Ангармонизм решетки и фазовые переходы в твердых телах с кубической симметрией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

"^оиьаГ22

Красильников Олег Михайлович

Ангармоиизм решетки и фазовые переходы в твердых телах с кубической симметрией

01.04 07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2007

003069722

Работа выполнена на кафедре физики Электростальского политехнического института (филиала) Московского государственного института стали и сплавов (технологического университета)

Научный консультант:

доктор физико-математических наук,

про! >ессор Векилов Юрий Хоренович

Официальные оппоненты:

док; ор физико-математических наук,

профессор Блантер Михаил Соломонович

доктор физико-математических наук,

профессор Богданов Владимир Иванович

доктор физико-математических наук,

профессор Исаев Эйваз Исаевич

Ведущая организация:

ОАО НПО «Композит», г Королев, Московской области

Защита состоится « 2.Цу, К 2007г. в на заседании

диссертационного совета Д 212 132 08 Московского государственного института стали и сплавов

по адресу: 119049 г Москва, Ленинский проспект, д 4

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Московского государственного института стали и сплавов

Автореферат разослан

« » си^реЛ^ 2007г.

Отзывы на автореферат просьба высылать по адресу 119049 г Москва, Ленинский проспект, д 4, диссертационный совет Д 212.132 08

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, ущ Л,

профессор С- % Мухин С И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Исследование ангармонгома колебаний кристаллической решетки и связанных с ним вопросов представляет собой важную научную задачу Именно ангармонизм решетки определяет поведение твердых тел при больших значениях термодинамических параметров, таких как давление и температура. Ангармонизмом обусловлены различия между адиабатическими и изотермическими упругими постоянными второго порядка, их зависимость от температуры и давления. Нелинейные упругие свойства (упругие постоянные высшего порядка), поглощение звука решеткой - все это следствия анагармонизма колебаний кристаллической решетки

Упругие постоянные - важнейшие характеристики твердого тела Они являются расчетными параметрами в аналитическом аппарате физической теории деформации и разрушения твердого тела. Значения упругих постоянных третьего и более высокого порядка позволяют количественно описать поведение твердых тел в условиях конечных деформаций при высоких давлениях Определение этих величин -важная научная и практическая задача.

Так как упругие постоянные второго и более высокого порядка, являясь вторыми, третьими и т.д производными от полной энергии кристалла по деформации, определяются в различных моделях кристаллической решетки через потенциалы межчастичного взаимодействия и экспериментально могут быть измерены акустическими методами, то они служат удобным критерием правильности как самой модели решетки, так и сил связи между частицами, поскольку весьма чувствительны к тонким особенностям межатомных взаимодействий. Их изучение дает дополнительную информацию об этих особенностях.

Ангармонические эффекты важны при рассмотрении явлений, связанных с потерей устойчивости кристаллических решеток Устойчивость кристаллической решетки относительно малых однородных деформаций характеризуется системой неравенств для упругих постоянных второго порядка, вытекающих из требования положительной определенности квадратичной части термодинамического потенциала кристалла Эти неравенства могут нарушаться при изменении термодинамических параметров, задающих состояние кристалла Вследствие этого произойдет переход в спонтанно деформированное состояние, устойчивость которого обеспечивается ангармоническими членами в разложении потенциала (такие переходы получили название деформационных). Поэтому важным является нахождение условий, наклады-

ваемых на упругие постоянные второго, третьего, и более высокого порядка, необходимых для реализации таких переходов

Исследование поглощения звука кристаллической решеткой для широкого класса веществ позволяет получить ценную информацию о процессах фонон-фононного взаимодействия, оценить параметры энгармонизма, времена релаксации фононов

Рассматриваемые в работе вопросы приобретают в настоящее время особую актуальность поскольку в последнее десятилетие исследования высоких давлений претерпели революцию, обусловленную прорывом в технологии ячеек с алмазными наковальнями В лабораторных условиях могут быть получены статические давления в несколько сотен гигопаскалей при достаточно высокой точности измерения физических величин. Современная же техника экспериментов с ударными волнами позволяет создавать в исследуемых образцах отрицательные давления (растягивающие напряжения), достигающие десятков гигопаскалей Это дает возможность изучать свойства твердых тел в области высоких давлений как положительных, так и отрицательных

Целью работы является исследование нелинейных упругих характеристик и устойчивости кубических кристаллов под действием внешней нагрузки и связанных с этим вопросов Объекты исследования. ковалентные и ионно-ковалентные кристаллы со структурой алмаза и цинковой обманки, щелочно-галоидные кристаллы со структурой хлорида натрия, простые и переходные металлы со структурой ОЦК и ГЦК и их сплавы

В работе исследуются

- устойчивость кристаллической решетки в условиях гидростатического давления и одноосной нагрузки,

- деформационные фазовые переходы, вызванные потерей устойчивости решетки по отношению к малым, но конечным однородным деформация;

- зависимость упругих постоянных второго порядка от температуры и поглощение звука за счет процессов фононной вязкости,

- упругие постоянные третьего и четвертого порядков и их изменение с температурой, а также упругие постоянные более высокого порядка;

- уравнение состояния и упругие постоянные второго и третьего порядков в области как положительных, так и отрицательных давлений,

- упругие постоянные второго и третьего порядков сплавов;

- фазовые равновесия в сплавах переходных металлов на основе никеля

Научная новизна работы заключается в том, что"

- получены разложения термодинамического потенциала кристалла с кубической решеткой по компонентам лагранжева тензора конечных деформаций до четвертого порядка в условиях гидростатического давления и одноосного сжатия и найдены соответствующие критерии устойчивости,

- в рамках феноменологической теории фазовых переходов рассмотрены деформационные переходы для различных случаев потери устойчивости и получены условия, накладываемые на упругие постоянные высшего порядка, которые обеспечивают стабильность новой фазы и определяют характер перехода;

- в квазигармоническом приближении рассмотрено изменение адиабатический и изотермических упругих постоянных второго порядка с температурой с учетом процессов фононной вязкости, показано, что коэффициент поглощения ультразвука за счет фонон-фононного взаимодействия выражается через изменение адиабатических упругих постоянных с температурой, с помощью найденных соотношений проведен анализ полученных в работе экспериментальных данных по температурной зависимости упругих постоянных и коэффициента поглощения ультразвука в кремнии, германии, арсениде галлия, антимониде индия и селениде ртути с учетом реальных законов дисперсии с целью выяснения роли различных участков фононного спектра в изменении упругих постоянных с температурой и поглощении звука,

- в квазигармоническом приближении получены выражения для адиабатических, изотермических и смешанных упругих постоянных третьего и изотермических упругих постоянных четвертого порядков при конечных температурах;

- в приближении жестких ионов рассчитаны упругие постоянные четвертого порядка для 16 щелочно-галоидных кристаллов со структурой хлорида натрия и упругие постоянные второго-шестого порядков 16 простых и переходных металлов со структурой ОЦК и ГЦК, с помощью полученных данных оценены критические давления для этих веществ;

- предложен способ численного расчета методом псевдопотенциала браггеровских упругих постоянных различных порядков металлов и сплавов, основанный на вычислении энергии кристалла при заданных компонентах лагранжева тензора конечных деформаций, с использованием псевдопотенциала Краско-Гурского рассчитаны уравнения состояния и упругие постоянные второго и третьего порядков ще-

лочных металлов (7Ча,К, Шэ и Сз) в широком интервале давлений (как положительных, так и отрицательных), а также упругие постоянные второго и третьего порядка сплавов Сб^К*, Ш)1.хКх, С5,_,ДЬх и Ка|.хКх (0<х<1),

— в рамках метода псевдопотенциала, объединенного с термодинамикой рассмотрены фазовые равновесия в сплавах переходных металлов на основе никеля, влияние легирующих элементов на растворимость вольфрамовых волокон в матрицах на никелевой основе

Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы для прогнозирования свойств твердых тел с кубической решеткой в области высоких давлений, которые в настоящее время достижимы экспериментально Создан большой массив данных по нелинейным упругим характеристикам широкого класса материалов с кубической решеткой Часть этих данных включена в справочник по физическим свойствам кристаллов

Найденные соотношения для адиабатических, изотермических и смешанных (адиабатически - изотермических) упругих постоянных третьего порядка и изотермических постоянных четвертого порядка дают возможность получить температурные зависимости этих величин в широком интервале температур, что важно при рассмотрении фазовых переходов под давлением при высоких температурах

Предложенный в работе численный метод расчета браггеров-ских упругих постоянных второго и более высокого порядков позволяет находить упругие постоянные различных порядков металлов и их сплавов в случае как положительных, так и отрицательных давлений.

Расчеты фазовых равновесий в сплавах переходных металлов позволили выработать рекомендации по созданию жаропрочного сплава на основе никеля, установить влияние легирующих элементов на растворимость вольфрамовых волокон в матрицах на никелевой основе и провести направленное легирование этих матриц с целью получения материала с оптимальным уровнем свойств

Апробация работы. Результаты работы докладывались

1 Всесоюзном совещании по механизмам внутреннего трения в полупроводниковых и металлических материалах (Сухуми, 1970 г )

2 IV Всесоюзной конференции по химической связи в полупроводниках и полуметаллах (Минск, 1971 г)

3 X Международной акустической конференции «Ультразвук» (Прага, ЧССР, 1972 г)

4 III конференции по применению ультразвуковых методов для исследования свойств конденсированной материи (Цилина, ЧССР, 1972 г)

5. XX Международной акустической конференции «Ультразвук» (Прага, ЧССР, 1981 г)

6 25 конференции по акустике «Ультразвук 86» (Братислава, ЧССР, 1986 г)

7 6-ой Всесоюзной конференции по композиционным материалам (Ереван, 1987 г.)

8 7-ом Международном симпозиуме о композиционных металлических материалах (Высокие Татры, ЧСФР, 1990 г )

9 Международной конференции по росту и физике кристаллов, посвященной памяти M П Шаскольской (Москва, 1998 г.)

10 III - ей Евразийской научно - практической конференции «Прочность неоднородных структур», МИСиС, (Москва, 2006 г.)

11 Первой международной конференции «Деформация и разрушение материалов», ИМЕТ им. А А Байкова РАН (Москва, 2006 г.)

Объем и структура диссертации. Материал диссертации изложен на 321 страницах машинописного текста, содержит 35 рисунков и 40 таблиц, список литературы насчитывает 245 наименований Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения

В главе 1 анализируется использование квазигармонического приближения для описания температурной зависимости упругих постоянных и поглощения звука за счет процессов фононной вязкости Рассматриваются браггеровские упругие постоянные различных порядков Анализируются теоретические и экспериментальные результаты по упругим постоянным и поглощению звука Обсуждаются вопросы, связанные с устойчивостью кристаллической решетки и деформационными фазовыми переходами

В главе 2 в квазигармоническом приближении рассматривается температурная зависимость упругих постоянных второго порядка с учетом процессов фононной вязкости На основе полученных соотношений анализируются экспериментальные данные по температурной зависимости адиабатических упругих постоянных в полупроводниках четвертой группы, А3В5 и А2В6 с целью выяснения роли различных фононных мод в изменении упругих постоянных с температурой.

Глава 3 посвящена исследованию поглощения звука за счет процессов фононной вязкости Получено соотношение непосредственно связывающее коэффициент поглощения с температурной зависимостью адиабатических упругих постоянных Экспериментальные данные по поглощению звука в полупроводниковых кристаллах четвертой

группы, А3В5 и А2В6 с различным содержанием электрически активных примесей анализируются с использованием результатов по изменению адиабатических упругих постоянных второго порядка с температурой и делается вывод о характере взаимодействия ультразвуковой волны с различными участками фононного спектра

В главе 4 рассматриваются упругие постоянные третьего и четвертого порядков при конечных температурах Анализируются соотношения между адиабатическими, изотермическими и смешанными упругими постоянными третьего порядка и их температурные зависимости, а также температурная зависимость изотермических упругих постоянных четвертого порядка Численные расчеты выполнены для щелочно-галоидных кристаллов Определены константы ангармонизма 1-4 порядка и получены изотермические упругие постоянные четвертого порядка, соответствующие Т=ЗООК, для 16 щелочно-галоидных кристаллов со структурой КаС1

В главе 5 изучается устойчивость кристаллической решетки под действием внешней нагрузки и термодинамика деформационных фазовых переходов Рассчитаны упругие постоянные целого ряда ОЦК и ГЦК металлов до шестого порядка включительно и с их помощью анализируется возможность деформационных переходов

Глава 6 посвящена расчету методом псевдопотенциала упругих постоянных высшего порядка металлов, а также упругих постоянных сплавов. Численные расчеты выполнены для щелочных металлов и их сплавов.

В главе 7 методом псевдопотенциала изучаются фазовые равновесия в переходных металлах и их сплавах. Рассчитываются энергия связи, энергия смешения сплавов на никелевой основе Анализируется устойчивость волокнистых композиционных материалов с вольфрамовыми волокнами и матрицами на основе никеля Проведен численный расчет уравнения состояния ниобия

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. «Упругие свойства кристаллов и энгармонизм решетки» состоит из шести разделов. Первый раздел посвящен обзору работ, связанных с учетом ангармонизма при описании динамики кристаллической решетки Анализ работ показывает, что вычисление колебательной составляющей термодинамических функций с учетом ангармонизма оказывается очень громоздким Задача упрощается, если воспользоваться квазигармоническим приближением В этом приближении частоты колебаний вычисляются не в положениях равновесия, а

при средних положениях атомов, которые зависят от температуры и давления Термодинамические функции имеют такой же вид как и в гармоническом приближении, но через частоты зависят от температуры и давления Дается анализ применимости квазигармонического приближения при описании ангармонических свойств кристалла В частности, оно с хорошей точностью применимо при описании зависимости упругих постоянных от температуры и давления

Рассмотрение термодинамики с учетом энгармонизма кристал-личесакой решетки приводит к тому, что упругие постоянные зависят от условий деформирования Во втором разделе дается определение адиабатических и изотермических упругих постоянных типа Браггера различных порядков (2-6 порядков), которые характеризуют ангармонические свойства кристаллов

В третьем разделе рассмотрена температурная зависимость адиабатических и изотермических упругих постоянных второго порядка Традиционно для этого используется упрощенный вариант квазигармонического приближения — приближение Грюнайзена вместо констант ангармонизма (коэффициентов Грюнайзена), зависящих, вообще говоря, от волнового вектора и поляризации фононов, используется найденное определенным образом среднее значение, одинаковое для всех мод Это приводит к тому, что условие постоянства энтропии системы фононов сводится к постоянству чисел заполнения В результате, полученные выражения неполны, тк не учитывают вклад процессов фононной вязкости (перераспределение фононов между различными колебательными модами) и не могут быть применены для интерпретации экспериментальных данных (в частности, они приводят к неверным соотношениям между упругими постоянными при конечных температурах)

В четвертом разделе обсуждается поглощение звука, обусловленное энгармонизмом колебаний решетки в области частот £1т«1, где О - круговэя чэстотэ звуковой волны, т - среднее время релаксации тепловых фононов В этом случае изменения звукового поля в пространстве и во времени достаточно медленны по сравнению с длиной пробега фононов и частотой их релаксации, поэтому звук можно рассматривать как однородную деформацию, вызывающую изменение энергии тепловых колебаний решетки Это изменение характеризуется коэффициентами Грюнайзена, имеющими смысл констант взаимодействия звуковой волны с решеточными фононами

Диссипация энергии звуковой волны определяется двумя механизмами перераспределением фононов между различными ветвями спектра (фононная вязкость) и термоупругими потерями, вызванными релаксацией за счет процессов теплопроводности между областями сжатия и растяжения

В приближении Грюнайзена фононная вязкость должна отсутствовать В тоже время термоупругое затухание не объясняет экспериментально наблюдаемых потерь, а для поперечных волн, затухание которых в эксперименте оказывается того же порядка, что и продольных волн, для кубических кристаллов оно строго равно нулю Не объясняют экспериментально наблюдаемых потерь и оценки коэффициента поглощения в простой модели анизотропного спектра, в которой ангармонические константы выражаются через упругие постоянные третьего порядка, что позволяет учесть анизотропию констант, но не позволяет учесть их дисперсию

Таким образом, для интерпретации экспериментальных данных по температурной зависимости упругих постоянных и поглощению звука необходимо учитывать зависимость ангармонических констант от волнового вектора и поляризации фононов.

В пятом разделе дан обзор работ по упругим постоянным высшего порядка (третьего и выше) Эти постоянные играют важную роль при объяснении ангармонических явлений в твердых телах Экспериментально упругие постоянные высшего порядка можно определить, измеряя зависимость скорости распространения ультразвуковой волны в различных кристаллографических направлениях от величины приложенной нагрузки Линейный характер этой зависимости определяется упругими постоянными третьего порядка, отклонение же от линейного закона — упругими постоянными более высокого порядка

Упругие постоянные третьего порядка кубических кристаллов исследовались довольно подробно и теоретически, и экспериментально Однако температурная зависимость адиабатических, изотермических и смешанных упругих постоянных третьего порядка практически не изучалась Упругие постоянные четвертого и более высокого порядков рассматривались всего в нескольких работах, а их температурная зависимость вообще не исследовалась

В шестом разделе дан обзор работ по исследованию устойчивости кристаллической решетки под действием внешней нагрузки, а также деформационным фазовым переходам (фазовым превращениям, для которых деформация является параметром порядка). Деформационные переходы рассматриваются в рамках теории фазовых переходов Ландау без учета внешней нагрузки

Глава 2. «Упругие постоянные второго порядка при конечных температурах» состоит из двух разделов

В первом разделе в квазигармоническом приближении получены выражения, определяющие температурную зависимость адиабатических и изотермических упругих постоянных второго порядка Это приближение применимо в области частот От« 1, где звуковую волну можно рассматривать как однородную деформацию, возмущающую энергию фононов

(о{к, Я) = а>0(к, Я)

1 -Г^,Х)п9 "СуиЪХйдЧн

0)

Здесь со(к, Л) и со^ (к, Л) - частота фонона с волновым вектором и поляризацией Я соответственно в деформированном кристалле и в отсутствие деформации;

г (кЛ) = ~— У с0

8а(к,Л)

Ч,

д ,Лк,Х) =--

д2ш{к,Х)

%дт1а

V 0

коэффициенты Грюнайзена, характеризующие взаимодействие звуковой волны с решеточными фононами (ангармонические константы первого и второго порядка), г}^ — компоненты лагранжева тензора

конечных деформаций При От« 1 состояние кристалла является квазиравновесным и применимы соотношения термодинамики В квазигармоническом приближении выражения для термодинамических функций остаются такими же, как в гармонической теории, с той лишь разницей, что частоты фононов зависят от деформации решетки в соответствии с (1)

Адиабатические упругие постоянные определяются второй производной от внутренней энергии по деформации при постоянной энтропии

1

~1]Ы у

в2и„

5пуЭпа

где у0 - объем кристалла в недеформированном состоянии

и - внутренняя энергия в квазигармоническом приближе-Ф

нии

к,л

О4 "у' 2

Здесь Фа - потенциальная энергия кристалла, когда атомы находятся в положениях равновесия,

1 - локальная равновесная функция рас-

пределения фононов при наличии деформации Определяя производные BN<¡ и из условия постоянства энтропии при деформации,

э>7„ а>7,Э!7и получаем

Здесь е(к, Л) и с(к, Я) - соответственно, энергия и вклад в теплоемкость моды (к,Л), С(Т)= 2с(кД) - теплоемкость кристалла.

Первый член в (2) есть производная от потенциальной энергии атомов Ф0 при данной температуре Его можно представить в виде

двух слагаемых С и - гармонической упругой постоянной и члена,

учитывающего изменение упругой постоянной с изменением параметра решетки за счет теплового расширения Остальные члены обусловлены взаимодействием звуковой волны с тепловыми колебаниями решетки Выражение в квадратных скобках определяет перенормировку упругих ПОСТОЯ1ШЫХ за счет перераспределения фононов между различными колебательными модами, вызванного деформацией кристалла (процессы фононной вязкости) Как показывает анализ экспериментальных данных именно это слагаемое, в основном, определяет температурную зависимость упругих постоянных

При уц и н, не зависящих от волнового вектора и поляризации, условие постоянства энтропии при деформации сводится к постоянству чисел заполнения все члены, содержащие производные от функции распределения по деформации, выпадают из рассмотрения, разность в квадратных скобках обращается в нуль и (2) сводится к стандартному выражению для адиабатических упругих постоянных

Изотермические упругие постоянные С])к1 определяются второй

производной от свободной энергии по деформации при постоянной температуре В квазигармоническом приближении для температурной зависимости получаем-

(2)

кД

~ X гЛк хгги{к,хш^

*0 к,Я ■>

Из сравнения (2) и (3) найдем

(4)

где Д,„ - коэффициент теплового расипфения Возмущение, вносимое в систему фононов звуковой волной, ре-лаксирует за счет двух процессов перераспределения фононов между различными колебательными модами (фононная вязкость) и процессов теплопроводности между областями сжатия и растяжения (термоупругость) Перенормировка адиабатических упругих постоянных происходит только за счет процессов фотонной вязкости, в случае же изотермических - и фононной вязкости, и - термоупругости Поэтому (4) определяет перенормировку упругих постоянных в результате теплообмена между областями сжатия и растяжения

Такой вариант квазигармонического приближения позволяет описывать многофононные процессы, когда один из взаимодействующих фононов есть длинноволновый акустический, а остальные — тепловые фононы В частности, величина у (¡г, Л) описывает трехфонон-

ные взаимодействия процессы, в которых участвует один длинноволновый акустический фонон и два тепловых Показано, что у^ ~ Ф3,

дуЫ ~(Ф3)2,Ф„, где Ф3 и Ф4 ангармонические параметры третьего и четвертого порядков, соответствующие малым волновым векторам Таким образом, рассмотрение температурной зависимости упругих постоянных в используемом варианте квазигармонического приближения эквивалентно учету всех ангармонических членов третьего и четвертого порядков, которые ответственны за взаимодействие решеточных фононов с длинноволновыми колебаниями

Полученные соотношения использованы для анализа вклада фононов различных колебательных мод в температурную зависимость упругих постоянных 81, ве, ОаАБ.ТпБЬ и Н§Бе Упругие постоянные, определяемые в ультразвуковых экспериментах, являются адиабатическими и описываются соотношением (2) Необходимые для проведения анализа экспериментальные данные были получены путем тщательных измерений скоростей звука в указанных веществах на образцах с раз-

личной концентрацией легирующей примеси и плотности дислокаций (чтобы выделить влияние этих факторов) Упругие постоянные определялись ультразвуковым непрерывным интерференционным методом на частоте 10 МГц в интервале температур 78-300 К Точность определения абсолютных значений ~ 0 15%, изменений с температурой » 0 05% Упругие постоянные слаболегированных (или «чистых») образцов (с концентрацией носителей < 1018см"3) в исследуемом интервале температур линейно убывают с температурой Оценка температурного изменения упругих постоянных за счет теплового расширения показывает, что этот вклад составляет < 10% от наблюдаемого

Изменение с температурой определяется, в основном, членом

к,Я

Для оценки вклада различных фононных мод в температурную зависимость упругих постоянных кривые дисперсии фононов в целях упрощения задачи были аппроксимированы более простыми, показанными на рис. 1 на каждом участке зависимость (о{к, Л) линейная, для оптических мод дисперсия отсутствует, оптические и поперечные акустические моды вырождены Погрешность такой аппроксимации для всех исследованных веществ не превышает 10 — 20% Граничные частоты для каждого из линейных участков находились усреднением соответствующих экспериментальных значений по трем высокосимметричным направлениям (100), (110) «(111) В такой аппроксимации константы энгармонизма постоянны в пределах каждого из линейных участков

Т\, Т2 и Ьъ 1*2 - акустические низкочастотные и высокочастотные поперечные и продольные моды, соответственно; О - оптические моды

Вклад низкочастотных акустических мод (ветви 7}, ) оцени-

О {ТО, 10)

к

Кщ/2 "т'

Рис. 1 Законы дисперсии фононов.

вался непосредственно с использованием констант энгармонизма у,

вычисленных через упругие постоянные второго и третьего порядка Как показали расчеты, вклад низкочастотных продольных и поперечных акустических мод в температурную зависимость упругих постоянных не превышает 5% от наблюдаемого изменения Из анализа вкладов высокочастотных акустических (ветви Т2, Ь2), а также оптических мод (ветвь О) следует, что во всех исследованных веществах изменение упругих постоянных с температурой, в основном, определяется взаимодействием звуковой волны с высокочастотными поперечными акустическими модами Этот вывод согласуется с опубликованными позднее экспериментальными и теоретическими результатами по определению коэффициентов Грюнайзена для различных фононных мод в кубических кристаллах

Анализ температурных зависимостей упругих постоянных второго порядка легированных образцов показывает, что после вычета электронного (дырочного) вклада в упругие постоянные температурные зависимости упругих постоянных для легированнных и нелегированных кристаллов в пределах точности расчета и эксперимента практически совпадают Это согласуется с выводом о преимущественной роли коротковолновых поперечных акустических ветвей фононного спектра в изменении упругих постоянных с температурой поскольку коротковолновые колебания экранируются слабо и соответствующие изменения ангармонических констант не должно быть существенным В то же время константы энгармонизма длинноволновых участков спектра, как показывают оценки, могут сильно изменяться с легированием

Во втором разделе главы 2 показано, что при учете взаимодействия звуковой волны с реальным спектром тепловых фононов меняются соотношения между упругими постоянными при конечных температурах В приближении Грюнайзена всегда Однако из (2)

следует, что это соотношение нарушается и с изменением температуры может изменить знак, что объясняет наблюдаемое в ряде случаев (например, для щелочно-галоидных кристаллов) выполнение соотношений Коши при конечных температурах

Глава 3 «Поглощение звука, обусловленное энгармонизмом колебаний решетки» состоит из двух разделов

В первом разделе показано, что поглощение звука за счет энгармонизма решетки непосредственно связано с температурным изменением упругих постоянных При распространении звука происходит наложение механических возбужденных и тепловых колебаний Ан-

гармонизм приводит к обмену энергией между ними энергия звуковой волны расходуется на возбуждение тепловых колебаний Поглощение звука из-за энгармонизма колебаний в области частот С2т «1 рассматривалось в ряде работ, начиная с основополагающей работы Ахиезера В этой области частот два механизма ответственны за диссипацию энергии звуковой волны- перераспределение фононов между различными ветвями спектра (фононная вязкость) и термоупругие потери, вызванные релаксацией за счет процессов теплопроводности между областями сжатия и растяжения В приближении Грюнайзена фононная вязкость должна отсутствовать В то же время термоупругое затухание не объясняет экспериментально наблюдаемых потерь, а для поперечных волн, затухание которых в эксперименте оказывается того же порядка, что и продольных, оно строго равно нулю Не объясняют экспериментально наблюдаемых потерь и оценки поглощения через упругие постоянные третьего порядка (чем чаще всего пользуются в количественных оценках) в простой модели анизотропного дебаевского спектра с ангармоническими константами, зависящими только от индекса ветви Анализ данных по поглощению звука наиболее ярко показывает необходимость учета реальных фононных спектров и дисперсии констант энгармонизма.

Чтобы выразить коэффициент поглощения звука через изменение упругих постоянных с температурой воспользуемся формулой (2) и известным соотношением теории неупругой релаксации

1 ДСо2 а---П т >

2 и С

где а - коэффициент поглощения в области частот Ш «1

А С - изменение упругой постоянной, вызванной соответствующим процессом релаксзции;

и - скорость звуковой волны Поскольку слагаемое, стоящее в квадратных скобках выражения (2), определяет изменение упругих постоянных за счет перераспределения фононов между различными колебательными модами, для коэффициента поглощения, обусловленного фононной вязкостью, получим

7П2

2 рУиЪ

Е Г,М'Л')с(к-\Я') I ук1{к,Х)с(к,Х)г^,Х)\ '-К1) к,Л к,Я

(5)

где д — плотность кристалла,

т(к, Я) - время релаксации фононов моды (к, Я). Каждое слагаемое, входящее под знак суммы, определяет по-

глощение отдельной модой Результат, полученный на основе квазигармонического приближения и соотношения линейной теории неупругости, совпадает с выражением для коэффициента поглощения, полученным из решения кинетического уравнения в пределе С1т «1

Соотношение (5) использовано для анализа экспериментальных данных с целью оценки вклада различных фононных мод в поглошение звука Экспериментальное исследование поглощения звука проведено на тех же образцах, на которых измерялась температурная зависимость упругих постоянных Коэффициент поглощения звука измерялся методом импульсного эха в интервале температур 78-300 К и диапазоне частот 20-170 МГц Ошибка в измерении абсолютной величины а составляла « 15-20%, а при измерении его температурной зависимости ~ 5-10% Измерялась частотная и температурная зависимости коэффициента поглощения продольных и поперечных волн в направлении (110)

Поперечные волны имели поляризацию и (001) Для нелегиро-

ванных образцов величины поглощения продольных и поперечных волн близки между собой и довольно слабо изменяются с температурой Измерения перекрывают широкий интервал температур (0 1—2) 0D Для всех исследованных веществ при температурах Т> 0о коэффициент поглощения растет с уменьшением температуры, для низких температур (Т< вп) — убывает Величина коэффициента поглощения больше для веществ с меньшей температурой Дебая Частотная зависимость близка к квадратичной

Показано, что наблюдаемое в нелегированных образцах поглощение, в основном, обусловлено фононной вязкостью Из данных по температурной зависимости упругих постоянных и поглощения звука найдены средние времена релаксации Времена релаксации, определяющие затухание продольных и поперечных волн, близки между собой В кремнии и арсениде галлия времена релаксации примерно в 4-5 раз больше, чем в германии В InSb и HgSe Т примерно такой же величины, что и в Si

Сравнение с температурными зависимостями времен релаксации для трехфононных нормальных процессов и процессов переброса показало, что времена релаксации, найденные из поглощения звука, определяются, в основном, нормальными процессами рассеяния. Опубликованные недавно расчеты времен релаксации поперечных и продольных фононов за счет трехчастичных процессов рассеяния в кубических кристаллах Si и Ge согласуются с нашими выводами

Анализ вклада различных фононных мод в поглощение звука

проведен с использованием известных температурных зависимостей времен релаксации нормальных процессов рассеяния для фононов, принадлежащих различным участкам спектра и приближенных законов дисперсии (рис 1) Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными показывает, что взаимодействие звуковой волны лишь с низкочастотными акустическими модами (Ь\ и Г]) не может объяснить наблюдаемое поглощеггае. Основной вклад в поглощение вносит взаимодействие звуковой волны с высокочастотными модами В случае Б1, ве и ваАБ поглощение определяется, в основном, взаимодействием звуковой волны с коротковолновыми поперечными акустическими модами (Т2) В случае ЬгБЬ и ЩБе наряду с эти возможен вклад акустических высокочастотных продольных (Ь2)и оптических (О) мод Эти выводы находятся в хорошем согласии с результатами, полученными из температурной зависимости упругих постоянных

Результаты, полученные для полупроводниковых кристаллов, должны быть, очевидно, справедливы и для кристаллов другого типа Так, анализ данных по поглощению звука в хлориде калия, проведенный в более поздних работах другими авторами с учетом реальных законов дисперсии и зависимости у от к и Л, показал, что для согласия с экспериментом необходимо учитывать взаимодействие звуковой волны с высокочастотными акустическими модами

Поглощение звука в легированных образцах существенно отличается от поглощения в нелегированных Согласно экспериментальным данным легирование электрически активными примесями в случае кремния и германия приводит к сильному увеличению коэффициента поглощения. На компенсированных образцах эффект отсутствует В случае ОаАз и 1пБЬ легирование не влияет на величину поглощения Показано, что увеличение поглощения при легировании электрически активными примесями обусловлено, в основном, релаксацией из-за электрон-фононного взаимодействия

Во втором разделе главы 3 дан вывод коэффициента поглощения, обусловленного фононной вязкостью, с учетом констант энгармонизма первого и второго порядков в (1) Для нахождения а кинетическое уравнение решалось с помощью теории возмущений до второго порядка включительно. Полученное в первом порядке выражение для коэффициента поглощения полностью согласуется с (5) Второй порядок теории возмущений приводит к поправкам, зависящим от частоты в четвертой степени и пропорциональным квадрату амплитуды звуковой волны Поэтому в области малых амплитуд, что соответствует условиям эксперимента, эти поправки несущественны Таким образом (5) полностью определяет коэффициент поглощения за счет фононной

вязкости в амплитудно-независимой области

Глава 4 «Упругие постоянные высшего порядка при конечных температурах» состоит из трех разделов

В первом разделе в квазигармоническом приближении рассмотрены температурные зависимости изотермических, адиабатических и смешанных упругих постоянных третьего порядка и найдены соотношения между этими величинами

Изотермические упругие постоянные третьего порядка пТ

уклтп

определяются третьей производной от свободной энергии по деформации при постоянной температуре В квазигармоническом приближении для температурной зависимости ^Т получим

' ¡jklmn

Э

mn Í

V О О-

jklmn

JL у0ё;я

(6)

- — (ГцьИтп + fkfiijmn'

Гтп^пкО^'^-— J-Jijm ГпнА*.ЛЖ*,Q

J KVQ К,Я

где у. {к, Я), ^ и (к, Л) - ангармонические константы первого и вто-

рого порядков, а

ijklmn

eivVm,

- соответственно, кон-

станта ангармонизма третьего порядка В (6) и в дальнейшем символы (л\Л) Для краткости опущены

Экспериментально упругие постоянные третьего порядка находят из данных по зависимости скорости распространения ультразвука в различных кристаллографических направлениях от приложенного напряжения Поскольку деформация, вызванная звуковой волной, адиабатическая, а постоянное напряжение прикладывается изотермически, то из опыта получают смешанные адиабатически-изотермические упругие постоянные Для этого внутреннюю энергию кристалла

ук1тп

сначала дважды дифференцируют по деформации при постоянной энтропии, а затем еще раз, но при постоянной температуре В результате в квазигармоническом приближении получим

csr .

ijklmn

1 3 qh

'o \ 8r¡ad"mnJ s.

=С

ijUmn VQC(T)

ijmn ¡ff ¡jnm

D—J+

где

AIJ = J. r„c(K',l)'

К,Л

>ы

к,А

к', Л

Адиабатические упругие постоянные найдем, трижды продифференцировав внутреннюю энергию при постоянной энтропии

С\ытп =С%™ ~тфг)Атп [К« ~ВЧ*1 'Тг^Ус^тЛ^ +

(8)

Й2

С2(Т)кТ

А,А,

1ТС(Т)

здесь д =

* л

Соотношения (7) и (8) позволяют связать между собой изотермические, адиабатические и смешанные упругие постоянные Удобно выразить разность между этими постоянными через наблюдаемые величины.

гт .. ту0 г

^уИтп ~ С(Т)] '-,Р'} р<!

Ск1тпр,Ч'11Р'9'

"Нтп

ЗТ

-'ыгхР™

цтпгз

ее,

ег

дТ

'Р.

ТУргт р гт „, ,х

(9)

-С'

¿т

7Г,

О ГГ

'¡/Нтп уЫтп С(Т) т"РЧ'РЧ

■^Т

~уЫр'<з'ур'<}

дС'

5 Л

дТ

Р.

(10)

Здесь по повторяющимся индексам идет суммирование Анализ полученных соотношений показывает, что в области

низких температур (Т« 0п) изменяются с температурой как

ук1тп

Т4~Т7 в зависимости от соотношений между коэффициентами перед различными слагаемыми в (6) Поскольку ^ и (ЗСд^ / ВТ) р при низких температурах малы, то разницей между изотермическими, адиабатическими и смешанными упругими постоянными третьего порядка

можно пренебречь и температурный ход с^ и С^ такой же,

уЫтп ук1тп

как у сТ1]к1тп - При высоких температурах (Т> вп) сТ1]Ытп будут изме-

няться пропорционально Т, а так как в этой области температур ¡3 постоянен, а упругие постоянные второго порядка изменяются с температурой линейно, то и тоже будут линейной функци-ук!тп уЫтп

ей температуры Этот вывод подтверждается экспериментальными данными- для ШС1 наблюдается линейное изменение смешанных упругих постоянных в интервале 300-600К (для №С1 в0 «300К)

Соотношения (6)-(9) использованы для расчета температурной

зависимости сТ,, , С^ и с^ хлорида натрия в интервале 1]Ытп ук1тп ук1тп

температур 0-600К Константы энгармонизма уу (к, Л), дцк1 (к, Л) и Мук/тп вычислены в приближении жестких ионов, короткодействующее взаимодействие описывается потенциалом Борна-Майера Результаты расчета показывают, что из-за энгармонизма колебаний решетки соотношения Коши для упругих постоянных нарушаются не только при конечных температурах, но даже и при Т=0К, поскольку вклад в упругие постоянные, обусловленный энгармонизмом нулевых колебаний, может быть довольно значительным При Т—>0К упругие постоянные изменяются с температурой по закону, близкому к Т4, при высоких температурах убывают по абсолютной величине по линейному закону. Разница между изотермическими, адиабатическими и смешанными упругими постоянными в целом невелика Наблюдаемые на опыте температурные зависимости различных комбинаций смешанных упругих постоянных близки к полученным в результате вычислений

Во втором разделе дан термодинамический вывод соотношений между адиабатическими, изотермическими и смешанными упругими постоянными третьего порядка с целью проверить правильность выражений, полученных в квазигармоническом приближении Показано, что в обоих случаях результаты согласуются между собой.

В третьем разделе в квазигармоническом приближении получено выражение для изотермических упругих постоянных четвертого порядка, пригодное для широкого интервала температур Упругие постоянные определяются четвертой производной от свободной энергии по деформэции при постоянной температуре Рассмотрение проведено аналогично тому, как это сделано для упругих постоянных третьего порядка В результате

гт

в\

"77 Л +

дПуЭШадПтпдПрд )

у^Ытпщ + ^И^утпрц + ?тп^ук1рд + ^ рд^цИтп + ^уЫ^тпрд + ^утп^к1рц +

+ГуГтп£к1рЧ + ГЫ Гтп Сцрд +Гц Грч £к1тп + (11)

2 Т

+ Аге2(.ё,Л)) }

кТ1

где 1

01о

д*а(к,Л)

константы энгармонизма

(8г1уЭг]к1дг1тпд71рд ^

четвертого порядкз.

В приближении жестких ионов найдены статические упругие постоянные четвертого порядка для 16 щелочно-галоидных кристаллов со структурой хлорида натрия, рассчитаны значения констант ангар-монизма 1-4 порядков и определены изотермические упругие постоянные, соответствующие Т=300К, для этих веществ Упругие постоянные четвертого порядка по абсолютной величине примерно на порядок больше упругих постоянных третьего порядка При этом большая часть из них положительна, а постоянные С1из и С1144 (матричные обозначения) имеют отрицательные значения.

Показано, что энгармонизм нулевых колебаний приводит к нарушению соотношений Коши для упругих постоянных четвертого порядка уже при Т=0К При низких температурах (Т« 0Г)) упругие постоянные изменяются с температурой пропорционально Т4, при высоких (Т> в0) - пропорционально Т Для хлорида натрия построены температурные зависимости изотермических упругих постоянных четвертого порядка в интервале температур 0-600К В этом интервале изменение упругих постоянных с температурой составляет, согласно результатам расчета, 10-30% Найденные знэчения упругих постоянных четвертого

порядка использованы для расчета (82Сар!дР2) - вторых производных

упругих постоянных второго порядка по давлению ряда щелочно-гзлоидных кристаллов В пределзх ошибки эксперимента результаты расчета согласуются с экспериментальными значениями Значения упругой постоянной СШ1 для щелочно-галоидных кристаллов сравниваются со значениями этой постоянной, найденными из экспериментальных дэнных по зависимости скорости продольной волны от давления Наблюдается неплохое согласие между этими значениями Для других упругих постоянных четвертого порядка щелочно-галоидных кристал-

лов экспериментальные данные отсутствуют В целом, полученные в настоящей работе результаты по упругим постоянным четвертого порядка были впоследствии подтверждены в работах других авторов

Глава 5 «Устойчивость кристаллической решетки и деформационные фазовые переходы под давлением» состоит из трех разделов

В первом разделе с помощью термодинамического критерия устойчивости проанализирована устойчивость решетки кубических кристаллов при гидростатическом давлении и одноосном сжатии Учтено, что деформации, относительно которых решетка становится неустойчивой, являются конечными.

Термодинамическим потенциалом при заданной температуре Т и напряженном состоянии, описываемом тензором <т&, является потенциал Гиббса Ф, который определяется величиной свободной энергии и работой внешних сил Поскольку деформация определяется по отношению к первоначально недеформированному состоянию тела, а напряжение вычисляется на единицу площади деформированного, то дифференциал работы, произведенный напряжением, отнесенный к единице первоначального объема, равен не компонентам напряжения ау на соответствующие компоненты деформации, а произведению

'у^у- Эт° обстоятельство становится особенно существенным при

конечных деформациях Здесь I . — термодинамические напряжения,

(/

которые связаны с механическими следующим образом

Здесь J = с1е1[а^ | — якобиан переменных по переменным

X,, (а ~дх /дХ ), где Х-и X, соответственно координаты частиц I) I ] I У

среды в исходной и конечной конфигурациях, — матри-

± I к

ца, обратная ащ . Величины а1} и можно выразить через компоненты тензора конечных деформаций ^

Поскольку зависит не только от <уу , но и от компонент тензора деформации то работа деформации равна ¿ц • Тогда У 0 У У

потенциал кристалла, отнесенный к единице объема в исходном состоянии определяется соотношением

Разложим теперь термодинамический потенциал вблизи равновесного состояния, отвечающего пу= о,

Ф(<7,7,7>Ф(<г,0,Т)+аиЧд + +

рц +

При заданных аи Тсостояние равновесия системы будет устойчивым, если оно отвечает изолированному минимуму термодинамического потенциала Для выполнения этого условия нужно, чтобы все а у =0, а квадратичная форма 2>гд/'7г/'Ш была бы положительно

определенной

При изменении термодинамических параметров (а, Т) эти требования могут нарушаться Вследствие чего произойдет переход в спонтанно деформированное состояние, устойчивость которого обеспечивается ангармоническими членами

а) Рассмотрим кубический кристалл (классы 43т , 432, тЪт ), подвергнутый гидростатическому давлению В этом случае ,

здесь Р - давление при щ =о Тогда а^ =0

V'V*/ = \{Си - Р){Т1\ + "I +У+ (С12 + 'ЩЬ + +11"?) +

+73) + 7|('\ ^Щ^г^х + +ЗР^2Г!3 +(С456 +21'^4Г,5716 + +'72('71 + >?з ) + + Пг )}

'уЫтпщЧуЧрппЧрч "^Х^4 + + ) + |<СП 12 + 6Р)*

*('?13('?2 +пъ) + л\(лх +12 ^'Г1(СП22 +21'У'1\т'2 + ) +

4(СП55 "«^{Ч?^ + + >} + 1(С1255 +3/>>*

*Ь^г(,?4 +^Ь + Г12Ь{П5 +Чб >+ ЩЪ1+Л+^<С1266 ~ +

+ »^З^) + (^456 -4/,)'?4'75'76Ц +72+73) + "'(<"1444 -3/>Х^ +

+!?5 +"б) + ^С47455 -2

Величины С^р, и с?^ „ - изотермические браггеровские

упругие постоянные, соответственно 2-го, 3-го и 4-го порядков при заданных Р и Т Упругие постоянные и компоненты тензора деформаций даны в обозначениях Фогта

Из требования положительной определенности квадратичной формы получим следующие условия устойчивости кристалла, подвергнутого гидростатическому давлению:

Сти-Р> 0, (12а)

С,г, +2С,г2 +Р>0, (126)

С1-Стп-2Р> 0, (12в)

СТАЛ-Р> 0 (12г)

б) Одноосное сжатие. Пусть сжимающее усилие направлено вдоль третьей кристаллографической оси, тогда суи=~р5Ък8-ц Симметрия кристалла при этом понизится и станет тетрагональной (классы 4ттА2т,——■—,422 ) В результате получим ттт

4(С344 + |+ Ч?>4(С366 +(С«6 +

+^СП13 +^СИ23 - ЩпгЪЪ

4(СИЗЗ П44 + -¡V*

+1(С1Г244 4(СШЗ + *2> +

4(С1Г344 +"2'Ф+1(С1Г355 + +

+ 4(С4466

Условия устойчивости в случае одноосного сжатия примут вид.

Соотношения (12) и(13) согласуются с критериями стабильности, полученными из условия, что частоты длинноволновых акустических колебаний нагруженного кристалла должны быть вещественными Условия (12) и (13) применимы и в случае отрицательных давлений, если перед величиной Р в этих соотношениях поменять знак на обратный

Соотношения (12) использованы для нахождения критических давлений (Ркр) для 16 щелочно-галоидных кристаллов, подвергнутых гидростатическому давлению Расчеты показывают, что наиболее «слабым» для исследованных веществ является условие (12г) Найденные из этого условия значения Рщ, коррелируют с экспериментальными данными.

Во втором разделе на основе феноменологической теории фазовых переходов дан анализ фазовых превращений в кубических кристаллах, связанных с потерей устойчивости решетки по отношению к деформации. Рассматриваются деформационные фазовые переходы — переходы, для которых параметром порядка служат компоненты ла-гранжева тензора конечных деформаций Из разложений термодинамическою потенциала и условий устойчивости (12) и (13) следует, что параметр порядка может иметь одну, две или три компоненты

Необходимыми условиями существования фазового перехода второго рода являются обращение в нуль коэффициентов при квадратичных и кубических по параметру порядка членах в разложении потенциала и положительность членов четвертого порядка Эти условия выражены в виде соотношений для упругих постоянных второго, третьего и четвертого порядков при различных случаях потери устойчивости для указанных способов нагружения Равновесные значения деформации при фазовом переходе получены из условия минимума термодинамического потенциала В тех случаях, когда кубический член разложения тождественно равен нулю, имеем линию непрерывных фазовых переходов на плоскости (Р,Т) Для остальных - непрерывный фазовый переход возможен только в изолированной точке

(13а) (136) (13в) (13г)

(13Д) (13е)

С1,-Р>0, с/;-<2> О, (С3Т, - Р){Стп + Ст,г) - 2 (С£ + Р? > О, (С£-1/>)>0,

С[6>0

Если при заданных Р и Т кристалл теряет устойчивость, а указанные выше условия, накладываемые на упругие постоянные третьего и четвертого порядков не выполняются, то переход будет переходом первого рода

Параметр перехода является тензорной величиной и его компоненты преобразуются по неприводимому представлению точечной группы симметрии Поэтому деформационные фазовые переходы происходят без изменения трансляционной симметрии исходной фазы При этом точечная группа симметрии решетки Браве деформированного кристалла является подгруппой точечной группы недеформирован-ного кристалла и содержит те элементы симметрии, которые сохраняются при деформации решетки Определены решетки Браве новой фазы для рассмотренных случаев

Различные случаи потери устойчивости кубической решеткой, приводящие к фазовым переходам второго рода, указаны в табл 1 Наше рассмотрение ограничено моделью четвертой степени по параметру порядка, поэтому полученные низкосимметричные фазы соответствуют наиболее симметричным из возможных диссимметричных

Линия непрерывных фазовых переходов в критической точке переходит в кривую фазовых переходов первого рода. Положение критической точки фазовых переходов второго рода определяется обращением в нуль коэффициентов при квадратичном члене и члене четвертой степени в разложении потенциала Член пятого порядка должен быть тождественно равен нулю, а коэффициент при члене шестой степени - положителен Исходя из этого, получены соотношения, определяющие положение критических точек.

В третьем разделе рассчитаны упругие постоянные второго — шестого порядков ОЦК и ГЦК металлов и с их помощью проанализирована возможность деформационных переходов в этих веществах

Статические (без учета вклада колебаний решетки) упругие постоянные различных порядков 16 металлов рассчитаны с использованием потенциала Морзе, который позволяет получить достаточно надежные результаты при описании явлений, обусловленных деформацией решетки кубических металлов Наши данные по упругим постоянным второго порядка хорошо согласуются с результатами других авторов. Сравнение с экспериментальными данными показывает, что для ГЩС металлов совпадение неплохое (для Си, 14 - разница в значениях упругих постоянных составляет 1 - 6%, для А1, № и Рс1 - 10 -15%, для Аи, РЬ > 20%) Для ОЦК металлов согласие хуже Значения упругих постоянных третьего порядка достаточно хорошо согласуются с соответствующими величинами, найденными (как рассчитанными, так и

полученными экспериментально) другими авторами Для упругих постоянных четвертого порядка известны значения только Сцп, найденные для Си, Ац и Аи из температурной зависимости упругих постоянных второго порядка Совпадение с нашими результатами неплохое, если учесть, что «экспериментальные» значения Сцц получены косвенным путем.

Найдена зависимость эффективных упругих постоянных второго порядка от давления с учетом упругих постоянных до шестого порядка включительно Эта зависимость использована для оценки с помощью соотношений (12) области устойчивости кристаллической решетки указанных металлов при гидростатическом сжатии. Наиболее слабым в данном случае является условие (12в), т е легче всего решетка теряет устойчивость по отношению к деформации, соответствующей растяжению вдоль одной из осей четвертого порядка и сжатию вдоль другой (г!п=-п22 ) В результате может произойти деформационный переход,

причем решетка Браве новой фазы должна быть Г* Приведены значения давления Ркр для ГЦК металлов (данные для О ЦК металлов не приведены ввиду их меньшей надежности)

Третий член в разложении термодинамического потенциала в этом случае обращается в нуль и деформационный переход может быть переходом второго рода, если выполняется дополнительное условие

Показано, что это условие выполняется для А1, Са, N1 и Си. Поэтому для этих веществ переход может быть как второго, так и первого рода, для других ГЦК металлов — только первого рода.

При нарушении условия (12в) помимо рассмотренного может произойти переход, сопровождаемый деформацией ^ =-2^,

Третий член в разложении термодинамического потенциала в этом случае нулю не равен, поэтому переход должен быть переходом первого рода, кроме одной точки на плоскости (Р, 7), для которой выполняется условие

и соотношение (14) В этой точке переход может быть переходом второго рода Решетка Браве новой фазы есть Г^. Экспериментальные

данные по фазовым превращениям в ГЦК металлах проанализированы с точки зрения возможности реализации деформационных переходов

сГш-^С/ш+ЗС^-ЗЗРХ)

(14)

(15)

Таблица 1

Деформационные фазовые переходы второго _рода в кубических кристаллах __

Внешняя нагрузка №п /п Условия перехода Параметр перехода Равновесное значение деформации при переходе Геометрия перехода Измеьение симметрии при переходе

1 С„-Р=0 С4м+ЗР=0, СлАМ+бСмЪ--15 Р>0 '7^=95= =1б=1 13=-6(Сц-РУ (С+144 + +6 С«55"15Р) Изолированная точка /„г/,

V § о 2 С*ж-ЗЛ>0 1<=1 15=16=0 (/2=-6(С„-Р)/(С4ад-ЗР) Линия Г€-+Гв,г*а

£ 8 £ к Н О СЗ Е2 ^ « я «в 1* в и 3 С„-С„-2Р = 0 Сцп-4Сцп + +ЭС,т-ЗЗР>0 ЧГ-Чг" -1 12=МСп-Си-2Р)1(Стг -4 Спи +ЗС,Ю-ЗЗЛ Линия гс-*г0

4 Са-С„-2Р=0, Сш-ЗСт"» +2Ст+15Р=0 +ЗС,т-ЗЗР>0 =-2171 ^=^(С1ГС12-2РУ(СШ,- -4СП12 +ЗС1Ш--ЗЗР) Изолированная точка Г с г{,гс-+г*д

С„-С12= 0, Г -4 Г + *—1111 1Ш +ЗС|Ш>0 1\= -11 гЦ ^ЩСп-Сц) / (Сцн- Линия

V -4СШ2+ЗС1Ш)

Одноосн сжатие 6 С44-Р/2-О, -9Р/2>0 ^=-6(С«-Р/2у (С444+ЗС«55"9Р/2) Линия гч->гт

7 с6666 >0 <!б Линия г —»гъ А ч ^ 1 о Г" ->ГГ

Глава б «Расчет браггеровских упругих постоянных металлов и их сплавов» состоит из пяти разделов

Моделирование межатомного взаимодействия в металлах методом псевдопотенциала позволило с необходимой точностью рассчитать энергию как простых, так и переходных металлов, а также их сплавов Дальнейшая проверка адекватности модели, правильного выбора параметров псевдопотенциала состоит в расчете различных свойств металлов и сплавов, таких, например, как упругие постоянные различных порядков Поскольку упругие постоянные определяются вторыми, третьими и т д производными энергии кристалла по деформации, то их величина очень чувствительна к выбору межатомного потенциала, его поведению вблизи положения равновесия Расчеты упругих постоянных второго и третьего порядка при Р=0 наиболее полно проведены для щелочных металлов При этом использовались псевдопотенциалы Ашкрофта и Анималу-Хейне Расчеты упругих постоянных четвертого

порядка металлов методом псевдопотенциала отсутствуют Для сплавов упругие постоянные второго и третьего порядков рассчитывались всего в нескольких работах.

В первом разделе получены соотношения между компонентами лагранжева тензора конечных деформаций прямой и обратной решеток Используя определение лагранжева тензора конечных деформаций для прямой (т]у ) и обратной (?.к1) решеток, найдем

"?11 +2п\\ -2пп(Л2 +В1)-122Л2-733«2 -ЛД

^22 = ^22 +2?г22 + С2 ) - ^22 " ^гг^ + С2) - »7ПЛ2 - ПггС2 ~ АР,

*ЪЪ ~ + 2^33 +1<в2 + С2)-4'733 -27733(В2 + С2)-77пВ2 -*722С2 -ЛД

2 = "\А + 1 + ^22 + \ВС ~\Л3 ' 2(ЛП + ^22 + Ч ^22 ~ ~\А(В2 +Г2)-0£' = Л21,

-1й(Л2 +С2)-Й,2723 +712>7з2 +'721'723 + ^Зг )£ = 1 ■

=-|С + ^22 +П331С+\АВ~\СЪ-2(1^ + ВДзз)С-1 ? т (16)

А = Чп+г121> В = п13+г,м, 0 = 7723 + 7732,

Д = '713'723 + '7Ш32+'Ш'723 + ,731'Ш> Я = + ^22 + ^33

Соотношения (16) позволяют получить производные от векторов обратной решетки по компонентам тензора деформации кристалла вплоть до третьего порядка, включительно.

q2-Q2 = 2ЛuQlQJ, (17)

здесь - вектор обратной решетки, соответственно, в деформированном и недеформированном состояниях, Q ,<2 — проекции О

Аналогичным образом можно найти производные и более высокого порядка

Эти соотношения используются в дальнейшем для вычисления методом псевдопотенциала энергии деформированного кристалла и браггеровских упругих постоянных металлов.

Во втором разделе в рамках метода псевдопотенциала с использованием соотношений между компонентами лагранжева тензора деформаций прямой и обратной решеток дан вывод формул для вычисления браггеровских упругих постоянных второго и третьего порядков

простых .металлов Полученные выражения пригодны для случая произвольного модельного псевдопотенциала Показано, что соотношения Коши для упругих постоянных второго и третьего порядка не выполняются Причина этого заключается во-первых, в непосредственном вкладе электронного газа в упругие постоянные, во-вторых, во влиянии электронов на равновесные положения ионов, а уже через них - косвенно на упругие постоянные.

Третий раздел посвящен численному методу расчета браггеров-ских упругих постоянных, основанный на вычислении энергии кристалла методом псевдопотенциала при заданных компонентах лагран-жева тензора конечных деформаций При этом используются соотношения между компонентами тензора деформации прямой и обратной решеток Производные от энергии по компонентам лагранжева тензора деформации находятся с помощью формул численного дифференцирования для интерполяционного полинома Ньютона Вычислены упругие постоянные второго, третьего и четвертого порядка натрия и калия с использованием модельного псевдолотенциала Краско-Гурского. Найденные значения энергии, упругих постоянных второго порядка хорошо согласуются с экспериментом (различие для упругих постоянных второго порядка для Ка - 2%, для К -9%) Величины упругих постоянных третьего порядка согласуются с результатами расчетов других авторов (экспериментальные данные отсутствуют) Следует отметить, что упругие постоянные второго-четвертого порядка, вычисленные с помощью псевдопотенциала Краско-Гурского, близки к соответствующим значениям, найденным с помощью потенциала Морзе (глава

5)

В четвертом разделе предложенная методика использована для расчета упругих постоянных сплавов щелочных металлов Энергия бинарного разупорядоченного сплава замещения находилась во втором порядке по псевдопотенциалу При вычислении энергии зонной структуры учитывалось не только слагаемое, содержащее среднее значение формфактора псевдопотенциала атомов сплава (приближение виртуального кристалла), но и слагаемое, соответствующее флуктуациям концентрации в растворе

Численные расчеты упругих постоянных второго и третьего порядков выполнены для сплавов Сб^К*, Ш)1.ХКХ,С51.,ДЬХ и №ЬхКх (0<х<1) Эти системы (кроме системы Иа-К) образуют непрерывный ряд твердых растворов В качестве модельного потенциала взят псевдопотенциал Краско-Гурского Энергия рассчитывалась для двух структур ОЦК и ГЦК. При всех концентрациях второго компонента энергия ОЦК структуры меньше, чем ГЦК Это означает, что ОЦК

структура для рассматриваемых систем является более устойчивой, что хорошо согласуется с экспериментом Значения энергии, вычисленные для чистых компонент близки к экспериментально наблюдаемым величинам. С изменением состава твердых растворов рассматриваемых систем энергия изменяется по кривой с незначительной положительной неаддитивностью, что указывает на ослабление сил взаимодействия ионов в сплаве по сравнению с силами в кристаллических решетках чистых компонент

С изменением концентрации второго компонента упругие постоянные второго порядка изменяются по кривой с довольно значительной отрицательной неаддитивностью (особенно сдвиговая постоянная (С¡1-0^/2) Изменение упругих постоянных третьего порядка описывается кривой с заметной положительной неаддитивностью (сами упругие постоянные отрицательны) Это подтверждает вывод об ослаблении сил взаимодействия ионов в растворе по сравнению с чистыми компонентами Наши расчеты качественно согласуются с имеющимися экспериментальными данными по упругим постоянным сплавов

В пятом разделе на примере щелочных металлов рассмотрены уравнение состояния и упругие постоянные твердых тел при Т = О К в области отрицательных давлений Расчеты для Иа, К, Ш> и Сб проведены с использование модельного потенциала Краско-Гурского в интервале V/ ¥0 =0 8-1 8 (где У0 - удельный объем при атмосферном давлении Для всех изотерм при 1 характерно наличие минимума

вблизи значения V/ ¥0 =1.75 Положение минимума, отвечающего спи-нодали, определяет «идеальную» прочность на растяжение -1 54 ГТТа (Ыа), - 0 714 ГПа (К), - 0.54 ГПа (Ш)) и - 0 413 ГПа (Ся)

Упругие постоянные второго порядка для всех веществ монотонно убывают по мере увеличения объема При этом постоянные Сп и (Сл-С/2)/2 в интервале значений V / У0 =1.1 - 1 5 проходят через нуль, принимая затем отрицательные значения Объемный модуль и постоянная Сщ, уменьшаясь при увеличении объема, остаются положительными, хотя и малыми по сравнению со значениями, соответствующими V/ У0 =1. Во всей области давлений до самой спинодали кристаллическая решетка щелочных металлов остается устойчивой В точке абсолютной неустойчивости критерий (126) (Сц+2С12+Р) обращается в нуль

Упругие постоянные третьего порядка во всей исследованной области давлений остаются отрицательными и монотонно убывают по абсолютной величине по мере увеличения объема

Рассчитаны упругие постоянные щелочных металлов для ОЦК и Г'ДК структур Показано, что упругие постоянные второго порядка для этих структур имеют близкие значения, упругие же постоянные третьего порядка существенно различаются постоянные С123, Сш и С456 даже меняют знак Поэтому измерения упругих постоянных третьего порядка позволяет, в совокупности с другими методами, получить более надежную и полную информацию о фазовом переходе.

Глава 7 «Термодинамика сплавов переходных металлов» состоит из пяти разделов

В первом разделе в рамках метода псевдопотенциала рассмотрены сплавы на никелевой основе, которые используются в качестве жаропрочных и коррозионостойких материалов С использованием нелокального модельного псевдопотенциала Анималу рассчитаны значения энергии для Т1,У,Сг,Со,№,МЬ,Мо и для трех структур ОЦК, ГЦК и ГПУ Для структур, наблюдаемых на опыте, наши результаты согласуются с экспериментальными данными Наилучшее согласие наблюдается для никеля и кобальта

Рассчитана энергии смешения сплавов №-Т1, №-МЬ, №-Мо ,N1-0 и №-Со в зависимости от концентрации второго компонента Поскольку результаты расчета энергии для чистого никеля дают правильную равновесную структуру и значение энергии, близкое к экспериментальному, то энергию смешения сплавов на основе никеля (с небольшим содержанием второго компонента) можно считать достоверной. Энергия смешения в сплавах №-Т1, №-М>, 1\Т1-У, №-\У и N1-Мо положительна, что указывает на наличие ограниченной растворимости второго компонента в этих системах Причем в системах №-У, и ЫьМо пределы растворимости второго компонента уменьшаются по мере увеличения энергии смешения Для систем №-Т1 и такая корреляция не наблюдается Энергия смешения в сплавах №-Сг и N1-00 отрицательна, что указывает на хорошую растворимость компонент в этих системах Известно, что для сплавов КьСо наблюдается неограниченная растворимость, а в системе №-Сг имеется широкая область гомогенности со стороны никеля

Второй раздел посвящен оценке прочности межатомной связи жаропрочных сплавов на никелевой основе №-Мо и Основной

особенностью, отличающей жаропрочные сплавы от других конструкционных материалов, является способность сохранять упрочненное состояние длительное время при высоких температурах Процессы разупрочнения, происходящие в жаропрочных композициях при высокотемпературной эксплуатации, в конечном счете, определяются диффузионной подвижностью атомов, которая обуславливается величиной

межатомного взаимодействия в кристаллических решетках фаз, составляющих сплав.

С использованием модельного псевдопотенциала Анималу рассчитаны энергия связи№,Мо и¥,атакже бинарных сплавов на никелевой основе Показано, что при введении в никель молибдена энергия связи резко уменьшается по абсолютному значению и уже при с=0.06 (атомная концентрация) принимает положительное значение Для сплавов зависимость несколько иная уменьшение энергии связи по модулю происходит медленнее и она становится положительной при больших концентрациях второго компонента - вольфрама Таким образом, №-\У сплавы должны иметь более высокую температуру плавления по сравнению с №-Мо при одном и том же содержании второго компонента, что хорошо согласуется с экспериментальными данными Можно предположить, что сплавы, обладающие большей прочностью межатомной связи, по уровню длительной прочности при высоких температурах должны превосходить №-Мо композиции Эти предположения подтверждены результатами проведенных испытаний на ползучесть при 1100°С №-Мо и №-\У сплавов с различным содержанием второго компонента Полученные результаты подтверждают предположения о перспективности М-АУ сплавов. Наблюдается хорошая корреляция результатов расчета и экспериментальных данных Результаты расчета использованы для создания сплава на основе никеля.

В третьем разделе рассмотрено влияние легирования третьим компонентом на стабильность сплава на базе №-\У Сплавы получают все большее распространение в качестве теплоустойчивых материалов различного назначения В концентрационных пределах гомогенности у - твердого раствора {ОС — фазы) до « 28-30% вес они характеризуются высокой пластичностью при относительно низкой прочности Легирование третьим компонентом приводит к повышению прочности, но пластичность и технологичность при этом, как правило, снижаются Последнее связано обычно с образованием частиц второй фазы.

В работе для оценки стабильности твердого раствора при легировании его третьим компонентом вычислялась энергия смешения АЕ тройного сплава с использованием нелокального модельного псевдопотенциала Анималу В качестве третьего компонента выбраны молибден, хром и кобальт. Показано, что энергия смешения для всех трех систем положительна и легирующие элементы по разному влияют на ее величину Добавление небольших количеств молибдена приводит к резкому возрастанию энергии смешения в сплавах с небольшим со-

держанием вольфрама Затем по мере увеличения концентрации вольфрама влияние молибдена на АЕ уменьшается Определенный интерес представляет влияние добавок хрома к сплаву Так, при концентрации вольфрама с<0 15, хром немного увеличивает энергию смешения При содержании вольфрама с>0 20 хром существенно уменьшает АЕ. Величина эффекта возрастает с ростом концентрации вольфрама и увеличением содержания хрома Введение кобальта в сплав уменьшает величину энергии смешения, при этом уменьшение монотонно накапливается по мере увеличения концентрации вольфрама Это обстоятельство получило экспериментальное подтверждение Так, введение кобальта в модельный сплав («41% вольфрама) эвтектического состава привело к частичному растворению избыточных фаз (Ы^Ш и др ), что сопровождалось повышением пластичности в процессе горячей прокатки лабораторных слитков

Четвертый раздел посвящен оценке стабильности волокнистых композиционных материалов Рабочая температура волокнистых композиционных материалов - жаропрочный №-Сг сплав, армированный вольфрамовой проволокой, составляет 1100-1200°С В этих условиях большое влияние на эксплуатационную стойкость оказывает структурная стабильность композиции При температуре более 900°С вольфрамовое волокно начинает растворяться в №-Сг матрице с образованием на границе раздела хрупкого слоя Дополнительное легирование

№-Сг твердого раствора рядом элементов может существенно уменьшить скорость растворения волокна

Рассмотрено влияние добавок Мо и Сг на растворимость вольфрамовых волокон в №-Сг матрице Для сравнения проанализирована растворимость вольфрамовых волокон в перспективной жаропрочной матрице №+30%\^ Величина энергии смешения АЕ между материалом матрицы и волокном для разупорядоченного состояния сплавов оценивалась с использованием нелокального псевдопотенциала Анималу Показано, что при растворении вольфрама до атомных концентраций 0 01 - 0 05 энергия смешения как первого, так и второго сплавов возрастает ( АЕ >0) Для матрицы N1+3 она возрастает на значительно большую величину по сравнению с матрицей №+20%Сг+5%\У-1-5%Мо (Н70ВТЮ-ИД) Это указывает на то, что в первом случае растворимость волокна будет меньше Данный вывод качественно хорошо согласуется с экспериментальными данными в композиции Н70ВТЮ-ИД + вольфрамовое волокно при температуре 1100°С через 50часов толщина слоя на границе раздела составила 8 мкм, а в случае матрицы №+30'И^ - менее 1 мкм

В пятом разделе приведен расчет зависимости энергии от объе-

ма и уравнение состояния ниобия в интервале 0-200 ГПа Для расчета использовался локальный модельный псевдопотенциал, учитывающий особенности переходных металлов. Показано, что до давлений Р<20 ГПа уменьшение объема описывается линейной зависимостью С увеличением давления зависимость приобретает ярко выраженный нелинейный характер Имеющиеся экспериментальные данные по зависимости параметра решетки от давления, относящиеся к интервалу 0-20 ГПа, согласуются с результатами расчета.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Проведено исследование устойчивости кристаллов с кубической решеткой в условиях гидростатического давления и одноосного сжатия Изучены деформационные фазовые переходы, обусловленные неустойчивостью кристаллической решетки Проведен большой объем вычислений нелинейных упругих характеристик материалов с кубической решеткой, исследованы зависимости упругих постоянных различных порядков от давления и температуры

1 В квазигармоническом приближении получены выражения для адиабатических и изотермических упругих постоянных второго порядка при конечных температурах с учетом процессов фононной вязкости Показано, что коэффициент поглощения звука, обусловленного фононной вязкостью (механизм Ахиезера), может быть выражен через изменение адиабатических упругих постоянных второго порядка с температурой.

2. Проведено экспериментальное исследование температурной зависимости адиабатических упругих постоянных в интервале 78—300К и частотной и температурной зависимости коэффициента поглощения (интервал частот 20-170 МГц, интервал температур 78-300К) в монокристаллах кремния, германия, арсенида галлия, антимонида индия и селенида ртути с различной концентрацией электрически активных примесей

3 Экспериментальные результаты для нелегированных образцов проанализированы на основе полученных соотношений с учетом реальных законов дисперсии, взятых из экспериментов по неупругому рассеянию нейтронов. Рассмотрено взаимодействие звуковой волны с низкочастотными и высокочастотными колебательными модами Показано, что взаимодействие с акустическими продольными и поперечными низкочастотными модами не может объяснить наблюдаемое изменение упругих постоянных с температурой Основной вклад в темпера-

турную зависимость упругих постоянных в исследованных веществах вносят акустические поперечные высокочастотные колебания Таким образом, деформация, вызванная ультразвуковой волной, наиболее сильно изменяет частоты фононов, относящихся к высокочастотным акустическим поперечным модам Этот вывод согласуется с опубликованными позднее результатами (теоретическими и экспериментальными) по определению коэффициентов Грюнайзена для различных фо-нонных мод в кубических кристаллах

4. Показано, что экспериментально наблюдаемое поглощение в чистых материалах определяется, в основном, механизмом фононной вязкости Из соотношения между изменением адиабатических упругих постоянных с температурой и коэффициентом решеточного поглощения звука оценены времена релаксации и их изменение с температурой для затухания продольных и поперечных волн Эти времена близки между собой и сравнимы с временами релаксации, найденными из теплопроводности

С учетом реального спектра колебаний и дисперсии констант энгармонизма проанализирован вклад различных участков фононного спектра в поглощение звука Найдено, что основной вклад в поглощение вносит взаимодействие звуковой волны с высокочастотными поперечными акустическими модами Этот результат согласуется с выводом о преимущественной роли акустических высокочастотных ветвей спектра в температурной зависимости упругих постоянных.

Результаты, полученные в настоящей работе, хорошо согласуются с результатами более поздних работ других авторов, рассматривавших поглощение звука по механизму Ахиезера в кубических кристаллах

5 Исследованы ангармонические свойства легированных полупроводников Показано, что вызванные легированием изменения температурной зависимости упругих постоянных и поглощения звука, обусловлены, в основном, не перенормировкой фонон-фононного взаимодействия, а релаксацией из-за взаимодействия носителей тока с колебаниями решетки

6 В квазигармоническом приближении с учетом процессов фононной вязкости получены выражения для адиабатических, изотермических и смешанных (адиабатически-изотермических) упругих постоянных третьего порядка при конечных температурах и найдены соотношения между этими величинами Получено также выражение для изотермических упругих постоянных четвертого порядка Рассчитаны статические упругие постоянные четвертого порядка для 16 щелочно-галоидных кристаллов со структурой ЫаСР. в рамках модели жестких

ионов Определены константы энгармонизма 1-4 порядков для этих веществ Проведен анализ температурной зависимости адиабатических, изотермических и смешанных упругих постоянных третьего порядка и изотермических упругих постоянных четвертого порядка в интервале температур 0-600К на примере ЫаС(.

7 Устойчивость кристаллической решетки под действием внешней нагрузки рассмотрена с использованием термодинамического критерия устойчивости с учетом того, что деформации, по отношению к которым кристалл теряет устойчивость, являются конечными Получены условия устойчивости кубических кристаллов при гидростатическом давлении и одноосном сжатии В рамках феноменологической теории фазовых переходов рассмотрены переходы, для которых деформация является параметром порядка (деформационные переходы) для различных случаев потери устойчивости Получены условия, накладываемые на упругие постоянные третьего и четвертого порядков, обеспечивающие стабильность новой фазы Найдены соотношения для упругих постоянных высшего порядка, необходимые для реализации фазовых переходов второго рода Вычислены равновесные значения деформации при таких переходах Найдены условия, определяющие положение критической точки Определены решетки Браве диссим-метричной фазы

8 Вычислены статические упругие постоянные второго - шестого порядков 16 металлов со структурой ОЦК и ГЦК с использованием потенциала Морзе С помощью найденных значений упругих постоянных для ГЦК металлов определены критические давления, соответствующие деформационным фазовым переходам Проанализирована возможность деформационных переходов в этих металлах

9. Предложен вариант численного расчета браггеровских упругих постоянных второго и более высокого порядка методом псевдопотенциала, основанный на вычислении энергии кристалла при заданных компонентах лагранжева тензора конечных деформаций с помощью полученных в работе соотношений между компонентами тензора конечных деформаций прямой и обратной решеток Вычислены упругие постоянные второго, третьего и четвертого порядка натрия и калия с использование модельного псевдопотенциала Краско-Гурского

Предложенный метод использован для расчета упругих постоянных второго и третьего порядка сплавов Су,^ Кх, КЬ^Х Кх, С51_хКЬх, Ыа^хКх (0<х<1) с помощью псевдопотенциала Краско-Гурского. Результаты расчета качественно согласуются с имеющимися экспериментальными данными по упругим постоянным сплавов

Рассчитаны изотермы щелочных металлов, упругие постоянные второго и третьего порядков в области как положительных, так и отрицательных давлений (вплоть до спинодали) Проведен анализ механической устойчивости кристаллической решетки На, К, Се и ИЬ в области отрицательных давлений Показано, что во всей этой области до самой спинодали решетка остается устойчивой.

11. В рамках метода псевдопотенциала, объединенного с термодинамикой, рассмотрены фазовые равновесия в сплавах переходных металлов на основе никеля Рассчитаны энергии связи систем М—Мэ и N1 - IV с целью использования их для разработки жаропрочных сплавов Найдены энергии смешения тройных сплавов на базе системы Ы1 — 1¥ Показана перспективность системы М-Ш-Со для получения теплоустойчивых материалов. Проанализирована устойчивость волокнистых композиционных материалов с вольфрамовыми волокнами и матрицами М—Сг и М—1¥ Показано, что растворимость волокон в матрице Ni-W должна быть существенно меньше, чем в матрице М-О. Результаты расчета использованы для создания сплава на основе никеля Проведен численный расчет уравнения состояния ниобия в интервале 0-200 ГПа

В процессе выполнения работы разработан комплекс программ по расчету термодинамических свойств металлов и сплавов, упругих постоянных Создан большой массив данных по упругим постоянным различных порядков для широкого класса материалов с кубической решеткой Часть этих данных включена в справочник по физическим свойствам кристаллов

Основное содержание опубликовано в работах-

1 Красильников О.М , Постников В А Устойчивость кристаллической решетки и деформационные фазовые переходы под давлением //ФТТ - 1979 - Т 21, в 9 - С. 2599-2606

2 Красильников О М Температурная зависимость упругих постоянных третьего порядка //ФТТ - 1977 - Т 19, в 5 - С 1313-1321

3 Красильников О.М, Постников В А Упругие постоянные четвертого порядка щелочно-галоидных кристаллов со структурой ИаС1 //ФТТ - 1977 - Т. 19, в 12 - С 3663-3671

4 Векилов Ю X, Кадышевич А Е , Красильников О М Роль продольных и поперечных фононов в температурной зависимости упругих постоянных и поглощении звука Сб Механизмы внутреннего трения в полупроводниковых и металлических материалах - С 17-24

/Отв Ред Ф Н Тавадзе, В С Постников, Л К Гордиенко - М , Наука, 1972- 179 с.

5 Векилов Ю X, Кадышевич А Е , Красилышков О.М Исследование энгармонизма кристаллической решетки ряда полупроводников по температурной зависимости упругих постоянных и решеточному поглощению звука: Сб Химическая связь в кристаллах полупроводников и полуметаллов - С 209 - Минск, Наука и техника, 1973

6 Векилов Ю X , Кадышевич А Е, Красилышков О М Температурная зависимость упругих постоянных полупроводников //ФТТ -1971-Т 13, в 5-С 1304-1309

7 Векилов Ю X, Кадышевич А Е, Красильников О М Поглощение звука в полупроводниках //ФТТ -1971-'Г 13,в5-С 13101320

8 Векилов Ю X, Красильников О.М, Лисовский Ю.А Соотношение между упругими постоянными при конечных температурах //ФТТ-1972-Т 14-С 3078-3080

9 Красильников О М, Векилов Ю X, Безбородова В М, Юшин А В Упругие постоянные селенида ртути // Физика и техника полупроводников - 1970 - Т. 4, в 11 - С 2122-2127

10 Бейлин В М , Векилов Ю X , Красилышков О.М Упругие постоянные сильно легированных п-Б1 и р-Се //ФТТ - 1970 - Т. 12, в 3 -С 684-689

11 Красильников О.М, Векилов Ю X, Кадышевич А Е Поглощение продольных звуковых волн в полупроводниках // ФТТ - 1969 -Т 11, в 5-С 1200-1207

12 Бейлин В М, Векилов Ю X, Красильников О М Температура Дебая сильно легированных полупроводников // Физика и техника полупроводников - 1969 -Т 3 - С 1430 -1431

13 Красильников О М Упругие постоянные сплавов щелочных металлов//Известия вузов Физика - 2006 -№ 5 - С 28-33

14 Красильников О.М Термодинамика сплавов переходных металлов на основе никеля // Известия вузов Черная металлургия - 2006 -№ 9 — С 40 - 43

15 Красильников О М Времена релаксации фононов в ве, ваАБ, 1п8Ь и ^Бе // Известия вузов Материалы электронной техники. -2006, №4-С. 59-62

16 Красильников О М Уравнение состояния и упругие постоянные щелочных металлов при отрицательных давлениях // Физика металлов и металловедение - 2007. - Т 107, №.3 - С 317-321

17 Доронин И В , Красилышков О М., Трунин И Ф Расчетная и экспериментальная оценка стабильности вольфрамового волокна в никелевой матрице // Деформация и разрушение материалов - 2007 - №5

18 Авторское свидетельство № 1248298 Сплав на основе никеля /Доронин И В., Макаренко В.И, Трунин В Ф, Красилышков О М, Пасынков А А и Волкова Е В //Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР 1 апреля 1986 г

19. Красипьников О М, Данцева О Я Упругие постоянные высшего порядка ряда металлов со структурой ГЦК и ОЦК; Моек ин-т Стали и сплавов - М 1982 - 12с - Деп в ВИНИТИ 18 11 82, 5711

20 Постников В А, Красилышков О М Упругие постоянные второго-четвертого порядков щелочных металлов Моск. ин-т Стали и сплавов-М, 1987-9с -Деп в ВИНИТИ 6 03.87,1639

21 Доронин И В , Красильников О М, Макаренко В И, Трунин В Ф Расчетная и экспериментальная оценка стабильности вольфрамового волокна в никелевой матрице //Сб Материалы 6-ой Всесоюзной конференции по композиционным материалам (ДСП) - Т 1, С 70-71-Ереван, 1987

22. Доронин И В , Красильников О М, Антипов В А, Рыбаль-ченко ММ Применение метода псевдопотенциала для оценки стабильности жаропрочных ВКМ //Сб. Материалы 7-ого международного симпозиума о композиционных металлических материалах - С. 55-57, Высокие Татры, ЧСФР, 1990.

23. Красильников О М, Доронин И В , Трунин В Ф Термодинамические расчеты никелевых сплавов с использованием модельного потенциала Анималу // Сборник научных трудов ЭПИ МИСИС - Электросталь, 2002 - С 88-92

24. Красильников О М , Доронин И В , Трунин В Ф Математическое моделирование межатомного взаимодействия в жаропрочных сплавах на никелевой основе // Сборник научных трудов ЭПИ МИСИС - Электросталь, 2002 - С. 92-95

25 Красильников О.М Расчет упругих постоянных сплавов щелочных металлов //Сб Материалы международной научно - практической конференции «Дни науки - 2005» Т 38, Физика-С. 28-31 Днепропетровск, 2005

26. Красильников О.М Поглощение звука, обусловленное энгармонизмом колебаний решетки во втором порядке теории возмущений //Сб Materials of international scientifically-practical conference "The Science theory and practice". Vol 28. Physics - P. 30-35 Publishing House "Education and Science", Prague, Dnepropetrovsk, Belgorod, 2005.

27. Красильников О М Термодинамика сплавов переходных металлов //Сб Materials of international scientifically-practical conference "The Science, theory and practice". Vol 28 Physics - P. 24-29 Publishing House "Education and Science", Prague, Dnepropetrovsk, Belgorod, 2005.

28. Красильников О M Уравнение состояния ниобия //Сб. научных трудов по материалам научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение Современное состояние и пути развития». Т 9. - С. 55 - 58 Издательство Черноморье, Одесса, 2005.

29 Красильников О М Устойчивость кристаллической решетки щелочных металлов при отрицательных давлениях Сб статей по материалам первой международной конференции «Деформация и разрушение материалов». ИМЕТ им А.А. Байкова РАН Москва -2006 Т 1 - С. 194-196

Введение.

Глава 1. Упругие свойства кристаллов и энгармонизм решетки.

1.1 Ангармонизм кристаллической решетки. Квазигармоническое приближение.

1.2. Упругие постоянные.

1.3. Адиабатические и изотермические упругие постоянные второго порядка; зависимость от температуры.

1.4. Поглощение звука, обусловленное энгармонизмом колебаний решетки.

1.5. Упругие постоянные высшего порядка.

1.6. Устойчивость кристаллической решетки и деформационные фазовые переходы.

Глава 2. Упругие постоянные второго порядка при конечных температурах.

2.1. Температурная зависимость упругих постоянных второго порядка.

2.1.1. Фонон-фононное взаимодействие и температурная зависимость упругих постоянных.

2.1.2. Роль различных фононных мод в температурной зависимости упругих постоянных Si,Ge,GaAs,InSb и HgSe.

2.1.3. Влияние свободных носителей тока на упругие постоянные

2.2 Соотношения между упругими постоянными второго порядка при конечных температурах.

Выводы.

Глава 3. Поглощение звука, обусловленное энгармонизмом колебаний решетки. 3.1. Поглощение звука в полупроводниках.

3.1.1. Решеточное поглощение звука и температурная зависимость упругих постоянных.

3.1.2. Экспериментальные результаты.

3.1.3. Вклад различных фононных мод в решеточное поглощение звука в Si,Ge,GaAs,InSbuHgSe.

3.1.4. Легированные образцы. Обсуждение результатов.

3.2. Поглощение звука, обусловленное ангармонизмом колебаний решетки во втором порядке теории возмущений.

Выводы.

Глава 4. Упругие постоянные высшего порядка при конечных температурах.

4.1. Упругие постоянные третьего порядка при конечных температурах.

4.1.1. Соотношения между адиабатическими, изотермическими и смешанными упругими постоянными третьего порядка.

4.1.2. Анализ соотношений для упругих постоянных третьего порядка.

4.1.3. Изменение с температурой упругих постоянных третьего порядка NaCl.

4.2. Термодинамический вывод соотношений между адиабатическими, изотермическими и смешанными упругими постоянными третьего порядка.

4.3. Упругие постоянные четвертого порядка при конечных температурах.

4.3.1. Изотермические упругие постоянные четвертого порядка.

4.3.2. Статические упругие постоянные четвертого порядка щелочно-галоидных кристаллов со структурой NaCl.

4.3.3 Параметры энгармонизма различных порядков.

4.3.4. Расчет изотермических упругих постоянных четвертого порядка.

Выводы.

Глава 5. Устойчивость кристаллической решетки и деформационные фазовые переходы под давлением.

5.1. Разложение термодинамического потенциала и условия устойчивости кристаллической решетки.

5.2. Термодинамика деформационных фазовых переходов.

5.3. Упругие постоянные высшего порядка металлов со структурой ГЦК и ОЦК и деформационные фазовые переходы.

5.3.1. Упругие постоянные высшего порядка ряда металлов со структурой ОЦК и ГЦК.

5.3.2. Расчет критических давлений и анализ деформационных переходов.

Выводы.

Глава 6. Расчет браггеровских упругих постоянных металлов и их сплавов.

6.1. Соотношения между компонентами лагранжева тензора конечных деформаций прямой и обратной решеток.

6.2. Расчет браггеровских упругих постоянных второго и третьего порядка простых металлов методом псевдопотенциала.

6.3. Упругие постоянные второго-четвертого порядков щелочных металлов.

6.3.1. Численный метод расчета упругих постоянных второго-четвертого порядков.

6.3.2. Вычисление упругих постоянных натрия и калия с использованием модельного псевдопотенциала Краско-Гурского.

6.4. Расчет упругих постоянных сплавов щелочных металлов.

6.4.1. Энергия двухкомпонентных кристаллов.

6.4.2. Численный расчет упругих постоянных второго и третьего порядков.

6.4.3 Упругие постоянные сплавов Csi.xKx, Rbj.xKx, Csi.xRbx, Na,.xKx.

6.5 Уравнение состояния и упругие постоянные щелочных металлов при отрицательных давлениях.

6.5.1 Уравнение состояния щелочных металлов.

6.5.2 Упругие постоянные второго и третьего порядков.

6.5.3 Упругие постоянные третьего порядка и фазовые переходы в кубических кристаллах.

Выводы.

Глава 7. Термодинамика сплавов переходных металлов.

7.1.Расчет энергии переходных металлов и их сплавов.

7.2. Оценка прочности межатомной связи жаропрочных сплавов на никелевой основе.

7.3. Влияние легирования третьим компонентом на стабильность сплава на базе системы Ni-W.

7.4. Оценка стабильности жаропрочных волокнистых композиционных материалов.

7.5. Уравнение состояния ниобия.

Выводы.

Исследование энгармонизма колебаний кристаллической решетки и связанных с ним явлений представляет собой важную научную задачу. Именно энгармонизм решетки определяет поведение твердых тел при больших значениях термодинамических параметров, таких как давление и температура. Ангармонизмомом обусловлены различия между адиабатическими и изотермическими упругими постоянными второго порядка, их зависимость от температуры и давления. Нелинейные упругие свойства (упругие постоянные высшего порядка), поглощение звука решеткой - все это следствия энгармонизма колебаний кристаллической решетки.

Упругие постоянные - важнейшие характеристики твердого тела. Они являются расчетными парэметрэми в аналитическом аппарате физической теории деформации и разрушения твердого тела. Значения упругих постоянных третьего и более высокого порядка позволяют количественно описать поведение твердых тел в условиях конечных деформэций при высоких дэвлениях. Определение этих величин - вэжная научная и практическая задача.

Так как упругие постоянные второго и более высокого порядка, будучи вторыми, третьими и т.д. производными от полной энергии кристалла по деформэции, определяются в различных моделях кристаллической решетки через потенциалы межчэстичного взаимодействия и экспериментально могут быть измерены экустическими методами, то они служат удобным критерием прэвильности как самой модели решетки, тэк и сил связи между частицами, поскольку весьма чувствительны к тонким особенностям межатомных взаимодействий. Их изучение дает дополнительную информацию об этих особенностях.

Ангармонические эффекты важны при рэссмотрении явлений, связзнных с потерей устойчивости кристаллических решеток. Устойчивость кристаллической решетки относительно малых однородных деформаций характеризуется системой неравенств для упругих постоянных второго порядка, вытекающих из требования положительной определенности квадратичной части термодинамического потенциала кристалла. Эти неравенства могут нарушаться при изменении термодинамических параметров, задающих состояние кристалла. Вследствие этого произойдет переход в спонтанно деформированное состояние, устойчивость которого обеспечивается ангармоническими членами в разложении потенциала (такие переходы получили название деформационных). Поэтому важным является нахождение условий, накладываемых на упругие постоянные второго, третьего, и более высокого порядка, необходимых для реализации таких переходов.

Исследование поглощения звука кристаллической решеткой для широкого класса веществ позволяет получить ценную информацию о процессах фонон-фононного взаимодействия, оценить параметры ангармонизма, времена релаксации фононов.

Рассматриваемые в работе вопросы приобретают в настоящее время особую актуальность поскольку в последнее десятилетие исследования высоких давлений претерпели революцию, обусловленную прорывом в технологии ячеек с алмазными наковальнями. В лабораторных условиях могут быть получены статические давления в несколько сотен гигопаскалей при достаточно высокой точности измерения физических величин. Современная же техника экспериментов с ударными волнами позволяет создавать в исследуемых образцах отрицательные давления (растягивающие напряжения), достигающие десятков гигопаскалей. Это дает возможность изучать свойства твердых тел в области высоких давлений как положительных, так и отрицательных.

Целью работы является исследование нелинейных упругих характеристик и устойчивости кубических кристаллов под действием внешней нагрузки и связанных с этим вопросов. Объекты исследования: ковалентные и ионно-ковалентные кристаллы со структурой алмаза и цинковой обманки, щелочно-галоидные кристаллы со структурой хлорида натрия, простые и переходные металлы со структурой ОЦК и ГЦК и их сплавы.

В работе исследуются: устойчивость кристаллической решетки в условиях гидростатического давления и одноосной нагрузки; деформационные фазовые переходы, вызванные потерей устойчивости решетки по отношению к малым, но конечным однородным деформация; зависимость упругих постоянных второго порядка от температуры и поглощение звука за счет процессов фононной вязкости; упругие постоянные третьего и четвертого порядков и их изменение с температурой, а также упругие постоянные более высокого порядка; уравнение состояния и упругие постоянные второго и третьего порядков в области как положительных, так и отрицательных давлений; упругие постоянные второго и третьего порядков сплавов; фазовые равновесия в сплавах переходных металлов на основе никеля. Устойчивость кристаллической решетки кубических кристаллов под действием внешней нагрузки по отношению к однородным деформациям рассматривается с использованием термодинамического критерия устойчивости; при этом учитывается, что эти деформации являются конечными. Получены разложения термодинамического потенциала кристалла с кубической решеткой по компонентам лагранжева тензора конечных деформаций до четвертого порядка в условиях гидростатического давления и одноосного сжатия и найдены соответствующие критерии устойчивости.

В рамках феноменологической теории фазовых переходов рассмотрены переходы под действием внешней нагрузки, связанные с потерей устойчивости кристалла по отношению к малым, но конечным деформациям решетки, для которых деформация является параметром порядка (деформационные переходы) и получены условия, накладываемые на упругие постоянные высшего порядка, которые обеспечивают стабильность новой фазы и определяют характер перехода. Показано, что такие переходы могут быть переходами второго рода при выполнении определенных условий, накладываемых на упругие постоянные высших порядков. Проанализирована возможность таких переходов в кубических кристаллах, подвергнутых гидростатическому давлению. Необходимые для проведения оценок, связанных с возможной потерей устойчивости и деформационными переходами, упругие постоянные второго - шестого порядков для целого ряда ОЦК и ГЦК металлов рассчитаны с помощью потенциала Морзе.

В работе проведено теоретическое и экспериментальное исследование адиабатических упругих постоянных второго порядка в широком интервале температур, частотной и температурной зависимостей коэффициента поглощения продольных и поперечных ультразвуковых волн. В качестве объектов исследования выбраны полупроводники: ковалентные кристаллы четвертой группы (Si, Ge), частично ионные бинарные соединения А3В5 (GaAs, InSb) и А2Вб (HgSe). Возможность получения для этих веществ совершенных монокристаллов, малые концентрации и подвижность дефектов, возможность изменения в широких пределах концентрации носителей тока характеризуют их как удобный объект исследований общих закономерностей решеточной динамики идеальных кристаллов. Подбор веществ позволяет перекрыть область температур от Т«вр до Т>вр (где вртемпература Дебая).

Обычно при рассмотрении этих явлений пользуются простым приближением Грюнайзена (все колебательные моды одинаковым образом взаимодействуют со звуковой волной). Ниже показано, что в этом случае процессы фононной вязкости выпадают из рассмотрения. В настоящей работе температурная зависимость упругих постоянных и решеточное поглощение звука рассматриваются в квазигармоническом приближении с учетом реального взаимодействия тепловых фононов со звуковой волной. Коэффициент поглощения ультразвука за счет процессов фононной вязкости выражается через изменение с температурой адиабатических упругих постоянных второго порядка. Проведенный анализ полученных экспериментальных данных позволяет ответить на вопрос о том, как различные участки фононного спектра взаимодействуют с деформацией, каков вклад различных фононных мод в изменение упругих постоянных с температурой и поглощение звука, оценить времена релаксации фононов для нормальных процессов рассеяния.

В квазигармоническом приближении рассмотрены температурные зависимости адиабатических, изотермических и смешанных (адиабатически-изотермических) упругих постоянных третьего порядка, получены соотношения между этими величинами. Аналогичное рассмотрение проведено для температурной зависимости изотермических упругих постоянных четвертого порядка. Рассчитаны соответствующие изотермические упругие постоянные и константы ангармонизма различных порядков для шестнадцати щелочно-галоидных кристаллов со структурой хлорида натрия в модели жестких ионов. Эти данные использованы для оценки критических давлений.

В рамках модели псевдопотенциала предложен способ численного расчета браггеровских упругих постоянных различного порядка металлов и их сплавов. Предложенная методика выгодно отличается от существующих тем, что позволяет непосредственно получить браггеровские упругие постоянные. Возможности методики продемонстрированы на примере вычисления упругих постоянных второго-четвертого порядка натрия и калия. Рассчитаны уравнения состояния и вычислены упругие постоянные второго и третьего порядка Na, К, Rb и Cs в широком интервале как положительных, так и отрицательных давлений. Определены упругие постоянные второго и третьего порядка сплавов щелочных металлов (Csi.xKx, Rbi.xKx, Csi.xRbx и Na,xKs (0<х<1).

С помощью метода псевдопотенциала рассмотрены фазовые равновесия в сплавах переходных металлов на никелевой основе, которые используются в качестве жаропрочных материалов, с целью выработки рекомендаций по улучшению их эксплуатационных характеристик. Построено уравнение состояния ниобия в широком интервале давлений.

Большая часть полученных в настоящей работе результатов и выводов хорошо согласуется результатами более поздних работ (как теоретических так и экспериментальных) других авторов.

Материал работы изложен в семи главах. В первой - анализируется использование квазигармонического приближения для описания температурной зависимости упругих постоянных и решеточного поглощения звука за счет энгармонизма колебаний кристаллической решетки. Рассматриваются браггеровские упругие постоянные различных порядков и обсуждаются теоретические и экспериментальные результаты по упругим • постоянным высшего порядка кубических кристаллов. Обсуждаются также вопросы, связанные с устойчивостью кристаллической решетки и деформационными фазовыми переходами.

Во второй главе в квазигармоническом приближении рассматривается температурная зависимость упругих постоянных второго порядка с учетом процессов фононной вязкости. На основе полученных соотношений анализируются экспериментальные данные по температурной зависимости адиабатических упругих постоянных полупроводников четвертой группы, А3В5 и АгВе с целью выяснения роли различных фононных мод в изменении упругих постоянных с температурой.

Третья глава посвящена исследованию поглощения звука за счет процессов фононной вязкости. Получено соотношение, непосредственно связывающее коэффициент поглощения с температурной зависимостью адиабатических упругих постоянных. Экспериментальные данные по поглощению звука в полупроводниковых кристаллах четвертой группы, А3В5 и А2В6 с различным содержанием электрически активных примесей анализируются с использованием результатов по изменению адиабатических упругих постоянных второго порядка с температурой. На основе проведенного анализа делается вывод о характере взаимодействия ультразвуковой волны с различными участками фононного спектра. Обсуждается также влияние электрон-фононного взаимодействия на энгармонизм решетки.

В четвертой главе рассматриваются упругие постоянные третьего и четвертого порядков при конечных температурах. Анализируются соотношения между адиабатическими, изотермическими и смешанными упругими постоянными третьего порядка и их температурные зависимости, а также температурная зависимость изотермических упругих постоянных четвертого порядка. Численные расчеты проведены для щелочно-галоидных кристаллов.

В пятой главе рассматривается устойчивость кристаллической решетки под действием внешней нагрузки и термодинамика деформационных фазовых переходов. Рассчитаны упругие постоянные целого ряда ОЦК и ГЦК металлов до шестого порядка включительно и с их помощью анализируется возможность деформационных переходов.

Шестая глава посвящена расчету упругих постоянных высшего порядка металлов, а так же упругих постоянных сплавов методом псевдопотенциала. Численные расчеты выполнены для щелочных металлов в широком интервале давлений, а также для их сплавов.

В седьмой главе с использованием метода псевдопотенциала изучаются фазовые равновесия в переходных металлах и их сплавах с целью разработки жаропрочных материалов на основе никеля. Анализируется устойчивость волокнистых композиционных материалов (ВКМ) с вольфрамовыми волокнами и матрицами на никелевой основе. Проведен численный расчет уравнения состояния ниобия.

Основные результаты работы опубликованы:

1. Красильников О.М., Постников В.А. Устойчивость кристаллической решетки и деформационные фазовые переходы под давлением //ФТТ - 1979 - Т. 21, в.9 - С. 2599-2606.

2. Красильников 0:М. Температурная зависимость упругих постоянных третьего порядка//ФТТ- 1977-Т. 19, в.5-С. 1313-1321.

3 Красильников О.М., Постников В.А. Упругие постоянные четвертого порядка щелочно-галоидных кристаллов со структурой NaCl //ФТТ - 1977 - Т. 19, в. 12 - С. 3663-3671.

4. Красильников О.М., Данцева О.Я. Упругие постоянные высшего порядка ряда металлов со структурой ГЦК и ОЦК; Моск. ин-т Стали и сплавов-М. 1982 - 12с.-Деп. в ВИНИТИ 18.11.82,571 1.

5. Красильников О.М. Соотношения между компонентами лагранжева тензора конечных деформаций прямой и обратной решеток; Моск. ин-т Стали и сплавов - М., 1985 - 6 с - Деп. в ВИНИТИ 26.04.85, 2806.

6. Постников В.А., Красильников О.М. Упругие постоянные второго-четвертого порядков щелочных металлов: Моск. ин-т Стали и сплавов -М., 1987-9с.-Деп. в ВИНИТИ 6.03.87,1639.

7. Векилов Ю.Х., Кадышевич А.Е., Красилышков О.М. Роль продольных и поперечных фононов в температурной зависимости упругих постоянных и поглощении звука: Сб. Механизмы внутреннего трения в полупроводниковых и металлических материалах - С. 17-24 /Отв. Ред. Ф.Н.Тавадзе, В.С.Постников, Л.К.Гордиенко. - М., Наука, 1972 - 179 с.

8. Векилов Ю.Х., Кадышевич А.Е., Красильников О.М. Исследование энгармонизма кристаллической решетки ряда полупроводников по температурной зависимости упругих постоянных и решеточному поглощению звука: Сб. Химическая связь в кристаллах полупроводников и полуметаллов - С.209 - Минск, Наука и техника, 1973 9. Векилов Ю.Х., Кадышевич А.Е., Красильников О.М. Температурная зависимость упругих постоянных полупроводников //ФТТ - 1971 - Т. 13, в. 5 -С.1304-1309.

10. Векилов Ю.Х., Кадышевич А.Е., Красильников О.М. Поглощение звука в полупроводниках //ФТТ - 1971 - Т. 13, В.5 - С. 1310-1320.

11. Векилов Ю.Х., Красильников О.М., Лисовский 10.А. Соотношение между упругими постоянными при конечных температурах //ФТТ - 1972-Т. 14-С. 3078-3080.

12. Красилышков О.М., Векилов Ю.Х., Безбородова В.М., Юшин А.В. Упругие постоянные селенида ртути // Физика и техника полупроводников - 1970-Т. 4, в.11 - С. 2122-2127.

13. Бейлин В.М., Векилов Ю.Х., Красильников О.М Упругие постоянные сильно легированных n-Si и p-Ge. //ФТТ - 1970 - Т. 12, в.З - С. 684-689.

14. Красильников О.М., Векилов Ю.Х., Кадышевич А.Е. Поглощение продольных звуковых волн в полупроводниках // ФТТ - 1969 - Т. 11, в. 5 -С. 1200-1207.

15. Доронин И.В., Красильников О.М., Макаренко В.И., Трунин В.Ф. Расчетная и экспериментальная оценка стабильности вольфрамового волокна в никелевой матрице //Сб.: Материалы 6-ой Всесоюзной конференции по композиционным материалам (ДСП) - Т. 1, С. 70-71 -Ереван, 1987.

16. Авторское свидельство № 1248298. Сплав на основе никеля. /Доронин И.В., Макаренко В.И.,Трунин В.Ф., Красильников О.М., Пасынков А.А. и Волкова Е.В. //Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР 1 апреля 1986 г.

17. Доронин И.В., Красильников О.М., Антипов В.А., Рыбальченко М.М. Применение метода псевдопотенциала для оценки стабильности жаропрочных ВКМ //Сб.: Материалы 7-ого международного симпозиума о композиционных металлических материалах - С. 55-57, Высокие Татры, ЧСФР, 1990.

18 Красильников О.М. Моделирование межатомного взаимодействия в ниобии //Международная конференция по росту и физике кристаллов, посвященная памяти М.П. Шаскольской. Тез. докл. - Москва,1998 - С.136.

19. Красильников О.М., Доронин И.В., Трунин В.Ф.

Термодинамические расчеты никелевых сплавов с использованием модельного потенциала Анималу // Сборник научных трудов ЭПИ МИСИС - Электросталь, 2002 - С.88-92.

20. Красильников О.М., Доронин И.В., Трунин В.Ф. Математическое моделирование межатомного взаимодействия в жаропрочных сплавах на никелевой основе // Сборник научных трудов ЭПИ МИСИС -Электросталь, 2002 - С. 92-95.

21. Красильников О.М. Расчет упругих постоянных сплавов щелочных металлов //Сб. Материалы международной научно -практической конференции «Дни науки - 2005». Т. 38, Физика - С. 28-31. Днепропетровск, 2005.

22. Красильников О.М. Поглощение звука, обусловленное энгармонизмом колебаний решетки во втором порядке теории возмущений //Сб. Materials of international scientifically-practical conference "The Science: theory and practice". Vol. 28. Physics - P. 30-35. Publishing House "Education and Science", Prague, Dnepropetrovsk, Belgorod, 2005.

23. Красилышков O.M. Термодинамика сплавов переходных металлов //Сб. Materials of international scientifically-practical conference "The Science: theory and practice". Vol. 28. Physics - P. 24-29. Publishing House "Education and Science", Prague, Dnepropetrovsk, Belgorod, 2005.

24. Красильников O.M Уравнение состояния ниобия //Сб. научных трудов по материалам научно-практической конференции «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития». Т. 9. - С. 55 - 58. Издательство Черноморье, Одесса, 2005.

25. Красильников О.М. Поглощение звука за счет фононной вязкости во втором порядке теории возмущений; Моск. ин-т Стали и сплавов - М. 2006 - 9с. - Деп. в ВИНИТИ 31.01.06, № 107-В2006.

26. Красильников О.М. Упругие постоянные третьего порядка и фазовые переходы в кубических кристаллах; Моск. ин-т Стали и сплавов -М. 2006 - 9с. - Деп. в ВИНИТИ 20.03.06, № 288-В2006.

27. Доронин И.В., Красильников О.М., Трунин В.Ф. Расчетная и экспериментальная оценка стабильности вольфрамового волокна в никелевой матрице // III-я Евразийская научно - практическая конференция «Прочность неоднородных структур» ПРОСТ 2006: Тез докл. -Москва, 2006-С. 102.

28. Доронин И.В., Красильников О.М., Трунин И.Ф. Расчетная и экспериментальная оценка стабильности вольфрамового волокна в никелевой матрице // Деформация и разрушение материалов. - 2007. - №5

29. Красильников О.М. Термодинамика сплавов переходных металлов на основе никеля // Известия вузов. Черная металлургия - 2006 -№ 9 - С.40 - 43

30. Красилышков О.М. Упругие постоянные сплавов щелочных металлов // Известия вузов. Физика - 2006 - № 5 - С. 28 -33.

31. Красильников О.М. Устойчивость кристаллической решетки щелочных металлов при отрицательных давлениях: Сб. статей по материалам первой международной конференции «Деформация и разрушение материалов». ИМЕТ им. А.А. Байкова РАН Москва -2006. Т.1 -С. 194-196

32. Красильников О.М. Времена релаксации фононов в Si, Ge, GaAs, InSb и HgSe // Известия вузов. Материалы электронной техники. - 2006, №4 - С. 59 - 62

33. Красильников О.М. Уравнение состояния и упругие постоянные щелочных металлов при отрицательных давлениях // Физика металлов и металловедение - 2007. - Т. 107, №.3. - С. 317 - 321

Заключение

Проведено исследование устойчивости кристаллов с кубической решеткой в условиях гидростатического давления и одноосного сжатия. Изучены деформационные фазовые переходы, обусловленные неустойчивостью кристаллической решетки. Проведен большой объем вычислений нелинейных упругих характеристик материалов с кубической решеткой, исследованы зависимости упругих постоянных различных порядков от температуры и давления.

1. В квазигармоническом приближении получены выражения для адиабатических и изотермических упругих постоянных второго порядка при конечных температурах с учетом процессов фононной вязкости. Показано, что коэффициент поглощения звука, обусловленного фононной вязкостью (механизм Ахиезера), может быть выражен через изменение адиабатических упругих постоянных второго порядка с температурой.

2. Проведено экспериментальное исследование температурной зависимости адиабатических упругих постоянных в интервале 78^-550К и частотной и температурной зависимости коэффициента поглощения (интервал частот 20-Н70 МГц, интервал температур 78-К300К) в монокристаллах кремния, германия, арсенида галлия, антимонида индия и селенида ртути

3. Экспериментальные результаты проанализированы на основе полученных соотношений с учетом реальных законов дисперсии. Рассмотрено взаимодействие звуковой волны с низкочастотными и высокочастотными колебательными модами. Показано, что взаимодействие с акустическими продольными и поперечными низкочастотными модами не может объяснить наблюдаемое изменение упругих постоянных с температурой. Основной вклад в температурную зависимость упругих постоянных в исследованных веществах вносят акустические поперечные высокочастотные колебания. Таким образом, деформация, вызванная ультразвуковой волной, наиболее сильно изменяет частоты фононов, относящихся к высокочастотным акустическим поперечным модам. Этот вывод согласуется с опубликованными позднее результатами (теоретическими и экспериментальными) по определению коэффициентов Грюнайзена для различных фононных мод в кубических кристаллах.

4. Показано, что экспериментально наблюдаемое поглощение в чистых материалах определяется, в основном, механизмом фононной вязкости. Из соотношения между изменением адиабатических упругих постоянных с температурой и коэффициентом решеточного поглощения звука оценены времена релаксации и их изменение с температурой для затухания продольных и поперечных волн. Эти времена близки между собой и сравнимы с временами релаксации, найденными из теплопроводности.

С учетом реального спектра колебаний и дисперсии констант энгармонизма проанализирован вклад различных участков фононного спектра в поглощение звука. Найдено, что основной вклад в поглощение вносит взаимодействие звуковой волны с высокочастотными поперечными акустическими модами. Этот результат согласуется с выводом о преимущественной роли акустических высокочастотных ветвей спектра в температурной зависимости упругих постоянных.

Результаты, полученные в настоящей работе, хорошо согласуются с результатами более поздних работ других авторов, рассматривавших поглощение звука по механизму Ахиезера в кубических кристаллах и где , в частности, на основе анализа результатов по поглощению звука в хлориде калия с учетом реального спектра и дисперсии констант Грюнайзена делается вывод, что для согласия с экспериментом требуется учитывать взаимодействие звуковой волны с высокочастотными акустическими модами.

5. В квазигармоническом приближении с учетом процессов фононной вязкости получены выражения для адиабатических, изотермических и смешанных (адиабатически-изотермических) упругих постоянных третьего порядка при конечных температурах и найдены соотношения между этими величинами. Получено также выражение для изотермических упругих постоянных четвертого порядка. Рассчитаны статические упругие постоянные четвертого порядка для 16 щелочно-галоидных кристаллов со структурой Nad в рамках модели жестких ионов. Определены коэффициенты Грюнайзена Н4 порядков для этих веществ. Проведен анализ температурной зависимости адиабатических, изотермических и смешанных упругих постоянных третьего порядка и изотермических упругих постоянных четвертого порядка в интервале температур (Н600К на примере NaCl. С помощью полученных данных проведена оценка критических давлений.

6. Устойчивость кристаллов с кубической решеткой под действием внешней нагрузки рассмотрена с использованием термодинамического критерия устойчивости с учетом того, что деформации, по отношению к которым кристалл становится неустойчивым, являются конечными. Получены разложения термодинамического потенциала по компонентам лагранжева тензора конечных деформаций до четвертого порядка при гидростатическом давлении и одноосном сжатии. Найдены соответствующие условия устойчивости кубических кристаллов.

7. В рамках феноменологической теории фазовых переходов рассмотрены переходы в кубических кристаллах под действием внешней нагрузки, для которых деформация является параметром порядка (деформационные переходы). Проанализированы различные случаи потери устойчивости и получены условия, накладываемые на упругие постоянные третьего и четвертого порядков, выполнение которых обеспечивает стабильность новой фазы. Найдены соотношения для упругих постоянных высшего порядка, необходимые для реализации таких переходов как переходов второго рода. Вычислены равновесные значения деформации при таких переходах. Определены решетки Браве несимметричной фазы.

8. Вычислены статические упругие постоянные второго - шестого порядков 16 металлов со структурой ОЦК и ГЦК с использованием потенциала Морзе. С помощью найденных значений упругих постоянных для ГЦК металлов определены критические давления, соответствующие деформационным фазовым переходам. Проанализирована возможность деформационных переход в этих металлах.

9. Разработана методика расчета браггеровских упругих постоянных второго и более высокого порядка путем непосредственного нахождения производных от энергии кристалла по компонентам лагранжева тензора конечных деформаций с помощью полученных в работе соотношений между компонентами тензора конечных деформаций прямой и обратной решеток. В качестве примера вычислены упругие постоянные второго, третьего и четвертого порядка натрия и калия с использование модельного псевдопотенциала Краско-Гурского.

Аналогичный метод расчета упругих постоянных использован и для сплавов. Расчитаны упругих постоянных второго и третьего порядка сплавов C$\xKx,RblxKx,CslxRbx, NalxKx (0<.y<1)c использованием псевдопотенциала Краско-Гурского. Результаты расчета качественно согласуются с имеющимися экспериментальными данными по упругим постоянным сплавов.

Рассчитаны нулевые изотермы щелочных металлов и упругие постоянные второго и третьего порядков в области как положительных, так и отрицательных давлений (вплоть до спинодали). Проведен анализ механической устойчивости кристаллической решетки Na, К, Cs и Rb в области отрицательных давлений. Показано, что во всей этой области до самой спинодали решетка остается устойчивой. Найдено, что при больших положительных давлениях ОЦК решетка натрия становится неустойчивой относительно сдвиговых деформаций.

10. В рамках метода псевдопотенциала, объединенного с термодинамикой, рассмотрены фазовые равновесия в сплавах переходных металлов на основе никеля. Рассчитаны энергии связи систем Ni-Mo и Ni-W с целью использования их для разработки жаропрочных сплавов. Найдены энергии смешения тройных сплавов на базе системы Ni-W. Показана перспективность системы Ni-W - Со для получения теплоустойчивых материалов. Проанализирована устойчивость волокнистых композиционных материалов с вольфрамовыми волокнами и матрицами Ni-Cr и Ni-W. Показано, что растворимость волокон в матрице Ni-W должна быть существенно меньше, чем в матрице Ni-Cr. Результаты расчета использованы для создания сплава на основе никеля. Проведен численный расчет уравнения состояния ниобия в интервале 0-200 ГПа.

В процессе выполнения работы разработан комплекс программ по расчету термодинамических свойств металлов и сплавов, упругих постоянных. Создан большой массив данных по упругим постоянным различных порядков для широкого класса материалов с кубической решеткой. Часть этих данных включена в справочник по физическим свойствам кристаллов [245].

Отдельные результаты работы докладывались на:

1.Всесоюзном совещании по механизмам внутреннего трения в полупроводниковых и металлических материалах (Сухуми, 1970 г.).

2. IV Всесоюзной конференции по химической связи в полупроводниках и полуметаллах (Минск, 1971 г.).

3. X Международной акустической конференции «Ультразвук» (Прага, ЧССР, 1972 г.).

4. III конференции по применению ультразвуковых методов для исследования свойств конденсированной материи (Цилина, ЧССР, 1972 г.)

5. XX Международной акустической конференции «Ультразвук» (Прага, ЧССР, 1981 г.).

6. 25 конференции по акустике «Ультразвук 86» (Братислава, ЧССР, 1986 г.).

7. 6-ой Всесоюзной конференции по композиционным материалам (Ереван, 1987 г.).

8. 7-ом Международном симпозиуме о композиционных металлических материалах (Высокие Татры, ЧСФР, 1990 г.).

9. Международной конференции по росту и физике кристаллов, посвященной памяти М.П. Шаскольской (Москва, 1998 г.).

10. III - ей Евразийской научно - практической конференции «Прочность неоднородных структур», МИСиС, (Москва, 2006 г.).

11. Первой международной конференции «Деформация и разрушение материалов», ИМЕТ им. А.А. Байкова РАН (Москва, 2006 г.)

1. Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении: Пер. с англ. -М.: Мир, 1965.-383с.

2. Бетгер X. Принципы динамической теории решетки: Пер. с англ.- М.: Мир, 1986.-394с.

3. Кацнельсон М.И., Трефилов А.В. Динамика и термодинамика кристаллической решетки М.: ИздАТ, 2002 .- 382с.

4. Рейсленд Дж. Физика фононов: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. - 365с.

5. Плакида Н.М. Метод двухвременных функций Грина в теории ангармонического кристалла //Статистическая физика и квантовая теория поля /Под ред. Н.Н.Боголюбова.- М.: Наука, 1973. Т.75. - С. 205-240.

6. Базаров И.П. Статистическая теория кристаллического состояния М.: Изд-во Московского Университета, 1972. - 118с.

7. Базаров И.П., Николаев П.Н. Корреляционная теория кристалла М.: Изд-во Московского Университета, 1981. - 232с.

8. Вопросы статистической теории кристалла: Учебное пособие / В.И. Зубов М.: Университет дружбы народов им. П. Лумумбы, 1975. - 114с.

9. Barron Т.Н.К., Klein M.L. Perturbation theory of anharmonic crystals //Dynamical properties of solids /ed. by G.K.Horton and A.A.Maradudin-Amsterdam, New York- 1974, Vol.1. - P 391- 449.

10. Wallace D.C. Thermodynamics of crystals. New York, London, Sydney, Toronto, 1972.-479 p.

11. Лейбфрид Г., Людвиг В. Теория ангармонических эффектов в кристаллах: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1963. - 236с.

12. Wallace D.C. Thermoelastic theory of stressed crystals and higher-order elastic constants // Solid State Physics /ed by F.Seitz and D.Turnbull, Acad. Press, New York, London, - 1970 - Vol.25. - P.301- 404.

13. Chung D.Y., Li Y. Fourth-,fifth- and sixth-order elastic constants in crystals //Acta Cryst.- 1974. Vol. A30-P. 1-13.

14. Brugger K. Thermodynamic definition of higher order elastic constants //Phys. Rev. 1964. Vol. 133 - P. A1611 -A 1612.

15. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред: Пер. с англ.- М.: Мир, 1974.-318с.

16. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики -М.: Наука, 1979-640с.

17. Birch F. Finite elastic strain of cubic crystals // Phys. Rev. 1947. vol. 71 -P. 809-824. Hearmon R.F.S. Third-order elastic coefficients // Acta Cryst. -1953. Vol.6.-P.331- 340.

18. Нраньян A.A. Упругие постоянные высшего порядка // Физика твердого тела 1964. Т.6 - С.2124- 2131.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.Теория упругости. М.: Наука, 1965. - 202с.

20. Ludwig W. Recent development lattice theory //Springer tracts in modern physics /ed. by G. Hohler Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York -1967.-Vol. 43

21. Терстон P. Распространение волн в жидкостях и твердых телах.//Физическая акустика Т.1,ч.А: Пер. с англ./Под ред. Л.Д. Розенберга. -М.: Мир,1966.-С.13-139.

22. Maris H.J. Temperature and frequency dependence of the velocity sound in dielectric crystals// Phil. Mag. -1967. Vol.16, №140. -P.331-340.

23. Jex H. Dispersion relations on mode Gruneisen parameters in rubidium halides // Phys. Stat. Sol. (b) 1974. Vol.62. - P.393- 402.

24. Kress W. Calculation on phonon dispersion curves and mode Gruneisen parameters in Rbl // Phys. Stat. Sol.(b)-1974. Vol.62. P. 403- 416.

25. Kress W., Jex H. On the calculation of mode Gruneisen parameters in rubidium halides // Phys. Stat. Sol. (b) 1975. Vol.71. - P.577-583.

26. Blasko О., Ernst G., Quittner G., Kress W., Lechner R.E. Mode Gruneisen parameter dispersion relation of Rbl determine by neutron scattering. //Phys. Rev. В 1975. Vol. 11 - P.3960- 3965.

27. Srinivasan R., Lakshmi G., Ramachandran V. Mode Gruneisen parameters and thermal expansion of thallous bromide. //Journ. Phys. C: Solid State Phys. -1975. Vol.8 P.2897-2902.

28. Немошкаленко B.B., Мильман В.Ю., Жалко-Титаренко A.B., Антонов В.Н. Дифференциальные характеристики фононного спектра меди //Известия вузов. Физика 1987. - Т.ЗО, №5 - С. 109-110.

29. Бытенский Л.И., Логачев Ю.А. Тензор Грюнайзена и поглощение звука в щелочно-галоидных кристаллах. //Физика твердого тела 1975. Т. 17, в. 12-С. 3603- 3608.

30. Кучин В.А., Ульянов В.Л. Упругие и неупругие свойства кристаллов-М.: Энергоиздат, 1986,- 135 с.

31. Raunio G., Rolandson S. Lattice dynamics of Rbl at 80K //Phys. Stat. Sol. -1970. Vol.40-P.749-757.

32. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979,-527с.

33. Woodruf Т.О., Erenreich Н. Absorption of sound in insulators //Phys.Rev. -1961. Vol.123,№5-P. 1553- 1559.

34. Miller B.I. Temperature dependence of ultrasonic attenuation in germanium. //Phys. Rev. 1963. Vol.132, № 6 - P. 2477- 2483.

35. Mason W.P., Bateman T.B. Ultrasonic wave propagation in pure silicon and germanium // The Journal of the Acoustical Society of America - 1964. Vol.36, № 4 - P. 644- 652.

36. Mason W.P. Relation between thermal ultrasonic attenuation and third-order elastic moduli for waves along the <110> axis of a crystal //The Journal of the Acoustical Society of America. 1967. Vol.42, № 1 - P. 253-257.

37. Maris H.J. Ultrasonic attenuation in dirty dielectric crystals //Phys. Rev. -1968. Vol.175, №3-P. 1077- 1081.

38. Клеменс П. Влияние тепловых и фононных процессов на затухание ультразвука. //Физическая акустика T.III, ч.Б: Пер. с англ. Под ред. И.Л.Фабелинского М.: Мир, 1968 - С. 244- 284.

39. Мезон У. Влияние примесей и фононных процессов на затухание ультразвука в германии, кристаллическом кварце и кремнии.//Физическая акустика т.Ш, ч. Б: Пер. с англ. Под ред. И.Л. Фабелинского М.: Мир, 1968-С. 285-343.

40. Тиман Б.Л. К теории поглощения звука в диэлектриках. //Украинский Физический Журнал -1969. Т. 11, № 8 С. 1343- 1349.

41. Thurston R.N., Brugger К. Third-order elastic constants and velocity of small amplitude elastic waves in homogeneously stressed media //Phys. Rev. -1964. Vol.133-P. A1604-A1610.

42. Ghate P.B. Effect of hydrostatic pressure on the elastic behavior of cubic crystals. //Phys. Stat. Sol. -1966. Vol. 14 P. 325- 332.

43. Srinivasan R. Lattice theory of third-order elastic constants of nonprimitive, nonpiezoelectric lattices. //Phys. Rev. 1966. Vol.144 - P. 620- 628.

44. Blackman M. On the relation between the finite strain approach and the lattice theory of thermal expansion //Proc. Phys. Soc.-1964. Vol.84 P. 371378.

45. Нраньян A.A. Упругие постоянные третьего порядка кристаллов типа NaCl//Физика твердого тела 1963. Т.5, в. 1 - С. 177- 186.

46. Нраньян А.А. Упругие постоянные 3-го порядка кристаллов типа CsCI //Физика твердого тела 1963. Т.5, в.7 - С. 1865- 1868.

47. Нраньян А.А. Упругие постоянные 3-го порядка щелочно-галоидных кристаллов // Физика твердого тела 1965.Т.7, в.З - С. 917- 926.

48. Ghate Р.В. Third-order elastic constants of alkali halide crystals // Phys. Rev. -1965. Vol. 139, №5A -P. A1666- A1674.

49. Lincoln R.C., Koliwad K.M., Ghate P.B. Elastic constants of some NaCl type alkali halides //Phys. Stat. Sol. 1966. Vol.18. - P.263-277.

50. Нраньян А.А. Соотношения Коши для упругих постоянных третьего порядка // Физика твердого тела 1964. Т.6, в.З - С.785- 789.

51. Нраньян А.А. К теории конечных деформаций кубических кристаллов //Физика твердого тела -1964. Т.6, в.4 — С. 1213-1219.

52. Chang Z.P. Third order elastic constants of NaCl and KC1 single crystals //Phys. Rev. 1965. Vol. 140, №5A -P. A1788- A1799.

53. Drabble J.R., Strathen R.E.B. The third-order elastic constants of potassium chloride, sodium chloride and lithium fluoride // Proc. Phys. Soc. -1967. Vol. 92 -P. 1090-1095.

54. Chang Z.P., Barsch G.R. Nonlinear pressure dependence of elastic constants and fourth-order elastic constants of cesium halides. //Phys. Rev Letters 1967. Vol. 19, №24 - P.1381- 1382.

55. Swartz K.D. Anharmonicity in sodium chloride //Journal of the Acoustical Society of America -1967. Vol. 41, №4 P. 1083- 1092.

56. Chang Z.P., Barsch G.R. Pressure dependence of the elastic constants of RbCl, RbBr and Rbl. //Journ. Phys. Chem Sol. 1971. Vol.32 - P. 27-40.

57. Keating P.N. Theory of the third order elastic constants of diamond-like crystals //Phys. Rev. - 1966. Vol.149, № 2 - P.674- 678.

58. Srinivasan R. Lattice theory of third order elastic constants of germanium and silicon //Journ. Phys. Chem. Sol. 1967. Vol.28 - P.2385- 2396.

59. Gerlich D. Third-order elastic moduli of materials with zincblende structure //Proc. 6th Symp.Thermophys. Prop. Atlanta, 1973 -New York, -1973. P. 305312.

60. Jha'P.K., Talati M. Mechanical, elastic and anharmonic properties of zinc blende MgS compound //Phys. Stat. Sol. (b) 2003. Vol. 239 - P.291-296.

61. McSkimin H.J., Andreatch P. Jr. Measurement of third-order moduli of silicon and germanium. //Journ. Appl. Phys. 1964. Vol.35, № 11 - P.3312-3319.

62. Drabble J.R., Brammer A.J. The third-order elastic constants of indium antimonide//Proc. Phys.Soc. 1967. Vol. 91.-P. 959- 964.

63. McSkimin H.J., Jayaraman A., Andreatch P. Jr, Bateman T.B. Elastic voduli of gallium antimonide under pressure and evaluation of compression to 80 kbar //Journ. Appl. Phys. 1968. Vol. 39, № 9. - P. 4127-4128.

64. McSkimin H.J., Andreatch P.Jr. Third-order elastic moduli, of gallium arsenide //Journ. Appl. Phys. 1967. Vol. 38, № 6 - P. 2610-2611.

65. Yost W.T., Breazeale M.A. Ultrasonic nonlinearity parameters and third-order elastic con^tnnts of germanium between 300 and 77 K. //Phys. Rev. В -1974. Vol.9, № 2. -P.510-516.

66. Dunstan D.J., Bosher S.H. Reliable non-linear clastic constants //Phys.Stat.Sol. (b) 2003. Vol.335 - P.396-400.

67. Bagardus E.H. Temperature dependence of the pressure coefficient of elastic constants for NaCl. //Journ. Appl. Phys. 1965. Vol.36, № 11 - P. 3544- 3549.

68. Thomas J.F.,jr. Third-order elastic constants of A1 //Phys. Rev. 1968. Vol.175, №3.-P. 955-961.

69. Benckert S. A calculation of the second- and third-order elastic constants of aluminium. //Phys. Stat. Sol. (b) — 1971. Vol. 43.-P.681- 693.

70. Suzuki Т., Granato A.V., Thomas J.F.,jr. Second and third-order elastic constants of Alkali Metals //Phys. Rev. 1968. Vol. 175, № 3 - P.766 - 785.

71. Garber J.A., Granato A.V. Fourth-order elastic constants and the temperature dependence of second-order elastic constants in cubic materials.// Phys. Rev. В. 1975. Vol. 11, № 10. - P.3998- 4007.

72. Swartz K.D., Bensch W., Granato A.V. Second-, third-, and fourth-order elastic constants of p-brass.//Phys. Rev. B. 1975. Vol. 12, № 6 - P.2125 -2131.

73. Barsch G.R. Relation between third-order elastic constants of single crystals and polycrystals // Journ. Appl. Phys. 1968. Vol. 39, № 8 - P.3780- 3786.

74. Paul S. Effect of short-range three-body interaction on the third order elastic constants of alkali halides //Indian Journal of Pure and Applied Physics 1970. Vol. 8-P.307- 310.

75. Paul S. Many body interaction and Third-order elastic constants of alkali halides //Phys. Stat. Sol.- 1970. Vol. 37 P. kl37- kl40.

76. Martin J.W. Many-body forces in metals and the Brugger elastic constants //J. Phys. C: Solid State Phys., 1975. Vol.8 - P.2837-2857.

77. Martin J.W. Many-body forces in solids and the Brugger elastic constants:II Inner elastic constants //J. Phys. C: Solid State Phys., 1975. Vol.8 - P.2858-2868.

78. Martin J.W. Many-body forces in solids: Elastic constants of diamond-type crystals //J. Phys. C: Solid State Phys., 1975. Vol.8 - P.2869-2888.

79. Нраньян А.А. Адиабатическая и изотермическая конечные упругие деформации твердого тела.//Физика твердого тела 1965. Т.7, в.2 - С. 345 -350.

80. Barsch G.R. Adiabatic, isothermal, and intermediate pressure derivatives of the elastic constants for cubic symmetry I. Basic formula //Phys. Stat. Sol-1967. Vol. 19-P. 129- 138.

81. Chung D.H. The elastic constants of a cubic crystal subject to moderately high hydrostatic pressure //Journ. Phys. Chem. Sol. 1968. Vol.29 - P. 417422.

82. Barsch G.R., Chang Z.P. Adiabatic, isothermal and intermediate pressure derivative of the elastic constants for cubic symmetry. II. Numerical results for 25 materials //Phys. Stat. Sol. 1967. Vol. 19 - P. 139- 151.

83. Hollinger R.C., Barsch G.R. Higher order elastic constants of alkali halides //Journ. Phys. Chem. Sol. 1976. Vol.37- P. 845-855.

84. Нраньян A.A. Упругие постоянные высших порядков кубических кристаллов //Кристаллография 1967. Т. 12, в.6 - С. 1006- 1011.

85. Mohajeri М., Ratizaden Н.А. The nth-order elastic constants of centrosymmetric ionic solids //Physica -1974. Vol.78 P.291-301.

86. Markenscoff X. On the determination of the fourth-order elastic constants //Journ. Appl. Phys. 1967. Vol.48, № 9 - P. 3752- 3755.

87. Milstein F. Theoretical strength of a perfect crystal //Phys. Rev. В 1971. Vol. 3-P. 1130-1141.

88. Milstein F. Applicability of exponentially attractive and repulsive interatomic potential functions in the description of cubic crystals //Journ. Appl. Phys. 1973. Vol.44, № 9 - P.3825- 3832.

89. Milstein F. Theoretical strength of a perfect crystal with exponentially attractive and repulsive interatomic interaction // Journ. Appl. Phys. 1973. Vol. 44, № 9 - P.3833-3840.

90. Huang K.,Milstein F., Baldwin J.A. Theoretical strength of a perfect crystal in a state of simple shear//Phys. Rev. В -1974. Vol. 10, № 8 P. 3635- 3646.

91. Macmillan N.H., Kelly A. The mechanical properties of perfect crystals. I. The ideal strength // Proc. Roy. Soc. London (A) 1972. Vol.330 - P. 291-308.

92. Macmillan N.H., Kelly A. The mechanical properties of perfect crystals. II. The stability and mode of fracture of highly stressed ideal crystals// Proc. Roy. Soc. London (A) 1972. Vol.330 - P. 309- 317.

93. Hill R. On the elasticity and stability of perfect crystals at finite strain //Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1975. Vol.77 - P. 225-240.

94. Hill R., Milstein F. Principles of stability analysis of ideal crystals //Phys. Rev. В -1977. Vol. 15, № 6 P. 3087- 3096.

95. Хмельницкий Д.Е. О критических явлениях при деформационных фазовых переходах //Физика твердого тела 1974. Т. 16, в. 10 - С. 31883190.

96. Rehwald W. The study of structure phase transitions by means of ultrasonic experiments//Advances in Physics -1973. Vol.22, № 6 P. 721-755.

97. Половов В.М., Понятовский Е.Г. О термодинамике фазовых переходов ГЦТ-ГЦК в сплавах индия //Журнал экспериментальной и теоретической физики 1973. Т.64, в.З - С. 937-945

98. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика ч.1 М.: Наука, 1976-583 с.

99. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики -М.: Наука, 1979-640 с.

100. Гуфан Ю.М. Структурные фазовые переходы М.: Наука, 1982, -304с.

101. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов М.: Наука, 1984. - 246с. Брус А, Каули Р. Структурные фазовые переходы. Пер. с англ. Под ред. Н.М. Плакиды - М.; Мир, 1984 -408 с.

102. Cowley R.A. Acoustical phonon instabilities and structural phase transitions //Phys. Rev. В 1976. Vol. 13, № 11 - P. 4877- 4884.

103. Сахненко В.П., Таланов В.М. Деформационные фазовые переходы в кристаллах кубических классов. Деформация растяжения. //Физика твердого тела -1979. Т.21, в.8 С. 2435- 2444.

104. Сахненко В.П., Таланов В.М. Деформационные фазовые переходы в кристаллах кубических классов. Деформация сдвига. //Физика твердого тела 1980. Т.22, в.З - С. 785-792.

105. Векилов Ю.Х., Кадышевич А.Е., Красильников О.М. Температурная зависимость упругих постоянных полупроводников //Физика твердого тела 1971. Т.13, в.5 -С.1304-1309.

106. Гуревич B.JI. Кинетика фононных систем. М.: Наука, 1980 - 320 с.

107. Красильников О.М. Исследование энгармонизма кристаллической решетки полупроводников по температурной зависимости упругих постоянных и поглощению ультразвука: Дисс. . канд. физ.-мат. наук, -М, 1970-163 с.

108. Ю.Сорокин Б.П., Глушков Д.А., Александров К.С. К температурной зависимости упругих постоянных второго порядка кубических кристаллов //Физика твердого тела 1998. Т.41, в.2 - С.235-240.

109. Кадышевич А.Е., Бейлин В.М., Векилов Ю.Х., Красильников О.М., Поддьяков В.Н. Исследование влияния свободных носителей тока на упругие постоянные германия и кремния. //Физика твердого тела 1967. Т.9, в.7-С.1861- 1867.

110. Бейлин В.М., Векилов Ю.Х., Красильников О.М. Температурная зависимость упругих постоянных сильно легированного GaAs. //Физика твердого тела -1968. Т. 10, в. 10 С. 3101 - 3105.

111. Бейлин В.М., Векилов Ю.Х., Красильников О.М. Упругие постоянные сильно легированных n-Si и p-Ge //Физика твердого тела -1970. Т. 12, в.З -С. 684-689.

112. Красильников О.М., Векилов Ю.Х., Безбородова В.М., Юшин А.В. Упругие постоянные селенида ртути //Физика и техника полупроводников -1970. Т. 4, в. 11-С.2122-2127.

113. Жданова В.В., Конторова Т.А. Тепловое расширение легированного Ge. //Физика твердого тела 1965. Т.7 - С. 3331-; Новикова С.И. Влияние активных примесей на тепловое расширение кремния //Физика твердого тела- 1965. Т.7-С. 2493-2495

114. Baria J.K., Jani A.R. Comprehensive study of lattice mechanical properties of some FCC transition metals // Physica В 2003. Vol. 328 - P. 317 - 335

115. Векилов IO.X., Красильников O.M., Лисовский Ю.А. Соотношение между упругими постоянными при конечных температурах //Физика твердого тела 1972. Т. 14, в. 8 - С. 3078-3080.

116. Андерсен О. Определение и некоторые применения изотропных упругих постоянных поликристаллических систем, полученных из данных для монокристаллов.//Физическая акустика т.Ш, ч.Б: Пер. с англ. /Под ред. И.Л. Фабелинского-М.: Мир, 1968 -С. 62-121.

117. Красильников О.М., Векилов Ю.Х., Кадышевич А.Е. Поглощение продольных звуковых волн в полупроводниках //Физика твердого тела -1969. Т. 11, в.5 С. 1200-1207.

118. Векилов Ю.Х., Кадышевич А.Е., Красильников О.М. Поглощение звука в полупроводниках //Физика твердого тела 1971. Т.13, в.5 - С. 13101320.

119. Постников B.C. Релаксационные явления в твердых телах //Сб. Релаксационные явления в металлах и сплавах. Труды 3-й Всесоюзной научной конференции /Под ред. В.С.Постникова -М.: Металлургиздат, 1963 -С.15 -26

120. Зинер К. //Сб. Упругость и неупругость металлов /Под ред. С.В.Вонсовского-М.: Иностранная литература, 1954-С.48-68.

121. Бейлин В.М., Векилов Ю.Х., Красильников О.М. Температура Дебая сильнолегированных полупроводников //Физика и техника полупроводников -1969.Т.З, в.9 С. 1430-1431.

122. Weinreich G., Sanders Т.М., White H.G Acoustoelectric effect in n-type germanium //Phys. Rev. -1959. Vol.114. P.33-44

123. White D.L.// Journ. Appl. Phys. -1962. Vol.33. -P.3547-3556

124. Alper Т., Saunders G.A. Ultrasound absorption in mercury telluride //Phil. Mag. -1969 Vol.20. P.225-244

125. Hrivnak L., Kovar J. Absorption of ultrasound in indium antimonide //Phys. Stat. Sol. 1967. Vol.23, - P. 189-193

126. Herring C. Role of low-energy phonons in thermal conduction //Phys. Rev. -1954. Vol.95.-P.954-965

127. Holland M.G.//Semiconductors and semimetals /Ed. by R.K/Willardson, A.C.Beer, Acad. Press, New York,-London, 1966. Vol.2, ch.l

128. Brandari C.M., Verma G.S. //Phys. Rev.-1965. Vol. 149.-P. A2101

129. Логачев Ю.Л., Мойжес Б.Я. Поглощение звука в диэлектриках при любых Qr.//ФТТ-1973. Т. 15, в.1 -С.2888-2894

130. Логачев Ю.А., Мойжес Б.Я. К теории поглощения звука по Ахиезеру //ФТТ.-1974. Т. 16, в.8. С.2219-2223.

131. Логачев Ю.А., Юрьев М.С. Фонон-фононное рассеяние и решеточная теплопроводность при высоких температурах. //ФТТ 1972. Т. 14, в.11. -С.3336-3342.

132. Кулеев И.Г., Кулеев И.И. Механизм релаксации Ландау-Румера тепловых и высокочастотных фононов в кубических кристаллах германия, кремния и алмаза // Журнал экспериментальной и теоретической физики -2004. Т.126.--С. 129-141

133. Кулеев И.Г., Кулеев И.И. Механизм релаксации продольных фононов в кубических кристаллах германия, кремния и алмаза // Физика твердого тела 2005. Т.42, в.2 - С. 300 -310

134. Гуревич Л.Э., Шкловский Б.И. Поглощение ультразвука в диэлектрических кристаллах с большими концентрациями примесей //Журнал экспериментальной и теоретической физики 1967. Т.53. -С. 1726 - 1734

135. Логачев Ю.А. Различие в поглощении продольного и поперечного звука в примесных кристаллах. //Физика твердого тела 1973. Т. 15. - С. 3454-3455.

136. Bruner L.J., Keyes R.W. Electronic effect in the elastic constants of germanium //Phys. Rev. Lett. -1961. Vol.7. P. 55-56

137. Drabble J.R., Fendley J. The third order elastic constants of doped n-type germanium. //Journ. Phys. Chem. Sol. 1967. Vol.28. - P.669- 675

138. Бейлин B.M., Векилов Ю.Х., Кадышевич A.E., Красильников О.М. Упругие постоянные сильно легированного германия n-типа при температурах 300-500 К. //Физика твердого тела 1968. Т. 10, в.5. - С. 15501553.

139. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений М.: Наука, 1971.- 1108с.

140. Красильников О.М. Температурная зависимость упругих постоянных третьего порядка //Физики твердого тела 1977. Т. 19, в. 5 - С. 1313-1321.

141. Воробьев А.А. Механические и тепловые свойства щелочно-галоидных монокристаллов М.: Высшая школа, 1968 - 150 с.

142. GluyasM.//Brit. Journ. Appl. Phys.-1967.Vol. 18 -P.913-920

143. Varshney R.K., Shanker J. Temperature dependence of third-order elastic constants of NaCl-structure alkali halide crystals //Phys. Stat. Sol. (b) -1984.Vol. 122 P.65-72.

144. Красильников O.M., Постников B.A. Упругие постоянные четвертого порядка щелочно-галоидных кристаллов со структурой NaCl //Физика твердого тела- 1977. Т. 19, в. 12 С. 3663-3671.

145. Srivastava R., Misra R.M., Sharma M.N. Gruneisen function for cubic crystals//Journ. Phys. Soc. Japan 1982.Vol. 51, № 1-P. 134-137.

146. Mori S., Hiki Y. Calculation of the third- and fourth-order elastic constants of alkali halide crystals //Journ. Phys. Soc. Japan 1978. Vol. 45, №5, -p.l 449-1456.

147. Prasad O.H., Suryanarayua M. Fourth-order elastic constants Сцп, of cubic crystals //Phys. Stat. Sol. 1982. Vol. В112 - P. 627-631.

148. Добрецов А.И., Пересада Г.И. Зависимость констант упругости КС1 от давления//Физика твердого тела 1969. Т.11, в. 6 - С. 1728-1730.

149. Barsch G.R., Shull Н.Е. Pressure dependence of elastic constants and crystal stability of alkali halides: Nal and Kl //Phys. Stat. Sol. (b)- 1971.Vol. 43 P. 637-649.

150. Красильников O.M., Постников В.А. Устойчивость кристаллической решетки и деформационные фазовые переходы под давлением //Физика твердого тела 1979. - Т. 21, в.9 - С.2599-2606.

151. Wang J., Li Ju, Yip S., Phillpot S. Wolf D. Mechanical instabilities of homogeneous crystals // Phys. Rev В. 1995. Vol.52, № 17 - P. 12627 - 12635

152. Sin'ko G.V.,Smirnov N.A. Ab initio calculations of elastic constats and thermodynamic properties of bcc, fee and hep A1 crystals under pressure //J. Phys.: Condens. Matter. 2002. Vol.14 - P.6989 - 7005

153. Cohen J.A., Gordon R.G. Theory of lattice energy, equilibrium structure, elastic constants and pressure-induced phase transitions in alkali halide crystals //Phys.Rev. В 1975. Vol.12, № 8 - P. 3228-3241.

154. Herrera-Cabrera M.J., Rodriguez-Hernandez P., Munoz A. Theoretical study of elastic properties of III-P compounds //Phys. Stat. Sol. (b) 2001. Vol.223-P. 411-415.

155. Wang S.Q., Ye H.Q. First-principles study on elastic properties and phase stability of III-V compounds //Phys. Stat. Sol. (b) 2003. Vol.240 - P. 45-54.

156. Пикус Г.Л., Бир Г.Е. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках- М.: Наука, 1972 584с.

157. Красильников О.М., Данцева О.Я. Упругие постоянные высшего порядка ряда металлов со структурой ГЦК и ОЦК; Моск. ин-т Стали и сплавов М. 1982 - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.11.82, 5711

158. Rao R.R., Rajput A. Third-order elastic constants, thermal expansion and bulk modulus of body-centered cubic crystals //Phys. Stat. Sol. (b) 1979. Vol.94-P. 691-» i -»j ij

159. Pamuk И.О., Halicioglu T. Evaluation of Morse parameters for metals //Phys. Stat. Sol. (a) 1976. Vol.37 - P.695-699.

160. Тонков ЕЛО. Фазовые диаграммы элементов при высоком давлении -М.: Наука, 1979 192с. Фазовые превращения соединений при высоком давлении: Справочник: В 2х книгах-М.: Металлургия, 1988

161. Красильников О.М. Соотношения между компонентами лагранжева тензора конечных деформаций прямой и обратной решеток; Моск. ин-т Стали и сплавов М., 1985 -6 с. Деп. в ВИНИТИ 26.04.85, 2806.

162. Вайнштейн Б.К. Современная кристаллография: В 4-х т. М.:Наука, 1979. Т.1 -383 с.

163. Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов: Пер. с англ. М.: Мир, 1968-395с.

164. Wallace D.C. Pseudopotential calculation of the elastic constants of siple metals//Phys. Rev. 1969. Vol. 182, №3-P.778- 785.

165. Khana K.N., Sharma P.K. A model potential and its calculation //Phys. Stat. Sol. -1978. Vol. B88 P. 809-814.

166. Бровман Е.Г., Каган Ю.М. Фононы в непереходных металлах // Успехи физических наук -1974. Т. 112 С. 369-426.

167. Постников В.А., Красильников О.М. Упругие постоянные второго-четвертого порядков щелочных металлов; Моск. ин-т Стали и сплавов -М., 1987 9с. - Деп. в ВИНИТИ 6.03.87, 1639.

168. Бровман Е.Г., Каган Ю., Холас А. Свойства щелочных металлов //Физика твердого тела 1970. Т. 12, в.4 - С. 1001 -1013.

169. Зароченцев Е.В., Сафронов В.П., Трефилов Ф.В. Модули упругости третьего порядка щелочных металлов //Физика низких температур 1977. Т.З - С. 209- 216.

170. Краско Г.Л., Гурский З.Ф. Об одном модельном псевдопотенциале // Письма в ЖЭТФ -1969. Т.9 С. 596-601.

171. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала: Пер. с англ. /Под ред. В.Л. Бонч-Бруевича М.: Мир, 1973 - 557 с.

172. Гурский З.А., Краско Г.Л. Модельный псевдопотенциал и некоторые атомные свойства щелочных и щелочноземельных металлов//Доклады Академии Наук СССР- 1971. Т. 197, № 4 С. 810-814.

173. Young D.A., Ross М. Theoretical high-pressure equations of state and phase diagrams of the alkali metals //Phys. Rev. B-1984. Vol.29, №2 P. 682691.

174. Ястребов Л.И., Кацнельсоп А.А. Основы одноэлектронной теории твердого тела М.: Наука, 1981 - 320с.

175. Портной Л.И., Богданов В.И., Фукс Д.Л. Расчет взаимодействия и стабильности фаз. М.: Металлургия, 1981 - 248с.

176. Ayres R.A., Shannctte G.W., Stein D.F. Elastic constants of tungsten-renium alloys from 77 to 229 K. // Journ. Appl. Phys. 1975. - Vol.46,№4. -P.1526-1530.

177. Salama K., Alers G.A. The composition dependens of the third-order elastic constants of the Cu-Ni system. //Phys. Stat. Sol.(a) 1977. - Vol.41 -P.241-247.

178. Kanrar A., Ghosh U.S. The elastic stiffness coefficients of nickel-iron single-crystal alloys at room temperature. //Journ. Appl. Phys. 1981. Vol.52, №9-P. 5851-5852.

179. Anderson C.E., Brotzen F.R. Elastic constants of tantalum-tungsten alloys //Journ. Appl. Phys. -1982. Vol.53, № 1. P.292-297.

180. Hartley C.S. Single crystal elastic moduli of disordered cubic alloys // Acta Materialia 2003. Vol.51. - P. 1373 - 1391

181. Kart H.H., Tomak M., Uludogan M., Cagin T. Thermodynamical and mechanical properties of Pd Ag alloys // Computational Materials Science -2005. Vol.32-P. 107-117

182. Soma Т., Kimura Y.,Kagaya H.-M. Elastic -stiffness ccnstants under pressure of Cs-K, Cs-Rb and Rb-K solid solutions. //Phys. Stat. Sol. (b) 1982. Vol.111-P.679-683.

183. Андрусив И.И., Григорович Г.М., Илисавский Ю.В. и др. Упругие постоянные твердых растворов теллуридов цинка и кадмия //Физика твердого тела 1983. Т.25, в. 1 - С.252-254.

184. Shanker J, Jain G.D., Sharma S.K. Evaluatin of third-order elastic constants and pressure derivatives of second-order elastic constants for AgCl-AgBr mixed crystals//Phys. Stat. Sol. (b)- 1981 Vol.104 P. 75-80.

185. Bouarissa N., Kassai K. Mechanical properties and elastic constants of zinc-blende Ga,.xInxN alloys //Phys. Stat. Sol. (b) 2001. - Vol.228 - P.663-670.

186. Ухов В.Ф. и др. Межчастичное взаимодействие в жидких металлах/В.Ф.Ухов, Н.А.Ватолин, Б.Р.Гельчинский, В.П.Бескачко, О.А.Есин.-М.: Наука, 1979.-309с.

187. Крылов В.И. Вычислительные методы: В 2-х т. /В.И.Крылов, В.В.Бобков, П.И.Монастырский-М.: Наука, 1978. Т. 1 -301с.

188. Диаграммы состояния двойных металлических систем: Справочник: В 3-х т. /Под общей ред. ак. РАН Н.П. Лякишева. М.: Машиностроение, 1997-2001 - 1-3 т.

189. Разоренов С.В., Каннель Г.И., Фортов В.Е. Железо при больших отрицательных давлениях // Письма в ЖЭТФ. 2004. Т. 80. № 5. - С. 395-397.

190. Синько Г.В., Смирнов Н.А. Расчет из первых принципов уравнения состояния и упругих констант алюминия в области отрицательных давлений // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 75. № 4. - С. 217-219.

191. Синько Г.В., Смирнов Н.А. Аномальное поведение нулевой изотермы а -железа в области отрицательных давлений // Письма в ЖЭТФ. 2004. Т. 79. № п.-с. 665-669.

192. Безручко Г.С., Каннель Г.И., Разоренов С.В. Сжимаемость монокристаллов цинка в области положительных и отрицательных давлений // ТВТ. 2004. Т. 42. № 2. - С. 234-240.

193. Vaida S.N., Getting I.C., Kennedy G.C. The compression of the alkali metals to 45 kbar // J. Phys. Chem. Sol. 1971. Vol. 32. - P. 2545-2556.

194. Srinivasan R., Girirajan K.S. The equation of state and temperature variation of the second order elastic constants of sodium and potassium // J. Phys. F: Metal Phys. 1974. Vol. 4. № 7. - P.951-959.

195. Вакс В.Г., Кравчук С.П., Трефилов А.В. Уравнение состояния и объемная зависимость термодинамических свойств щелочных металлов // Физика твердого тела. 1977. Т. 19. - С. 1271-1278.

196. Katsnelson M.I., Sinko G.V., Smirnov N.A., Trefilov A.V., Khromov K.Yu. Structure, elastic moduli, and thermodynamics of sodium and potassium at ultrahigh pressures // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 61. № 21. -P. 14420-14424.

197. Brassington M.P., Saunders G.A. Cubic invariants in Landau theory applied to elastic phase transitions // Phys. Rev. Letters. 1982. Vol.48. №3. -P. 159-162.

198. Yamashita H., Tatsuzaki I. Anomalous dependence of third-order elastic constants in NH4C1 and NH4Br near the X point // Solid State Communication. -1984. Vol. 49. № 11. P. 1077 - 1079.

199. Animalu A.O.E. Electronic structure of transition metals. I. Quantumdefects and model potential. //Phys. Rev. B.-1973. Vol.8, № 8 P. 3542-3554.

200. Жовтапецкий М.И., Гурский З.А., Дутчак Я.И., Якибчук П.Н. Метод модельного псевдопотенциала в теории переходных металлов 11. Равновесные атомные свойства //Металлофизика 1983. Т.5, №3 - С. 1622.

201. Singh R.S., Gupta Н.С., Tripathi В.В. Phonon anomalies in niobium using a model potential approach //Journ. Phys. Soc. Japan 1982. Vol.51, №1. -P.lll-115.

202. Zunger A., Cohen M.L. Self-consistent pseudopotential calculation of the bulk properties of Mo and W //Phys. Rev. В 1979. - Vol. 19, №2 - P. 568-582.

203. Bylander D.M., Kleinman L. Self-consistent relativistic calculation of the energy band and cohesive energy of W //Phys. Rev. В 1984. Vol. 29, №4 -P.1534-1539.

204. Вайнштейн Б.К., Фридкин В.И., Инденбом B.Jl. Современная кристаллография Т.2 М.: Наука, 1979 - 355 с.

205. Таблицы спектральных линий /Зайдель A.M., Прокофьев В.К., Райский С.М., Славский В.А., Шрейдер Е.Я. М.: Наука, 1977 - 795 с.

206. Свойства элементов: Справочник /Под ред. М.Е. Дрица М., Металлургия, 1985-671с.

207. Винтайкин Е.З. Автреф. дис.д-ра физ.-мат. наук М., 1971 - 41 с.

208. Красильпиков О.М., Доронин И.В., Трунин В.Ф. Математическое моделирование межатомного взаимодействия в жаропрочных сплавах на никелевой основе //Сборник научных трудов ЭПИ МИСИС -Электросталь, 2002 С. 92-95.

209. Авторское свидетельство № 1248298. Сплав на основе никеля. /Доронин И.В., Макаренко В.И.,Трунин В.Ф., Красильников О.М., Пасынков А.А. и Волкова Е.В. //Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений СССР 1 апреля 1986 г.

210. Fu C.-L., Ho K.-M. First principles calculation of the equilibrium ground state properties of transition metals: Application to Nb and Mo // Phys. Rev. B.- 1983, Vol. 28, №10-P.5480-5486.

211. Красильников O.M., Доронин И.В., Трунин В.Ф. Термодинамические расчеты никелевых сплавов с использованием модельного потенциала Анималу // Сборник научных трудов ЭПИ МИСИС Электросталь, 2002 -С.88-92.

212. Вол А.Е. Строение и свойства двойных металлических систем, Т.2 -М.: Физматгиз, 1962-423с.

213. Шоршов М.Х., Антипов В.И., Доронин И.В. и др. Структура и свойства ВКМ жаропрочный сплав на никелевой основе, армированный волокнами вольфрама // Физика и химия обработки материалов - 1977, №2- С.130-132.

214. Красильников О.М. Моделирование межатомного взаимодействия в ниобии //Международная конференция по росту и физике кристаллов, посвященная памяти М.П. Шаскольской. Тез. докл. Москва, 1998 - С. 136.

215. Харрисон У. Теория межатомного взаимодействия в твердых телах.//Успехи физических наук 1972. Т. 102, №2 - С. 285- 301.

216. Walzer U. Effect of pressure on the niobium //Phys. Stat. Sol. (b) 1984. Vol.125.-P.55-64.

217. Харрисон У. Электронная структура и свойства твердых тел: Пер. с англ. /Под ред. Ж.И.Алферова. М.: Мир, 1983 - 332с.

218. Vaidya S.N., Kennedy G.C. Compressibility of 22 elemental solids to 45 kb // J. Phys. Chem. Solids 1972, Vol. 33 - P. 1377-1389.

219. Gololobov E.M., Mager E.L., Mezhevich Z.V., Pan L.K. Elastic properties and root-mean-square dynamic displacement of niobium atoms at high pressure. //Phys. Stat. Sol. (b) -1983. Vol.119. P. 139-140.

220. Красильников О.М. Расчет упругих постоянных сплавов щелочных металлов: Сб. Материалы международной научно-практической конференции «Дни науки- 2005». -Т.38. Физика. Днепропетровск. -2005. -С. 28 -31

221. Красильников О.М. Термодинамика сплавов переходных металлов: Сб. Materials of international scientifically-practical conference «The Science: theory and practice» 2005 Vol.28. Physics Publishing House «Education and Science» Prague - 2005 - P. 24-29

222. Красильников О.М.Поглощение звука за счет фононной вязкости во втором порядке теории возмущений; Моск. ин-т Стали и сплавов М., 2006 - 9с. Деп. в ВИНИТИ 31.01.06, №107-В2006

223. Красильников О.М. Упругие постоянные третьего порядка и фазовые переходы; Моск.ин-т Стали и сплавов М., 2006 - 9с. Деп. в ВИНИТИ 20.03.06, №288-В2006

224. Красильников О.М. Упругие постоянные сплавов щелочных металлов // Известия вузов. Физика. 2006. №5 - С. 28 - 33

225. Красильников О.М. Термодинамика сплавов переходных металлов на основе никеля // Известия вузов. Черная металлургия 2006. №9 -С. 40 -43

226. Доронин И.В., Красильников О.М., Трунин И.Ф. Расчетная и экспериментальная оценка стабильности вольфрамового волокна в никелевой матрице // Деформация и разрушение материалов. 2007. - №3

227. Красильников О.М. Времена релаксации фононов в Si, Ge, GaAs, InSb и HgSe // Известия вузов. Материалы электронной техники. 2006, №4 -С. 59-62

228. Красильников О.М. Устойчивость кристаллической решетки щелочных металлов при отрицательных давлениях: Сб. статей по материалам первой международной конференции «Деформация и разрушение материалов». ИМЕТ им.А.А.Байкова РАН Москва -2006. Т.1 -С. 194-196

229. Красильников О.М. Уравнение состояния и упругие постоянные щелочных металлов при отрицательных давлениях // Физика металлов и металловедение-2007. Т. 107, в.З -С. 317 - 321

230. Акустические кристаллы: Справочник /Блистанов А.А., Бондаренко B.C., Чкалова В.В. и др.; под ред. М.П. Шаскольской М.: Наука, 1982 -632с.