Аномальные размерности составных операторов в максимально-расширенной суперсимметричной калибровочной теории тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Б. П. КОНСТАНТИНОВА РАН

На правах рукописи

484597Ь

ВЕЛИЖАНИН Виталий Николаевич

АНОМАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ СОСТАВНЫХ ОПЕРАТОРОВ В МАКСИМАЛЬНО-РАСШИРЕННОЙ СУПЕРСИММЕТРИЧНОЙ КАЛИБРОВОЧНОЙ ТЕОРИИ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Гатчина - 2011

1 2 МАЙ 2011

4845976

Работа выполнена в Отделении теоретической физики Петербургского института ядерной физики им. Б. П. Константинова РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Письмак Юрий Михайлович,

доктор физико-математических наук Смирнов Владимир Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор Фадин Виктор Сергеевич.

Ведущая организация:

Лаборатория теоретической физики ОИЯИ

Защита диссертации состоится " и. " ЦЮИЯ 2011 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д-002.115.01 при Петербургском институте ядерной физики им. Б. П. Константинова РАН.

Адрес: 188300, Ленинградская область, г. Гатчина, Орлова Роща. С диссертацией можно ознакомиться р библиотеке ПИЯФ РАН. Автореферат разослан

"24." апреля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

И. А. Митропольский

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Фундаментальные взаимодействия элементарных частиц описываются посредством квантовых теорий поля, которые позволяют получать количественные результаты и сравнивать их с экспериментом. Возможность получения таких результатов обусловлена возможностью вычисления различных физических величин с помощью разложения по константе взаимодействия, рассматриваемой как малый параметр. Несмотря на то. что квантовые теории поля дают отличные результаты для малой константы взаимодействия, весьма затруднительно получить результаты для больших значений константы связи. Кроме того, описание гравитации как квантовой теории поля всё ещё неосуществимо. Одной из интересных возможностей разрешения данных проблем является знаменитая дуальность между многомерной квантовой теорией гравитации (суперструной) и калибровочной теорией в низшем числе измерений, которая чрезвычайно активно изучается последнее десятилетие. Дуальность означает, что каждое предсказываемое явление и величина в одной теории имеет аналог в другой теории. Наиболее известной является дуальность между супергравитацией в многомерном пространстве анти-де Ситтера (АдС) с одной стороны и суперсимметричной конформной теорией поля (КТП) на четырёхмерной границе пространства анти-де Ситтера с другой стороны, предложенная Малдаценой [1] и развитая в работах [2, 3]. Эта дуальность известна как АдС/КТП-соответствие. В её чистом виде, в котором она будет интересна для нас, АдС/КТП-соответствие идентифицирует суперструны типа IIB в десяти измерениях пересечения пятимерного пространства анти-де Ситтера и пятимерной сферы (AdSs х S5) с максимально-расширенной суперсимметричной теорией Янга - Миллса с калибровочной группой SU(N) (М — 4 СЯМ-теория) в четырёх измерениях. N = 4 СЯМ-теория является квантовой конформной теорией поля, так как её /?-функция в точности равна ну-

лю. Струнная модель определяется двумя параметрами: струнной константой связи д$ и эффективным струнным натяжением Я2/а', где К есть общий радиус АйЭъ-и ¿^-геометрий. Калибровочная теория, с другой стороны, параметризуется калибровочной группой ранка N и константой связи дум, или эквивалентно 'т хоофтовской константой связи А = д1ы N. В соответствии с АдС/КТП-гипотезой эти два набора параметров определяются как

4тгА /г- В2

Уравнения (1) связывают константы взаимодействия, но существует также "словарь" между возбуждениями теорий. АдС/КТП-соответствие идентифицирует собственные значения АйБ5 х 55-струны, которые мы обозначим схематически как | О а) с индексами А, с составными операторами калибровочной теории вида О А = Фг2 ■ ■ ■&„)> гДе (Фг)аЬ являются элементарными полями N = 4 СЯМ-теории (и их ковариан-тыми производными) в присоединённом представлении £[/(ЛГ), то есть ЫхИ эрмитовыми матрицами. Собственное значение энергии Е струнного состояния по отношению ко времени в глобальных координатах предполагается равным размерности Д дуального оператора калибровочной теории, который, в свою очередь, определяется из двухточечной функции конформной теории поля:

(<ЭД <%(„)) = —^^¿у » = (2)

В нулевом порядке проверкой гипотезы является согласие супергруппы симметрии РБи(2,2|4) двух теорий, которые обеспечивают представления при преобразованиях Оа{ х) и | О а)- Это даёт подсказку о том, как можно было бы создать явный "словарь" струнные состояния/калибровочные операторы.

Идентификация планарной калибровочной теории со свободной струной (gs = 0) выглядит чрезвычайно интересной: свободная AdS$ х S5-струнная теория должна давать точную всепетлевую аномальную размерность калибровочной теории в пределе больших N. К сожалению, однако, наши знания о струнном спектре в искривлённом пространстве, даже в таком высокосимметричном, как AdS$ х S5, по-прежнему недостаточны. Поэтому долгое время исследования соответствия со стороны струн были ограничены областью низкоэнергетического эффективного теоретико-полевого описания AdSs * 5"5-струн в терминах супергравитации типа IIB. Это, однако, неизбежно приводило к рассмотрению незначительно искривлённой геометрии в струнных единицах, то есть к области » 1 в силу (1). Со стороны калибровочной теории возможно было контролировать только пертурбативный режим, где А <С 1. Следовательно, мы сталкиваемся с дуальностью сильной/слабой связи, в которой сильносвязанные калибровочные поля описываются классической супергравитацией и слабосвязанные калибровочные поля соответствуют распространению струн в очень кривой геометрии. Такое представление сильно затрудняет какие-либо динамические проверки (или даже доказательства) АдС/КТП-гипотезы.

Эта ситуация существенно изменилась после 2002 года в ходе изучения соответствия в новом пределе, где квантовые числа (такие как спин и угловой момент на геометрическом языке AdS$ х Ss) становятся скоординированно большими в пределе N —* оо. В работе [4] было рассмотрено разложение по квантовым флуктуациям струны вокруг вырожденной точечно-подобной конфигурации, соответствующей частице, вращающейся с большим угловым моментом J по огромной окружности

S5 -пространства. В пределе J оо с фиксированным J2/N (БМН-предел) представляется возможным провести точное квантование свободной струны в светоподобной калибровке [5]. Получающийся спектр струн ведёт к замечательному предсказанию всепетлевой аномальной

размерности операторов дуальной калибровочной теории в соответствующем пределе, то есть к знаменитой формуле А„ = J + 2 + для простейшего возбуждения двух струнных осцилляторов. Ключевым моментом в квантовой теории поля является возникновение эффективного параметра разложения А/</2 в БМН-пределе. Ключевым моментом с точки зрения струнной теории является то, что такой предел может сделать полуклассические (в плоско-волновом случае) или даже классические (в случае спиновых струн) вычисления энергии струн точными и на квантовом уровне, так как высшие петли сигма-модели подавляются обратной степенью общего углового момента 3 на пяти-сфере. Такое рассмотрение со стороны струн даёт всепетлевые предсказания для дуальной калибровочной теории. Дополнительное изучение пертурбатив-ной калибровочной теории в первых нескольких порядках по А привело к открытию того, что спектр аномальных размерностей планарной калибровочной теории оказался идентичен спектру интегрируемой даль-нодействующей спиновой цепочки [6, 7]. Соответственно, было показано, что Ас135 х ¿^-струна является классически интегрируемой моделью [8], что активно используется в получении решений для спиновых струн.

Дальнейшее изучение интегрируемости с обоих сторон АдС/КТП-соответствия позволило сформулировать всепетлевой асимптотический Бете-анзатц [9, 10], являющийся одним из главных достижений в исследовании соответствия. Интегрируемость позволяет свести задачу вычисления спектра аномальных размерностей составных операторов к задаче диагонализации Гамильтониана интегрируемой спиновой цепочки Гейзенберга, для решения которой имеются мощные математические методы. Однако для операторов конечной длины, среди которых находятся наиболее хорошо изученные в КХД операторы твиста-2, асимптотический Бете-анзатц даёт неполный ответ вследствие того, что длина взаимодействия становится больше длины спиновой цепочки. В терминах теории поля краевые эффекты соответствует тому, что появляют-

ся диаграммы, в которых каждое из полей в операторе соединяется с двумя соседними, как бы образуя окружность вокруг оператора (такие диаграммы называются "wrapping diagrams") [11]. В свою очередь, в терминах теории струн краевые эффекты соответствуют тому, что необходимо рассматривать двумерную сигма-модель в конечном объёме (на цилиндре) [12]. Таким образом, АдС/КТП-соответствие позволяет использовать инструменты и методы, которые существуют только для двумерных квантовых теорий, для изучения четырёхмерной N = 4 калибровочной теории. Более того, недавно было предложено несколько спектральных уравнений, среди которых следует особо выделить так называемую У-систему [13], претендующих на описание всего спектра аномальных размерностей для любого оператора при любой константе взаимодействия. Однако все эти гипотезы и предположения должны были быть подвергнуты независимым проверкам. Одними из наиболее значимых являлись и являются проверки, представленные в данной диссертации.

Цели и задачи работы

Целью диссертационной работы было вычисление аномальных размерностей составных операторов и исследование их свойств в контексте АдС/КТП-соответствия. Предполагалось обобщить имеющиеся и разработать новые методы вычислений и исследований аномальных размерностей в высших порядках теории возмущений.

Основными методами, использованными для нахождения аномальных размерностей, предполагались прямой диаграммный счёт и вычисления с использованием интегрируемости, а для исследований их свойств - аналитическое продолжение функций, входящих в полученные выражения.

В диссертации ставились следующие основные задачи:

1. Проверка принципа максимальной трансцендентности для функ-

ций, входящих в выражения для аномальных размерностей операторов твиста-2 вЛ/" = 4 СЯМ-теории, путём прямого диаграммного вычисления матрицы аномальных размерностей во втором порядке теории возмущений.

2. Применение принципа максимальной трансцендентности в высших порядках теории возмущений с целью проверки результатов, получаемых с использованием предполагаемой точной решаемости N = 4 СЯМ-теории.

3. Исследование суперсимметричных тождеств Уорда для вычисления матрицы аномальных размерностей операторов твиста-2 во втором порядке теории возмущений М = 4 СЯМ-теории в кинематике с ненулевым переданным импульсом.

4. Исследование аналитических свойств результатов, получаемых с помощью асимптотического Бете-анзатца для планарной интегрируемой АдС/КТП-системы.

5. Разработка метода прямых диаграммных вычислений четырёх-петлевых аномальных размерностей в суперсимметричных калибровочных теориях и его использование для расчёта аномальных размерностей простейших операторов твиста-2 в четвёртом порядке теории возмущений в N = 4 СЯМ-теории.

6. Проверка предположений, использовавшихся при вычислении краевых эффектов для аномальной размерности операторов конечной длины, путём вычисления полной аномальной размерности операторов твиста-2 в пятом порядке теории возмущений и аномальной размерности операторов твиста-3 в шестом порядке теории возмущений вЛ/" = 4 СЯМ-теории и последующего сравнения полученных результатов с имеющимися предсказаниями.

7. Исследование суперсимметричной схемы регуляризации ультрафиолетовых расходимостей фейнмановских диаграмм в высших порядках теории возмущений Л/" = 4 СЯМ-теории.

Научная новизна и практическое значение результатов

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и важными для развития новых методов в исследовании квантовых теорий поля. Результаты, полученные в диссертации, являются своего рода "экспериментальной" проверкой предполагаемой точной решаемости в М = 4 СЯМ-теории. В диссертации разработаны различные методы вычислений аномальных размерностей операторов твиста-2 в М = 4 СЯМ-теории, которые могут быть применены для вычислений в квантовой хромодинамике.

Достоверность результатов и апробация работы

Вычисления, проделанные в диссертации, основываются на использовании стандартных методов квантовой теории поля. Методы вычислений, разработанные в диссертации, проверялись расчётом известных ранее результатов и подвергались проверке на самосогласованность. Аналитические преобразования всегда контролировались численно.

Результаты данной работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах ПИЯФ, ОИЯИ (Дубна), ИЯИ (Москва), ИФВЭ (Протвино), НИИЯФ МГУ, СПбГУ, LAPP (Анси, Франция), на международных конференциях и рабочих совещаниях.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Путём прямых диаграммных вычислений матрицы аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в следующем после лидирующего порядке в М = 4 СЯМ-теории подтверждён принцип максимальной трансцендентности для функций, входящих в выражения для собственных значений матриц.

2. Разработан метод получения аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в высших порядках в кинематике с ненулевым переданным импульсом в N — 4 СЯМ-теории из аналогичных результатов в квантовой хромодинамике.

3. С использованием принципа максимальной трансцендентности получена полная аномальная размерность операторов твиста-2 в третьем порядке теории возмущений в Л/" = 4 СЯМ-теории, позволившая подтвердить предполагаемую интегрируемость, обнаруженную при исследовании АдС/КТП-соответствия.

4. Показано, что асимптотический Бете-анзатц, являющийся одним из главных результатов исследований интегрируемости в контексте АдС/КТП-соответствия, даёт неполный результат для операторов конечной длины и требует учёта краевых эффектов.

5. Разработан полностью компьютеризированный метод вычисления четырёхпетлевых аномальных размерностей. Данный метод был использован для расчёта четырёхпетлевой аномальной размерности оператора Кониши в N = 4 СЯМ-теории, подтвердившего правильность предположений, использованных при вычислении краевых эффектов к асимптотическому Бете-анзатцу для операторов конечной длины.

6. Показано, что схема размерной редукции (БК-схема) корректно работает для вычислений в N = 4 СЯМ-теории до четвёртого порядка теории возмущений. Обоснование было достигнуто путём прямого вычисления четырёхпетлевых констант перенормировки в N = 4 СЯМ-теории, дающих отсутствие перенормировки констант взаимодействия как для калибровочной, так и для юкавской вершин.

7. Впервые получен результат для непланарного (подавленного по цветовому фактору) вклада в четырёхпетлевую аномальную размерность операторов твиста-2 в J\f = 4 СЯМ-теории. Данный результат может послужить одной из отправных точек в исследовании АдС/КТП-соответствия вне планарного предела.

8. С использованием интегрируемости получена полная пятипетле-вая аномальная размерность операторов твиста-2 в Я = 4 СЯМ-теории. Данный результат оказался в согласии с предсказаниями, следующими из уравнения БФКЛ, тем самым подтвердив правильность вида поправок, обусловленных как модификацией асимптотического Бете-анзатца вследствие учёта краевых эффектов, так и включением в рассмотрение фактора одевания. Кроме того, данные вычисления были обобщены на случай операторов твиста-3, где аналогичные поправки возникают в шестом порядке теории возмущений. Полученный результат также удовлетворял всем известным проверкам.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы

1. Kotikov А. V., Lipatov L. N. and Velizhanin V. N. Anomalous dimensions of Wilson operators in Af = 4 SYM theory // Physics Letters B. 2003. V. 557. P. 114-120.

2. Onishchenko A. I. and Velizhanin V. N. Nonforward anomalous dimensions of Wilson operators in J\f — 4 super-Yang-Mills theory // Journal of High Energy Physics (JHEP). 2004. V. 0402. P. 036 (18 pages).

3. Kotikov A. V., Lipatov L. N., Onishchenko A. I. and Velizhanin V. N. Three-loop universal anomalous dimension of the Wilson operators in

Af = 4 SUSY Yang-Mills model // Physics Letters B. 2004. V. 595. P. 521-529.

4. Kotikov A. V., Lipatov L. N., Onishchenko A. I. and Velizhanin V. N. Three-loop universal anomalous dimension of the Wilson operators in Af = 4 supersymmetric Yang-Mills theory // Physics of Particles and Nuclei. 2005. V. 36, Suppl. 1. P. 28-33.

5. Kotikov A. V., Lipatov L. N., Onishchenko A. I. and Velizhanin V. N. Anomalous dimensions of Wilson operators in the Af — 4 super symmetric Yang-Mills theory // Теоретическая и математическая физика. 2007. Т. 150, № 2. С. 249-262.

6. Kotikov А. V., Lipatov L. N., Rej A., Staudacher М. and Velizhanin V. N. Dressing and Wrapping // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2007. V. 0710. P. 10003 (18 pages).

7. Velizhanin V. N. The four-loop anomalous dimension of the Konishi operator in TV = 4 supersymmetric Yang-Mills theory // Письма в ЖЭТФ. 2009. Т. 89, Выпуск 1. С. 8-11.

8. Velizhanin V. N. Three-loop renormalization of the // — 1, Af — 2, N = 4 supersymmetric Yang-Mills theories // Nuclear Physics B. 2009. V. 818. P. 95-100.

9. Velizhanin V. N. Leading transcedental contributions to the four-loop universal anomalous dimension in Af = 4 SYM // Physics Letters B. 2009. V. 676. P. 112-115.

10. Велижанин В. H. Непланарный вклад в четырехпетлевую универсальную аномальную размерность операторов Вильсона твиста-2 в Af = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса // Письма в ЖЭТФ. 2009. Т. 89, Выпуск 12. С. 697-700.

11. Lukowski Т., Rej A. and Velizhanin V. N. Five-loop anomalous dimension of twist-two operators // Nuclear Physics B. 2010. V. 831. P. 105-132.

12. Velizhanin V. N. Six-loop anomalous dimension of twist-three operators in Я = 4 SYM // Journal of High Energy Physics (JHEP). 2010. V. 1011. P. 129 (20 pages).

13. Onishchenko A. I. and Velizhanin V. N. Anomalous dimensions of twist-2 conformal operators in supersymmetric Wess-Zumino model // arXiv:hep-ph/0309222.

14. Kotikov A. V. and Velizhanin V. N. Analytic continuation of Mellin moments of deep inelastic structure functions // arXiv:hep-ph/0501274.

15. Velizhanin V. N. Vanishing of the four-loop charge renormalization function in TV = 4 SYM theory // arXiv:1008.2198 [hep-th].

16. Velizhanin V. N. The non-planar contribution to the four-loop anomalous dimension of twist-2 operators: first moments in Af = 4 SYM and non-singlet QCD // arXiv:1008.2752 [hep-th].

Структура диссертации

Диссертация изложена на 236 страницах; состоит из введения, пяти глав, заключения, трёх приложений, содержит 29 рисунков; библиография включает 258 наименований.

Содержание диссертации

Во введении (глава 1) обсуждается актуальность проблемы, современное состояние исследований, формулируется основная цель работы, обсуждается её научная и практическая ценности и представлен список результатов, выносимых на защиту.

Во второй главе подробно излагаются общие принципы и методы, разработанные ранее в калибровочных теориях поля, которые были использованы для получения результатов, представленных в диссертации. В наших исследованиях использовались уравнения Докшитцера - Грибова - Липатова - Альтарелли - Паризи (ДГЛАП) и Балицкого - Фа-дина - Кураева - Липатова (БФКЛ), обобщение уравнения ДГЛАП -уравнение Ефремова - Радюшкина - Бродского - Лепажа (ЕРБЛ), а также уравнение дважды-логарифмов. Введены понятия, даны примеры вычислений в лидирующем порядке, обсуждены некоторые важные свойства объектов исследований, такие как принцип обратимости Грибова - Липатова.

Третья глава посвящена подтверждению, обобщению и непосредственному использованию предложенного ранее в работе Котикова и Липатова [14] принципа максимальной трансцендентности для функций, входящих в выражения для аномальных размерностей. Данный принцип был предложен исходя из анализа структуры собственного значения ядра уравнения БФКЛ в следующем после лидирующего приближении и изучения связи между уравнениями ДГЛАП и БФКЛ в N = 4 СЯМ-теории. Обобщение результата для собственного значения ядра уравнения БФКЛ в следующем после лидирующего приближении, полученного Фадиным и Липатовым в КХД [15], на Я = 4 СЯМ-теорию дало выражение, имеющее более простую структуру и содержащее наиболее сложные функции. Было замечено, что в результат входят функции, представленные в виде многократных сумм, числители которых имеют одну и ту же степень, причём максимально возможную в данном порядке теории возмущений.

Так, в лидирующем порядке собственное значение ядра уравнения БФКЛ выражается через Ф-функции

^°(7) = -452[Ф(-|)+Ф(1 + |)-2Ф(1)] , (4)

в то время как собственные значения уравнения ДГЛАП выражаются

через простейшую гармоническую сумму, являющуюся, по сути, той же самой Ф-функцией:

То есть в обоих случаях результаты выражаются через Ф-функцию. Предполагая связь между уравнениями БФКЛ и ДГЛАП в N — 4 СЯМ-теории, вполне разумно ожидать выполнения таких же свойств для собственных значений матрицы аномальных размерностей операторов твиста-2 в высших порядках теории возмущений, где возникают более общие гармонические суммы, определяемые рекуррентно как

Зная явный ответ для собственного значения ядра уравнения БФКЛ в следующем после лидирующего приближении и проведя анализ аналитических свойств гармонических сумм, которые могут входить в выражение для аномальных размерностей операторов твиста-2, был сформулирован принцип максимальной трансцендентности [14], утверждающий, что собственные значения матрицы аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в AÍ = 4 СЯМ-теории могут содержать только гармонические суммы с максимальным сулхмарным индексом Ja| + |6¡ + |cj + .... Более того, если результат для какого-либо диагонального элемента матрицы аномальных размерностей уже известен в КХД, то результат для ÁÍ = 4 СЯМ-теории легко получить, отбросив все гармонические суммы, входящие в КХД-результат, не удовлетворяющие принципу максимальной трансцендентности, и заменив операторы Казимира фундаментального представления на операторы Казимира присоединённого представления: С а = Cf = N и Т/ — 2 N.

Для проверки этого утверждения нами были обобщены вычисления матрицы аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2

l^Ü + 2) = Sff2^) = —8ff2 ¿ i = + 1) - Ф(1)] • (5)

(6)

в следующем после лидирующего порядке, проведённые ранее в КХД, на случай Л/" = 4 СЯМ-теории, представленные в разделе 3.2. Наличие в суперсимметричных теориях скалярных полей привело не только к появлению новых диаграмм, содержащих скалярные поля, но и потребовало введения скалярных операторов.

Прежде всего были получены общие формулы для неперенорми-рованных матричных элементов вильсоновских операторов в обкладках между различными партонными состояниями, выраженных через ренормгрупповые коэффициенты. Данное разложение следует из того свойства, что перенормированные матричные элементы должны удовлетворять уравнению Каллана - Симанзика. Показано, что в непо-ляризованном случае для матричного элемента глюонного оператора в обкладках скалярных состояний необходимо учитывать смешивание калибровочно-инвариантных и калибровочно-неинвариантных операторов. Найдены явные выражения для возникающих калибровочно-неинвариантных операторов, и вычислены их матричные элементы в лидирующем порядке.

Предложен и реализован полностью компьютеризированный метод вычисления матричных элементов в лидирующем и следующем после лидирующего порядках. Получены все элементы матриц аномальных размерностей как в поляризованном, так и неполяризованном случаях. Найдены собственные значения матриц, и показано, что все они могут быть выражены через одну функцию со сдвинутым аргументом, выражение для которой имеет вид (За,ь,... = £а,ь,...0))

7^0' + 2) - 16 (52 + 5_2) + 8 + 8 5_3 - 16 5_2д , (7)

что находится в полном согласии с результатом, который был предсказан с помощью принципа максимальной трансцендентности из выражений, полученных в КХД. Таким образом, проведённые вычисления послужили своего рода доказательством принципа максимальной транс-

цендентности, который будет широко использоваться в наших дальнейших исследованиях.

Другим известным результатом в КХД являлась матрица аномальных размерностей более общих операторов Вильсона твиста-2 с ненулевым переданным импульсом, эволюция которых описывается уравнением ЕРБЛ. В разделе 3.3, предполагая по аналогии с уравнениями ДГЛАП и БФКЛ, что в Л/" = 4 СЯМ-теории структура выражений, полученных в КХД, существенно упростится, и используя суперсимметричные тождества Уорда, был получен следующий результат для матрицы аномальных размерностей операторов твиста-2 с ненулевым переданным импульсом в Я — 4 СЯМ-теории:

_ 1(1 + (~1у-к](2к + 1)(31и)-31(к))

'3+к

Бг - 251 (з -к) -5

(и - 1)4 + (к- 1)4)

+ 2(з - 1)4 5! (Л + 2(к - 1)4 51 [к) |, (8)

где (а)ь = Г (а + к)/Г(а) есть символ Почхаммера.

Таким образом, было установлено, что если операторы Казимира СА, Ср и Ту положить соответственно равными С а = Ср — N и Т/ = 2М, где N есть число цветов калибровочной группы ЯП(/V), и использовать суперсимметричное тождество Уорда и некоторые дополнительные аргументы, то в N = 4 СЯМ-теории представляется возможным получить выражения для универсальной аномальной размерности непосредственно из уже известных результатов для КХД как для рассеяния вперёд (7), так и для кинематики с ненулевым переданным импульсом (8).

Некоторое время спустя после продолжительных вычислений стали доступны результаты для трёхпетлевой аномальной размерности в КХД [16]. В разделе 3.4, применяя к полученному в КХД выражению

принцип максимальной трансцендентности, мы получили трёхпетлевую универсальную аномальную размерность операторов Вильсона твиста-2 в Л/" = 4 СЯМ-теории. Наиболее ценным следствием данного результата стало подтверждение результата для аномальной размерности простейшего оператора твиста-2 в Л/" = 4 СЯМ-теории (оператора Кони-ши), полученного из предположений об интегрируемости в данной модели. Интегрируемость была обнаружена в лидирующем порядке путем отождествления составных операторов, состоящих из нескольких скалярных полей, со спиновой цепочкой Гейзенберга [6], в результате чего задача вычисления аномальной размерности операторов сводилась к вычислению энергии интегрируемой спиновой цепочки, которое может быть легко выполнено с помощью Бете-анзатца. Затем эта интегрируемость была обобщена на более высокие порядки теории возмущений [7]. Наш результат подтвердил правильность предположений и стимулировал дальнейшие исследования в этом направлении, результатом которых стал всепетлевой асимптотический Бете-анзатц [9, 10].

Четвёртая глава посвящена изучению результатов, получаемых с использованием всепетлевого асимптотического Бете-анзатца. Существенный прогресс в исследовании АдС/КТП-соответствия, в частности открытие интегрируемости, был достигнут благодаря обнаружению класса операторов (БМН-операторы), позволяющих достаточно легко найти соответствующие им струнные состояния, для которых, в свою очередь, существенно упрощалась описывающая их теория струн [4]. В простейшем случае БМН-операторы представляют собой операторы, состоящие из большого числа двух из трёх комплексных скалярных полей, имеющихся в Л/" = 4 СЯМ-теории. Было обнаружено, что результат вычислений однопетлевой перенормировки таких операторов может быть выражен в терминах генератора дилатаций, который, в свою очередь, может быть идентифицирован с Гамильтонианом спиновой цепочкой Гейзенберга [6]. Затем в работе [7] генератор дилатаций был вычислен в

двух- и трёхпетлевом приближениях. Именно с помощью этого генератора дилатаций было получено выражение для аномальной размерности оператора Кониши, совпавшее с частным случаем полученного нами выражения для универсальной аномальной размерности операторов твиста-2. На основании анализа первых трёх порядков теории возмущений в работе [9] был предложен всепетлевой асимптотический Бете-анзатц. Однако исследования интегрируемости со стороны теории струн показали, что полученный Бете-анзатц должен быть дополнен скалярным множителем, так называемым фактором одевания. Подтверждение необходимости введения такого фактора было получено путём прямого диаграммного вычисления четырёхпетлевой "касповой" аномальной размерности [17], являющейся предельным случаем полной аномальной размерности. Окончательно, с учётом фактора одевания, всепетлевой асимптотический Бете-анзатц был сформулирован в работе [10]. Асимптотичность этого анзатца означает, что он, вообще говоря, может быть применён только для достаточно длинных спиновых цепочек, то есть для операторов, состоящих из большого числа полей. Асимптотичность должна была проявиться для наиболее простых операторов, которыми являются как раз операторы твиста-2, начиная с четвёртого порядка теории возмущений. Осуществление проверки посредством прямых пертурбагивных вычислений находилось в стадии разработки сразу несколькими группами. Однако, в силу исключительности операторов твиста-2, имелась возможность косвенной проверки. Исключительность операторов Вильсона твиста-2 заключается в том, что существует всепетлевое предсказание для аналитического продолжения аномальной размерности данных операторов, следующее из уравнения БФКЛ. А именно, разрешая уравнение (4) итерационно по теории возмущений, найдём, что вблизи М = — 1 + а> аномальная размерность

должна иметь следующий вид:

/_Л„2\4 //_Л„2\6\

Применяя аналитическое продолжение в М — — 1 + ш для полной аномальной размерности операторов твиста-2 и сравнивая с предсказаниями (9), можно проверить полученный результат. Наши предыдущие вычисления до трёх петель включительно удовлетворяли такой проверке, следовательно, удовлетворял им и результат для аномальной размерности операторов твиста-2, полученный из асимптотического Бете-анзатца. Для проверки в четвёртом порядке теории возмущений прежде всего необходимо было получить такой четырёхпетлевой результат. Все-петлевой асимптотический Бете-анзатц позволяет получить аномальную размерность для любого целого значения М, по крайней мере численно. Однако для аналитического продолжения нам необходимо найти функциональную зависимость аномальной размерности при произвольном значении М, метод получения которой подробно изложен в разделе 4.2. Для этого, исходя из принципа максимальной трансцендентности, составлялся базис из гармонических сумм (6), которые могут входит в результирующее выражение в данном порядке теории возмущений, и коэффициенты при суммах находились из решения уравнений на эти коэффициенты с вычисленной аномальной размерностью при данном конкретном значении М. Для аномальной размерности операторов твиста-2 в четвёртом порядке теории возмущений трансцендентность равна 7, так что всего имеется 243 гармонические суммы, которые могут входить в искомый ответ. Используя некоторые дополнительные ограничения, нам удалось восстановить функциональный вид аномальной размерности, используя 170 численных значений. Для сравнения с предсказаниями, следующими из уравнения БФКЛ, необходимо было аналитически продолжить полученное выражение в М = — 1 + ш. Однако оказалось, что для проверки достаточно знание коэффициентов

только у двух простейших сумм с одним индексом S-^ и S7, так как их аналитическое продолжение в М = —1+w наиболее сингулярно, то есть пропорционально 1/иУ\ S±7 = ^1/w7. Наши вычисления, описанные в разделе 4.2, давали

7з'ВА = 256 (4 S-r + 6 Sr) + 186 terms. (10)

Так как коэффициенты при гармонических суммах 7 и Sy разные, то самый старший полюс сохранялся, что противоречило предсказаниям (9), следующим из уравнения БФКЛ (4). Таким образом, впервые было показано, что всепетлевой асимптотический Бете-анзатц даёт неполный результат для операторов конечной длины, и необходим учёт краевых эффектов.

Учёт краевых эффектов может быть осуществлён либо вычислением дополнительных "обёртывательных" диаграмм, как в работе [11], либо вычислением поправок к энергии струны в конечном объёме, как в работе [12]. Ещё один способ - это прямое диаграммное вычисление, которое могло бы послужить абсолютно независимой проверкой других вычислений, так как не основывается на каких-либо предположениях. Для данных вычислений нами был разработан практически полностью компьютеризированный метод, подробно изложенный в пятой главе.

В настоящее время вычисления в калибровочных теориях поля в высших порядках теории возмущений ограничены четырёхпетлевыми расчётами. Главным образом это связано с факториальным ростом числа диаграмм при увеличении порядка теории возмущений. Единственное разрешение данной проблемы в рамках стандартного подхода - это максимальная (в идеале полная) компьютеризация вычислений. Увеличивающаяся мощность компьютеров позволяет проводить огромные вычисления, а создаваемые программы и алгоритмы - эффективнее использовать эту мощь.

Любой диаграммный расчёт для какого-либо процесса включает в себя следующие основные этапы:

1. Определение всех возможных топологий.

2. Генерация диаграмм Фейнмана.

3. Вычисление сгенерированных диаграмм.

Для каждого из этапов приведено подробное описание используемого нами метода. В отдельных случаях приводятся простые примеры реализации этих методов в системе символьных вычислений MATHEMATICA.

Для идентификации топологий, описанной в разделе 5.1.1, нами были использованы некоторые результаты теории графов, для которых имелась реализация в виде пакета Combinatorica для системы символьных вычислений MATHEMATICA. В разделе даются примеры использования необходимых функций, входящих в пакет Comb inatorica, позволяющие найти все базовые топологии в данном порядке теории возмущений.

Для вычисления скалярных интегралов, получающихся после разложения сгенерированных диаграмм по внешнему импульсу, была использована наша собственная реализация алгоритма Лапорты [18], выполненная в виде пакета БАМБА для системы символьных вычислений MATHEMATICA. Алгоритм Лапорты позволяет с помощью тождеств интегрирования по частям свести все имеющиеся скалярные интегралы к выражениям, содержащим небольшое число мастер-интегралов. В разделе 5.1.3 описание данного алгоритма сопровождается иллюстрацией работы алгоритма на наиболее простом примере двухпетлевых интегралов. Алгоритм Лапорты определяет порядок решения уравнений, получающихся с помощью тождеств интегрирования по частям, применяемых к исходным интегралам. Если, следуя алгоритму Лапорты, решать каждое уравнение относительно самого "сложного" интеграла,

то в итоге вся система для данного уровня сведётся к небольшому числу мастер-интегралов. Отличительной особенностью нашей реализации было широкое использование симметрии рассматриваемых интегралов. Кроме того, при вычислении интегралов, относящихся к базовой непла-нарной четырёхпетлевой топологии, представленной на рис. 1(6), был использован тот факт, что при сжатии одной из линий этой топологии получается топология, представленная на рис. 1(в), уже известная из вычислений интегралов, относящихся к базовой планарной топологии, представленной на рис. 1(а). Это.свойство позволило свести большую часть вычислений непланарных интегралов к вычислению планарных интегралов.

Рис. 1: Базовые четырёхпетлевые планарная (а) и непланарная (б) топологии и топология (в), получающаяся при сжатии одной из горизонтальных линий в топологии (а) или любой одной линии в топологии (б)

Разработанный метод был проверен путём воспроизведения результатов для аномальных размерностей, полученных ранее в четвёртом порядке теории возмущений в КХД.

С использованием данного метода нами был проведён ряд вычислений в N = 4 СЯМ-теории.

Прежде всего была вычислена четырёхпетелевая аномальная размерность оператора Кониши. Оператор Кониши является самым простым оператором в N = 4 СЯМ-теории и представляет собой не что иное, как кинетический член для суперполей киральной материи:

(а)

(б)

(в)

Ок. = Ьг е9умуф1е~9уму^1,

(И)

где Л = д\м^ есть 'т хоофтовская константа связи. Его низколежащее состояние в компонентах имеет вид

Ок = ^ фгф* = й [А^А* + ВгВ*} , » = 1,2,3, (12)

где фг есть комплексное скалярное поле в присоединённом представлении, в то время как А1 и В1 есть соответственно действительные скалярное и псевдоскалярное поля в присоединённом представлении. Ранее результаты для данного оператора были получены как со стороны теории возмущений [11] путём учёта диаграмм, не включённых в асимптотический Бете-анзатц, так и со стороны теории струн [12] путём вычисления энергии состояний двумерной теории поля в конечном объёме. Оба вычисления основывались на различных предположениях, кроме того, в пертурбативных вычислениях была обнаружена неточность, после исправления которой результаты обоих вычислений совпали. Наши вычисления не основывались ни на каких предположениях и послужили независимой проверкой полученных результатов. Прямое вычисление более 130000 диаграмм, которому посвящён раздел 5.2, дало результат

= 1292 ~ 4854 + 336д6 + ( - 2496 + 576<з - 1440Сб) 98 , (13)

находящийся в полном согласии с результатами работ [11, 12] и тем самым подтвердивший правильность предположений, использованных в этих работах.

В ходе вычислений было замечено, что вклад в аномальную размерность, пропорциональный £5, происходит только от четырёхпетлевых диаграмм и полностью отсутствует в перенормировке. Это наблюдение позволило вычислить первые три чётных момента для Сб-вклада в четырёхпетлевую аномальную размерность операторов твиста-2. Метод вычисления подробно разбирается в разделе 5.3 на примере вычислений в лидирующем порядке, где перенормировка также отсутствует. Таким образом, нам удалось не только получить результаты для первых трёх

чётных моментов, но и найти общий вид для (5-вклада в полную четы-рёхпетлевую аномальную размерность операторов твиста-2:

Некоторое время спустя в работе [19] была вычислена полная четырёх-петлевая универсальная аномальная размерность операторов твиста-2 с использованием обобщённых формул Люшера и интегрируемости со стороны теории суперструн (подробнее данные вычисления будут изложены в следующей главе), и (^-часть этого результата совпала с полученным нами ранее результатом (14). Таким образом, наш результат (14) подтвердил правильность предположений, использованных в работе [19], и помог понять общую структуру поправок, связанных с учётом краевых эффектов для операторов конечной длины.

Заметим, что эти вычисления были проведены в планарном пределе, причём планарность принципиальна для использования интегрируемости, так как на данный момент интегрируемость изучена только в планарном пределе. Однако наш метод прямого диаграммного вычисления позволяет делать расчёты для произвольных цветовых структур, так как он не содержит никаких предположений о планарности, а основывается только на диаграммной технике. Поэтому было бы вполне естественно получить полный ответ для простейших операторов твиста-2, то есть найти вклады, подавленные по цветовому фактору. Интересно отметить, что поправки по 1/Ы2 появляются впервые в четвёртом порядке теории возмущений, то есть в том же порядке, в котором впервые возникает необходимость учёта краевых эффектов для операторов твиста-2. Вычисление непланарного вклада, пропорционального оператору Казимира, обозначаемому ¿44 и имеющему структуру

подробно описано в разделе 5.4. Результат вычислений может быть за-

7^,0'+ 2) - - 640^0X8 ■

(14)

¿44 = А^О/У2 + 36)/24

(15)

писан как

7iC = 1252-48<74 + 336<76+ (-2496 + 576 Сз - 1440 (l + j^j Сб) <Л (16)

Кроме того, мы повторили наши предыдущие вычисления из раздела 5.3 для первых трёх моментов непланарного вклада в четырёхпет-левую полную аномальную размерность операторов твиста-2, причём в непланарном случае таким способом можно вычислить не только вклад, пропорциональный (5, но и все другие вклады, так как непланарность появляется только в четвёртом порядке теории возмущений и не может идти из перенормировки. Повторяя рассуждения, приведённые в предыдущем разделе, мы нашли следующие результаты, аналогичные результатам в планарном случае:

пзи = о. (17)

п?=4 = -360 С5^ + О(510) , (18)

ГХб = f (21 + 70 Сз- 250 + (19)

Интересно заметить, что непланарный Cs-вклад в четырёхпетлевую аномальную размерность операторов твиста-2 модифицируется таким же образом, как и в планарном случае:

iuliii + 2) - - 640 Sj(j) (1 + ^г) Cs • (20)

То есть (5-вклад в непланарную четырёхпетлевую универсальную аномальную размерность имеет такой же вид, как и Сб-вклад в планарном случае (14), который, в свою очередь, получен целиком только из учёта краевых эффектов. Такой результат наводит на мысль о возможной связи между вычислением непланарных поправок и поправок, связанных с учётом краевых эффектов. Основываясь на полученных результатах

и нашем опыте восстановления функционального вида аномальной размерности по нескольким первым значениям, мы нашли следующие выражения для (з-и Сз-частей непланарного вклада в полную четырёхпет-левую универсальную аномальную размерность операторов твиста-2:

+ = -160 (21)

у(3) (

1ипг>пр, V

7£1„р.с,0'+2) = -19251Ш(51и)5_2(Я+ ЗД), (22)

где

„о) + (■))Cя + 'Y(3, а))— (23)

¡ипг,пр\-1 > у 'ипг.пр.С'Л-'/^о 1 /ипг,пр,Сз\^ / ъо > 1ипг,пр,га1«/у ^у2 ' V

Полученный результат может послужить одной из отправных точек в исследовании АдС/КТП-соответствия вне планарного предела.

Разработанный метод позволяет проводить дальнейшие четырёхпет-левые вычисления, причём не только в М — 4 СЯМ-теории (например высшие моменты для непланарного вклада), но и в КХД, где полученные результаты могут быть использованы для исследований, проводимых на Большом Адронном Коллайдере. В этом контексте вычисления в М = 4 СЯМ-теории являются отличной проверкой метода вычислений, так как в ходе расчётов в Л/" = 4 СЯМ-теории вычисляются все диаграммы, появляющиеся в КХД (однако с другими цветовыми структурами). Пример таких вычислений приведён в разделе 5.5, где выполнен расчёт непланарного вклада в несинглетную аномальную размерность операторов Вильсона твиста-2 в четвёртом порядке теории возмущений в КХД.

Все вычисления, представленные в данной главе, были выполнены в суперсимметричном варианте (БН-схема) схемы размерной регуляризации (МЭ-схема). В разделе 5.6 для обоснования применимости ВК-схемы в четырёхпетлевых вычислениях нами были проведены вычисления констант перенормировки в Я = 4 СЯМ-теории в данном порядке теории возмущений. Проверкой служило равенство нулю

/3-функции как из калибровочной вершины (вершина дух-дух-глюон), так и из юкавской вершины (вершина фермион-фермион-скаляр). Вычисление более 725 ООО диаграмм дало нулевой результат в обоих случаях, что служит обоснованием корректности использования ВН-схемы для наших вычислений, то есть для вычисления диаграмм пропагатор-ного и вершинного типа в четвёртом порядке теории возмущений.

Шестая глава посвящена учёту краевых эффектов с использованием вычисления спектра состояний квантовой теории поля в конечном объёме в контексте АдС/КТП-соответствия. Несмотря на то что все-петлевой асимптотический Бете-анзатц для интегрируемой АдС/КТП-системы был получен главным образом со стороны Л/* = 4 СЯМ-теории, последовательный учёт краевых эффектов для спиновой цепочки со стороны теории поля до сих пор не разработан. Однако со стороны теории струн интегрируемость связана с двумерной сигма-моделью, которая является достаточно хорошо изученной. Имеется несколько точно решаемых двумерных конформных теорий поля, которые могут помочь понять общие принципы учёта краевых эффектов, проявляющихся при рассмотрении двумерных квантовых теорий поля в конечном объёме. Краевые эффекты в таких моделях обусловлены появлением процессов, в которых частица (состояние), распространяющаяся вдоль цилиндра, может приобретать поправки от виртуальных состояний, распространяющихся по окружности цилиндра.

Впервые формулы для разности массы частицы в бесконечной и конечной квантовых теориях поля были получены Люшером в работах [20]. Люшер нашёл, что это изменение может быть выражено через 5-матрицу рассеяния, определённую в бесконечном объёме. Результирующее выражение зависит от типа рассматриваемых диаграмм. Так называемый .Г-член происходит из правой диаграммы рис. 2, представляет из себя поправки, обусловленные распространением виртуальных

Рис. 2: Диаграмма слева (д-член) показывает частицу, распадающуюся на две виртуальные частицы, находящиеся на массовой поверхности, распространяющиеся вокруг цилиндра и затем рекомбинирующие. Диаграмма справа (.F-член) показывает виртуальную частицу, распространяющуюся по окружности цилиндра

частиц вокруг цилиндра и имеет следующий вид:

Яй i—

те Ъ C0Shí? 1>«ь(у + - l)e_mLcosh9 , (24)

где S{¡[¡(@) обозначает матрицу рассеяния в бесконечном объёме и L есть длина окружности цилиндра, /л-член происходит из левой диаграммы рис. 2, представляет из себя поправки, обусловленные распадом на две виртуальные частицы и их последующей рекомбинацией с другой стороны цилиндра, и имеет следующий вид:

Arrv(L) = - £ 6{ml - \m¡ - m2c\)^ab(-i)Res . (25)

b,c

Однако эти поправки были получены для одночастичного состояния и в релятивистской квантовой теории поля с дисперсионным соотношением £2 = ш2 + р2, в то время как струнная сигма-мод ель на мировой поверхности пространства анти-де Ситтера является нерелятивистской теорией с дисперсионным соотношением Е2 = 1+8<?2 sin2 | и рассматриваемые в ней состояния являются многочастичными. Обобщение формул Люшера на струнную сигма-модель было выполнено в работе [12]

путём сравнения рассматриваемой модели с известными точно решаемыми моделями, например такой как втЬ-Оогскт. Спектр состояний в модели зтЬ-Согс1оп известен точно для произвольного объёма. Поэтому не представляет труда извлечь из общей формулы для энергии состояния лидирующие поправки по объёму. Предположив, что полученные выражения должны быть универсальны для всех интегрируемых двумерных квантовых теорий поля, можно использовать их для учёта эффектов конечной длины в струнной сигма-модели. Полученный результат в соответствии с АдС/КТП-соответствием может быть разложен по малой константе связи и использован для учёта краевых эффектов для операторов конечной длины, идентифицированных с соответствующими струнными состояниями. Впервые полученные формулы были применены к простейшему двухчастичному состоянию, соответствующему простейшему оператору, в Л/" = 4 СЯМ-теории - оператору Кониши. Учёт краевых эффектов в лидирующем порядке ведёт к поправкам в аномальную размерность оператора Кониши в четвёртом порядке теории возмущений, результат вычисления которых может быть записан как [12]

= (324 + 864Сз - Ш0С5) <78 • (26)

После корректировки неточностей, найденных в вычислении аналогичной величины путём учёта "обёртывательных" диаграмм в суперполевом формализме [11], оба метода дали одинаковый результат, который при добавлении к части, полученной с помощью асимптотического Бете-анзатца, был подтверждён некоторое время спустя нашими прямыми вычислениями (13).

Следующим этапом было вычисление поправок и для других операторов твиста-2, то есть для операторов, рассмотренных нами в главе четыре и состоящих из двух скалярных полей и М ковариантных производных,и принадлежащих $/(2)-сектору. Напомним, что аномальная размерность таких операторов после аналитического продолжения

в М = — 1 + и! может быть сопоставлена с предсказаниями, следующими из уравнения БФКЛ (9). После обобщения формул для двухчастичного состояния на многочастичные состояния, такой результат был получен в работе [19], и было подтверждено, что результат вычислений согласуется с предсказаниями, следующими из уравнения БФКЛ как в лидирующем, так и в следующем после лидирующего приближениях.

Полученные в работе [19] формулы были обобщены на простейшие операторы твиста-3 [21], для которых краевые эффекты начинают проявляться впервые в пятом порядке теории возмущений.

Затем были выведены формулы для следующего после лидирующего приближения в обобщённых формулах Люшера для учёта краевых эффектов [22]. Новыми особенностями рассматриваемых поправок были модификация асимптотического Бете-анзатца вследствие учёта краевых эффектов и включение в рассмотрение фактора одевания. Полученные формулы были применены в работе [22] для вычисления пятипет-левой аномальной размерности оператора Кониши. Единственной проверкой полученного результата была внутренняя самосогласованность метода вычислений.

Однако напомним ещё раз, что для операторов твиста-2 имеется и более мощная и независимая проверка полученных формул, связанная с предсказаниями, следующими из уравнения БФКЛ (9). Но для такой проверки требуются вычисления полной аномальной размерности для операторов твиста-2. Такие вычисления были проделаны нами в разделе 6.2. Вначале была вычислена часть аномальной размерности, идущая из асимптотического Бете-анзатца, по аналогии с вычислениями, проделанными в главе четыре. В пятом порядке теории возмущений базис состоял бы из 1500 гармонических сумм, то есть нам потребовалось бы вычислить с помощью асимптотического Бете-анзатца более 1500 значений. На помощь пришёл обобщённый принцип обратимости Грибова - Липатова [23], позволивший уменьшить базис до 256 биноми-

альных гармонических сумм, определяемых как

.....гЛт = ("1)" £(-!)''(*) (27)

Окончательный результат представлен в разделе 6.2.1.

Затем формулы Люшера в следующем после лидирующего приближении были обобщены на операторы твиста-2 с произвольным значением М. В полученных выражениях необходимо было выполнить суммирование по всем возможным промежуточным состояниям и интегрирование по быстроте. Для простейшего оператора Кониши такие вычисления были проведены аналитически. Однако мы нашли, что при произвольном целом значении М гораздо эффективнее проводить численное интегрирование с высокой точностью для каждого члена суммы, добиваясь необходимой точности результата, который используется затем для нахождения коэффициентов в трансцендентном базисе с помощью алгоритма Таким образом, нам удалось вычислить поправки, обусловленные краевыми эффектами, для первых 48 значений М. Предполагая, что и для этих поправок будет выполняться обобщённый принцип обратимости Грибова - Липатова, нам удалось полностью восстановить общий вид аномальной размерности операторов твиста-2 в пятом порядке теории возмущений. Полученный результат после аналитического продолжения в М = — 1 + и) оказался в полном согласии с предсказаниями, следующими из уравнения БФКЛ как в лидирующем, так и в следующем после лидирующего приближениях. Данная проверка послужила подтверждением правильности полученного нами результата, а также предположений, на основе которых этот результат был получен.

Кроме того, в разделе 6.3 данные вычисления были обобщены на случай операторов твиста-3, где аналогичные поправки возникают в шестом порядке теории возмущений. Полученный результат также удовлетворял всем известным проверкам.

Таким образом, нами были разработаны различные методы вычисления аномальных размерностей составных операторов в Af = 4 СЯМ-теории, и получены результаты, которые могут служить своего рода "экспериментальной" проверкой для предложенных недавно спектральных уравнений [13], позволяющих вычислять аномальные размерности любых операторов в любом порядке теории возмущений и при любом значении константы связи.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы, обсуждается значимость полученных результатов и дальнейшие перспективы исследований.

Приложение А содержит правила Фейнмана для М = 4 СЯМ-теории и для скалярных операторов твиста-2, возникающих в данной теории.

В приложении Б приведены явные формулы для собственных значений матрицы рассеяния, возникающих при вычислении краевых эффектов с использованием обобщённых формул Люшера для пятипетле-вой аномальной размерности операторов твиста-2 в N = 4 СЯМ-теории, рассматриваемых в разделе 6.2.

Приложение В посвящено получению базиса, необходимого для вычисления полной шестипетлевой аномальной размерности операторов твиста-3 в М — 4 СЯМ-теории, представленного в разделе 6.3.

Литература

[1] Maldacena J. М. Adv. Theor. Math. Phys. 1998. V. 2. P. 231.

[2] Gubser S. S., Klebanov I. R. and Polyakov A. M. Phys. Lett. В. 1998.

V. 428. P. 105.

[3] Witten E. Adv. Theor. Math. Phys. 1998. V. 2. P. 253.

[4] Berenstein D. E., Maldacena J. M. and Nastase H. S. JHEP. 2004.

V. 0204. P. 013.

Metsaev R. R. and Tseytlin A. A. Phys. Rev. D. 2002. V. 65. P. 126004.

Minahan J. A. and Zarembo K. JHEP. 2003. V. 0303. P. 013.

Beisert N., Kristjansen C. and Staudacher M. Nucl. Phys. B. 2003. V. 664. P. 131.

Bena I., Polchinski J. and Roiban R. Phys. Rev. D. 2004. V. 69. P. 046002.

Beisert N., Dippel V. and Staudacher M. JHEP. 2004. V. 0407. P. 075.

Beisert N., Eden B. and Staudacher M. J. Stat. Mech. 2007. V. 0701. P. 021.

Fiamberti F., Santambrogio A., Sieg C. and Zanon D. Phys. Lett. B. 2008. V. 666. P. 100.

Bajnok Z. and Janik R. A. Nucl. Phys. B. 2009. V. 807. P. 625.

Gromov N., Kazakov V. and Vieira P. Phys. Rev. Lett. 2009. V. 103. P. 131601.

Kotikov A. V. and Lipatov L. N. Nucl. Phys. B. 2003. V. 661. P. 19.

Fadin V. S. and Lipatov L. N. Phys. Lett. B. 1998. V. 429. P. 127.

Moch S., Vermaseren J. A. M. and Vogt A. Nucl. Phys. B. 2004. V. 688. P. 101.

Bern Z., Czakon M., Dixon L. J., Kosower D. A. and Smirnov V. A. Phys. Rev. D. 2007. V. 75. P. 085010.

Laporta S. Int. J. Mod. Phys. A. 2000. V. 15. P. 5087.

Bajnok Z., Janik R. A. and Lukowski T. Nucl. Phys. B. 2009. V. 816. P. 376.

Luscher M. Commun. Math. Phys. 1986. V. 104. P. 177; Commun. Math..Phys. 1986. V. 105. P. 153.

Beccaria M., Forini V., Lukowski T. and Zieme S. JHEP. 2009. V. 0903. P. 129.

Bajnok Z., Hegedus A., Janik R. A. and Lukowski T. Nucl. Phys. B. 2010. V. 827. P. 426.

Dokshitzer Yu. L. and Marchesini G. Phys. Lett. B. 2007. V. 646. P. 189.

Отпечатано в типографии ПИЯФ РАН

188300, Гатчина Ленинградской обл., Орлова роща Зак. 123, тир. 100, уч.-изд. л. 2; 07.04.2011 г.

Глава I Введение

Глава II Уравнения эволюции в КХД

2.1 КХД.

2.2 Уравнение ДГЛАП

2.2.1 Партонная модель.

Обратимость Грибова-Липатова: Функции распределения

2.2.2 Операторное разложение.

Обратимость Грибова-Липатова: Аномальные размерности

2.2.3 Факторизационная теорема в КХД.

2.3 Уравнение ЕР-БЛ.

2.4 Уравнение БФКЛ.

2.4.1 Теория Редже

2.4.2 Многореджеонные процессы в КХД.

2.4.3 Уравнения БФКЛ и ДГЛАП в Я = 4 СЯМ теории.

2.4.4 Дважды логарифмы.

Глава III Аномальные размерности операторов Вильсона твистав Я = 4 СЯМ теории

3.1 Я = 4 суперсимметричная теории Янга-Миллса.

3.2 Вычисление двухпетлевых матричных элементов операторов Вильсона твиста-2.

3.2.1 Неполяризованный случай.

3.2.2 Поляризованный случай.

3.3 Аномальные размерности операторов Вильсона твиста-2 при ненулевом переданном импульсе в Я = 4 СЯМ теории.

3.3.1 Конформные операторы твиста-2 в Я = 4 СЯМ теории.

3.3.2 Суперсимметричное тождество Уорда.

3.3.3 Универсальная аномальная размерность в Я = 4 СЯМ.

3.4 Трёхпетлевая аномальная размерность операторов Вильсона твистав Я = 4 СЯМ теории.

3.4.1 Принцип максимальной трансцендентности.

3.4.2 Трёхпетлевые поправки к универсальной аномальной размерности

3.4.2.1 Предел ] —^ оо.

3.4.2.2 Предел 1.

3.4.2.3 Предел з -»■ -1 - г, г >

3.4.3 Связь с интегрируемостью.

Глава IV Асимптотический Бете-анзатц

4.1 Введение.

4.1.1 Аномальные размерности из спиновой системы.

4.1.2 Бете-анзатц для N = 4 СЯМ спиновой цепочки.

4.1.2.1 Бете-анзатц для ви{2) сектора в одной петле.

Одно-магнонный случай.

Двух-магнонный случай.

М-магнонный случай.

4.1.2.2 Бете-анзатц для БЬ(2) сектора в одной петле.

4.1.2.3 Сохраняющиеся заряды

4.1.2.4 БМН формула для подхода Бете-анзатца.

4.1.3 Теоретико-групповой подход.

4.1.4 Высшие петли в ви(2) секторе.

4.1.5 БДС модель

4.1.5.1 Уравнения Бете для струн.

4.2 Проверка всепетлевого асимптотического Бете-анзатца.

4.2.1 Четырёхпетлевая аномальная размерность операторов твиста

4.2.2 Четырёхпетлевая аномальная размерность операторов твиста

Глава V Пертурбативные вычисления

5.1 Введение.

5.1.1 Топологии.

5.1.2 Генерация диаграмм.

5.1.3 Вычисление диаграмм.

5.1.3.1 БАМБА.

5.1.3.2 Разложение.

5.2 Планарный Кониши.

5.3 Лидирующий трансцендентный вклад в четырёхпетлевую аномальную размерность операторов твиста-2.

5.4 Непланарный Кониши.

5.4.1 Непланарный вклад в четырёхпетлевую несинглетную аномальную размерность в КХД.

5.5 Четырёхпетлевая бэта-функция в N = 4 СЯМ теории.

Глава VI Вычисление краевых эффектов

6.1 Введение.

6.1.1 Диаграммный вывод формул Люшера.

6.1.1.1 Функции Грина.

6.1.1.2 Связь с Б-матрицей.

6.1.2 Четырёхпетлевая аномальная размерность оператора Кониши . 145 6.1.2.1 Оператор Кониши и краевые эффекты.

6.1.2.2 Эффекты конечной длины для многочастичных состояний - релятивистские теории.

6.1.2.3 Уравнения ТБА для учёта эффектов конечной длин . . 147 Эффекты конечной длины для основного состояния . . . 148 Эффекты конечной длины для движущегося одночастичного состояния.

Эффекты конечной длины для многочастичных состояний - диагональное рассеяние.

Эффекты конечной длины для многочастичных состояний - недиагональное рассеяние и случай АдС.

6.1.2.4 Составляющие части для вычисления Кониши.

S-матрица для симметричного и антисимметричного представлений

Скалярный множитель.

Матричная часть.

6.1.2.5 Вычисление Кониши.

6.1.3 Четырёхпетлевая аномальная размерность операторов твиста

Виртуальные частицы и экспоненциальный множитель

Матрица рассеяния

Скалярная часть.

Матричная часть.

6.1.3.1 Вычисление обёртывательных поправок.

Обёртывательные поправки для нечётного числа частиц

6.1.3.2 Вычисление интеграла и результат.

6.1.3.3 Асимптотика и сравнение с БФКЛ.

6.1.4 Пятипетлевая аномальная размерность операторов твиста

6.1.5 Пятипетлевая аномальная размерность оператора Кониши

6.1.5.1 Термодинмаический Бете-анзатц.

6.1.5.2 Многочастичные формулы Люшера .'.

6.1.5.3 Фаза одевания.

Фаза одевания для физических частиц.

Фаза одевания в люшеровской кинематике.

6.1.5.4 Вычисление обёртывательных поправок.

Асимптотический Бете-аназтц.

Общая структура обёртывательных поправок.

Лидирующий вклад.

Пятипетлевой интегрант

Матричная часть.

Скалярная часть.

Экспоненциальная часть.

Фаза одевания.

Модификация асимптотического Бете-анзатца.

Вклад Yq'2^ (q).

6.1.5.5 Интегрирование и результат.

6.2 Пятипетлевая аномальная размерность операторов твиста-2.

6.2.1 Структура аномальной размерности

6.2.2 Пятипетлевая аномальная размерность из АБА.

6.2.3 Вычисление обёртывательных поправок.

6.2.3.1 Четырёхлетлевой интегрант y¿8,0).

6.2.3.2 Вывод У(10'°>.!.

6.2.3.3 Скалярная часть

6.2.3.4 Фаза одевания.

6.2.3.5 Экспоненциальная часть.

6.2.3.6 Матричная часть.

6.2.3.7 Вычисление Y¿8'2).

6.2.3.8 Модификация АБА.

6.2.4 Вычисление и результат

6.2.5 Асимптотика и сравнение с БФКЛ.

6.3 Шестипетлевая аномальная размерность операторов твиста-3.

6.3.1 Шестипетлевая аномальная размерность из АБА.

6.3.2 Обёртывательные поправки.

6.3.3 Вычисления и результат.

6.3.4 Асимптотика и аналитическое продолжение.

Глава VII Заключение

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Путём прямых диаграммных вычислений матрицы аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в следующем после лидирующего порядке в Af = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса подтверждён принцип максимальной трансцендентности для функций, входящих в выражения для собственных значений матриц.

2. Разработан метод получения аномальных размерностей операторов Вильсона твиста-2 в высших порядках в кинематике с ненулевым переданным импульсом в Af = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса из аналогичных результатов в квантовой хромодинамике.

3. С использованием принципа максимальной трансцендентности получена полная аномальная размерность операторов твиста-2 в третьем порядке теории возмущений в Af = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, позволившая подтвердить предполагаемую интегрируемость, обнаруженную при исследовании АдС/КТП-соответствия.

4. Показано, что асимптотический Бете-анзатц, являющийся одним из главных результатов исследований интегрируемости в контексте АдС/КТП-соответствия, даёт неполный результат для операторов конечной длины и требует учёта краевых эффектов.

5. Разработан полностью компьютеризированный метод вычисления четырёхпет-левых аномальных размерностей. Данный метод был использован для расчёта четырёхпетлевой аномальной размерности оператора Кониши в N = 4 СЯМ теории, подтвердившего правильность предположений, использованных при вычислении краевых эффектов к асимптотическому Бете-анзатцу для операторов конечной длины.

6. Показано, что схема размерной редукции (БЯ-схема) корректно работает для вычислений в Л/" = 4 СЯМ теории до четвёртого порядка теории возмущений. Обоснование было достигнуто путём прямого вычисления четырёхпет-левых констант перенормировки в Л/* = 4 СЯМ теории, дающих отсутствие перенормировки констант взаимодействия как для калибровочной, так и для юкавской вершин.

7. Впервые получен результат для непланарного (подавленного по цветовому фактору) вклада в четырёхпетлевую аномальную размерность операторов твиста-2 в А/" = 4 СЯМ теории. Данный результат может послужить одной из отправных точек в исследовании АдС/КТП-соответствия вне планарного предела.

8. С использованием интегрируемости получена полная пятипетлевая аномальная размерность операторов твиста-2 в А/* = 4 СЯМ теории. Данный результат оказался в согласии с предсказаниями, следующими из уравнения БФКЛ, тем самым подтвердив правильность вида поправок, обусловленных как модификацией асимптотического Бете-анзатца вследствие учёта краевых эффектов, так и включением в рассмотрение фактора одевания. Кроме того, данные вычисления были обобщены на случай операторов твиста-3, где аналогичные поправки возникают в шестом порядке теории возмущений. Полученный результат также удовлетворял всем известным проверкам.

Изложенные в диссертации результаты были опубликованы в работах [123, 124, 163, 252, 218, 220, 227, 229, 274, 282, 243, 230] и некоторые вспомогательные результаты можно найти в работах [160, 165].

Среди перспектив дальнейшего развития прежде всего стоит отметить исследование интегрируемости, связанной с уравнением БФКЛ. В лидирующем порядке уравнения, возникающие при исследовании интегрируемости и связанные как с уравнением БФКЛ, так и с изучением составных операторов, имеют очень схожий вид. Зная о всепетлевой интегрируемости, позволяющей получать результаты для аномальных размерностей составных операторов, верится в то, что аналогичные результаты должны появляться и при исследовании уравнения БФКЛ в следующих порядках.

Большой интерес представляет также исследование аналитических свойств уже известных до пятого порядка теории возмущений аномальных размерностей операторов твиста-2. Есть некоторые основания считать, что в Ai — 4 СЯМ теории возможно получить обобщение дважды-логарифмических уравнений как за пределами лидирующего приближения, так и за пределами дважды-логарифмического полюса* j ~ О (M ~ —2), то есть включение в рассмотрение других отрицательных значений 3 = -2, -4, -6,. (М = -4, -6, -8,. .)•

Накопленный опыт в вычислении ренормгрупповых величин (Глава V) может быть применён к вычислению аномальных размерностей как в других суперсимметричных моделях, так и в КХД, где полученные результаты могут быть использованы для исследований, проводимых на Большом Адронном Коллайдере. Особо стоит отметить возможность вычисления следующих моментов для непланарного вклада в четырёхпетлевую аномальную размерность операторов твиста-2 в Ai = 4 СЯМ теории, для того, чтобы найти функциональный вид данной поправки, что может стать одной из отправных точек в исследовании АдС/КТП-соответствия вне планарного предела. Кроме того, разработанный нами метод может быть обобщён на следующий порядок теории возмущений с целью вычисления ренормгрупповых величин (например, ^-функции в КХД) в пятом порядке теории возмущений.

Кое-что из перечисленного уже находится в стадии исследований и вычислений и мы надеемся получить новые результаты, которые будут привлекать к себе такой же интерес, как и описанные в этой диссертации.

В заключении хочу поблагодарить Дмитрия Игоревича Казакова, Анатолия Котикова, Владимира Александровича Смирнова, Александра Смирнова, Михаила Тень-тюкова, Matthias Staudacher, Adam Rej, Tomasz Lukowski и, особенно, Андрея Они-щенко и Льва Николаевича Липатова за многие часы обсуждений и интересную совместную работу.

1. Maldacena J. M. The large N limit of superconformal field theories and supergravity // 1998. Adv. Theor. Math. Phys. V. 2. P. 231-252.

2. Gubser S. S., Klebanov I. R. and Polyakov A. M. Gauge theory correlators from noncritical string theory // 1998. Phys. Lett. В. V. 428. P. 105-114.

3. Witten E. Anti-de Sitter space and holography // 1998. Adv. Theor. Math. Phys. V. 2. P. 253-291.4. 't Hooft G. A planar diagram theory for strong interactions // 1974. Nucl. Phys. B. V. 72. P. 461-473.

4. Berenstein D. E., Maldacena J. M. and Nastase H. S. Strings in flat space and pp waves from N=4 super Yang-Mills I I 2002. JHEP. V. 0204. P. 013 29 pages],

5. Metsaev R. R. Type IIB Green-Schwarz superstring in plane wave Ramond-Ramond background // 2002. Nucl. Phys. В. V. 625. P. 70-96.

6. Metsaev R. R. and Tseytlin A. A. Exactly solvable model of superstring in Ramond-Ramond plane wave background // 2002. Phys. Rev. D. V. 65. P. 126004 19 pages].

7. Plefka J. C. Lectures on the plane wave string / gauge theory duality // 2004. Fortsch. Phys. V. 52. P. 264-301.

8. Minahan J. A. and Zarembo K. The Bethe ansatz for N=4 super Yang-Mills // 2003. JHEP. V. 0303. P. 013 28 pages]

9. Beisert N., Kristjansen C. and Staudacher M. The dilatation operator of conformal N=4 super Yang-Mills theory // 2003. Nucl. Phys. В. V. 664. P. 131-184.

10. Beisert N. and Staudacher M. The N=4 SYM integrable super spin chain // 2003. Nucl. Phys. В. V. 670. P. 439-463.

11. Bena I., Polchinski J. and Roiban R. Hidden symmetries of the AdS(5) x S**5 superstring // 2004. Phys. Rev. D. V. 69. P. 046002 7 pages].

12. Грибов В. H., Липатов JI. Н. Глубоко неупругое ер-рассеяние в теории возмущений // 1972. Ядерная физика. Т. 15, В. 4. С. 781-807 .

13. Грибов В. Н., Липатов Л. Н. Аннигиляция е+е- пар и глубоко неупругое ер-рассеяние в теории возмущений // 1972. Ядерная физика. Т. 15, В. 6. С. 1218-1237.

14. Липатов Л. Н. Партонная модель и теория возмущений // 1974. Ядерная физика. Т. 20, В. 1. С. 181-198.

15. Altarelli G. and Parisi G. Asymptotic freedom in parton language // 1977. Nucl. Phys. В. V. 126. P. 298-318.

16. Докшиг^ер Ю. Л. Вычисление структурных функций для глубоко неупругого рассеяния и е+ер-аннигиляции в теории возмущений квантовой хромодинами-ки // 1977. ЖЭТФ. Т. 73, В. 4. С. 1216-1249.

17. Липатов Л. Н. Реджезация векторного мезона и вакуумная особенность в неа-белевых калибровочных теориях // 1976. Ядерная физика. Т. 23, В. 3. С. 642-649.

18. Fadin V. S., Kuraev Е. A. and Lipatov L. N. On the Pomeranchuk singularity in asymptotically free theories // 1975. Phys. Lett. В. V. 60. P. 50-52.

19. Кураев Э. А., Липатов Л. II., Фадин В. С. Мультиреджеонные процессы в теории Янга-Миллса // 1976. ЖЭТФ. Т. 71, В. 3. С. 840-855.

20. Кураев Э. А., Липатов Л. Н., Фадин В. С. Сингулярность Померанчука в неа-белевых калибровочных теориях // 1977. ЖЭТФ. Т. 72, В. 1. С. 377-389.

21. Балицкий Я. Я., Липатов Л. Н. Сингулярность Померанчука в квантовой хро-модинамике // 1978. Ядерная физика. Т. 28, В. 7. С. 1597-1611.

22. Балицкий Я. Я., Липатов Л. Н. Вычисление сечения мезон-мезонного взаимодействия в квантовой хромодинамике // 1979. Письма в ЖЭТФ. Т. 30, В. 6. С. 383-386.

23. Fritzsch Н., Gell-Mann М. and Leutwyler Н. Advantages of the color octet gluon picture // 1973. Phys. Lett. В. V. 47. P. 365-368.

24. Yang C. N. and Mills R. L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance // 1954. Phys. Rev. V. 96. P. 191-195.

25. Bjorken J. D. Asymptotic sum rules at infinite momentum // 1969. Phys. Rev. V. 179. P. 1547-1553.

26. Feynman R. P. Very high-energy collisions of hadrons // 1969. Phys. Rev. Lett. V. 23. P. 1415-1417.

27. Regge T. Bound states, shadow states and Mandelstam representation // 1960. Nuovo Cim. V. 18. P. 947-956.

28. Липатов Л. H. Затравочный померон в квантовой хромодинамике // 1986. ЖЭТФ. Т. 90, В. 5. С. 1536-1552.

29. Lipatov L. N. Pomeron and odderon in QCD and a two-dimensional conformai field theory // 1990. Phys. Lett. В. V. 251. P. 284-287.

30. Lipatov L. N. Duality symmetry of Reggeon interactions in multicolor QCD // 1999. Nucl. Phys. В. V. 548. P. 328-362.

31. Lipatov L. N. High-energy asymptotics of multicolor QCD and exactly solvable lattice models // hep-th/9311037.

32. Липатов JI. H. Асимптотика многоцветной КХД при больших энергиях и точно решаемые спиновые модели // 1994. Письма в ЖЭТФ. Т. 59, В. 9. С. 571-574.

33. Faddeev L. D. and Korchemsky G. P. High-energy QCD as a completely integrable model // 1995. Phys. Lett. В. V. 342. P. 311-322.

34. Голъфапд Ю. А., Лихтман Е.П. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности // 1971. Письма в ЖЭТФ. Т. 13, В. 8. С. 452-455.

35. Volkov D. V. and Akulov V. P. Is the neutrino a goldstone particle? // 1973. Phys. Lett. В. V. 46. P. 109-110.

36. VFess J., Zumino B. A Lagrangian model invariant under supergauge transformations // 1974. Phys. Lett. В. V. 49. P. 52-54.

37. Бухвостов А. П., Кураев Э. А., Липатов Л. H., Фролов Г. В. Суперсимметрия и аномальные размерности квазипартонных операторов в КХД // 1985. Письма в ЖЭТФ. Т. 41, В. 2. С. 77-79.

38. Bukhvostov А. P., Frolov G. V., Lipatov L. N. and Kuraev E. A. Evolution equations for quasi-partonic operators // 1985. Nucl. Phys. В. V. 258. P. 601-646.

39. Belitsky A. V., Mueller D. and S chafer A. Implications of N=1 supersymmetry for QCD conformai operators // 1999. Phys. Lett. В. V. 450. P. 126-135.

40. Belitsky A. V. and Mueller D. N=1 supersymmetric constraints for evolution kernels // 1999. Nucl. Phys. Proc. Suppl. V. 79. P. 576-578.

41. Belitsky A. V. and Mueller D. Superconformai constraints for QCD conformai anomalies // 2002. Phys. Rev. D. V. 65. P. 054037 17 pages],

42. Antoniadis I. and Floratos E. G. A study of a possible quark gluon symmetry in QCD // 1981. Nucl. Phys. В. V. 191. P. 217-226.

43. Belitsky A. V., Mueller D. and Freund A. Reconstruction of nonforward evolution kernels // 1999. Phys. Lett. В. V. 461. P. 270-279.

44. Belitsky A. V. and Mueller D. Exclusive evolution kernels in two loop order: Parity even sector // 1999. Phys. Lett. В. V. 464. P. 249-256.

45. Brink L., Schwarz J. H., Scherk J. Supersymmetric Yang-Mills theories // 1977. Nucl. Phys. B. V. 121. P. 77-92.

46. Seiberg N.- and Witten E. Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory // 1994: Nucl. Phys. B. V 426. P. 19-52.

47. Seiberg N. and Witten E. Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD // 1994. Nucl. Phys. B. V. 431. P. 484-550.

48. Montonen C. and Olive D. I. Magnetic monopoles as gauge particles? // 1977. Phys. Lett. B. V. 72. P. 117-120.

49. Avdeev L. V., Tarasov O. V. and Vladimirov A. A. Vanishing of the three loop charge renormalization function in a supersymmetric gauge theory // 1980. Phys. Lett. B. V. 96. P. 94-96.

50. Grisaru M. T., Rocek M. and Siegel W. Zero three loop beta function in N=4 Super Yang-Mills theory // 1980. Phys. Rev. Lett. V. 45. P. 1063-1066.

51. Caswell W. E., Zanon D. Vanishing three loop beta function in N=4 supersymmetric Yang-Mills theory // 1981. Phys. Lett. B. V. 100. P. 152-156.

52. Brink L., Lindgren O., Nilsson B. E. W. The ultraviolet finiteness of the N=4 Yang-Mills theory // 1983. Phys. Lett. B. V. 123. P. 323-328.

53. Sohnius M. F. and West P. C. Conformal invariance in N=4 supersymmetric Yang-Mills theory // 1981. Phys. Lett. B. V. 100. P. 245-250.

54. Kotikov A. V. and Lipatov L. N. NLO corrections to the BFKL equation in QCD and in supersymmetric gauge theories // 2000. Nucl. Phys. B. V. 582. P. 19-43.

55. Kotikov A. V. and Lipatov L. N. DGLAP and BFKL equations in the N=4 supersymmetric gauge theory // 2003. Nucl. Phys. B. V. 661. P. 19-61.

56. Lipatov L. N. Proc. of the Int. Workshop on very high multiplicity // 2000. Dubna. P. 159-186.

57. Callan C'. G. and Gross D. J. High-energy electroproduction and the constitution of the electric current // 1969. Phys. Rev. Lett. V. 22. P. 156-159.

58. Drell S. D., Levy D. J. and Yan T. M. A theory of deep inelastic lepton-nucleon scattering and lepton pair annihilation processes. 11 I 1969. Phys. Rev. V. 187. P. 21592171.

59. Drell S. D., Levy D. J. and Yan T. M. A theory of deep inelastic lepton-nucleon scattering and lepton pair annihilation processes. 3. Deep inelastic electron-positron annihilation // 1970. Phys. Rev. D. V. 1. P. 1617-1639.

60. Curd G., Furmanski W. and Petronzio R. Evolution of parton densities beyond leading order: the nonsinglet case // 1980. Nucl. Phys. B. V. 175. P. 27-92.

61. Dokshitzer Yu. L., Marchesmi G. and Salam G. P. Revisiting parton evolution and the large-x limit // 2006. Phys. Lett. B. V. 634. P. 504-507.

62. Dokshitzer Yu. L. and Marchesini G. N=4 SUSY Yang-Mills: three loops made simple(r) // 2007. Phys. Lett. B. V 646. P. 189-201.

63. Wilson K. G. Nonlagrangian models of current algebra // 1969. Phys. Rev. V. 179. P. 1499-1512.

64. Christ N. H., Hasslacher B. and Mueller A. H. Light cone behavior of perturbation theory // 1972. Phys. Rev. D. V. 6. P. 3543 7 pages].

65. Politzer H. D. Asymptotic freedom: an approach to strong interactions // 1974. Phys. Rept. V 14. P. 129-180.

66. Gross D. J. and Wilczek F. Asymptotically free gauge theories. 2 // 1974. Phys. Rev. D. V. 9. P. 980-993.

67. Sasaki K. Polarized electroproduction in asymptotically free gauge theories // 1975. Prog. Theor. Phys. V. 54. P. 1816-1827.

68. Ahmed M. A. and Ross G. G. Polarized lepton hadron scattering in asymptotically free gauge theories // 1976. Nucl. Phys. B. V. 111. P. 441-460.

69. Gross D. J. and Wilczek F. Asymptotically free gauge theories. 1 // 1973. Phys. Rev. D. V. 8. P. 3633-3652.

70. Callan C. G. Broken scale invariance in scalar field theory // 1970. Phys. Rev. D. V. 2. P. 1541-1547.

71. Symanzik K. Renormalizable models with simple symmetry breaking. 1. Symmetry breaking by a source term // 1970. Commun. Math. Phys. V. 16. P. 48-80.

72. Symanzik K. Small distance behavior in field theory and power counting // 1970. Commun. Math. Phys. V. 18. P. 227-246.

73. Gross D. J. and Wilczek F. Ultraviolet behavior of nonabelian gauge theories // 1973. Phys. Rev. Lett. V. 30. P. 1343-1346.

74. Politzer H. D. Reliable perturbative results for strong interactions? // 1973. Phys. Rev. Lett. V. 30. P. 1346-1349.

75. Caswell W. E. Asymptotic behavior of nonabelian gauge theories to two loop order // 1974. Phys. Rev. Lett. V. 33. P. 244-246.

76. Jones D. R. T. Two loop diagrams in Yang-Mills theory // 1974. Nucl. Phys. B. V. 75. P. 531-538.

77. Егорян Э. Ш., Тарасов О. В. Перенормировка квантовой хромодинамики в двух-иетлевом приближении в произвольной калибровке // 1979. ТМФ. Т. 41, В. 1. С. 26-32.

78. Georgi Н., Politzer II. D. Electroproduction scaling in an asymptotically free theory of strong interactions // 1974. Phys. Rev. D. V. 9. P. 416-420.

79. Floratos E. G., Ross D. A. and Sachrajda С. T. Higher order effects in asymptotically free gauge theories: The anomalous dimensions of Wilson operators // 1977. Nucl. Phys. В. V. 129. P. 66-88.

80. Floratos E. G., Ross D. A. and Sachrajda С. T. Higher order effects in asymptotically free gauge theories. 2. Flavor singlet wilson operators and coefficient functions // 1979. Nucl. Phys. В. V. 152. P. 493-520.

81. Gonzalez-Arroyo A., Lopez C., Yndurain F. J. Second order contributions to the structure functions in deep inelastic scattering. 1. Theoretical calculations // 1979. Nucl. Phys. В. V. 153. P. 161-186.

82. Gonzalez-Arroyo A., Lopez C. Second order contributions to the structure functions in deep inelastic scattering. 3. The Singlet case // 1980. Nucl. Phys. В. V. 166. P. 429459.

83. Furmanski W. and Petronzio R. Singlet parton densities beyond leading order // 1980. Phys. Lett. В. V. 97. P. 437-442.

84. Floratos E. G., Kounnas C. and Lacaze R. Higher order QCD effects in inclusive annihilation and deep inelastic scattering // 1981. Nucl. Phys. В. V. 192. P. 417-462.

85. Lopez C., Yndurain F. J. Behavior at x = 0, 1, sum rules and parametrizations for structure functions beyond the leading order // 1981. Nucl. Phys. В. V. 183. P. 157-181.

86. Hamberg R., van Neerven W. L. The Correct renormalization of the gluon operator in a covariant gauge // 1992. Nucl. Phys. В. V. 379. P. 143-171.

87. Mertig R., van Neerven W. L. The calculation of the two loop spin splitting functions P(ij)(l)(x) // 1996. Z. Phys. С. V. 70. P. 637-654.

88. Vogelsang W. A rederivation of the spin dependent next-to-leading order splitting functions // 1996. Phys. Rev. D. V. 54. P. 2023-2029.

89. Vogelsang W. The spin dependent two loop splitting functions // 1996. Nucl. Phys. В. V. 475. P. 47-72.

90. Efremov A. V., Radyushkin A. V. Factorization and asymptotical behavior of pion form-factor in QCD // 1980. Phys. Lett. В. V. 94. P. 245-250.

91. Ефремов А. В., Радюшкин А. В. Асимптотика форм-фактора пиона в квантовой хромодинамике // 1980. ТМФ. Т. 42, В. 2. С. 147-166.

92. Lepage G. P. and Brodsky S. J. Exclusive processes in Quantum Chrото dynamics: Evolution equations for hadronic wave functions and the form-factors of mesons // 1979. Phys. Lett. В. V. 87. P. 359-365.

93. Lepage G. P. and Brodsky S. J. Exclusive processes in perturbative Quantum Chromodynamics // 1980. Phys. Rev. D. V. 22. P. 2157-2198.

94. Михайлов С. В., Радюшкип А. В. Эволюция волновой функции пиона в скалярной рЫ**3(6)-модели: Двухпетлевой расчет // 1985. ТМФ. Т. 65, В. 1. С. 44-59.

95. Mikhailov S. V., Radyushkin А. V. Evolution kernels in QCD: Two loop calculation in Feynman gauge // 1985. Nucl. Phys. В. V. 254. P. 89-126.

96. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. Structure of two loop evolution kernels and evolution of the pion wave function in phi**3 in six-dimensions and QCD // 1986. Nucl. Phys. В. V. 273. P. 297-319.

97. Mueller D. Constraints for anomalous dimensions of local light cone operators in phi**3 in six-dimensions theory // 1991. Z. Phys. С. V. 49. P. 293-300.

98. Mueller D. Conformal constraints and the evolution of the nonsinglet meson distribution amplitude // 1994. Phys. Rev. D. V. 49. P. 2525-2535.

99. Макеенко Ю. M. О конформных операторах в квантовой хромодинамике // 1981. Ядерная физика. Т. 33, В. 2. С. 842-847.

100. Ohrndorf Т. Constraints from conformal covariance on the mixing of operators of lowest twist // 1982. Nucl. Phys. В. V. 198. P. 26-44.

101. Dittes F. M., Radyushkin A. V. Two loop contribution to the evolution of the pion wave function // 1984. Phys. Lett. В. V. 134. P. 359-362.

102. Behtsky A. V. and Mueller D. Next-to-leading order evolution of twist-2 conformal operators: The Abelian case // 1998. Nucl. Phys. В. V. 527. P. 207-234.

103. Belitsky A. V. and Mueller D. Broken conformal invariance and spectrum of anomalous dimensions in QCD // 1999. Nucl. Phys. В. V. 537. P. 397-442.

104. Belitsky A. V., Freund A. and Mueller D. Evolution kernels of skewed parton distributions: Method and two loop results // 2000. Nucl. Phys. В. V. 574. P. 347406.

105. Lipatov L. N. Small x physics in perturbative QCD // 1997. Phys. Rept. V. 286. P. 131-198.

106. Colhns P. D. B. An introduction to Regge theory and high-energy physics // 1977. Cambridge. 445 pages.

107. Donnachie A., Landshoff P. V. Dynamics of elastic scattering I I 1986. Nucl. Phys. В. V. 267. P. 690-701.

108. В artels J. High-energy behavior in a nonabelian gauge theory. 2. First corrections to T(n—>m) beyond the leading Lns approximation // 1980. Nucl. Phys. В. V. 175. P. 365-401.

109. Kwiecinski J. and Praszalowicz M. Three gluon integral equation and odd с singlet regge singularities in QCD // 1980. Phys. Lett. В. V. 94. P. 413-416.

110. Fadin V. S. and Lipatov L. N. BFKL pomeron in the next-to-leading approximation // 1998. Phys. Lett. В. V. 429. P. 127-134.

111. Ciafaloni M. and Camici G. Energy scale(s) and next-to-leading BFKL equation // 1998. Phys. Lett. В. V. 430. P. 349-354.

112. Kirschner R., Lipatov L. N. and Szymanowski L. Effective action for multi Regge processes in QCD // 1994. Nucl. Phys. В. V. 425. P. 579-594.

113. Kirschner R., Lipatov L. N. and Szymanowski L. Symmetry properties of the effective action for high-energy scattering in QCD // 1995. Phys. Rev. D. V 51. P. 838855.

114. Lipatov L. N. Gauge invariant effective action for high-energy processes in QCD // 1995. Nucl. Phys. В. V. 452. P. 369-400.

115. Lipatov L. N. Evolution equations in QCD // Prepared for ICTP Conference on Perspectives in Hadronic Physics, Trieste, Italy, 12-16 May 1997

116. Горшков В. Г., Грибов В, Н., Липатов Л. Н., Фролов Г. В. Дважды логарифмические асимптотики в квантовой электродинамике // 1967. Ядерная физика. Т. 6, В. 1. С. 129-140.

117. Горшков В. Г, Грибов В. Н., Липатов Л. Н., Фролов Г. В. Электрон-позитронное рассеяние назад при высоких энергиях // 1967. Ядерная физика. Т. 6, В. 2. С. 361-374.

118. Киршнер Р., Липатов Л. Н. Дважды логарифмическая асимптотика кварковой амплитуды рассеяния с невакуумным обменом в t-канале // 1982. ЖЭТФ. Т. 83, В. 2. С. 488-501.

119. Kirschner R. and Lipatov L. N. Double logarithmic asymptotics of quark scattering amplitudes with flavor exchange // 1982. Phys. Rev. D. V. 26. P. 1202-1205.

120. Kirschner R. and Lipatov L. N. Double logarithmic asymptotics and Regge singularities of quark amplitudes with flavor exchange // 1983. Nucl. Phys. В. V. 213. P. 122-148.

121. Gorshkov V. G., Gribov V. N., Lipatov L. N. and Frolov G. V. Double logarithmic asymptotics of quantum electrodynamics // 1966. Phys. Lett. V. 22. P. 671-673.

122. Kotikov A. V., Lipatov L. N. and Velizhanin V. N. Anomalous dimensions of Wilson operators in N=4 SYM theory // 2003. Phys. Lett. В. V. 557. P. 114-120.t

123. Onishchenko A. I. and Velizhanin V. N. Nonforward anomalous dimensions of Wilson operators -in N=4 super Yang-Mills theory // 2004. JHEP. V. 0402. P. 036 17 pages].

124. Gliozzi F., Scherk J., Olive D. I. Supersymmetry, supergravity theories and the dual spinor model // 1977. Nucl. Phys. B. V. 122. P. 253-290.

125. Brink L., Lindgren O., Nilsson B. E. W. N=4 Yang-Mills theory on the light cone // 1983. Nucl. Phys. B. V. 212. P. 401-412.

126. Mandelstam S. Light cone superspace and the ultraviolet finiteness of the N=4 model // 1983. Nucl. Phys. B. V. 213. P. 149-168.

127. Capper D. M., Jones D. R. T. N=1 supersymmetric Yang-Mills theory in the light cone gauge // 1985. Phys. Rev. D. V. 31. P. 3295-3297.

128. Matiounine Y., Smith J. and van Neerven W. L. Two loop operator matrix elements calculated up to finite terms // 1998. Phys. Rev. D. V. 57. P. 6701-6722.

129. Matiounine Y., Smith J. and van Neerven W. L. Two loop operator matrix elements calculated up to finite terms for polarized DIS // 1998. Phys. Rev. D. V. 58. P. 076002 16 pages].

130. Lipatov L. N. Next-to-leading corrections to the BFKL equation and the effective action for high energy processes in QCD // 2001. Nucl. Phys. Proc. Suppl. V. 99A. P. 175-179.

131. Siegel W. Supersymmetric dimensional regularization via dimensional reduction // 1979. Phys. Lett. B. V. 84. P. 193-196.

132. Altarelli G., Curd G., Martinelli G., Petrarca S. QCD nonleading corrections to weak decays as an application of regularization by dimensional reduction // 1981. Nucl. Phys. D. V. 187. P. 461-513.

133. Schuler G. A., Sakakibara S. and Korner J. G. Use of four-dimensional spin methods in the calculation of radiative QCD corrections // 1987. Phys. Lett. B. V. 194. P. 125131.

134. Martin S. P. and Vaughn M. T. Regularization dependence of running couplings in softly broken supersymmetry // 1993. Phys. Lett. B. V. 318. P. 331-337.

135. Becchi C., Rouet A. and Stora R. The abelian Higgs-Kibble model. Unitarity of the S operator // 1974. Phys. Lett. B. V. 52. P. 344-346.

136. Becchi C., Rouet A. and Stora R. Renormalization of the abelian Higgs-Kibble model // 1975. Commun. Math. Phys. V. 42. P. 127-162.

137. Becchi C., Rouet A. and Stora R. Renormalization of gauge theories // 1976. Annals Phys. V. 98. P. 287-321.

138. Dixon J. A. and Taylor J. C. Renormalization of wilson operators in gauge theories // 1974. Nucl. Phys. В. V. 78. P. 552-560.

139. Kluberg-Stern H., Zuber J. B. Renormalization of nonabelian gauge theories in a background field gauge. 2. Gauge invariant operators // 1975. Phys. Rev. D. V. 12. P. 3159-3180.

140. Joglekar S. D., Lee B. W. General theory of renormalization of gauge invariant operators // 1976. Annals Phys. V. 97. P. 160-215.

141. Collins J. C. and Scahse R. J. The renormalization of composite operators in Yang-Mills theories using general covariant gauge // 1994. Phys. Rev. D. V. 50. P. 4117-4136.

142. Harris B. W., Smith J. Anomalous dimension of the gluon operator in pure Yang-Mills theory // 1995. Phys. Rev. D. V. 51. P. 4550-4560.

143. Faddeev L. D. and V. N. Popov Feynman diagrams for the Yang-Mills field // 1967. Phys. Lett. В. V. 25. P. 29-30.

144. Фаддеев JI. Д. Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов // 1969. ТМФ. Т. Г, В. 1. С. 3-18.

145. Taylor J. С. Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field //1971. Nucl. Phys. В. V 33. P. 436-444.

146. Славное А. А. Тождества Уорда в калибровочных теориях // 1972. ТМФ. Т. 10, В. 2. С. 153-161.

147. Tentyukov М. and Fleischer J. A Feynman diagram analyzer DIANA // 2000. Comput. Phys. Commun. V. 132. P. 124-141.

148. Nogueira P. Automatic Feynman graph generation // 1993. J. Comput. Phys. V. 105. P. 279-289.

149. Gorishnii S. G., Larin S. A., Surguladze L. R. and Tkachov F. V. MINCER: program for multiloop calculations in quantum field theory for the SCHOONSCHIP system // 1989. Comput. Phys. Commun. V. 55. P. 381-408.

150. Vermaseren J. A. M. New features of FORM // arXiv:math-ph/0010025.152. 't Hooft G., Veltman M. J. G. Regularization and renormalization of gauge fields //1972. Nucl. Phys. В. V. 44. P. 189-213.

151. Breitenlohner P., Maison D. Dimensionally renormalized Green's functions for theories with massless particles. 1. // 1977. Commun. Math. Phys. V. 52. P. 39-54.

152. Breitenlohner P., Maison D. Dimensionally renormalized Green's functions for theories with massless particles. 2. // 1977. Commun. Math. Phys. V. 52. P. 55-75.

153. Akyeampong D. A. and Delbourgo R. Dimensional regularization, abnormal amplitudes and anomalies // 1973. Nuovo Cim. A. V. 17. P. 578-586.

154. Akyeampong D. A. and Delbourgo R. Anomalies via dimensional regularization // 1974. Nuovo Cim. A. V. 19. P. 219-224.

155. Larin S. A. The renormalization of the axial anomaly in1 dimensionalregularization // 1993. Phys. Lett. В. V. 303. P. 113-118.

156. Larin S. A. and Vermaseren J. A. M. The alpha-s**3 corrections to the Bjorken sum rule for electroproduction and to Gross-Llewellyn Smith sum rule // 1991. Phys. Lett. В. V. 259. P. 345-352.

157. Adler S. L. and Bardeen W. A. Absence of higher order corrections in the anomalous axial vector divergence equation // 1969. Phys. Rev. V. 182. P. 1517-1536.

158. Onishchenko A. I. and Vehzhanin V. N. Anomalous dimensions of twist-2 conformal operators in supersymmetric Wess-Zumino model // arXiv:hep-ph/0309222.

159. Belitsky A. V., Derkachov S. E., Korchemsky G. P. and Manashov A. N. Superconformal operators in N=4 super Yang-Mills theory // 2004. Phys. Rev. D. V. 70. P. 045021 27 pages],

160. Бухвостов А. П., Липатов Л. H. and Попов Н. П. Функции партонных распределений в теории возмущений // 1974. Ядерная физика Т. 20, В. 2. С. 532-548.

161. Kotikov А. V., Lipatov L. N., Onishchenko А. /. and Velizhanin V. N. Three loop universal anomalous dimension of the Wilson operators in N=4 SUSY Yang-Mills model // 2004. Phys. Lett. В. V. 595. P. 521-529.

162. Moch S., Vermaseren J. A. M. and Vogt A. The three loop splitting functions in QCD: The nonsinglet case // 2004. Nucl. Phys. В. V. 688. P. 101-134.

163. Kotikov A. V. and Velizhanin V. N. Analytic continuation of the Mellin moments of deep inelastic structure functions // arXiv:hep-ph/0501274.

164. Beisert N., Dippel V. and Staudacher M. A Novel long range spin chain and planar N=4 super Yang-Mills I I 2004. JHEP. V. 0407. P. 075 48 pages].

165. Braun V. M., Derkachov S. E. and Manashov A. N. Integrability of three particle evolution equations in QCD // 1998. Phys. Rev. Lett. V. 81. P. 2020-2023.

166. Beisert N. The complete one loop dilatation operator of N=4 superYang-Mills theory // 2004. Nucl. Phys. В. V. 676. P. 3-42.

167. Bethe H. On the theory of metals. 1. Eigenvalues and eigenfunctions for the linear atomic chain // 1931. Z. Phys. V. 71. P. 205-226.

168. Faddeev L. D. How algebraic Bethe ansatz works for integrable model // arXivrhep-th/9605187.

169. Arutyunov G., Frolov S., Russo J. and Tseytlin A. A. Spinning strings in AdS(5) x S**5 and integrable systems // 2003. Nucl. Phys. В. V. 671. P. 3-50.

170. Arutyunov G., Russo J. and Tseytlin A. A. Spinning strings in AdS(5) x 3**5: New integrable system relations // 2004. Phys. Rev. D. V. 69. P. 086009 18 pages].

171. Kazakov V. A., Marshakov A., Minahan J. A. and Zarembo K. Classical/quantum integrability in AdS/CFT // 2004. JHEP. V. 0405. P. 024 54 pages].

172. Kazakov V. A. and Zarembo K. Classical / quantum integrability in non-compact sector of AdS/CFT // 2004. JHEP. V. 0410. P. 060 22 pages].

173. Beisert N., Kazakov V. A. and Sakai K. Algebraic curve for the SO(6) sector of AdS/CFT // 2006. Commun. Math. Phys. V. 263. P. 611-657.

174. Beisert N., Kazakov V. A., Sakai K. and Zarembo K. The algebraic curve of classical superstrings on AdS(5) x S**5 // 2006. Commun. Math. Phys. V. 263. P. 659-710.

175. Staudacher M. The factorized S-matrix of CFT/AdS // 2005. JHEP. V. 0505. P. 054 34 pages].

176. Beisert N. and Staudacher M. Long-range psu(2,2|4) Bethe ansatze for gauge theory and strings // 2005. Nucl. Phys. В. V. 727. P. 1-62.

177. Beisert N. The SU(2|2) dynamic S-matrix // 2008. Adv. Theor. Math. Phys. V. 12. P. 945 24 pages].

178. BlauM., Figueroa-O'Farrill J. M. and Papadopoulos G. Penrose limits, supergravity and brane dynamics // 2002. Class. Quant. Grav. V. 19. P. 4753-4806.

179. Blau M., Figueroa-O'Farrill J. M., Hull C. and Papadopoulos G. Penrose limits andmaximal supersymmetry // 2002. Class. Quant. Grav. V. 19. P. L87-L95.

180. Blau M., Figueroa-O'Farrill J. M., Hull C. and Papadopoulos G. A new maximally supersymmetric background of IIB superstring theory // 2002. JHEP. V. 0201. P. 047 15 pages].

181. Frolov S. and Tseytlin A. A Semiclassical quantization of rotating superstring in AdS(5) x S**5 // 2002. JHEP. V. 0206. P. 007 29 pages]. '

182. Gross D. J., Mikhailov A. and Roiban R. Operators with large R charge in N=4 Yang-Mills theory // 2002. Annals Phys. V. 301. P. 31-52.

183. Santambrogio A. and Zanon D. Exact anomalous dimensions of N=4 Yang-Mills operators with large R charge // 2002. Phys. Lett. В. V. 545. P. 425-429.

184. Тахтаджян Л. А., Фаддеев JI. Д. Спектр и рассеяние возбуждений в одномерном изотропном магнетике Гейзенберга 1981. Записки научных семинаров ЛОМИ. Т. 109. Р. 134-178.

185. Reshetikhin N. Y. A method of functional equations in the theory of exactly solvable quantum systems // 1983. Lett. Math. Phys. V. 7. P. 205-213.

186. Решетихин Н. Ю. Интегрируемые модели квантовых одномерных магнетиков с о(п)- и 8р(2к)-симметрией // 1985. ТМФ. Т. 63, В. 3. С. 347-366.

187. Parnachev A. and Ryzhov А. V. Strings in the near plane wave background and AdS / CFT // 2002. JHEP. V. 0210. P. 066 32 pages].

188. Konishi K. Anomalous supersymmetry transformation of some composite operators in SQCD // 1984. Pliys. Lett. В. V. 135. P. 439-444.

189. Anselmi D. The N=4 quantum conformal algebra // 1999. Nucl. Phys. В. V. 541. P. 369-385.

190. Beisert N. BMN operators and superconformal symmetry // 2003. Nucl. Phys. B. V. 659. P. 79-118.

191. Beisert N. The su(2|3) dynamic spin chain // 2004. Nucl. Phys. В. V. 682. P. 487-520.

192. Eden В., Jarczak C. and Sokatchev E. A three-loop test of the dilatation operator in N = 4 SYM // 2005. Nucl. Phys. В. V. 712. P. 157-195.

193. Serban D. and Staudacher M. Planar N=4 gauge theory and the Inozemtsev long range spin chain // 2004. JHEP. V. 0406. P. 001 31 pages],

194. Beisert N. Spin chain for quantum strings // 2005. Fortsch. Phys. V. 53. P. 852-860.

195. Ambjorn J., Janik R. A. and Kristjansen C. Wrapping interactions and a new source of corrections to the spin-cliain/string duality // 2006. Nucl. Phys. В. V. 736. P. 288-301.

196. Janik R. A. and Lukowski T. Wrapping interactions at strong coupling: The giant magnon // 2007. Phys. Rev. D. V. 76. P. 126008 14 pages],

197. Arutyunov G., Frolov S. and Staudacher M. Bethe ansatz for quantum strings // 2004. JHEP. V. 0410. P. 016 20 pages].

198. Bern Z., Czakon M., Dixon L. J., Kosower D. A. and Smirnov V. A. The four-loop planar amplitude and cusp anomalous dimension in maximally supersymmetric Yang-Mills theory // 2007. Phys. Rev. D. V. 75. P. 085010 34 pages],

199. Beisert N. and Tseytlin A. A. On quantum corrections to spinning strings and Bethe equations // 2005. Phys. Lett. В. V. 629. P. 102-110.

200. Hernandez R. and Lopez E. Quantum corrections to the string Bethe ansatz // 2006. JHEP. V. 0607. P. 004 10 pages].

201. Beisert N., Hernandez R. and Lopez E. A Crossing-symmetric phase for AdS(5) x S**5 strings // 2006. JHEP. V. 0611. P. 070 33 pages],

202. Beisert N., Eden B. and Staudacher M. Transcendentality and crossing // 2007. J. Stat. Mech. V. 0701. P. P01021 30 pages].

203. Eden В. and Staudacher M. Integrability and transcendentality // 2006. J. Stat. Mech. V. 0611. P. P11014 43 pages],

204. Vermaseren J. A. M. Harmonic sums, Mellin transforms and integrals // 1999. Int. J. Mod. Phys. A. V. 14. P. 2037-2076.

205. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A. and Marichev О. V. Integrals and Series, Vol. 3. More Special Functions // 1986. New York. Gordon & Breach.

206. Derkachov S. E., Korchemsky G. P., Manashov A. N. Evolution equations for quark gluon distributions in multicolor QCD and open spin chains // 2000. Nucl. Phys. B. V. 566. P. 203-251.

207. Nogueira P. Automatic Feynman graph generation // 1993. J. Comput. Phys. V. 105. P. 279-289.

208. Laporta S. High precision calculation of multiloop Feynman integrals by difference equations // 2000. Int. J. Mod. Phys. A. V. 15. P. 5087-5159.

209. Smirnov A. V. Algorithm FIRE Feynman Integral REduction // 2008. JHEP. V. 0810. P. 107 22 pages].

210. Collins J. G. Normal products in dimensional regularization // 1975. Nucl. Phys. B. V. 92. P. 477-506.

211. Владимиров А. А. Метод вычисления ренормгрупповых функций в схеме размерной ренормировки // 1980. ТМФ. Т. 43, В. 2. С. 210-217.

212. Chetyrkin К. G., Kataev A. L. and Tkachov F. V. New approach to evaluation of multiloop Feynman integrals: The Gegenbauer polynomial x space technique // 1980. Nucl. Phys. В. V. 174. P. 345-377.

213. Misiak M., Munz M. Two loop mixing of dimension five flavor changing operators // 1995. Phys. Lett. В. V. 344. P. 308-318.

214. Chetyrkin K. G., Misiak M., Munz M. Beta functions and anomalous dimensions up to three loops // 1998. Nucl. Phys. В. V. 518. P. 473-494.

215. Czakon M. The four-loop QCD beta-function and anomalous dimensions // 2005. Nucl. Phys. В. V. 710. P. 485-498.

216. Velizhanin V. N. Three-loop renormalization of the N=1, N=2, N=4 supersymmetric Yang-Mills theories // 2009. Nucl. Phys. В. V. 818. P. 95-100.

217. Fiamberti F., Santambrogio A., Sieg C. and Zanon D. Wrapping at four loops in N=4 SYM // 2008. Phys. Lett. В. V. 666. P. 100-105.

218. Fiamberti F., Santambrogio A., Sieg G. and Zanon D. Anomalous dimension with wrapping at four loops in N=4 SYM // 2008. Nucl. Phys. В. V. 805. P. 231-266.

219. Sieg G. and Torrielli A. Wrapping interactions and the genus expansion of the 2-point function of composite operators // 2005. Nucl. Phys. В. V. 723. P. 3-32.

220. Bajnok Z. and Janik R. A. Four-loop perturbative Konishi from strings and finite size effects for multiparticle states // 2009. Nucl. Phys. В. V. 807. P. 625-650.

221. Luscher M. Volume dependence of the energy spectrum in massive quantum field theories. 1. Stable particle states // 1986. Commun. Math. Phys. V. 104. P. 177-206.

222. Luscher M. Volume dependence of the energy spectrum in massive quantum field theories. 2. Scattering states // 1986. Commun. Math. Phys. V. 105. P. 153-188.

223. Velizhanin V. N. Leading transcedentality contributions to the four-loop universal anomalous dimension in N=4 SYM // 2009. Phys. Lett. В. V. 676. P. 112-115.

224. Bajnok Z., Janik R. A. and Lukowski T. Four loop twist two, BFKL, wrapping and strings // 2009. Nucl. Phys. В. V. 816. P. 376-398.

225. Велижанин B.H. Непланарный вклад в четырехпетлевую универсальную аномальную размерность операторов Вильсона твиста-2 в N=4 суперсимметричной теории Янга-Миллса // 2009. Письма в ЖЭТФ. Т. 89, В. 12. С. 697-700.

226. Velizhanin V. N. The non-planar contribution to four-loop anomalous dimension of twist-2 operators: First moments in N=4 SYM and non-singlet QCD // 2011. Nucl. Phys. В. V. 846. P. 137-144.

227. Baikov P. A. and Chetyrkin K. G. New four loop results in QCD // 2006. Nucl. Phys. Proc. Suppl. V. 160. P. 76-79.

228. Gracey J. A. Anomalous dimension of nonsinglet Wilson operators at О (1 / N(f)) in deep inelastic scattering // 1994. Phys. Lett. В. V. 322. P. 141-146.

229. Jones D. R. T. Charge renormalization in a supersymmetric Yang-Mills theory // 1977. Phys. Lett. В. V. 72. P. 199-200.

230. Poggio E. C. and Pendleton H. N. Vanishing of charge renormalization and anomalies in a supersymmetric gauge theory // 1977. Phys. Lett. В. V. 72. P. 200202.

231. Howe P. S., Stelle K. S. and Townsend P. K. Miraculous ultraviolet cancellations in supersymmetry made manifest // 1984. Nucl. Phys. В. V. 236. P. 125-166.

232. Tarasov О. V., Vladimirov A. A. and Zharkov A. Y. The Gell-Mann-Low function of QCD in the three loop approximation // 1980. Phys. Lett. В. V. 93. P. 429-432.

233. Capper D. M., Jones D. R. T. and van Nieuwenhuizen P. Regularization by dimensional.reduction of supersymmetric and nonsupersymmetric gauge theories // 1980. Nucl. Phys. B. V. 167. P.' 479-499.

234. Siegel W. Inconsistency of supersymmetric dimensional regularization // 1980. Phys. Lett. B. V. 94. P. 37-40.

235. Avdeev L. V. Noninvariance of regularization by dimensional reduction: an explicit example of supersymmetry breaking // 1982. Phys. Lett. B. V. 117. P. 317-320.

236. Harlander R. V., Jones D. R. T., Kant P., Mihaila L. and Steinhauser M. Four-loop beta function and mass anomalous dimension in dimensional reduction // 2006. JHEP. V. 0612. P. 024 12 pages].

237. Avdeev L. V., Chochia G. A. and Vladimirov A. A. On the scope of supersymmetric dimensional regularization // 1981. Phys. Lett. B. V. 105. P. 272-274.

238. Avdeev L. V. and Vladimirov A. A. Dimensional regularization and supersymmetry // 1983. Nucl. Phys. B. V. 219. P. 262-276.

239. Velizhanin V. N. Vanishing of the four-loop charge renormalization function in N=4 SYM theory // 2011. Phys. Lett. B. V. 696. P. 560-562.

240. Zamolodchikov A. B. and Zamolodchikov A. B. Factorized S matrices in two-dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field models // 1979. Annals Phys. V. 120. P. 253-291.

241. Klassen T. R. and Melzer E. On. the relation between scattering amplitudes and finite size mass corrections in QFT // 1991. Nucl. Phys. B. V. 362. P. 329-388.

242. Beisert'N., Kazakov V. A., Sakai K. and Zarembo K. Complete spectrum of long operators in N=4 SYM at one loop // 2005. JHEP. V. 0507. P. 030 51 pages].

243. Rej A., Serban D. and Staudacher M. Planar N=4 gauge theory and the Hubbard model // 2006. JHEP. V. 0603. P. 018 34 pages].

244. Schafer-Nameki S. Exact expressions for quantum corrections to spinning strings //2006. Phys. Lett. B. V. 639. P. 571-578.

245. Arutyunov G., Frolov S. and Zamaklar M. Finite-size effects from giant magnons //2007. Nucl. Phys. B. V. 778. P. 1-35.

246. Schafer-Nameki S., Zamaklar M. and Zarembo K. How accurate is the quantum string Bethe ansatz? // 2006. JHEP. V. 0612. P. 020 12 pages].

247. Minahan J. A. and Ohlsson Sax O. Finite size effects for giant magnons on physical strings // 2008. Nucl. Phys. B. V. 801. P. 97-117.

248. Kotikov A. V., Lipatov L. N., Rej A., Staudacher M. and Velizhanin V. N. Dressing and wrapping // 2007. J. Stat. Mech. V. 0710. P. P10003 18 pages].

249. Hatsuda Y. and Suzuki R. Finite-size effects for dyonic giant magnons // 2008. Nucl. Phys. B. V. 800. P. 349-383.

250. Gromov N., Schafer-Nameki S. and Vieira P. Quantum wrapped giant magnon // 2008. Phys. Rev. D. V. 78. P: 026006 9 pages],

251. Heller M. P., Janik R. A. and Lukowski T. A New derivation of Luscher F-term and fluctuations around the giant magnon // 2008. JHEP. V. 0806. P. 036 11 pages],

252. Teschner J. On the spectrum of the Sinh-Gordon model in finite volume // 2008. Nucl. Phys. B. V. 799. P. 403-429.

253. Dorey P. and Tateo R. Excited states by analytic continuation of TBA equations // 1996. Nucl. Phys. B. V. 482. P. 639-659.

254. Arutyunov G. arid Frolov S. On string S-matrix, bound states and TBA // 2007. JHEP. V. 0712. P. 024 71 pages].

255. Arutyunov G., Frolov S. and Zamaklar M. The Zamolodchikov-Faddeev algebra for AdS(5) x S**5 superstring I I 2007. JHEP. V. 0704. P. 002 37 pages].

256. Arutyunov G. and Frolov S. The S-matrix of string bound states // 2008. Nucl. Phys. B. V. 804. P. 90-143.

257. Dorey N. Magnon bound states and the AdS/CFT correspondence // 2006. J. Phys. A . V. 39. P. 13119-13128.

258. Dorey N., Hofman D. M. and Maldacena J. M. On the singularities of the magnon S-matrix // 2007. Phys. Rev. D. V. 76. P. 025011 18 pages].

259. Dorey N. and Okamura K. Singularities of the magnon boundstate S-matrix // 2008. JHEP. V. 0803. P. 037 26 pages],

260. Roiban R. Magnon bound-state scattering in gauge and string theory // 2007. JHEP. V. 0704. P. 048 26 pages].

261. Beccaria M., Forini V., Lukowski T. and Zieme S. Twist-three at five loops, Bethe Ansatz and wrapping // 2009. JHEP. V. 0903. P. 129 20 pages].

262. Bajnok Z., Hegedus A., Janik R. A. and Lukowski T. Five loop Konishi from AdS/CFT // 2010. Nucl. Phys. B. V. 827. P. 426-456.

263. Gromov N., Kazakov V. and Vieira P. Exact spectrum of anomalous dimensions of planar N=4 supersymmetric Yang-Mills theory // 2009. Phys. Rev. Lett. V. 103. P. 131601 4 pages].

264. Gromov N., Kazakov V., Kozak A. and Vieira P. Exact spectrum of anomalous dimensions of planar N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory: TBA // 2010. Lett. Math. Phys. V. 91. P. 265-287.

265. Gromov N., Kazakov V. and Vieira P. Exact spectrum of planar N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory: Konishi dimension at any coupling // 2010. Phys. Rev. Lett. V. 104. P. 211601 4 pages].

266. Bombardelli D., Fioravanti D. and Tateo R. Thermodynamic Bethe ansatz for planar AdS/CFT: A proposal // 2009. J. Phys. A. V. 42. P. 375401 17 pages],

267. Arutyunov G., Frolov S., Suzuki R. Exploring the mirror TBA I I 2010. JHEP. V. 1005. P. 031 52 pages].

268. Arutyunov G. and Frolov S. Thermodynamic Bethe ansatz for the AdS(5) x S(5) mirror model // 2009. JHEP. V. 0905. P. 068 23 pages].

269. Zamolodchikov A. B. Thermodynamic Bethe ansatz in relativistic models. Scaling three state Potts and Lee-Yang models // 1990. Nucl. Phys. В. V. 342. P. 695-720.

270. Lukowski T., Rej A. and Velizhanin V. N. Five-loop anomalous dimension of twist-two operators // 2010. Nucl. Phys. В. V. 831. P. 1055-132.

271. Arutyunov G. and Frolov S. String hypothesis for the AdS(5) x S5 mirror // 2009. JHEP. V. 0903. P. 152 15 pages].

272. Basso B. and Korchemsky G. P. Anomalous dimensions of high-spin operators beyond the leading order // 2007. Nucl. Phys. В. V. 775. P. 1-30.

273. Beccaria M., Belitsky A. V., Kotikov A. V. and Zieme S. Analytic solution of the multiloop Baxter equation // 2010. Nucl. Phys. В. V. 827. P. 565-606.

274. Remiddi E. and Vermaseren J. A. M. Harmonic poly logarithms // 2000. Int. J. Mod. Phys. A. V. 15. P. 725-754.

275. Maitre D. HPL, a MATHEMATICA implementation of the harmonic polylogarithms I I 2006. Comput. Phys. Commun. V. 174. P. 222-240.

276. Kotikov A. V., Rej A. and Zieme S. Analytic three-loop solutions for N=4 SYM twist operators // 2009. Nucl. Phys. В. V. 813. P. 460-483.281. http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/EZFace/.

277. Velizhanin V. N. Six-loop anomalous dimension of twist-three operators in N=4 SYM // 2010. JHEP. V. 1011. P. 129 20 pages].

278. Beccaria M. Anomalous dimensions at twist-3 in the si (2) sector of N=4 SYM I I 2007. JHEP. V. 0706. P. 044 25 pages].

279. Belitsky A. V. Long-range SL(2) Baxter equation in N=4 super-Yang-Mills theory // 2006. Phys. Lett. В. V. 643. P. 354-361.

280. Belitsky A. V. Baxter equation beyond wrapping // 2009. Phys. Lett. В. V. 677. P. 93-99.

281. Beccaria M. and Forini V. Four loop reciprocity of twist two operators in N=4 SYM // 2009. JHEP. V. 0903. P. Ill 15 pages],

282. Ferguson H. R. P., Bailey D. H. and Arno S. Analysis of PSLQ, an integer relation finding algorithm // 1999. Math. Comput. V. 68. P. 351-362.

283. Bertok P. PSLQ integer relation algorithm implementation // http: //library. wolf ram. com/ inf ocenter/MathSource/4263/ .

284. Beccaria M., Dokshitzer Yu. L. and Marchesini G. Twist 3 of the sl(2) sector of N=4 SYM and reciprocity respecting evolution // 2007. Phys. Lett. B. V. 652. P. 194-202.

285. Lenstra A. K., Lenstra H. W. and Lovasz L. Factoring polynomials with rational coefficients // 1982. Math. Ann. V. 261. P. 515-538.