Анализ устойчивости нелинейных систем при структурных возмущениях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

рГ0 ол

"акадшя наук ш>аиш

1J w

Институт игтеглатшш

На правах рукописи

Маладаанов Вахайжая Гашшшовдч

анш13 устойчивости немнешых систем

при отигкшшх зшшщта

01.02.01 - теоретическая механика

Авторефера г

диссертации на соискание ученой oveaem доктора физико-математических наук

Киев - 1993

Работа выполнена в Институте механики All Украины Официальные огшоненты:

доктор физико-математических наук, професоор ЛАРИН В.Б. доктор физдкочлатематических наук, профессор ХУСАИНОВ Д.Я. доктор фазикснматематических наук, профессор ГУЛЯЕВ В.И.

Ведущая организация - Институт прикладной математики и механики All Украины

Защита состоится "X/ " 1993 г. в ^ часов

ка заседания специализированного Совета Д 016.50.02 при Институте математики АН Украины по адресу: 252601, Киев 4, ул.Терещекковская, 3.

О даооертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан "J1 " у? Л 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор фцз.-мат. наук

ЛУЧКА А.Ю.

ОБЩАЯ ХАРА1СТЗРИСТИКА РАБОШ

Актуальность теш. Математическое моделирование процессов и явлений в айвой я неживой природе всегда предполагает определенную их классификацию в соответствия со степень» их сложности. Многие процессы и явления моделируются крупномасштабный' системами (¿ШЗ), оостоящяш аз обособленных (свободных) подсистем, объедг :ешшх функциями связей. Для КГЛЗ с такой, структурой характерны определенные признака, прежде всего, многомерность, многообразие структура системы, многоовязность элементов оиотеш, разнообразие природа элементов я т.д. Система с таккт свойствами, в большинстве прахшгчеокй ваиных случаев, труднодоступны дая исследования динамических свойств ях решений.-

Одним из основных вопросов, возникающих при исследовании динамических свойств различных систем, является вопрос об устойчивости зтаж/.ошх (невозмущеншос) двлаеняй. Два основных метода исолздовашгя устойчивости движения йилк созданы в харьковский период деятельности академиком А.М.Ляпуновым. При этом его второй метод я сейчас остается эффективным средством решения вопросов устойчивости в прикладных задачах. Однако, отсутствие общего алгорзтна построения функций Ляпунова о трабуешма сео2стваш для вкшкрвхных систем, особенно нелинейных, является основным г зпят-отваем в применении второго ыатода Ляпунова во шсгях практически важных задачах.

В 1962 году в работах Н.В.Азбвлева, Р.Белшана, 23.!Л.1!атросова а Г,Н. Мельникова предложено использовать несколько вспомогатель-дах функций, удовлетворяющих дафференциальным неравенствам тяяа С.АЛазякгина - Т.Вакевского, пригодных для установления признаков устойчивости. Таниз функции были названы Р.Бедтганом вектор-нш йдадаямя Ляпунова. Важно отметить, что каздая кошонента в векторной Функция Ляпунова является функцией, которая удовлетэ* • ряет мензе йесткам требованиям, чем в соответствующей теорем о одной скаяярпой функцией Ляпунова» Зтя адза растирала классы функций, пригодных дая лоследованяя дикамзсческих свойств систем а облегчали рвшвш$ центральной проблемы аоатроеяяя подходяща футш-* цчз Ляпунова для всей система.

Важное 5налегла веагорнне фунхциз Ляпунова прзобрьлл при йо-

следованна устойчивости КЖ и синхулярно-возцущеняой КЖ, для которых анализ динамических свойств классическими, аналитическими я качественными методами становятся слишком затруднительным. Одним яз распространенных подходов в изучения КШ является декомпозиция исходной osстемы на независимые подсистемы с учетом физичеових особенностей сложной системы. Для подсистем декомпозированной сложной системы строятся ;калярные функции Ляпунова, которые в свою очередь являются компонентами векторной функций Ляпунова.

Устойчивость W и сишудярно-возмущеяных КШ при структурных возкущеняях исследовалась в работах Л.Т.Груикча, Д.Д,Шальяка к других авторов о помогаю векторной функции Ляпунова. Подутно заметим, что теория устойчивости Ж!, разработанная на основа векторной функция Ляпунова, все еще не распространена на явдульо-шз системы, хотя многие процессы в технике я технология моделируются именно такими система!,ш.

Начиная о 1979 года, в ряде работ А,А.Ыартшдака была выдвинута концепция матричной функции Ляпунова я указан способ яряшнз-лия окалярн й функции Ляпунова, построенной на основе матричной функция. Использование этого подхода в теории устойчивости движения облегчает построение подходящей скалярной функции Ляпунова, так как в качестве элементов матрацц-ф/нкцкя выбираются функции, которые удовлетворяют иенее жестким требованиям по сравнению о теми, которые фигурирует в методе скалярной либо векторной функций Ляпунова. Сущность предложенного подхода оостонт в том, что динамические свойства независимых подсистем адаптируются со свой-отваш диагональных элементов матращ-функции, а внедаагональные элементы уча-шваиг качественные свойства функций связей мсзду подсистемами либо динамические овойотва пар подсистеи. При атом доотахочные условия устойчивости и неустойчивости состояния равновесия формулируются в терминах знакоопределенности специальных штриц.

Актуальной проблемой предложенного нодхода остается разработка теоретических основ эффективных достаточных условий структурной устойчивости (неустойчивости) ШЗ, сингулярно-возмущенных ШЗ-г крупномасштабных аыцульсшх систем ШЛЮ),

Следует отметить, что понятно устойчивости при структурных воэ?.ущенаяз отличается от понятия структурной устойчивости, раз-

виваемого в качественной теории дифференциальных уравнений, начиная с работ А.Пуанкаро, Г.Бкркгофа, А.Л„Андропова, Л.С.Ионтрл-гяна» Обзор работ с учетом оригинальных .результатов з этом направления сделан в работе ы»и.ге1зго1о (1967).

Цель, работы. Разработка критериев устойчивости (неустойн-востя) прд структуришс возмущениях решений ГС.Ю, ошсгулярно-воз-мущеннщ К.Ю и КШО о помощью метода натр^ганой ф; кщш Ляпунова, Приложение подученных результатов к задачам структурной .бсолют-ной устойчивости КМС типа систем Лурье. сшщулярно-возмуцвшшх Ш'С типа слотом Лурье, КМС типа систем Лурье о импульсным возмущением н к задаче устойчивости крупномасштабных энергосистем (КМЗС) при струкгурннх возмущеш£Алв

Метод ксолеаозмщя» Б диссертации разработан прямой метод Ляпунова, основанный на матрячнозначной функция дая исследования динамических свойств систем: структурном устойчивости л структурной неустойчивости решений систем, моделируемая КМС обыкко-венных дифференциальных уравнений, сшгударно-возмущеянши К.!С и КМЗ с импулиоинш возмущеншшц

Научная новизна. В диссертация решена следумцде задачи, определяющие научнуа новизну работа:

Г. Для Ж?, ошюываег/их линейными и н&здшейяшя системам обыкновенных дифференциальных уравнений,установлены достаточные условия отруктурной асимптотической устойчивости (в целом), структурной разномерной асимптотической устойчявостя (в целом), структурной экспоненциальной устойчивости (б делом) и структурной неустойчивости.

2. Установлены достаточные условна структурной равномерной аскягаотяческой устойчивости (в делом) я структурной неустойчивости состояния равновесия линейной и нелинейной сингулярно-воз-нуцошой Ю,Ю.

3. Установлены достаточные условия структурной устойчивости и структурной неустойчивости нулевого решения линейной я нелинейной КШ при импульсных возмущениях.

4» Найдена ноше достаточные услоыш структурной абсолютной устойчивости КЬЮ типа систем Лурье и спш.улярш-воз(.£гщоиной 1С,1С тяпа систем Лурье»

5» Установлены достаточные условия структурной абоолвтнои устойчивости КЬ!С типа систем Дурье при импульсных возмущённых,

ъ. Разработав критерии структурной устойчивости ШС, шдз-лярущах энергосистема,

Научная и практическая ценность» Для широкого класса механических систем, шдедщуепнх крупноыаситайныш системами, наидеш ноше достаточные условия структурной асимптотической устойчивости (в цаю.'.:), структурной равномерной асимптотической устойчивости (в целом), структурной экспоненциальной устойчивости (в целом) и структурной неустойчивости. Для систем, моделируемых сш1гударло-во2муще11шл5и ШС, установлены ноше достаточные условия структурной равномерной устойчивости {в целом) п структурной неустойчивости. Для систем, моделируемых Ш-.К с импульсным возмущением, установлены достаточные условия, структурной устойчивости (в цэ.г м), структурной асимптотической устойчивости (в целом) и структурно;- неустойчшзостя.Дяя систем автоматического регулирования типа ЮС Дурьо, вшгочая сингулнрно-возадуценнае систем« и системы с импульсным возьтуирнием, получены различные достаточные условия структурной абсолютной устойчивости. Практическая приме-нямость полученных результатов доказана путем исследования структурной устойчивости КЖ, используемой в шделфовашш энергосяс-тем, а также путем разбора ряда модельных примеров.

Апробацпд работы. Основные результата работы были доложены на Всесоэзной научной конфе]юнцш! "Метод (¡ункций Ляпунова в современной математике" (г.Харьков, 27-23 мая 1386 г.), на П научной конференция молодых ученых Института механики АН УССР (г.Када, май 1906 г.), на П Уральской региональной конференции "Функцконаяьио-дифферешдеадшные уравнения" (г.Челябинск, 2-5 февраля 1987 г.), на ХП научной конференции молодых ученых Института механики АН УССР (г.Киев, 27-29 мая 1987 г.), на 1У областной научной конференции молодых ученых и специалистов Андашансксй области (г.Андикан, 27-28 апреля 1990 г.), на научно-теоретиче- ■ скоп конференции профессорско-преподавательского состава Андшкан-ского госункверсятета (г.Лндижан, апрель 1392 г,), на Ученом Совет" Андижанского госуниззрсптета (г.Андижан, декабрь 1992 г.),

на заседаниях научного сешиара отдела моделирования задач теоретической электротехники Института нроблзм моделирования з эноргетпка ЯН Украины (г.Ккез, февраль 1993 г., рук^ ададегг.сс АН Украпга: Г,В,Пухоз), ка еемянаре отдела аатоиа®ячеокой с|азикя и теорад нслянзйшх колебаний в Институте математики Л1! Украину (г.Кяев, I :.:арта 1993 г., рук. академик ЛИ Украшм а РАИ Ю.А.Ш-троподзскяй), на соигнпре но динамика твердого т-- в Институте прикладной ттешхтси к механика АН Украиш (г.Доне^к» - -рт IS93 г., рук. чл.-кор. All Укпакны, проф. А.Я.Саэченко), на заседаниях семинара "Теория устойчивости а ез прилежания" Научного Совета АН Украины по проблема "Общая ьзханока" в Киотдтуте механики АН Украяш (рук, чл.~кор. Ai. Украины, проф. А,А.Мйртшюк).

Щ^гша-щ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах ÍI-2I3. Автор выракает искреннюю благодарность чл.-кор. АН Украаан, цроф. Л.А.?Ларйяадку за консультация и постоянную поддеряку в работе.

Объем работы. Диссертация состоят из ввэдешш, четырех глаз, геклаззявк "i описка использованной литературы, содорсзкего 161 наявзкезакпе. O&tsft объем работ» составляет 252 страяящ.

СОДЕКШЖ ДИССЕРТАЦИИ

Во введения дйссехшщЕонной работы обосновывается актуальность разраба.тываежй: птзоттся аналитический обзор литературы но првжсзэдод к tez¡з деосертацая вопросам я анкетируется содер-зшше диссертация.

В первой глазе (§§ Х-6) рассуатривается ЙЕ, мсдздяруегдая непрерывной нелинейной сиотедай обыкновенных дяфВере^адгалькшс уравнений со структурным! возмутцанаями. Получены разяичлао доста-гочнне условия структурной (равномерной) еошгятотгчосной устоЗ-ч-востя (в целен) t структурной экспоненциальной устойчивости (в дедам) а структурной неустойчшзостя единственного состояний равко-ззесая рассматриваемой ozcvem m основе 1'ятршяой ¡¡¡тшхш Ляпунова, как яра аслользоЕаяаа пнфоргаадии : дякаиачаских свойствах изолированнее подсистем (проблема А), так я без яспольс.;вяяяя жг.~ формацшз о данамячеекпг свойствах взояярованных подсхстем (проблема Б), Детально язучен обвдй случай линейной ШС со струатур-

инмг возмущениями.

Первый и второй параграфа носят вспомогательный характер» В первом параграфе дано описание системы и ее декомпозиция в случае наличия структурных возмущений.

Во втором параграфе сфорэдуларозаш основные определения и общие теоремы, связанные с прямым методом Ляпунова на основе мат-рщы-функхда.

Третий параграф поовяцен решению проблеш А в такой редакция.

Проблема А. Цуо,ть КЫС декомпозкрована на взаимосвязанные под-систеш. Установление фарш агрегирования система, определяющей условия, при которых устойчивость по Ляпунову следует из устойчивости незавясГ'Их подсистем и качественных свойств их взаимосвязей, представляет содержание данной проблеш.

КМС декомпозируется на в взаимосвязанных подсистем

С/Х; (I)

-7Г-¿У* ^Шк^А^с),

аь 1 = 12

гдо л(От,...,0г,х[,Ог,...,Ог)те Я",

5,-: Я — Я^Ч р. - элементы матрицы Р = (р[, р/,..., Ряг)ге

8 , которая характеризует внутренние я (ила) внешние

возмущения, матрица , ¿¿^¿..^¿¿„^ ),

* а ¿ад, а, /,.... а е*'"

является элементом структурной матрицы Б :

°iS °is

Оцe R"i * Rn< .

Ai^-Sj 4

Класс всех допустимых матриц Р будем обозначать Ф ;

vteiT}, +

где Р{ и Pg заранее определены: множество ¿Р может быть также ■ одноэлементным { о}. .Множество всех возможных матриц Sit) обозначим Уд п назовем структурным множеством КГЛС,

Л 01:1... 0{а Ч

5: 5-1.......... Ь

^ > — € [ О. П } .

Функция Ляпунова для 1йЮ (I) строится ка основе матргщы-фушс-

щш

и постоянного вектора К5 . При этом обгцяй вид функции Ляпунова следующий:

При некоторых лредположеших оцениваются функция (3) снизу и сверху и ее производная Дння 1) + 1Я-(£, X, 'Р) на реп шсс ИЛС (I).

Лемма 1.1, При выполнении условий предположения 1.1 тщя функции (3) верна оценка

гА ии£ ю« итгнтв, (4)

где

(11^11), Щ!!),-., ^ ( Ц,Ю, ' К « Л

Н* Лод(Ц,(Р2%), т)>с >0, ,

= Я<*£ = ос;у ,

9дезь постоянные а ¿у . оГ^- участвуют в оценках когяюнент О н вводятся и предположим 1.1, !еша 1.2. Если енполшпгрся все условия лредпалсеения 1.2, то для производной Динл Хушада (3) в сапу КШ (I) кигот изсто оценка

хре %* м1Х0х м1Х0, ПР, яе Ф* ^, (5)

где

9цесь определяются с помощь» постоянных, которые участву-

ют в оценках компонент а, •) и вводятся в пред-

положения 1,2,

Теорема 1.1. Пусть уравнения возмущенного движения (I) таковы, что выполняются все условия предположений 1.1, 1.2, кроме верхних оценок , г^у, /, 2.....5 , а такяе

а) существуют положительные числа (или = «■ ) такие, что множества ¿^/^ С/) асимптотически снимающиеся пр~ любом е 10, ¿¡¡[ и кадцом I = ;

б) ма—'.ица Л - определенно-положительная;

в) существует определенно-отрицательная матрица & е /? 5X5 такая, что для матрицы & (р, в) выполняется оценка

Тогда состояние равновесия х -О КМС (X) асимптотически устойчиво на х У5 .

Если все условия теоремы выполнятся при //¿х ~ Я , ра-даально неограниченных функциях 19¿^ и при = -юо для каждого с = У, 2,..., В , тогда состояние равновесия зс=0 Ж (I) асимптотически устойчиво в целом на ^к ,

Теорема 1.2. Пусть уравнения возмущенного движения (I) таковы, что выполняются все условия предполонеиий 1.1, 1.2 с функцией <Р Щ = / , а также

а) матрицы й и В определе&ю-полокительше;

б) существует определенно-отрицательная матрица & е /? 3x5 "ткая, что выполняется оценка

6(Р,$)*в V (Р,8)€ (Рх^.

Тогда состояние равновесия X ~ О ШС (I) равномерно асимптотически устойчиво на i7J х ¿fs ,

Ясли, к тому же, при Nix =Rn' функции ¿/¿/ радаально неограниченные д функции 'ft е KR -классу, то состояние равновесия. Х~0 А-'С (I) равномерно асимптотически устойчиво в целом на Я3 х ys

Аналогично теореме 1.2 сформулирована теорем 1.3 об экспоненциальной устойчивости состояния равновесия 1C.5G (I). В конце параграфа приведен численный птишзр. В четвертом параграфе указаны две форма агрегироБШШя системы (I) при рсвеши нробле?гы Б.

Проблема Б. Пусть (I) де.чишозярована на взаимосвязанные подсистем. Установление фор г,a агрегирования, обеспечивающей одновременное понижение поредка састекы и упрощение условий, при которых устойчивость при структурных возмущениях исходной системы следует из свойств взаимосвязанных подсистем без использования информации об устойчипосгн независимых подсистем, представляет содер1..шь.е этой проблемы.

При решении этой проблемы расклатрявается функция (3), построенная с помощью матрицы-функции (2), и еводятся н«которне предположения, которые позволяют оценить сверху полную производную функции (3) D^Wit, et, V) в силу КлС II).

Теореш 1,4» 1.7 устанавливают достаточные условия асш. .готической устойчивости (в целом) состояния равковеися Х-О КЖ (I) на Я' х У>5 . „ Теореш 1.5, 1.8 устанавливают достаточные условия равномерной асимптотической устой»"воста (в целом) состояния равновесия je = О KMG (I) на к .л •теореш 1,6, 1,9 устанавливает достаточные условия экспоненциальной устойчивости (в целом) состояния равновесия- X. - ¿7 ХОй (I) на <? х у , эти теореш сформулированы аналогично тео-рейам 1,1, 1.2, 1,3 соответственно. Каздая форма агрегирования юшзстрируется часлеишм примером.

Пятый параграф досвящен получении достаточных условий неустойчивости состояния равновесия X = <9 КУС (I) на . В этом параграфе определена отруктуркая неустойчивость состояния равновесия сz-0 JC.G (I), я введены предположения, которые даэт возможность оценить снизу выражение О .Z, Ч- )

Теорема 1,10. Пусть уравнения возмущенного даахешм (I) таг-

кош, что выполняется есо условия предположений 1.1, 1.5 при

<Р(0 £ I и:

а) матрица Й, В - определенно-положительные;

б) существует онределетю-патозсвтельная матрица В б •такая, что для матрица в (Р, 5) выполняется оценка

вСР&Ы? У(Р,5)€<?

Тогда состояние равновесия Х~О КМС (I) неустойчиво на

Аналогично сформулированы теоремы 1.11, 1.12.

В шестой параграфе рассмотрен общий случай линейной КШ. Здесь элементы матршвНЕУНкции (2) строятся в виде:

% = , г = 1, &,..., 5 ,

Х'Де ¿5 • ■, ¿=12... 5 - симметрические, полонительно-определенные матрица, 'д*., ¿у * 1,2, ...} с <</', постоянные матрицы.

Применяя общие теоремы главы, подучены достаточные условия структурной ас импт о тиче с ко й устойчивости в целом состояния равновесия линейной КМС. Численный пример илгаэстрирует технику использования матриц-фушсций в данной задаче.

Вторая глава (§§ 1-4) посвящена исследовании задачи о равномерной асимптотической устойчивости (неустойчивости) сингулярно-возмущенной при структурных возмущениях общего вида прямым методом Ляпунова, основанным на матрячнозначной функции. Ключевой 4, ,еей предлагаемого подхода является то, что динамические свойства "быстрой"и "медленной" подсистем адаптируются с диагональными элементами матрицы-функции. Внедиагоналыше элементы матрицн~функции учитывают ограничения на функции связей мезду подснстемаш. При ^//у —О происходит вырождение системы, это обстоятельство учитывается специальной структурой соответствующе,. компоненты матрицы-функции. Достаточные условия структурной равномерной асимптотической устойчивости (неустойчивости) сингулярно-возмущенных 1С,1С .сформулированы в терминах знакоопределенности специальных матриц.

Первый параграф носит вводный характер. Здесь даны описание и декомпозиция сингулярно-возмущенных Ю.Ю со структурными возмущениями, общий вид взаимосвязанных и независимых сингулярно-возмущенных подсистем.

Во втором параграфе рассматривается сингулярно-возмущенная КГ.'С ( 3*) , описываемая системами дифференциальных уравнений

аг (7)

г/у-

где л^пг±... + п, т1+т111-,..+л7г=п.'.

(} + ~ 5» и непрерывные вектор-функции соот-

ветствугхцих размерностей; возцущения /V и структурная матрица 5/ определяются так же, как в § I главы I; /l¿ - пологи-тельные параметры, п; гнимаЕщне сколь угодно шалые значения,

л б М=

Вначале исследуется случай неравномерного градуирования временной шкалы. В этом случае тседпачагается, что выполняется соотношение ^ = £ и система (>7) представляется в виде

/1т•

и,а<. О, ц. 5,0 ,, £ - р, (8)

где Х^(От,От,...,Ог,х1,о1.,От)ТеКП, ^Н01..,0^,0т,..,0т)гес

осб£, 6^(ОГ,ОГ,...,ОТ,&1,ОТ,...,0Т)Т€ Й" -постоянный вектор,

£4, (¿жУ. /* , £ ^¿г . 8е л

функции I* и д* описывают связи ыеаду уравнениями I - й независимой сингулярно-возмущешоа подеистеш <5/3 системы (3*) , а функции и опнснваот все остальные

связи в системе (й*) .

На основе некоторых предпологений осуществляется: а) построение для систеш (8) подходящей функции Ляпунова

где 1 - постоянный вектор,

иа.х.у,!:)

и^х.у.м) и „а, у, М)

&г1

<Ш

и^а^Щ.а,01, % = ^ (С,я-),

и{й уЛ, ,

й) оценивание функции (10) снизу и сверху и оценивание сверху ее производной 1У*& (¿, л. у./У) в силу системы (8).

В случае равномерного градуирования врешннвЕ шкалы систеш (7) представляется так:

сЬхс

^ (ылы {>&> ■■■>Ч >

<12) ¿'А/,..., 9 ,

где

9с- й-ЪУ>У^АУА^

г.еЦ., о<т^г.< + оо,

В этом случае так ае, как в случае неравномерного градуиро-веашя временной шкалы, вводятся некоторые предположения, йоторыз дают возможность:

а) определить дал системы (12) функции Ляпунова

(13)

где

(Г^х.у,^) =

б) оценить функцию (13) С1шзу и сверху и ее производную в силу системы (12). Теорема 2.1 и теорема 2.2 устанавливает достаточные условия структурной равномерной асимптотической устойчивости (в ■■лом) состояния равновесия (Хг, Цт)г - О систеш (8) и (12) соответственно. Эти теоремы сформулированы аналогично теореме 1.2. В обоих случаях рассмотрены численные прякеры. Третий параграф посвящен доследованию неустойчивости состояния равновесия (хт, ут) Г = <3 сингулярно-возмущенных КЖЗ пря структурных возмущениях. Здесь так же, как в § 2 рассматриваются последовательно случаи неравномерного и равномерного градуирования временной шкалы, В обоих случаях вводятся предположения, необходимые для оценки снизу выражений Л* N) и

Теоремы 2.3 и 2.4 устанавливают достаточны- условия структурной неустойчивости состояния равновесия С хг)ут)т=0 систеш (8) я (12) соответственно. Эти теоремы сформулирована аналогично

теореме ГЛ0.

(И)

В четвертой параграфе рассматривается общий случай линейной сингудшрно-возмущенной КМС при структурных возмущениях. Здесь б случае неравномерного градуирования временной икали элемента ь^атрщзу-фушщЕИ (II) построены ь взде:

Цу г^. (х,., = лТрх. , * /, д,.у ;

игР. - . ч .

™ <! ' (15)

г,у у ;

где Р-; , Рп,п ■ - симметрические, полоаителъно-определон-ше матрицы; р.. р . . /) р. . - пос-хоян-

ше матрицы,

В случае равномерного градуирования временной шкалы элементы матрица-функции (14) выбраны так:

VV Vе х[р(рхр'

¿.е г; <16>

^>3->9> Н-'--** Г"5'

где Р^} ,с>+) -симметрические, положительно-определенные матрида;' Р1ра*р), Р„+,а+е СуУО, Р£ ~ио~ стоянные матрицу. у

Аналогично теоремам 2.1 и 2.2 сформулированы теореш 2.5 и 2.6 соответственно, которые устанавливают достаточные условия структурной равномерной асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия линейной стщулярно-возмущешгой КШ.

В случае неравномерного градуирования временной шкалы рассмотрен численный пример 12-го порядка, декомпозированной на Э взаимосвязанные ечтулярно-возадущенные подсистема. А в случае равномерного градуирования временной ппсалч рассмотрен численный пример 8-го порядка, декомпозированной на 2 нз .л.'Осзязашше син-гуляряо-возмглзгише подсистема.

В третьей главе диссертации центральной проблемой является исследование устойчивости (неустойчивости) КЖ при структурных и импульсных воз!,1слоениях. Анализ осуществляется методом Ляпунова, основанным на ыатричнозначной функции» СвоГ ■ тва устойчивости (неустойчивости) ГОЛО при структурных и импульсных возмущениях связаны со знакоопределенностью специальных матриц. Рассмотрен общий случай линейной Ю КС) при структуршх и импульсных возмущениях и численный пример, иллюстрирующий технику применения некоторых обедах теорем.

В первом параграфе приведены вспомогательные результаты. Здесь описана исследуемая система и ее декомпозиция. Полученная при этом система имеет вид

dx4

(17)

AXj

t= £ (X) V <1 "

где

orJ= (ОО [ я Г, 0r,...,0T)TeR 7, X: £ R"<i,

Q J ^

SJK(t)€[0,l-\, $f-(l/r>$fT.~,-f/r)r> J-J.Z- >s>

3jK (Тг- Ш) или S^Ct (Z))=i.

Во втором параграфе обосновано определение структурной устойчивости нулевого решения KMC щи импульсных возмущения.,; и сформулирована постановка'задачи.

Определение 3.1. Нулевое решение KMC (17)

а) устойчиво па ^х yg тогда и только тогда, когда оно устойчиво для каждой пары ( P,S) б Фх ;

б) асимптотически устойчиво на ^ тогда я только тогда, когда оно асимптотически устойчиво для кадцой пары

(Р, S)e Рк

в) неустойчиво на Я х 1/с тогда и только тогда, когда су-

щеотаузт- хотя бы одна пара ( /у £) СР х • й®1 ЕСН

торой состояние £С~в неустойчиво,

Проблема устойчивости 1СШ (17) формулируется а-ак: ьеяониаь условия, при хвгорагс усто^:ш>оп> соетояннл равновесия сг ШЗ прк ЗЕ.ПУЛХСННХ ЙОоТАУЦеННлл (I?) выводится из СВОЙСТВ устойчивости шлаудьеках иодсастегд

(1т ■

& г (18) л = Г-С-6, = г} СЙ^'Л

з. свойств функций связей кезду г^ли

Третей параграф посьячса разработке форм атрегироаааае Ж! с шзу«ьонша возмуяэншш (17). С этой цель® вводятся, некогорвз црздаолсисшзг, которые приводит к построений функция

= пти, ге (1Э>

я дает возможность оценить ск зу и сверху э-гу функций, а гагез шрааения

¿}\>сг,з:); Ю) - ХЧг^ш,х),

V (Г- X * 4 Ш).

В четвертом Е&раграфэ установлены достаточные условия структурной (асдг.штотлчзской) устойчивости нулевого реаения Ш& паз: импульсных возгфцеаша: (17).

В пятой параграфе установлены достаточнее условия структурной неустойчивости иулзвого ¿¡гаения ШЗ (17).

Шестой параграф пооайдаа аггдпзу структурной устойчивости (неустойчивости) лалойнол КУС ста 1зщудьсшг возведениях. Здесь рассматривается обчзй случай лшзЛной системы такого тана, а элегденты II (£) -строязся в виде (6).

Глава заканчивается анализов чкеяашюго яракера.

В четвертой главз общие Teopsi.ii> полученные в предыдущих глазах, применены к анализу струг „рной абсолютной устойчивости я структурной устойчивости крупндадептабта энергосистем.

Первый параграф посвящен изжшонав новых достаточных условий структурной абсолютной устойчивости ¡Ж типа систем Дурье. Для

тзгапс систем построена матрица-цункцкя }J (х) с элементам (П.

Теорема 4.1 содержит достаточные условия структурной абсо-.татIro;,. устойчивости ссстошетг равновесия о: О КМЗ Т1Ша систем Лурье,

Ьо втором параграфа «ссдодуятся отрукту;лшя абсолютная устойчивость состояния рар'.ют :сля (Xr, l;r)T = Q спотулярно-возму-петгсй KMC т:ша систем Дурье. Здесь в случае неравномерного градуирования »ремпипой ткали глатрида-йушецая (II) имеет элементы (15), а нря равномерном градуировании ярсмзшюЯ акаян элементы матркц<»-4ункцги (14) внбрагш в виде (16).

Теоремы 4,2 и 4.3 устанавливают достаточные условия структурной абсоля'.-еой устойчивости состоад:*я равцогеояя (X т,уг) т-0 етагулярно-возмущенно,'! ЙМС т«па Лурье.

Третий параграф посвящен построения достаточных условий структурной абсолютной устойчппости типа систем Лурье. Здесь элементы татрк^-чфгскшш U (£) строятся так:

VjCZ.,^) - ■¿[PcjZj > V-" (20)

где - сишетротес™*, положат'ельно-определешпге матрица,

(if <j) - постоянные матрицы.

Теоремы 4,4-4.6 содержат достаточные условия структурной абсолютной устойчивости нулевого решения ¡С''.0 типа систем Турье о импульсным возмущением.

В четвертом параграфе исследуется структурная устойчивость энергосистемы. Йдссь элементы матряца-фуккцди U(&) шяэнт элементы:

Ъе = (2r)

я i,3,...tS,

симметрические, полоштельно-опрёдоленше матрицы порядка 5x5,

= ] , ~ ¿.2- ,3 Л ~ постоянные мат-

рицы порядка 5x5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе установлены следутщие научные результаты:

1) условия асимптотической устойчивости (в целом), равномерной асимптотической устойчивости (в целом), экспоненциалъ-коа устойчивости (в целом) и неустойчивости состояния равновесия нелинейных КМС при структурных возодщешшх;

2) условия асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия линейной К&К при структурных возмущениях;

3) условия равномерной асимптотической устойчивости (в целом) и неустойчивости состояния равновесия сингулярно-возмущенной К,КЗ при структурных эозмуцениях;

4) условия равномерной асимптотической устойчивости в целом линейной сингулярно-возмущенной КйС при структурных возмущениях;

5) условия устойчивости, асимптотической устойчивости я неустойчивости нулевого решения линейной и нелинейной М5 с импульсными и структурными возмущениями;

6) условия структурной абсолютной устойчивости КМС типа систем Дурье;

7) условия структурной абсолютной устойчивости сингулярно-возмущенной КМС типа систем Лурье;

8) условия структурной абсолютной устойчивости Ж! типа систем Дурье о импульсными возмущениями;

9) условия устойчивости крупномасштабных энергосистем при структурных возмущениях.

Во всех перечисление случаях условия являются достаточными. Теоремы обращения в диссертации не рассматриваются.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1."Лартшгок A.A., Миладжанов В.Г. Анализ устойчивости систем с быстрыми а медленными движениями на основе матрицу-функции Ляпунова. - Киев, 1906. - 19 с. - Деп. в ШШИ 17.03.86, & I847-B86.

2. Мартынов A.A., Мкладканов В.Г. Развитие прямого метода Ляпунова для сингулярно-возл^ущенных систем // Бсесоюз . науч. конф. "Метод функций Ляпунова в современной математике" , Харьков, 27-29 мая 1986 г.: Тез.докл . - Харьков, 1986. - «.15.

3. Мартшшк A.A., Ыиладжанов В.Г. Общая задача устойчивости сингулярно-возмущенной крупномасштабной системы и метод матрац-функций Ляпунова. - Киев, 1986. - 48 с. - (Препр./ All УССР. Иа-т математики; 86.75).

4. Мартынюк A.A., Миладаанов В.Г. Абсолютная устойчивость сингулярно-возмущенной системы Лурье и ыэ^тица-функция Ляпунова // Прикл. механика. - I9S7. - 23, Л 9. - С.103--110.

5. Мартынвк A.A., Миладаанов В.Г. Анализ устойчивости в целом динамической" система на с гаве млтриц-фушщий Ляпунова. -Киев, IS87. - 20 с. - (Препр. / ' АН УССР. Ин-т математики; 07.62).

6. Мартшгок A.A., Миладаанов В.Г. Исследование устойчивости автономных сингулярно-возмущенных систем на основе матриц-функций Ляпунова // Дифференц. уравнения» - 1988. -

Г» 3. - С. 416-424.

7. Мартышке A.A., Миладаанов В.Г. К теории устойчивости сингулярно-возмущенных систем Лурье // Теорет. и прикл. механика, Болгария. - 1989. - J5. - С. 75-82,

8. Мартшшк A.A., Мшадканов В.Г. Достаточные условия абг элитной устойчивости крушюмасштайшсс систем прп стр:гяурннх возмущениях // Автоматика. - 1991. - X 5. - С. 31-38.

9. Мартшшк A.A., Миладаанов В.Г. К теории устойчивости крупномасштабных систем при структурных возцущенвях // Автоматика. - 1991. - J6 6. - С. 10-14«

10. Мартшшк A.A., Миладаанов В.Г. Об устойчивости крупномасштабна: систем при структурннх возмущениях. Проблема А. // Электронное моделирование. - 1992. - £4« - С. 3-10.

К. Нартынш A.A., Шладаанов В»Г. Об устойчивости крупномасштабных систем при структурных возмущениях. Проблема Б. // Электронное моделирование. - I9S2. - 14, X 4. - G. 35-42.

12» Шладаанов В.Г. Анализ устойчивости линейной системы с быстрыми и медленными движениями на основе штрщчТушшдй Ляпунова // Тр. XI науч. конф. молодых ученых йн-та механики АН УССР. - Клев, 1986. - G. 142-147. - Деп. в ВИНШИ 28.07.86, 55Q7-B86.

13. ЬЬшадаанов В.Г. Применение ютрщ^-ч$гнкщш Ляпунова при исследовании устойчивости некоторых сингулярно-возьущен-!шх систем // Тр. ХП науч. конф. молодых ученых Ин-та механша АН УССР. - Киев, ISS7. - С. 371-375. - Деп. в ВИНИТИ 29.07.87, Л 5389-BS7.

14. Миладаанов В.Г. Применение матриц-функций Ляпунова яри исследовании устойчивости систем с быстрыми и медленными движениями: Авторе®, дис. ... каэд. физ.-мат. наук. -Киев, 1988. - 17 с.

15. Мападжашв В.Г. Переходная устойчивость синхронного генератора // 1У обл. науч. конй. молодых ученых к специалистов, Андижан, 27-28 апр. 1990 г. : Тез. докл.- Андаан,

- С. 156-157.

16. Шладаанов В.Г. Асимптотическая устойчивость крупноглас-ктабных систем при структурных возмущениях // Докл. АН УСОР. - 1991. - й 8. - С. В5-87,

17. Шдаденов В.Г. Об одной форме агрегирования крупномасштабных систем при структурных возмущениях // Докл. АН УССР. - 1991. - » 9. - С. 91-93.

18. Шладаанов В.Г. Об устойчивости крупномасштабной шауяьс-пой системы при структурных возмущениях // Докл. АН Украины. - 1992. - П П. - С„ 55-62.

19. Маладаанов В.Г. Форма агрегирования крупномасштабной импульсной сястеш при структурных возмущениях // Докл.

АН Украины. - 1992, - Я 12. - С. 49-52.

20. Иаладааяов В.Г. Равномерная асимптотическая устойчивость сингулярно-возмущенных крупномасштабных систем при структурных возмущениях // Прикл. механика. - 1993. - 2S» % 3.

21. Шишдканов J .Г. Об устойчивости оингулярно-возцущешых крупнотсагаабшх слотом яри структурных возмущениях // Ирикл. механика. - 1993. - )1 4.