Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек на основе энергетически согласованной теории

Чан Нгок Доан

Автореферат диссертации на тему "Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек на основе энергетически согласованной теории"

4847548

ЧАН Нгок Доан

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ СОГЛАСОВАННОЙ ТЕОРИИ

Специальность 01.02.06 Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 6 МАЙ 2011

Москва-20II

4847548

Работа выполнена на кафедре 906 «Машиноведение и детали машин» Московского авиационного института (государственного технического университета).

Научный руководитель: Доктор технических наук, профессор,

Фирсанов Валерий Васильевич

Официальные оппоненты: Доктор технических наук, профессор,

Зверяев Евгений Михайлович

Кандидат технических наук, доцент, Хроматов Василий Ефимович

Ведущая организация: Институт прикладной механики РАН

Защита диссертации состоится " 08 " июня 2011 г. в 15— часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета).

Автореферат разослан « С£ » мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ^-Федотенков Г.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТА

Актуальность темы диссертации

Современная техника выдвинула в теории пластинок и оболочек более сложные проблемы, чем те, которые исследуются классической теорией типа Кирхгофа -Лява. Один из аспектов этих проблем заключается в построении более достоверных методов определения напряженно - деформированного состояния (НДС) вблизи зон искажения напряженного состояния (области вблизи крепления конструкций, действия локальных и быстро изменяющихся нагрузок), а также элементов конструкций, выполненных из неоднородных материалов. Это объясняется тем, что для этих случаев классическая теория не дает удовлетворительного соответствия с практикой в силу существенной трехмерности НДС.

Поэтому для описания объемного НДС необходимо построить уточненные теории пластинок и оболочек, базирующиеся на трехмерных уравнениях теории упругости. Такой подход позволит более точно определить НДС для тонких оболочек вблизи соединений и стыков, в том числе выполненных из неоднородных материалов, в местах приложения локальных нагрузок, а для нетонких оболочек - и во внутренних областях.

Построение уточненных теорий и методов определения НДС указанных элементов строительной механики позволит решить проблему расчета на прочность таких авиационных конструкций, как силовые корпуса летательных аппаратов, различные переходные зоны, а также элементов конструкций в различных отраслях машиностроения и в строительном деле.

Учет трехмерности НДС в элементах конструкций в сочетании с методами механики разрушения дает возможность оценить трещиностойкость в наиболее нагруженных зонах, более обоснованно выбрать тип конструкционного материала и рациональным образом распределить его вблизи концентраторов напряжений.

Здесь возникает также важная задача о расчетном определении параметров собственных колебаний пластинок и оболочек, так как они часто используются в качестве расчетных схем при исследовании колебательных движений. В динамике упругих летательных аппаратов возникает много различных проблем, связанных с определением динамических нагрузок, обеспечением виброустойчивости, снижением уровня вибраций и шума. Для этого выполняются соответствующие теоретические исследования и расчеты, проводятся необходимые экспериментальные исследования.

В связи с этим применение уточненных методов расчета пластинок и оболочек, позволяющих рассчитывать колебания более высоких частот, чем определяемых классической теорией, например, колебания, вызванные ударными воздействиями, представляет собой важную в научном и практическом отношении проблему.

Результаты расчета общего, местного НДС и колебаний пластинок и оболочек могут быть использованы при обосновании режимов лабораторных исследований на действие статических нагрузок, вибраций и ударов.

Поэтому разработка методов прогнозирования НДС и вибродинамического состояния пластинок и оболочек, уточняющих результаты классической теории и

применяемых на этапах проектирования перспективной техники, представляет собой актуальную проблему.

Объект диссертационного исследования - оболочечные конструкции.

Предмет исследования - методы расчета НДС и колебаний оболочек на основании энергетически согласованной теории оболочек, позволяющие уточнить результаты классической теории.

Целью диссертации является построение математической модели определения НДС произвольной оболочки, в том числе круговой цилиндрической оболочки, на основе энергетически согласованной теории; исследование НДС круговой цилиндрической оболочки с различными краевыми условиями при действии локальных и распределенных нагрузок различной изменяемости, а также свободных колебаний цилиндрической оболочки.

Задачи работы, решаемые для достижения поставленной цели:

1. Построение системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей равновесие оболочки, на основе трехмерных уравнений теории упругости в триортогональной криволинейной системе координат и принципа виртуальных перемещений.

2. Построение для круговой цилиндрической оболочки системы уравнений в перемещениях с соответствующими краевыми условиями.

3. Разработка метода расчета оболочки, находящейся под действием локальных нагрузок, при различных краевых условиях с помощью аппарата операционного исчисления.

4. Проведение параметрических исследований по оценке влияния типа нагружения, условий закрепления и геометрических параметров оболочки на ее НДС. Сравнение результатов расчета НДС, полученных в диссертационной работе, с данными классической теории.

5. Построение уравнений для определения характеристик свободных колебаний цилиндрической оболочки, их анализ с использованием вариационного метода Бубнова - Галеркина и сравнение полученных результатов с данными классической теории.

Методы исследования

В диссертационной работе основу исследований составляют трехмерные уравнения теории упругости в триортогональной криволинейной системе координат, энергетически согласованное направление в теории оболочек, аппарат операционного исчисления, вариационный метод Бубнова - Галеркина.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые построены двумерные уравнения и граничные условия для определения НДС произвольной оболочки в рамках энергетически согласованного подхода с использованием разложения компонентов НДС по полиномиальным рядам, зависящим от нормальной координаты. С помощью принципа возможных перемещений трехмерная проблема приводится к двумерной с согласованным количеством дифференциальных уравнений и краевых условий.

2. Для круговой цилиндрической оболочки получена система дифференциальных уравнений в перемещениях и сформулированы граничные условия для всех случаев крепления оболочки.

3. С помощью аппарата операционного исчисления разработана методика расчета круговой цилиндрической оболочки с различными краевыми условиями под действием различных видов локальных нагрузок, что позволило вдвое сократить число произвольных постоянных интегрирования и существенно упростить аналитическое решение задачи.

4. На основе энергетически согласованной теории оболочек построены уравнения и граничные условия для свободных колебаний цилиндрической оболочки, с их помощью впервые получены высокие частоты колебаний, не описываемые в классической теории.

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов

обеспечивается корректным использованием законов и уравнений механики деформируемого твердого тела, применением для решения краевых задач строгих математических методов, а также многочисленными сравнениями результатов расчета с известными теоретическими данными, подтверждающими их хорошее согласование для ряда конкретных задач.

Практическую ценность диссертационной работы составляют

1. Предложенные в работе математические модели, методы и алгоритмы расчета, позволяющие существенно уточнить НДС оболочечных конструкций в зонах искажения напряженного состояния.

2. В проведении качественного и количественного анализа влияния вида нагружения, условий закрепления, геометрических параметров цилиндрической оболочки на ее НДС и характеристики свободных колебаний.

3. В доказательстве наличия в тонких и менее тонких оболочках поперечных нормальных напряжений, соизмеримых с максимальными тангенциальными напряжениями, которые существенно повлияют на оценку прочности оболочек из изотропных и композиционных материалов.

4. В возможности определения амплитуд и частот свободных колебаний цилиндрической оболочки, соответствующих более высоким тонам.

5. Результаты, полученные на основе теоретических и численных исследований, могут быть использованы на этапе проектирования при оценке прочности конструкций расчетными и экспериментальными методами.

Основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту

1. Математические модели определения НДС произвольных оболочек, в том числе круговых цилиндрических оболочек, позволяющие существенно уточнить НДС, особенно в зонах искажения напряженного состояния.

2. Методика расчета круговой цилиндрической оболочки под действием локальных и распределенных нагрузок, основанная на аппарате операционного исчисления, упрощающая решение соответствующих краевых задач.

3. Доказательство существования быстро затухающих при удалении от зон искажения напряженного состояния поперечных нормальных напряжений, что

подтверждается наличием дополнительных корней характеристического уравнения задачи.

4. Уравнения свободных колебаний цилиндрической оболочки, позволяющие получить формы и частоты, соответствующие первым восьми тонам колебаний.

Апробация работы и публикации

Результаты диссертационной работы докладывались на

- XIV-M, XVI-M, XVII-M международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Ярополец. Московская обл., 2008,2010, 2011 г.г.;

- научно - практической конференции студентов и молодых ученых МАИ «Инновация в авиации и космонавтике - 2010». Москва, 2010 г.;

- VIII-й всероссийской юбилейной научно-технической конференции «Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов». Москва, 2010 г.

Работа в целом обсуждалась на заседании кафедры № 906 Московского авиационного института (государственного технического университета) и научном семинаре им. Горшкова «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин».

Основные результаты диссертации опубликованы в 12-и печатных работах, в том числе в 4-х статьях из Перечня, рекомендованного ВАК РФ.

Объем и структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы. Работа содержит 178 страниц, 75 рисунков, 7 таблиц. Список литературы содержит 117 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, представлены объект и предмет научных исследований, сформулированы цель и задачи исследования, определена научная новизна и практическая ценность полученных автором результатов, приведены основные положения, выносимые на защиту, дано краткое содержание работы по главам.

В первой главе представлены обзор литературы и постановка задачи, определена проблема приведения трехмерных уравнений теории упругости в криволинейной ортогональной системе координат к двумерным уравнениям энергетически согласованной теории оболочек. При построении теории сформулированы условия согласованности, позволяющие полно удовлетворить уравнениям равновесия и краевым условиям оболочки.

Фундаментальные исследования по теории оболочек принадлежат С.А. Амбарцумяну, В.В. Болотину, В.З. Власову, A.C. Вольмиру, К.З. Гапимову, АЛ.

Гольденвейзеру, А.И. Лурье, Х.М. Муштари, В.В. Новожилову, С.П. Тимошенко и др.

Применение в различных отраслях техники композиционных материалов, а также разработка новых методов расчета оболочечных конструкций из неоднородных материалов показали неправомерность, в той или иной степени, использования классической теории для этих материалов. Поэтому основные усилия исследователей были направлены на усовершенствование теорий типа Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейсснера. В данном направлении развития теории оболочек нужно отметить работы И.Н. Векуа, Н.А. Кильчевского, Э.И. Григолюка, В.В. Васильева, С.А. Лурье, Б.В. Нерубайло, В.В. Пикуля, В.В. Фирсанова, и др.

Одно из направлений развития теории оболочек, в которых учет поперечных деформаций (ими в классической теории пренебрегают) находится в полном соответствии с локальными уравнениями равновесия и сплошности материала, в работах В.В. Васильева и С.А. Лурье называется «энергетически согласованным». В этих работах решена задача сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории пластин и пологих оболочек.

Для развития данного направления в теории оболочек можно поставить следующие задачи:

- построение уравнений для произвольной оболочки, с помощью которых можно сформулировать частные теории, например, теорию круговых цилиндрических оболочек, сферических оболочек и др.;

- количественная оценка результатов расчета в уточненной теории по отношению к классической теории;

- методы инженерных расчетов типовых конструкций в рамках энергетически согласованной теории оболочек;

- анализ результатов теоретических исследований с целью их использования при разработке справочных материалов для процесса проектирования и оценки прочности конструкций.

Таким образом, несмотря на известные достижения в теории и методах расчета оболочек, имеется еще ряд нерешенных задач в энергетически согласованной теории оболочек. Поэтому исследование прочности и колебаний оболочек, а также оценка погрешности энергетически согласованной теории по сравнению с классической теорией продолжают сохранять свою актуальность. Решению этих задач и посвящена диссертация.

Произвольная оболочка рассматривается как трехмерное твердое тело, отнесенное к триортогональной криволинейной системе координат а,, а2, а,. Координатные оси а,, а2 совпадают с главными направлениями срединной поверхности оболочки, а ось а, направлена по наружной нормали к этой поверхности.

Для описания НДС используются уравнения трехмерной задачи теории упругости в триортогональной криволинейной системе координат (уравнения равновесия, обобщенные физические и геометрические уравнения).

Считаем, что на лицевых а,=±1г (И - полутолщина оболочки) и торцевых поверхностях оболочки заданы следующие граничные условия:

<тп{Щ = Ч%. / = 1,2,3, <та,=дап / = 1,2,3, а = 1,2.

Построение двумерных уравнений. Для построения метода расчета приведем систему трехмерных уравнений теории упругости к системе двумерных уравнений, зависящих от независимых тангенциальных переменных а,, а2. В рамках энергетической согласованной теории представим перемещения в виде

А" а к К а ^

и, (а„а2,а3,/) = (сс„а2,и, (а„а2,а3,/) = («„а2,/)-7.

4-0 Л! А=о Л!

К-1 а <

С/3 (а,, а2, а,,/) = £ (а,, аг,/) -2-,

4-0 *!

С помощью принципа виртуальных перемещений получим

За, + —-- да2

^ э{АгмУ)

Эа2 За,

н —---.

, 2 Эя2 21 1 "

л С)

£_ + д(Ч_Т;(Ч

-м\к) + дл,

п(')

За,

Л, + ,

+ ЛДЛ'} = О, / = О, ЛГ — 1.

(1.1)

За, За,

Обобщенные усилия представляются как

мг - };>„ <=^а,, Mir=j;y ,2 м2"»=j;>22

7;(l) = 7?" = rV<r2l7^Lrfa,, Г<(| = Vha^-^da.

1 J-a 1 2 "(£-1)! 3 2 J-h 1 - 25it_i1i 3 3 J-* 1 2 35 it.

Q(l) = ¡y^da,, й4) = J>,aB^da„ p" =

Ar!

а,

а.о, — 1 2 kl

(«3-»)

xr=j;>,a2 ^=рг1=Й

XV = £GA<h p™ = 4t.

k\ а^а2а}1

k\

"?23

it!

(*-1)!

С помощью ЗК + 2 уравнений (1.1) можно получить полную систему двумерных уравнений, содержащих (ЗК +2) обобщенных перемещений ut, v, , if,.

Определение краевых условий. Для края а, = const имеем следующие варианты краевых условий:

м(<) = мт v щ = мг) = мт v Vj =Vj[r; k = ojc

a(i| = Qrl" v W4 = W;, * = oj^I

(1.2)

Краевые условия на краю а2 = сон.« представляются как

v v.. = v[, к = О, К

QW = Qm v Wt = wrt к = O,A:-I.

(1.3)

Здесь введены обозначения

г* а * nt) (•+'- а:

—da,, мг: = а,<т,. — Л! 21 2 21 к\

MT-iy^da,,

Очевидно, что краевые условия (1.2), (1.3) охватывают все разнообразие возможных условий закрепления оболочки в реальных конструкциях, а их количество полностью соответствует порядку системы дифференциальных уравнений (1.1) согласованной теории.

Алгоритм решения задачи. Решая дифференцированные уравнения (1.1) относительно (ЗК + 2) обобщенных перемещений и,, \к, , получим общее решение, содержащее неизвестные постоянные интегрирования. Они определяются из краевых условий (1.2), (1.3).

С помощью физических и геометрических уравнений получим выражения деформаций и тангенциальных напряжений <т„, ап, сг12 оболочки. Остальные компоненты напряжения определяются из уравнений равновесия теории упругости, что обеспечивает их полное удовлетворение.

Во второй главе на основе дифференциальных уравнений и краевых условий, полученных в первой главе, построены уравнения теории круговой цилиндрической оболочки и метод решения постановленных задач.

I. Вывод уравнений теории круговых цилиндрических оболочек. Д ля изотропной круговой цилиндрической оболочки удобно принять

а, = , аг = Нв,

где Я - радиус оболочки, £ - относительное (измеренное в долях Л) расстояние по образующей, в - центральный угол.

Будем предполагать в дальнейшем, что искомые упругие перемещения ¿7,, иг, и, допускают асимптотические представления вида

дающие погрешности в определении перемещений порядка А3.

В данном случае уравнения (1.1) приводятся к уравнениям в перемещениях

| КГ- + КГ' Щ ~ |и0 + КГ» + КГ' — >с0 +(КГ' + КГ: + КГ' ~ ]и. +

^ 0 " в? дв2)" 12 д&в 0 ' д£ " а^2 22 а*?2,) 1

+КГ\ +КП —1С. +| К/": + КГ- ~ + КЩ Дг)«, +Щ

'2д£дв' ' 1 { ° " д£2 22 дв-) 2 12 д£дв 2 0 " 0 13

а2 ( а2 а2 ^ я ( а2 я2 ^

ах? — «о + а:с+га —г+га +кг,'—1с0 + га + га —г+га, —г к + ,2а<га<? 0 ( 0 " а^2 22 зв2)0 2 ъв 0 у " " д? 22 дв2)1

Я2 Я Я2 ( Я2 Я2

+га—»1+га' —^+га2: «•, + ц;-+га,! —т+га. -^т К, = гаЧ:, - га^;,, |2а#а<? 1 2 ев 1 12 2 ( 0 " а<?2 22 а^2 0 423 0 23

К/Г —и„ + АГл" +1 ЛГ/0" + ЛГ/,jjjT + KjJ ^Г к +1 А/0' + Ay,,1 yZ + Kjá J^p +

+Ñ? ¿v, + ^ ¿и, + A/"? ¿v2 = Kjff„-Kj*4i;„ / = 1,2,3; / = 4,5,6; / = 7,8,

дв дг; дв

где коэффициенты Kl с буквенными и цифровыми индексами представляют собой постоянные величины, зависящие от геометрических и физических параметров оболочки.

2. Приведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью тригонометрических рядов по переменной в. Разложение в тригонометрические ряды по окружной переменной в, как правило, используется к расчету замкнутой круговой цилиндрической оболочки. При этом условия периодичности по окружному направлению автоматически выполняются. Представим нагрузки и перемещения в виде тригонометрических рядов

4Í, {4,0) = (Í) + (í)oosme + Q[% (г)sin тв] i = 1,2,3,

и4 (Í, = С/,0 (г) + (Í) cos +1/^ (í)sin * = 0,1,2, (2.2)

V* (f. e) = Ко ) + ¿ [->1? (#) cos тв + V® (г) sin тв] k = 0,1,2, w, (<?, в) = Wl0 (£) + (£) cos тв + (£) sin тв] I = 0,1.

Подставляя (2.2) в (2.1), получим обыкновенные дифференциальные уравнения для т-х членов разложений (2.2). В данной главе приведены общие решения соответствующих однородных дифференциальных уравнений, которые здесь не приводятся.

В общем случае характеристическое уравнение имеет 16 следующих решений: ±p,±iq„ ±p2±iq2, ±p¡±iq,,±pt, ±Л-

Их анализ показывает, что при значениях т, удовлетворяющих строгому неравенству

т<[///(л/зя)]""2 (2.3)

эти корни удовлетворяют строгим неравенствам

А« />2« Ра< Р}< P¡> <?| « « <7,> и разделяются на три группы: малые корни ±pt ± iqt, соответствующие обобщенным основным НДС; большие корни ±p1±iq1, соответствующие НДС простых краевых эффектов; сверхбольшие корни ±p,±iq,, ±р4, ±р5, соответствующие НДС дополнительных краевых эффектов.

3. Приведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью тригонометрических рядов по переменной <f. Как правило, разложение в тригонометрические ряды по £ применяется к расчету открытых

круговых цилиндрических оболочек, имеющих прямолинейные края. Разложим нагрузки и перемещения в виде

ч%(4.0) = <?*„„,(в) + ¿[е$3(0)cosXJ-(в)sinAjj / = 1,2,3,

m=\

щ (4,е) = + (e)sin^} к = 0,1,2, (2.4)

vt (4.0) = (в) +1 К2' (0) cos + r£> (0) sin Aj], к = 0,1,2,

(4, в) = Wo (0) + É[»l" (0) s¡n 4.É + (0) cos Aj] l = 0,1. Здесь - константа, которая пропорциональна m.

Подстановкой (2.4) в (2.1) находятся обыкновенные дифференциальные уравнения для п-х членов разложений (2.4). В диссертации приведены общие решения соответствующих однородных дифференциальных уравнений.

В третьей главе с помощью операционного метода, основанного на преобразовании Лапласа, получены аналитические решения для замкнутой круговой цилиндрической оболочки с различными краевыми условиями при действии распределенной и локальной нагрузок. Применение преобразования Лапласа дает существенное преимущество по сравнению с классическими методами. При этом краевые условия на одном конце оболочки автоматически выполняются, что вдвое сокращает число произвольных постоянных при интегрировании дифференциальных уравнений.

Рассматривается оболочка, находящаяся под действием радиальной локальной нагрузки, изменяющейся по закону

ч Jo, при0<4<4[ mu42<4s40 = l/r,

где L - длина оболочки.

Параметры нагрузки, внутренних сил и перемещений находятся с помощью рядов (2.2). Переходя от оригиналов к изображениям соответствующих перемещений и нагрузок, можно найти

(О2ч-К1Хр2-т2К%)иа(р) + трК1?гУ0 (p) + Kt?pWB (p) + mpKi;>Vl (р) + + [щ + кг;\р2 -т2Щ)ut(p) + KippWí (р) + (Дг + Kl"¡р2 ~т2Щ )U1(p) + +mpKi¡¡v, (р) = кг;<;(Рст+ст)+ц) (Рспо+сш)+кг;;- (Pcm+cl2¡)+

+тКГ12С2т + mKl'¿C2ia + тК1ЦС22<1 + Д""С300 + Kl"'C¡¡0, / = 1,2,3, (3.1)

-mpKÜU0(p) + (K% +KQp2-m2KiZ)V0 (р)-тК,^ (,p)-mpK%U, (p)-mKÇWt (р) + +(KQ + Kt;\p2 -m2Kil)v, (p) + {Kf¿ + Щр2 -m2K%)V2 (p)-mpKi¡'¡U2 (p) = -mK%Ctlo --mKi¡'zCiia -mKi'[¡Cu¡¡ +Ki¡¡ (pC2m+C2m) +Ki¡\ (pCm +C2¡l) + Ki¡'¡ (pCm +C22¡), i = 4,5,6, WpU0(p) + mKf?V0 (p) + (Kf;«+Kj;?p2-m2KjSyv0 (p) + KjrpU, (p) + mKj;Vl (p) + +(Kj? +KJr;p2-m2Kf¿)lVl (p) + Kj"'pU2 (р) + тКД'Уг (p) = Kj^Cm + Kj?Cm + +Kj¡"-Cl20 + Kj;; (pCm +Cm) + Kj"¡ (pCJW +C3II) + KjfLapQk (p), j = 7,8. Краевые условия при 4 = 0 принимают следующий вид: - для жестко защемленного края

с„„ = о, См = О, / = 0,2, С,,0 = 0, у = 0,!, (3.2)

- для шарнирно опертого края

Ст = 0, Ст = 0, ОД Сзу0 =0, 7= 0,1, (3.3)

- для свободного края

Ст=-ц(тСш+Ст+ЯСш)1{\-м), С1П =/|[»(СИ0-ЛС21в) + Сзя,-ЛС,1в]/[(1-//)Я],

С20, =тСт, С121 =-А[т(д2С2,0-2йС2|0+2С200) + 2Свд-2/?С„0]/[(1-/и)Л2], (3.4)

С2П = -тС|00/Л + юС1|0, С22, =2тСт / Я2 -\-тСт, СЗП=-ЙС,20. Здесь и,(р), У,{р), / = 0,2, у = 0,1 - изображения перемещений и,{£),

¡V,(£) соответственно; 1ар<2*г(р),/ = 1,3 - изображения нагрузок 2*(£), / = 0; произвольные постоянные С с числовыми индексами определяются формулами С„о=^(0), Си1=Д/,(0)/^, с2га = ^(0), С2„=^(0)/«/£, ^ОД С5уо = ^(°)' } = 0,1.

Решая систему (3.1) с учетом краевых условий (3.2) - (3.4) на краю £ = 0, находим изображения перемещений. Переходом от полученных изображений к оригиналам получаются перемещения, в выражениях которых содержатся остальные произвольные постоянные С, которые находятся из краевых условий при £ = ¿/Д.

В диссертации представлены выражения частных решений для оболочки под действием следующих локальных нагрузок:

- радиальной кольцевой нагрузки, изменяющейся по закону

или

- радиальной кольцевой нагрузки, изменяющейся по линейному закону

10, приили при£2 = ¿/Л,

Ь:

- радиальной кольцевой нагрузки, изменяющейся по параболическому закону

(0, „риО^ ши пРи!г<£<£0,

- радиальной кольцевой нагрузки, изменяющейся по закону

приОй^к^ или при4г<%<^. ,, оч

- распределенной в окружном направлении силы 1°, приложенной в произвольной точке £ = ,

- распределенного в окружном направлении изгибающего момента М, приложенного в произвольной точке £ = £.

В виду громоздкости здесь они не приводятся.

Отдельно рассматриваются два случая, когда на оболочку действуют - осесимметричные нагрузки (при т = 0), изменяющиеся по законам (3.5) - (3.8) в продольном направлении; сила Р, изгибающий момент м, равномерно

распределенные в окружном направлении и приложенные в произвольной точке

- нагрузки, изменяющиеся по законам (3.5) - (3.8) в продольном направлении и распределенные по закону косинуса в окружном направлении; сила Р, изгибающий момент М, распределенные по закону косинуса в окружном направлении и приложенные в произвольной точке £ = f,.

В данной главе приведены выражения частных решений для вышеназванных случаев.

В четвертой главе проведены результаты параметрических расчетов по исследованию влияния краевых условий, геометрических параметров и изменяемости нагрузки на НДС оболочки, дано сравнение результатов, полученных в данной работе, с классической теорией.

1. Влияние краевых условий на НДС оболочки. В качестве примера рассматривается круговая цилиндрическая оболочка со следующими параметрами: длина L = 6R, радиус Л = 0.1л(, относительная полутолщина го = 0.01, коэффициент Пуассона материала // = 0.3. На оболочку действует нагрузка, линейно изменяющаяся по закону

ГО, при0<£<£, =1.5 или при^г<^<£а= 4;

(а (4 - £ )/(& - ) cos we, nput, S £ < 6 = 2.5.

Результаты расчета для различных краевых условий представлены на рис. 4.1 для случая т = 2. На рис. 4.1, а - 4.1, г приведены максимальные нормальные напряжения, на рис. 4.1, д -максимальные тангенциальные напряжения, а на рис. 4.1, е-нормальное поперечное напряжение оболочки на краю £ =

Из рис. 4.1 следует, что при т = 2 краевые условия существенно влияют на НДС оболочки. Однако при больших т, значение которых не удовлетворяет строгому неравенству (2.3), краевые условия оказывают несущественное влияние на НДС оболочки. Это объясняется большими значениями корней характеристического уравнения соответствующей системы дифференциальных уравнений.

На рис. 4.2. показаны результаты расчета нормальных напряжений оболочки для случая т = 15.

/' \

У \

/1 1.x / \ V

/ 1

■' / V / —-- ч.

/

/ / 2 4 С

I / i

/

j " зблти края : о о,оы

<г -5о 1 vl) - 1С0 __

--СО ___ j iaiu.-onepr. |

|—о i---си!

У \ / / k-.

' ' > 4

/ / 2 4 ! / « / \ v \ \ \ N.

t —^ Еблншкрая .

i о 5j90 e

1 «ш.-»а. 1

-150

£

Рис. 4.1, а

j '-Г____

Рис. 4.1,6

Рис. 4.1, д

Рис. 4.1, е

е„

-5.10 '

ш края I |

' I

<- I I

0,010 I |

* I I \ I I

\ ! л'

« <71

I

I.' /.' I! 11

Л ...

осерт.-оперт

11

Я !1 Ч И

ЧК

Рис. 4.2, а

Рис. 4.2, б

2. Влияние толщины на НДС оболочки. Рассматривается оболочка со следующими параметрами: относительная длина £0 = 1/Д = 5, коэффициент

Пуассона р = 0.3, радиус Л = 0.2 м. На оболочку действует осесимметричная нагрузка, изменяющаяся по закону (3.5) в продольном направлении (£,=0.4375, £ = 0.5625).

Результаты вычисления относительных перемещений на лицевой поверхности = +Л оболочки, жестко защемленной по двум концам, для различных толщин приведены на рис. 4.3.

, 3 1 ---ЬР=С00?

-)

-ьр.=оо:

Рис. 4.3, а Рис. 4.3, б

Рассмотрим оболочку, жестко защемленную на двух концах, под действием силы Р, равномерно распределенной по окружному направлению и приложенной в середине оболочки. Оболочка имеет относительную длину £0 = £/Л = 3, радиус

Л = 0.2 м.

На рис. 4.4 приведен график изменения прогибов по длине оболочки, здесь штриховыми линиями показаны результаты расчета по классической теории. Для той же оболочки на рис. 4.5 показан график относительных рассогласований величин прогибов, определенных по классической теории, по отношению к результатам данной работы.

---ЬЕ.=0.031Х1ГС.) -hSni.CS

-ЬКО.! ---11 №0.1 (Класс.)

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Для данного случая нагружения в табл. 4.1 приведены значения максимальных относительных нормальных напряжений, определенных по результатам данной работы и по классической теории.

ЭСТ KT ЭСТ KT ЭСТ KT ЭСТ KT

h/R = 0.1 h/R = 0.08 h/R = 0.04 h! R = 0.02

auR/P 113 62 151 87 3 80 254 984 727

a22R/P 100 55 133 78 333 219 868 620

a33R/P 81 0 99 0 193 0 380 0

h/R = 0.0l hi R = 0.005 h! R = 0.002 й/Я = 0.001

<xuR/P 2603 2067 7005 5856 26436 23143 72980 65419

a22R¡P 2317 1755 6292 4964 23975 19622 66555 55499

a33R/P 756 0 1508 0 3766 0 7531 0

Здесь использованы следующие обозначения: ЭСТ - энергетически согласованная теория, КТ - классическая теория.

Из анализа данных табл. 4.1 можно установить, что при изменении относительной толщины оболочки в пределах от 0.001 до 0.1 погрешность классической теории по нормальным напряжениям составляет: для <ти -10.5-^45.5%; для ап - 16.6-^45.5%; для <т33 - 10.3ч-72.2% от максимальных напряжений сгп.

3. Влияние характера нагрузки на НДС оболочки. Рассматривается оболочка со следующими параметрами: относительная длина £0 = L/R = 4, радиус r-0.\m, относительная полутолщина е0= h/R = 0.01. Локальная нагрузка распространяется по поверхности оболочки по закону

(0, при0<^<£, и при£2<^<£0,

[Q> sin [кл (<?-<?,)/г] cos в, при £ <£<£,, где к - любое целое число, ¿¡, = (£„ -г)/2, = (f0 + т)/2, т = 1.

На рис. 4.6, 4.7 показаны результаты расчета относительных нормальных

напряжений оболочки, жестко защемленной на двух концах, для различного числа

полуволн к = 2,4 соответственно.

Л ; 1 I i i i

И

i У<

Vi 1

JAr

и 3

JÍ 1 .J- , 1 1 \ -L'A i

>'<j ¡1 1 ' 1 11 II !i Г»/ V 4 !l i j i i i

---<J.I — -

---cii--

Рис. 4.6

Рис. 4.7

Анализ полученных результатов показывает, что число полуволн к существенно влияет на НДС оболочки.

Влияние размера полосы нагружения на НДС оболочки, находящейся под действием нагрузки, равномерно распределенной по закону (3.5) и соответствующих значениям г = 1,1/3, показано на рис. 4.8, 4.9. Расчет проводился для оболочки, жестко защемленной по двум концам.

1

i 1 1 /)

1 1 _ ( / \( 1. 1/ \

J-IIÏ-/ /1 1 k ев: i \ \ •х \

( с 3- » 4

1 в,

-30

-50 \

¡-■-"и-- Ь:-®ri| i

V 2

чг

---.;„--О-,,

Рис. 4.8

Рис. 4.9

4. Влияние длины на НДС оболочки. Исследование влияния длины оболочки с относительной полутолщиной е0 = Л/Я = 0.01, радиусом Д = 0.2 м, находящейся под действием сосредоточенной силы Р в ее середине и равномерно распределенной по круговому сечению, на величину максимального прогиба дано на рис. 4.10. Здесь так же приведен результат расчета по классической теории, отмеченный штриховой линией.

Й S --

* ... ' | / / I

о ic i:> зо

ОтносЩ 1МЬН»Я длит o5a.)[>4WH (L R)

Рис. 4.10. Влияние длины оболочки на максимальный прогиб Графики изменения относительных нормальных напряжений по длине тонкой оболочки (г0 = 0.01) даны на рис. 4.11

<ТК р

ОК р

1500

1000

500

I!

Рис. 4.12, а

Рис. 4.12, б

На основании полученных результатов можно установить следующее:

1. Поперечные нормальные напряжения, которыми в классической теории пренебрегают, в данной работе даже для тонких оболочек получаются одного порядка с максимальными значениями основного тангенциального напряжения, причем для более толстых оболочек вклад поперечных нормальных напряжений в общее НДС значительно возрастает; этот результат имеет важное значение при расчетах пластинок и оболочек из композиционных материалов при оценке прочности связующего.

2. В общем случае краевые условия существенно влияют на НДС оболочки. Однако в частных случаях, например, когда на оболочку действует локальная нагрузка, удаленная от краев оболочки, с большим значением т, краевые условия не существенно влияют на НДС оболочки.

3. Размер полосы нагружения существенно влияет на НДС оболочки, не только в зоне локального нагружения, но и по всей длине оболочки.

4. На величину и распределение напряжений в оболочке большое влияние оказывает изменяемость нагружения.

5. Для очень тонких оболочек расчеты нормальных тангенциальных напряжений по классической теории и по данной работе дают близкие результаты.

В пятой главе исследуются свободные колебания круговой цилиндрической оболочки. При помощи вариационного метода Бубнова - Гаперкина исследовано влияние различных факторов, в том числе краевых условий, толщины оболочки, числа полуволн в окружном и продольном направлениях, на собственные частоты колебаний. Дано сравнение результатов, полученных в данной работе с другими известными теориями.

В качестве исходных уравнений приняты уравнения (2.1), дополненные инерционными слагаемыми.

С помощью балочных функций и вариационного метода Бубнова - Галеркина приведен расчет собственных частот колебаний при различных вариантах краевых условий, а именно: шарнирно опертый край, свободный в продольном направлении; полностью защемленный край; свободный край.

Этим краевым условиям удовлетворяют следующие выражения для перемещений:

«,. = и, —

Л".

со б тв С05 м, V,. = V" X [ I эт тв еда / = 0,1,2, 1-й.

м)с

1V. = J соэ тв соб ей, у = 0,1,

где - балочная функция, Хп - собственные числа и-ой балочной функции, т -число волн по окружности, п - число продольных полуволн.

С целью упрощения расчета используется безразмерная приведенная частота, которая определяются соотношением

В данном случае получим спектр частот п„ / = 1,8, соответствующих одним и тем же значениям волновых чисел от ил.

1. Свободные колебания оболочки, шарнирно опертой по двум концам. Введено обозначение Л„ = пя-/£0 - параметр, который характеризует количество продольных полуволн деформаций (и = 1,2,...).

Результаты вычисления частот П,, / = 1,8 представлены на рис. 5.1 - 5.4 для различных значений толщины оболочки.

---И й"О.М>;

Л.

Рис. 5.1 га=2

Рис. 5.2

---Ь

1.6 з,: л*

Рис. 5.3

"•• Ь Р.=0.С'4 —Ь К^О.О-■ "я В —0.1

Рис. 5.4

Р.-0.04

->, К г г

■ -ай»0.1

Результаты расчета показывают, что величины вторых и третьих частот колебаний практически не изменяются для различных значений толщины оболочки; а остальные более высокие частоты практически постоянны относительно приведенных величин собственного числа Л„, особенно для тонких оболочек.

На рис. 5.5, 5.6 представлена зависимость низшей частоты О, от собственных чисел Ля при т = 0, 4 соответственно.

Рис. 5.5

л.

Рис. 5.6

Рис. 5.7 Рис. 5.8

Зависимость собственных частот от числа волн по окружности т представлена на рис. 5.7, 5.8. Расчеты проведены для оболочки с относительной длиной £0=5 и относительной полутолщиной е„ = 0.005

2. Исследование влияния краевых условий на свободные колебания оболочки. Результаты расчета низших приведенных частот колебаний показаны на рис. 5.9,5.10.

•!. I, К (Mi:. I. I! I"

Рис. 5.9

Рис. .5.10

3. Сравнение результатов, полученных по разным теориям. В качестве примера, рассматриваются варианты классической теории оболочек Доннелла -Муштари (Дон.-Мушт.) и Гольденвейзера - Новожилова (Гольд.-Новож.). Результаты вычисления по данной работе и классическим теориям оболочек представлены на рис. 5.11,5.12.

Ь/К-0.005.1Л1*$

11.1*= 0.05, Ы*=5

Рис. 5.11

Рис. 5.12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе трехмерных уравнений теории упругости с помощью вариационного принципа Лагранжа построены двумерные уравнения теории произвольных оболочек, в том числе круговых цилиндрических оболочек, и соответствующие граничные условия. Полученные граничные условия охватывают наиболее часто встречающиеся в практических расчетах возможные условия закрепления оболочки в реальных конструкциях и их количество соответствует порядку системы дифференциальных уравнений энергетически согласованной теории.

2. С помощью тригонометрических рядов двумерные уравнения теории цилиндрических оболочек приведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Даны общие решения соответствующих однородных уравнений. Анализ корней характеристического уравнения показывает, что НДС оболочки в некоторых случаях можно разделить на обобщенные основные НДС, простые краевые эффекты и дополнительные краевые эффекты, быстро затухающие при удалении от края.

3. Показано преимущество применения операционного исчисления при расчете замкнутых круговых цилиндрических оболочек под действием произвольных локальных и распределенных нагрузок.

4. Поперечные нормальные напряжения, которыми в классической теории пренебрегают, в данной работе получаются одного порядка с максимальными значениями основного изгибного напряжения; этот результат имеет большое значение при расчетах пластинок и оболочек из изотропных и композиционных материалов.

5. Для замкнутой цилиндрической оболочки в рамках уточненной теории получено частотное уравнение, позволяющее определить высокие тона собственных колебаний, не описываемые в классической теории.

6. В результате параметрических исследований показано существенное влияние

изменяемости нагрузки, краевых условий и геометрических параметров на НДС и

характер свободных колебаний оболочки.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ

1. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан. Энергетически согласованный подход к исследованию упругих оболочек произвольной геометрии // Вестник МАИ. 2011. Т. 18. № 1.С. 194-207.

2. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан, Данг Нгок Тхань. Операционный метод исследования напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек на основе энергетически согласованной теории // Вестник МАИ. 2011. Т. 18. №2. С. 186-199

3. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан. Замкнутая цилиндрическая оболочка под действием локальной нагрузки // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. Т. 17. № 1. С. 91 - 106.

4. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан. Динамическое состояние системы балок с переменными параметрами при действии подвижной нагрузки // Вестник МАИ. 2009. Т. 16. №3. С. 138-144.

5. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан. Колебания балки переменной жесткости под действием равноускоренной подвижной нагрузки // Материалы XIV международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. 2008. Т. 1. С. 202203.

6. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан. Колебания балки переменной жесткости под действием равноускоренной подвижной нагрузки // Материалы XIV международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. 2008. Т. 2. С. 141149.

7. Фирсанов Вал.В., Чан Нгок Доан. Физически состоятельный подход к решению задачи о колебаниях произвольной оболочки // Материалы XVI международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. 2010. Т. 1. С. 176 - 178.

8. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан. Построение физически корректной теории произвольных оболочек // Материалы XVI международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. 2010. Т. 2. С. 238 - 246.

9. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан. Действие подвижной нагрузки на систему двух неоднородных балок // Сборник докладов VIII-й всероссийской юбилейной научно-технической конференции «Проблемы совершенствования робототехнических и интеллектуальных систем летательных аппаратов». Москва, МАИ, 21 -23 июня 2010г. 2010. С. 463 - 466.

10.Чан Нгок Доан. Физически состоятельный подход к построению двумерной теории произвольных оболочек // Научно - практическая конференция студентов и молодых ученых МАИ «Инновация в авиации и космонавтике - 2010». 26 - 30 апреля 2010 года. Москва. Сборник тезисов докладов. 2010. С. 194 - 195.

П.Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан. Трехмерная теория расчета цилиндрической оболочки // Материалы XVII международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. 2011. Т. 1.С. 193- 194.

12.Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан, Данг Нгок Тхань. Напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки под действием статической аэродинамической нагрузки // Материалы XVII международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. 2011. Т. 2. С. 148-154.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Чан Нгок Доан

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК.

1.1. Обзор литературы и постановка задачи.

1.1.1. Обзор литературы.

1.1.2. Постановка задачи.

1.2. Преобразование уравнений теории упругости. Формулировка условий согласованности.

1.3. Вывод уравнений теории произвольных оболочек.

1.4. Выводы к первой главе.

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.

2.1. Построение уравнений теории цилиндрических оболочек и формулировка краевых условий.

2.2. Приведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью тригонометрических рядов в окружном направлении. Общие решения однородных систем дифференциальных уравнений.

2.2.1. Преобразование двумерных уравнений с помощью тригонометрических рядов в окружном направлении.

2.2.2. Общие решения однородных уравнений.

2.2.3. Анализ корней основного характеристического уравнения.

2.3. Приведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью тригонометрических рядов в продольном направлении. Общие решения однородных систем дифференциальных уравнений.

2.3.1. Преобразование двумерных уравнений с помощью тригонометрических рядов в продольном направлении.

2.3.2. Решение однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.4. Выводы ко второй главе.

ГЛАВА 3. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.

3.1. Обоснование применения операционного метода.

3.2. Цилиндрическая оболочка под действием осесимметричной нагрузки.

3.3. Цилиндрическая оболочка под действием ветровой нагрузки.

3.4. Цилиндрическая оболочка под действием нагрузки, изменяющейся по закону cosmO в окружном направлении.

3.5. Выводы к третьей главе.

ГЛАВА 4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ.

4.1. Влияние краевых условий.

4.2. Влияние толщины оболочки.

4.3. Влияние длины оболочки.

4.4. Влияние характера нагрузок.

4.5. Выводы к четвертой главе.

ГЛАВА 5. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ОБОЛОЧКИ.

5.1. Уравнения движения оболочки.

5.2. Свободные колебания оболочки, шарнирно опертой по двум концам.

5.3. Исследование влияния краевых условий на свободные колебания оболочки.

5.4. Сравнение результатов, полученных по разным теориям.

5.5. Выводы к пятой главе.

Введение диссертация по механике, на тему "Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек на основе энергетически согласованной теории"

Современная техника выдвинула в теории пластинок и оболочек более сложные проблемы, чем те, которые исследуются классической теорией типа Кирхгофа - Лява. Один из аспектов этих проблем заключается в построении более достоверных методов определения напряженно — деформированного состояния (НДС) вблизи зон искажения напряженного состояния (области вблизи крепления конструкций, действия локальных и быстро изменяющихся нагрузок), а также элементов конструкций, выполненных из неоднородных материалов. Это объясняется тем, что для этих случаев классическая теория не дает удовлетворительного соответствия с практикой в силу существенной трехмерности НДС.

Поэтому для описания объемного НДС необходимо построить уточненные теории пластинок и оболочек, базирующиеся на трехмерных уравнениях теории упругости. Такой подход позволит более точно определить НДС для тонких оболочек вблизи соединений и стыков, в том числе выполненных из неоднородных материалов, в местах приложения локальных нагрузок, а для нетонких оболочек — и во внутренних областях.

Построение уточненных теорий и методов определения НДС указанных элементов строительной механики позволит решить проблему расчета на прочность таких авиационных конструкций, как силовые корпуса летательных аппаратов, различные переходные зоны, а также элементов конструкций в различных отраслях машиностроения и в строительном деле.

Учет трехмерности НДС в элементах конструкций в сочетании с методами механики разрушения дает возможность оценить трещиностойкость в наиболее нагруженных зонах, более обоснованно выбрать тип конструкционного материала и рациональным образом распределить его вблизи концентраторов напряжений.

Здесь возникает также важная задача о расчетном определении параметров собственных колебаний пластинок и оболочек, так как они часто используются в качестве расчетных схем при исследовании колебательных движений. В динамике упругих летательных аппаратов возникает много различных проблем, связанных с определением динамических нагрузок, обеспечением виброустойчивости, снижением уровня вибраций и шума. Для этого выполняются соответствующие теоретические исследования и расчеты, проводятся необходимые экспериментальные исследования.

В связи с этим применение уточненных методов расчета пластинок и оболочек, позволяющих рассчитывать колебания более высоких частот, чем определяемых классической теорией, например, колебания, вызванные ударными воздействиями, представляет собой важную в научном и практическом отношении проблему.

Результаты расчета общего, местного НДС и колебаний пластинок и оболочек могут быть использованы при обосновании режимов лабораторных исследований на действие статических нагрузок, вибраций и ударов.

Поэтому разработка методов прогнозирования НДС и вибродинамического состояния пластинок и оболочек, уточняющих результаты классической теории и применяемых на этапах проектирования перспективной техники, представляет собой актуальную проблему.

Объект диссертационного исследования — оболочечные конструкции.

Предмет исследования — методы расчета НДС и колебаний оболочек на основании энергетически согласованной теории оболочек, позволяющие уточнить результаты классической теории.

Целью диссертации является построение математической модели определения НДС произвольной оболочки, в том числе круговой цилиндрической оболочки, на основе энергетически согласованной теории; исследование НДС круговой цилиндрической оболочки с различными краевыми условиями при действии локальных и распределенных нагрузок различной изменяемости, а также свободных колебаний цилиндрической оболочки.

Задачи работы, решаемые для достижения поставленной цели:

1. Построение системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей равновесие оболочки, на основе трехмерных уравнений теории упругости в триортогональной криволинейной системе координат и принципа виртуальных перемещений.

2. Построение для круговой цилиндрической оболочки системы уравнений в перемещениях с соответствующими краевыми условиями.

3. Разработка метода расчета оболочки, находящейся под действием локальных нагрузок, при различных краевых условиях с помощью аппарата операционного исчисления.

4. Проведение параметрических исследований по оценке влияния типа нагружения, условий закрепления и геометрических параметров оболочки на ее НДС. Сравнение результатов расчета НДС, полученных в диссертационной работе, с данными классической теории.

5. Построение уравнений для определения характеристик свободных колебаний цилиндрической оболочки, их анализ с использованием вариационного метода Бубнова - Галеркина и сравнение полученных результатов с данными классической теории.

Методы исследования

В диссертационной работе основу исследований составляют трехмерные уравнения теории упругости в триортогональной криволинейной системе координат, энергетически согласованное направление в теории оболочек, аппарат операционного исчисления, вариационный метод Бубнова - Галеркина.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые построены двумерные уравнения и граничные условия для определения НДС произвольной оболочки в рамках энергетически согласованного подхода с использованием разложения компонентов НДС по полиномиальным рядам, зависящим от нормальной координаты. С помощью принципа возможных перемещений трехмерная проблема приводится к двумерной с согласованным количеством дифференциальных уравнений и краевых условий.

2. Для круговой цилиндрической оболочки получена система дифференциальных уравнений в перемещениях и сформулированы граничные условия для всех случаев крепления оболочки.

3. С помощью аппарата операционного исчисления разработана методика расчета круговой цилиндрической оболочки с различными краевыми условиями под действием различных видов локальных нагрузок, что позволило вдвое сократить число произвольных постоянных интегрирования и существенно упростить аналитическое решение задачи.

4. На основе энергетически согласованной теории оболочек построены уравнения и граничные условия для свободных колебаний цилиндрической оболочки, с их помощью впервые получены высокие частоты колебаний, не описываемые в классической теории.

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов обеспечивается корректным использованием законов и уравнений механики деформируемого твердого тела, применением для решения краевых задач строгих математических методов, а также многочисленными сравнениями результатов расчета с известными теоретическими данными, подтверждающими их хорошее согласование для ряда конкретных задач.