Аномальные размерности операторов Вильсона Твиста-2 в суперсимметричных теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Б.П. КОНСТАНТИНОВА

УДК 539.12.01 На правах рукописи

ВЕЛИЖАНИН Виталий Николаевич

АНОМАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ ОПЕРАТОРОВ ВИЛЬСОНА ТВИСТА-2 В СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЯХ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Гатчина 2004

Работа выполнена в Отделении теоретической физики Петербургского института ядерной физики им. Б.П.Константинова РАН.

Научные руководители: член-корр. РАН Л.Н. Липатов;

доктор физико-математических наук, профессор Д.И. Казаков.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.К. Лиходед;

доктор физико-математических наук, профессор B.C. Фадин.

Ведущая организация: Институт ядерных исследований РАН .

Защита диссертации состоится "_"_2004 г. в_часов на заседании диссертационного совета Д 002.115.01 при Петербургском институте ядерной физики им. Б.П.Константинова РАН по адресу: 188300, Ленинградская обл., Гатчина, Орлова Роща.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ПИЯФ РАН.

Автореферат разослан "_"_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

И.А. Митропольский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Квантовая хромодинамика (КХД) является хорошо подтверждённой на данный момент теорией сильных взаимодействий. Это перенормируемая неабелева калибровочная теория, основанная на цветовой группе Бис(3) и содержащая кварки и глюоны в качестве элементарных полей. Главная мотивация в пользу неабелевой калибровочной теории, имеющей асимптотическую свободу, происходит от партонной модели глубоко-неупругого рассеяния (ГНР), в соответствии с которой парто-ны (кварки) ведут себя как свободные частицы в жёстких, высокоэнер-гетичных соударениях.

Кварк-партонная модель даёт простую физическую картину скей-линга структурных функций, который был предсказан Бьёркеном и наблюдался в первых экспериментах по глубоко-неупругому рассеянию в SLAC, где была получена приближённая независимость структурных функций от переданного импульса. Модель основывается на утверждении, что протон (адрон) состоит из точечных невзаимодействующих центров рассеяния - партонов. Данное простое предположение позволило получить важные результаты, касающиеся внутренней структуры адронов и составляющих их элементарных частиц, которые были отождествлены с кварками и глюонами. Учёт взаимодействия между партонами ведёт к возможности изучения динамики сильных взаимодействий. Однако из-за не разрешённых до сих пор проблем связанных состояний невозможно предсказать измеряемые наблюдаемые из первых принципов. Стандартное приближение, которое преодолевает эти трудности, основано на теоремах о факторизации, позволяющих разделить для каждого процесса физику малых расстояний (пертурбативную или жёсткую) и физику больших расстояний (непертурбативную или мягкую). Мягкий вклад описывается значениями матричных элементов соответствующих операторов в обкладках между адронными состояниями, с применением соответствующих уравнений эволюции, дающих зависимость от масштаба (виртуальностей или энергий партонов). Этот вклад связан с непертурбативными эффектами и может быть найден из экспериментальных данных. В то же время, используя замечательное свойство асимптотической свободы (являющееся следствием неабелевой природы калибровочной группы), жёсткие процессы и эволюция мягких

вкладов могут быть систематически вычислены по теории возмущений. Успехи пертурбативной КХД в предсказании импульсной зависимости адронных наблюдаемых служат главным и наиболее важным аргументом в правильности теории.

Главную роль в факторизационных методах играют абсолютные и относительные значения жёстких масштабов, участвующих в процессе. В процессе ГНР виртуальность 0 переданного импульса является единственным жёстким масштабом. Для таких одномасштабных процессов пертурбативная КХД предсказывает эволюцию по 0 рассматриваемых величин, представляемых в виде ряда по степеням калибровочной константы связи а (О2). Естественное свойство этого класса явлений есть коллинеарная факторизация, при которой существенны только продольные (по отношению к налетающему адрону) степени свободы партонов на массовой поверхности. Поперечные степени свободы, специфические для асимптотически свободной КХД, дают логарифмические поправки 0. Эти большие логарифмы, которые необходимо учитывать во всех порядках теории возмущений, суммируются посредством уравнения Докшицера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Паризи (ДГЛАП) и ответственны за нарушение Бьёркеновского скейлинга, то есть за отклонения от чисто масштабного поведения, которое может быть получено при пренебрежении партон-партонным взаимодействием.

Другой подход, используемый для изучения калибровочных теорий при асимптотических энергиях, связан с так называемой теорией полюсов Редже и основан на достаточно общих предположениях о матрице рассеяния, таких как Лоренц-инвариантность, унитарность, причинность, аналитичность, кроссинг-симметрия и другие. Поведение амплитуды рассеяния при больших энергиях и фиксированных переданных импульсах полностью определяется сингулярностями ^канальных парциальных волн в комплексной плоскости углового момента. В канале с вакуумными квантовыми числами такая сингулярность, называемая помероном, возникает как связанное состояние двух реджезован-ных глюонов. На пертурбативном уровне большие логарифмы по энергиям были суммированы посредством уравнения Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (БФКЛ), предсказывающего при малых х степенной рост структурных функций. Дальнейшие исследования показали, что в главном логарифмическом приближении БФКЛ динамика обладает различными замечательными симметрийными свойствами, такими как Мёбиус-инвариантность померонной функции Грина, голоморфной

сепарабельностью БФКЛ гамильтониана, голоморфной факторизацией п-глюонной волновой функции при большом числе цветов Ы, дуальностью многоцветовой КХД, интегрируемостью при большом числе цветов, эквивалентностью с интегрируемой моделью Гейзенберга. Таким образом, различные симметрии позволяют получить дополнительную информацию о различных свойствах теории и её динамике.

Идея рассмотрения уравнений ДГЛАП и БФКЛ в суперсимметричных теориях (предполагающих симметрию между фермионами и бозонами) основывается на предположении о том, что наличие дополнительной высокой симметрии позволит существенно упростить структуру и анализ данных уравнений.

Суперсимметричные теории обладают различными интересными свойствами, такими как сокращение квадратичных расходимостей, неперенормируемость суперпотенциала и многие другие. N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса (СЯМ) является естественным и достаточно интересным пределом для КХД, результаты для которого могут быть получены из результатов КХД, если положить для операторов Казимира СА,СРТ следующие значения: С А = С¥ = Nc, Т/ = N/2. Возможность объединения в суперсимметричных теориях векторной частицы (глюона) и фермиона (глюино) в один супер-мультиплет позволяет построить так называемые мультипликативно-перенормируемые линейные комбинации квазипартонных операторов с аномальной размерностью, получаемой из универсальной функции со сдвинутым на целое число аргументом. Более того, суперконформная инвариантность позволяет установить связь между различными элементами матрицы аномальных размерностей или соответствующих им ядрам эволюции уравнения ДГЛАП. Данные соотношения служат важной проверкой результатов вычислений матриц аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в КХД и позволили впервые получить ядра эволюции с ненулевым переданным импульсом.

Расширенные N = 2 и N = 4 СЯМ, то есть теории, содержащие, кроме векторных частиц и фермионов, также скалярные частицы, обладают ещё более замечательными свойствами, самые интересные из которых это N = 4 дуальность Монтонена-Олива и N = 2 дуальность Зайберга-Виттена. Кроме того, в N = 4 СЯМ отсутствует перенормировка калибровочной константы, то есть теория является конформно-инвариантной. Оказалось, что именно в N = 4 СЯМ и только в ней структура ядер эволюции уравнений ДГЛАП и БФКЛ упрощается на-

столько, что становится возможным установить глубокую связь между двумя данными фундаментальными уравнениями, причём не только в лидирующем, но и в следующем после лидирующего порядке. А именно, сингулярности аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в ьплоскости могут быть получены из собственных значений ядра уравнения БФКЛ при его аналитическом продолжении. Более того, уравнение эволюции для матричных элементов квази-партонных операторов в многоцветовом пределе в лидирующем порядке эквивалентно уравнению Шрёдингера для интегрируемой спиновой модели Гейзенберга, аналогично упомянутому выше для уравнения БФКЛ.

Кроме того, в последнее время огромный интерес к максимально расширенной N = 4 СЯМ обусловлен открытием АдС/КТП соответствия - соответствия между классической теорией гравитации в пространстве (анти)де Ситтера и конформной теорией поля (К = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса). В частности, оказалось, что аномальные размерности операторов Вильсона, возникающие при операторном разложении процессов глубоко неупругого рассеяния, эволюция которых описывается уравнением ДГЛАП, имеют соответствие с различными струнными возбуждениями (например, вращательными) в теории суперструн (теории супергравитации). Для сравнения аномальных размерностей, полученных в этих двух различных пределах, результат вычислений в квантовой теории поля должен быть точным, то есть содержать все члены ряда теории возмущений.

Таким образом, изучение уравнений ДГЛАП и БФКЛ в суперсимметричных теориях служит не только для улучшения понимания свойств данных уравнений, но и для лучшего понимания структуры и динамики сильных взаимодействий как на пертурбативном уровне, так, возможно, и на непертурбативном, например, в контексте АдС/КТП соответствия.

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

Данная диссертационная работа имеет четыре цели.

1. Вычисление собственных значений матриц аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса (СЯМ) в следующем после лидирующего порядке.

2. Нахождение мультипликативно-перенормируемых Вильсоновских операторов твиста-2 для кинематики с ненулевым переданным импульсом в N = 1 суперсимметричной теории Весса-Зумино в следующем после лидирующего порядке и решение уравнения эволюции для амплитуд распределения в данной модели.

3. Нахождение универсальной аномальной размерности операторов Вильсона твиста-2 для кинематики с ненулевым переданным импульсом в N = 4 СЯМ в следующем после лидирующего порядке.

4. Исследование свойств трёхпетлевой аномальной размерности Вильсоновских операторов твиста-2 в N = 4 СЯМ.

Первое вычисление необходимо для нахождения универсальной аномальной размерности и подтверждения гипотезы о связи уравнений БФ-КЛ и ДГЛАП в N = 4 СЯМ. Второе и третье направлены на исследование свойств амплитуд распределения при ненулевом переданном импульсе с целью изучения связи уравнений БФКЛ и ДГЛАП в данной кинематике. Последнее необходимо для сравнения с предсказаниями, следующими из связи уравнений БФКЛ и ДГЛАП в N = 4 СЯМ, и получения результатов, важных для исследования АдС/КТП соответствия.

Применение гипотезы, подтверждённой прямыми вычислениями, позволило найти выражение для трёхпетлевой аномальной размерности Вильсоновских операторов твиста-2 и получить ряд важных результатов и предсказаний.

Для достижения этих целей были решены следующие задачи.

1. Вычислены матрицы аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 для рассеяния вперёд в N = 4 СЯМ в двухпетлевом приближении как в неполяризованном, так и в поляризованном случаях.

2. Вычислены аномальные размерности супермультиплета Вильсо-новских операторов и ядра эволюции амплитуд распределения в суперсимметричной модели Весса-Зумино и решены соответствующие уравнения эволюции. Для этого с помощью суперсимметричного тождества Уорда найдена связь между аномальными размерностями операторов, и, таким образом, решение матричных

уравнений для нескольких бозонных операторов сведено к решению уравнения для фермионного оператора. Показано, что знание результатов для одного из членов супермультиплета (фермионно-го оператора) достаточно для восстановления искомых результатов для всего супермультиплета.

3. Получено суперсимметричное тождество Уорда для супермульти-плета операторов Вильсона твиста-2 в N = 4 СЯМ и показано, что универсальная аномальная размерность для этих операторов может быть получена из уже известных результатов в КХД.

4. Получена трёхпетлевая аномальная размерность Вильсоновских операторов твиста-2 в N = 4 СЯМ из результатов вычислений в КХД. Найдено аналитическое продолжение полученного выражения на нефизические значения и в бесконечном пределе.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

1. Впервые вычислены аномальные размерности операторов Вильсона твиста-2 в следующем после лидирующего порядке в поляризованном и неполяризованном случаях для теорий, содержащих, помимо калибровочных и спинорных, также и скалярные поля. Установлено, что матрица аномальных размерностей для мультипликативно перенормируемых операторов в максимально расширенной N = 4 СЯМ имеет треугольный вид, а диагональные элементы в ней могут быть выражены через одну функцию со сдвинутым аргументом. Подтверждена гипотеза о том, что данная универсальная аномальная размерность может быть получена из уже известных результатов для КХД.

2. Впервые исследованы свойства скалярных конформных операторов в следующем после лидирующего порядке, входящих в су-пермультиплет операторов в суперсимметричной модели Весса-Зумино. Найден явный вид мультипликативно-перенормируемого фермионного (по квантовым числам) оператора и показано, что этого достаточно для получения аналогичных результатов для всех членов супермультиплета как для рассеяния вперёд, так и для кинематики с ненулевым переданным импульсом.

3. Получено суперсимметричное тождество Уорда, позволившее найти универсальную аномальную размерность конформных операторов в N = 4 СЯМ для кинематики с ненулевым переданным импульсом, используя уже известные результаты для КХД. Показано, что через данную универсальную аномальную размерность могут быть выражены упомянутые выше недиагональные элементы матриц аномальных размерностей для рассеяния вперёд. Кроме того, данное исследование служит первым шагом в изучении связи уравнений БФКЛ и ДГЛАП в кинематике с ненулевым переданным импульсом, с целью нахождения соответствующего ядра уравнения БФКЛ, необходимого для описания эксперимента.

4. На основании гипотезы о связи уравнений БФКЛ и ДГЛАП в N =4 СЯМ, потверждённой прямыми вычислениями в следующем после лидирующего порядке, впервые получена трёхпетле-вая универсальная аномальная размерность операторов Вильсона твиста-2 в данной модели. В пределе стремления Лоренцева спина оператора к бесконечности предложен универсальный метод суммирования, позволяющий связать области сильной и слабой связи в контексте АдС/КТП соответствия. Установлено, что некоторое частное значение универсальной аномальной размерности совпадает с аномальной размерностью оператора Кониши, что является важным подтверждением предполагаемой интегрируемости в максимально расширенной суперсимметрии и стимулирует дальнейшие исследования в этом направлении.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Демонстрация того, что собственные значения матриц аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 N = 4 в СЯМ могут быть выражены через одну функцию со сдвинутым аргументом, выражение для которой совпадает с полученным из связи уравнений БФКЛ и ДГЛАП в рассматриваемой модели. Подтверждение гипотезы о возможности получения данной универсальной аномальной размерности из известных результатов для КХД.

2. Установление достаточности знания явного вида мультипликативно-перенормируемого фермионного оператора и его аномаль-

ной размерности вместе со знанием суперсимметричного тождества Уорда для нахождения аналогичных результатов для всех конформных операторов - членов данного супермультиплета в суперсимметричной модели Весса-Зумино.

3. Установление с помощью суперсимметричного тождества Уорда связи между различными элементами матриц аномальных размерностей в следующем после лидирующего порядке в N = 4 СЯМ для кинематики с ненулевым переданным импульсом. Демонстрация того, что недиагональные элементы матриц аномальных размерностей для рассеяния вперёд могут быть выражены через полученную универсальную аномальную размерность.

4. Результат для трёхпетлевой универсальной аномальной размерности операторов Вильсона твиста-2 для рассеяния вперёд в N = 4 СЯМ. Демонстрация того, что полученное выражение согласуется с предсказаниями, полученными на основании гипотезы о связи уравнений БФКЛ и ДГЛАП в данной модели. Обнаружение совпадения результата для (j) при j = 4 с аномальной размерностью оператора Кониши. Вывод о том, что интерполяционная формула между сильной и слабой связью даёт хорошее согласие с результатами прямых вычислений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Результаты, изложенные в диссертации, неоднократно докладывались на Зимних школах ПИЯФ и семинарах Отделения теоретической физики ПИЯФ, а также были представлены на следующих международных научных конференциях:

♦ NATO Advanced Research Workshop on Diffraction 2002 (Alushta, Ukraine, 2002);

♦ Fifth International Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" SNMP-03 (Kiev, Ukraine, 2003);

♦ XI International Workshop on Deep Inelastic Scattering DIS-03 (St. Petersburg, Russia, 2003);

• 13-th International Seminar on High Energy Physics QUARKS-2004 (Pushkinskie Gory, Russia, 2004);

• XII International Workshop on Deep Inelastic Scattering DIS-04 (Strbske Pleso, Slovakia, 2004)

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из пяти глав, заключения, шести приложений и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 180 страницах и включает 27 рисунков и список литературы, состоящий из 166 ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I является введением. В ней обоснована актуальность темы. Даётся обзор литературы, посвященной современной общепринятой модели сильных взаимодействий - Квантовой хромодинамике и теоретическому описанию процессов глубоко неупругого рассеяния, являющихся главным источником информации о сильных взаимодействиях. Ставится цель и формулируются задачи диссертационной работы, даётся краткое содержание диссертации, характеристика научной новизны и практической ценности полученных результатов.

В главе II вычисляются матрицы аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 для рассеяния вперёд в N = 4 СЯМ в следующем после лидирующего порядке в поляризованном и неполяризо-ванном случаях. Наличие в расширенных суперсимметричных теориях скалярных полей требует специального рассмотрения.

Прежде всего получены общие формулы для неперенормированных матричных элементов Вильсоновских операторов в обкладках между различными партонными состояниями, выраженных через ренормгруп-повые коэффициенты. Данное разложение следует из свойства, что перенормированные матричные элементы должны удовлетворять уравнению Каллана-Симанзика. Показано, что в неполяризованном случае для матричного элемента глюонного оператора в обкладках скалярных состояний необходимо учитывать смешивание калибровочно-инвариант-ных и калибровочно-неинвариантных операторов. Найдены явные выражения для возникающих калибровочно-неинвариантных операторов и вычислены их матричные элементы в лидирующем порядке.

Предложен и реализован полностью компьютеризированный метод вычисления матричных элементов в лидирующем и следующем после лидирующего порядках. Получены все элементы матриц аномальных размерностей как в поляризованном, так и неполяризованном случаях. Найдены собственные значения матриц и показано, что все они могут быть выражены через одну функцию со сдвинутым аргументом. Тем самым подтверждена гипотеза, следующая из связи уравнений ДГЛАП и БФКЛ, о возможности получения универсальной аномальной размерности Вильсоновских операторов твиста-2 из уже известных результатов для КХД, окончательное двухпетлевое выражение для которой имеет вид

где Бк,1 = 5^/0") есть гармонические суммы

Рассматривается предел больших Лоренцевых спинов для полученных аномальных размерностей Вильсоновских операторов твиста-2 в контексте АдС/КТП соответствия. Предлагается метод суммирования для интерполяции между сильной и слабой связью, дающий достаточно хорошее совпадение с результатами явных вычислений. Полученное аналогичной интерполяцией значение интерсепта позволяет обосновать возможность интерпретации померона как гравитона в сильной связи.

В главе III рассмотрены свойства квазипартонных операторов в суперсимметричной модели Весса-Зумино. Вычислены аномальные размерности данных операторов и ядра эволюции связанных с этими операторами амплитуд распределения в следующем после лидирующего порядке. Вычисление данных величин для кинематики с ненулевым переданным импульсом является существенно более сложной задачей по сравнению с вычислениями для рассеяния вперёд. Синглетные ядра эволюции были вычислены эффективным методом, предложенным около двадцати лет назад, но применённым только в оригинальной работе для нахождения несинглетного ядра эволюции для волновой функции пиона в КХД. Разработанный позднее метод получения аномальных размерностей Вильсоновских операторов (связанных с ядрами эволюции преобразованием Меллина в базиса полиномов Гегенбауэра(Якоби)) с

использованием конформного тождества Уорда позволил найти ядра эволюции также и в синглетном канале в КХД. Найденные аналогичным способом аномальные размерности квазипартонных операторов в модели Весса-Зумино позволили убедиться в эквивалентности этих двух методов.

Кроме того, получено решение уравнения эволюции и найден явный вид мультипликативно-перенормируемого фермионного оператора в следующем после лидирующего порядке. С использованием суперсимметричного тождества Уорда показано, что знание результата для фер-мионного оператора достаточно для восстановления всех аналогичных результатов для остальных членов супермультиплета.

Заметим, что в последнее время отмечается большой интерес к эксклюзивным процессам в связи с увеличивающимися экспериментальными возможностями. Отработанная здесь методика позволяет провести явные вычисления ядер эволюции, результаты для которых в настоящий момент получены только косвенным путём с применением конформного тождества Уорда.

В главе ГУ получено выражение для универсальной аномальной размерности операторов Вильсона твиста-2 в N = 4 СЯМ в следующем после лидирующего порядке для кинематики с ненулевым переданным импульсом. Для этого выведено суперсимметричное тождество Уорда. Было показано, что так как в максимально расширенной суперсимметричной модели все квазипартонные операторы Вильсона твиста-2 входят в один супермультиплет, то с использованием только уже известных результатов для КХД можно найти универсальную аномальную размер -ность для кинематики с ненулевым переданным импульсом, имеющую следующий вид:

Таким образом было установлено, что если операторы Казимира СА, Ср и Т/ положить соответственно равными Са — Ст = ^ и Г^ = 2ЯС,

«п< N0(1)

X

, С1 + (~1У~к){2к + 1)(^гС7> - 5г(*0) (А-1)4(7'-*№' + * + !)

{К^г)"2511и ~к)~ Ч^т)] ~1)4+(к~ 1)4)+

+ 2(7 - 1)45x0') + 2(к - 1)4ад }. (3)

+

где N0 число цветов калибровочной группы 5'{7(Л/С)эи использовать суперсимметричное тождество Уорда и некоторые дополнительные аргументы, то в данной модели представляется возможным получить выражения для универсальной аномальной размерности непосредственно из уже известных результатов для КХД как для рассеяния вперёд (1), так и для кинематики с ненулевым переданным импульсом (3).

В главе V выводится трёхпетлевая универсальная аномальная размерность Вильсоновских операторов в N = 4 СЯМ. При её выводе используется недавно опубликованный результат для трёхпетлевой несин-глетной аномальной размерности в КХД и результаты, полученные в предыдущих главах, и рассматриваются различные пределы полученного выражения. Для этого были получены формулы аналитического продолжения всех гармонических, сумм, аналогичных (2).

Таким образом при ] \ было получено следующее выражение:

7^(1 + о») = 32Сз ^ - 232 <4 £ - 11200, + ЗббСзСа + О (о;1), (4)

совпадающее с результатами, следующими из БФКЛ вычислений.

В пределе было получено следующее выражение:

и коэффициент при ку в (5) согласуется с полученным из интерполяционного уравнения с точностью ~10%, что указывает на правильность предложенного метода интерполяции между сильной и слабой связью.

При грёхпетлевая универсальная размерность равна

что в точности совпадает с результатом для аномальной размерности оператора Кониши в N = 4 СЯМ.

Заключение содержит основные результаты диссертации, а также сведения, касающиеся апробации данной работы.

В Приложении А приведены правила Фейнмана для N = 4 СЯМ, необходимые для вычислений в Главе II.

В Приложении Б представлены двухпетлевые диаграммы Фейнмана, вычисление которых производилось в Главе II.

В Приложении В приведены результаты вычислений однопетлевых матричных элементов, необходимые для нахождения аномальных размерностей в следующем после лидирующего порядке в Главе II.

В Приложении Г приведены результаты вычислений ядер эволюции и аномальных размерностей Вильсоновских операторов твиста-2 в суперсимметричной модели Весса-Зумино, рассматриваемых в Главе III.

В Приложении Д даётся вывод конформного тождества Уорда фер-мионного (по квантовым числам) оператора в суперсимметричной модели Весса-Зумино для кинематики с ненулевым переданным импульсом, рассматриваемого в Главе III.

В Приложении Е представлены формулы аналитического продолжения для гармонических сумм, необходимые для соответствующих вычислений в Главе V.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Вычислены матрицы аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 для рассеяния вперёд в следующем после лидирующего порядке в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса в поляризованном и неполяризованном случаях. Установлено, что их собственные значения могут быть выражены через одну и ту же универсальную аномальную размерность со сдвинутым аргументом. Явное выражение для последней полностью совпало с предсказаниями, основанными на связи уравнений БФКЛ и ДГЛАП, и служит подтверждением метода получения универсальной аномальной размерности в N= 4 СЯМ из результатов КХД.

2. Найден явный вид мультипликативно перенормируемого ферми-онного (по квантовым числам) оператора Вильсона твиста-2 в кинематике с ненулевым переданным импульсом в N = 1 суперсимметричной модели Весса-Зумино в следующем после лидирующего порядке, позволяющим найти соответствующие решения для всех бозонных операторов, а также полностью восстановить матрицу аномальных размерностей этих операторов для рассеяния вперёд.

3. Получена универсальная аномальная размерность Вильсоновских операторов твиста-2 в кинематике с ненулевым переданным импульсом в следующем после лидирующего порядке в N= 4 СЯМ,

через которую могут быть выражены все недиагональные элементы матриц аномальных размерностей для рассеяния вперёд, вычисленные в первом пункте. Установлено, что с использованием суперсимметричного тождества Уорда этот результат может быть получен из известных КХД результатов без необходимости каких-либо дополнительных вычислений.

4. Найдена трёхпетлевая универсальная аномальная размерность операторов Вильсона твиста-2 для рассеяния вперёд в N = 4 СЯМ. Полученный результат подтвердил предсказания теории БФКЛ при j 1 и отсутствие дваждылогарифмических членов при для нечётных

5. Рассмотрен предел j —► оо для всех вышеперечисленных результатов, дающий хорошее согласие с предсказаниями, основанными на АдС/КТП соответствии. Кроме того, результат для 7un»C?) ПРИ

в точности совпал с результатом работы, основанным на предположении об интегрируемости B N = 4 СЯМ.

Основные научные результаты работы получены впервые и при определяющем вкладе автора.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. A.V. Kotikov, L.N. Lipatov and V.N. Velizhanin. Anomalous dimensions of Wilson operators in N = 4 SYM theory. Phys. Lett. В 557 (2003) pp. 114-120.

2. A.I. Onishchenko and V.N. Velizhanin. Anomalous dimensions of twist-2 conformal operators in supersymmetric Wess-Zumino model. Preprint WSU-HEP-0309, Wayne (2003) 37 pp.

3. A.I. Onishchenko and V.N. Velizhanin. Nonforward anomalous dimensions of Wilson operators in N = 4 super-Yang-Mills theory. JHEP 0402 (2004) pp. 036:1-17.

4. A.V. Kotikov, L.N. Lipatov, A.I. Onishchenko and V.N. Velizhanin. Three-loop universal anomalous dimension of the Wilson operators in M = 4 SUSY Yang-Mills model. Phys. Lett. В 595 (2004) pp. 521-529.

Отпечатано в типографии ПИЯФ РАН

188300, Гатчина Ленинградской обл., Орлова роща Зак. 376, тир. 100, уч-изд. л. 1; 2.11.2004 г.

123073

Глава I Введение

1.1 Уравнения эволюции в КХД.

1.1.1 Уравнение ДГЛАП.И

1.1.2 Уравнение ЕР-БЛ.

1.1.3 Уравнение БФКЛ.

1.2 Связь между уравнениями БФКЛ и ДГЛАП в N ~ 4 суперсимметричщ ной теории Янга-Миллса.

Глава II Аномальные размерности операторов Вильсона твиста-2 для рассеяния вперёд в N = 4 СЯМ

2.1 N = 4 суперсимметричная теории Янга-Миллса.

2.2 Вычисление двухпетлевых матричных элементов операторов Вильсона твиста-2.

2.2.1 Неполяризованный случай.

2.2.2 Поляризованный случай.

2.3 АдС/КТП соответствие.

Глава III Ядра эволюции и аномальные размерности операторов Вильсона в J\f = 1 суперсимметричной модели Весса-Зумино

3.1 Модель Весса-Зумино.

3.1.1 Бозонные операторы

3.1.2 Фермионный оператор

3.2 Конформное Тождество Уорда.

3.2.1 Бозонный операторы.

9 3.2.2 Фермионный оператор

3.3 Суперсимметричное тождество Уорда.

3.4 Решение уравнения эволюции в следующем после лидирующего приближении

Глава IV Аномальные размерности операторов Вильсона при ненулевом переданном импульсе в N — 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса

4.1 Конформные операторы твиста-2 в ЛГ = 4 СЯМ.

4.2 Суперсимметричное тождество Уорда.

4.3 Универсальная аномальная размерность в N = 4 СЯМ

Глава V Трёхпетлевая аномальная размерность операторов Вильсона ъ N = 4 СЯМ

5.1 Нахождение собственных значений матрицы аномальных размерностей ъ Я - 4 СЯМ.

5.2 Трёхпетлевые поправки к универсальной аномальной размерности

5.2.1 Предрл j —> оо.

5.2.2 Предел j -* 1.

5.2.3 Предел j -» -1 - г, г > 0.

5.3 Предел j —* оо и АдС/КТП соответствие.

5.4 Оператор дилатаций в N — 4 СЯМ и интегрируемость.

Квантовая хромодинамика (КХД), открытая Гелл-Манном, Фритцшем и Лейтвил-лером [1], является хорошо подтверждённой на данный момент микроскопической теорией сильных взаимодействий. Это перенормируемая неабелева калибровочная теория [2] основанная на цветовой группе SUc(3) и содержащая кварки и глюоны в качестве элементарных полей. Главная мотивация в пользу неабелевой калибровочной теории, имеющей асимптотическую свободу, происходит от партонной модели глубоко-неупругого рассеяния (ГНР), в соответствии с которой партоны (кварки) ведут себя как свободные частицы в жёстких, высокоэнергетичных соударениях.

Кварк-партонная модель Бьёркена и Фейнмана (3, 4) даёт простую физическую ф картину скейлинга структурных функций, который был предсказан Бьёркеным [3] инаблюдался в первых экспериментах по глубоко-неупругому рассеянию в SLAC, где была получена приближённая независимость структурных функций от переданного импульса. Модель основывается на утверждении, что протон (адрон) состоит из точечных невзаимодействующих центров рассеяния - партонов. Данное простое предположение позволило получить важные результаты, касающиеся внутренней структу-^ ры адронов и составляющих их элементарных частиц, которые были отождествленыс кварками и глюонами. Учёт взаимодействия между партонами ведёт к возможности изучения динамики сильных взаимодействий. Однако из-за неразрешённых до сих пор проблем связанных состояний, невозможно предсказать измеряемые наблюдаемые из первых принципов. Стандартное приближение, которое преодолевает эти трудности основано на теоремах о факторизации, которые позволяют разделить для каждого процесса физику малых расстояний (пертурбативную или жёсткую) и физику больших расстояний (непертурбативную или мягкую). Мягкий вклад описывается значениями матричных элементов соответствующих операторов в обкладках между адронными состояниями, с применением соответствующих уравнений эволюции, которые дают их зависимость от масштаба (виртуальностей или энергий партонов). Этот вклад связан с непертурбативными эффектами и может быть найден из экспериментальных данных. В то же время, используя замечательное свойство асимптотической свободы (являющимся следствием неабелевой природы калибровочной группы), жёсткие процессы и эволюция мягких вкладов могут быть систематически вычислены по теории возмущений. Успехи пертурбативной КХД в предсказании импульсной зависимости адронных наблюдаемых служат главным и наиболее важным аргументом в правильности теории.

Главную роль в факторизационных методах играют абсолютные и относительные значения жёстких масштабов, участвующих в процессе. В процессе ГНР виртуальность Q2 переданного импульса является единственным жёстким масштабом (энергия в лабораторной системе имеет тот же самый порядок величины). Для таких одно-масштабных процессов пертурбативная КХД предсказывает эволюцию по Q2 рассматриваемых величин представляемых в виде ряда по степеням калибровочной константы связи as(Q2). Естественное свойство этого класса явлений есть коллине-арная факторизация, при которой существенны только продольные (по отношению к налетающему адрону) степени свободы партонов на массовой поверхности. Поперечные степени свободы, специфические для асимптотически свободной КХД, дают логарифмические поправки Q2. Эти большие логарифмы, которые необходимо учитывать во всех порядках теории возмущений, суммируются посредством уравнения Докшицера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Паризи (ДГЛАП) [5, б, 7, 8, 9| и ответственны за нарушение Бьёркеовского скейлинга, то есть за отклонения от чисто масштабного поведения, которое может быть получено при пренебрежении партон-партонным взаимодействием.

Другой подход используемый для изучения калибровочных теорий при асимптотических энергиях, связан с так называемой теорией полюсов Редже [10], и основан на достаточно общих предположениях о матрице рассеяния, таких как Лоренц-инвариантность, унитарность, причинность, аналитичность, кроссинг-симметрия и другие. Поведение амплитуды рассеяния при больших энергиях и фиксированных переданных импульсах полностью определяется сингулярностями £-канальных парциальных волн в комплексной плоскости углового момента [10). В канале с вакуумными квантовыми числами такая сингулярность, называемая помероном, возникает как связанное состояние двух реджезованных глюонов. На пертурбативном уровне большие логарифмы по энергиям были суммированы посредством уравнения Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (БФКЛ) [11, 12, 13, 14, 15, 1б[, предсказывающим при малых х степенной рост структурных функций. Дальнейшие исследования показали, что в главном логарифмическом приближении БФКЛ динамика обладает различными замечательными симметрийными свойствами, такими как Мёбиус-инвариантность померонной функции Грина [17], голоморфной сепарабельностью БФКЛ гамильтониана [18|, голоморфной факторизацией n-глюонной волновой функции при больших числе цветов Nc [18], дуальностью многоцветовой КХД [19], интегрируемостью при большом числе цветов [20], эквивалентностью с интегрируемой моделью Гейзенберга [21, 22]. Таким образом, различные симметрии позволяют получить дополнительную информацию о различных свойствах теории и её динамике.

Идея рассмотрения уравнений ДГЛАП и БФКЛ в суперсимметричных теориях (предполагающих симметрию между фермионами и бозонами [23, 24, 25]) основывается на предположении о том, что наличие дополнительной высокой симметрии позволит существенно упростить структуру и анализ данных уравнений.

Суперсимметричные теории обладают различными интересными свойствами, такими как сокращение квадратичных расходимостей, неперенормируемость суперпотенциала и многие другие. N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса (СЯМ) является естественной и достаточно интересной моделью для КХД, результаты для которой могут получены из результатов КХД если положить для операторов Казимиров Ca,Cf,Tj следующие значения С а = Cf — АГС, Т/ = Nc/2. Возможность объединения в суперсимметричных теориях векторной частицы (глюона) и фермиона (глюи-но) в один супермультиплет позволяет построить так называемые мультипликативно-перенормируемые линейные комбинации квазипартонных операторов с аномальной размерностью, получаемой из универсальной функции со сдвинутым на целое число аргументом [26, 27]. Более того, суперконформная инвариантность позволяет установить связь между различными элементами матрицы аномальных размерностей или соответствующих им ядрам эволюции уравнения ДГЛАП [26, 27, 28, 29, 30|. Данные соотношения служат важной проверкой результатов вычислений матриц аномальных размерностей операторов твиста-2 в КХД [9, 31], и позволили впервые получитьядра эволюции с ненулевым переданным импульсом [32, 33] (подробнее в Главах III и IV).

1. Fritzsch Н., Gell-Mann М., Leutwyler Я. Advantages of the color octet gluon picture // Phys. Lett. - 1973. - Vol. B47. - Pp. 365-368.

2. Yang C.-N., Mills R. L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance // Phys. Rev. — 1954. — Vol. 96. Pp. 191-195.3J Bjorken J. D. Asymptotic sum rules at infinite momentum /j Phys. Rev. — 1969. — Vol. 179. — Pp. 1547-1553.

3. Feynman R. P. Very high-energy collisions of hadrons // Phys. Rev. Lett. — 1969. — Vol. 23. Pp. 1415-1417.

4. Altarelli G., Parisi G. Asymptotic freedom in parton language If Nucl. Phys. — 1977. Vol. B126. - Pp. 298-318.

5. Dokshitzer Y. L. Calculation of the structure functions for deep inelastic scattering and e+ e- annihilation by perturbation theory in Quantum Chromodynamics // Sov. Phys. JETP. 1977. - Vol. 46. - Pp. 641-653.

6. Regge T. Bound states, shadow states and Mandelstam representation j I Nuovo ш Cim. 1960. - Vol. 18. - Pp. 947-956.

7. Lipatov L. N. Reggeization of the vector meson and the vacuum singularity in gauge theories // Sov. J. Nucl. Phys. 1976. - Vol. 23. — Pp. 338-345.

8. Fadin V. S., Kuraev E. A., Lipatov L. N. On the Pomeranchuk singularity in asymptotically free theories // Phys. Lett. — 1975. — Vol. B60. — Pp. 50-52.

9. Kuraev E. A., Lipatov L. N., Fadin V. S. Multi reggeon processes in the Yang-Millstheory // Sov. Phys. JETP. 1976. - Vol. 44. - Pp. 443-450.

10. Kuraev E. A., Lipatov L. N., Fadin V. S. The Pomeranchuk singularity in nonabelian gauge theorie // Sov. Phys. JETP. 1977. - Vol. 45. - Pp. 199-204.

11. Balitsky I. I., Lipatov L. N. The Pomeranchuk singularity in Quantum ^ Chromodynamics // Sov. J. Nucl. Phys. 1978. - Vol. 28. - Pp. 822-829.

12. Balitsky I. I., Lipatov L. N. Calculation of meson meson interaction cross-section in Quantum Chromodynamics // JETP Lett. 1979. — Vol. 30. - Pp. 355-358.

13. Lipatov L. N. The bare Pomeron in Quantum Chromodynamics // Sov. Phys. JETP. 1986. - Vol. 63. - Pp. 904-912.18J Lipatov L. N. Pomeron and odderon in QCD and a two-dimensional conformal field theory // Phys. Lett. 1990. - Vol. B251. - Pp. 284-287.

14. Lipatov L. N. Duality symmetry of Reggeon interactions in multicolour QCD // Nucl. Phys. 1999. - Vol. B548. - Pp. 328-362.

15. Lipatov L. N. High-energy asymptotics of multicolor QCD and exactly solvable lattice models // Padue preprint. 1993. - Vol. DFPD/93/TH/70. - Pp. 6.

16. Lipatov L. N. High-energy asymptotics of multicolor QCD and exactly solvable lattice models // JETP Lett. 1994. — Vol. 59. — Pp. 596-599.

17. Faddeev L. D., Korchemsky G. P. High-energy QCD as a completely integrable model // Phys. Lett. 1995. - Vol. B342. - Pp. 311-322.

18. Golfand Y. A., Likhtman E. P. Extension of the algebra of Poincare group generators and violation of P invariance j j JETP Lett. — 1971. — Vol. 13. — Pp. 323326.

19. Volkov D. V., Akulov V. P. Is the neutrino a Goldstone particle? // Phys. Lett. — * 1973. Vol. B46. - Pp. 109-110.

20. Wess J., Zumino B. A lagrangian model invariant under supergauge transformations // Phys. Lett. 1974, — Vol. B49. — Pp. 52-54.

21. Bukhvostov A. P., Kuraev E. A., Lipatov L. N., Frolov G. V. Supersymmetry and anomalous dimensionalities of quasi parton operators in QuantumлChromodynamics // JETP. Lett. 1985. - Vol. 41. - Pp. 92-95.

22. Bukhvostov A. P., Frolov G. V., Lipatov L. N., Kuraev E. A. Evolution equations for quasi partonic operators // Nucl. Phys. — 1985. — Vol. B258. — Pp. 601-646.

23. Belitsky A. V., Muller D., Schajer A. Implications of N = 1 supersymmetry for m QCD conformal operators // Phys. Lett. 1999. - Vol. B450. - Pp. 126-135.

24. Belitsky A. V., Muller D. N = 1 supersymmetric constraints for evolution kernels j I Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1999. - Vol. 79. - Pp. 576-578.

25. Belitsky A. V., Muller D. Superconformal constraints for QCD conformal anomalies // Phys. Rev. — 2002. Vol. D65. - Pp. 054037:1-17.л

26. Antoniadis I., Floratos E. G. A study of a possible quark gluon symmetry in QCD // Nucl. Phys. - 1981. - Vol. B191. - Pp. 217-226.

27. Belitsky A. V., Muller D., Freund A. Reconstruction of non-forward evolution kernels // Phys. Lett. 1999. - Vol. B461. - Pp. 270-279.

28. Seiberg N., Witten E. Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory // Nucl. Phys. — 1994.—tfeVol. B426. Pp. 19-52.

29. Seiberg N., Witten E. Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD // Nucl. Phys. 1994. — Vol. B431. — Pp. 484-550.

30. Montonen C., Olive D. I. Magnetic monopoles as gauge particles? /j Phys. Lett. — m 1977. Vol. B72. - Pp. 117-120.

31. Avdeev L. V., Tarasov О. V., Vladimirov A. A. Vanishing of the three loop charge renormalization function in a supersymmetric gauge theory // Phys. Lett. — 1980. — Vol. B96. Pp. 94-96.

32. Grisaru M. Т., Rocek M., Siegel W. Zero three loop beta function in N—4 Super Yang-Mills theory // Phys. Rev. Lett. ~ 1980. — Vol. 45. Pp. 1063-1066.

33. Caswell W. E., Zanon D. Vanishing three loop beta function in N=4 supersymmetric Yang-Mills theory // Phys. Lett. 1981. - Vol. B100. - Pp. 152-156.

34. Brink L., Lindgren O., Nibson В. E. W. The ultraviolet finiteness of the N=4 Yang-Mills theory // Phys. Lett. 1983. - Vol. B123. - Pp. 323-328.

35. Lipatov L. N. Next-to-leading corrections to the BFKL equation and the effective action for high energy processes in QCD // Proc. of the Int. Workshop on very high multiplicity physics. — 2000. — Vol. Dubna. — Pp. 159-176.

36. Maldacena J. M. The large N limit of superconformal field theories and supergravity // Adv. Theor. Math. Phys. — 1998. — Vol. 2. — Pp. 231-252.

37. Gubser S. S., Klebanov I. R., Polyakov A. M. Gauge theory correlators from non-critical string theory // Phys. Lett. — 1998. — Vol. B428. — Pp. 105-114.

38. Witten E. Anti-de Sitter space and holography // Adv. Theor. Math. Phys.— ** 1998. Vol. 2. - Pp. 253-291.

39. Gubser S. S., Klebanov I. R., Polyakov A. M. A semi-classical limit of the gauge/string correspondence // Nucl. Phys. — 2002, — Vol. B636. — Pp. 99-114.

40. Kotikov A. V., Lipatov L. N., Velizhanin V N. Anomalous dimensions of Wilson operators in N = 4 SYM theory // Phys. Lett. 2003. - Vol. B557. - Pp. 114-120.ftS

41. Moch S., Vermaseren J. A. M., Vogt A. The three-loop splitting functions in QCD: The non-singlet case // Nucl. Phys. 2004. - Vol. B688. - Pp. 101-134.

42. Vogt A., Moch S., Vermaseren J. A. M. The three-loop splitting functions in QCD: The singlet case // Nucl. Phys. 2004. — Vol. B691. - Pp. 129-181.

43. Kotikov A. V., Lipatov L. N., Onishchenko A. /., Velizhanin V. N. Three-loopuniversal anomalous dimension of the Wilson operators in N = 4 SUSY Yang-Mills model // Phys. Lett. 2004. - Vol. B595. - Pp. 521-529.

44. Callan Curtis G. J., Gross D. J. High-energy electroproduction and the constitution of the electric current 11 Phys. Rev. Lett. — 1969. — Vol. 22. — Pp. 156-159.

45. Wilson K. G. Nonlagrangian models of current algebra // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 179.- Pp. 1499-1512.

46. Christ N. #., Hasslacher В., Mueller A. H. Light cone behavior of perturbation theory // Phys. Rev. 1972. - Vol. D6. - Pp. 3543-3562.

47. Politzer H. D. Asymptotic freedom: an approach to strong interactions // Phys.Rept. 1974. - Vol. 14. - Pp. 129-180.

48. Gross D. J., Wilczek F. Asymptotically free gauge theories. 2 j j Phys. Rev. — 1974. Vol. D9. - Pp. 980-993.

49. Sasaki К. Polarized electroproduction in asymptotically free gauge theories // Prog. Theor. Phys. 1975. - Vol. 54. - Pp. 1816-1838.

50. Ahmed M. A., Ross G. G. Polarized lepton hadron scattering in asymptotically free gauge theories // Nucl. Phys. - 1976. - Vol. Bill. - Pp. 441-460.

51. Gross D. J., Wilczek F. Asymptotically free gauge theories. I // Phys. Rev. — 1973. Vol. D8. - Pp. 3633-3652.

52. Callan Curtis G. J. Broken scale invariance in scalar field theory j j Phys. Rev.— 1970. Vol. D2. - Pp. 1541-1547.

53. Symanzik K. Renormalizable models with simple symmetry breaking. 1. Symmetry breaking by a source term // Commun. Math. Phys. — 1970. — Vol. 16. — Pp. 48-80.

54. Symanzik K. Small distance behavior in field theory and power counting // Commun. Math. Phys. 1970. - Vol. 18. — Pp. 227-246.

55. Gross D. J., Wilczek F. Ultraviolet behavior of non-abelian gauge theories // Phys. Rev. Lett. 1973. - Vol. 30. - Pp. 1343-1346.

56. Politzer H. D. Reliable perturbative results for strong interactions? // Phys. Rev. Lett. 1973. - Vol. 30. - Pp. 1346-1349.

57. Floratos E. G., Ross D. A., Sachrajda С. T. Higher order effects in asymptotically free gauge theories: the anomalous dimensions of Wilson operators // Nucl. Phys. — 1977. Vol. B129. - Pp. 66-88.

58. Floratos E. G., Ross D. A., Sachrajda С. T. Higher order effects in asymptotically free gauge theories. 2. Flavor singlet Wilson operators and coefficient functions // Nucl. Phys. 1979. - Vol. B152. - Pp. 493-520.

59. Gonzalez-Arroyo A., Lopez C., Yndurain F. J. Second order contributions to the ^ structure functions in deep inelastic scattering. I. Theoretical calculations // Nucl.Phys. 1979. - Vol. B153. - Pp. 161-186. '

60. Gonzalez-Arroyo A., Lopez C. Second order contributions to the structure functions in deep inelastic scattering. 3. The singlet case // Nucl. Phys.— 1980.— Vol. B166. Pp. 429-459.

61. Curci G., Furmanski W., Petronzio R. Evolution of parton densities beyond leading•вorder: the nonsinglet case // Nucl. Phys. — 1980. — Vol. B175. — Pp. 27-92.

62. Furmanski W., Petronzio R. Singlet parton densities beyond leading order // Phys. Lett. ~ 1980. Vol. B97. - Pp. 437-442.

63. Floratos E. G., Kounnas C., Lacaze R. Higher order QCD effects in inclusive annihilation and DIS // Nucl. Phys. 1981. - Vol. B192. - Pp. 417-462.

64. Lopez C., Yndurain F. J. Behavior at x = 0, 1, sum rules and parametrizations for structure functions // Nucl. Phys. 1981.- Vol. B183. - Pp. 157-181.

65. Hamberg R., van Neerven W. L. The Correct renormalization of the gluon operator in a covariant gauge // Nucl. Phys. — 1992. — Vol. B379. — Pp. 143-171.

66. Mertig R., van Neerven W. L. The Calculation of the two loop spin splitting functions P(ij)(l)(x) // Z. Phys. — 1996,- Vol. C70. Pp. 637-654.

67. Vogelsang W. A Rederivation of the Spin-dependent Next-to-leading Order Splitting Functions // Phys. Rev. — 1996. — Vol. D54. — Pp. 2023-2029.

68. Vogelsang W. The spin-dependent two-loop splitting functions // Nucl. Phys. — 1996. Vol. B475. - Pp. 47-72.

69. Efremov A. V., Radyushkin A. V. Factorization and asymptotical behavior of pion form-factor in QCD // Phys. Lett. 1980. - Vol. B94. - Pp. 245-250.

70. Efremov A. V., Radyushkin A. V. Asymptotical behavior of pion electromagnetic form-factor in QCD // Theor. Math. Phys. 1980.- Vol. 42. - Pp. 97-110.

71. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. Evolution kernel for the pion wave function: two loop calculation in scalar phi**3 in six-dimensions model // Theor. Math. Phys. — 1986. Vol. 65,- Pp. 999-1014.

72. Mikhailov S. V., Radyushkvn A. V. Evolution kernels in QCD: two loop calculation ^ in feynman gauge // Nucl. Phys. — 1985. Vol. B254. - Pp. 89-126.

73. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. Structure of two loop evolution kernels and evolution of the pion wave function in phi**3 in six-dimensions and QCD // Nucl. Phys. 1986. - Vol. B273. - Pp. 297-319.

74. Muller D. Constraints for anomalous dimensions of local light cone operators in phi**3 in six-dimensions theory // Z. Phys. — 1991. Vol. C49. - Pp. 293-300.

75. Muller D. Conformal constraints and the evolution of the nonsinglet meson distribution amplitude I j Phys. Rev. — 1994. — Vol. D49. Pp. 2525-2535.

76. Makeenko Y. M. Conformal operators in Quantum Chromodynamics // Sov. J. Nucl. Phys. 1981. - Vol. 33. - Pp. 440-445.

77. Ohmdorf T. Constraints from conformal covariance on the mixing of operators of lowest twist 11 Nucl. Phys. 1982. - Vol. B198. — Pp. 26-44.

78. Belitsky A. V., Muller D. Broken conformal invariance and spectrum of anomalous dimensions in QCD // Nucl. Phys. 1999. - Vol. B537. - Pp. 397-442.

79. Belitsky A. V., Freund A., Muller D. Evolution kernels of skewed parton distributions: Method and two-loop results // Nucl. Phys. — 2000. — Vol. B574. — Pp. 347-406.

80. Lipatov L. N. Small-x physics in perturbative QCD // Phys. Rept. — 1997. — Vol. 286. Pp. 131-198.

81. Collins P. D. B. An introduction to Regge theory and high-energy physics. — Cambridge 1977, 445p.

82. Donnachie A., Landshoff P. V. Dynamics of elastic scattering // Nucl. Phys.— 1986. Vol. B267. - Pp. 690-701.

83. Bartels J. High-energy behavior in a nonabelian gauge theory. 2. First corrections to T(n—>m) beyond the leading In s approximation // Nucl. Phys. — 1980. — Vol. B175. Pp. 365-401.

84. Kwiecinski J., Praszalowicz M. Three gluon integral equation and odd с singlet regge singularities in QCD // Phys. Lett. 1980. — Vol. B94. — Pp. 413-416.

85. Fadin V. S., Lipatov L. N. BFKL pomeron in the next-to-leading approximation // Phys. Lett. 1998. - Vol. B429. - Pp. 127-134.

86. Ciafalom M., Сатгсг G. Energy scale(s) and next-to-leading BFKL equation I j Phys. Lett. 1998. - Vol. B430. - Pp. 349-354.

87. Kirschner R., Lipatov L. N., Szymanowski L. Effective action for multi Regge processes in QCD // Nucl. Phys. - 1994. - Vol. B425. - Pp. 579-594.

88. Kirschner RLipatov L. N., Szymanowski L. Symmetry properties of the effective action for high-energy scattering in QCD // Phys. Rev.— 1995.— Vol. D51.— Pp. 838-855.

89. Lipatov L. N. Gauge invariant effective action for high-energy processes in QCD j I Nucl. Phys. 1995. - Vol. B452. - Pp. 369-400.

90. Lipatov L. N. Evolution equations in QCD. — Prepared for ICTP Conference on Perspectives in Hadronic Physics, Trieste, Italy, 12-16 May 1997. — Pp. 413-427.

91. Gliozzi F., Scherk J., Olive D. I. Supersymmetry, supergravity theories and the dual spinor model // Nucl. Phys. — 1977. — Vol. B122. Pp. 253-290.

92. Brink L., Lindgren O., Nilsson В. E. W. N=4 Yang-Mills theory on the light cone j j Nucl. Phys. 1983. - Vol. B212. - Pp. 401-412.

93. Mandelstam S. Light cone superspace and the ultraviolet finiteness of the n=4 model // Nucl. Phys. 1983. - Vol. B213. - Pp. 149-168.

94. Capper D. M., Jones D. R. T. N=1 supersymmetric Yang-Mills theory in the light cone gauge // Phys. Rev. 1985. — Vol. D31. - Pp. 3295-3297.

95. Matiounine Y., Smith J., van Neerven W. L. Two-loop operator matrix elements calculated up to finite terms // Phys. Rev. 1998. - Vol. D57. - Pp. 6701-6722.

96. Matiounine Y., Smith J., van Neerven W. L. Two-loop operator matrix elements calculated up to finite terms for polarized deep inelastic lepton hadron scattering // Phys. Rev. 1998.- Vol. D58. - Pp. 076002:1-16.

97. Lipatov L. N. Next-to-leading corrections to the BFKL equation and the effective action for high energy processes in QCD // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 2001. — Vol. 99A. Pp. 175-179.

98. Siegel W. Supersymmetric dimensional regularization via dimensional reduction // Phys. Lett. 1979. - Vol. B84. - Pp. 193-196.

99. Altarelh G., Curci G., Martinelli G., Petrarca S. QCD nonleading corrections to weak decays as an application of regularization by dimensional reduction // Nucl. Phys. 1981. - Vol. B187. - Pp. 461-513.

100. Schuler G. A., Sakakibara S., Korner J. G. Use of four-dimensional spin methods in the calculation of radiative QCD corrections // Phys. Lett. — 1987. — Vol. B194. — Pp. 125-131.

101. Martin S. P., Vaughn M. T. Regularization dependence of running couplings in softly broken supersymmetry // Phys. Lett. — 1993. — Vol. B318. — Pp. 331-337.

102. Dixon J. A., Taylor J. C. Renormalization of wilson operators in gauge theories // Nucl. Phys. 1974. - Vol. B78. - Pp. 552-560.

103. Kluberg-Stern H., Zuber J. B. Renormalization of nonabelian gauge theories in a background field gauge. 2. Gauge invariant operators // Phys. Rev. — 1975. — Vol. D12. Pp. 3159-3180.

104. Joglekar S. D., Lee B. W. General theory of renormalization of gauge invariant operators // Ann. Phys. — 1976. — Vol. 97. — Pp. 160-215.

105. Collins J. C., Scalise R. J. The Renormalization of composite operators in Yang-Mills theories using general covariant gauge j j Phys. Rev. — 1994.— Vol. D50.— Pp. 4117-4136.

106. Harris B. W., Smith J. Anomalous dimension of the gluon operator in pure Yang-Mills theory // Phys. Rev. — 1995. — Vol. D51. Pp. 4550-4560.

107. Faddeev L. D., Popov V. N. Feynman diagrams for the Yang-Mills field // Phys. Lett. 1967. - Vol. B25. - Pp. 29-30.

108. Nogueira P. Automatic Feynman graph generation J J J. Comput. Phys. — 1993.— Vol. 105. Pp. 279-289.

109. Gorishnii S. G., Larin S. A., Surguladze L. R., Tkachov F. V. MINCER: program for multiloop calculations in quantum field theory for the SCHOONSCHIP system // Comput. Phys. Commun. — 1989. — Vol. 55. — Pp. 381-408.

110. Vermaseren J. A. M. New features of FORM.— 2000.— math-ph/0010025. — Pp. 23.138. 't Hooft G., Veltman M. J. G. Regularization and renormalization of gauge fields j I Nucl. Phys. 1972. - Vol. B44. — Pp. 189-213.

111. Breitenlohner P., Maison D. Dimensionally renormalized Green's functions for theories with massless particles. 1 // Commun. Math. Phys. — 1977. — Vol. 52. — Pp. 39-67.

112. Breitenlohner P., Maison D. Dimensionally renormalized Green's functions for theories with massless particles. 2 // Commun. Math. Phys. — 1977,— Vol. 52.— Pp. 55-92.

113. Akyeampong D. A., Delbourgo R. Dimensional regularization, abnormal amplitudes and anomalies // Nuovo Cim. 1973. — Vol. A17. — Pp. 578-586.

114. Akyeampong D. A., Delbourgo R. Anomalies via dimensional regularization // Nuovo Cim. ~ 1974. Vol. A19. - Pp. 219-224.

115. Larin S. A. The Renormalization of the axial anomaly in dimensional regularization // Phys. Lett. 1993. - Vol. B303. - Pp. 113-118.

116. Larin S. A., Vermaseren J. A. M. The alpha-s**3 corrections to the Bjorken sum rule for polarized electroproduction and to the Gross-Llewellyn Smith sum rule // Phys. Lett. 1991. - Vol. B259. - Pp. 345-352.

117. Adler S. L., Bardeen W. A. Absence of higher order corrections in the anomalous axial vector divergence equation // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 182. — Pp. 1517-1536.

118. Makeenko Y. Light-cone Wilson loops and the string / gauge correspondence // JHEP. 2003. - Vol. 01. - P. 007.

119. Frolov S., Tseytlin A. A. Semiclassicai quantization of rotating superstring in AdS(5) x S(5) j j JHEP. 2002. - Vol. 06. - P. 007.

120. Brower R. C., Tan C.-I. Hard scattering in the M-theory dual for the QCD string // Nucl. Phys. 2003. - Vol. B662. - Pp. 393-405.

121. Onishchenko A. I., Velizhanin V. N. Anomalous dimensions of twist-2 conformal operators in supersymmetric Wess-Zumino model. — 2003. — Preprint WSU-HEP-0309. Pp. 37. - hep-ph/0309222.

122. Onishchenko A. I., Velizhanin V. N. Nonforward anomalous dimensions of Wilson operators in N = 4 super-Yang-Mills theory. // JHEP.— 2004.— Vol. 02.— Pp. 036:1-17.

123. Belitsky A. V., Derkachov S. E., Korchemsky G. P., Manashov A. N. Superconformal operators in N = 4 super-Yang-Mills theory // Phys. Rev. — 2004. — Vol. D70. Pp. 045021:1-27.

124. Andersson B. et al. Small x phenomenology: Summary and status // Eur. Phys. J. 2002. - Vol. C25. - Pp. 77-101.

125. Berenstein D., Maldacena J. M., Nastase H. Strings in flat space and pp waves from N = 4 super Yang Mills // JHEP. 2002. - Vol. 04. - P. 013.

126. Minahan J. A., Zarembo K. The Bethe-ansatz for N = 4 super Yang-Mills // JHEP. 2003. - Vol. 03. - P. 013.

127. Konishi K. Anomalous supersymmetry transformation of some composite operators in SQCD // Phys. Lett. 1984. - Vol. B135. - Pp. 439-444.

128. Beisert N., Кristjarisen C., Staudacher M. The dilatation operator of N = 4 super Yang-Mills theory // Nucl. Phys. 2003. - Vol. B664. - Pp. 131-184.

129. Bianchi M., Kovacs S., Rossi G., Stanev Y. S. Properties of the Konishi multiplet in N = 4 SYM theory // JHEP. 2001. - Vol. 05. - P. 042.

130. Mack G., Salam A. Finite component field representations of the conformal group // Ann. Phys. 1969. - Vol. 53. - Pp. 174-202.