Анализ затухающих колебаний линейных и нелинейных вязкоупругих пластин, свойства которых определяются дробными производными тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОПИСАНИЕ ДЕМПФИРУЮЩИХ СВОЙСТВ КОНСТРУКЦИЙ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ПОМОЩИ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

1.1. Обобщение гипотезы Релея на вязкоупругие модели с дробными производными.

1.2. Методы решения.

2. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН

2.1. Затухающие колебания линейной вязкоупругой пластинки, динамическое поведение которой описывается одним уравнением.

2.2. Затухающие колебания линейной вязкоупругой пластинки, динамическое поведение которой описывается тремя уравнениями

2.3. Затухающие колебания линейной вязкоупругой пологой круговой цилиндрической оболочки.

2.4. Выводы по второй главе.

3. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЯЗКО-УПРУГИХ ПЛАСТИН

3.1. Постановка задачи.

3.2. Способ построения решения.

3.3. Резонанс два-к-одному.

3.4. Внутренние резонансы более высокого порядка.

3.4.1. Резонанс один-к-одному.

3.4.2. Комбинационный резонанс аддитивный.

3.4.3. Комбинационный резонанс разностный.

3.5. Выводы по третьей главе.^

В настоящей диссертационной работе изучаются демпфирующие свойства пластин, поведение которых описывается уравнениями, содержащими производную дробного порядка. Для анализа линейных нестационарных колебаний пластин используется метод преобразования Лапласа, а при исследовании нелинейных нестационарных колебаний пластин применяется метод многих временных масштабов с разложением

Дообк^й гтАтл-этю ттигат по mpttomv пяпяметпу

I ' Г-Л" --------------J ----X------- X-J

Фундаментальный вклад в решение задач о свободных затухающих колебаниях механических вязкоупругих систем внесли Работнов Ю.Н., Шермегор Т.Д., Мешков С.И., Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Даринский Б.М., Постников B.C., Bland D.R., Bagley R.L., Torvik P.J., Tsai C.S., Mainardi F., Caputo M. и другие отечественные и зарубежные ученые. Применение реологических моделей, содержащих дробные производные и другие дробные операторы в задачах демпфирования динамических систем, рассматривалось в работах Россихина Ю.А., Шитиковой М.В., Цейтлина А.И., Fenander A., Bagley R.L., Torvik P.J., Horr В.М., Schmitd L.C.

Актуальность темы. Новейшие исследования по механике материалов показывают, что реологические уравнения, содержащие дробные производные, хорошо описывают экспериментальные данные по релаксации и ползучести многих полимерных материалов. При этом количество параметров дробности в этих реологических моделях может быть минимальным. Данные модели хорошо описывают на только поведение различных материалов, но и поведение конструкций из этих материалов.

Так, экспериментальные исследования, проведенные на балках и пластинках, показали, что каждая собственная форма колебаний имеет свой коэффициент затухания, который связан с соответствующей собственной частотой колебаний степенной зависимостью с отрицательным показателем степени, меньшим единицы. Только реологические модели, содержащие производные дробного порядка, способны адекватно описать подобные явления, происходящие в механических системах.

Второй, не менее важный, экспериментальный результат состоит в том, что наличие вязкости в механических системах, находящихся в условиях любого внутреннего резонанса, оказывает дестабилизирующее действие на колебательные процессы, протекающие в этих системах. При этом любая подкачка энергии извне приводит систему, находящуюся в подобных условиях, к хаосу. Только реологические модели с дробными производными позволяют описать подобные динамические явления.

Основными целями диссертационной работы являются:

1) Анализ затухающих колебаний линейных пластинок, демпфирующие свойства которых описываются реологической моделью, содержащей дробные производные;

2) Анализ свободных затухающих колебаний нелинейных пластинок, вязкоупругие свойства которых описываются реологической моделью, содержащей производную дробного порядка;

3) Исследование зависимостей между коэффициентом демпфирования, временем релаксации (ретардации) и собственной частотой колебаний;

4) Изучение влияния параметра дробности на процесс перекачки энергии, происходящей при нелинейных колебаниях пластинок, находящихся в условиях внутреннего резонанса.

Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и выполнен их численный анализ для следующих задач:

1) О затухающих колебаниях вязкоупругой прямоугольной в плане линейной пластинки Кирхгоффа-Лява и круговой пологой цилиндрической оболочки, динамические свойства которых описываются одним уравнением, а вязкоупругие свойства определяются при помощи дробной производной.

2) О затухающих колебаниях вязкоупругой прямоугольной в плане линейной пластинки Кирхгоффа-Лява, динамические свойства которой описываются тремя уравнениями, а вязкоупругие свойства определяются при помощи дробной производной.

3) О свободных затухающих колебаниях нелинейной прямоугольной в плане пластинки, находящейся в условиях внутренних резонансов "один-к-одному", "два-к-одному" и "комбинационного".

Достоверность результатов основана на корректной математической постановке задач. Полученные численные результаты согласуются с традиционными физическими представлениями и проверены решением тестовых задач. При стремлении параметра дробности к единице полученные решения переходят в известные решения для производных целого порядка.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при расчете зданий и сооружений на сейсмостойкость, при расчете вибрирующих механических систем, содержащих демпфирующие устройства, при создании современных демпфирующих устройств, при конструировании висячих комбинированных систем и т. д.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

- Обобщение метода решения динамических задач вязкоупругости, основанного на дробном исчислении, на задачи о затухающих колебаниях пластинок.

- Распространение гипотезы Релея на задачи о затухающих колебаниях пластинки, вязкоупругие свойства которой описываются дробной производной.

- Управление процессом перекачки энергии, происходящим при нелинейных колебаниях вязкоупругой пластинки, путем варьирования значений параметра дробности.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались: 1) на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежского государственного архитектурно-строительного университета в 1999-2002 годах; 2) на международной конференции "Математика, образование, экология, тендерные проблемы" в 2uvj0 год^ б г. Воронеже; 3) ка школс-ссмккарс по современным проблемам механики и прикладной математики, посвященном 70-летию профессора Д.Д. Ивлева, в 2000 году в г. Воронеже; 4) на IX международной конференции "Математика. Образование. Экология. Инженерные проблемы" в 2001 году в г. Чебоксары; 5) на школе-семинаре по современным проблемам механики и прикладной математики в 2002 году в г. Воронеже; 6) на 5th International Conference on Vibration Problems в 2001 году в институте машиноведения РАН, г. Москва; 7) на IX конференции "Математика. Компьютер. Образование" в 2002 году в г. Дубне; 8) на 439 Euromech Colloquium "Mathematical Modeling of Dynamic Behavior of Thin Elastic Structures " в 2002 году в Саратовском государственном университете; 9) на 16th International Symposium on Nonlinear Acoustics в 2002 году в Московском государственном университете. В целом работа доложена на научном семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы представлены в 9 публикациях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 120 страницах

Основные результаты и выводы диссертационной работы состоят в следующем:

1. Введение модальной вязкости и распространение гипотезы Релея на вязкоупругие модели, содержащие дробные производные, позволяет получить аналитическое решение задачи о затухающих колебаниях линейной прямоугольной пластинки, описываемых одним или тремя уравнениями. Это решение состоит из двух частей: одна часть определяет дрейф положения равновесия системы, и ее появление связано с релаксационными процессами, протекающими в системе, вторая часть описывает затухающие колебания вокруг дрейфующего положения равновесия, и ее появление связано с инерцией системы. Характеристические уравнения, которые получаются в этих случаях, имеют дробные степени.

2. Анализ зависимости корней этих характеристических уравнений от времени релаксации (ретардации) показывает, что характер их поведения соответствует характеру поведения корней характеристического уравнения для одномассовой вязкоупругой системы, свойства которой описываются моделью Фойгта с дробной производной. Это означает, что частота колебаний уменьшается с увеличением параметра дробности и увеличивается с увеличением коэффициента затухания.

3. Анализ свободных затухающих колебаний нелинейной вязкоупругой пластинки, находящейся в условиях внутренних резонансов "один-к-одному", "два-к-одному" или "комбинационного", показывает, что дробная вязкость оказывает дестабилизирующее действие на пластинку, а при наличии внешних воздействий может привести к хаотическому движению.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости / Д. Бленд. М.: Мир, 1965. - 199 с.

2. Витт А. А. Колебания упругого маятника как пример двух параметрически связанных линейных систем / А.А. Витт, Г.А. Горелик // Журнал технической физики. 1933. - Вып. 2-3. - С. 294-307.

3. Власов В.З. Общая теория оболочек / В.З. Власов М. Л.: Технико-теоретическая литература, 1949. - 784 с.

4. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи аэроупругости / А.С. Вольмир. -М.: Наука, 1976. 416 с.

5. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир. -М.: Наука. 1972. 432 с.

6. Голденблат И.И. Ползучесть и несущая способность оболочек / И.И. Голденблат, Н.А. Николаенко. М.: Стройиздат, 1960. - 59 с.

7. Дейли Дж. Механика жидкости / Дж. Дейли, Д. Харлеман. М.: Энергия, 1971.-480 с.

8. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа /Г. Деч-М.: Физ.-мат. лит., I960 207 с.

9. Доннелл Л.Г. Балки, пластинки и оболочки / Л.Г. Доннелл. М.: Наука, 1982.-568 с.

10. Зеленев В.М. Затухающие колебания наследственно-упругих систем со слабосингулярными ядрами / В.М. Зеленев, С.И. Мешков, Ю.А. Россихин // Журнал прикладной механики и технической физики. -1970.-N2. -С. 104-108.

11. Зеленев В.М. О влиянии параметра сингулярности эг -функции назатухающие колебания наследственно-упругих систем / В.М. Зеленев, С.И. Мешков, Ю.А. Россихин // Известия АН СССР. Механикатвердого тела. 1970 -N 3. - С. 115-117.

12. Клаф Р. Динамика сооружений / Р. Клаф, Дж. Пензин. М.: Стройиздат, 1979.-320 с.

13. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе; Под ред. Н.Е. Кочина. М., Л.: ОГИЗ, 1948. - Часть 1.-535 с.

14. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости / Р. Кристенсен М.: Мир, 1974.-338 с.

15. Мешков С.И. К описанию внутреннего трения в наследственной теории упругости при помощи ядер, обладающих слабой сингулярностью / С.И. Мешков // Журнал прикладной механики и технической физики. -1967. -N4.-С.147-151.

16. Мешков С.И. О стационарном режиме наследственно-упругого осциллятора / С.И. Мешков // Журнал прикладной механики и технической физики. 1969. - N 5. - С. 104-109.

17. Мешков С.И. Интегральное представление дробно-экспоненциальных функций и их приложение к динамическим задачам линейной вязкоупругости / С.И. Мешков // Журнал прикладной механики и технической физики. 1970. - N 1. - С. 103-110.

18. Мешков С.И. Стационарный режим нелинейного наследственно-упругого осциллятора / С.И. Мешков // Журнал прикладной механики и технической физики. 1970. - N 3. - С. 111-116.

19. Мешков С.И. Поведение материала при большой интенсивности диссипативных процессов / С.И. Мешков, Г.Н. Пачевская, B.C. Постников // Физика и химия обработки материалов. 1967. - N 2. - С. 135-137.

20. Мешков С.И. Температурная зависимость внутреннего трения стандартного линейного тела при большом затухании / С.И. Мешков, B.C. Постников, Т.Д. Шермергор // Известия АН СССР. Механика имашиностроение. 1964. - N 3. - С. 90-95.

21. Мешков С.И. К описанию внутреннего трения при помощи дробно-экспоненциальных ядер / С.И. Мешков, B.C. Постников, Т.Д. Шермергор // Журнал прикладной механики и технической физики. -1966.-N3.-С. 102-106.

22. Мешков С.И. О распространении звуковых волн в вязко-упругой среде, наследственные свойства которой определяются слабосингулярными ядрами / С.И. Мешков, Ю.А. Россихин // Волны в неупругих средах. -Кишинев: АН Мол. ССР. 1970. - С. 162-172.

23. Найфэ А. Введение в методы возмущений / А. Найфе. М.: Мир, 1984. -535 с.

24. Овсянникова Е.И. Моделирование демпфирующих свойств цилиндрической пологой оболочки / Е. И. Овсянникова // Материалы 53-54 научно-технических конференций: Межвузовский аспирантский сб. науч. тр. Воронеж: ВГАСА, 2001. - С. 3-6.

25. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник в трех томах / Сост. Б.Л. Абрамян и др.; Под ред. И.А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - Т. 1.- 831 с.

26. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник в трех томах / Сост.

27. B.В. Болотин; Под ред. И.А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - Т. 3. - 567 с.

28. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю.Н. Работнов. -М.: Наука, 1966.- 752 с.

29. Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием / Ю.Н. Работнов // Прикладная математика и механика. 1948. - Т. 12, № 11. C. 53-62.

30. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1977. - 383 с.

31. Розовский М.И. Колебания осциллятора, обладающего наследственной ползучестью / М.И. Розовский, Е.С. Синайский // Прикладная математика и механика. 1966. - Т. 30, № 3. - С. 584-589.

32. Россихин Ю.А. Нелинейные свободные пространственные колебания висячих комбинированных систем / Ю.А. Россихин, М.В Шитикова // Прикладная математика и механика. 1990. - Том 54, Вып. 6. - С. 1003-1011.

33. Россихин Ю.А. Влияние начальных условий на характер протекания. v.с/ T/~V Аколеоательных процессий В ИИСЯЧСИ ojri^itmc; / ivy.y-v.

34. Россихин, М.В Шитикова // Механика твердого тела. 1991. - № 1. - С. 143-154.

35. Россихин Ю.А. Влияние вязкости на свободные пространственные колебания висячих комбинированных систем / Ю.А. Россихин, М.В Шитикова // Известия вузов: Строительство. 1993. - № 4. - С. 26-29.

36. Россихин Ю.А. Влияние вязкости на характер протекания колебательных процессов в висячей комбинированной системе / Ю.А. Россихин, М.В Шитикова // Механика твердого тела. 1995. - № 1. — С. 168-177.

37. Россихин Ю.А. Моделирование демпфирующих свойств цилиндрической оболочки / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, Е.И. Овсянникова // Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы: Тез. докл. международной конференции, 22-27 мая 2000 г.,

38. Воронеж. Воронеж: НОУ "Интерлингва", 2000. - С. 230-231.

39. Россихин Ю.А. Анализ нелинейных свободных колебаний пластинки, вязкоупругие свойства которой описываются дробной производной /

40. Т/~\ А Т» Л Л" ТТТ n TJ ГЛ II "IV /гхчу./л,. го^иаим, ivi.o. или тл.иьа, Ц/.п. wb^xjittiiiJKUJBa // iviaicivi£iijajs.a.

41. Образование. Экономика. Экология: Тез. докл. IX международной конф., 28 мая-2 июня 2001 г., Чебоксары. Чебоксары: Изд-во ЧТУ, 2001.-С. 96.

42. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987 - 688 с.

43. Синайский Е.С. Наследственный осциллятор с трением / С.Е. Синайский // Известия АН СССР: Механика твердого тела. 1969. - N 5.-С. 58-60.

44. Филин А.П. Элементы теории оболочек / А.П. Филин. JL: Стройиздат, 1987.-384 с.

45. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач в строительстве / А.И. Цейтлин. М.: Стройиздат, 1984. - 400 с.

46. Шермергор Т.Д. Об использовании операторов дробногодифференцирования для описания наследственных свойств материалов / Т.Д. Шермергор // Журнал прикладной механики и технической физики. 1966.-Т. 18, № 1,-С. 118-121.

47. Янке Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эдме, Ф. Леш. М.: Наука, 1968.-344 с.

48. Abdel-Ghaffar A.M., Houser G.W. Ambient vibration tests of suspension bridge / A.M. Abdel-Ghaffar, G.W. Houser // Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE. 1978. - V. 104. - P. 983-999.

49. Abuel-Ghaffar A.M. Ambient vibration studies of Golden Gate Bridge. I: Suspended Structure / A.M. Abdel-Ghaffar, R.H. Scanlan // Journal of Engineering Mechanics, ASCE. 1985. - V. 111, № 4. - P. 463-482.

50. Bagley R.L. The fractional order state equations for the control of viscoelastically damped structures / R.L. Bagley, R.A. Calico // Proc. of Damping189. 1989. -V.l. - P. DAB-1 - DAB-26.

51. Bagley R.L. Fractional order state equations for the control of viscoelastically damped structures / R.L. Bagley, R.A. Calico // J. Guidance, Control and Dynamics. 1991. - V. 14, № 2. - P. 304-311.

52. Bagley R.L. A generalized derivative model for an elastomer damper / R.L. Bagley, P.J. Torvik // Shock. Vibr. Bui. 1979. - V. 49, № 2. - P. 135-143.

53. Bagley R.L. A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity / R.L. Bagley, P.J. Torvik // J. Rheology. 1983. - V. 27, № 3. -P. 201-210.

54. Bagley R.L. Fractional calculus a different approach to the analysis of viscoelastically damped structures / R.L. Bagley, P.J. Torvik // AIAA J. -1983. - V. 21, № 5. - P. 741-748.

55. Bagley R.L. Fractional calculus in the transient analysis of viscoelastically damped structures / R.L. Bagley, P.J. Torvik // AIAA J. 1985. - V. 23, № 6.-P. 918-925.

56. Bagley R.L. On the fractional calculus model of viscoelastic behavior / R.L. Bagley, P.J. Torvik // J. Rheology. 1986. - V. 30, № 1. - P. 133-155.

57. Drozdov A.D. Fractional differential models in finite viscoelasticity / A.D. Drozdov // Acta Mech. 1997.- C. 155-180.

58. Fenanuer A., Modal synthesis when modeling damping by use of fractional derivatives / A. Fenander // AIAA J. 1996. - V. 34, № 5. - P. 1051-1058.

59. Fenander A. Frequency dependent stiffness and damping of railpads / A. Fenander // Proc Inst Mech Engrs F. 1997. - V. 211. - P. 51-62.

60. Fenander A. A fractional derivative railpad model included in a railway track model / A. Fenander // J. Sound Vibr. 1998. - V. 212, № 5. - P. 889-903.

61. Gaudrealt M. Improved solution techniques for the eigenstructure of fractional order systems / M. Gaudrealt, R.L. Bagley // Proc. of Damping'89. 1989. - V. l.-P. DAC-1 -DAC 19.

62. Gaul L., Klein P. and Kempfle S. Damping description involving fractional operators / L. Gaul, P. Klein, S. Kempfle // Mechanical Systems and Signal Processing. 1991.-V. 5, №2.-P. 81-88.

63. Gaul L. Dynamics of viscoelastic solids treated by boundary element approaches in time domain / L. Gaul, M. Schanz // Eur. J. Mech. 1994. -V. 13.-P. 43-59.

64. Gaul L. A comparative study of three boundary element approaches to calculate the transient response of viscoelastic solids with unbounded domains / L. Gaul, M. Schanz // Comput Methods Appl. Mech. Engrg. -1999.-V. 179.-P. 111-123.

65. Gottenberg W. G. An experiment for determination of the mechanicalproperty in shear for a linear, isotropic viscoelastic solid / W.G. Gottenberg, R.M. Christensen // Int. J. Eng. Science. 1964. - V. 2. - P. 45-57.

66. Horr A.M. Dynamic response of a damped large space structure: a new fractional-spectral approach / A.M. Horr, L.C. Schmidt // Int. J. Space Struct. 1995. - V. 10, № 2. - P. 113-120.

67. Horr A.M. A fractional-spectral method for vibration of damped space structures / A.M. Horr, L.C. Schmidt // Eng. Struct. 1996. - V. 18, № 12. -P. 947-956.

68. Hon A.M. Frequency domain dynamic analysis of large space structures with added elastomeric dampers / A.M. Horr, L.C. Schmidt // Int. J. Space Struct. 1996. - V. 11, № 3. - P. 279-289.

69. Koeller R.C. Polynomial operators, Stieltjes convolution, and fractional calculus in hereditary mechanics / R.C. Koeller // Acta Mech. 1986. - V. 58-P. 251-264.

70. Koh C.G., Kelly J.M. Application of fractional derivatives to seismic response analysis of base-isolated models / C.G. Koh, J.M. Kelly // Earthq. Eng. Struct. Dyn. 1990. - V. 19, № 2. - P. 229-241.

71. Mainardi F. Applications of fractional calculus in mechanics / F. Mainardi // Transform Methods and Special Functions: Proc 2d Int Workshop Varna 96, 23-30 August 1996, Bulgaria. Bulgaria, 1996. - P. 309-334.

72. Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation / F. Mainardi // Appl. Math. Lett. 1996. - V. 9, № 6. - P. 23-28.

73. Mainardi F. The application of real-order derivatives in linear viscoelasticity / F. Mainardi, E. Bonetti // Rheol. Acta. 1988. - V. 26. - P. 64-67.

74. Mainardi F. The Mittag-Leffler Function in the Riemann-Liouville Fractional Calculus / F. Mainardi, R. Gorenflo // Special Functions and Factional Calculus: Boundary Value Problems. Minsk: Byelorussian State Universitety. - 1996 - P. 215-225.

75. Mainardi F. Brownian motion revisited / F. Mainardi, F. Tampieri // Proc. Int. Congress on Fluid Mechanics and Propulsion, Cairo. ASME and Cairo University, 1996. - P. 684-693.

76. Makris N. Fractional-derivative Maxwell model for viscous dampers / N. Makris, M.C. Constantinou // J. Struct. Eng. 1991. - V. 117, № 9. - P. 2708-2724.

77. Podlubny I. Numerical solution of ordinary fractional differential equations by the fractional difference method / I. Podlubny // Absts. 2d Int Conf. on Difference Equations and Applications, 7-11 August 1995, Veszprem. -Hungary: Veszprem, 1995. P.89.

78. Rossikhin Yu.A. Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Appl. Mech. Rev. 1997. - V. 50, № 1. - P. 15-67.

79. Rossikhin Yu.A. Application of fractional derivatives for the analysis of nonlinear damped vibrations of suspension bridges / Yu.A. Rossikhin, M.V.

80. Shitikova // Proc. Int. Symp. on Nonlinear Theory and its Applications, Nov. 29-Dec. 2 1997, Honolulu. USA: Honolulu, 1997. -V. 1. - P. 541-544.

81. Rossikhin Yu.A. Application of fractional derivatives to the analysis of damped vibrations of viscoelastic single mass systems / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova// ActaMech. 1997.- V. 120.-P. 109-125.

82. Rossikhin Yu.A. Application of fractional operators to the analysis of damped vibrations of viscoelastic single-mass systems / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // J. Sound and Vibration. 1997. -V.199, № 4. - P.c.c.n c.oc1. J / uu,

83. Rossikhin Yu.A. Application of fractional calculus for analysis of nonlinear damped vibrations of suspension bridges / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova //J. Eng. Mech. 1998. -V. 124, № 9. - P. 1029-1036.

84. Rossikhin Yu.A. Analysis of nonlinear vibrations of a two-degree-of-freedom mechanical system with damping modelled by a fractional derivative / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova II J. Eng. Math. 2000. - V. 37.-P. 343-362.

85. Rossikhin Yu.A. Application of the fractionl derivative rheological models for the analysis of dynamic behaviour of viscoelastic rods / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Proc. 3d Int. Conf. on Mechanics of Time Dependent

86. Materials, 17-20 Sept. 2000, Erlangen. Germany: Erlangen, 2000. - P. 74-76.

87. Rossikhin Yu.A. A new method for solving dynamic problems of fractional derivative viscoelasticity / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Int. J. Eng. Sci. 2001. - V. 39. - P. 149-176.

88. Rossikhin Yu.A. Analysis of dynamic behaviour of viscoelastic rods whose rheological models contain fractional derivatives of two different orders / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Z. Angew. Math. Mech. 2001. - V. 81,

89. ЛГ„ С r> о nnc yj. — L . JUJ-J / U.

90. Rossikhin Yu.A. Application of fractional calculus viscoelastic models with two different fractional parameters in structural dynamics / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova// Structural Dynamics. EURODYN, 2002. - P. 691-695.

91. Rossikhin Yu.A. Fractional derivative analysis of free damped vibrations of circular cylindrical shell / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova, E.I. Ovsjannikova // Proc. 5th International Conference on Vibration Problems

92. OVP-2001, 8-10 October 2001, Moscow. Moscow: IMASH, 2002. - P. 378-381.

93. Schafer I. Beschreibung der Dampfung in Staben mittels fraktionaler Zeitableitungen /1. Schafer // ZAMM. 2000. - V. 80, № 5. - P. 356-360.

94. Scott Blair G.W. A Survey of General and Applied Rheology / G.W. Scott Blair // New York: Pitman, 1944. 115 c.

95. Shen K.L. Modeling of viscoelastic dampers for structural applications / K.L. Shen, T.T. Soong // J. Engrng. Mech. 1995. - V. 121, № 6. - P. 694-701.

96. Shimizu N. Dynamic characteristics of a viscoelastic oscillator / N. Shimizu // Trans. Japan. Soc. Mech. Eng. C. 1995. - V. 61, № 583. - P. 902-906.

97. Suarez L.E., Shokooh A. On the response of systems with damping materials modeled using fractional calculus / L.E. Suarez, A. Shokooh // Applied Mechanics in the Americas. 1995. - V. 2 - P. 147-152.

98. Tsai C.S. Temperature effect of viscoelastic dampers during earthquakes / C.S. Tsai // J. Struct. Eng. 1994. - V. 120, № 2. - P. 394-409.

99. Zhu Z.Y. Quasi-static and dynamic analysis for viscoelastic Timoshenko beam with fractional derivative constitutive relation / Z.Y. Zhu, G.G. Li, C.J. Cheng // Appl. Math. Mech. 2002. - V. 23, № 1. - P. 1-12.120

100. Welch S.W.J. Application of time-based fractional calculus method to viscoelastic creep and stress relaxation of materials / S.W.J. Welch, R.A.L. Rorrer, R.G. Duren // Mech. Time-Dependent Materials. 1999. - V. 3, № 3.-P. 279-303.