Аппроксимация дифференциальных уравнений в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Пискарёв Сергей Игоревич

Аппроксимация дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

Специальность: 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском Государственном Университете

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор Вабпщевич П. Н. доктор физико-математических наук, профессор Гулин А. В. доктор физико-математических наук, профессор Шкаликов А. А.

Ведущая организация : Санкт-Петербургский гос. университет

Защита состоится 4 20 " сентября 2005 г в 11.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.058.01 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Институте Математического Моделирования РАН по адресу • 125 047 Москва, Миусская плошадь. 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН

Л>"

Автореферат разослан 'гг..." июля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Змитренко Н. В

99Ï9

Актуальность темы. Теория разностных и проекционных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных имеет глубокую историю. Достаточно упомянуть общеизвестную работу Courant R , Friedrichs К., Lewy, H. Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik // Math. Ann. 1928. 100. 32 - 74, в которой, по-видимому, впервые было серьезно обращено внимание на устойчивость и неустойчивость простейших разностных схем для одномерного дифференциального уравнения в частных производных. Основополагающими вехами в развитии теории разностных схем для решения дифференциальных уравнений в частных производных былп достижения советской школы, широко представленные, например, в книгах Н. С. Бахвалова. A.A. Самарского, А. В. Гулина, Г И. Марчука, П.Н. Вабищевича и др. Проекционные методы и методы конечных элементов усиленно развивались как у нас, так и за рубежом, это. например. работы С.Г. Михлина, Г.М. Вайникко, Ю.К. Демьяновича. I -Р. Aubin, H. Fujita, A. Mizutani. V. Thomee и др. По-видимому, статья Trotter H. Approximation of semigroups of operatiois // Pacific J. Math. 1958. 8 887-919. стала одной из первых работ, где была явно сформулирована общая концепция, объединяющая конечно-разностные проекционные методы и метод конечных элементов. Эта философия нашла широкий отклик в исследованиях самых различных международных школ: А. А. Самарский. С.Г. Крейн. J.-P. Aubin, Г M. Вайникко. В.С Рябенький, А.Ф. Филиппов, F Stummel, R.D Grigoriefï, V. Thomee Тот факт, что дискретная задача в пределе должна перейти в исходную, выражается наличием отображений р„ : Е Еп со свойством \\рпх\\еп —► i)х\\е ПРИ п со для любого х £ Е. Это, так называемые, связывающие отображения. Определив дискретную сходимость элементов, приходят к естественному понятию дискретной сходимости (аппроксимации) операторов. Практически через 20 лет после работы H. Trotter появляется статья Ushtpma Т. .Approximation theory for semigroups of linear operators and its appliations to approximations of wave equations // Japan J. Math. 1975. 1. N 1. 185-224, в которой делается попытка подойти к исследованию простейших разностных схем ( явный, неявный методы ) на уровне Cu-полугрупп операторов.

Принято считать, что теория Co-полугрупп операторов появилась в 1948 году, когда была опубликована знаменитая теорема Хилле-Иосиды. доказанная в общем банаховом пространстве. Переход от конечномерного пространства к бесконечномерному является весьма нетривиальным. В результате была получена возможность вторгаться, например, в такие разделы математики, как дифференциальные уравнения в частных производных и численные методы в дифференциальных уравнениях. Итак, родоначальные работы Э Хилле, Р Филлипса, К. Иосиды, Н. Данфорда, М.Г Крейна, С.Г. Крейна.

Ю.Л. Далеикого, Дж. Годстейна и др. вызвали цепную реакцию публикаций по теории Co-полугрупп операторов и их приложений. Мы отсылаем читателя к обзорным работам [2], [3], [4], библиография которых насчитывает сегодня тысячи наименований [5]. В нашей стране теория Co-полугрупп операторов до 1990 года интенсивно развивалась различными школами, см., например работы М.Г. Крейна, С.Г Крейна, Ю.Л. Далецкого, М.А. Красносельского. П.Е. Соболевского и др. К сожалению, после 1990 года работы в России резко пошли на убыль в то время, как за рубежом поток монографий начал стремительно нарастать [5].

Семейство С(гполугрупп операторов — определяющее семейство операторов для задачи Коши с уравнением первого порядка. Для уравнения второго порядка таким семейством явилась С0-косинус оператор-функция, введенная в обиход классической работой Sova М, Cosine operator functions // Rozpr Mat. 1966. 49. 1-47 (чуть позже появилась работа Н. О. Fattorini).

В диссертационной работе разработана концепция аппроксимации определяющих семейств операторов на обшей дискретизационной схеме в банаховом пространстве.

Следует подчеркнуть, что полученные в диссертации результаты во многих направлениях распространяются на более общие семейства операторов, например, такие как проинтегрированные полугруппы и С-полугруппы. Могут быть рассмотрены также задачи, когда производящий оператор А имеет неплотную область определения D(A). Мы не касаемся здесь этих вопросов, но отметим, что разработанная техника не ограничивается рамками Со-семейгтв операторов.

Целью работы является:

- построить общую теорию дискретизационных методов эволюционных задач на уровне определяющих семейств операторов:

- поскольку практические задачи, как правило, являются возмущением молельных, построить общую теорию возмущений определяющих семейств и аппроксимации возмущенных определяющих семейств;

- исследовать свойства определяющих семейств и семейств возмущений;

- построить теорию разностных схем для аппроксимации определяющих семейств, базируясь на свойствах аналитичности, компактности, положительности и почти периодичности определяющих семейств:

- построить теорию аппроксимации полулинейных задач, основываясь на принципе компактной аппроксимации операторов:

- установить неравенства коэрцитивности в пространствах Lpu([0,Т], Еп)

Методы исследования. В диссертационной работе использован подход. базирующийся на методах вычислительной математики, функционального ан.ипиза и некорректных задач.

Научная новизна. Численный анализ дифференциальных уравнений мы излагаем с точки зрения аппроксимации определяющих семейств. В основополагающих работах А.А. Самарского, А. В. Гулина, Г.И. Марчука, Н. С. Бахвалова, Н.П. Жидкова, B.C. Рябенького и др. численный анализ дифференциальных уравнений развивался, как правило, с использованием гпльбер-товости исходного пространства Е. Теория определяющих семейств позволила провести численный анализ в общем банаховом пространстве.

В данной диссертации разработана новая концепция аппроксимации эволюционных уравнений на основе теории определяющих семейств и общей дискре-тизационной схемы. Этот подход открывает возможности привлечь аппарат теории определяющих семейств, например, к решению практически важных задач аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных, задач управления, некорректных задач, полулинейных задач в общих банаховых пространствах и аппроксимации аттракторов. Кроме того, в случае полулинейных задач, используя свойство компактности определяющих семейств, удалось привлечь к аппроксимации теорию вращения векторных полей и принцип компактной аппроксимации по Г. Вайникко, что позволило получить теоремы сходимости. Абстрактная формализация свойства параболичности дала возможность также достаточно полно исследовать вопросы устойчивости при аппроксимации дробями Падэ, используя теорию аналитических С()-полугрупп. В частности, была решена проблема устойчивости диагональных аппроксимаций Падэ, стоявшая открытой более 40 лет.

Теоретическая и практическая ценность. В данной диссертации мы коснемся также теории возмущений определяющих семейств и аппроксимации возмущенных определяющих семейств.

Пусть ехр(-Л) — Со-полугрупяа, заданная на банаховом пространстве Е. На практике часто возникает вопрос, будет ли оператор А + В также порождать Co-полугруппу, если В £ В(Е). Хорошо известно, что ответ на этот вопрос положителен. Однако, уже в случае, когда В не является ограниченным, ответить на поставленный вопрос удается не всегда. Гораздо сложнее возникает ситуация, когда требуется выяснить, является ли оператор A(I+B) инфинитезимальным генератором Co-полугруппы при В £ В(Е). Формально можно было бы написать А(1 + В) = А + АВ, однако, это равенство, вообще говоря, не выполняется, т.к. В не обязан отображать Е в D(A). Таким образом, аддитивные возмущения А + В сводятся к мультипликативным путем А + В = А{1 + А'1 В) или А + В = (I + ВА~Х)А, но мультипликативные возмущения не сводятся к аддитивным. Мультипликативные возмущения, вообще говоря, меняют область определения оператора D(A) ф D(A(I + В)). поэтому этот случай является особенно интересным с точки зрения приложений. В диссертации строится общая теория мультипликативных возмущений

определяющих семейств. Практически все известные в литературе теоремы о возмущениях получаются как простые следствия из наших общих результатов.

Доказанная устойчивость диагональных аппроксимаций Падэ позволяет адекватно использовать в практических алгоритмах схемы типа Кранка-Ни-колсон в произвольных банаховых пространствах.

Поскольку затрагиваемые вопросы носят фундаментальный характер, то материалы диссертации могут быть использованы при написании учебных пособий и учебников по вычислительной математике. Автором изданы в издательстве МГУ две книги по этой тематике

Исследования автора диссертации по данной тематике были поддержаны грантами РФФИ 01-01-00398 и 04-01-00026

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах МГУ (руководители акад. В А. Садовничий''Обратные задачи математической физики и анализа'' акад А А. Самарский "Научно-исследовательский семинар кафедры вычислительных методов'". а также акад. НС Бахвалов ''Семинар кафедры вычислительноп математики"), на семинаре в Институте Вычислительной Математики АН РАН, в Воронежских Зимних Математических школах, Institute of Mathematics, University of Zurich (Zurich . Switzerland). University of Essen (Essen, Germany), University of Tubingen (Tubingen, Germany), Waseda University (Tokyo, Japan), University of Los-Angeles (UCLA, USA), University of South Florida (Tampa, USA), Stockholm University ( Stockholm, Sweden), Brunei University (London, UK). Institute of Analysis (Dresden, Germany), Technical University of Delft (Holland), Center for Mathematics and Computer Science (Amsterdam Holland), University of Antwerpen (Belgium), University of Valladolid (Valladolid. Spain). University of Poitiers ( Poitiers, France), University of Valencia (Valencia Spain). University de Franche-Comte (Besancon, France) Osaka University (Osaka, Japan), Stefan Banach International Mathematical Center (Warsaw, Poland), Jean Monnet University ( St-Etienne, France), Universität Innsbruck (Innsbruck Austria), Universität Augsburg (Augsburg, Germany), University of Valenciennes ( Valenciennes, France) University of Tokyo (Tokyo, Japan). School of Mathematics, University of New South Wales (Sydney, Australia ), School of Mathematical Sciences, Australian National University (Canberra, Australia) Univeisity of Karlsruhe (Karlsruhe, Germany), Johann Wolfgang Goethe University (Frankfuit Germany).

Полученные результаты докладывались на различных международных и Российских конференциях' Functional Analytic Methods for Structured Population Models, Holland (1990) Differential Equations in abstract spaces, Bologna. Italy (1991); International Evolution Equations Confeience, Baton Rouge, USA

(1993); Sino-Australian Joint Workshop on Nonlinear Analysis, Taiwan (June. 1993); Workshop on Nonlinear Analysis, Shi-Tou, Taiwan (July, 1993); 19th International Conference on Evolution Equations and Applications, Tokyo, Japan (December 21-23, 1993); Evolution Equations Conference, Glasgow, UK (July, 1994); Conference on Evolution Equations and Semigroups, Pisa, Italy (September, 199-4) ■ American Mathematical Society - BeNeLux Congress, Antwerpen. Belgium ( May, 1996); The second International conference on Nonlinear Functional Analysis and Applications, Masan, South Korea ( August, 1996 ); Fifth International Contei-ence on Evolution Equations and Their Applications to Technology, Hiroshima. Japan (October, 1996); Applied Mathematical Analysis Conference 97 (Including Optimization ' Control). KaohsiungPolytechnic Institute. Taiwan (January, 1997). Международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", Москва, Россия (Март, 1998), Международная конференция по Дифференциальным Уравнениям и Динамическим Системам. Суздаль. Россия (Август 2000)- 4th International Conference on Functional Analysis and Approximation Theory. Maratea. Italy (September, 2000); International confeience on Computational Stochastic Differential Equations, Warwick, UK (March. 2001)' Современные методы в теории краевых задач, Воронеж, Россия (Май, 2002). Международная конференция по Дифференциальным Уравнениям и Динамическим Системам. Суздаль, Россия (Июль, 2002); XXVI Congresso Nacional de Mathematica Aphcada e Computacional, Sao Jose do Rio Preto, Brazil (September, 2003).

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 44 работ, включал две книги. Список основных публикаций соискателя приведен в конце автореферата, начиная со стр. 25.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложений и списка литературы. Работа изложена на 326 страницах

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, приведен краткий обзор литературы по данной тематике, а перечислены основные полученные результаты.

Первая глава диссертации посвящена обшей аппроксимационной схеме Понятие обшей аппроксимационной схемы и видов сходимости на ней восходит к работам А.А Самарского, В.А. Треногина, Г.М. Вайникко, С.Л. Соболева, R. D. Grigorieff, F. Stummel, Н. Trotter.

Мы показываем, в частности, что понятие собственной сходимости является фундаментальным при аппроксимации спектра и неограниченного оператора. Так, например, в случае, когда Вп —► В компактно, а В — компактный

оператор, Р.М. Аше1опе доказал, что

||(Я„ - В)Вп|| О, ||(В„ - В)В\\ 0 при п -»• оо. (1)

Заметим, что из компактной сходимости Вп —► В следует собственная сходимость А/ — Вп —» XI — В для любого А ^ 0, и такая ситуация хорошо изучена. Мы демонстрируем, что в условиях Р.М. АпзеЬпе (1) (без условия компактной сходимости Вп -4 В ) удается извлечь собственную сходимость операторов и. тем самым, доказать сходимость спектров.

Теорема 1 Предположим, что В £ В(Е) компактен и Вп —» В. Если ||(В„ — В)Вп|| —> 0 при п оо, то для любого ненулевого А0 € с(В) имеем А0/ — Вп —»• Х01 — В собственно и, следовательно, справедливы следующие утверждения:

(г) для любого А0 £ в(В) П А существует последовательность {Ап}, Ап £ сг{Вп), п £ Ш, такая, что Ап —> А0 при п —оо;

(п) если для некоторой последовательности {АП},А„ £ а(Вп), п € Ш, имеем Ап —А0 £ Л при п —оо, то А0 £ о{В)\

[гй) для любого х £ УУ(Ао,В) существует последовательность {:гп}, хп £ УУ(Ао.д"; Вп), п £ //V, такая, что хп —»• х при п оо:

(гь) существует щ £ Ш такое, что сПт 1/У(А0,6; Вп) = сНт А0, В) для всех п > «о;

(у) любая последовательность {хп},хп £ УУ(Ао,д\Вп). п £ .СУ, с ||ж„||£;п = 1 является V-компактной, а любая предельная точка этой последовательности принадлежит УУ(Ао,В).

Теорема 2 Предположим, что Вп —>■ В и выполнено

||{Вп - В)Вп|| О, ||(В„ - В)В\\ 0 при п оо.

Тогда для любой ненулевой точки Рисса Ао € о{В) последовательность Ао/— Вп —* АоI — В собственно и, следовательно, справедливы утверждения (г) -(и) теоремы 1.

Эти утверждения означают, что условия РМ. АпэеЬпе достаточны для извлечения собственной сходимости в одном пространстве.

Теорема 3 Предположим, что В компактен, Вп —» В, а ||Вп(Вп — В)|| -4 О для некоторого к 6 ПУ. Тогда А07 — Вп —> Ао/ — В собственно для любого Ао ф 0 ч, следовательно, справедливы утверждения (г) - (г'г>) теоремы 1.

Как было показано нами ранее, устойчивость изолированного собственного значения Л0 по Т. Като эквивалентна тому, что Л0 £ Дг, где Дг — это множество точек А £ (Г таких, что А/п — Вп —> XI — В собственно Можно усилить условие До £ Дг, добавив свойство компактности резольвенты А именно, вводится множество точек компактной сходимости резольвент т е. это множество Л, для которых (Х1п — Л„)-1 —> (XI — ,4)~1 компактно. Напомним, что через Дс обозначается множество скаляров, на которых резольвенты дискретно сходятся, а через Д, множество скаляров, на которых резольвенты равномерно ограничены по п.

Теорема 4 Предположим, что Дгг ф 0. Тогда для любого ( £ Д, справедлива следующая импликация:

1Mb. = 0{ 1) & Ш1п - Ап)хп||£„ = 0(1) {гп} - V-компактна. (2)

Обратно, если для некоторого £ £ ДгПр(Л) справедлива импликация (2). то

Дсс ф 0-

Понятно, что импликация (2) удобна для извлечения условия Д,, ф 0. пгпои-зуя неравенство типа ЦЛп^пЦ^э^) > с||жп||я1(п) для эллиптических операторов

Теорема 5 Пусть Дос ^ 0. Тогда Дг — (£ .

Теоремы об аппроксимации спектра существенны также при аппроксимации эволюционных задач с почти периодическими решениями ( см. Определение 6 и Теорему 21).

Во второй главе диссертации определяются семейства мультипликативных возмущений как для Co-полугрупп, так и для Co-косинус оператор-функций, и изучаются их свойства.

Определение 1 Семейством мультипликатмвного возмущения {U(t) t > 0} операторов в В(Е) для С-полугруппы ехр(-Л) называется семейство операторов, удовлетворяющее соотношению U(t + s) — U(t) = exp(tA)U(s) дня t, s > 0 и начальному условию U(0) = О

Семейством аддитивного возмущения {V(i) • t > 0} операторов в В{Е) для Сц-полу группы ехр(-Л) называется семейство операторов, удовлетворяющее соотношению V{t+s) — V{t) = V(s) exp(i.4) для t, s > 0 и начальному условию V'(O) = 0.

Установлено, что, если семейство мультипликативного возмущения {/(•) <п-льно (равномерно) измеримо на (0,оо), тогда U(-) является сильно (соответственно, равномерно) непрерывным на (0, оо). Если семейство аддитивного возмущения V(-) равномерно измеримо на (0,оо), тогда V(-) равномерно непрерывно на (0,оо).

Далее вводится понятие инфинитезимального генератора пары.

Определение 2 Пусть U( ) является Со-семейством мультипликативных возмущений для ехр( А). Инфинитезимальный оператор Wr семейства U( ) определяется как W¡jX = йт/,_,о+ ^^-х с естественной областью определения. Инфинитезимальный оператор Ац пары операторов (exp(-A),U( )) определяется как Ацх = Пт/,_ю+ с естественной областью

определения.

Инфинитезимальный оператор Wy Си-семейства аддитивных возмущений V( ) и инфинитезимальный оператор Ау пары (V{ ).ехр( .4)) определяются как

V(h)r (exp (hA)+V(h)-I)x

Wvt .— lim —-— и Аух := lun ---

л-»о+ h л-»о+ h

Оказывается, что операторы Wy и Ац замкнуты, но могут быть неплотно определены. Инфинитезимальные операторы Wy и Ау всегда плотно определены. Кроме того, если V[t) равномерно непрерывна по t. тогда Ау замкнут. D(Ay) = D(A) и Av = (/ - XV(X))А + X2V(X) для больших Л.

Аналогичные понятия введены в диссертации для Со-семейств мультипликативных и аддитивных возмущений F( ) и G'(-) для Си-косинуг оператор-функций.

Далее рассматриваются такие свойства операторных семейств, как почти периодичность, компактность В теоремах устойчивости разностных схем для задач с почти периодическими решениями мы, по существу, воспользуемся свойством (гп) из теорем типа

Теорема 6 Cg-косинус оператор-функция С(■. А) является почти периодической тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия (г) Сц-косинус оператор-функция С(■, .4) равномерно ограничена (гг) спектр а(А) С

(гп) множество всех линейных комбинаций собственных векторов производящего оператора А плотно в пространстве Е

Если при этом ц G &{А) — изолированная точка спектра, то ¡х является простым полюсом резольвенты (XI — А)-1 и Е — IZÍfiI — А) @ M(jil — А).

Теорема 7 Задача Коши

u"(t) = Au(t), í6[0,oo),

w(0) - и0, «'(0) = и1, и0 е D(A). и1 б Е\ 1 '

имеет почта периодическое обобщенное решение для любых и0, и1 6 Е тогда и только тогда, когда выполнены условия (г) — (пг) Теоремы 6 и 0 € р{А)

Обратим внимание на тот факт, что условие 0 € р(А) является присушим то1ы«> для С'о-косинус оператор-функций

Теорема 8 Каждое Co-семейство мультипликативного возмущения F(-) для С( A) novmu периодично тогда и только тогда, когда С(-.А) riovmii периодическая и 0 € р{А). То же самое утверждение справедливо и для CV семейства аддитивного возмущения.

Теорема8 дословно переформулируется для периодических семейств F (•). Кроме того, показано, что в этом случае F(-) и С(-,А) имеют одинаковый период.

Свойства компактности определяющих семейств используются в третьей главе при аппроксимации полулинейных уравнений. В то же время свойства компактности имеют и самостоятельный интерес. Мы формулируем здесь один из результатов только для С0-косинус оператор-функций, для CV полугрупп результаты аналогичны.

Теорема 9 Следующие условия эквивалентны:

(г) производящий оператор А € В(Е) и компактен,

(п) оператор C'(t,A) — I компактен для любого t 6 Ж;

(иг) оператор S{t .4) — tl компактен для любого t £ Ш,

(iv) оператор \2{\21 — Л)-1 — I компактен для каждого А > -¿,(.4).

Показано, что если семейство мультипликативного возмущения F( ) компактно, то оно непрерывно по норме на IR+.

В конце второй главы построена общая теория мультипликативных возмущений Co-полугрупп и С"о-косинус оператор-функций. Мы вновь обозначим здесь утверждения лишь для Co-косинус оператор-функций, поскольку этот случай несколько богаче на вариации, чем случай Си-полугрупп.

Определение 3 Говорят, что оператор 5R £ В(Е) принадлежит классу

М1(А) мультипликативных возмущений Сц-косинус оператор-функции С'( , .4),

если оператор В = 4t — I удовлетворяет условию (Ml)

для всех непрерывных функций / € С([0, t]\E)

(Ml.) Jo S(t — s,A)B f(s)ds б D(A),

(Mlb) IIЛ ;0( S(t - a, A)Bf(s)ds\\ < M7*(i)||/||M,

где 7в . [0,oo) —► [0,oo) — некоторая непрерывная неубывающая функция го свойством 7л(0) = 0, и ||/||[о,(] = sup ||/(я)||.

Теорема 10 Пусть А порождает С(•, А) на Е Если оператор ft принадлежит М1(А), то оба оператора ЛЯ и ЧА порождают С'п-косинус оператор-функции. Кроме того, Сц-косинус операгпор-функция 3( ). порождаемая оператором «49?, удовлетворяет ||3f(i) — C(i, Л)|| = О (feit)) nVu t —> 0 4-.

Принадлежность оператора % 6 В{Е) к классу М2(.4) мультипликативных возмущений оператора А определяется для В = 5R — I малостью при t 0+ величины SB(t) ■= sup{/0' ||BS(s, A)Ax\\ds ■ т € £>(.4), ||a:|| < 1} ->• 0. Как показал Г. Фатторини. в случае Е = Lp имеет место опенка ||.4S(í, Л)х|| < Cí2"-1 при t 0 для 1/2 < а < 1 и х € D{(A - cl)n). Поэтому % <Е Л/2(.4). например, в случае В = (А — cl)~ä при ß > 1/2

Аналогично случаю класса М\(А) для операторов из класса Л/2(.4) имеет место аналог теоремы 10 и, кроме того, ||C(í.3fL4) - C(í..4)|| = 0(5B(t)) при t -4 0+.

Обратим внимание, что классы М\{А) и М2(А), вообще говоря, не совпадают Следующая теорема дает характеризацию класса А/1 (Л) в терминах полувариации семейства FB(t) — A fg S{s,A)Bds = (C(t,A) — I)B.

Теорема 11 Оператор ^ £ В(Е) принадлежит классу М1(А), т.е. В = Jt—I удоелетворяетп условию (Ml), тогда и только тогда, когда SV(FB(-) t) о(1) при t —¥ 0+ для некоторых (и. значат, всех) А > и/. Более того, в условии (.V/l4) можно положить "/b(í) = SV(FB( ),t) в случае SV(Fg( ).t) = 0{t2), и 7B{t) = 0(t¿) в случае SV(FB(-),t) = o{t2) при t 0.

Из теоремы 11 вытекает

Теорема 12 Пусть задана С^-косинус оператор-функция С{ А) на Е Если Р € B(V(A),E) таков, что

fs(t-s,A)Pg(3)dsGD(A), (4)

Jo

\\А f S(t - s. A)Pg(s)ds\\ < -rp(t) sup Mb (5)

J o 0 <J<¡ 1 '

для всех g € C([0,í]; V(A)) и для некоторой функции ~fp{-) с 7p(t) = о(1) при t —> 0+, то операторы А+ Р и А + (А — \1)Р(А — А/)-1 при X > ш порождают Со-косинус оператор-функц ии

Характеризация класса возмущений М2(А) дается в терминах малости функции ß(GB(-),t) ■= sup{Var{GB{-)x,t) . х е ß(A),||x|| < 1}, где GB\t) = B(C(t, .4) -1) Кроме того, функции ß{GB(■), t) и óB(t) из условия (М2) имеют одинаковый порядок сходимости к нулю, если хотя бы один из них имеет порядок не больший, чем 0(t2) при t —> 0.

Из приведенных общих теорем о возмущениях легко вытекает следующий результат. Это типичное утверждение в духе Миядеры, но мы даем также оценку инфинитезимальной разности семейств.

Теорема 13 Пусть А порождает С{ ,.4) на Е. Если оператор Р удовлетворяет условиям:

D{A) Ç D{P) и Р(Х21 - Л)-1 € В(Е) для некоторого А > w, eP(t) := sup{^' ||P5(e..4)a:||dí;i 6 D(A), ||x|| < 1} < 1

для некоторого t > О, то операторы A + P и А + (А — \1)Р(А — А/)-1 порождают С(,-косинус оператор-функции. Более того,

\\C{t,A + P)-C(t,A)\\=O(0P(t)) npnt-*0 + .

Из теоремы 12 тривиально следует классическая теорема о возмущении М. VVatanabe с возмущающим оператором P S В(Е1.Е). Показано, что тогда .4 + Р и А + (.4 — \1)Р(А — А/)-1 (А > и) порождают Со-косинус оператор-функцию и \[C(t,A+P) — C'{t,A)\\ — 0(t) при t 0+. Любопытно, что оценка инфинитезимальной разности не была получена M. Watanabe. Обратим внимание, что утверждения, касающиеся операторов типа А+(А — \1)Р[А — А/)-1, доказаны впервые.

В диссертации получена исчерпывающая картина структуры возмущенных инфинитезимальных операторов А\ и А2 для случаев, когда инфини-тезимальная разность Со-косинус оператор-функций ||C(í, Ai) — C(í,A)|| = 0(t2), t ->■ 0+, или КC{t,A2) - C(t, A)Il = 0(t2). t 0 + . Выясняется, что оператор Ai = A(I + В) -t- А2В порождает С0-косинус оператор-функцию с ||C(í, Ai) — C(í,A)|| = 0(t2), t -¥ 0+, тогда и только тогда, когда А\ - А" ограниченный оператор из D(A") в Е* Для оператора А2 = (I + В)А 4- У В условие ||С(£,А2) — C(í,A)|| = 0(t2), t —» 0-t-, эквивалентно представлению А2 = А + Q, где Q 6 В{Е)

Основным предположением предыдущих теорем была малость полувариации мультипликативного (аддитивного) Со-семейства. Однако, можно полечить теоремы о возмущениях в предположении ограниченности интегрального оператора (А>/)(£) - Af„S(t- s,A)Bf(s)ds, t G [O.T] С Ш+. в пространстве £p([0,T], E). В отличие от случая Со-косинус оператор-функций для С0-полугрупп операторов кроме условия ограниченности интегрального оператора добавляется условие "гиперболичности", которое означает, что С'п-полугруппа ехр(-А) должна продолжаться как семейство непрерывных операторов на некоторый интервал [—а, 0]. а > 0, т е. фактически быть Сц-группой операторов.

Теорема 14 Предположим, что существуют Тп > 0. 1 < р\ < 4-ое и 1 < Pï < +00 такие, vrrio || AV||e(¿ci ([o,T],B),¿^(!« т\,е)) < эс Тогда прцестпуюм

13

Ь > 0 и а > 0 такие, что для любого Т > О выполнено неравенство

ЗУ(Л"г,Г) < ЬеаТТ1/!Н.

Более того, оператор Ат = А(1 + В) порождает Са-косинус оператор-функцию и

)\С(1,А)-С(1,Ат)\\=0(Ь1^) при t О.

Подобные теоремы о возмущении позволили доказать, например, что предположение наличия неравенства коэрпитивности для задачи Коши с уравнением второго порядка влечет ограниченность оператора А.

Теорема 15 Пусть задача Коши

«"(*) = Ли(0+ /(*), £€[0.Г], и(0) =и°,и'(0) =У\

при каком-нибудь 1 < р < со коэрцигпивно разрешима в Ьр([0.Т]: Е) Тогда 4 ограничен.

Результаты по дискретизации дифференциальных уравнений начинаются со следующей версии теоремы Троттера-Като на общей аппроксимационнои схеме. В работе Т Т^Ы^та для доказательства теоремы Троттера-Като на обшей аппроксимационной схеме налагались дополнительные условия на пространства Еп и связывающие отображения {рп}- Нам удалось такие ограничения снять.

Теорема 16 (ТеоремаАБС) Следующие условия (А) и (В) эквивалентны условию (С)

(A) Согласованность Существует X £ р(А)ПГ1п р(Ап) такое, что имеет место сходимость резольвент: (Х1П — Ап)~1 -» (XI — А)~1\

(B) Устойчивость Существуют некоторые постоянные М > 1 и л>, не зависящие от п, такие, что ||ехр(£Лп)|| < М ехр(а;<) при £ > 0 и любом п £ Ш:

(C) Сходимость Для любого конечного Т > О

таХ(б[о,т] II ехр(<Ап)н° — рп ехр(М)м°|| -4 0 при п —> оо, как только и® -4 и0

В случае аналитических полугрупп этот результат можно переформулировать. вводя сходимость полугрупп на "комплексном компакте времени''

Теорема 17 Пусть операторы А и Ап порождают аналитичегк иг С'» полугруппы. Следующие условия (Л) и (В]) эквивалентны условию (С\)

(.4) Согласованность Существует X £ р(Д)ПП„ р(АТ1) тако", что имгет место сходимость резольвент (Х1п — Ап)~1 —» (XI — -4)-1,

(В\) Устойчивость Существуют постоянные М2 > 1 ил?, не зависящие от п, такие, что

\\(Х1п - Лп)-1!! < М* Re А > и;2,тг £ ЛГ, |Л - w2|

(Ci) Сходимость. Для любого конечного ¡i > 0 и некоторого О < 9 < ^ тах || ехр(г/Лп)ад° - рп ехр{г?Л)«°|| ->• О

при п оо, как только и°п -4 и0. Зс)есь E(í?,/i) = £ . |r[ < /г} ц

S(6») = {z £ <Г . |or5-| < 0}.

Сформулируем аналог теоремы Троттера-Като для положительных С рупп.

Определение 4 Говорят, что линейный оператор А ■ D(A) С Е —> Е обладает свойством внедиагонапьной положительности (СВП) если {Аи,<р) > 0. как только 0 < и £ D(A} и 0 < ф £ Е* с (v. ó) = О

Теорема 18 Пусть операторы А и Ап. порождающие Со-полугруппы соответственно на Е и Еп, согласованы, и пусть Е и Еп — полуупорядоченные пространства с порядковыми единицами, а еп £ D(An) П intE„. Предположим, что операторы Ап обладают свойством СВП и Апеп Ч 0 для достаточно больших п. Тогда Pxp(tAn) -4 ехр(£Л) равномерно по t £ [0,Т]

Если обозначить через Тп(-) семейство дискретных полугрупп, т.е. А„ = ¿(T„(rn) - /) £ В{ЕП) и Tn(t) = ТЦгп)*», где = [£], при гп 0,п -»• оо, то справедлив дословный аналог теоремы 16 для дискретных полугрупп Понятно, что если выбрать для дискретизации задачи Коши в Е

u'(t) = Au(t), u{0) = uí £ 2R+, (6)

полудискретную аппроксимацию в En в виде

u'n(í) = Anun{t), un(0) = t £ Ш+, (7)

а дискретную полугруппу как Тп(тп) = (1п+тпА„), т.е. Tn(f) = (In+rnAn)k", kn [t¡Tn], то мы получаем явную схему. Если же положить Л„ = Лп(/„ — ^Д.)-1, то Г„(г„) = (/„ 4- т„Л„) = (/„ + T„AJIn - rnAn)~') = (/„ - г„Ли)-1 и, значит, Tn(f) = {1„ — тпАп)~к" ,kn = {tlb], т.е. получаем неявную разностную схему. Наконец, положив А„ = Л„(/„ — тпАп/2)-1, получаем схему Кранка-Никок-он

Tn(t) = i'i^i|)IÍ/Tj-

Для аналитических С'о-полугрупп мы получаем весьма точное условие устойчивости.

Теорема 19 Предпо южим, что выполнены условия (А) и (Вг) теоремы 17, а также справедливо условие

Тогда разностная схема порожденная операторомТп(тп) — 1п+тпАп. устойчива и дает аппроксимацию решения задачи (6). т.е. £/„(<) = (/п+ТпЛп)*"1 и" —» и(£) дискретно V-сходятся равномерно по £ = кптп € [О, Г] при и°п —► и", и —► сс, к„ х ,тп 0.

Пугть оператор .-1 = А* < 0 определен на гильбертовом пространстве Н. и мы ра< ( мотрнм схему Кранка-Николсон Понятно, что для самосопряженного оператора норма реализуется на спектре

п значит имеет ж< то устойчивость при любом г > 0. Первая попытка установить устойчивость схемы Кранка-Николсон в эир-норме была сделана, по видимому. С.И Сердюковой в пространстве типа С([0.Т]; С(П)), но она. к сожалению не получила развития. Проблема устойчивости диагональных аппроксимаций Падэ в обшем банаховом пространстве Е стояла открытой более 40 лет.

Теорема 20 Пусть выполнено условие (В{) Тогда существует постоянная С, зависяьщя от г( ), такая, что если рациональная дробь г( ) является А(в)-приемлема, точна порядка в, и 9 5 (тг/2 — а, 7г/2] для а из условия

Подчеркнем, что если свойство аналитичности полугрупп опустить, то теорема 20 не верна. А именно, имеются примеры А-приемлемой дроби г( ) такой, что ||г(гГ1Лп)А:|| > сл/к при г„ > 0, к € ЕМ и .4П. порождающих С0-полугруппы Отметим, что устойчивость в произвольном банаховом пространстве Е„ схемы Кранка-Николсон Я\ \ (тпАп)к на самом деле есть ни что иное, как устойчивость схемы, порожденной преобразованием Кели Этот факт в теории управления играет решающую роль, когда рассматривается вопрос стабилизации дискретных систем Он послужил импульсом для доказательства

гп||Л„|| < 1/{М + 2), п 6 т.

(8)

М,

||(А/П - .4„) || < т~-т для любогоХ € Б(тг/2 + а),

то

1НгпА„/|! < см2 при тп>о,к е т.

(9)

стабилизации при условии, что оба оператора Ап и А~1 порождают ограниченные Со-полугруппы (аналитичность не требуется). Однако, в преобразовании Кели отсутствует понятие шага дискретизации по времени, и это упрощает конструкции доказательств в теории управления.

Рассмотрим также разностную схему

Определение 5 Разностная схема называется абсолютно устойчивой <'< ли существует константа с. не зависящая от п, и такая, что

Разностная схема называется экспоненциально устойчивой, если существуют константы с. л, не зависящие от п. и такие что

Определение 6 Будем говорить, что выполняется условие почти периодической аппроксимации, если

(г) Са-полугруппы ехр(-Л), ехр('Лп) являются почти периодическими, и удовлетворяются условия (Л), (В);

(%%) если х £ М(ц1 — А) и р € Ра(А), то существуют последовательности {х„} и {рп}, хп £ - Ап), цп € Ра(Ап) такие, что хп ->■ т, рп р.

Теорема 21 Пусть выполняется условие почти периодической аппроксимации для задач (6), (7) в гильбертовых пространствах Н,Нп. Тогда существуют обратимые, положительные, самосопряженные операторы ¿¡) и С)п такие, что операторы Ь = —гС}АЦ~1 и Ь„ — —гС^пАпС}*1 также самосопряженные. Если разностная схема (10) абсолютно устойчива, то

ип(кгп -(- тп) - 11п(ктп - тп) = 2тпА11п(ктП) и„(0)=ч1ип(тп) = (1п + т„АпК

п

(10)

||№„)|| < с||<||, к е 1М.

\\ип(ктп)\\ < се"кт"\\и°п||, к е ¿V

ш

При дискретизации положительных Су-полугрупп также можно получить условие устойчивости.

Теорема 22 Пусть в условиях Теоремы 18 дополнительно пространства Еп конечномерны, Ап — матрицы и для схемы, порожденной оператором Т„[т„) = [„ + тпАп, выполняется условие г„||.-4п|| < 1. Тогда Тп(/-) —> ехр(М) равномерно по í £ [^.Г] для любого конечного числа Т > 0 и, более того, операторы Тп(р) положительны при любом ( б Ш+ и Со-полугруппа ехр(-Л) положительна.

Итак, в случае аналитических Со-полугрупп для явной схемы, как мы показали имеем следующее условие устойчивости: гп||ЛГ1|| < 1 /{М + 2), которое неулучшаемо даже для самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах. В случае почти периодических Со-полугрупп и явной схемы для дифференциальных уравнений первого порядка по времени (10) получается необходимое и достаточное условие устойчивости гп(|Л„|) < 1 Условие устойчивости явной гхемы типа Тп(тп) = /„ + тпАп для положительных С0-полугрупп может быть также записано в виде гл||Лп|) < 1.

Раздел завершается результатами по аппроксимации мультипликативно возмущенных полугрупп. Приведем пару результатов.

Теорема 23 Пусть выполнены условия (А), (В) и операторы Ап,Вп удовлетворяют условию (М) равномерно по индексу п. Допустим также, что IIип{г) - рпи(Ь)|| ->■ 0 равномерно по £ £ [0,Г] при п-юоа ||А17П(А)|| < 6 < 1 при достаточно больших Ее А и почти для всех п. Тогда

|| ехр(£Л0 п)хп - рп ехр((Лу)ж|| 0

равномерно по £ £ [0, Т] при п —» оо и хп —» х

Определим аппроксимирующие операторы Лп,/> := ^(ехр(/гЛп) + 11п(К) — 1п). которые согласованы с Ау,п при фиксированном п, как Ап^хп —> Ац пхп при /г —> 0 для любого х„ £ £>(Л[/П).

Теорема 24 Пусть выполнены условия Теоремы 23 и, кроме т,ого, тах(||ВДН.|ТОИ) < С*, nput^0,

равномерно тю п Тогда тах,6[и х] || ехр(Ы„ 1/п)х„ — рп ехр(Му).г|| -4 0 при

П -ЮС II Г., —)■ I

Таким образом, разработана методика аппроксимации возмущенных С\г полугрупп, исходя из информации лишь о невозмущенной Со-полугруппе и семействе мультипликативных возмущений.

Во втором разделе в банаховом пространстве Е рассмотрена следующая обратная задача Коши v'(t) = Av(t), t G [О, Г], v(T) = vT. где оператор .4 Е H{Q,p), а элемент u(0) необходимо найти. Мы предполагаем также, что оператор —А порождает С-полугруппу S(tA). После замены переменных, полагая v{vf) = и(Т — г;), можно переписать эту задачу в виде

u'(t) = -Au{t), t е [О,Г]. и(0) = м°, (11)

где и0 = vT задано, а и(Т) — элемент, подлежащий определению Таким образом, рассматривается аппроксимация (11) с оператором .4, порождающим аналитическую С0-полугруппу.

Определение 7 Ограниченный линейный оператор Я( т действующий в пространстве Е, называется регуляризатором задачи Коши (11) er ли для любого S > 0 и любого и0 £ Е. для которого существует решение (llj найдется е = е(д) > 0 такое что е(д) —» 0 при à 0 и sup^,,,^ г"" ~ ехр(—Т.4)и°|| -> 0 при 5 0.

Как показали И.В. Мельникова и C.B. Бочкарева для существования линейного регуляризатора задачи (11), коммутирующего с оператором .4. необходимо и достаточно чтобы —А порождал Се-полугруппы Se(t). 0 < t < T такие, что Сс сильно сходится к тождественному оператору I при е —¥ 0

Существует много регуляризаторов, которые можно рассматривать для задачи (11). Рассмотрим, например, ситуацию, когда оператор -А2п порождает Со-косинус оператор-функцию. В этом случае метод квазиобращения, заданный задачей Коши

и'п a{t) = -A„u„ia{t) - aAlunia(t), ип „(0) = (12)

является методом регуляризации для (11). ЮЛ Далецкий и H Ю Гончару к показали, что стохастическое дифференциальное уравнение

dua(t) = —Aua(t)dt — aAua(t)dw(t). .

и(0)=и°, {U)

где w( ) - стандартный одномерный винеровский процесс, доставляет стохастическую регуляризацию (11) В обоих случаях соответствующие С^-потуг-руппы таковы, что Са сильно сходится к тождественному оператору I при п: —* 0

Итак, регуляризация решения задачи (11) дается с помощью С'-полУгрупп Поэтому прежде всего нами установлена

Теорема 25 (Теорема АБС — С) При условии СП(А2) = Е следующие условия (Ас) вместе с (Вс) эквивалентны условию (Сс).

(Ас) Согласованность. Сп —> С и операторы А„ и Л согласованы;

(Вс) Устойчивость. Для любого 0 < г < Т существует некоторая постоянная МТ, не зависящая от п, такая, что

||5(«Л„)|| < Мг при 0 < г < т и п е ¿V; (Сс) Сходимость. Для любого 0 < г < Г имеем

тах(е[0,7-] — Рп${*А) = 0 при п -+ оо, как только .с" -» с0

В случае, когда полудискретизация задачи (11) реализуется стохастическими дифференциальными уравнениями типа

с1ип,п(Ь) ~ -Апипа(г)М - аАпиг,п^)йи)(Ь},

м™в(0) = «п„, 1 ]

установлена теорема сходимости, которая понимается в следующем смысле' 8ПР|К-Рпи°||<«п ~ Рп1'{Щ О для любого £ £ [О, Г] ТР-почти наверное

при 6п —>• 0.

Неравенствам коэрцитивности посвящен раздел 3.3. Оказывается, что для уравнения второго порядка неравенство коэриитивногти имеет место тогда и только тогда, когда оператор А ограничен. Другими словами, попытка оценить вторую производную (или ее дискретный аналог) ||и"( )||с([от],в) через правую часть ||/(-)||с([о,т],£:) возможна только при ограниченном А.

Достаточно долгое время был открыт вопрос о возможности установить неравенство коэрцитивности в пространстве ¿/([0.Т]; Е) в случае аналитической полугруппы. По крайней мере еще в монографии Соболевского П Е. и Ашыралыева А. (1995) этот вопрос не был освещен. Следует отметить, что, в отличие от случая пространства Со,°([0,Т]: Е), одной только аналитичности полугруппы ехр(-А), как выяснилось, не достаточно для коэрцитивной корректности в пространстве .С([0,Т]; Е), так что для установления коэрцитивной корректности в Ьр([0, Т]; Е) нужны дополнительные предположения. Мы устанавливаем дискретные неравенство коэрцитивности в условиях Я-ограниченности резольвенты. Напомним, что множество ТС В(Е) называется Я-ограниченным, если существует постоянная С < оо такая, что для всех .... С}к е Ги .г,...., ,ск € Е, к £ 27У,

где {)•;} — последовательность симметричных { — 1,1}-значных величин, например, функции Радемахера r3(t) = sign fsin(2Jrri)) на [0,1] Оказывается, что имеет место

Теорема 26 Пусть Еп — UMD банаховы пространства равномерно по п. Предположим, что множество {A(A/n — .4rl)_1 Л Ç. гШ.Х ф 0} R-ограничено с постоянной R-ограниченности, не зависящей от, п Тогда решение разностной схемы

Âjjkn + vi,kz{ 1, ...,[£]}. о,

коэрцитивно устойчиво, т.е.

\\AnUn\\LrJZ+,En) < M||9n|Uîn(x+,£„)

выполняется для всех р > 1, где M не зависит от тп. иап и >çn

Следует отметить, что теорема 17 может быть переформулирована в терминах R-ограниченности с заменой условия (Вi) на следующее условие- существует 0 < 6 < 7г/2 такое, что множество {А(А7„ — -4„)-1 А 6 + тг/2)} R-ограничено с постоянной Д-ограниченности, не зависящей от п. Условие (Ci) можно записать в следующем виде: ехр(£.4п) —> ехр(£Л) сходится для любого t Ç. Ш и существует 0 < 9 < тг/2 такое, что множество {exp(-.4rl) г £ R-ограничено с постоянной Я-ограниченности. не зависящей от п Значит, одно из предположений теорем 26 и 27 - это в некотором смысле условие (Si), измененное на условие R-ограниченности.

Теорема 27 Пусть Е„ — UMD банаховы пространства равномерно по п Предположим также, что множество {А(А 1п — ЛГ1)-1 : А 6 гШ. А ф 0} R-ограничено с постоянной В-ограниченности, не зависящей от п Тогда решение разностной схемы

^ + 1, и» = 0

коэрцитивно устойчиво, т.е

* U* +

2 }IUïn([o,r!,£„) <

выполняется для любого р > 1, где M не зависит от п,тп. u" и çn

Рассмотрим, наконец, в банаховом пространствее Е полулинейную задачу Коши

u'(f) = Au(t) + /(£. u(t)). it(0) = /Л (13)

ТГ

t оператором Л, порождающим аналитическую Со-полугруппу типа ш{А) < 0. и достаточно гладкой функцией /(•,•)• Под гладкостью /(■,•) мы понимаем условие, когда соответствующие интегральные операторы являются компактными и обобщенное решение существует. Это имеет место, скажем, если /( . ) липшнцево непрерывна по обоим аргументам. Наша цель — установить теоремы сходимости приближенных методов при наличии информации о существовании решения и наличии информации о единственности или устойчивости решения. Полудискретная аппроксимация задачи (15) задается в виде:

u'Jt) = Anu„(t) + fn(t,un(t)). 7i„(0) = ul (1С)

где операторы Лп порождают аналитические полугруппы в Еп. Ап и .4 согласованы. функции /п достаточно гладки и аппроксимируют / и и" Ч и0.

Теорема 28 Пусть выполнены условия (А) и (В\) и компактные резолъ-венгпы (XI — A)~l, [Х1Т1 - А,,)~1 сходятся: (AIn — An)~l -4 (XI — Л)-1 компактно для некоторого X £ р(А) и н" -4 и0. Предположим, что

()) функции }„. f ограничены и достаточно гладка, так что существует < динипвенное обобщенное решение и*( ) задачи (15) на [0.Т]; (u) f„(t. >„) -4 f{t.r) равномерно по t £ [0.Т] при хп -4 с. Тогда для почти всех п задачи (16) имеют обобщенные решения a*n(t). t € [0.Г], в окрестности рпи*('). Каждая последовательность {u*(í)} V компактна и u*(t) -4 u*(t) равномерно по t £ [0, Т].

Для Сц-косинус оператор-функций имеет место ABC теорема, как и для С'о-полугрупп Обозначим условие типа (В) для Со-косинус оператор-функции через (5").

Теорема 29 Пусть выполнены условия (Л) и (В") и компактные резольвенты R(X-. A), R(X[ Ап) сходятся R(X; Ап) -4 Я(А;Л) компактно для некоторого А £ р(А) и и" —> и0, -4 и1 Предположим также, что

(?) функции /г,,/ непрерывны по обоим аргументам и / тпакова/ что существует единственное обобщенное решение u"(t) задачи

u"{t) = Au(t) + f(t,u(t)), u(0) = w°,u'(0) = и1,

на [О, Г],

(и) /„(Í, г„) —> /(f, г) равномерно по t £ [0.Т] /ог хп -4 ж Тогда для почти всех п задачи

<(f) = Л„«„(0 + fn(t,un(t)). Н„(0) = и°,«'„(0) = М* ,

имеют в окрестности pnu*(t) обобщенные решения u'n(t),t £ [0,Т] Каждая последовательность {u*(f)} является V-ком,пакт,ной и u*n(t) -4 u*(t) равномерно по t £ [0,Т].

В теоремах типа Теорема 28 - 30, по-видимому, впервые в вычислительных методах для эволюционных задач был строго обоснован тот факт, что компактная сходимость резольвент и условие существования и единственности решения, как и условие асимптотической устойчивости решения, влекут сходимость приближенных решений к исходному решению на общей аппроксн-мационной схеме. Уместно заметить, что в случае периодической задачи '17) неестественно накладывать условие единственности решения, поскольку вообще говоря, она может иметь несколько решений. Условие устойчивости выделяет аппроксимируемые решения.

Определение 8 Решение и( ) задачи Коша (15) называете я устойчивы» по Ляпунову, если для любого ( > 0 существует 5 > 0 такое, что из неравенства ||?/(0) - й(0)|| < 8 следует, что тах<к«,с ||м(£) - й(£)|| £ ) обобщенное решение (15) с начальным условием «(0).

Определение 9 Решение и( ) задачи Коши (15) называете я равномерно ас ии-птотически устойчивым в точке и(0), если оно устойчиво по Ляпунову и для любого обобщенного решения й(-) задачи (15) с ||?/(0) — й(0)|| < д, име< и Ьт^оо ||и(£) — й(£)|| = 0 равномерно по й(-) £ В(и(0)'<)) т.е существует функция Фи(и) а(') такая, что ||и(£. и(0)) — и(£; й(0))|| < фи,щ М) с онщ Л(£) —г О при £ —> оо и ||м(0) — «(0)|| < 6.

Теорема 30 Пусть выполнены условия (А) и (В\), а компактные резольвенты (XI — А)~х ,(Х1п — Ап)~х сходятся (Х1п— Ап)~1 —> (XI — А)~х компактно для некоторого X 6 р(А) Предположим, что

(г) функции /(-,-), /п('-•) достаточно гладки, так что существует изолированное обобщенное решение ?/(•) периодической задачи

г/(£) = Л«(£)+ /(£,<;(£)), г>(0) =«(Т). (17)

с и'(0) = г* таким, что задача Коши (15) с ?/(0) = г* имеет равномерно асимптотически устойчивое изолированное решение в точке г' (гг) /„(£, тп) —> /(¿, ж) равномерно по £ € [0.71] при тп т Тогда для почти всех п задачи

и'„(Ц = А„ип(Ц + /я(^ьп(Г)).и„(Ц = иМ + Т)Л € Ш+

имеют периодические обобщенные решения ?^(£),£ £ [0.'З-'], в окрестное гни р„и*(-). Каждая последовательность {«*( )} V-компактна и —ь'(t)

регвномерно по £ £ [0,Т].

В качестве примеров применения теоретических результатов диссертационной работы рассмотрены проблема аппроксимации обратной задачи для параболического уравнения с финальным наблюдением, проблема аппроксимации аттрактора для градиентных систем с гиперболическими стационарными точками.

В заключение сформулируем основные результаты работы:

Разработана новая концепция аппроксимации эволюционных уравнений на основе теории определяющих семейств операторов и общей дискретизацион-ной схемы в общих банаховых пространствах. Этот подход открыл возможность привлечь аппарат теории определяющих семейств к решению практически важных задач аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных, задач управления, некорректных задач, полулинейных задач в общих банаховых пространствах и аппроксимации аттракторов.

Опираясь на свойства, вытекающие из аналитичности исходной полугруппы операторов (это абстрактная формализация свойства параболичности), установлена устойчивость метода дискретизации, базирующегося на диагональных аппроксимациях, порожденных дробями Падэ. В частности, была решена проблема, стоявшая открытой более 40 лет, т.е. было показано, что схема Кранка-Николсон устойчива в произвольном банаховом пространстве для параболических задач.

Построена общая теория мультипликативных возмущений генераторов определяющих семейств операторов. Кроме того, установлены оценки инфини-тезимальных разностей определяющих семейств, и исследовано порождение определяющих семейств в некоммутативном случае сомножителей. В случае Со-полугрупп операторов доказаны теоремы аппроксимации возмущенных Сп-полугрупп.

Рассмотрена стохастическая саморегуляризация обратной задачи теплопроводности. Разработана теория аппроксимации локальных С-полугрупп, являющихся регуляризаторами исходной задачи. Установлены теоремы сходимости при аппроксимации дифференциальных уравнений, регуляризиутощих обратную задачу теплопроводности

На основе принципа компактной аппроксимации разработана концепция аппроксимации на общей дискретизационной схеме полулинейных задач Кошп и задач с периодическими решениями, используя теорию вращения векторных полей. Получены теоремы сходимости полудискретной и полной дискретизации для полулинейных уравнений первого порядка по времени. Аналогичные результаты получены для уравнений второго порядка вида п"^) = Аи(£) + Дм(г)).

Основные публикации по теме диссертации

[1] Вайникко Г., Пискарев С. И. Регулярно согласованные операторы // Изв. ВУЗов. Мат. 1977. № 10. 25-36.

[2] Васильев В. В., Крейн С. Г., Пискарев С. И. Полугруппы операторов, косинус-операторные функции и линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техн. Сер. Мат. Анализ. ВИНИТИ. 1990 28 87202.

[3] Васильев ВВ., Пискарев С.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Теория полугрупп операторов. Москва: Издатель» тво МГУ, 1996.

[4] Васильев В.В., Пискарев С.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Теория косинус оператор-функций // Итоги науки п техники. М.: ВИНИТИ Journal of Math. Science. 2004 122. Л- 2 3055 3174.

[5] Васильев В.В., Пискарев С.И. Библиографический указатель Дифференциальные уравнения в абстрактных пространствах. Издательство НИВЦ МГУ. Электронный журнал, 2001.

( http://www.srcc.msu.su/num.anal/list_wrk/page-5u.htm )

PostScript (1115,2 Kb) PostScript.zip (336,1 Kb)

[6] Пискарев С. И. Аппроксимация голоморфных полугрупп // Уч. зап. Тар-тус. ун-та. 1979. № 492. 3-14.

[7] Пискарев С. И. Дискретизация абстрактного гиперболического уравнения // Уч. зап. Тартус. ун-та. 1979. № 500. 3-23.

[8] Пискарев С. И. Оценки погрешности аппроксимации полугрупп операторов дробями Паде // Изв. ВУЗов. Мат. 1979. № 4. 33-38

[9] Пискарев С. И. Компактная сходимость при аппроксимации дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Уч. зап. Тартус ун-та. 1982. № 633. 11-18.

[10] Пискарев СИ Периодические п почти периодические косинус оператор-функции // Мат. сб. 1982. 118, № 3. 386-398.

[11] Пискарев С.И Почти периодические решения дифференциальных уравнений второго порядка // Сиб Мат. Ж. 1984. 25, № 3. 137-147.

[12] Пискарев С И Устойчивость разностных схем в задачах Коши с почти периодическими решениями // Дифференц. уравнения. 1984 20. Х> 4. 689-695.

[13] Пискарев С, И Оценки скорости сходимости решения некорректных задач для эволюционных уравнений // Изв. АН СССР. Сер мат 1987 51. .49 3. 676-687.

[14] Пискарев С И Сходимость разностных схем решения нелинейных параболических уравнений // Мат. заметки. 1988. 44, N°. 1. 112-123.

[15] Пискарев С И Метод повышения точности решения задач Коши в банаховом пространстве // Ж вычисл. мат. и мат физ. 1988 28. N. 6. 211-212

[16] Пискарев С И Аппроксимация положительных Co-полугрупп операторов // Дифференц уравнения. 1991. 27, Y 7 1245-1250

[17] Пискарев С И Свойства компактности в теории косинус оператор-функций // Мат заметки. 1992. 51. № 5. 151-153.

[18] Пискарев С И Об аппроксимации возмущенных Сп-полугрупп // Дифференц. уравнения. 1994. 30, N° 2. 339-341.

[19] Пискарев С И Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве и их аппроксимация Москва' Издательство МГУ. 2005.

[20] Ashyralyev А , Piskarev S and Wets L. On well-posedness of difference schemes for abstract parabolic equations in Lp([0, T}: E) spaces // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2002. 23, N 7 & 8. 669-693.

[21] Ahues M, Piskarev S Spectral approximation of weakly singular integral operators. I: Convergence theory / In et. al. Constanda. C., editor, Integral methods in science and engineering. Vol. II: Approximation methods Proceedings of the 4th international conference, IMSE '96, Oulu, Finland. June 17-20, Harlow, 1996 Longman, Pitman Res.

[22] Bobijlev N. A , Kirn J К, Korovm S К, Piskarev S. Semidisciete appioxi-mations of semilmeai peiiodic pioblems in Banach spaces // Nonlinear Anal 1998. 33, N 5. 473-482.

[23] Burr аде К , PtsLareu S Stochastic methods for ill-posed pioblems // BIT 2000. 40. N 2 226-240.

[24] Carvalho A. N , Piskarev S A general approximation scheme for attractors of abstract parabolic problems // Cadernos de Matematica. 2004. 5. X 1. 71-120.

[25] Chang D -K , Shaw S.-Y, Piskarev S. On maximal regularity and semivariation of cosine operator functions // J. London Math. Soc. II. 1999 59 N 3. 1023-1032.

[26] Crouzeix M., Larsion S . Piskarev S., Thomée V The stability oí íafwnal approximations of analytic semigroups // BIT 1993 33, N 1 74 84

[27] de Laubenfels R , Piskareu S The growth late of cosine families // 1 M.ifh Anal Appl. 1995 N 196 442-451.

[28] Ergens T . Karasózen В . Piskarev S. Approximation foi semilineai Caiuhv problems involving second order equations m separable Banach spaces // Nonlin. Anal. 1997 28. 1157-1165.

[29] Guidetti D , Karasozen В and Piskarev S Approximation of al>tiact differential equations // Итоги науки и техники. М . ВИНИТИ Journal of Math Science 2004 122. Y. 2. 3013-3054

[30] Guidetti D and Piskarev S On maximal regularity of Crank-Nicholson schemes for parabolic equations in Ce(Q) space // Доклады международной конференции "'Функциональные пространства Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования" 2002 2 2231 2237 РУДН. Москва, 1998.

[31] Guidetti D and Piskarev S Stability of Rothe s scheme and maximal íeg-ularity for parabolic equations in C9(Q) // Progress in paitial diffeiential equations, Vol. 1 (Pont-a-Mousson, 1997), C. 167-180. Longman. Hailow 1998.

[32] Guidetti D and Piskareu S On real interpolation, finite diffeiennes and estimats depending on a parametei for discretizations of elliptic boundaiv value problems // Abstiact and Applied Analysis 2003 N 18 1005-1035

[33] Jefferies В and Piskareu S Taubenan theoiems foi C(,-semigioups // Sup plemento ai Rendiconti del Circolo Matemahco di Paleimo Sei II 2002 Num. 68. 513-521.

[■34] fefferiei В , Pukarev S Tauberian theorems foi cosine opeiatoi functions // Труды математического института им В А Стеклова 2002 236 474 480

[35] Li Miao , Guo B.-Z. and Piskarev S. Compactness and norm continuity of the difference of two cosine functions // Taiwaness Journal of Mathematics. 2003. 7 , N 4. 575-589.

[36] Kantorovitz S., Piskarev S Mean stability of semigroups and cosine operator functions // Taiwaness Journal of Mathematics. 2002. 6, N 1. 89-103.

[37] Palevcia C, Piskarev S. On the Multiplicative perturbations of Co-groups and Co-cosine operator functions If Semigroup Forum. 2001. 63, N 2. 127— 152.

[38] Piskarev S. Rational appioximations of analytic semigroups // Evolution equations, control theory and biomathematics (Han Sur Lesse, 1991). Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 1994. 155. 467-471.

[39] Pukart ii S , Shaw S - Y On certain operator families related to cosine oper-atoi functions // Taiwanese J. Math. 1997. 1. 527-546.

[40] Piskarev S.. Shaw S -Y Perturbation and cornparision of cosine operator functions // Semigroup Forum. 1995. 51. 225-246.

[41] Piskarev S., Shaw S -Y. Perturbation of cosine operator functions by step response and cumulative output / Proceedings of the conference on evolution equations. University of Strathclyde, July, 25 - 29, 1994.

[42] Piskarev SShaw S - Y. On some properties of step responses and cumulative outputs // Chinese J. Math. 1994. 22, N 4. 321-336.

[43] Piskarev S, Shaw S - Y. Multiplicative perturbations of Co-semigroups and some applications to step responses and cumulative outputs // J. Func. Anal. 1995. 128, N 2. 315-340

[44] Piskarev S., Shaw S.-Y Asymptotic behaviour of semigroup-related functions // Saitama Math. J. 1994. 12. 7-12.

[45] van Casteren J., Piskarev S. and Shaw S -Y. Approximation of ill-posed evolution problems and discretization of C-semigroups // Inverse and Ill-posed Problems. 2002. 10, N 5. 1-34.

Подписано в печать 30 05 2005 г Формат 60x84/16 Бумага офс № 1 Печать ризо Уел печ л 2,0 Тираж 100 экз Заказ № 11

Участок оперативной печати НИВЦ МГУ 119992, ГСП-2, Москва, НИВЦ МГУ им М В Ломоносова

»14218

РНБ Русский фонд

2006-4 9979

Оглавление

Введение

1 Общая аппроксимационная схема 48 ^ 1.1 Дискретная сходимость.

1.2 Аппроксимация спектра линейных операторов.

1.3 Области сходимости.

• 1.4 Сходимость в случае условии Анселоне.

1.5 Компактная сходимость резольвент.

2 Определяющие семейства и их возмущения

2.1 Задача Кошп.

2.2 Уравнения 1-го и 2-го порядков

2.2.1 Измеримость полугрупп и косинус оператор-функций 2.2.2 С'о-определяющие семейства.

2.3 Семейства операторов и(-) и У(-).

2.3.1 Измеримость и непрерывность семейств и(-) и ¥(•) 2.3.2 Преобразование Лапласа семейств и(-) и У(-).

2.4 Семейства операторов Р(-) и С{•).

2.4.1 Измеримость и непрерывность семейств F(•) и Ст(-)

2.4.2 Преобразование Лапласа семейств и О(-).

2.5 Почти периодичность семейств

2.5.1 Почти периодические С'о-полугруппы.

2.5.2 Почти периодические семейства £/"(•) и У(-).

2.5.3 Почти периодические С'о-КОФ.

2.5.4 Почти периодические семейства Г(-) и С(-)

2.6 Компактность оператор-функцнй.

2.6.1 Компактность Со-полугрупп операторов.

2.6.2 Компактность семейств £/(•), V(•).

2.6.3 Компактность С0-КОФ.

2.6.4 Компактность семейств Г(-) и С(-).

2.7 Общие мультипликативные теоремы I.

Теория разностных п проекционных методов решення дифференциальных уравнений в частных производных имеет глубокую историю. Достаточно упомянуть работу [111], в которой, по-видимому впервые, было серьезно обращено внимание на устойчивость и неустойчивость простейших разностных схем для одномерного дифференциального уравнения в частных производных. Основополагающими вехами в развитии теории разностных схем для решення дифференциальных уравнений в частных производных были достижения советской школы, широко представленные, например, в [8], [33], [47] - [49], [226]-[227]. Проекционные методы и методы конечных элементов усиленно развивались как у нас, так и за рубежом [38], [81], [144]. По-видимому, статья Троттера [247] стала одной из первых работ, где была явно сформулирована общая концепция, объединяющая конечно-разностные проекционные методы и метод конечных элементов. Эта философия нашла широкий отклик в исследованиях самых различных международных школ [4], [29], [81], [152] - [157], [236], [4G], [238] - [239], [249] - [253]. Тот факт, что дискретная задача в пределе должна перейти в исходную, выражается наличием отображений рп : Е —> Еп со свойством \\Рп*\\еп —> Н&'И/г Для любого х Е Е (см. [47] ). Это так называемые связывающие отображения (иногда вводят в рассмотрение восстанавливающие отображения rn : Еп —» Е см., например, [81]). Определив дискретную сходимость элементов, приходят к естественному понятию дискретной сходимости (аппроксимации) операторов. Практически через 20 лет после работы [247] появляется статья [248], в которой делается отчаянная попытка прорваться в исследовании простейших разностных схем явный, неявный методы) на уровень Со-полугрупп операторов. К сожалению, Тегио и^Ы^та не смог избежать инертности алгебраических представлений и получил неприемлемое условие устойчивости для явного метода гп||А^|| = 0(1), п £ Ш. Он не дотянулся до уровня использования тонких качественных свойств определяющих семейств, например таких, как аналитичность, позитивность, почти периодичность, которые отражают специфику конкретных практических задач.

Аппроксимация операторов, или точнее семейств операторов, базируется на информации о том, что мы имеем в наличии некоторые свойства (к примеру свойства гладкости) определяющих семейств, в качестве которых для нестационарных задач выступают С'о-полугруппы операторов и С'о-косинус оператор-функции.

Принято считать, что теория С'о-полугрупп операторов появилась в 1948 году, когда была опубликована знаменитая теорема Хнлле-Иосиды. Однако еще Джузеппе Пеано в 1887 году переписал систему линейных дифференциальных уравнений

- «нМО +«12»2(£) Н----+ "ыигЛЧ +

- = + «12^2(0 +----Н (lnnUn.it) + в матричном виде = -4й(£) + /(£) и решил ее, используя обозначение е1Л = ?,^кАк/к\, как й(г) = еми(0) + Г е{1-з)л!{8)(1з, I £ Ш.

3о

В то лее время, переход от конечномерного пространства к бесконечномерному является весьма не тривиальным. В результате была получена возможность вторгаться, например, в такие разделы математики, как дифференциальные уравнения в частных производных и численные методы в дифференциальных уравнениях. Итак, родоначальные работы Э. Хилле, Р. Филлппса, К. Иосиды, Н. Данфорда, М.Г. Крейна, С.Г. Крейна, Ю.Л. Далецкого, Дж. Годстейна и др. вызвали цепную реакцию публикаций по теории С'о-полугрупп операторов и их приложений. Мы отсылаем 6 читателя к обзорным работам [30], [273], [274], [275], библиография которых насчитывает сегодня тысячи наименований [276]. В нашей стране теория Со-полугрупп операторов до 1990 года интенсивно развивалась различными школами, см., например, [15], [18], [19], [29], [80]. К сожалению, после 1990 года работы в России резко пошли на убыль, в то время как за рубежом поток монографий начал стремительно нарастать [276].

Семейство Со-полугрупп операторов — определяющее семейство операторов для задачи Коши с уравнением первого порядка. Для уравнения второго порядка таким семейством явилась Со-косинус оператор-функция, введенная в обиход классической работой М. Совы [232] в 1966 году. Несмотря на кажущееся сходство свойств С'о-полугрупп операторов и Со-косинус оператор-функций, они имеют ряд принципиальных различий, что заставляет рассматривать их как существенно разные объекты.

В данной диссертации мы коснемся также теории возмущений определяющих семейств и аппроксимации возмущенных определяющих семейств. Дело в том, что как определяющие семейства, так и семейства мультипликативных и аддитивных возмущений, имеют в популяционных моделях особую смысловую нагрузку, и их аппроксимация является весьма актуальной вычислительной задачей.

Пусть ехр(-Л) — С'о-полугруппа, заданная на банаховом пространстве Е. На практике часто возникает вопрос будет ли оператор А + В также порождать С'о-полугруппу, если В £ В(Е). Хорошо известно, что ответ на этот вопрос положителен [22]. Однако, уже в случае, когда В не является ограниченным, ответить на поставленный вопрос удается не всегда. Гораздо сложнее возникает ситуация, когда требуется выяснить является ли оператор А(1+В) инфинптезимальным генератором С'о-полугруппы при В 6 В(Е). Формально можно было бы написать А(1+В) = А+АВ, однако, это равенство, вообще говоря, не выполняется, т.к. В не обязан отображать Е в 0{А). Таким образом, аддитивные возмущения А-\-В сводятся к мультипликативным путем А + В = А(1 + А~1 В) пли А + В — (I + ВА~1)А, но мультипликативные возмущения не сводятся к аддитивным. Мультипликативные возмущения, вообще говоря, меняют область определения оператора 0{А) ф Б{А{1+В)), поэтому этот случай является особенно интересным с точки зрения приложений. В диссертации строится общая теория мультипликативных возмущений определяющих семейств. Все известные в литературе теоремы о возмущениях получаются как простые следствия из наших общих результатов. Заметим, что изучение мультипликативных возмущений требует введения понятия С'о-семейства мультипликативных возмущений. Доскональному изучению свойств этих семейств посвящены разделы 2.3-2.6 второй главы диссертации.

Численный анализ дифференциальных уравнений мы излагаем с точки зрения аппроксимации определяющих семейств. В основополагающих работах [8], [33], [47] - [49], численный анализ дифференциальных уравнений развивался, как правило, с использованием гильбертовостн исходного пространства Е. Теория определяющих семейств позволила провести численный анализ в общем банаховом пространстве и отказаться от свойства самосопряженности операторов. В данной диссертации разработана новая концепция аппроксимации эволюционных уравнений на основе теории определяющих семейств и общей дискретизационной схемы. Как будет показано, этот подход позволяет привлечь аппарат теории определяющих семейств, например, к решению практически важных задач аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных, задач управления, некорректных задач, полулинейных задач в общих банаховых пространствах и аппроксимации аттракторов. Кроме того, в случае полулинейных задач, используя свойство компактности определяющих семейств, удалось привлечь к аппроксимации теорию вращения векторных полей и принцип компактной аппроксимации по Г. Вайникко, что позволило получить теоремы сходимости. Абстрактная формализация свойства параболнчности дала возможность также достаточно полно исследовать вопросы устойчивости при аппроксимации дробями Падэ, используя теорию аналитических С'о-полугрупп. В частности, была решена проблема устойчивости диагональных аппроксимаций Падэ, стоявшая открытой более 40 лет.

Следует подчеркнуть, что полученные результаты во многих направлениях распространяются на более общие семейства операторов, например, как проинтегрированные полугруппы, так и С'-полугруппы. Возможны рассмотрения задач, когда производящий оператор А имеет не плотную область определения D(A). Мы не касаемся здесь этих вопросов, но отметим, что разработанная техника не ограничивается рамками С'о -семейств операторов.

Итак, сформулируем кратко цели работы-.

- построить общую теорию дискретпзационных методов эволюционных задач на уровне определяющих семейств операторов;

- исследовать свойства определяющих семейств и семейств возмущений;

- поскольку практические задачи как правило являются возмущением модельных, построить общую теорию возмущений определяющих семейств и аппроксимации возмущенных определяющих семейств;

- построить теорию разностных схем для аппроксимации определяющих семейств базируясь на свойствах аналитичности, компактности, положительности и почти периодичности определяющих семейств;

- установить дискретные неравенства коэрцнтнвности в пространствах L?n([0,T];£„);

- построить теорию аппроксимации полулинейных задач, основываясь на принципе компактной аппроксимации операторов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложений и списка литературы. Работа изложена на 326 стр. и выполнена в пакете LATEX. Список основных работ автора по теме диссертации приведен в конце библиографии, начиная со стр. 321, и насчитывает более 40 работ.

1. Ашыралыев А. Корректная разрешимость разностных схем Падэ для параболических уравнений в пространствах Гельдера // Украинский мат. журнал. 1992. 44, № 11. 1466-1476.

2. Бакаев Н.Ю. Полугруппы операторов и дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Докл. АН СССР. 1981. 258, N 3. 521-525.

3. Бакаев Н.Ю. О решении обратной задачи Коши для уравнения с переменным оператором // Дифф. уравнения. 1987. 23. N.2. 339-341.

4. Бакаев Н.Ю. Теория устойчивости разностных схем в произвольных нормах // ДАН СССР. 1988. 298, N 4. 275-279.

5. Бакушинский А.Б. Разностные схемы для решения некорректных абстрактных задач Коши // Дифф. уравнения. 1971. 7, N 10. 1876-1885.

6. Бакушинский А.Б. Разностные методы решения некорректных задач Коши для эволюционных уравнений в комплексном В-пространстве // Дифф. уравнения. 1972. 8, N 9. 1661-1668.

7. Баскаков А.Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций // Мат. сб. 1984. 124.(166), № 1 (5). 68-95.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

9. Вайникко Г. М. Анализ дискретизационных методов. Тарту: ТГУ, 1976.

10. Вайникко Г. М. Дискретно компактные последовательности // ЖВМ и МФ. 1074. 14, № 3. 572-583.

11. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1982.

12. Голъдштейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения / Пер. под ред. Далецкого. Киев.: Выща школа, 1989.

13. Гулин А. В. Критерий устойчивости некоторых несамосопряженных трехслойных разностных схем // Диффер. Уравнения. 1980. 16, № 7. 1205-1210.

14. Гурова И. Н. Об одном топологическом методе исследования разностных схем // ДАН СССР. 1979. 248, № 1. 25-28.

15. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

16. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Из-во ин. лит., 1962.

17. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

18. Иванов В.В., Мельникова И.В., Филинков Ф.М. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

19. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / Красносельский М.А. и др. М.: Наука, 1966.

20. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.Капитанский Л.В., Костин И.Н. Аттракторы нелинейных эволюционных уравнений и их аппроксимация // Алгебра и анализ. 1990. 2, Вып. 1. 114-140.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

22. Корнев A.A. Аппроксимация аттракторов полудинамических систем // Матем. сборник. 2001. 192, № 10. 19-32.

23. Костин В.А. К решению одной проблемы, связанной с абстрактной косинус-функцией // ДАН. 1994. 336, № о. 564-567.

24. Костин В. А. Об аналитических полугруппах и сильно непрерывных косинус-функциях // ДАН СССР. 1989. 307, № 4. 796-799.

25. Костин В.А. К задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Сб. Дифф. ур-я в частных производных . Новосибирск. 1989. 93. 93-116.

26. Костин В.А. К теореме Соломяка-Иосиды об аналитических полугруппах // Алгебра и анализ. 1999. 11, № 1. 91-106.

27. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы в нелинейном анализе. М.: Наука, 1975.

28. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

29. Крейн С.Г., Хазан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анализ. ВИНИТИ, 1983. 21. 130-264.

30. Jlammec Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения н его приложения. М.: Мир, 1970.

31. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978.298

32. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

33. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

34. Мельникова И. В. Свойства (/-полугрупп Лионса и обобщенная корректность задачи Коши // Функциональный анализ и его приложения. 1997. 31, № 3. 23-34.

35. Мельникова И. В., Бочкарева С. В. С'-полугруппы и регуляризация некорректно поставленной задачи Коши // Докл. АН СССР. 1993. 329, № 3. 270-273.

36. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / Ахмеров P.P. и др. Новосибирск: Наука, 1986.

37. Михлин С.Г. Погрешности аппроксимации квадратурных формул связанные с методом конечных элементов. Вестник Ленинградского унив. Математика, Механика и Астрономия. 1989. Вып. 4, 19 25.

38. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: МГУ, 1987.

39. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

40. Однопараметрические полугруппы / Клемент Ф. и др. М.: Мир, 1992.

41. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. Москва : Наука, 1978.

42. Прилепко А.И., Костят A.B. Оценка спектрального радиуса оператора и разрешимость обратных задач для эволюционных уравнений // Математические заметки. 1993. 53, № 1. 89-94.

43. Прилепко А.И., Тихонов И.В. Восстановление неоднородного члена в абстрактном эволюционном уравнении // Изв. РАН, Сер. Мат. 1994. 58, № 2. 167-188.

44. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.

45. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехнздат, 1956.

46. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

47. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

48. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.

49. Самарский A.A., Гулин A.B. Некоторые результаты и задачи в теории устойчивости разностных схем // Матем. сборник. 1976. 99, № 141. 299-330.

50. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

51. Сердюкова С.И. Равномерная устойчивость по начальным данным шеститочечной симметричной схемы для уравнения теплопроводности // Жур. выч. матем. и матем. физики. 1964. 4. 212-216.

52. Соболевский П.Е. Неравенства коэрцитивности для абстрактных параболических уравнений // ДАН СССР. 1964. 157, № 1.

53. Соболевский П. Е. Коэрцитивная разрешимость разностных уравнений // Докл. АН СССР. 1971. 201. 1063-1066.

54. Соболевский П. Е. Теория полугрупп и устойчивость разностных схем. Теория операторов в функциональных пространствах (Труды школы, Новосибирск, 1975). Новосибирск: Наука, 1977. 304-337.300

55. Соболевский П. Е., Хоанг ван Лай. Разностные схемы оптимального типа для приближенного решения параболических уравнений (банахов случай) // Укр. Мат. Ж. 1981. 33. 39-46.

56. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

57. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

58. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

59. Хилле Э., Филлипс П. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

60. Agase S.B. and Raghavendra V. Existence of milcl solutions of semilinear differential equations in Banach spaces // Indian J. Pure Appl. Math. 1990. 21, № 9. 813-821.

61. Ahues M. A class of strongly stable operator approximations // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 1987. 28, N 4. 435-442.

62. Ahues M. and Hocine F. A note on spectral approximation of linear operations // Appl. Math. Lett. // 1994. 7, N 2. 63-66.

63. Ahues M. and Largillier A. Two numerical approximations for a class of weakly singular integral operators // Appl. Numer. Math. 1995, 17, N 4. 347-362.

64. Alonso-Mallo I. and Palencia C. On the convolution operators arising in the study of abstract IBVPs // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1996. 126 A. 515-539.

65. Amann H. Linear and quasilinear parabolic problems. Volume 1, Abstract linear theory . Monographs in Mathematics. Vol. 87, Birkhauser Verlag, 1995.

66. Amerio M., Prouse G. Almost-periodic functions and functional equations. N.Y. 1971.

67. Anselone P. M. Collectively compact operator approximation theory and applications to integral equations. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1971. With an appendix by Joel Davis, Prentice-Hall Series in Automatic Computation.

68. Anselone P. M. and Palmer T. W. Spectral properties of collectively compact sets of linear operators //J. Math. Mecli. 1967/1968. 17. 853— 860.

69. Anselone P. M. and Treuden M. L. Regular operator approximation theory // Pacific J. Math. 1985. 120, N 2. 257-268.

70. Arandiga F. and Caselles V. Approximations of positive operators and continuity of the spectral radius. Ill // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1994. 57, N 3. 330-340.

71. Arandiga F. and Caselles V. On strongly stable approximations // Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid. 1994. 7, N 2. 207-217.

72. Arendt W. Resolvent positive operators // Proc. London. Math. Soc. 1987. 54, N 3. 321-349.

73. Arendt W. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems // Isr. J. Math. 1987. 59, N 3. 327-352.

74. Arendt W., Batty C.J.K., Hieber M. and Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. Birkhauser Verlag, 2000.

75. Arendt W., El-Mennaoui O. and Keyantuo V. Local integrated semigroups: evolution with jumps of regularity // J. Math. Anal. Appl. 1994. 186, N 2. 572-595.

76. Arendt W., Pruss J. Vector valued Tauberian theorems and asymptotic behaviour of linear Volterra equations // SIAM. Appl. Math. 1992. 23. 412-448.

77. Arrieta J.M., Carvalho A.N. Neumann boundary value problems: Continuity of attractors relatively to domain perturbations // Cadernos de Matematica. 2002. 3. 265-284.

78. Arrieta J.M., Carvalho A.N. and Rodriguez-Bernal A. Attractors Parabolic problems whith Nonlinear Boundary Conditions: Uniform Bounds // Communications in Partial Differential Equations. 2000. 25, N 1-2. 1-37.

79. Ashyralyev A., Sobolevskii P.E. Well-posedness of parabolic difference equations. Birkhauser Verlag, 1994.

80. Aubin J.-P. Approximation of elliptic boundary-value problems. Pure and Applied Mathematics, Vol. XXVI, Wiley-Interscience, New York-London-Sydney. 1972.

81. Autret L. Entire vectors and time reversible C'auchy problems // Semigroup Forum. 1993. 46. 347-351.

82. Azizov T. Ya., Barsukov A.I., Dijksma A. Decompositions of a Ivrein space in regular subspaces invariant under a uniformly bounded Co-semigroup of bicontractions // J. Funct. Anal. 2004. 211, N 2. 324-354.

83. Baillon J.B. Ceracter borne de certains generatours de semigroupes lineares dans les espaces de Banach // C.R.Acad. Sc. Paris. 1980. 290. 757-760.

84. Bouldin R. Operator approximations with stable eigenvalues // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1990. 49, N 2. 250-257.

85. Brenner P. and Thomee V. On rational approximations of semigroups 11 SI AM J. Numer. Anal. 1979. 16. 683-694.

86. Brenner P., Thomee V. and Wahlbin L.B. Besov spaces and applications to difference methods for initial value problems. Lecture Notes in Math., 434, Springer, Berlin, 1975.

87. Burrage K., Burrage P.M. High strong order explicit Runge-Kutta methods for stochastic ordinary differential equations // Applied Numer. Maths. 1996. 20. 1-21.

88. Butzer P.L., Berens H. Semigroups of operators and approximation . New York. 1967.

89. Butzer P.L., Dickmeis W., Hahn L. and Nessel R.J. Lax-type theorems and a unified approach to some limit theorems in probability theory with rates // Resultate Math. 1979. 2. 30-53.

90. Butzer P.L., Dickmeis W., Jansen Hu. and Nessel R.J. . Alternative forms with orders of the Lax equivalence theorem in Banach spaces // Computing. 1976/77. 17, N 4. 335-342.

91. Gaspers Wim, Clement Philippe Point interactions in LP j j Semigroup Forum. 1993. 46, N 2. 253-265.

92. Cerrai Sandra, Clement Philippe On a class of degenerate elliptic operators arising from Fleming-Viot processes. Dedicated to Ralph S. Phillips // J. Evol. Equ. 2001. 1, N 3. 243-276.

93. Chatelin F. Spectral approximation of linear operators. Computer Science and Applied Mathematics. Academic Press Inc. Harcourt Brace Jovanovich Publishers.] New-York, 1983. With a foreword by P. Henrici, With solutions to exercises by Mario Ahues.

94. Clement Ph., Timmermans C. A. On C'o-semigroups generated by differential operators satisfying Ventcel's boundary conditions // Neclerl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 1986. 48, N 4. 379-387.

95. Courant R., Friedrichs K., Lewy, H. Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik // Math. Ann. 1928. 100. 32 -74.

96. Crank J., Nicholson P. A practical method for numerical integration of solution of partial differential equations of heat-conduction type // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1947. 43. 50 67.

97. Crouzeix Michel. Operators with numerical range in a parabola // Arch. Math. (Basel) 2004. 82, N 6. 517-527.

98. Crouzeix Michel. Bounds for analytical functions of matrices // Integral Equations Operator Theory. 2004. 48, N 4. 461-477.

99. Cuthbert J.R. On semigroups such that T(t) — I is compact for some t > 0 . // Z. Wars. 1971. 18, N 1-2. 9-16.

100. Dancer E. N. Upper and lower stability and index theory for positive mappings and applications // Nonlinear Anal. 1991. 17. 205-217.

101. Davies E.B. and Pang M. M. H. The Cauchy problem and a generalization of the Hille- Yosida theorem // Proc. London Math. Soc. (3)1987. 55, N 1. 181-208.

102. Desch W., Lasiecka I., Schappacher W. Feedback boundary control for linear semigroups // Israel Math. J. 1985. 51. 177-207.

103. Desch W., Schappacher W. Some generation results for perturbed semigroups / Trends in semigroups theory and appl. Ph.Clement et al. (Eds). Marcel Dekker. New-York. 1989. pp. 125-152.

104. Desch W., Schappacher W. A note on the comparision of Co-semigroups 11 Semigroup Forum. 1987. 35, N 2. 237-243.

105. Desch W., Schappacher W. Some perturbation results for analitic semigroups // Math. Ann. 1988. 284. 157-162.

106. Desch W., Schappacher W. On relatively bounded perturbations of linear Co-semigroups // Ann. Sci. Norm. Super. 1984. 7, N 2. 327-341.

107. Dickmeis W. and Nessel R.J. On uniform boundedness principles and Banach-Steinhaus theorems with rates // Numer. Funct. Anal. Optim. 1981. 3. 19-52.

108. Dickmeis W. and Nessel R. J. A unified approach to certain counterexamples in approximation theory in connection with a uniform boundedness principle with rates // J. Approx. Theory. 1981. 31. 161-174.

109. Diekmann O., Gyllenberg M. and Thieme H. Pertubing semigroups by solving Stieltjes renewal equations // Differential and integral equations. 1993. 6. 155-181.

110. Eberhard B., Greiner G. Baillon's theorem on maximal regularity // Acta Appl. Math. 1992. 27. 47-54.

111. El-Mennaoni O., Keyantuo V. Trace theorems for holomorphic semigroups and the second order Cauchy problems // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. 124, N 5. 1445-1458.

112. Ethier S. N. and Kurtz T. G. Markov processes. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Probability and Mathematical Statistics. John Wiley Sz Sons Inc. New York, 1986. Characterization and convergence.

113. Fattorini H. O. Un teorema de perturbación para generatores de func-tiones coseno // Revista de la Union Mathematica Argentina. 1971. 25. 199-211.

114. Fattorini H.O. Ordinary differential equations in linear topological spaces, I // J. Different. Equat. 1969. 5. N 1. 72-105.

115. Fattorini H.O. Ordinary differential equations in linear topological spaces, II // J. Different. Equat. 1969. 6. 50-70.

116. Fattorini H. 0. Uniformly bounded cosine functions in Hilbert spaces // Indiana Univ. Math. J. 1970. 20. 411-425.

117. Fattorini H.O. A note of franctional derivatives of semigroups and cosine functions // Pacif. J. Math. 1983. 109, N 2. 335-347.

118. Fattorini H.O. Second order linear differential equations in Banach spaces. Amsterdam: North Holland, 1985.

119. Fattorini H.O. The Caucliy problem . Enciclopedia of Mathematics and its Application, Reading mass. e. a.: Addison Wesley, 1983.

120. Fujita H. and Mizutani A. On the finite element method for parabolic equations. I. Approximation of holomorphic semi-groups // J. Math. Soc. Japan. 1976. 28, N 4. 749-771.

121. Gavrilyuk I.P. and Makarov V.L. Exact and approximate solutions of some operator equations based on a Cayley transform // Linear Algebra and its Applications. 1998. 282. 97-121.

122. Gavrilyuk I.P. and Makarov V.L. Representation and approximation of the solution of an initial value problem for a first order differential equation in a Banach space // Z. Anal. Anwencl. 1996. 15. 495-527.

123. Giusti E. Funzioni coseno perioclische // Boll. Union. Mat.Ital. 1967. 22. 478-485.

124. Grimmer R., Prüss J. On linear Volterra equations in Banach spaces // Comp. Math, and Appl. 1985. 11. 189-205.

125. Goffman C., Pedrick G. First course in Functional Analysis. New Jersey, 1965.

126. Goldstein J. A. The universal addability problem for generators of cosine functions and operator groups // Houston J. Math. 1980. 6, N 3. 365-373.

127. Goldstein J.A., Radin C., Schowalter R.E. Convergence rates of ergoclic limits for semigroups and cosine functions // Semigroup Forum. 1978. 16. 89-95.

128. Grigorieff R.D. Zur Theorie linearer approximationsregulärer Operatoren. III // Math. Nachr. 1973. 55. 233-249.

129. Grigorieff R. D. Diskrete Approximation von Eigenwertproblemen. I. Qualitative Konvergenz // Numer. Math. 1975. 24. N 4. 355-374.

130. Grigorieff R.D. Diskrete Approximation von Eigenwertproblemen. II. Konvergenzordnung //. Numer. Math. 1975. 24, N 5. 415-433.

131. Grigorieff R. D. Uber diskrete Approximationen nichtlinearer Gleichungen 1. Art. // Math. Nachr. 1975. 69. 253-272.

132. Grigorieff R. D. Diskrete Approximation von Eigenwertproblemen. III. Asymptotische Entwicklungen // Numer. Math. 1975/76. 25, N 1. 79-97.

133. Grigorieff R.D. Zur Charakterisierung linearer approximationsregulärer Operatoren / Mathematical papers given on the occasion of Ernst Mohr's 75th birthday, pp. 63-77. Tech. Univ. Berlin, Berlin, 1985.

134. Grigorieff R.D. and Jeggle H. Approximation von Eigenwertproblemen bei nichlinearer Parameterabhängigkeit // Manuscripta Math. 1973. 10. 245-271.

135. Guidetti D. The parabolic mixed Cauchy-Dirichlet problem in spaces of functions which are Holder continuous with respect to space variables // Atti Accad. Naz. Lincei CI. Sei. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 1996. 7, N 3. 161-168.

136. Guo B.Z. On the exponential stability of Co-semigroups on Banach spaces with compact perturbations // Semigroup Forum. 1999. 59, N 2. 190-196.

137. Hersh R. Explicit solutions of a class of hihger order abstract Cauchy problem //J. Different. Equat. 1970. 8, N 3. 570-579.

138. Hersh R. and Kato T. High-accuracy stable difference schemes for well-posed initial value problems // SIAM J. Numer. Anal. 1979. 16, N 4. 670-682.

139. Hess P. Periodic-parabolic boundary value problems and positivity.1.ngman Scientific & Technical, Harlow, 1991.

140. Hieber M. Integrated semigroups and differential operators on LP(IRN)-spaces // Math. Ann. 1991. 291. 1-16.

141. Honig C.S. Volterra Stiltjes-Integral Equations. Amsterdam: NorthHolland, 1975.

142. Hoppe R. H. W. A constructive approach to the Bellman semigroup // Nonlinear Anal. 1985. 9, N 11. 1165-1181.

143. Hormander L. Estimates for translation invariant operators in Lp spaces 11 Acta Math. 1960. 104. 93-140.

144. Jung Chan Chang, Shaw S.-Y. Perturbation theory of abstract Cauchy problems and Volterra equations // Nonlin. Anal. Theory Meth. and Appl. 1997. 30, N 6. 3521-3528.

145. Kalton N.J. and Lancien G. A solution to the problem of ZAmaximal regularity // Math. Z. 2000. 235, N 3. 559-568.

146. Kalton N. and Weis L. The H00 calculus and sums of closed operators 11 Math. Ann. 2001. 231, N 2. 319-345.

147. Karatzas I., Shreve S.E. Brownian motion and stochastic calculus. Berlin: Springer-Verlag, 1991. Graduate texts in Mathematics, 113.

148. Keyantuo V. The Laplace transform and the ascent method for abstract wave equations //J. Diff. Equations. 1995. 122. 27-47.

149. Keyantuo V. Intagrated semigroups and related partial differential equations // J. Math. Anal. Appl.// 1997. 212. 135-153.

150. Krendel U., Lin M. On the range of the generator of Markovian semigroup // Math. Z. 1984. 185. 553-565.

151. Kurepa S. A cosine functional eqation in Hilbert space // Can. J. Math. 1960. 12. 45-49.

152. Kurepa S. A cosine functional equation in Banach algebras // Acta. Sci. Math. Szeged. 1962. 23. 255-267.

153. Kurepa S. Semigroups and cosine functions // Func. Anal. Lect. Notes Math. 1982. 948. 47-72.

154. Kurtz T.G. A general theorem on the convergence of operator semigroups 11 Trans. Amer. Math. Soc. 1970. 148. 23-32.

155. Largillier A. A numerical quadrature for some weakly singular integral operators // Appl. Math. Lett. 1995. 8, N 1. 11-14.

156. Lax P.D. and Richtmyer R.D. Survey of the stability of linear finite difference equations // Comm. Pure Appl. Math. 1956. 9. 267-293.

157. Le Merdy Ch. The semilarity problem for bounded analytic semigroups on Hilbert space // Semigroup Forum. 1998. 56. 205-224.

158. Le Merdy Ch. Counterexamples on Lp-maximal regularity // Math. Z. 1999. 230. 47-62.

159. Li Y.-C. , Shaw S.-Y. Integrated C'-cosine functions and the abstract Cauchy problem // 1991, preprint.

160. Liang Jin, Xiao Tijun. Norm continuity (for t > 0) of propagators of arbitary order abstract differential equations in Hilbert spaces // Journal of Math. Anal, and Appl.- 1996 .- 204 .- p.124-137.

161. Linden H. Starke Konvergenz im verallgemeinerten Sinne und Spektra // Math. Z. 1975. 134. 205-213.

162. Linden H. Uber die Stabilität von Eigenwerten // Math. Ann. 1973. 203. 215-220.

163. Lizama C. A characterization of periodic resolvent operators // Results in Math. 1990. 18. 93-105.

164. Lizama C. On positivity strongly continuous cosine functions // Math. Balcanica. 1990. 4. 43-49.

165. Lizama C. Uniform continuity and compactness for resolvent families of operators / Seminar Notes in Func. Anal, and Partial Diff. Equations, Baton Rouge, USA. 1992-1993. 29-43.

166. Lubich Christian. On dynamics and bifurcations of nonlinear evolution equations under numerical discretization. (English. English summary) /313Ergodic theory, analysis, and efficient simulation of dynamical systems, 469-500, Springer. Berlin, 2001.

167. Lunardi A. Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems, volume 16 of Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications. Birkhauser Verlag. Basel. 1995.

168. Luo Z.H., Guo B.Z. and Morgul 0. Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications. London-Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1999.

169. Lutz D. Compactness properties of operator cosine functions // C. r. math. Rept. Acad. sci. Canada. 1980. 2. 277-280.

170. Lutz D. Periodische operatorwertige cosinusfunktionen // Result. Math. 1981. 4, N 1. 75-83.

171. Lutz D. Strongly continuous operator cosine functions // Functional Analysis, Lect. Notes Math. 1982. 948. 73-97.

172. Melnikova I. V. Well-posedness of differential-operator problems. I. The Cauchy problem in spaces of distributions // J. Math. Sci. (New York). 1999. 93, N 1. 1-21. Functional analysis, 2.

173. Jr. Mills, W. H. The resolvent stability condition for spectra convergence with application to the finite element approximation of noncompact operators // SI AM J. Numer. Anal. 1979. 16. 695-703.

174. Miyadera I. A generalization of the Hille-Yosida theorem // Proc. Jap. Acacl. 1988. 64, Ser. A., N 7. 223-226.

175. Nair M. T. On strongly stable approximations // J. Austral. Math. Soc. Ser. A 1992. 52, N 2. 251-260.

176. Nagel R. et all. One parameter semigroups of positive operators // Lect. Notes in Math. 1986. N 1184.

177. Nagy B. Approximation theorems for cosine operator functions // Acta math. Acad, sci Hung. 1977. 29, N 1-2. 69-76.

178. Nagy B. Cosine operator functions and the abstract Cauchy problem // Period. Math. Hung. 1976. 7, N 3-4. 213-217.

179. Nagy B. On cosine operator functions in Banach spaces // Acta sci. math. 1974. 36, N 3-4. 281-289.

180. Nagy B. On the generation of cosine operator functions // Pubis, math. 1974. 21, N 1-2. 151-154.

181. Neubrander F. On the relation between the semigroup and its infinitesimal generator // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. 100, N 1. 104-108.

182. Nguyen Thanh Lan. On the mild solutions of higher-order differential equations in Banach spaces // Abstr. Appl. Anal. 2003. N 15. 865-880.

183. Nguyen Thanh Lan. On nonautonomous second-order differential equations on Banach space // Int. J. Math. Math. Sci. 2001. 26, N 1. 45-54.

184. Oka H. A class of complete second order linear differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. 124 , N 10, 3143-3150.

185. Paguet, Luc Semi-groupes generalises, semi-groupes et operateurs paraboliques // (French) C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B 286. 1978, N 11 A507-A510.

186. Paquet, Luc Equations d'évolution pour operateurs locaux et equations aux derivees partielles // (French) C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B 286. 1978, N 4. A215-A218.

187. Palencia C. A stability result for sectorial operators in Banach spaces // SIAM J. Numer. Anal. 1993. 30, N 5. 1373-1384.

188. Palencia C. On the stability of variable stepsize rational approximations of holomorphic semigroups // Math. Comp. 1994. 62, N 205. 93-103.

189. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New-York: Springer-Verlag, 1983.

190. Phillips R.S. Perturbation theory for semigroups of linear operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. 74. 199-221.

191. Prilepko A.I., Orlovsky D.G. and Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker. 231. New York, NY: Marcel Dekker. 2000.

192. Pruss J. Positivity and regularity of hyperbolic Volterra equations in Banach spaces // Math. Ann . 1987. 279. 317-344.

193. Rao B.P. Uniform stabilization of a hybrid system of elasticity / / SI AM J. Control & Optim. 1995. 33. 440-445.

194. Robinson D. W. The approximation of flows // J. Func. Anal. 1977. 24. 280-290.

195. Russell D.L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent progress and open questions. SIAM Review. 1978. 20. 639-739.

196. Saff E. B., Schonhage A., and Varga R. S. Geometric convergence to e~z by rational functions with real poles // Numer. Math. 1975/76. 25, N 3. 307-322.

197. Saff E. B. and Varga R. S. On the zeros and poles of Pade approximants to e3 // Numer. Math. 1975/76. 25, N 1. 1-14.

198. Samarskii Alexander A., Gavrilyuk Ivan P., Makarov Vladimir L. Stability and regularization of three-level difference schemes with unbounded operator coefficients in Banach spaces // SIAM J. Numer. Anal. 2001. 39, N 2. 708-723.

199. Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference schemes with operator factors. Mathematics and its Applications, 546. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.

200. Stummel F. Diskrete Konvergenz linearer Operatoren. Ill // Linear operators and approximation (Proc. Conf., Oberwolfach, 1971), pages 196-216. Internat. Ser. Numer. Math., Vol. 20. Birkhauser, Basel, 1972.

201. Tanaka N. and Okazawa N. Local C-semigroups and local integrated semigroups // Proc. London Math. Soc. (3). 1990. 61, N 1. 63-90.

202. Thomee V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. Springer, Berlin, 1997.

203. Thomee V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. Lecture Notes in Math., 1054, Springer, Berlin, 1984.

204. Travis C. C. Differentiability of weak solutions to an abstract inhomoge-nious differential equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. 82. 425-430.

205. Travis C.C., Webb G.F. Second order differential equations in Banach space // Nonlin. Equat. in abstract space. 1978. 331-361.

206. Travis C.C., Webb G.F. Compactness, regularity and uniform continuity properties of strongly continuous cosine families // Houston J. Math. 1977. 3, N 4. 555-567.

207. Travis C. C., Webb G. F. Cosine families and abstract non-linear second order differential equations // Acta math. Acad. Sci. hung. 1978. 32, N 3- 4. 75-96.

208. Travis C. C., Webb G. F. Perturbation of strongly continuous cosine family generators // Colloq. math. 1981. 45, N 2. 277-285.

209. Triggiani R. Lack of uniform stabilization for noncontractive semigroups under compact perturbation // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. 105. 375383.

210. Triggiani R. On the stabilizability problem in Banach space // J. Math. Anal. Appl. 1975. 52. 383-403.

211. Trotter H. Approximation of semigroups of operatiors // Pacific J. Math. 1958. 8. 887-919.

212. Ushijima T. Approximation theory for semigroups of linear operators and its appliations to approximations of wave equations // Japan J. Math. 1975. 1, N 1. 185-224;

213. Vainikko G. Uber die Konvergenz und Divergenz von Näherungsmethoden bei Eigenwertproblemen // Math. Nachr. 1977. 78. 145-164.

214. Vainikko G. Über Konvergenzbegriffe für lineare Operatoren in der numerischen Mathematik // Math. Nachr. 1977. 78. 165-183.

215. Vainikko G. Funktionalanalysis der Diskretisierungsmethoden. Leipzig. B. G. Teubner Verlag, 1976. Mit Englischen und Russischen Zusammenfassungen, Teubner-Texte zur Mathematik.

216. Vainikko G. Approximative methods for nonlinear equations (two. approaches to the convergence problem) // Nonlinear Anal. 1978. 2. 647687.

217. Vainikko G. Foundations of finite difference method for eigenvalue problems // The use of finite element method and finite difference method in geophysics (Proc. Summer School, Liblice, 1977), pages 173-192. Cesk. Akad. Ved, Prague, 1978.

218. Vidav I. Spectral of perturbed semigroups with applications to transport theory // J. Math. Anal. Appl. 1970. 30. 264-279.

219. Voigt J. On the convex compactness property for the strong operator topology // Note Mat. 1992. 12. 259-269. Dedicated to the memory of Professor Gottfried Ivöthe.

220. Watanabe M. A new proof of the generation theorem of cosine families in Banach spaces // Houston J. Math. 1984. 10, N 2. 285-290.

221. Watanabe M. A perturbation theory for abstract evolution equations of second order // Proc. Jap. Acad. 1982. 58. 143-146.

222. Watanabe M. Cosine families of operators and applications // Different. Equat. in Banach spaces: Lect. Notes Math. 1986. N 1223. 278-292.

223. Webb G.F. An operator-theoretic formulation of asynchronic exponential grouth // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. 303. 751-763.

224. Webb G.F. Compactness of bounded trajectories of dynamic systems in infinite dimensional systems // Proc. of the Royal Soc. of Edinburg. 1979.- 84A. 19-33.

225. Weis L. A new approach to maximal Lp regularity / Proc. of the 6th Internat. Conf. on Evolution Equations. Marcel Dekker, 2001. Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 215. 195-214.

226. Weis L. Operator-valued multiplier theorems and maximal Lp regularity // Mathematische Annalen. 2001. 319. 735-758.

227. Weis L. and Wrobel V. Asymptotic behavior of Co-semigroups in Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. 124, N 12. 3663-3671.

228. Wolf R. Uber lineare approximationsreguläre Operatoren // Math. Nachr. 1974. 59. 325-341.

229. Xiao Т., Liang J. Analyticity of the propagators of second order linear differential equations in Banach spaces // Semigroups Forum. 1992. 44. 356-363.

230. Xiao Т., Liang J. Entire solutions of higher order abstract Cauchy problems // J. Math. Anal, and Appl. 1997. 208. 298-310.

231. Xiao Т., Liang J. Differential operators and C-welposedness of complete second order abstract Cauchy problems // Pacific J. Math. 1998. 186, N 1. 167-200.

232. Zheng Q. and Lei Y. S. Exponentially bounded C-semigroup and integrated semigroup with nondensely defined generators. I. Approximation 11 Acta Math. Sci. (English Ed.) 1993. 13, N 3. 251-260.

233. Вайникко Г., Пискарев С. И. Регулярно согласованные операторы // Изв. ВУЗов. Мат. 1977. № 10. 25-36.

234. Васильев В. В., Крейн С. Г., Пискарев С. И. Полугруппы операторов, косинус-операторные функции и линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техн. Сер. Мат. Анализ / ВИНИТИ. 1990. 28. 87-202.

235. Васильев В.В., Пискарев С.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Теория полугрупп операторов. Москва. Издательство МГУ, 1996.

236. Васильев В.В., Пискарев С.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Теория косинус оператор-функции / Итоги науки и техники, М.: ВИНИТИ. Journal of Math. Science. 2004. Vol. 122, № 2. 3055 3174.

237. Пискарев С. И. Аппроксимация голоморфных полугрупп // Уч. зап. Тартус. ун-та. 1979. № 492. 3-14.

238. Пискарев С. И. Дискретизация абстрактного гиперболического уравнения // Уч. зап. Тартус. ун-та. 1979. № 500. 3-23.

239. Пискарев С. И. Оценки погрешности аппроксимации полугрупп операторов дробями Падэ // Изв. ВУЗов. Мат. 1979. № 4. 33-38.

240. Пискарев С.И. Компактная сходимость при аппроксимации дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Уч. зап. Тартус. ун-та. 1982. № 633. 11-18.

241. Пискарев С.И. Периодические и почти периодические косинус оператор-функции // Мат. сб. 1982. 118, JNs 3. 386-398.

242. Пискарев С.И. Почти периодические решения дифференциальных уравнений второго порядка // Сиб. Мат. Ж. 1984. 25, № 3. 137-147.

243. Пискарев С. И. Устойчивость разностных схем в задачах Коши с почти периодическими решениями // Дифференц. уравнения. 1984. 20, № 4. 689-695.

244. Пискарев С. И. Оценки скорости сходимости решения некорректных задач для эволюционных уравнений // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. 51, № 3. 676-687.

245. Пискарев С. И. Сходимость разностных схем решения нелинейных параболических уравнений // Мат. заметки. 1988. 44, № 1. 112-123.

246. Пискарев С. И. Метод повышения точности решения задач Коши в банаховом пространстве // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1988. 28, № 6. 211-212.

247. Пискарев С. И. Аппроксимация положительных Co-полугрупп операторов // Дифференц. уравнения. 1991. 27, № 7. 1245-1250.

248. Пискарев С.И. Свойства компактности в теории косинус оператор-функций // Мат. заметки. 1992. 51, № 5. 151-153.

249. Пискарев С. И. Об аппроксимации возмущенных Co-полугрупп // Дифференц. уравнения. 1994. 30, N°. 2. 339-341.

250. Пискарев С. И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве и их аппроксимация. Москва: Издательство МГУ, 2005.

251. Ashyralyev A., Piskarev S. and Weis L. On well-posedness of difference schemes for abstract parabolic equations in ,T]\E) spaces // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2002. 23, N 7 & 8. 669693.

252. Bobylev N. A., Kim J. K., Korovin S. K., Piskarev S. Semidiscrete approximations of semilinear periodic problems in Banach spaces // Nonlinear Anal. 1998. 33, N 5. 473-482.

253. Burrage K., Piskarev S. Stochastic methods for ill-posed problems // BIT. 2000. 40, N 2. 226-240.

254. Carvalho A. N., Piskarev S. A general approximation scheme for attrac-tors of abstract parabolic problems // Cadernos de Matematica. 2004. 5, N 1. 71-120. Доступна также в интернетеhttp: //www.icmc.sc.usp.br/ anclcarva/cadernos/tcvol5.1.html

255. Chang D.-K., Shaw S.~Y., Piskarev S. On maximal regularity and semivariation of cosine operator functions //J. London Math. Soc. II. 1999. 59, N 3. 1023-1032.

256. Ergens Т., Karasozen В., Piskarev S. Approximation for semilinear Cauchy problems involving second order equations in separable Banach spaces // Nonlin. Anal. 1997. 28. 1157-1165.

257. Guidetti D., Karasozen B. and Piskarev S. Approximation of abstract differential equations / Итоги науки и техники, М.: ВИНИТИ. Journal of Math. Science. 2004. Vol. 122, № 2. 3013 3054.

258. Guidetti D. and Piskarev S. Stability of Rothe's scheme and maximal regularity for parabolic equations in C9( Г2) // Progress in partial differential equations, Vol. 1 (Pont-a-Mousson, 1997), C. 167-180. Longman, Harlow, 1998.

259. Guidetti D. and Piskarev S. On real interpolation, finite differencies and estimats depending on a parameter for discretizations of elliptic boundary value problems // Abstract and Applied Analysis. 2003. N 18. 1005 -1035.

260. Guidetti Davide, Piskarev Sergei Stability of the Crank-Nicolson scheme and maximal regularity for parabolic equations in Ce(Q) spaces // Nu-mer. Funct. Anal. Optim. 1999. 20, N 3-4. 251-277.

261. Jefferies B. and Piskarev S. Tauberian theorems for Co-semigroups // Supplemento ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Ser II. 2002. Num. 68. 513-521.

262. Jefferies В., Piskarev S. Tauberian theorems for cosine operator functions // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 2002. 236. 474 480.

263. Li Miao , Guo B.-Z. and Piskarev S. Compactness and norm continuity of the difference of two cosine functions // Taiwaness Journal of Mathematics. 2003. 7 , N 4. 575-589.

264. Kantorovitz S., Piskarev S. Mean stability of semigroups and cosine operator functions // Taiwaness Journal of Mathematics. 2002. 6, N 1. 89 103.

265. Palencia C., Piskarev S. On the Multiplicative perturbations of Co-groups and Co-cosine operator functions // Semigroup Forum. 2001. 63, N 2. 127-152.

266. Piskarev S. Rational approximations of analytic semigroups // Evolution equations, control theory and biomathematics (Han Sur Lesse, 1991). Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 1994. 155. 467-471.

267. Piskarev S., Shaw S.-Y. On certain operator families related to cosine operator functions // Taiwanese J. Math. 1997. 1. 527-546.

268. Piskarev S., Shaw S.-Y. Perturbation and comparision of cosine operator functions // Semigroup Forum. 1995. 51. 225-246.

269. Piskarev S., Shaw S.-Y. Perturbation of cosine operator functions by step response and cumulative output / Proceedings of the conference on evolution equations. University of Strathclyde, July, 25-29, 1994.325

270. Piskarev S., Shaw S.-Y. On some properties of step responses and curing lative outputs // Chinese J. Math. 1994. 22, N 4. 321-336.

271. Piskarev S., Shaw S.-Y. Multiplicative perturbations of Co-seinigroups and some applications to step responses and cumulative outputs // J. Func. Anal. 1995. 128, N 2. 315-340.