Анализ областей устойчивости и резонансных ситуаций у некоторых систем связанных твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

•1.3 -1 3 2

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ Институт прикладной математики И Механики

Не праяях рукописи

НЕСТЕРОВ Олег Юрьевич

АНАЛИЗ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ И РЕЗОНАНСНЫХ СИТУАЦИЙ У НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ СВЯЗАННЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

01.02.01 "Теоретическая механика"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Донецк 1992

Работа выполнена в Институт* прикладной математики и механики I АН Украины.

Научный руководитель; Доктор физико-математических наук,

профессор А.Я.Савченко

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник В.А.Самсонов

Кандидат физико-математических наук,

доцент Б.В.Позднякович

Ведущая организация: Институт математики АН Украины.

Защита состоится 22 января 1992 г. в 15 час. на заседании специализированного совета К 016.46.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте прикладной математики и механики АН УССР по адресу: 340114, г.Донецк—114, ул.Розы Люксембург, 74.

С диссертацией моано ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики и механики АЛ Украины.

Автореферат разослан * I О * декабря 1991г

Учений секретарь

специализированного совета ^

кяидялит физико-математических наук ^ * '' "< А. И. Марковский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

-г.щий

Актуальность теми. Заметную роль В решении многих важных народнохозяйственных задач играет приборы к устройства специального машиностроения, конструируемые в виде системы связанных твердых тел (ССТТ).' Это, в частности, центрифуги, тела, вращающиеся на струне или струнном подвесе, спутники с двойным вращением, манипуляторы, гироскопические системы, гиростаты, геофизические ракеты. Перечисленных примеров достаточно, чтобы сделать вывод о важности я актуальности исследования динамических свойств таких систем, устойчивости их стационарных движений, а также влияние на устойчивость Движения малых несимметрий и диссипаций, всегда существующих в реальных объектах,

Инициатором развития теоретических и экспериментальных методов исследования ССТТ был академик А.Ю.Иолинский, под руководством которого получены важнейшие результаты в этой области. С решением задач устойчивости стационарных движений ССТТ связаны имена ведущих ученых, таких как В.И.Зубов, Д.К.Климов, В.Н.Кошляков, А.И.Лурье, Й.В.Румянцев, П.В.Харламов, Д.Н.Меркян, А.Я.Савченко, В.А.Самсоной, В.А.Сарычеа, В.А.Сторожекко, В.Н.Рубановский, Н.Е.Темченко, Й.Вит-тепбург, Л.Лилов.

Функционирование в реальных условиях современных космических аппаратов и исследовательских ракет показало, что такие объекты оказались значительно менее жесткими, чем это следовало из предварительных теоретических расчетов и испытаний. Это связано с использованием новых материалов, допускающих значительные прогибы,' Что привело к необходимости учета их упругих свойств. В частности, задачи, которые в прошлом успешно решались с использованием модели абсолютно твердого тела, теперь требуют иной физической постановки модели объекта, учитывающей угловые относительные перемещения его частей, поскольку новые свойства стали оказывать существенное влияние На движение изучаемого объекта.

В этой связи предложено два подхода решения возникшей проблемы. Первый состоит в моделировании изделия упругим стержнем йли системой упругих стержней и дальнейшем решении уравнений в частных производных при заданных граничных и начальных условиях. Второй *е подход состоит в моделировании изучаемого объекта системой твердых тел, связанных упругими шарнирами, жесткость в которых Подбирается определенным образом.

Целью работы является решение следующих вопросов:

- подтверждение адекватности .конечномерной модели (модель ССТТ) и непрерывной (стержневая модель) с точки зрения близости

частотных характеристик;

- исследование резонансных ситуаций в случае движения по инерции тела, моделируемого системой одинаковых гироскопов Лаг-ранжа, связанных упругими универсальными шарнирами, и упругим стержнем соответствующей длины;

- исследование собственных частот изучаемого объекта;

- исследование областей устойчивости равномерных вращений тяжелого осесимметричного волчка с эллипсоидальной полостью, содержащей пористый демпфер и целиком Заполненный вязкой Несжимаемой жидкостью.

Иетоды исследования, При исследованиях, проводимых в диссертационной работе, использовались аналитические методы механики и т'ории устойчивости движения. Уравнения движения свободной системы tj, гироскопов Лагракжа, движущейся по инерции, записаны а форме уравнений Лагранжа второго рода. Собственные и резонансные частоты такой системы находились из анализа уравнений первого приближения. Критические частоты малых колебаний вращающегося упругого однородного стержня с соответствующими параметрами находились путем решения частотного трансцендентного уравнения. Устойчивость волчка с вязким заполнением исследовалась вторым методом Ляпунова. Для исследования неустойчивости использовалась теория Томсона-Тета. Случаи, которые не удалось исследовать уназанны-ч подходами, были изучены путем численного исследования корней характеристического уравнения линеаризованной системы .уравнений.

Прй работе с уравнениями использовался язык аналитических вык-г ладок REDUCE фирмы Rand Corporation,Inc., а при численных исследованиях - язык программирования Turbo-Paacal фирмы Borland International И Пакет численных методов HATLAB фирмы MathKorks.

Научная Новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- подтверждена адекватИость двух моделей реального объекта -модели ССТТ и упругого стержня - в плане близости собственных и ре-чонансных частот;

- разработаны численно-аналитические методики решения задач нахождения'собственных и резонансных частот изделий, моделируемых

как ССТТ, таи и упругим стержнем;

- исследован характер влияния числа тел в связке гироскопов Лагранжа на собственные и резонансные частоты;

• - на основе теоретического обобщения результатов численных исследований описаны некоторые закономерности моделирования реальных объектов;

- проведен детальный анализ необходимых условий устойчивости равномерных вращений системы тело-жидкость а ряде частных случаев, интересных с точни зрения приложений.

Практическая ценность результатов работы состоит в применимости разработанных методик И программного обеспечения для инженерных расчетов устойчивости некоторых рабочих режимов устройств и приборов специального машиностроения, Моделируемых системой связанных твердых тел.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на XV научной конференции молодых ученых Института иеханики АН Украины (Киев, май-йснь 1990 г.), на республиканской конференций "Динайика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, сентябрь 1990 г.), на XV научных чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С.П.Королева (Москва, январь-февраль 1991 г.), на расширенных заседаниях семинара Института Прикладной математики им.И.Н.Векуа (Тбилиси, ИЬнь 1991 г.), На семинарах отделов прикладной механики, технической механики Института прикладной математики и механики АН Украины.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из 4 глав (включая введение), заключения и списка литературы ( 107 наименований). Объем работы - 125 страниц машинописного текста, количество рисунков - 21, таблиц - 10.

. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой, вводной, главе обоснована актуальность темы, дан обзор работ, относящихся к теме диссертация, кратко изложено содержание работы и сформулированы основные результаты, выносимые автором на защиту.

Нахождение собственных частот системы связанных твердых тел посвящена вторая глава. Рассмотрена система Н одинаковых гирое-

-e-

ропов Лагранжа, связанных упругими однородными универсальными шарнирами. Найдены собственные частоти такой системы при движении в по инерции. Показано, что при определенном выборе коэффициент» жесткости шарнира собственные частоты изучаемой системы стремятся К соответствующим собственным частотам упругого стержня. 1

В разделе 2.1. дано описание исследуемой механической системы. Цоделируемое тело движется по инерции и совершает равномерные вращения вокруг своей недеформироранной оси симметрии. Предполагается, что длина тала Ь значительно превосходит остальные его линейные размеры. Один из подходов, который был Применен к моделирование такого тела, состоит в представлении его системой И, одинаковых твердых тел, связанных универсальными упругими шарнирами.

В разделе 2.1 в качестве обобщенных координат предложено использовать декартовы координаты. Это вызвано тем, что уравнения малых колебаний упругих стержней записаны в перемещениях, поэтому в декартовых координатах удобно произвести сравнение уравнений конечномерной и непрерывной систем. В связи с этим уравнения движения ССТТ записаны в виде уравнений Лагранжа второго рода, в которых кинетическая и потенциальная энергия являются функциями Перемещений

, У^ (К**J,tv )■ Записана система 2tl уравнений, описывающая движение по инерции системы it- гироскопов Лагранжа, связанных универсальными упругими шарнирами, относительно перемещений Хк, Ук . В этом же разделе записаны уравнения малых колебаний упругих стержней, имеющих постоянное поперечное сечение и вращающихся с угловой скорости) О) . Так как изучаемый объект движется по инерции, то в граничных условиях силы и моменты приняты равными нулю. Записано выражение для коэффициентов жесткости в упругих шарнирах, имеющее вид (

rf-^».

где Е - модуль Юнга материала, tl - момент инерции плоского сечения.

При этом условии дифференциальные уравнения движения системы тел, связанных упругими универсальными шарнирами шарнирами при оо ( fl - число тел в связке) переходят в уравнение свобод-них поперечных колебаний призматических стержней. Уравнения, определяющие избыточные координаты, переходят в граничные условия.

Таким образом, моделирование упругого объекта системой связанных твердых тел возможно при неограниченном возрастании количества Тел. Однако при решении конкретных эадач могут выдвигаться Крите-

-в-

обраэом, выл применен алгоритм для нахождения кратных корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения, значения которых соответствуют резонансным частотах изделия.

Этот алгоритм приведен в разделе 3.1 для общего случая, когда система состоит из Я, одинаковых гироскопов Лагранпа.

Следуя предложенному алгоритму, найдены аналитические вы|.а«е ния для резонансных частот в случае движения по инерции двух (раздел 3.2), трех (раздел 3.3) и четырех (раздел 3.4) гироскопов Лаг-ранжа, связанных упругими универсальными шарнирами. Выписаны необходимые условия существования этих частот, произведено их сравнение. Кроме того, а разделе 3.4 установлено, что с увеличением числа разбиений исходного объекта количество резонансных частот также возрастает и равно Л-У . Сравнение резонансных частот при

различных ¡Ь(П.*2,3,4) показало, что возрастают также и модули соответствующих резонансны* частот с увеличением числа тел.

Для пяти и шести.тел в связке аналитический вывод выражений для определения резонансных частот и их анализ становится затруднительным, а при дальнейшем увеличении количества тел - практически невозможным. Поэтому для нахождения резонансных частот в случае любого количества тел изучаемого объекта был использован специальный численный алгоритм.

В разделе 3.5 проведено сравнение резонансных частот упругого стержня с резонансами системы связанных твердых тел. Численные исследования показали, что для низших резонансных частот (которые особенно опасны в реальных объектах и конструкциях) разбиение тела на три части уже дает достаточно точное приближение (в плане близости резонансных Частот) к стержневой модели при определенном выборе значений коэффициентов жесткости в шарнире - Оказалось, что найденные резонансные частоты ССТТ ниже по модулю соответствующих частот стержня. При этом, если принимать П-3. за первое приближение, то с возрастанием п. резонансные частоты системы тел стрзмятся к соответствующим частота« стержня.

В Четвертой главе рассмотрена задача об устойчивости равномерных вращений с угловой скоростью Сг) тяжелого осесимметричного волчка с эллипсоидальной полостью, в которой имеете* пористый демпфер. Полость с демпфером целиком заполнена вязкой несжимаемой жидкостью . При постановке задачи предполагалось, что-на волчок действуют следующие внешние моменты сил: аэродинамический демпфирующий момент; подкручивающий момент, который направлен по оси симметрии волчка и сохраняет скорость его собственного вращения. Вязкость

жидкости учитывается таким образом, что в правые части дифференциальных уравнений движения вводятся характеризующие ее слагаемые.

В разделе 4.1 записаны уравнения движения волчка в полусвязанной 'системе координат. Эти уравнения имеет стационарное решение, которому соответствуют равномерные вращения волчка и жидкости как одного твердого тела вокруг его оси симметрии с угловой скоростью Ь),

В разделе 4.2 произведена линеаризация дифференциальных уравнений движения волчка в окрестности стационарного решения. Выписано характеристическое уравнение, которое распадается на два независимых уравнения.

Показано, что в случае, когда вязкость жидкости О ¡»О* (г коэффициент, характеризующий величину подкручивающего момента Кд > 0 (по смыслу задачи С) > 0 , >0 ) корни одного из характеристических урарчений действительны и отрицательны. При обращении в нуль одного из параметров С . Ка один из этих корней' также обращается в нуль. Таким образом, найдены необходимые условия устой-уивости изучаемой системы.

Используя теорию Томсона-Тета, в разделе 4.3 были найдены условия, при которых равномерные вращения системы тело-жидкость будут неустойчивыми. В случае, когда центр масс лежит выше неподвижной точки, таким условием оказалось следующее неравенство:

< о,

(3)

К^ - коэффициент, характеризующий величину демпфирующего момента, С.,» сг " главные полуоси полости.

Изучению достаточных условий устойчивости волчка посвящен раздел 4.4. Устойчивость была исследована вторым методом Ляпунова. Рассмотрен случай, при котором центр масс лепит ниже неподвижной точки я С3 -С Су (сплюснутый эллипсоид). Оказалось, что при выполнении условий

К< ^ Р (-(- £<)£< '

(4)

а, к а,'

е> р

движение волчка будет асимптотически устойчивым. Здесь

>-3 4 О-»' Р

1т0тически устойч

0,а - момент инерции оболочки относительно третьей оси.

Случаи, которые и* удалось исследовать указанными выше подходами, были изучен» а раздел* 4.5 путем численного исследования корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений. С этой целью•применялся критерий Льенара-Шипара. Анализ областей устойчивости был проведен в плоскости (О, при различных соотношениях массовых и геометрических параметров волчка. Показано, что изменение геометрии полости существенно сказывается на величине области устойчивости - в случае, когда центр масс лежит нише неподвижной точки и эллипсоид сплюснут (£)-< Су), эта область становится шире. Проведенные исследования показали, что влияние коэффициента К4 , характеризующего величину демпфирующего момента, также сказывается на область устойчивости. Так, эта область расширяется При увеличении К{ и сужается при его уменьшении.

ОСНфВННЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

1. Аналитически и численно проведено сравнение величин собственных частот системы связанных твердых тел о частотами малых колебаний упругого стержня с соответствующими массовыми и геометрическими характеристиками.

2. Изучено изменение величин собственных частот ССТТ в зависимости от числа тел П- в связке. Покавано, Что собственные частоты для модели ССТТ стремятся к соответствующим частотам стержня при возрастании П. К определенном законе, задающем жесткость А упругих сочленения шарниров.

д. Подтверждена адекватность двух моделей с точки зрения близости частотных характеристик. Установлено, что даже в случае двух одинаковых гироскопов Лагранаа конечномерная теория дает достаточно близкие и стержневой модели резуль+аты (погрешность около 6Х).

4. Найдены аналитические выражения для резонансных частот > случае двлявния по инерции двух, трех я четырех гироскопов Лагран-ва. Установлено, что с увеличением числа разбиений исходного объекта количество резонансных частот тйкшв возрастает и равно , Сравнение резонансных часто* прй различных п показалб, что возрастает также И модуле соответствующих резонансных частот.

5. Проведено сравнительное Исследование резонансных частот ССТТ й упругого стержня о соответствующими характеристиками. Установлено, что для низших резонансных частот разбиение тела на трй части уже дает достаточно точное приближение (в плане близости ре-

зонаноных частот) к стержневой модели. Показано, что резонансны* частоты ССТТ ниже nú модуле соответствующих частот стержня. Причем о возрастанием П- резонансные частоты системы тел стремятся и соответствующим частотам стержня. >

6. Для нахождения собственных и резонансных частот ССТТ в случае любой скорости вращения был разрабртан специальный численно-аналитический алгоритм раскрытия полиномиальных определителей.

7. Установлены необходимые условия устойчивости равномерных вращений тяжелого осесимметричного волчка с эллипсоидальной полостью, содержащей пористый демпфер и целиком заполненной вязкой несжимаемой жидкостью. Выписаны условия, при которых равномерные вращения такой системы будут неустойчивыми. Вторым методом Ляпунова установлены достаточные условия асимптотической устойчивости изучаемых равномерных вращений.

В. Путем численного исследования корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений проведен анализ областей устойчивости при различных соотношениях массовых и геометрических параметров волчка.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Нестеров O.D. , Судаков С.Н. Про ст1йк).сть р1вноы1рного обер-тання дзиги з ел1псо1дальною порожниною, що м1стить пористий демпфер i ц!лкои заповнена в'язкою Нестисливою р1диною // Теаи допов1деЙ XV наук. конф. ыолодих вчених 1н-ту механ1ки АН VPCP (Ки'1в, 29 ^равня - 1 червня 1990 р.). - Ни1в, 1990. - С.35.

8. Нестеров 0.$., Судаков С.Н. О некоторых движениях волчка с эллипсоидальной полостью, содержащей пористий Демпфер и целиком заполненной вязкой жидкостью // Тез. докл. респ. конф. "Динамика твердого тела и устойчивость движения* (Донецк, 4-6 сентября 1990 г.). - Донецк, 1990. - С.27,

3. Волграбская H.A., Нестеров О.Ю. Численный анализ собственных частот колебаний системы гироскопов Лагранжа // Динамика систем связанных твердых тел и тел с полостями, содержащими жидкость. - Донецк, 1990. - С.19-27. - (Преп./АН УССР. Ия-т прикл. матем. к механики; N 90.03).

4. Нестеров O.e. Анализ резонансных ситуаций В системах связанных твердых тел определенного типа // Тез. докл. респ. конф. "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, 4-6 сентября 1990 г.). - Донецк, 1990. - С.26.