Анализ собственных частот, устойчивости, флаттера, НДС цилиндрических оболочек при локальных нагрузках с использованием комбинированных рядов для произвольных граничных условий тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

фй&ГОРОДСКИИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

? I

На правах рукописи

УДК 539.3

БОЯРКО Виктор Георгиевич

АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ, УСТОЙЧИВОСТИ, ФЛАТТЕРА, НДС ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ НАГРУЗКАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМБИНИРОВАННЫХ РЯДОВ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Специальность 01.02.04—механика деформированного

твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород, 1993

Работа выполнена в Нижегородском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. Н. И. Лобачевского.

Научный руководитель — заслуженный деятель науки и техники РСФСР, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент ИА РФ Малков В. П.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, зав. отделом Института проблем механики РАН Н. В. Баничук;

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник НИИ механики С. А. Капустин.

Ведущая организация — ОКБ машиностроения (г. Н. Новгород).

Защита состоится «ДО, «даф 1993 г.

в (часов на заседании специализированного совета К 063.77.10 при

Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского (603022, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разосла

н < 9 > ижиЦ^х

1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук

Б. В. Трухин.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

_Актуальность темы.. Проектирование конструкции о требуемыми тактико-техническими параметрами - это комплексная проблема, включающая в себя:

- выбор параметров конструкции и нагрузок;

- выбор конструкционных материалов, расчеты на прочность, устойчивость, колебания;

- обеспечение технологичности конструкции и изготовление технологической оснастки;

- обеспечение надежности конструкции в процессе эксплуатации и хранения, взаимозаменяемость и реальное обеспечение необходимыми материальными ресурсами.

В конечном итоге - это требование наишнызей стоимости всех проектно-конструкторских, технологических и эксплуатационных затрат.

На каждом этапе этого технологического процесса происходит конструктивная проработка различных вариантов, их предварительный расчет, обсуждение и выбор одного из рассматриваемых вариантов..

Одним из важнейших этапов в процессе проектирования конструкции является выбор материалов и проведение расчетов на прочность, устойчивость и колебания, причем не просто расчетов, а тагах расчетов, которые позволяют спроектировать оптимальную конструкцию по заданным характеристикам.

Использование вычислительной техники позволяет производить расчет сложных конструкций, а так же определять оптимально пара-

метры об'екта с помощью методов нелинейного математического программирования. Однако непосредственное использование этих методов требует многократного обращения к прямому расчету.

Поэтому представляется актуальной проблема повышения эффективности решения прямых и оптимизационных задач с точки зрения снижения вычислительных затрат. Одним из подходов, позволяющих снижать вычислительные затраты, является использование при оптимизации более экономичных методов, включающих прямой анализ состояния или поведения конструкции.

' К таким методам относятся вариационный метод Ритца для консервативных систем и метод Бубяого-Галеркина для неконсервативных систем.

Преимущество этих методов заключается в том, что от физических координат Евклидова пространства можно перейти к "координатным функциям" Гильбертова пространства, что существенно расширяет возможности исследователя и позволяет за счет рационального выбора этих функций экономить вычислительные затраты. В качестве координатных функций удобно использовать комбинированный ряд /ЗУ, состоящий из конечного числа членов тригонометрического ряда и конечного числа членов степенного ряда Такие комбинированные ряды позволяют использовать преимущества тригонометрических рядов при описании локальных деформаций и возможности степенных рядов для удовлетворения краевых-условий рассматриваемой задачи.

Довольно часто такая задача возникает при анализе собственных частот, устойчивости, флаттера, ЦДС тонкостенных оболочечных конструкций при локальных нагрузках.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с коорди-ционным планом АН СССР по проблеме 1.10.2 - механика деформируе-

мого твердого тела, пункты 1.10.2.11 - тонкостенные конструкции. Цель диссертационной работы:

1. Разработка, обоснование и исследование возможности использования комбинированных рядов, состоящих из конечного числа членов тригонометрического ряда и конечного числа членов степенного ряда, при решении краевых задач.

2. Обоснование и исследование представления элементарной локальной нагрузки в аналитическом виде, который увеличивает 'быстроту сходимости при разложении ее в тригонометрический ряд, а так же позволяет представлять любую внешнюю нагрузку в виде суперпозиции Буранного вида элементарной нагрузки.

3. Разработка методики исследования и программного обеспечения для анализа собственных частот, устойчивости, флаттера, НДС ция-линдрических оболочек при локальных нагрузках с использованием комбинированных рядов для произвольных граничных условий.

Научная новизна.

Разработан метод решения краевых задач для консервативных и неконсервативннх систем с помощью комбинированных рядов для произвольных краевых условий.

Ва алгоритмическом языке Фортран-IV разработан пакет программ, использующих комбинированные ряды, для анализа собственных частот, устойчивости, флаттера, НДС цилиндрической оболочки при локальной нагрузке для произвольных краевых условий. Достоверность результатов.

Достоверность результатов, полученных.по разработанной методике я реализованному на основе этой методике пакета прикладных программ, устанавливалась путем:

1. Сравнения известных тестовых задач, аналитических и численных

решений других авторов с расчетами этих же случаев по разработанным программам.

2. Сравнения с известными экспериментами.

Соответствующие сравнения приведены в каждом разделе диссертации.

Практическая ценность.

Исследования , проведенные с помощью комбинированных рядов, показали, что при их использовании существенно экономятся вычислительные затраты как по машинному времени, так и по требуешй памяти ЭВМ. Решение сходится достаточно быстро.

Разработанный пакет прикладных программ может быть использован в расчетной практике отраслевых НИИ, КБ и предприятий Ь процессе анализа и проектирования конструкций.

Результаты работы внедрены в расчетную практику заинтересованных предприятий.

Публикации. Основные результаты проведенных исследований опубликованы в работах /1/ - /9/.

Структура и об'ем работы. Диссертация состоит из восьми глав, заключения, списка использованных источников и приложения. Основной печатный текст занимает 124 страницы, 15 страниц занимают иллюстрации (32 рисунка), 33 страницы - таблицы (37 таблиц), б страниц - список использованных источников (54 наименования), £3 страницы - приложения. В приложении приведены документы, подтверждающие внедрение результатов разработок; выражения для определения элементов матриц жесткости, аэродинамической жесткости и аэродинамического демпфирования, инерционной матрицы, внутренних усилий в оболочке.

- Б -

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введение к диссертационной работе обосновывается актуальность темы исследования, формируются цели работы, рассматриваются вопросы научной новизны, достоверность полученных результатов, содержатся сведения о публикациях, об об'еме и струтстуре работы.

В первой главе содержится анализ работ, посвященных применению вариационного метода Ритца для консервативных систем и метода Бубного-Галергаша для негешсервативных систем.

Во ль то Л вклад в развитие этих методов внесли ученые С. Г. Мих-лин. Л. К Канторович, а 3. Власов, И. Ф. Образцов, Г. И. Петров, а Л. Рвачев, К Г. Еуньков, К Я Шиаков, Д Мейерович, К Кушг и многие другие ученш.

Несмотря на эффективность методов Ритца и Еубяого-Галерклна широкое применение этих методов затрудняется выбором ггадходядей системы [координатных функций, которая с одной сторона удовлетворяла требуемым граничным условиям, с другой стороны хорошо отслеживала локальные деформации, и, кроме того, обеспечивала быструю сходимость вычислительного процесса

Из обзора этих работ и анализа современного состояния проблемы делается вывод о возможности применения комбинированного ряда, состоящего из конечного -«юла членов тригонсметричеогого ряда и конечного числа членов степенного ряда, который позволяет использовать преимущества тригонометрического ряда при аппроксимации лсмсалкчых деформаций и возможности стеленного ряда для удовлетворения требуем1.« гр&чичннх условий.

Во второй главе показывается, что на основании теоремы Вейерштрасса можно степенной ряд преобразовать в комбинированный путем разложения части членов степенного ряда в тригбнометричес-кий ряд. В практической реализации расчетов на ЭШ важное значение имеет быстрота сходимости процесса вычислений. Поэтому в комбинированном ряде удерживается конечное число членов тригонометрического ряда, так чтобы обеспечить требуемую вычислительную точность, и конечное число членов степенного ряда, чтобы обеспечить граничные условия.

Далее проводятся исследования точности аппроксимации локальной симметричной функции (типа локально-распределенной силы) и обратно симметричной функции (типа локального момента) рядом Фурье и комбинированным рядом. Неизвестные коэффициенты в рядах определялись по методу наименьших квадратов. Расчеты показали, что при одинаковом числе тригонометрических членов в обоих рядах аппроксимация локальных изменений функции обоими рядами совпадает с высокой точностью. Однако, применение комбинированного ряда позволяет удовлетворить краевым условиям, наложенным на функцию и ее производные, приводит к лучшей обусловленности алгебраических уравнений по сравнению со степенными рядами /3/.

В табл. 1 приведены результаты разложения функции: .1 при | X | ^ О при остальных ; на промежутке I-6 /2 , 2/2 ] в полный тригонометрический ряд Фурье и комбинированный. Число удерживаемых тригонометрических членов менялось: - -40,10. Длила промелсутка {¡-100, ¿Г -10. Из табл. 1 видно, что комбинированный ряд аппроксимирует локальные изменения функции так же, как и полный ряд Фурье

Таблица 1

Координата ( х ) Точное значение функция Аппротеимация функции рядом

Зурье п-40 Комбиниров. п-40 Фурье п-10 Комбиниров. п-10

. 0 1 О. 9756 0. 97Б6 0.9062 0.9077

1 1 1.0201 1.0199 0.9250 0. 9262

2 1 0.9917 0.9918 0.9752 0.9757

3 1 0. 9924 0. 9924 1.0400 1.0394

4 1 1.0229 1.0228 1.0960 1.0946

б 1 0. 9674 0.9675 1.1192 1.1176

6 1 1. 0325 1.0324 1.0913 ' 1.0902

7 1 0. 9806 0.9806 1.0040 1.0039

8 1 0.9897 0.13897 0.6613 0. 8622

9 1 1.0719 1.0718 0.6784 0.6800

10 разрыв 0. 4945 0. 4946 0.4784 0. 4799

11 0 -0. «30 -0. 0631 0.2867 0. 2867

12 О 0. 0068 0.0069 0.1259 0.1268

13 О 0.0100 0. 0160 0.0108 0.0096

14 0 -0.0233 -0. 0233 -0. (»38 -0. 0555

15 0 0. 0208 0.0209 -0. 0729 -0.0744

1С- О -0.0129 -0. 0131 -0. 0588 -0. 0595

17 О 0. 0035 0.0036 -0. 0278 -0. 0273

18 О 0.0044 0.0044 0. 0348 0.0063

19 О -0. 0088 -0. 0089 0. 05.77 0. 0296

Шяришр, шксшшлгая разность между значениями функции, полученными с помощью ряда йурье и комбинированным рядом при УЪ -40, на всем промежутке равна Д -0,0002.

£ третьей главе приводятся основные соотношения между относительными деформациями, перемещениями и внутренними усилиями, принятыми для цилиндрической оболочки ( принят вариант Л. И. Бала-буха-ЕВ. Новожилова). Рассматривается возможность упругого закрепления оболочки с помощью пружин постоянной жесткости, распределенными равномерно по окружности и работающими на растяжение-сжатие по соответствующим осям, и изгиб. Одним концом пружины крепятся к неподвижной опоре, другим - к срединной поверхности оболочки. В том случае, если используются "классические" краевые условия (заделка, шарнир, свободный край) предусмотрено удовлетворение краевых условий с помощью неопределенных множителей Лаг-ранйа. Различные варианты закреплений показаны на рис. 1. Учитываются шпангоуты.

Приводятся выражения потенциальной энергии деформаций оболочки, пружин, шпангоутов.

Потенциальная энергия деформации оболочки с учетом мембранных сил имеет вид:

1,1

где ^ О

3 - срединная поверхность оболочки;

- в -

Q - цилиндрическая жесткость;

мембранные усилия в срединной поверхности от растяжения, сжатия;

от предварительного надува, внешнего давления.

Потенциальная энергия деформации пружзш: zirp.

ПгЦ i [UXiVUWc^YteO + ♦ «rj.W'Cbl+ Wx,)-( ^И' 1 ¿У,

где

% ~ номер координаты X ^. в которой устанавливается одновременно пружины Сх , Су . Сз . К •

Потенциальная энергия деформации одного спангоута:

I iZU fVi

II I ГгГ rZ гп uZ п м v z. _

(3)

(2)

fVn ]

где

(5 ^ > К-у > К"у у ~ Деформации срединной поверхности оболочки в сечении ОС 0 . проходящей через ось симметрии шпангоута; 2_6~ ~ ширина шпангоута.

Потенциальная энергия деформации всех шпангоутов суммируется. Приводятся выражения для комбинированных рядов, списывающих перенесения срединной поверхности оболочки.

При симметричной награда относительно образующий оболочки лерт|?в?ияя Ц, \/ по осям X > ^ -7 ш$'тся в вгае рядов:

II4 ЦЫ-ссьЭДУ-ЕЦ

ГД" ^ - ] / & ]

•функции Ц (X) =\/'(-С) .^ДХ) ищутся в виде комбинированных

™ою Шя-ЕА-со^а-Х

1 ил 1Л<лА 1

1 \ Ьаьч 1

3 V*-! ' -1

где

р. Ц , р. V , - показатели степеней, зависящие от условий

закрепления;

1.Ь - число членов тригонометрического ряда;

~ полное число членов комбинированного ряда.

Так как сходимость вычислительного процесса существенно зависит от сходимости тригонометрического ряда при аппроксимации внешней нагрузки, то особое внимание уделено представлению локальной внешней нагрузки типа силы или момента в виде, который позволяет улучшить сходимость и оценить максимальное необходимое число членов ряда. В настоящей работе элементарная локальная нагрузка типа "сила" имеет вид /4/:

I А+^Со^Х/б) ,

Фун!сция^(Х) при -О описывает равномерное распределение нагрузки по длине 2.5 , а при "Ь -1 принимает вид:

^ (X) - 2 СОЬг(ЧГХ/2 5)

Представление в форме (4) позволяет сравнивать решения с уяе имеющимися при -О , а при -1 оценивать сходимость ряда Зурье этой функции, коэффициенты которого при достаточно больших

убывают как А | jr^

На рис. 2, а показана правая часть аппроксимации прямоугольной нагрузки тша "сила" при\-0 в зависимости от числа членов тригонометрического ряда . Видно увеличение значений нагрузки на 1граях с увеличением числа членов ряда. На рис. 2,6 приведена аппроксимация элементарной нагрузки с улучшенной сходимостью ряда Фурье (~t -1 ). Видно, что ряд Фурье сходится достаточно быстро.

Элементарная локальная нагрузка типа "момент" представляется iTait суперпозиция функций (4). Кроке того показано, что любую непрерывную Фушщим нагрузки шжно представить с достаточной степенью точности (в среднеквадратичной норне) как суперпозтцто функций (4) при Т ~1, то есть коэффициенты ряда Фурье такяй функции то те будут при достаточно больших Г1 убывать как Л / fl? .

Д-тя представления локальных нагрувок в ряде работ используются и другие виды Функций, в частности в виде функции плотности распределения вероятностей для нормальной случайной вел1гчи;ш

Ряд Фурье такой функции хоросо сходится, по недостатком является необходимость оговаривать на каком участке jC ыояго пренебречь значениями функции 1|>(х) • Сравнение выражений (4) и (5) показывает, что представление элементарной тагрувки вида (4) при -1 практически совпадает с представлением в виде (5) при над-.~ека13?м Б1йоре параметров. Сравнение Фушсшш^уХ) при X -1 и Фун-

при -2,5 и приведено в таблице 2, из которой видно, что обе функции пршстически совпадают на промеяутке

2,5. Однако представление в форме (4) более удобно, чем в форме (5), так как иметь более простую форму выражения ко-

Таблица 2

ОС о 0.2 0.6 1 1.8 2.5

Ч>(ос) О. 3984 0. 3910 0.3332 0.2420 0. 0790 0.0175

•Кх) 0.4000 0.3937 0.3458 0.2618 0.0725 0.000

зффициеитов Зурье, представляет прямоугольную нагрузку с большей точностью, а так же яредставляет произвольную непрерывную нагрузку в виде суперпозиции элементарных.

В четвертой главе, используя уравнение Дагранаа П_ рода, задача исследования оболочки с помощью комбинированных рядов сведена к исследованию системы линейных дифференциальных уравнений:

где

С.^ > ^ Ск " инеРЦионние и жееткостные коэффициенты в обобщенных

координатах;

0 - обобщенные координаты; Г/11

~ обобщенные силы.

Коэффициенты С. получается путем двукратного дифференцирования кинетической энергии системы по обобщенным скоростям, коэффициенты О потенциальной энергии деформации по обобщенным координатам.

Для случаев упругого оиирания на пружинах на координатные функции не накладываются никакие ограничения по перемещениям, так

юте учет упругих связей производится через учет потенциальной энергии деформации пружин.

Для "классических" случаев опиралия (тарнир, заделка, и т. д.) на координатные фушсции так ке не накладываются ограничения по перемещениям, но учет ограничений производится с пошщью неопределенных множителей Лагранжа /1,2/.

Приводится вывод обобщенных сил от аэродинамической нагрузки для расчетов на флаттер и для статически приложенной локальной нагрузки.

Обобщенные силы для расчета оболочки на флаттер вычисляется для чисел Маха М с применением линейного приближения теории поршня, по которой давление в любой точке обтекаемой поверхности равно:

скорость звука в газе на бесконечности.

При вычислении обобщенных сил от статически прилоязняой локальной нагрузки она предварительно разлагается в двойной тригонометрический ряд Фурье для того, чтобы оценить голячество членов ряда, которое необходима, чтобы аппроксимировать локальную нагрузку с достаточной точностью.

В пятой главе исследуются собственные частоты и формы колебаний, устойчивость оболочки. Рассматриваются простые гармонические колебания в пустоте без учета демпфирования. Решение ищется в ?и-

где

плотность, скорость газа на бесконечности;

де

где

_ |- число волн по окружности, ф, - вектор обобщенных координат.

I

СО - круговая частота

Система дифференциальных уравнений (6) приводится к виду

00* С:Ф = G-ф0 (9)

J I 1 ( >

где 1 J

С j . G j - инерционная и жесткостные матрицы для заданного j .

Систему (9) можно записать в виде

где 1 1 ,

, А- Cj .

Матрицы Cj и Gj симметричные, но A j может быть симметричной и несимметричной в зависимости от метода , которым произведено обращение матрицы. Метод обращения Гаусса приводит к несимметричной матрице Aj > находить собственные числа которой сложнее чем для симметричной.

Штод квадратного корня Холецкого приводит матрицу Д j к симметричному виду, но при работе с комбинированными рядами не всегда обращает матрицу из-за накапливания ошибок, хотя при работе с разряженными матрицами эффективен. Наиболее устойчивым оказался метод ортогонализации Шмидта, при котором последовательно строится система координатных функций ортогональных по энергии, в которых матрица жесткости будет диагональной. Затем путем расщепления диагональной матрицы и обращения получается симметричная матрица . Этот метод более устойчив, чем метод Холецкого, и не требует извлечения квадратных корней.

Собственные числа несимметричной матрицы А; определялись «е-

то дом итерации с исчерпыванием, успешно применявшимся д. т. н. В. Г. Буньковым для расчета крыльев малого удлинения.

Для вычисления собственных чисел симметричной матрицы используется тот факт, что собственные числа трехдиагональной симметричной матрицы вычисляются сравнительно просто с помощью последовательности Штурма Приведение к трехдиагональной форме делается с помощью ортогональных плоских вращений методом Гивенса.

Собственные числа находятся методом деления отрезка пополам с использованием последовательности Штурма По собственным значениям находятся собственные векторы методом обратной итерация.

Если удовлетворение краевых условий производится с помощью неопределенных множителей, то перед определением собственных чисел и собственных векторов производится исключение неопределенных множителей.

С целью проверки правильности программ по определению часто? и форм собственных колебаний определялись частоты собственных колебаний защемленной по торцам цилиндрической оболочки постоянной толщины с исходными данными:

^ -4.75 см, £ -19.8 см, -0.05см,

Е -г-ю'н/см2, Щ -0.3, р -7.8 10 н сг/сик, где ^ - радиус, £ - длина, -толщина оболочки.

Граничные условия для заломленных краев:

-\4ievi -о.м(oil - -о.

mm0 u(ou-u(e,t)-o

^ Пг Л - V >

Таблица 3

] 2 . ' 3 4 Б 6 7 8 9

и 3000 1870 1430 1Б20 1970 2610 3390 4280

17Б0 1366 1415 1908 2553 3330 4225

В табл. 3 приводится сравнения полученных собственных частот первого тона колебаний (в Гц) с результатами, полученными экспериментально, где обозначено: \]~ - расчетная частота в Гц; "\]Г- экспериментальное значение частот; | - число волн по окружности.

Как видно из таблицы, значения минимальных собственных частот совпадают.

Для расчета ободочки на устойчивость используется динамический критерий устойчивости, согласно которому при нагрузке, равной критической, частота собственных колебаний оболочки обращается в нуль.

^следования на устойчивость проводились для шарнирно опертой и заделанной по краям оболочки с параметрами : Е./^ -2, ^ | ^ -100. йод действием внешнего давления 'р для шарнирного опирали» оболочки теоретическое минимальное значение параметра С^0 при котором она теряет устойчивость, равно -0.0475 при j -6 ( ^ - (^/)• По программе минимальное значение этого параметра получилось равным -а 048 при | -а

Для случая ааделки по краям минимальное значение параметра

- IV -

л О л

по программе получается равным С^ -0.0645 при j -7. Это примерно в 1.34 выше чем при шарнирном опирании, что согласуется с теоретичес(сиш данными других исследователей.

Бри анализе устойчивости на сжатие используется безразмерный параметр

р —

1 СЕК.) ' *

^ - напряжение в срединной поверхности от внешней сжимающей силы.

Для исследуемой оболочки при шарнирном опирашт теоретическое минимальное критическое значение параметра р" , при котором она теряет устойчивость, равно -0.605 при j -5-6. По программе минимальное значение этого параметра получилось равным у -0. 585 при J -5. Перед потерей устойчивости форма колебаний низшего тона шмет меняется очень резко. Например, для ^ -6 при р -0.576 частота низшего тона соответствует одна полуволна по длине, а для р -0.605 ( ) перед потерей устойчивости соот-

ветствует пять полуволн по длине.

Для случая заделки оболочки по торцам минимальное значение р достигается при | -9 и равно р° -0.602а Это значение практически совпадает с теоретическим значением для шарнирно опертой оболочки, и отличается лишь числом волн по окружности J . Этот результат подтверждается теоретическими исследованиями других авторов.

фугой вариант заделки осуществляется с помощью пружин, которые ограничивали линейные перенесения в местах опор, но не накладывали ограничений на угловые перемещения. Минимальное значение достигается при | -9 и практически равно значению при абсо-

л о

лютно жестких заделках р -0.6023.

В шестой главе, исследуется флаттер оболочки. Применительно к цилиндрической оболочке аэродинамическое и"конструкционное демпфирование носит стабилизирующий характер, поэтому оно принято в расчетах равным нулю, что идет в запас гарантированной границы флаттера и значительно упрощает расчеты. Расчет проводился при фиксированной скорости потока (М -2 ). В качестве границы флаттера принималась плотность при которой две собственные частоты колебаний в потоке совпадали. Исследования проводились для шарнирного опирания по краям, абсолютно жестких заделок, и заделок по краям с помощью пружин. Собственные числа в потоке находились методом итераций с исчерпыванием.

Исследовалась оболочка с параметрами : EÍR-2, R/K-100, М -0.3, £ -100см, -50см,

О I- f í J L

ft, -О. Бсм, t -10 н/см , -4 10 н-с /см .

Для шарнирного опирания .учитывалось по 12 гармоник по каждой координате. Минимальное значение относительной плотности потока (относительно к плотности потока на уровне моря), при которой возникает флаттер, получилось равным Д -50 и соответствует числу волн по окружности J -9. При этом сходятся частоты нижних двух тонов и частота флаттера равна \J -460 Гц

Для абсолютно жестких заделок по краям так же учитывалось по 12 гармоник по каждой координате и степенной ряд для удовлетворения граничных условий. Лишние неизвестные исключались. Минимальное значение относительной плотности потока, при которой возникал флаттер, равно Д -40 и соответствует J -9. Частота флаттера рав-' на \J" -557 Гц. В отличие от шарнирного опирания сходятся частоты второго и третьего тонов. Частота первого тона меняется незначи-

тельно.

Для заделки с помощью пружин сходимость была хуле, чем в предыдущих случаях. Поэтому сначала вычислялись частоты и формы собственных колебаний в пустоте. Использовалось по 12 гармоник по каждой координате и степенной ряд. Затем делался переход к ортогональным функциям из собственных форм колебаний в пустоте, потом расчет га флаттер. Чтобы оценить точность яри переходе к собственным формам в пустоте был рассмотрен случай шарнирного опирания по краям. Сравнение для шарнирного опирания показало,■что учет двух тонов в пустоте дает заниженное значение относительной плотности, при которой возникает флаттер. Учет трех тонов в пустоте позволяет вычислять относительную плотность флаттера с достаточной степенью точности ( Д -50, j -9) и гарантирует нижнее значение относительной плотности Д , при которой флаттер не возникает. Одншсо нижнее значение Д -50 достигается не только для | -9, но и для | -10-13, причем сходятся частоты второго и третьего тона. Этот факт об'ясняется тем, что при | > 9 форт колебаний в потоке становится более сложной и требуется большее число членов в пустоте, чтобы более точно аппроксимировать форму колебаний и получить более точный результат.

Для заделок по краям с помощью пружин минимальное значение относительной плотности потока, при которой возникает флаттер, получилось равным Д -50 ( ^ -9 ) при учете трех тонов собственных колебаний в пустоте. Сходились частоты второго и третьего тона как и для абсолютно жестких заделок по торцам.

Так как ухудшение обусловленности матриц на упругом онирании происходят за счет взаимной связи степенного многочлена и тригонометрического ряда, то с целью уменьшения этой зависимости были

- го -

рассмотрены и другие варианты аппроксимирующих выражений. Известно, что если в некоторой области конструкции напряжение сильно изменить, но общий вклад этих изменений в потенциальную энергию деформации незначителен, то на низшие частоты и формы колебаний эти изменения могут не влиять. Поэтому для случая заделок пружинами по краям был проведен расчет на флаттер только с использованием тригонометрического ряда без многочленов, но с учетом пружин. Расчет произведен с учетом трех собственных форм колебаний в пустоте. Критическое значение Д -50 при | -9 совпадает со случаем комбинированного ряда, хотя частоты второго тона несколько отличаются.

Другой подход заключался в том, что многочлен сохранялся, а & тригонометрическом ряде исключался первый член, содержащий ^ШИХ илиСОЙХ- В этом случае частоты вычислялись более надежно. Результат значения с учетом трех тонов в пустоте дает ¿] -50 (|-9) и сходятся частоты первого и .второго тонов, третьего и четвертого тонов. Исключение же двух первых членов тригонометрического ряда

, и^Х .С0$2Л|0с ) Ухудшили надежность вычисления частот в пустоте и потоке.

В седьмой главе производится анализ НДС оболочки при статически приложенной локальной нагрузке.

Исследования проводились для шарнирного опирания но краям, абсолютно жестких заделок, и заделок с помощью пружин. Рассматривалась оболочка без шпангоутов и со шпангоутами. Основной подход заключается в следующем. Если площадка нагружения соизмерима с несколькими толщинами оболочки, то в тригонометрическом разложении нагрузки (^(Х^) приходится удерживать больше число членов. Жестоэстная матрица в этом случае не умещается в оперативной па-

мяти ЭВМ. Представление перемещения в виде комбинированного ряда позволяет искать решение в виде суммы двух решений. Одно решение идатся в виде тригонометрического ряда и представляет собой решение для оболочки имеющей шарнирное опирание. Система алгебраических уравнений для этого случая хорошо обусловлена и позволяет применять при ее решении хорошо известные методы для систем с большим числом членов ( например, метод Зейделя). Полученное решение уравновешивает внешнюю нагрузку, но при этом краевые условия меняются. Теперь задача сводится к нахождению минимума функционала с новыми краевыми условиями, в котором часть функционала от внешней нагрузки равна нут Для удовлетворения новым краевым условиям оболочки уже без нагрузки используется комбинированный ряд. Так как нагрузки нет, то не требуется в этом случае большого количества членов тригонометрического ряда и получается система уравнений с относительно небольшим числом неизвестных, которую значительно легче решить чем всю систему в целом. Кроме того, так как при нахождении частного решения в ввде тригонометрического ряда есть часть членов, в которых координатные функции совпадают с координатными функциями комбинированного ряда, то частное решение южно находить не для всего тригонометрического ряда, а только для тех координатных функций, которые не входят в комбинированный ряд, скорректировав соответственно нагрузку.

Рассматривалась оболочка с такими же параметрами как и для расчета на флаттер. Локальная нагрузка С^Ох ^) распределялась по площадке с размерами 2 ^ по оси X и 2 5 ло оси 1| в соответствии с законом, определенным формулой (4). Параметр ^ менялся С^гД/) ). Центр нагруженной площадки находился в середине оболочки

- ES -

В таблице 4 приведены значения относительного прогиба — -ч

V/ "VJREEi 10 • относстельных максимальных изгибающих юментов

М*/р0и^Ач)~Му /ре в Центре площадки нагружения, время расчета L , при шарнирном олирании оболочки:-[Jx ~ число вычислительных точек по осиЭС » "l^U." число членов ряда по оси X >

- число членов ряда по ochLJ .

Сравнение с работой /4/ показывает хорошее совпадение результатов.

В таблице Б приведены значения , , для той же оболочки в центре нагружения, но yxs для абсолютно жстких заделок по краям. Сравнение табл.4 и табл.5 показывает, что в случае заделок по краям в центре плоирдки нагружения прогиб уменьшается, а изгибающие шменты и изменяются незначительно. Время расчета увеличивается. В то же время задежи существенно сказываются на характере осевой .силы $х и перемещении Ц . Расчеты показали что значения относительных усилий Ss / Ро н S^- S^/рс равны:

Sx - 0.15 приХ -О, Sx =. -0.275 приХ - í¡2 ;

Sy = 0.05 при X -О, -0,4 при X ~

Значения И х и при -0 составляют менее 6 °/0 от их значения в центре нагружения.

Зйследовался процесс сходимости ревеяия для . у >\¡ в центре площадки нагружения в зависимости от числа членов тригонометрического ряда по оси tj . Исследования показали, что расчет сделан с удержанием достаточного числа членов ряда по оси и по оси Lj .

Taje icaK ухудшение обусловленности матриц возникает за счет

Табл. 4

S • 6 1,25 0,6 0,25

S -S/R. 0,1 0,025 0,01 0,005

"INK 60 160 400 800

W 60 250 600 999

41 t-o 1,2892 1,593 1,624 1,636

1,4597 1,634 1,636

К 0,0461 0,166.0 0,2542 0,3117

0,0895 0,3114 0,3716

К 0,0745 0,2041 0,2933 0,3529

i- 0,1238 0,3506 0,4100

Т V 44" 1 II 6 40 1 38

V 18" l' 34" 1 il 8 40 27'l0"

V2 36 1 SO "

Табл. 5

5"- Б 1,25 ' 0,5 0,25

S -S/а 0,1 0,025 0,01 0,005

Is 10 10 10 10

ш. 60 160 400 800

60 250 600 999

>j t-o 1,025 1,318 1,353 1,360

l-1 1,188 . 1,342 1,358 1,360

M, i 0,0448 0,1648 0,2531 0,3261

t-> 0,0882 0,2208 0,3103 0,3706

0,069 0,1983 0,2876 0,3622

t- 0,1182 0,2550 0,3450 0,4055

т 5 ' 22'

t-6 i 63 134 '

- ЕБ -

взаимной связи степенного многочлена и тригонометрического ряда, то с целью уменьшения этой зависимости, 1сак и для расчетов на флаттер, били рассмотрены различные варианты степенного многочлена. Лясазано, что уменьшение степени многочлена, если он обеспечивает краевые условия, не ухудшает точность расчетов, но сокращает врем счета Чтобы оценить влияния длины оболочки на НДС бил просчитан случай с уменьшенной длиной ( (/ -БОем ). Расчеты показали, что уменьшение длины вдвое привело к уменьшению \Д/ в центре, но мало исаз&лось на максимальных изгибающих моментах М* М^в центре оболочки (ОСь- 2/2 , ^ -0).

Для случая заделок по краям с помощью пружин значения ^ , Нх и Му практически совпали со случаем абсолютно жестких за-дело!с в центре площадки нагружения. Ограничения на углы поворота не вводились, поэтому по краям и \Муниже. Значения и совпали по всей длине. Рассматривался так же вариант аппроксимации перемещений по длине только тригономзтрическими рядами. Значения перемещений я усилий в центре площадей получались близкими к случаю абсолютно жесткой заделки. Этот факт об'ясняется тем что значения Цх , [^Ц , 5 ^ У заделок значительно ниже чем в центре нагружения, поэтому их энергетический вклад в этих областях незначителен по сравнению с областью приложения нагрузки. В то же время Б* в заделках сравнимо по величине со значениями в центре нагружения, а перемещения Ц, , от которых в основном зависит, аппроксимируется рядом из членов С (^(.ТэС , который позволяет обеспечить близость к нулю перемещения у заделок и с достаточной точностью аппроксимировать Б* по длине. Следует отметить .однако, что для других случаев нагружения и других условий закреп-, ления такая аппроксимация может быть достаточной грубой и резуль-

- ее -

таты решения могут отличаться от точных.

Для заделок с помощью пружин исследовалось так же влияние шпангоутов на НДС. Рассматривались шпангоуты постоянного сечения, работающие на изгиб и растяжения, нейтральная ось шпангоута принималась совпадающей со срединной поверхностью оболочки. Шпангоуты располагались симметрично относительно нагрузки. Расстояние от нагрузки до шпангоутов менялось. Расчеты показали, что при расстояниях шпангоутов от центра нагрузки ¿/X больших ~ значения , , ^ к , ^ ^ в центре площадки нагружения изменяются мало, хотя прогиб1^ уменьшается. Кроме того, так как часть энергии внешней нагрузки идет на деформации шпангоутов, то требуется меньшее усилие 8у. в заделке, чтобы обеспечить требуемые кинематические условия.

В восьмой главе исследуется случай изгиба длинной цилиндрической оболочки как балки. Этот случай представляет особый интерес, так как при | -1 поперечные сечения оболочки смещаются как целые. Оболочка практически работает как балка при изгибе в теории сопротивления материалов. Если принять, что в такой оболочте сохраняется линейная зависимость относительного удлинения £ х от расстояния от срединной поверхности балки-оболочки, то в выражении потенциальной энергии деформации пропадут все члены, кроме (\\\ (£ у) * 910 позволяет достаточно просто получить аналитическое решение для оболочки, работающей как балка на изгиб (бал-га- оболочка) , с которым можно сравнивать решение, полученное в комбинированных рядах на ЭВМ. Достоинство такого сравнения в том, что при ^ -1 почти все жесткостяые члены в уравнениях равновесия оболочки равны нулю. Это приводит к плохо обусловленной системе уравнений, при решении которой молзго надежно проверить и вое ко-

- Ё 7 -

эффициенты в уравнениях и методы решения этих уравнений.

Для различных видов закреплений: - шарнирное по краям; абсолютно жксткие заделки по краям; заделкр по краям с помощью пружин; консольное закрепление о помощью пру-лин;- были просчитаны прогибы и НДС оболочки, и сравнивались с решениями балки по теории сопротивления материалов. Решения искались в виде комбинированного ряда, степенного многочлена,' только тригонометрического ряда. Исследовались так же частоты оболочки и балки для различных видов закрепления и аппроксимации. Результаты расчетов показали, что аппроксимация перемещений оболочки по осиХ в виде комбинированного ряда и степенного многочлена при ^ -1 дает хорошо совпадающие результаты по перемещениям, НДС и частотам с балочной теорией. В районе заделок могут быть отличия в НДС от балочной теории за счет более сложных процессов деформации оболочки в районе заделок, чем принято в балочной теории. Аппроксимация же в виде только тригонометрического ряда не всегда дает надежные результаты.

В 5АКЛЮЧИШ приведены основные результаты диссертационной работы:

1. Разработана, обоснована и исследована возможность использования комбинированных рядов, состоящих из конечного числа членов тригонометрического ряда и конечного числа членов степенного ряда при решении краевых задач.

2. Обосновано и исследовано представление элементарной локальной нагрузки в аналитическом виде, который увеличивает быстроту сходимости при разложении ее в тригонометрический ряд, а так яе позволяет представлять любую внешнюю нагрузку в виде суперпозиции выбранного вида элементарной нагрузки.

3. Разработана методика исследования и пакет прикладных программ на алгоритмическом языке Фортран-IV для обеспечения анализа собственных частот, устойчивости, флаттера, НДС цилиндрических оболо-. чек при локальных нагрузках с использованием комбинированных рядов для произвольных граничных условий.

4. Результаты работы внедрены в расчетную практику заинтересованных предприятий.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Боярко К Г. О применении функций, неудовлетворяющих краевым условиям, в методах Галеркина и Ритца // Алгоритмы и программы: Сб. Вып. 11 / ВЗИМ ГУУЗа МПС СССР. М. ,1982. С. 60-100. Дел. в ВИНИТИ 05.03.84, N 1302-84.

2. Боярко К Г. К решению неконсервативных задач теории упругости методом Галеркина Деп. в.ВИНИТИ 10.03.87, И 1752-Б87.

3. Боярко Е Г., Малков Е П. Анализ применения комбинированных рядов при решении краевых задач. Деп. в ВИНИТИ 16.12.86,

N 8612 - В86.

4. Боярко Е Г., Малков В. П. К расчету цилиндрических оболочек при локальном нагружении // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация решения задач упругости и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горне, ун-т. 1984.

С. 92-101.

С. Боярко ЕГ., Буньков Е Г. Расчет на флаттер крипа малого удлинения с помощью метода многочленов на ЕС ЭВМ // Численная реализация фиэкко-механических задач прочности: Тез. докл. Всесоюз. конф. / Горьк. ун-т. - Горький, 1987. - С. 48-49.

6. Боярко К Г., Фатьянов Ю. А., Филатов А. А. Методика расчета частот и форм собственных колебаний стержневых конструкций антен // Вопросы надежности и оптиматизации строительства конструкций машш и механизмов: Тез. докл. конференции / Севастополь, 1989.

7. Боярко Е Г. Фатьянов Ю. А. Анализ применения метода многочлена к расчету собственных частот колебаний больших космических антен // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптиматизация конструкции: Всесоюз. межвуз. сб. /Горьк. ун-т. 1989. С. 80-86.

8. Боярко Е Г., Фатьянов й А. Исследования влияния расположения опор на частотные характеристики стержневого каркаса антены // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1690. С. 109-113.

9. Боярко Е Г. Определение частот и форм собственных колебаний системы "крылья-шпангоут" // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Исследования и оптимизация конструкции: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1990. С. 92-99.

5)

ч 2,0

А.1

5)

П--ЦО П-20 НПО

8 =

П--ЧО n^20 h--10

0,4 n 0,2

Pue.2