствия связи результатов диссертации с работами других математиков; к этим работам, идеи (а иногда и конкретные результаты) которых оказали существенное влияние на автора, относятся:-

1) классическая работа А.Н.Колмогорова . (Ami. Math., 1936, V.37), в которой определяются и вычисляются поперечники функциональных классов; эта статья в идейном плане породила очередной этап теории аппроксимации;

г) известная статья Р.Куранта (Bull. Amer. Math. Soc., 1943, V.49, N 1) о трактовке простейшего разностного аналога двумерного уравнения Пуассона как варианта проекционного , метода со специальным выбором координатных функций (приводимое в главе Ъ диссертации конструктивное построение п.-с. . подпространств, порождающих обычные разностные аналоги некоторых дифференциальных, операторов, использует идеи Куранта; более того, в этой же главе приведено обобщение его конструкции на n-мерный случай);

3) работы Г.Стренга - Дж.Факса и С.Г.Михлина начала 70-х годов, касающиеся необходимых и достаточных условий асимптотической оптимальности п.-с. подпространств (доказываемый в § 4-3 критерий асимптотической оптимальности - развитие (совершенно другое по форме) этих результатов на более общий случай).

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты (равно как и применяемые в работе методы исследования, основанные на систематическом использовании аппарата преобразования Фурье) могут быть использованы не только для решения теоретических проблем в области ■численного анализа, но и при конструировании и исследовании эффективных' п.-с. алгоритмов решения конкретных прикладных задач. '

Основные результаты работы сформулированы в "заключительной части автореферата.

Апробация. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались в 1974-1993 г.г. па ряде конференций и школ как внутри страны, так и за рубегом, на научных семинарах мехмата МГУ, ф-та ВАК МГУ, ВЦ МГУ, ИВЫ РАН, ВЦ СО РАН и др.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 34 работы; основные результаты изложены в работая [1]-[1б].

Структура и объем: введение, несть глав (с делением на параграфы), заключение и список литературы из 167 наименований; общий объем 331 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описан круг вопросов, изучаемых в диссертации, и изложены основные результаты работы.

В первой главе, состоящей из четырех параграфов, приводятся некоторые вспомогательные результаты (часть из которых представляет, по-видимому, и самостоятельный интерес). Перечислим некоторые из них.

1) Определены функциональные пространства н!^ , нормированные следующим образом :

Г Г 11/р

Iи !р и= 11 |ЦШ^)|Р(Ц I (1)

(здесь 1 < р < оо , ¡л - умеренно растущая весовая функция, и -образ Фурье элемента и € Н^ ) и установлены некоторые их свойства

? к/?

(заметим, что при р = 2 , ц(х)=(14|х| ) , где в € Е^ , пространства Н^ совпадают с собслевскими классами А^СП^)).

2) Изучен ряд свойств укладок измеримых множеств в Е^; в частности, установлен критерий И-укладки, утверждающий, что измеримое множество П порождает Н-решетчатую Н-укладку тогда и только тогда, когда существует разбиение С! на N измеримых подмножеств П1....., каздое из которых порождает М-решетчатун 1-укладку.

3) Рассмотрен вопрос о полноте системы функций ,

I М(Л

где Л - некоторая решетка в Ед . Так; в леше 1.3.2 доказано,

что для полноты этой системы в Ь^О) необходимо и достаточно,

чтобы множество П порождало 2яЛ*-решетчатую 1-укладку (здесь Л* - сопряженная к Л решетка).

4) Установлен аналог формулы суммирования Пуассона, связывающий поведение некоторой функции и ее образа Фурье в точках решеток Л и 2%А* соответственно.

5) Описана система тригонометрических полиномов ,

образующая базис в пространстве тригонометрических многочленов степени 1 (то есть степени не вше по каздому из х^ , к = 1,...,п ), и двойственная ей в смысле наличия равенства

Л_(0)(Л„(0) = §2 система дифференциальных операторов 4Л_<К)\ а 1 а 1а

6) Построены двойственные безусловные базисы пространства Ь2(-0,0), элементы одного из которых - произведения тригонометрических многочленов и производных В-сплайнов Шенберга, а элементы другого - произведения алгебраических и тригонометрических полиномов; на основании свойств этих базисов получены аналогичные известной теореме Котельникова интерполяционные представления с кратными узлами для целых функций экспоненциального типа, в которых участвуют значения интерполируемой функции и ее производных в точках множества 2%гп , причем максимальный порядок используемых производных зависит от типа целой функции.

В главе 2 изучаются аппроксимационные свойства подпространств, порождаемых сдвигами одной или нескольких фиксированных функций по некоторой решетке. Рассмотрения проводятся в пространствах Н^ с нормами вида (1). Основным результатом этой главы является установление связи аппроксимационных свойств изучаемых подпространств с геометрическими характеристиками укладок лебеговых множеств функции » зависящей от метрик пространств, в которых производится аппроксимация (в случае пространств Соболева дело сводится к известной задаче о решетчатой укладке одинаковых шаров).

В § 2.1 для фиксированных умеренно растущей весовой функции , решетки А с ^ и Я-мерной вектор-функции

ф = (ф<п,.. .,<рс,п) € | Нр1 } определяются п.-с. подпространства

b^HK'LC (2)

пространства Hp , являющиеся замкнутой линейной оболочкой функций (р^1, а с Л , k = 1.....N , где Ф^5« Нр1 имеют вид ф*>(0=ф<к,(, _а ) ,

а фп(рсн) - фиксированные элементы пространства Н^1 . В дальнейших рассмотрениях этой главы случай N = 1 изучается отдельно и более детально по сравнению со случаем произвольного N . В §§2.2-2.4 изучаются вопросы аппроксимации элементов

единичной сферы пространства Н^2 в метрике пространства Н^1 (здесь 1 ^ р i го , (i1 и ц2 ' Фиксированные весовые функции умеренного роста); аппаратом аппроксимации слуяат описанные выше п.-с. подпространства В(А,ф) вида (2). Рассматриваются следущие величины, характеризующие аппроксимационные возможности подпространств В(А,ф) :

а^СА.ф) вир Inf I и - w , (3)

lulp,H2=1 *€В(А,ф) ' 1

^(А) = Inf ае^Л.ф) , (4)

/11N

Ф с ff]'

aüj, к = Inf ЖдШ . (5)

А : V(A)=NK

В определении (5) поперечника эе^ ^ нижняя грань берется по всем решеткам А а Ец объема HR , где S > О - фиксированное число. Смысл этого требования состоит в том, что в этом случае при всех N средняя размерность аппроксимируадих подпространств В(А,ф) не превосходит К-1, а при выполнении некоторых условий типа общности полевения эти подпространства имеют одну и ту хе не зависящую от N среднюю размерность, равную (более подробно об этом пойдет речь при описания результатов главы 3).

Ключевую роль е поведении величин (3)-(5) играют лебеговы иночества Пс отношения весовых функций (-Ц/^ > определяемые для любого о сЕ1 равенством

Пс = | х « Ед : Ц1(2)/Цг(х) > с | . (6)

Если Л* - сопряженная к Л решетка, а

{ 0 + 2ЮХ ) t - (7)

0 JacЛ

система трансляций множества ÙQ на векторы решетки 2 НА , то для любого натурального N символом сн(Л) обозначается точная нижняя грань множества тех с с Ei , для которых лебеговы множества Q Еида (6) порождают 2%А -решетчатую N-укладку, то есть любой набор из N41 множеств системы (7) имеет пересечение меры нуль. Другими словами,

cNU) = inf| ссЕ1 : mes | з « : т(х,Пс,2ИА*) > N } = О j, (8)

где m( ♦ ,Ç1C,2%A*) - определенная на Ед целочисленная функция, равная в каждой точке х € Ед кратности покрытия этой точки множествами системы (7) (при N = 1 возникает обычная укладка).

Величина эе^Ц.ф) , описывающая шпроксимационные возможности подпространства В(Л,<р) для фиксированных Л и (р , изучалась в работе лишь для N = 1 ; в этом случае построена такая определенная на ЕП*Е1 и зависящая от Л, ф, ц2» Р Функция f вида

Ц1 (x+2ica) ф(х+2ИД) р

Z. щъь**» - X' К"*™»»« - ^ <»

асА*

—1 -1 (здесь р + q = 1 ) , что

ае^Л.ф) = 1М { с > о1(Л) : f(•.о) >0 почти всюду в Q0 j .

Что касается величины аен(Л) вида (4), то для любого натурального N

а^(Л) = Cjj(A) , (10)

где cn(A) определено равенством (8).

Для случая К = 1 полностью, описаны .(правда¿ недостаточно

конструктивно) все оптимальные подпространства В(Л,ф) для

И"!

фиксированной решетки Л (шшми словами, описаны все ф € Нр , на которых реализуется Inf ае^Л.ф) , то есть такие ф , для

которых ае^Л.ф) = ае1 (Л) ) . Более точно, доказано, что ф е Нр

оптимально (для решетки i ) тогда и только тогда, когда почти

всюду в П. выполняется каждое из следующих двух условий : 1

$(•) ¿ О . fisc.,) > О

А

(здесь ф - образ Фурье функции <р, f и û0 определены равенствами (9) и (6), а о1 = с^Л) - нижняя грань тех с с Е^, для которых система (7) - укладка; см.(8)).

Если яе N - произвольное натуральное, то полное описание

Г h 1N ,

всех оптимальных, наборов ф е [ Нр J (то есть таких, ф , что

ав^Л.ф) = эе^(Л) ) в работе отсутствует; тем не менее одно из семейств оптимальных ф мокет быть построено следующим образом. Пусть имеется решетка Л и с = с^Ц) (см. (8)). Тогда множество

fi- поровдает 2%А -решетчатую Н-укладку и его мокно разбить на N таких подмножеств D^...,!^ , что

N

- LU .

k=1

mes (Dj. П Dj) =0 для всех k ^ j и каздое из D^ пороздает

21Ь\ -решетчатую 1-укладку (конструктивный алгоритм такого разбиения приведен в § 1.2 диссертации). Показано, что оптимальным будет любой набор

ф= (ф(1>,...,ф"«1) € (Нр1 f ,

обладающий следующим свойством : для каадого к = 1 ,..., N

А V А .

ф t 0 почти всюду В и ф""= о почти всюду в

I_1 ( Dfc + 2ЮХ ) .

аеЛ*\{0}

Для вычисления значения поперечника ае^ ^ и описания всех

оптимальных решеток Л (то есть решеток, на которых достигается 1п1 аен(Л) ), дадим следующее определение.

Пусть | } ~ такая система зависящих от параметра с с Е1

принадлежащих Е измеримых множеств, что Г„ с при всех

и с ^ с ^

с1 > с2 . Рассмотрим множество Ка = | Н | всех решеток в Б^

заданного объема а > О , т.е.

= { R с ^ • v(R) = a j .

Для каждой решетки R с ®а символом Cjj(R) будет обозначаться точная нижняя грань тех с с Е1 , для которых множество DQ порождает R-решетчатую N-укладку. Наконец, пусть

cN,a = ^ { CH<R> 5 R 4 Еа } • Будем говорить, что решетка R € порождает плотнейшую

а

а-решетчатую N-кратную укладку множеств DQ , если Cjj(R) = cN а! число Cjj а будем называть N-ым a-критическим значением системы

множеств { Dc } '

Из представления (10) сразу следует, что поперечник эе^ ^

равен N-му (2ic)n/(NJ¡)-критическому значению системы множеств Пс вида (6) ; при этом для оптимальности решетки Л (то есть для выполнения равенств V(Л) = Ш а ае^А) = % необходимо и достаточно, чтобы решетка 2ЯЛ ( Л - сопряженная к Л решетка) по-роадала плотнейшую (2х)п/(И£)-решетчатую N-кратную укладку множеств Пе Еада (6). Отметим, что значение поперечника эе^ ^ и свойство решетки быть оптимальной не зависят от р, а зависят лишь от геометрии лебеговых множеств отношения весовых функций и ц2 • Более того, в ряде случаев одна и та же решетка может оказаться

h Ъ.

оптимальной для целого семейства пар пространств Нр и Нр . Например, если ц.,/ц2(х) = Р(|х|), где |х| - евклидова длина х € Ед, а Р(») - определенная на [0,оо) убывающая функция, то

"с

= { х с Ец : ц.,(х)/^2(х) >с} = |х€Еп: |х| < G(c) } ,

где С(1) - функция, обратная к Р('). и вопрос о выборе оптимальной решетки сводится к задаче плотнейшей решетчатой 11-кратной

укладки одинаковых шаров радиуса G(с) в При этом, во-пер-еых, ïjj д = ï(i>) , где р - радиус шаров, образующих плотнейиув

(21С)П/(1Й)-решетчатую N-кратнуп укладку, а во-вторых, одна и та se решетка А является оптимальной одновременно для всех р и всех таких весовых функций И..,,^» что [^/^(х) зависит лпш» от |х| и монотонно убывает с ростом |х| (решетка А должна быть такой решеткой объема Ni , что решетка 2яЛ* пороадает плотнейшую Н-кратную укладку одинаковых шаров). Такая универсальность оптимальных решеток наблюдается, например, при аппроксимации в пространствах Соболева, когда одна и та ве решетка, сопряженная к которой пороадает плотнейпуи N-кратнуа решетчатую укладку одинаковых шаров в Ец , является оптимальной одновременно для всей совокупности пар ( • } П11Я лявя* в < ы .

В главе 3 рассматривается вопрос о сравнении изученных в главе 2 поперечников с соответствущами поперечниками по Колмогорову . Для этой цели определяется понятие средней размерности подклассов пространств Н^ .

h

Пусть L - некоторое подмножество пространства Нр ,

L1 = | и € Н^1 : i u(x)v(x)dx = 0 для всех v с L j -и

апнулятор множества L, а К = К(Ь) = | fl | - заглсгацая от р, p-j, L совокупность измеримых иноаеетз Q с Е^, каадое из ютсрих облада-

• А

ет следувдш свойством : если и с L и supp и с П , то и = 0 (здесь р-1 = 1 , w = ÎFw , где ? - оператор преобразования

Фурье). Назовем средней раачервостьи шювества L величину

Dlnm L = (2a)"n вир mes Q . £kK

Далее в § 3.1 показано, что для любых подпространств В(А,ф)

h Г h ÏN

пространства Нр , определенных в § 2.1, где ф € [ HpJ •

N - натуральное, А - некоторая реиетка в Е^ объема НЬ , выполняется неравенство Dim В(А,ф) ¡S S"1 . Изучен также вопрос о том, когда Dira В(А,ф) = ; в частности, доказано, что если N = 1 , то Dira В(А,ф) = R"1 тогда п только тогда, когда множество

А *

supp ф порождает 2хЛ -решетчатое 1-покрытие.

В § 3.2 определяется поперечник по Колмогорову вида

ds = iní вир Inf I и - «г I

L:DimmI4/i luí,, ., =1 wíL 1

Р»И2

(здесь нижняя грань берется по всевозможным подпространствам I h

пространства Н. , средние,размерности которых не превосходят

-1 "

К ). Определенный таким образом поперечник d^ и п.-с. поперечник aßjj £ вида (5) характеризуют возможности аппроксимации элементами подпространств одной и той же средней размерности отличие состоит лишь в той, что эе^ ^ описывает аппроксимационные свойства пространств, которые порождаются сдвигами N фиксированных функций по решетке объема ЫК , а для d^ эти пространства произвольны. Доказанная в § 3.2 теорема 3.2.1 утверждает, что справедливо равенство

djj = inl Í с € E1 : mes Qe S

(21С)ПА | ,

где 0С - имеющие вид (6) лебеговы множества функции М-.,/^ .

§ 3.3 посвящен сравнению п.-с. поперечников, изученных в главе 2, и поперечников по Колмогорову той же средней размерности. Вначале рассматривается случай N = 1 . Из определения поперечников эе^ и^ сразу следует, что < ае^ . Выясняется вопрос о том, в чем геометрический смысл совпадения этих поперечников. При выполнении некоторых естественных условий

доказано, что если = = с* , то | Й , + 2®х | , -

разбиение пространства Е^ ; верно и обратное, то есть если существует такая решетка А объема Л и такое с с Е1 , что

| П0 + 2Ш | , - разбиение Еп , то й^ = ае^ = с .

Для случая произвольного N в теоремах 3.3.1 и 3.3.2 показано, что для всех натуральных N имеет место неравенство * Л ' и если все множества 0С вида (6), удовлетворяющие условию тез С2с < (2ТС)П/К , измеримы по Жордану, то последовательность Х^ д сходится и

11и «м = •

N -» со

В главе 4 на основании общих результатов глав 2 и 3 рассмотрены вопросы аппроксимации в пространствах типа Соболева Wgd^) , являющихся частным случаем пространств Н^ при р = 2 и ц(х) = ( 1 + |х|2 )Г//2 , г € Е1 . Как и в предыдущих главах, часть утверждений относится к случаю произвольного N, а другая часть - к случаю N = 1 (напомним, что Н - количество функций, порождающих п.-с. подпространства В(Л,ф) вида (2), аргументы которых сдвигаются на векторы решетки Л). Изложим некоторые из результатов главы 4, ограничившись (ради единообразия и простоты формулировок) рассмотрением случая N = 1.

В § 4-1 изучается поведение величин вида (3)-(5) для случая, когда р = 2, ^(х) = ( 1 + |х|2 )в/2 , ^(х) = ( 1 + |х|2 )Ы2 , где s,m с Е1 - такие фиксированные числа, что s < m (т.е. -m

Hp = Wg<En), Hp = "^(Ед) ). Кроме того, в этой и следующих главах аппроксимирующие подпространства зависят от положительного параметра h, имеющего смысл шага сетки, так что

ВЛЛ.ф) = { Ср('/Ичх) ) , (11)

а -»асЛ

где ф € WgtE^ , а Л - унимодулярная решетка (отметим, что

всегда Dinm В^(А.ф) < h_n , причем для выполнения равенства

Dimm В^(А,ф) = h_n необходимо и достаточно, чтобы множество

А *

supp ф порождало 2ТСЛ -решетчатое покрытие Еп). Пусть

зуЛ.ф) = sup Inf I u - w |s ,

Ju|m = 1 ясВ^Л.ф)

= inf гул.ф) .

Ф<Я|(ЕП)

\ = Inf 32h(A) -

A:V(A)=1

поперечники типа (3) -(5),

dh =■ inf sup Inf J u к |„ - (12)

L «L

соответствующий поперечник по Колмогорову (низшяя грань в (12)

берется не всем подпространствам L пространства ff^E^) средняя размерность которых не превосходит h~n ).

Если

(|x+a|24h2)m |ф(хш)|2

(R2+h2)m"B - (|x+a|2+h2)m_s &

а<2КА

определенная на ЕП»Е1 функция,

U(R) = |х£Еп: |х| < R j - открытый евклидов шар радиуса

R с центром в нуле,

R1 = R.,(A) - максимальный радиус шара U(R) , пороадающего 21СЛ*-решетчатую укладку,

R* = вир | R < R1 : g(•,R) > 0 почти всюду в U(R) | ,

ГЦ = вир R^A) - радиус шаров плотнейшей укладки, А : V(A)=1

R - радиус n-мерного евклидова шара объема (21С)П , то следствием общих результатов главы 2 являются равенства

аул.ф)^"* [(R*)2 + h2)<S"mi/2 ,

„в/ Л р 1 (s-m)/2 3^(Л) = h J R2 + h J , (13)

m ot O OI (В-Ш)/2

a^ = hm"B( Rt2 + h2 ) , (14)

m_Rf p (s-m)/2

dh = h (R + h J • (15)

Из (13)-(15) следует, что если n = 1 , то справедливо соотношение

dh = = V Л) '

если же п £ 2 , то выполняется строгое неравенство

dh<Sh * ; ..

Другими словами, вопрос о реализации поперечника по Колмогорову подпространствами В^(Л,ф) решается полокительно при п = 1 и отрицательно при и 5 2 (конечно, речь идет о точных значениях поперечников ; оптимальность по порядку вида <1^ = 0()1п в) , ЗЕ^ = 0(Иа~в) имеет место при всех п ).

В § 4.2 для задачи аппроксимации в пространствах Соболева установлен критерий оптимальности координатных функций, аналогичный полученному '"в главе 2 для общей ситуации. В частности, для случая, когда т - любое натуральное, а а = т-1 , доказывается оптимальность зависящих от р = (р^.-.-.Рд) € функций ф с компактным носителем, имеющих следующий вид :

*>1 рп ф(х) = г1 %(х) ,

где % ~ характеристическая функция куба [-1/2,1/2]п , г^ -оператор усреднения по Стеклову в 3-ом направлении, то есть

1/2

1у(х) = | ги-Ке^)^

-1/2

а р = (Р1,...,РП) - любой вектор из г* , удовлетворяющий неравенствам р^ > т-1 для всех 3 = 1,...,п .

Заметим , что носителем функции ф является параллелепипед

| х € Ед : < (р^+1)/2 , 3 = 1,...,п | . В частности, если

Р1 = ... = Рп = т-1 , то ф есть п-кратнал свертка характеристической функции куба [-1/2,1/2]п , а вирр ф = [-т/2,т/2]п ; функции такого вида часто применяются в п.-с. методах.

Что касается решеток, оптимальных для задачи аппроксимации в пространствах Соболева, то следствием общих результатов главы 2 является следующий способ построения таких решеток. Для того, чтобы построить оптимальную унимодулярную решетку Л , следует найти рещетку Ь , порождающую плотнейшум укладку евклидовых

шаров единичного .радиуса, а затем построить решетку А вида * *

Л = V(Ъ) Ь , где Ь - сопряженная к Ь решетка. Тогда У(Л) = 1 и решетка А оптимальна.

Из только что описанного способа построения оптимальных решеток вытекает, что свойство решетки быть оптимальной универсально и не зависит от а и ш , то есть одна и та же решетка Л ,

сопряженная к которой порождает плотнейшую укладку одинаковых шаров в Еп , оптимальна одновременно для всех совокупностей пар ff|, W^ j при любых в < ш . Более того, свойство оптимальности решеток универсально и в том смысле, что оно не зависит от эквивалентных нормировок пространств Соболева ; важно лишь, чтобы отношение весовых функций и р.2, порождающих нормы пространств и соответственно, зависело лишь от |х| и убывало с ростом |х|.

Решетки, порождающие плотнейшие укладки одинаковых шаров, построены для п £ 8 . Так, оптимальными являются следующие решетки (с точностью до поворотов, переносов и преобразований подобия) : а) для п = 2 - правильная треугольная с базисом (2,0), (1, 31Уа) ; б) для п = 3 - решетка с базисом (1,1,-1), (1.-1.1) . (-1.1.1) . получаемая из кубической решетки добавлением центров фундаментальных кубов, или, что то же самое, объединение двух кубических решеток, сдвинутых одна относительно другой на полшага в каадом их трех направлений ребер.

В $ 4.3 установлен критерий асимптотической оптимальности подпространств В^(Л,ф) , утверждающий, что эе^Л.ф) = 0(hm_ß) тогда и только тогда, когда существуют такие положительные константы 7 , К и eQ , что почти всюду в шаре |х| <7 имеет место каждое из неравенств

Ф(х) t 0 , (16)

|хча|2в|ф(х4а)|2 $ K(|x|2+s2)m|<p(x)|2 . (17)

а«2иЛ*\{0}

где £ - произвольное число из интервала (0,eQ) , причем в случае и > О можно положить £ = 0 . Заметим, что если функция ф имеет компактный носитель, am- натуральное число, то наличие нера-

А

венств (16)-(17) эквивалентно тому, что ф(0) t О, в то время как в точках множества 2ЯЛ*\{0} ф имеет нули кратности не меньше m (для случая, когда Л - целочисленная решетка, это в точности совпадает с теоремой Стренга-Фикса). Отметим также наличие наследственности асимптотической оптимальности в том смысле, что функция ф , асимптотически оптимальная для некоторой пары ( *2 ' ®2 ) '

будет асимптотически оптимальна и для всей совокупности пар вида ,2. т., ^

■ ' I • где в1 и т1 удовлетворяют неравенствам в1 < в , m1 < m , з, < rr^.

I

Завершается глава 4 вычислением точных значений констант С в оценках вида

Inf § v(u - w) | < Ch 1 ди I w^.o) B W 1 W

где ф € WgtEg) - фиксированная функция. Вначале изучается общая ситуация, а затем вычисляются наилучшие константы для известных подпространств кусочно-линейных и кусочно-билинейных функций. Показано, что для случая кусочно-линейных функций наименьшее значение константы С равно единственному положительному корню уравнения

ctg((2С)"1) + 2"3X2ctg(2"3y2C"1) = 2С

(значение этого корня равно 0.47314...), а для подпространств кусочно-билинейных функций наилучшее значение С равно 1/х. Отметим, что близкие результаты относительно значений наилучшей константы в оценках погрешности кусочно-линейной интерполяции получены в работах других авторов (Arbenz Р., Barnhill R.E., Brown J.H., Mitchell A.K., Сиганевич Г.JI.}; при этом численно решалась спектральная задача, гораздо более сложная, чем задача решения трансцендентного уравнения с одним неизвестным. Заметим также, что полученное при рассмотрении кусочно-билинейных функций значение С - 1/я является мшшмально возможным, поскольку поперечник ae^iZ2) равен h/%. Понятно и то, что это наименьшее значение константы С достигается на кусочно-билинейных функциях, так как п.-с. подпространство таких функций не только асимптотически оптимально, но и оптимально (последний факт - частный случай результатов § 4.2).

Глава 5 посвящена построению п.-с. аналогов дифференциальных операторов с заранее заданными свойствами, в частности, таких п.-с. операторов, которые совпадают с обычными разностными на минимальных шаблонах. Аппроксимация проводится на зависящей от положительного параметра h последовательности сеток = hA , порождаемой фиксированной решеткой Л . Как и в предыдущей главе, фиксируется некоторая функция ф « W^d^) , подчиненная условию норьшроЕКИ Ф(0) = 1 , п рассматривается подпространство В^Л.ф) пространства Wg(En) вида (11). Функция (р порождает следующий п.-с. аналог уравнения P(D)u = f на сетке Л^ :

h.

-n

PtDy^x) cpß(x) dz = h n

f(2) <pj}(x) dz (18)

(здесь Р(Б) - эллиптический дифференциальный оператор 2т-го порядка с постоянными коэффициентами, {3 е Л , у*1 - элемент подпространства В^Ц.ф) вида

у*(х) = ПА) £ Уа<$(*) .

ы

где < У,. . , у в узлах сетки Л^

аеЛ

искомая совокупность значений сеточной функции

так что

Уа - значение функции у

в узле

Oh с Л^ , где а с Л ). Конечно, интеграл в левой части (18) следует понимать как значение P(D)yk € W^d^) = (w!?^))* на элементе фр с И^Ед) .

В § 5.2 рассматривается следующая задача. Пусть L - дифференциальный оператор, Lh - некоторый его разностный аналог на сетке Л^ = hA , где А - фиксированная решетка. Требуется найти такую функцию ф, что п.-с. аналог оператора ' L , порождаемый п.-с. подпространством В^Ц.ф), совпадает с разностным оператором Lh . В терминах преобразования Фурье функции ф формулируются условия, необходимые и достаточные для такого совпадения. Более точно, пусть Л - фиксированная решетка в Ед . Выберем в Л произвольный базис и зафиксируем его. Тогда любой

разностный оператор на сетке Л^ может быть записан в виде

Lh= £ Ьт (33)^ 37-2Г7/2]

(19)

•к

где разделенные разности в направлениях решетки Л определяются равенствами

базисных векторов

= h~1(y,

ß+fk " yß} ' К = + дк)/г

h 1(Ур

W

В теореме 5.2.1 показано, что для того, чтобы оператор L был п.-с. аналогом оператора P(D), необходимо и достаточно, чтобы

£ К(£42ТОХ) = Т(?) , асгп

где

Р.(£) = Р(1А£/11)|фЩ)|2 ,

Щ) = £ Ъ7 ((21/11) в1п(£/2))Т (ОСЗЦУ2))Т-2[Т/2] , Г<

А - матрица, связывающая базис 1 сопряженной решетки

*

Л , двойственный к базису решетки Л , с

ортонормированиям базисом е1,...,еп пространства Ед :

^ = Ае^ , 3 = 1,...,п .

В § 5.3 с помощью георемы 5.2.1 для случая прямоугольной сетки конструктивно построены координатные функции, обладающие асимптотически оптимальными аппроксимационными свойствами и порождающие п.-с. аналоги некоторых дифференциальных операторов, совпадающие с их простейшими разностными аналогами на минимальных шаблонах.

Прежде всего строятся кусочно-линейные функции, которые порождают п.-с. аналоги п-мерного оператора Лапласа, совпадающие с его простейшим разностным аналогом типа "крест" на (2п+1)-точечном шаблоне. Показано, что таким свойством обладают зависящие от параметра 7 = ("^.....ч ) е гп функции, образы Фурье которых имеют вид

где g - скалярная функция одного переменного вида

в(*)=(2/* >в1п(г/2) . а каждое из принимает одно из двух значений : 1 или -1

у. 4

Существует ровно 2 векторов 7 с компонентами + 1 ,

л

порождающих различные функции ф указанного вида. Любой из таких векторов порождает некоторое разбиение каждой ячейки сетки на п! конгруэнтных симплексов с сохранением вершин (то есть вершины

каждого из симплексов разбиения находятся в вершинах ячейки сетки), причем 7 - направляющий вектор диагонали фундаментального куба решетки Zn , соединяющей те две вершины этого куба, которые обязаны принадлежать каждому из п! упомянутых выше конгруэнтных симплексов. Кроме того, элементами подпространства Bk(Zn,<p) являются непрерывные функции, линейные в каждом из этих симплексов.

Описываются также координатные функции, позволяйте строить п.-с. аналоги двумерных дифференциальных операторов четвертого порядка (в частности, бигармонического) на квадратной сетке, совпадающие с их простейшими разностными аналогами.

В заключительной части § 5-3 для любого натурального и строится оператор восполнения сеточных функций, который, во-первых, обладает свойством асимптотической оптимальности для пары пространств ^ W^(E2) . W^+1(B2) J , а во-вторых, удовлетворяет условиям теоремы 5.2.1 для пары операторов

P(D) - Df + bf Lh = (5^)» + (â2a2)m ;

образ Фурье функции, порождающей этот оператор восполнения, имеет вид

ш s-fl

ф(2) = [в(а1)в(г2>]т+1 { 1 + ^ bs tg(z1/2k)tg(z2/2k)

в=1 к=2

где z = (z1,z2) . g(t) = (2/t)sin(t/2) . При этом числовые

параметры b1.....bm определяются однозначно (с точностью до

умножения на -1), а функция ф порождает такое асимптотически оптимальное подпространство В^й^ф) , что построенный с его

Ovti Отп

помощью п.-с. аналог оператора D^ +D2 совпадает с его простейшим разностным аналогом (d.]â1)m+(â292)m , причем элементами подпространства В}1(г2,ф) являются кусочно-полиномиальные функции степени не выше m по каждой из переменных. Отметим, что применение этих п.-с. подпространств позволяет строить такие п.-с. методы решения краевых задач 2т-го порядка, численная реализация которых допускает использование эффективных двухступенчатых итерационных методов, требующих на каждом шаге лишь выполнения некоторого числа итераций во внутреннем итерационном процессе для

уравнения с оператором (З^) +(32Э2) • имеющим структуру обычного разностного оператора.

В § 5.4 рассматривается задача описания всех п'.-с. аналогов данного оператора, пороздаемых такими произвольными п.-с. подпространствами, которые, во-первых, асимптотически оптимальны в смысле § 4.3, а во-вторых, определяются функциями с заданным носителем.

Более точно, рассматривается плоская целочисленная решетка г2 , квадратная сетка ^ = , а также п.-с. подпространства В^(г2,ф) вида (11) , порождаемые функцией (р « И2(Е2) > носитель которой принадлежит квадрату [-1,1]*[-1,1], причем рассматриваются лишь такие функции (р , что подпространства В^^.ср) пространства №2(Е2) являются асимптотически оптимальными в смысле наличия оценки

на 1 и - " Вв « V2"8! и ц2

т?«в}1(г2,(р) р

для всех и € №2(Е2) и любого в $ 1 . Теорема 5.4.1 утверждает, что любой п.-с. аналог оператора Лапласа, порождаемый подпространствами В11( ,<р) с указанными выше свойствами, обязан иметь вид

31а1 4 д2д2 + тр2д^д^д2д2 , (20)

где Г) < 1/3 , и наоборот, любой оператор вида (20) с 1) ^ 1/3 может трактоваться как проекционно-сеточный (то есть для любого такого оператора найдется пороздающая его функция ср с указанными выше свойствами). Отмечается также, что поскольку ни один из операторов вида (20) при Т) > 1/3 не может быть получен п.-с. методом с использованием обладающих асимптотической оптимальностью координатных функций, то, по-видимому, существует некоторое внутреннее свойство операторов вида (20), разграничивающее классы Т) $ 1/3 и Т) > 1/3 .

Аналогичная задача рассмотрена и для единичного оператора. Приведено полное описание п.-с. аналогов единичного оператора, порождаемых координатными функциями с описанными выше свойствами. Следствием этих рассмотрений является тот факт, что во всех случаях объединение шаблонов п.-с. аналогов оператора Лапласа и единичного оператора состоит как минимум из семи точек.

В главе 6 рассмотрены некоторые вопросы локальной погрешности п.-с. аппроксимаций. Обычно при использовании п.-с. методов типична следующая ситуация. Выбирается некоторое подпространство, аппроксимирующее в том или иной смысле пространство, которому принадлежит точное решение, а затем стандартным образом строится зависящий от выбора этого подпространства дискретный аналог оператора решаемой задачи. При этом погрешность, с которой исходный оператор аппроксимируется дискретным, зависит от качества аппроксимации пространства точных решений подпространством, порождающим этот дискретный оператор.

В § 6.1 рассматривается в определенном смысле обратная задача выяснения вопроса о том, как погрешность аппроксимации данного дифференциального оператора его наперед заданным п.-с. аналогом влияет на качество аппроксимации исходного пространства подпространством, порождающим данный п.-с. оператор.

Если Л - фиксированная решетка в Ед , <р с - функция с

компактным носителем, подчиненная условию нормировки ф(0) = 1 , В^СЛ.ф) - п.-с. подпространство пространства "дСЕд) ввда (11)» то оптимальность по порядку подпространства В^(Л.ф) означает, что

для любого и € ^(Ед) найдется такой элемент и ( В^(Л,ф) , что | и - и |в < Се Кт+1"в I и |т+1 (21)

для всех в < т . Для наличия оптимальности по порядку необходимо

Л

и достаточно, чтобы функция (р имела нули кратности не меньше т+1 в точках множества 2хЛ*\{0}, то есть

Б^гта) = 0 (22)

для всех 7 с , 17| < т и всех а е К*, а ? О .

В теореме 6.1.2 доказано, что если Р(Б) - некоторый эллиптический дифференциальный оператор порядка 2т с постоянными коэффициентами, то условие (22) (а, следовательно, и эквивалентное ему условие аппроксимации (21)) необходимо в достаточно для того, чтобы п.-с. аналог оператора Р(С) локально аппроксимировал этот дифференциальный оператор на гладких функциях. Достаточность этого условия легко объяснима, поскольку подпространство Вь(А,ф) с оптимальными аппроксимационными свойствами (21) обязано порождать такие п.-с. аналоги дифференциальных операторов, локальная

погрешность аппроксимации которых стремится к нулю. Менее тривиально обратное утверждение: если имеется подпространство В^Л.ф), порождающее п.-с. аналог эллиптического дифференциального оператора 2ш-го порядка, локально аппроксимирующий (неважно, с каким порядком) этот дифференциальный оператор, то подпространство В^Л.ф) обладает оптимальными по порядку аппроксимационными свойствами, то есть справедливо соотношение (21); утверждения такого типа позволяют устанавливать определенные свойства п.-с. подпространств, исходя из качества приближенных методов, порождаемых этими подпространствами.

Более точно, теорема 6.1.2 утверждает, что если

С0 =

Р(В){у(Л)£ и(0Ь) С{£(Х)} ф£(х) <1х - Р(В)и(0)

локальная погрешность аппроксимации оператора Р(Б) его п.-с. аналогом в узле 0 = 0 на функции и , то —* О ЯРИ Ь—» О для произвольной гладкой и тогда и только тогда, когда функция

А

ф имеет нули кратности не меньше т+1 во всех точках множества 2чсЛ*\{0) , то есть когда выполнены равенства (22).

Рассматривается также близкая к описанной выше ситуация, когда изучается асимптотика не погрешности аппроксимации дифференциального оператора Р(Е) его п.-с. аналогом (как это имело место в теореме 6.1.2), а асимптотика локальной погрешности, с которой п.-с. уравнение аппроксимирует дифференциальное уравнение Р(Б)и = í на гладком точном решении последнего. Тогда эта погрешность аппроксимации в узле 0 = 0 имеет вид

% =

Р(пф(Л)£ 11(011) <£(*)} ф£(х) Ох -асЛ

Р(В)и(х) ф£(х) &х ; (23)

теорема 6.1.3 состоит в том, что Т)0—► 0 при Ь—> О тогда и только тогда, когда функция ф имеет нули кратности по крайней мере т+1 во всех точках множества 2хЛ*\{0} , то есть когда выполнены равенства (22). Отмечается танке, что утверждения этого

параграфа остаются в силе и для случая, когда P(D) - произвольный равномерно эллиптический оператор с гладкими коэффициентами.

В § 6.2 при некоторых условиях на носители координатных функций полностью описаны п.-с. аналоги двумерного уравнения Пуассона в случае произвольной равномерной сетки, а также получены конструктивные условия на координатные функции, необходимые и достаточные для того, чтобы п.-с. уравнения обладали тем или иным порядком локальной погрешности аппроксимации на гладком точном решении ; указаны также величины максимально возможных значений этих порядков. Вначале рассматривается общая ситуация. Имеется однородный дифференциальный оператор 2га-го порядка

P(D) = £ с^7 171 = 2т

с постоянными коэффициентами. Как и в предыдущем параграфе, рассматривается сеточная функция Т] , принимающая в узле ß = О значение вида (23), являющаяся погрешностью аппроксимации уравнения P(D)u = f его зависящим от выбора функции <р п.-с. аналогом на гладком точном решении. Доказывается лемма 6.2.1, утверждающая, что для того, чтобы Т)0 = 0(hp) , необходимо и достаточно, чтобы функция

FU) = £ Р(х-кх) |ф(х-кх)|2 - Р(х) ф(х) ас2%А*

имела в точке х = О нуль кратности не меньше 2m + р .

Основное внимание в § 6.2 уделено подробному рассмотрению случая п = 2 , m = 1 , P(D) = д = D2 + D2 . Пусть Л - некоторая фиксированная решетка в Е2 с фиксированным базисом f ^, i2 ,

В = { х € Б2 : х = £1f1 + £2i2 . < 1 , 3 = 1,2 } .

Рассматриваются порождающие подпространства В^СЛ.ф) пространства W2(E2) функции ф , принадлежащие классу

К = | Ф с *2(Е2) : supp Ф С в , ф(О) = 1 | ,

/

и устанавливается взаимно-однозначное соответствие между классами

функций К и К , где

К = | ф с : £щ>р ф с [-1.1Ы-1.1] , ф(0) = 1 | ,

с помощью соотношения

ф(Ю = фШ)

(здесь матрица А определяет связь меаду ортонормированным базисом е-\>е2 в Е2 и базисоы Р6061101 ^ » так что

ек = , к = 1,2 ) .

далее выясняются условия на функции ф < К , необходимые и достаточные для того, чтобы погрешность аппроксимации Т) имела тот или иной порядок. В теореме 6.2.1 показано, что Т)0 = 0(Ь) тогда н только тогда, когда функция ф принадлежит подклассу ¿0 с к вида

К0 = | ф е 1^(Е2) : зирр ф с [-1,1Ы-1,1] , ф(0) = 1 , ф(р) = = С2ф(р) = 0 для всех р с 2гг2\{0}| ;

причем то яе самое условие ф € необходимо и достаточно для ?

того, чтобы Т)0 = 0(Ь ) .

Теорема 6.2.2 утверадает, что если ф с К , то для того,

Т Л»

чтобы Т}0 = 0(11) , необходимо и достаточно, чтобы ф « К0 п кроме того, во-первых, было выполнено хотя бы одно из равенств

и*Л*) = 0 , = |1*| , (24)

а во-вторых, имели место соотношения

£ 9а = - и*,ф/(6|^|2) . (25)

а«2та2

2

I а1 Е еа + а2 Е 9а

70 „ ,Ояг(70 „

о

2

+

+ £ |1а|2|6а|2 = (|^|2+|1*|2)/12+(£*.1*)2/(3|^|2), (26) ас21&2

где г® = { к = (к^^) с г2 : к^Ь, * 0 | , ~ базис сопря-

* л

женной решетки А , двойственный к базису ^а 6а = 0^2ф(а). Из теоремы 6.2.2 следует, что вопрос полного описания тех функций

м

класса К , которые порождают п.-с. аппроксимации уравнения Пуассона с локальной погрешностью порядка О(Ь^) , сводится к нахождению общих точек гиперплоскости (25) и эллипсоида (26) ; при этом должно быть выполнено хотя бы одно из равенств (24). Бели а^,!^) = О (а это означает, что решетка Л - прямоугольная), то гиперплоскость проходит через центр эллипсоида, следовательно, их пересечение не пусто. Чуть сложнее ситуация, когда (11а£2) ¡^ О , но |1*| = |*2|. В этом случае для наличия в классе К функций, обеспечивающих аппроксимацию порядка О(Ь^) , необходимо, чтобы угол 0) между базисными векторами решетки А не слишком отличался от тс/2 ; так, можно показать, что если |<|МС/2| > х/4 , то гиперплоскость (25) и эллипсоид (26) не имеют общих точек. Другими словами, на слишком "спладенной" решетке невозможно добиться более чем второго порядка аппроксимации.

N

В теореме 6.2.3 показано, что если ф с К , то для того, что-

х «

бы т)0 = 0(1г) , необходимо и достаточно, чтобы ф € К0 и кроме того, во-первых, было выполнено хотя бы одно из условий (24), а во-вторых , наряду с равенствами (25) и (26) имели место соотношения

£ а;1 еа = О , (27)

<Х€2ю£

£ еа = 0 . (28)

ас21Й2

Заметим, что и в этом случае, как и в предыдущем, дело сводится к нахождению общих точек плоскости коразмерности 3» являющейся пересечением трех гиперплоскостей (25). (27) и (28), е эллипсоида (26). В случае прямоугольной решетки (то есть когда (1*,12) = О ) такие общие точки всегда существуют ; если же базисные векторы

решетки Л имеют одинаковую длину, но не ортогональны, то все зависит от угла между ними. Наконец, теорема 6.2.4 утверадает, что ни для какой решетки А с в, и ни при каком выборе функции

N / 5 \

ф с К невозможно добиться того, чтобы Т)0 = 0(1г).

В конце § 6.2 отдельно рассматриваются прямоугольная и правильная треугольная сетки. Отмечается, что для случая прямоугольной сетки существует бесконечно много функций <р , принадлежащих классу К , которые порождают проекционно-сеточный аналог уравнения Пуассона с предельной по порядку погрешностью локальной аппроксимации 1} = 0(11*) . Если Л - правильная треугольная сетка, то как и в случае прямоугольной сетки, имеется достаточно богатый набор функций (р с К , обеспечивающих предельную по порядку погрешность локальной аппроксимации Г) = 0(й4) . Одна из таких функций <р кусочно-линейна и имеет следугаций вид. Ее носитель - правильный шестиугольник со стороной длины 1, функция <р равна 2/31/3 в центре этого шестиугольника, равна нулю на каздой его стороне и линейна в каждом из шести правильных треугольников со сторонами единичной длины, образующих естественное разбиение этого шестиугольника.

Диссертация заканчивается заключением, в котором сформулированы вопросы, связанные с проблематикой данной работы, при рассмотрении которых могут быть использованы близкие методы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Изучение аппрокспмационных свойств п.-с. подпространств:

- нахождение точных значений п.-с. поперечников, описывающих качество аппроксимации, и установление связи величин этих поперечников с геометрическими характеристиками укладок лебеговых множеств функции, зависящей от метрик пространств, в которых проводится аппроксимация (в случае пространств Соболева вопрос сводится к классической задаче решетчатой упаковки одинаковых шаров);

- описание оптимальных координатных функций и оптимальных сеток, на которых реализуются нижние грани аппроксимационных характеристик ; в частности, выяснение зависимости мевду оптимальными сетками и решетками, порождающими плотнейшие укладки;

- определение средней размерности и сравнение п.-с. попереч-

ников с поперечниками по Колмогорову той же средней размерности;

- аппроксимация в пространствах Соболева : точные значения поперечников, конструктивное построение оптимальных координатных функций и оптимальных сеток, универсальность оптимальных сеток, критерий асимптотической оптимальности.

2. Построение п.-с. аналогов дифференциальных операторов и исследование их свойств:

- выработка общего подхода к построению п.-с. аппроксимаций дифференциальных операторов с определенными свойствами;

- конструктивное построение асимптотически оптимальных п.-с. подпространств, порождающих • п.-с. аналоги дифференциальных операторов на минимальных шаблонах;

- полное описание п.-с. аналогов некоторых дифференциальных операторов;

- изучение локальной погрешности п.-с. методов (в частности, конструктивное построение таких п.-с. подпространств, которые порождают аппроксимации повышенного порядка);

- прямые и обратные п.-с. vтеоремы, связывающие локальную погрешность аппроксимации п.-с. аналогов дифференциальных операторов с глобальными аппроксимационными свойствами п.-с. подпространств.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕЛЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Стрелков H.A. Изометричность операторов восполнения сеточных функций // Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1974. С.74-83.

2. Стрелков H.A. О совокупности операторов в разностном и проекционно-разностном методах // Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1976. С.73-78.

3. Стрелков H.A. О выборе координатных функций в проекцион-но-разностных методах // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1977. Т.17. N 6. С.1443-1457.

4. Стрелков H.A. Итерационные методы решения проекцион-но-разностных аналогов краевых задач для уравнений четвертого порядка // Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1978. С.165-177.

5. Стрелков H.A. О взаимоотношении разностных и проекционно-разностных методов //Груда симпозиума по методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации. Таллин : ИК АН ЭССР, 1978. С.86-93.

6. Стрелков H.A. Итерационные методы решения проекцион-но-разностных аналогов краевых задач для линейных и квазилинейных уравнений четвертого порядка // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т.19. N 1. С.143-155.

7. Стрелков H.A. О проекционно-разностных аналогах оператора Лапласа // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. Т.21. N 5. С.1326 -1328.

8. Стрелков H.A. Интерполяционные представления целых функций экспоненциального типа // Методы аппроксимации и интерполяции. Новосибирск : Щ СО АН СССР, 1981. С.144-147.

9. Стрелков H.A. Сплайн-тригонометрические базисы в L2 и интерполяция целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 1982. Т.32. Вып.6. С.835-840.

10. Стрелков H.A. О проекционно-сеточных поперечниках // Вариационно-разностные методы в математической физике / Под ред. Н.С. Бахвалова и D.A. Кузнецова. М.: ОВМ АН СССР, 1984. С.211-214.

11. Стрелков H.A. Об оптимальных методах конечных элементов // Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики. Горький : 1ТУ, 1986.

12. Стрелков H.A. Оптимальные координатные функции в проекционно-разностных методах, поперечники и решетчатые укладки // ДАН СССР. 1989. Т.309. N 3. С.550-554.

13. Strelkov N.A. On the relationship between difference and projection-difference methods //Numer. Anal, and Math. Modelling. Warsaw : Banach Center Publications. 1990. V.24. P.355-377.

14. Стрелков H.A. Проекционно-сеточные поперечники и решетчатые укладки // Мат. сборник. 1991. Т.182. N 10. С.1513-1533.

15. Стрелков H.A. О совпадении разностных и конечноэлемент-ных аппроксимаций // Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики. М.: ИПМ АН СССР, 1991. С.178-183.

16. Стрелков H.A. Критерий асимптотической оптимальности проекционно-сеточных подпространств // Матем. заметки. 1992.

Т.52. Вып.4. С.89-98.