Анализ негауссовского белого шума тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

>т 6 од

10 МТС '^'їіЛЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

ШІТВИЇЮ»* Євген Вільимо’птт'ї

АНАЛІЗ НБҐАУССОВОГО БІЛОГО ШУМУ

01.01.01 — математичний аналіг»

Автореферат дисертації на адобутт* наукового ступеня кандидата фіонко-математичних наук

Київ * 1995

Дисертацією е рухшшс Робота вихонана в Інституті математик* ВАН першая

НвуювкА керівник:

академік НАН України, доктор фЬхко-иатсиататап наук

Офіційні опоненти:

доктор фіоко-иатематігшжх наук РБВБНКО О. Л.,

кандидат фіонко-математпних наук МАЛЯРЕНКО А. А.

Провідна оргаяіоацін:

Фкшш-технічннй інститут нжоькжх температур ім. В. І. Всрківа НАН Уірвїки, м. Харків

сіданні спеціаакювааої рада Д 01.8fl.01 прж Іястктуті иатематшш НАН Україна оа адресою: 252601 Київ-4, МСП, вух. 'Пфвщанківсиа, 3.

З дисертацією можна оонаіамжтжеа а бібліотеці інституту

БЕРЕЖАНСЬКИЙ Ю. М.

Захист відбудеться

Вченні секретар

спеці оліоавалоГ рада,

дпхтор фкшо-иатвм&тнчяяк наук

ГУСАК Д. В.

А ті 'Ту^еШіїЦН-'і L t ti: М 11 IVOOl'ct t ‘' <і і' fK (.і l; і ,і; > , і; ¡■і. /і vi И л.ї. і ; и ut Пі.х і учл/'.ного фуп&-ціаи.,лі.ного ш«.» іму Ьс. .іи а і»іяч

««мірного a;mny Перші ргчуаьтл ги a цій і>б'.неї і tjyí.a *, 1 ■ w фактично ііа шічдтху наша! о стчлі іт« такими нин-ч ними тйк.шн як Фрял«, Гаго, Вольтеррл. 1)>охи тоніте п цін і/м.-жп

tiutfііхіпііііи Ніирр і Няя^ ZZTZÍ ¿iJ-U , ^inv-

чуїцип яшпіГ) на рооии юх теорії ймовірностей. ;V'p*vi нгскін ¡nm« вимірний ангіліги: важливою складовою чксптию (■ взпто!м>ї íV.'.:*икvt Тут треба відмітити класичні роботи Вершіна, Купа, Ф-тіїша-па, Фока, Швіш'ера, Сіґала. Протягом шістдесятих та сімдесятих років багато ропуяьтдтів нескшчеяновимірного аналіиу булл одержано и рамках квантової теорії поля такими математикам« і»в Глімм, Джаффе, Нельсоя, Сапмон, Аіьбеверіо,

Дана робота відноситься до обдастї нес»і»іч<-м»','гіИмірчоі о яли ліоу, ідо носить паопу аналіз ¿ілого шуму, V ширшому си»:і «ід цим ропумігтьгч деяка теорія упага-пнених функцій ‘'чи'-.кінч^мчпі кількості ммілнкх’ Донед/ікна ця нну*л ріжкинтии я ччг ¡:»очм<' <• рамаах fttyciowro алаліпу, тобто бупчмло* я -ілпипіня "'*■ їч'.'ме во«у бівочу шумі уиагалиіеяпьу прнцгсі, щ>> с »»о^ідиою на та сам ui.'ícpjcüra арацесу. Вяхідно/о гичкою і(м>і<і ачалі*>у сто я я рп бота Т. ХЬіП Н)7Гі pnjfV- імі'ПЦ arf.V r^Vepl,“''v :• Т7“? і'’Г'“- f п|чн'»»ям<»пих цій 'ематрпі. До чнгяа >*ат*ш і »<«іи, «і» щ>амагт > •* цчмй иитапетями, пуодять, *рім І'. Хідтт, вд« {. Кубо, ('.

И. Іто, Г.-Г. Куо, Н; Обата, Ю. Иотпофф, і! Штраитт? ^ччт'і •пнгих Паралельно і спочатку ттиии-.чгпо ihamniitn не «« .•»«* un.

Vf Л ('■ ■! І. '■ =1ГЧ ІО, fvf *’» (• ''!" У It!’.u:v >. «»;. .«•,

v-yíj КJ. Коадрнт ш»м. «іртнмініїоопупзжюп. тоtt»i"•r'1 г«

• • * ’ ’ *-» т ?\ д и V 1 v *n !'»v• • ■> Ч»', >И • * Г-л • W V 1 1 ti ÍÍ1<ÍN

Дана роб' та стосується ікчауссового кпигуру. Цей каїтря-н;іе, у пшіад*> пуяскпнолого білого шуму, почт розпинатися наприкінці вісімд-сятнх рогів японськими математиками Й. Іто та {. Кубо. Проте 'Г'і'іть у щому випадку палншалося дуже багато (у порівнянні » ґауссовпм аналіпом) відкритих питань. Зауважимо, Пі>‘ в і рохи іншому контексті (і бга вивчення узагальнених функцій) иа’г.усі ояия аппліи ронпппасться також і в рамках квантової теорії ґшярірпоотея (Р. Л. ГЬдсои, К. Р. Партаслрглі, И. А. Мгер та іи.). Спід відмітити також і нещодавню роботу С. Альбрперіо, Ю. Л. Да-іицького, Ю. Г. Кондратьева та Л. ІІІтрайта, у якій теж пропо-«уегкся уоагвльпгаиія анааіоу (гіауссового) білого шуму па допомогою побудови спеціальної біортототільної системи. При цьому в (Гя*йх вчппдїпх існує важллрия оо’яоох між “біортогональним’1 чляпіоом та "ортогональним”, що ршвнпається в даяій роботі, Дослідженню цих тпань присвячені останні роботи Г. Ф. Уса.

Рдагляїтутнй в дисертації підхід до побудови неґауссопого ана пп* містить в собі як частинний випадок плаліп, пов’етзалий р іірачагг-м’фацк, якнп вперше був оалропоиований Ю. М. Бере и?"гі гим у 1991 році і роороблявся ютм ргмвдм о дисертантом та ііппнмя математиками

Мета роботи. Відомо, що в основі зналіоу (Ьуссового білого тну ттчъ ідаморфкш Нїшфя- Іто-Сігіїла між простором Фпка і я .горой функцій нескІячснної кількості омінпих, квадратично ¡я ;5!’р6папиу. оа стандартного іНуссовою мірою. Нещодавно було »»о*апішо, що цги ізоморфіям можна побудувати оа допомогою про-■чиїшнш птс*град» пої теопеми як перетворення Фур’є оа упягаль »'гнямя сумісними плпгптія векторами д«шн сім’ї ноінжнх оиерч-; що діг?тьу просторі Фо*<» (при цьому Ь'чморфіомові политі *т«рат|К» Н^р«5К>,ПЯТ|. ) «І.'ПТОПІДЧІ «ИГрЯТРрИ МЯ(*ЖСН,?П НЯ ЛІПІЯП’

ї~. '?*ц}ЇІ, Мтн ,іуічп» і*пб<» <ч чс’чгяр в чом»', пі*»6»: рчятк мачіг-п-

сім'ї польових оптчторц;досить /ірвіяьіш поле Ягабі, що діє в просторі Фок» {тобто с.і'з’*о операторів, що має даякі спеціальні н!,и-спізасті, гою:;::.по а л ап: с та, шо и«£тар и п-частиишиого під-зроегору' <**>?". ---.ричп'м ?, и (п - 1)-, «- та (« І)’¡¿»с'ганкопі шдаростори),; і;ьву/,уі;Л'т відповідне перетворення ФугЛ? -¿^ гааьнешшн сумісними вл&сниии »~* .>«««*" Цс

юхюбл*?**.С25^» *гоімі|-ї*Ьмои між просторои Фоха

■>» г*-функцій нескіпченпоїкількостіпиіишпс, квадратично іптеґрогшшх оа деякою ймовірнісною (негауссовою) мірою, що буде сиехтральною мірою цього пола Якобі. Ткким чином, це відображення ножпа буде назвати узагальненим іооморфшмом Вінера-Іто-Сігіала. Після цього — навести конкретні приклади такої конструкції. Далі, по аналогії о гізуссовкм адаліоом, поПудунятн рійні тини оснащень простору Фока і (застосувати до них уоагальиений іоо-морфІои Віїтера-Іто-Сіґалсц одержавши таким чином деякі нові простори основних і узагальнених функцій, спарения між якими надається побудованим вище ¿’-простором. Роогяянутн приклади уоагалыхених функцій. 0 широкого спектру всіх можливих осттаг щень виділяти ті, що шиоть добрі внутрішні властивості: наприклад, кожен еяемент простору оспоніїях фуіацій має версію (а сенсі І? -простору), іцо е (геперервною функцією, ЯрОСТф ОСПОЙПИЯ функцій с алііеорою і»о,гз поточтчого »»гюжеяпя функцій, у про ст- ?*;ї; T:\tain,тієл.т' фу ліній ї^ргттко з^яачеші'деяьта^упЕЦІя і т. л. Вн-пїїіи я« дітгугь па просторах основних і уоягальшчтх йуащій основи! оператори ш*т? бігких» шуму.

С2#*па. хйк«*?гг:‘ї' ь. з ■''■оултгпт^ ■■ ■ < -

•• пі? сплраторі;% пссїггї'Тнп«"’ апзлічу, 7<?орІЇ уао»

•= ОУ-іч'« тл «ялі метода фуячпісьтллвого алахЬу.

Наукове Еоскзпа робота: .

о У найбільш оагальпій ситуації побудований уоагадьпенпй too-иорфіпм Ві кера-Іта-Сіґала їх між простором Фока та простором X -білого шуму (І?х) == L2(€', dfix), де £' — простір, спря-їкєішй до ядерного простору £, (їх — спектральна міра пола Якобі Ах, що діс в просторі Фока (індекс X відповідає оа кон-еретшш вибір появ Якобі Ах, а тому і міри цх; так, наприклад, коли ьш покладаемо X — G, то під цшл розуміємо тс, що оа Ах кзата сім’я Aq польових операторів, а тоиу міра \і% е ст&лдартногг» î'ayccoso.-o мірою fia).

о Яі’ часттілі вгшадаи впхцазаоначеної конструкції побудоа&ні іїюиорфіами між простором Фока та просторами (Lq), (І/р) та (L')), де fia — ґауссова міра, fip — пуассонова міра, fij — саеціані нам 'твом побудоване «звуження на £' деякої продазт* иірп, визначеної па R°°. .

о За допомогою ізоморфізму їх вводяться поияття монома Bisa і степеця Віка, що відповідають мірі

в . Покапала, що мономи Віка, леї відповідають мірі ду, можна Івтерпретувати лк кратні віперові інтеґршга,

» За допомогою оастосувашш іооморфгоау їх до оснащення простору Фока побудовані просторе основних і уоагадышшх фуік-цій, сшірешш між япши гщдаеться центральний просторо;; {&¡x)\ пайедепі ирпзсодп утшгаяьпения функцій.

& Доведена теорема про те, що на відповідних умов кожен скэ-ї.;скг простору осеовншс Функцій маг неперервну па £' версію; іш теорема оостосовапа у яянадзу ¿гір Ца, цр, fij; саедззг» дельта-функція X-білого шуму.

У їіішадг.у : ¡¡пп па.:-.;. .¡V„ліії оши»-

К!К фуГГГГЦТГГ С ДЛіЬиі.ДОО ВІДПОСМС КОТОЧКОМ»'.'} МІКЖСІШГ,.

г> Вятмз. ¡С-- с^-.орах осжюмис і уоагаяьшнпг* Луп«™;;

■•(плЬу-' слілм'о ;’Гчгї.:V: опсу:'.і--ог>л .ні'!;:- . ’■•■•

. •' ---а Чіиітральппгсг оператора та іх-^лякатилта мютдим»- - —

в Похапано, що для дозілького X-білого шуму ісзус пльбгр'ли простір, ЩО Є ?.ШО}~ШЮІО ППСТГОЇ МІрГТ /І;;.

Практична цшпість. Одержані результати дають оспопу дйя подальшого рсопстку пссгіячепказгаліріюго аналіоу у гптпздзу. Г’ОЛГ: "ГТлгідГТГШ простір ?іас ЗГЛСТІГВІСТЬ ХаСТТРШСРО почжтлптптт^

’ с. •іпяом, у;;:г;.уг;:: ■ ■•.

"-•.!:Ср’?; тсгс, ог-^їмгі’-? '.и.:'1 ’с-.; "

"’’ГЛГГГ.ПІГ: Ті’і [7Ї:К, "'/’'Г <;№ ро:1: і‘Т■' • ' ■ ■

п> •-'гг'г^ггг’ *> •*----іч-лї-/^'І

•;І,-:-.ті ^’7-з:.Ігу :."ст''лут:/ '\:\Т":/л~К;;н :ІАІі : лііЧ":- ,г

.0. лі. Ве<»сія«>сьаліі>:

'■>» .-»/'.Л-’ЯЗ ТС2ВП Пмвгаяямл. л- -

»»►т * П*; 1*1 *4.

с

Публікації. По темі дисертації опубліковано 8 робіт, снксох яких наведений шшче.

Структура та обсяг роботи. Робота обсягом 116 сторінок мапшпоппсу складається оі вступу, трьох рдаділів, списку деяких стандартних пашачепь та списку літератури, що містить 68 найменувань.

* Ф ' '

ОСНОВНИЙ 8МІСТ РОБОТИ

У вступі обґруптовуеться актуальність і важливість питань, що ршгяядагаться в дисертації, проводиться стпслиш огляд блиоыпах оа напрямком робіт, формулюється мета досліджень та їх позивна, викладається оміст оа розділами.

їшою досліджень у Рсаділі І с побудова оа допомогою про* йиційпої спектральної теореми упагальненого іооморфіому Вінера-Іто-Сіґала їх » наступним поданням деяких прикладів.

У §1 наводяться попередай відомості, необхідні для подальшої роботи: формулюється проехційиа спектральна теорема в оручній формі, будуються рідні типи оснащень простору Фока та формулюється теорема, що стосується визначення та істотної саиоспрх* женості операторів, які є лінійними комбінаціями операторів, що допускають рооділенпя омінпих.

У §2 у максимально нагальній ситуації проводиться побудова ічоморфйшу їх. Для цього фіксується трійка просторів

£* = іімі Ііт В-* Э Е Э рг Ііт Ер = € (*)

’ р-МЗО р-*оо г

(Е, Гг - гільбертові простори) і припуагактьгл, що вкладення і!і С Но ~ Е с кваоіядерішм. Далі в (симетричному) просторі Ф^ка .Я ропі лядаетюя сім’я Ах — (Дд сакоспряжсних ком>гу;'> чегх операторів, які оадовпльпяють наступні умови:

{У.І] Дна давіяіиого £ £ £ ) С КклиЫ» ^ і Ооаш.„,,и*

ь оператора А у.; ~ Г ^¡п(ч е .4,^, (де ¿'/¡,г{£) '«■

скінченна гпн.шяннц пряиа суил просторім .?>,(£) ~

ргІІшь-нм^і^^І)-. л € 2ц., - гі чпсгиніонай існш.-і и= ‘

амя) простір Фогл, побуцскаиип оа гід'Аертагіїш и{«>п<)рои £р, то&го кишілексифікація простору £^( де ошвол 0 иошіачае ; я Ш'гпвии-а тс:Х0»мі»* «иоу-и«}

[У.2’ Д«а дівільпоі'о ( 5 ^ оператор .4.x-,« аов оператори»* ажпбіеву струхгуру, тобто

->« - • -4„ в т\е), ті

прямому «Ад- ■ *» 0 прш |» •*■ /| > 1.

[У.З] Для довільного f¡ Є -^(£) йі,^</>ражеііп:т

* э € - « Ж* >, Iі ~ Я ^ 1.

€ аінішшн і «перервний,

[У.4) Дда довіаьиоґхі гг € N відобрішенна

гле)»е»-.гх.„*т • 4л.-,4-,,.. '«(>лД е е ^ ■

>

(О — шиуум в ?(Е)) иожпа рсоширнт»; пл. ¡тЫгттпа«* гя агр?ч^ рмпстзо дп апт*'морф«тіп прскггорів ^(¿*) т-д Рп(К).

ТЪго оа дигсокої о«о «рое*ціяної спс«їраяьпп7 т^прглі* ми птт-р жуечо цсптрагтпяй ропуїьтвт дмкм робот

ТЬор»»мг» Т.2.І. Існт еЯим ймпліррі^» міри /?т (,-»< <-*>:(!'‘і'і СЪ’К **■ >А \ f, я !■ *- ГТ*,Мг'< ? :л-*! ’**•'">' ' <'•'/**

Г‘г Р(Ґ‘) ІГ■ бігре^ЛЧ-Т ЛМЛ*ЧЧ ■>'.'! «!•■'

така, що для кожного в € £' знайдеться вектор

Р(*)*(Ря(.г))^оЄ^п(0, ВД Є т% РоИ-1

( -^п(£) — простір, спряжений до ¡Р^п(Є) відносно нуль о ссео простору Р(Е), він е нескінченним топологічним добутком просторіо /'„(£') = ітіїігпр-к»^„(В-р), п € ¡2+), який е узагальненим сумісним власним вектором сш ’і Ах, що «ід повідає власному значенню аг, тобто

{Р(х),АХЛП = Ы){Р(х), /), / Є ГГт(Є),

і відображений їх, що визначається формулою

^п{£)Э /^ (/*/)(*) ==<П*),/Ь

можна рспширити за неперервністю до унітарного оперо тора

Іх : НЕ) - (£2у) - Ь7(£\<1цх).

Образг/м оператора А^^, £ Є Є, при відображенні їх « оператор множення на функцію (.т;£) у просторі {Ь\).

Простір (Ь\) вшивається простором X-білого гиуму (зЛр біаого шуму, що відповідає мірі ^х), » оператор їх — ya vjn.nn> ним ізоморфізмом Вінера-Іто-Сіґала,

Шаш цього доводиться вяага пажлинях тп^рдж^п» , чк 11» суютгся властивостей відображення 7*.

ІЬердження 1.2.1. Маємо

Іх(ГГт(Є)) - Г(П

де Р(Є') — множина неперервних поліномів на £'. Тверджених 1.3.3. Маємо

іхШт) = (ьуп) = гх, п е г,.ГІи

помішші степеіШу що не пеугсищуг. а.

Т^РТ>ПЇЦОИТЯП Т О ?і. 311.».* мл

“ 1 ‘ а) “• (*!''' 6 Рпі1" )»

/1 р Т-(Я\

" і />./ ;я ' прас;~^єю нд [Ь\>п) лшкгл'ш {; : ', /д). Функція : (хСі'1, /„) :.у називається лісшодіол* Віка. Крім того, враховуючи ТЬерджеиш/ 1.2.1, вишіачасться також степінь Віка :і0п;х я» елемент простору ^(¿') такий, и,о

*, /„> » <ВД,Ух,п.п/п), А € ;Р,(£).

Більша того, діл довільного “ннгля-дког*»” (п € Ж.(?)2ітіі'-.'чг,т-.їт

О*1**,А) «

г (Іх(Ух,п,пШ*)ЄИ\^.

ТЬіу має місце наступно теорема;

ТЬоремш 1.2.2. Мнемо

00

п=а 0

МЧ

- Е М-~'Л^;П/Ч):.*, / (дхг-ос *(#>.

я=гО

ріг<? .пбіяаетьсяв (Ь\).

Далі рппгпяпяртьс.в рцтчпо». Ах ? ?гї»а’**тг> гАур^^пг- па і* с*п<та-; ор’л», 'Г'»6т^

а оператори а Є 55+» оадаготь обурення Вх,( пояьового

опфатора

^==4+4, ‘

4 I .гп(£) 5 4Н|П, 4 Г Л(£) 3 >

Ноіігажлнвігаою особливістю цього винаджу є те, що иае місце рівність Ук>пА = '/п! М, де І<2 —- тотожний оператор. В Цієї рівності одрзяу випливає наступна теорема.

ТЬорема 1.2.2'. Якхцо Ах — сім’я збурення польових операторів, гп<>

(/*/)(*) = («Г1'*

І = .(/»)£* Є ^(Е).

с*е збігається о {Ь\).

У §1 припускається, що Е ~ £*{Т,»/), де Т — сепарабеш*-гош топологічний простір, & V — ет-сжІнченна міра на борелгвій гг-алгігбрі /І(Т), яка не має атомів, 1 поідауетьса, що тоді мономи Віка : (ж®п,/„) :х можна інтерпретувати яж «ратні віперові інтеграли (Теорема 1.3.1).

У §4 наводяться деяіі приклади сім'ї Ах обуреній оолыпшх операторів, ті оа Теоремами ї.2.1 то, 1.2.2 породжують уплгаль-пені гмморфЬмя Вінєра-Іто-Сігіїла між простором Фока Т{Е) та підйовіднітя просторами {І\). Ъх, у годпукгп 4.1 оа Л% бо {хт-ся сім'я Аа влзоїчнях польових операторів. одп приводить у '"ппю чергу до класичного ітоморфіому Вінера-Іто-Сігіша Іа-

Підпуягі ІЛ присвячений, мабуть, паитжлиніпгому имЧугсо-йсн'> «ипздгу, н сяме - випадку, годи [і* е пуасг.<'п,’Ро»о мірою /ір. в.Ч.пС&Д'«К>г і'ЛОИ''рфімц тг ПудуГІТГЯ "Я ІЬорг-мою 19 1 ЯКЧрі А}

. fi — 'IP СІМ .4 TffîJIWBirX ОПф<<Т«|'!П At. >3%р?ПЯХ (>!іррягоря*?п

Brf = dl'(Mr) Ь / tU)dr(t) id.

' ir .

Д2 Af¿ — це опграгоп множення и» -ьу-r^r: £ — ** »

27 — «v7< «■ •«««»? “"Г//, т. ' « 5*-’* гїігякуглтгсті-сї >’■»« сопаїшя шсі рівпості), a (ÍF (•) посіпачяс /(»Т'ік’р'яшіальпп nr-’p'mur¡ япавггуватш. ,

ІТІдпугтпт 4,3 стос)ттьса тзк пваиого ніобієвого пппадіу. Прп цьому оруппо вважати, що оа вихідне оснащения (*) етмте глт>п дартне оснащення І?(R) прострой Шварца S:

-S' — ind íím S..F "> ь*('ш г> pr lim ¿v -* Л,

Г—no p-j~c

де p fr Й., їіатятусгм'л па <:pTn!snpMorvMH4 finntw.

(e.,í2? + V)-

(є,- фушщії Ерніта). Виппатяггм:<і лічійпі iw<*jw*pbfí «♦» ■> )

••«•rpm'cp” Вjf. па формулою

п- •*- ío-ч. я.--) ç ,

дп (М^-і • фі*с.овапа нослідопнісп. л^сяал чкссз, 2£п — мчгр хт фіпітіпгх послідовностей о Zy — Zf xZ+X-, =*■

{0,1,...}. « (ee) а€К»0 — бЯППС ЧЯСРЛ ШИЮВНЮВШНЯ В ІфОСТОрІ

Л№», ттгЯуяпяапкй оа ортоеторм^ячиим брлигом <!(!°

»тору L?( Ш. Далі для догіямтрго £ - T^j¡(jCj Є *? вкошпаєш-.й

ГЧГТ^ТОА # Т* oft фориуПГО ’

гс>

O/í/й ,/€ .^n(5),

/*9

де ряд вбігається в ^п(^), а після цього шгоначасться оператор AJ£ = Дг + ])/£, £ с 6'. Побудована такни чином сім’я «4/ оа-дас оа ІЬоремо/о 1.2.1 іооморфіом між ^Р(Ь2(К)) та деяким простором (£}). Міра ; вшївляєгься спеціальним чнноц иобудовашш ввужєянш на (<5',В(5У)) нродак'ічіірн /¿у = Ху^0сг;-, визначеної «а (НОС,С0(ПМ)), де СіГ(1Іл") — сг-илґебра, породжена циліндричними множинами и К03 — К х Іі к • • •, прпчоыу (Г/ з <7, У Є 2+, а ¿7 є спектральною мірою иатриці Лкобі, що має елементи 6„ на діагоналі та елементи \/п + 1, п Є г+|на двох суміжних пооадіагоиа-адх. Тут тагож доводиться ннакатверджень (ТЪерджения І.4Л-4.5), які описують властивості носія міри сг, визначеної на (П,#(Н)) в належності від поведінки на нескінченності коефіцієнтів (6П)£10.

Нарешті, в підпункті 4.4 показується, як, маюча вже побудованими два ізоморф’кши Віиера-Іто-Сіґала, молена побудувати їх деякий “добуток*’. Зокрема, ця конструкція використовується для побудови кратних вінерових іатеґрааів оа стохастачиимн процесами а неоапежшшя приростай».

ТЬмого досліджень у Рооділі II є вивчення властивостей просторів основних і узагальнених функцій, що одержуються як обрали при іооморфіош їх відповідних оснащень простору Фока (ааонаг чішо, що всюди в цьому рооділі припускається, що їх породжується сім’єю обурених польових операторів). Сама побудова цих просторів (тобто їх форшиїьке ввопачетня) проводиться ы §1. Зо грена, тут будуютьса оснаїцетія простору (ЬЬ) наступного ваду»-:

(£х)~е = Ы Ііш{£х)2р Э (їх) Р" ііт {£х)$ ~ (¿хГ,

<» |ї—*СО

а > 0,

дз гільбертові аросіорк пкгш.тгагсггьо" як <%еэя нрг »»дл-

б^лкссяні їх ирйэторЬ клду

т (цу, і(п^г) - {/ - (/п)» „ ід е адд

N / ^(Г{,,((Ы)!^~ о)” ^п=° ^ ^ (П! >!а ~ ’

Р > а, г* > 0, « С {-Ц -}.

!Трч цы>1 г/ дли доцільного еи&гепта Ф(~) € (<Г.г)ял/: гііскг :/кісту.ппс формальне ііредставлелня:

. *(*) = 2^'(рп<>). я.) -

А» О Л:*0

со

П=гО

Р = №£,егг(£',((»ГЫ = ітІІІт^(В.„((п'ГГ.,)

р~*оо

У з2 р;г•.г.-и:д;иотіл-- дсягі 'ірлк.ілдт: упагальпеилх фуятщій, належать до простору (£;{)* = (£ї)”()- Всі зона будукт^.н .г; обргізл даякгх. егемеїггіа простору фок,?, при івоиорфівмі і,\;. ’^а-узззяпмо, що ці приклади п іЬуссовому аштадку с добр« відомим п. Одним о :ійппа>?сллпіпгах серед тшх е так опала скспопшщіїша функ ція Х-білого тупу, яка втзпачається наступним чином:

СО

:е<^:А-н ^(п!)-1 і{г,у)п:х= Іх (Г(у)),

п=0

%) = (!, (2!)-^м,...) с когерентним стадом.

У §3 вводиться 5у-псі)етвооеішя на просторах уоагальненнх фуянтш. Добре гіг,чгю, гцо в йіуссооому та пувссоаовому випадах войо відіграє у « найвййіййьіїпах $юдей. Де церетворення, соди Ф валгжзтг., иат>лгпяд, /т> простору {€%)*> атоначаггься наступ

ПлїїЛ гїї*м*1«І

де {(•, ))х ашаачаедуальие спареная иідиосио нульового простору (£д ). Дані підраховуються Sx-переіьореяия уиагальнених функцій, іф Ьуна ааждені ак принади в попередньому параграфі. Крім ІКіГО, шашачається, щи в снлу »»аморфності всієї конструкції lUyc-аіьому випадку, иарап (залишаються справедішьими всі теоремк cüiauhiy ОДссової о білої и шуму, що стосуються харажтерииації елементів просторів (¿V)“»«* € [-1,1], у термінах їх Sx-перетворень. Це, у саоЬ чергу, доаводяс коректно шгашічати добуток Віка ФфФ двох узагальнених функцій наступним чином:

У §4 доводиться центральна теорема Роодіду II (ІЬорема 11.4.1), яка дає деякі достатні умови (що формудкіються в термінах обмеженості операторів Вх£ на просторах рп(Ер)), щоби кожна функція ф о відповідного поовтивиого простору в оснащенні (L\) мала ьерсію ф (тобто ф(х) — ф(х) для Цх- м. в. * € £*), яка с иеперервягою на S1 (від цим розуміється неперервність на кожному просторі Е...р, р > 0). Ця версія аадаеться формулюю °°

¿с»)«52(р„(*),/п>, ьє&іє),

п=0

прийому ряд вбігається абсолютно \ рівномірно на обмежених мво-жпп!& о ВЬыпе того, Фіх) може бути ршіниргна на tournes евфікашю СЕ' простору Є1 таким чином, що <Чг) етапе анапітич-иій функцією на С£'. Заур&жшо, що ушви 'Ік>рши IÎ.Î.1 ни-rnny< irhr.w я ^.усгпр'-.му м:№дгу л'їя простору (Е)а ~ (i )f'! R в

ПІгіУТСИИН^МУ КППЧДїу -■ - ДЯК (Ср)1. І ічшу КРЯ-ПП l^îMtVWl К (¿Г’У ?* пшп'л прпрпг /fi-’ipt* '.¿iv.v.'j'v Ч' *»|>:пл<»ру (£Г(Д А.па-тп*'««с, $rv

у*і;іП0Н jf» ,| < С(Я 1 І У* ''У<і Дії* «Ц'ї'"Т f»|;V ( F * , r* f;, '««s/ira

» ЇГїТЧіу*-!'? - «■**< 'І Ь~ї • М (\ ї

""Далі, праховучи теорсиу про істгупашш неперервної версії, для їонкого у Є £' шішіачаеться дельта-фунація 6Ґ Х-білогс туму ж уоагадьпеиа функція, що діс пастушій» чином:

(0у>Ф))х =ФЬ). . '

Ця фуакція, як а треба, виявляється елементом підповідпого нега~ тунного простору. Ткк, наприклад. V * « с

т-;: ' ' '

V в» і’Ься тц;: <?дпа вгихляпа теорема, ¡пса стосується

ппгшо'шо пуассопоіюго вштадау. '

ЇЬорсма ЇІ.5.1. Для довільного а > 1 (£р)а е алґе-брою, тпобто добуток двох елементів з (£р)а знову належить до (£р)а. Більш точно, для довільного р > 1 знайдуться сопй > 0 та д Є К, які залежать від р і а, такі, що , ,

ІІ ФФ І!«,?» 1 00304 1І Ф ІІ«,г+ііі Ф Ік-н, Ф, Ф Є (£р)а.

де ¡і • паз-іачт порщ простору (£/>)£.

Тгипм Т.ТПОМ, простір (¿V)5 має 1-ІС одпу спільну о простором (Єа) властивість — алгебраїчної структури,

У §0 вивчається дія на просторах основних і уоагальпгатх функцій основних операторів апаліоу білого шуму —■ оператора диференціювати оа Хідою у € Є1, що с «брг.аом ціні іоомор-фіпш їх відповідного сператсра оппщешш /1“, його спряженого — оператора О*, що є, очезяд?го, обраоом оператора народження та специфічного оператор» псґауссового аналіоу — так ова-ного “нейтрального" оператора &х,уі У € £\ що р обрапом прк моморфівмі їх спепіальшїм чеком побудованого оператора Дгг Вгярсма, прп у -- £і (Е ~ Ї/{Т\ у)) ці оператори пошіядатоткл ітстушптм чиисм:

д; ~ о«,, аГх* = Яха, геТ.

Зазначимо, що п пуассояовому вшіадау маг місца наступна теорема,

ТЬореїла 21.0.1. Д/úr доеьіьмих £ € Т та ф f~ (£р)* мас/ло

(г) = ¿(a? + íy) - ¿(a?),

<?e ф —• неперервна версии ф, оизшчепа в ТЬоремі 11.4,1.

Нарешті, спочатку формально для кожйОго у Є 6і вітань-часться оператор {z,y)x- координатного ыножепна на функцію (з;, у) такіщ чтюи:

(хі У)х * = &у 4- D* 4- .

Зокрема,, при у — ¿>t вокаадається

3?{¿Xv * ~ &t + £*Ч Л'Л',І, і € - *

Введзпаоарао назва офмовпгаегьсй тии фаатом, щэ(шш довкьтдзг а £ € £ оператор Щ ч- Щ -f І¥€, ДШСНО, ОП5|і»ЇОрО:-3 МЕОГіСЗЕЛ иа функція» {©,$). Вдаагіттк», ща у вшадгу n^enspssa^oT иірп (пжо, паарішшд, є цуйсеоківа кірг) треба &£кжвдпі ояьрэгарп ta *,así нря у Є £ є'одграторй:?э-rzcx:;avu

цр.фукщиа {:я:х,£}. - ‘

У цъог^у шраграфт дэ^адетгьсс д$: таореш гродеіз кзшзя;-ігах вещ» ояйр-гторш у сгЫйсвоцу (Іігорггл; íl.<?.l) її; щ'ьсгол'сь озму (ТЬоргж. П.б.2) Тс ;, у другій tco^iú ,\;отр,лъс-;

жяягувил ¿¡орщий:

{{{гя;*'Г)-<-Х і>))р « {{(:ar:p,.v},'>-tA}}r.

,Гї ф G (--і )% Я (’■• ílv НГО::. ГГ7; ;-~Y;.'0 i-Sipr/"’-: /;?

ТЬ.--;.."; -г;г, у ? 7;/.,”:Г’ ьГ; 77 ас:,:

гл.ч;с і:;. ,7. 77,,?;у г ■ Д'/і'Лі'Л І1."';-

\ j’í^UíííÍi 1 .'-/IV ■*' ‘.і; ■ -'C't'; V- w - ^ У. \ ' •

.(.зорома ПІД Д. Нехай £ — ргНга^г Ет {Т-~ множина ■•'¡лу'льпог потужності, 2?, — гільбертові простори) е сепа-ядерним простором-, і пехай (і — ііліо&ірпісна міра {?.€„(£')), іЬ С1 = ш«ііііпгСу Е~Т* £-г —-простір, тржзке-:тй до ВТ> л Са{£}) — а-алґебра. пспод^смш ти»іЛ»....»....--.

ииий ил« пмт»«»»" " ^

": відображенім с неперервним:

т) э /» - (я®*, /п) є (2# 5 Ь\е>, іїц),

я Є £',

причому множина неперервних поліномів '?(£') щільна а (X*). Тоді ІСНІ'С ГасТ *П(іКі!, «ил Я?-«, 5 ПИЯНоГ ХІрЯ іі.

Оїспялппя пасшджм цієї тсоремн с йастуятжп.

Ьсслідо* 111,1.2. Всспй простір £ ч‘ оснащенні {*) гесочіїл. Тос'г ¿лат довільної .міри ¡.с-х, що атпачаетьс-л 'ЇЬоремі ї.2.3, знайдеться такс рй > 0, що Е-^ з .-торнтох: повної Лііргі /л;,;,

Крім того, шдщтазхугочкет. зід Теорема 111.1.і, ДОПОЇТЬСЯ таступпа. пажяпва теорема, ага даг зео&адну то доспипво умову іспувашія циклічного вектора сіиТ М (М;Ь-■:;ешш пл {я,£/ у просторі {#.), д? р- —довільна Гшопірпіспп, и і па

• ‘

ГЕзорсма ПІ.1.2. Нехай Є ^ргііпіг&гЕг а дійсним адер-тш ЬР-простарсм. Тоді для існування шшшилал

і-!<.'■■: :-'о-;о і'пі і'’'.і гг.-;«:™*, .ч;-;:;'! 'п’;.?пп п,тшс"іл'

СіШипгіі ¡««ультатп дисертації спубяЬолалі а гсятупшіх ро-

(/зт.чх:

1. Berezansky Yu. М., Livinsky V. О., Litvinov В. V. Spso-

tral approach to white noise aimlysya.— Zurich, 1091.— 43 p. (Preprint/ ETH/ТН/91-31). .

2. Lyivynov E. W. On the Segal isomorphism.— Kiev, 1992.— Б2 p. (Preprint/ hist. Math., Acad. Sci. Ukraine/ 92:31).

3. Березанский Ю, MЛтинский В. О., Литвинов Е. В. Одно обобщение преобразования Сигада // Докл. АН Украины. ~ 1992 — N б.— С. 16-20.

4. Березанский Ю.Ы., Ливийский В.О., Литвинов Е.В. Спектральный подход к авалшу белого шума // Ужр. мат. журн.— 1994.— 246, N 3.— С. 177-197.

б. Berezansky Yu. М., livinsky V. О., Lytvynov Е. W.,

Us G. F. Generalization of Gaussian white noise analysis.— Kiev, 1993.— 72 p. (Preprint/Inst. Math., Acad. Sd. Ukraine/ 93.13).

6. Berezansky Yu.М., Lyivynov E. W. Generalized white uomc analysis connected with perturbed field operators // Dopovidj AN Ukrainy.— 1993.— no. 10.— P. 15-18.

7. Lytvynov E. W. On the existence of a cyclic vector of eaaie famiiiee of operators // Ukrain. Mat. Zh.— 1993.—246, no. 10.— P. 13621370.

8. Lyivynov E. V/. Operators of geaernliwd white nofej caaiyr.it) // Dopovid? Alt Uiaaiay.— КШ.— i:c. 3.— P.,22-2S.

Л •! I .'•'il Ь ' А ¡1* ‘ПК’ i1') r-.’js •' >«[•<> (*•••_;-j Jíf'itíí' .

Ппсггртатшг na foncn-игк- jr7?n'.-S vi r-ipim хлгг,т?1л'<Ь' ’■ <.

v.:< ,л m-ü; unyi по га«*ийльиогтч 01.01.01 мэтгиэтгг":?:*«.i r.wn ¡< -

uinví wht(;KaiH*a НЛН Уяраячм, Киев. 1Й95.

»).-ттпв«ггся пшч.ертаал.ч, тк.£<яц*"л!т nw ф1*рпчг. i‘ .«í,u-,r4i* • 1 v-:

СЛ{)Я( '"<!> OC.fHSl'WM* n обсбт7~'ШП.!!С 'JiylJtríH'i f!*>C RfWnJntO l'I'.t.' -li

mnr, «плршвппв нвяд)Г ноторммя oñfi!tSrc* ГАтпюстрРлсгвся от’гтг«-

¿и»«.. iácUM as. «mmrrttiwrr* тргтитлв«*

тмтггп рагкмгпртазютля дчч trprowpa тс.гоя гепст(.уг;г!,пг: nyacronnn wn-лтгг), то петь случай, i-iгдч ц — иера rrync(!oírr¡ir\ брдаго шуми, a чпт:«■(> гжу-чай, когда ц — сукг’ттв пп тт^ч^рроч крострпястго trenтерся »геры на И”.

Lytvynov В. W, "Nou-GftWEinn White líuiw Ana!,vnh".

Doctor of Phitew?phy tbflsls, epHnUty01.01.01- mathsmücal &nahr! cf Mi'fbpnm.ttrs, Hfttinn»! Affxlnny «f ?• ten«»« of nViañ"

WS.

Thr? *•> br (JcfvmM i.” fn nircíU'jf.tb.’ii mid ir,!--“-’

of spnrt»» of f»jei *wl gpnrrnliíH ftmcHwj» (-llítrthiition«) nf hiOnif- ч>яч« v^tisbl««) v>how <tunl prjjlnn Ц by su / *-срягд ’»Hb ■'«►'p-f ‘ *•> i*

pti'fcflb'Hty mn^nn ¡t tJist. le ti-*) sp^ttrel ш« n»t» .¡I д :oí’<’nt:t->t¡v«> .U-«1-* МЛ wt’!t£ !ti Fci.Jr ярлгл TI«' fi llí’""!?)!? t<ro '?л,>г1р1*-я »г« of vl'>f »( !<;"*!■ n: tb^ Pt»i<^cn nralrsl*. 1 ».. ♦>-* r.»*o wh^n i> !* tb« ** Г'>‘.--!\ч

»rhi* ” n<*i¡,í, *»»»1 UlP cap«’ «!»«(• >> í« >l,n r*wt»MI»»w (•' a r>\ ;;

P»M'1 trf m Rfr

fl>>" i 1«Í Ííl't'iii f;n i; ’•.■м.Ь* ..

tfPf^nTrTifín^ Гí’"'? tГП1 £.ttn -гжплу» »{;' ?iT'*. г г --K, r„ .vy.

< V ‘ "4 *1 TV Г» > - vn» *' Jí