Априорные оценки и разрешимость в целом параболических уравнений общего вида на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОЙОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТКЧЕСКИИ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи уда 517.911"

Барсов Олег Николаевич

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РАЗРЕШИМОСТЬ В ЦЕЛОМ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ ОБЩЕГО ВИДА НА ПЛОСКОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учеяоа степени кандидата физико-натэыатических наук

Р Г Б ОД

? ? ФЕВ 1ази

Москва - 1996.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КН. И. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.911

Барсов Олзг НгЕга.гээЕйЧ

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РАЗРЕШИМОСТЬ В ЦЕЛОМ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ ОБЩЕГО ВИДА НА ПЛОСКОСТИ

01.01.02 - дпМерэнцнальшэ уравззшш

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сонсканга учэноа степэяи кандидата физико-иатэааттзсшп: наук

Москва - 1898.

Работа выполнена на механико-математическом факультете МГУ ш, М.В.Ломоносова.

Научныа руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор С.Н.Кружков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук»

профессор А.В.Фурсиков

кандидат физико-математических наук, додант В.Л.Камынин

Ведущая организация: Инстоггут математического моделирования РАН..

Защита состоится 1996г. в /¿> часов ¿¿Гмгаут

на заседании сшциализированного Совета по математике Д.053.05.04 при МГУ по адресу: 117234, Москва, В-234, Ленин-озза горы, МГУ ш. Ы.В.Ломоносова, механико-математическиа факультет, аудегория 16-24.

С ДЕссертацвза можно ознакомится в биЗлиотеке МГУ.

¿аторефзрат разослан 1985г.

Учэнда секретарь сшдаагизмрозанного Совета дркгор фшжо-иатемаггичвскиз: наук, профессор < Т.П.Лукашенко )

Обтая характеристика работы.

Актуальность темы. Одной из основных проблем теории нелинейных параболических уравнения является проблема разреши -мости в целом ( по времени г ) задачи Коага и смешанных краевых задзч для этих уравнения. Важные этапы исследования этой проблемы отражены в монографиях и обзорных статьях А.Фридмана, С.Н.Кружковз и О.А.Олеяник, О.А.Ладыженская и Н.Н.Ураль-цэвог, Н.В.Крылова и других.

В настоящей диссертации исследуются Еопрссы нелокальной разрешимости задачи Коаи и смешанных задач для нелинейного параболического уравнения общего вида на плоскости

иг = аи.х.и.и^.и^) , и= и(1;,х) , 1« К1, (1) Теоремы существования и единственности рассматриваемых задач доказываются при произвольных нелинеаностях в уравнении <1), но при некоторых дополнительных ограничениях на данные рас -сматриваемых задач.

Рассматриваемые в диссертации параболические уравнения являются математическими моделями многих явленна и процессов в механике, физике, биологии, химической кинетике и других областях нзуки; поэтому данная работа имеет как теоретическое, так и прикладное значение.

Цель работы. Основной целью работы является получение априорных оценок решений рассматриваемых задач и исследованиз на их основе вопросов существования и единственности классических решений задачи Коши и смешанных краевых задач для общего уравнения (1), не удовлетворяющего условию типа Бернштеяна ( то есть при произвольных нелинеяностях в этом уравнении по

Методы исследования. Результаты о нелокальной разрешимости рассматриваемых задач для уравнения (1) устанавливается на

основе априорных оценок решения этих задач в нормах прост -ранета Гельдсра С2*"(В) с помощью соответствующих локальных результатов и теоремы Лере-Шаудера. Методика получения оцэ -нок максимумов модулей решений хорошо разработана и сущест -вует много естественных достаточных условна для вывода таких оценок. Основные трудности возникают при получении априорных оценок производных и^ » и^ решения рассматриваемых задач. В случав уравнения (1) специфика уравнений с двумя независимыми переменными позволяет получать такие оценки при естест -венных и наиболее слабых предположениях.

Важный этап в теории априорных оценок производных связан с методом Бернштеана, основанным на идее - оценивать производные от подходящей нелинейной суперпозиции решения. Эта вдзя получила развитие в работах О.А.Олейник, Т.Д.Вентдоль, Чжоу Юа-Линя, О.А.Ладыженской пятидесятых годов. Однако послэдо -вательнов применение этой идеи для оцзнки старших произвол -ных требует большой гладкости коэффициентов и дополнительных ограничений на структуру уравнения.

Принципиально новый подход был разработан С.Н.Кружковым в работах шестидесятых годов. Суть его состоит в том, что оцэнка производной решения ии.х) выводится из оценки скорости убывания функции ??(г,х,у) = ц(г5х) - ись.у), обращающейся в нуль при х = у о При помощи этого метода С.Н.Кружковым подучена априорная оцэнка 11^1 и доказана глобальная разре -шимость задачи Коии и основных краевых задач для нелинейного уравнения (1) при естественном условии на рост нелинейностей в уравнении (1> типа Бернштевнз. Отметим, что условия типа Бернштеана использовались А.Ф. Филипповым при исследовании краевых ззгзч для квазилинейного уравнения другими методами.

Нетод С.Н.Крушова был применен В.Л.Камыниным для доказательства нелокальной разрешимости задачи Кош, шрвоа и вто-

рои краевых задач для квазилинейного уравнения в случае , когда условие типа Бернштейна не выполняется. Т.И.Фокиной при помощи этого метода была исследована третья смешанная задача с нелинейным крэевым условием для квазилинейного уравнения.

В настоящей диссертации развивается методика С.Н.Кружкова для случая общего уравнения < 1), не удовлетворяющего условию типа Бернштеана. Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации , являются новыми. В работе установлены достаточные условия глобальной классической разрешимости задачи Коши, первой и второй смешанных задач для уравнения {1) с произвольными нелинеяностями и доказана теорема существования и единственности классического решения третьей нелинейной смешанной задачи при ограничении на рост нелинейностей в уравнении (1) типа Бернштейна. Установлены также достаточные условия существования периодических по % классических решений первой и второй краевых задач для уравнения (1) с периодической по t функцией а(г,х,и,р,г) в полосе П = К1 х Самостоя -

тельный интерес представляет полученные априорные оценки рассматриваемых задач. Практическая и теорептческая ценность. Работа имеет теорэ -тэтескип характер. Результаты диссертации могут найти применение в теори нелинейных параболических уравн ний и при-ис -следовании математических моделей многих нестационарных процессов в механике» физике, биологии» химической киветккэ и других областях науки. Апробация. Результаты диссертации докладывались ; на заседаниях Новгородской областной конференции и летней ппгалы по теории операторов в функциональных пространствах в 1939 г. ; на кеявузовскоа конференции в Куйбышеве в 1990 г.;

на зимней сессии семинара т.. Ж.Г^Петровского и Московского математического общества в 1993 г..;; та сэиинарах и "Чебышез-ских чтениях"- 1994 мехатш)-мзтематического факультета МГУ; на семинарах в НовГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце авторефера -та.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения , двух глав," каждая из которых имеет введение и семь парагра -фов, и списка литературы, содержащего 36 наименования. Содержание работы Задача Коши для уравнения (1) с начальным условием

U(O.X) = uo(x> (2)

рассматривается в слое П, = <0,Т] х R1 . Первая . вторая и трэтья смешанные задачи для уравнения (1) с начальным уело -вша (2) и с граничными условиями первой краевой задачи

uCt.tí) = ^(t). (3)

второй однородной краевой задачи

U^t.íí) = 0 , (4)

и третьей нелинейной краевой задачи

u^t,-*) » rct.u), Ujít.O « g(t,u) (5)

рассматривается в прямоугольнике Q = (O.TJ х i~t,e).

Теорэда разрэпшоста рассматриваемых задач устанавливаются в првдпалоЕзнШр, что функция a(t,s,u,p,r) из (1 ) опреде -лэна на мнсшзствэ S х Н®, (0 = 4, уил D = Q ), непрерывна

на шоээстваж п „ „ = ( (t,x,utp„r): (t,x) «s 5 ,

•W я

lúi s J34 в |Р[ s N8 „ i'jpi s Нв }•.'„ где константы Ы4 , На.,

Мв > 0, a kïïs9t на зтш шюазствах непрерывные частные про -кзводаыэ шрвого шрящеа „ В сдучгз задачи Кода предполагаем

А

дополнительно, что функция &0Г-,х,и,р,г).' из- (1) и ее частные производные первого порядка ограничены на множествах

N N • кРоме того, предполагаем, что для случая каждой

1*2*3

из рассматриваемых задач" выполнены условия , обеспечивающие

оценку максимума модуля решения

iu(t,x)i £ И , (6)

сгдагяг из важнейших среди которых является следующее условие: дяйг (t.x) еВй любых и,р,г из R1

apit.x.u.p.r) » и . Г)

С константа и в (6) зэвисит от "данных" задачи ).

При", заводе априорных оценок производных решения предполагаем , что для (ъ,х) е d , iui £ м и лхйых р , г из r*

a5(t,,x,u,p,r) > ао = const > О . (8)

Из (8) и предположений о функции a(t,x,u,p,r), е"ли D сов -падает с Q , следует существование гладкой функции v(p) та -коя, что v(p) > 0 , v' (р) 2 о при р г О и для (t,x) е 15., IUI i М , любых р е R1

± a(t,x,u,p,i VСip() ) г о . (9)

В случае , когда D совпадает с Ц,., существование v(p) явля -бтся дотшигэльнкг условием, которое будет предполагаться выполненным в дальнейшем.

Будем говорить, что уравнение. (1) удовлетворяет услови» типа Бернштеяна, если для функции у(р), характеризующей со -отношение веливеаностей уравнения (1) по Uj и по и^

00

iPÖP

о

В натоящза диссертации рассматривается в основном случай , когда это условие не выполняется :

pdp

В первой главе доказываются теоремы сушэствования и единственности решения задачи Коши (1 ),(2) и шрвоа смешанной задачи (1 )-(3). Предполагается, что в случае задачи Коши начальная функция ис « Сэ (Й1) и ограничена на В1 вместе с производными vr , и^' , и^''. В случае задачи (1 )~(3) предполагаем, что UQ е C3([-A,i])e а граничные функции и±Щ е « С1,<Я(10,'Р]). Во введении к первой главе, дополнительно к условию (7), приведены условия

ia(t,x,0,0,0)i £ at , a^t.x.u.O.O) s аг, (12)

обеспечивающие оценку (6) для непрерывных в В, еще и ограниченных в Пт в случае задачи Коши, решений рассматриваемых задач»

В §1 доказана основная априорная оданка

lUjft.x)) s рй = const (13)

для решения задачи Коши.

Теорема 1.3. Пусть u(t,x)- решение задачи (1),(2) такое, что и» Uj « С(П^) и u, Uj, Ujj ограничены в Д,.. 41усть также выполнены условия <?)»<12), а для И из <б) - условия (8) , (9), (11). Если

1 Г

<14>

к

где К = sup й из (6), то в П, справедлива оценка

Я1 '

(13), при зтон константа рс в (13) зависит от К , функ-

Ро

г рйр

ции v(p) кз (9) к определяется равенством 2М = I .

К

§2 содержит вьшод априорной оцзлки

lUjjjit.XH 5 ro = const (15)

рэшенкз задачи Коши в при условии, что функция (р) , такая что > О, ч>\{р) г О при р s о и для (t,x) е , 1Ш i a6 ipl < р0 и любых Гей4

ir Spi$,x,urp,r)l + ip a^t.x.u.p.r) l + ta^t.x.u.p.r)! s < ^(|Г|) ауСМдир.г), (18)

удовлетворяет условию (11). Теорема 1.4. Пусть u(t,x) « С2'"^) - решение задачи (1), (2). Пусть выполнены все условия теоремы 1.3 и условие (18) " ро из (13) и функцией у,(р), удовлетворяющая (11). Если

а

да о

< г pdp 4 г pdp

к < « = 4 -^гг . а < X _ . (1?)

-2 J1ГШ ' а 4 i J Tip) • к, к

где К4= sup tu" (х)!, тогда всюду в справедлива оцэнтса В1

(15) , при sтон константа г0 в' <'5) зависит от К» Г, а0, рс, К, Kt, функщт у(р) , у^р).

Априорная оценка iuti решения задачи Кош выводится из уравнения (1) и оценок (б),(13),(15).

iiT

В §3 выведена априорная оценка < С -- const и дока-

заны теЬрекы существования и еданствзнности решения u(t,x) в С2'"«*,) задачи Коши (1 >,(2). "

Теорема 1.5. Если u(t,s) « С2'"^) - рзпззкз задачи (1) , (2) и выполнены все условия теорег.и 1.4, тогда для кекоторо-

Пт

го у <s (0,11 спраЕэдЕзва оцзнка luí ' Сс гяз нэнстгэта С

згв::шт от И» 2» р0» г0, К» Х1Г sup tu;" (s)i. цтса

в4

y(p)v vAp) п ёзршпж гргнэа ф^шсцгл! a(t.s,u,p,r) пз. Ш и

ее даршл прЕшеодаж на множестве D4 = Г^ * 1-М,И) х

* 1-Ро'Ро} * 'V,,1-

Теорема t.e. Пусть выполнены условия (7),<12), условия (8),

(9),(11 ),(14) с В йз (в) а также условия (16),(17) с М из

(6), с р0 из (13) и функцией vt{p), удовлетворяющей (11).

Тогда существует единственное решение u(t,x) « С2'"^) задачи Кош (Т),(2).

Теорема 1.7. Пусть выполнены условия <7),(12), условия (8), (9),(10) с м из (6) а также условия (16),(17) с м из (6), с ро из (13) и функцией v,(р), удовлетворяющей (11).Тогда

существует единственное решение u(t,x) с С2'"^) задачи

Коши (1),(2).

Теорема 1.8. Пусть выполнены условия (7),(12), условий <&), (9), (11),(14) с Ы из (6) а также условие (16) с К из (вК с р0 из (13) и функцией vt(p), удовлетворяющей (10). Тогда

существует единственное решеЕле u(t,x) в с2'"^) задачи

Коши (1),(2).

В §4 получены локальные оценки liijCt.xM для решений шр-вой смешанной задачи (1)-(3) в прямоугольниках Qf5 = [<s,T) х

X „ Q^ = X Q^ = 10,1] X [-i+6,/-6J,

а также ошнка производной Uj в Q.

Предположим, что уравнение (1) таково, что для (t.x) е q, iui s Ii , любых peR*

s a(t,x,u,p,+ v(lpi)) 5 H , (18)

где H = const £ 0, v(p) > О - гладкая неубывающая при p а О . функция.

?

Теорзаа 1.9. Пусть u(t,i> удоавэтворяэт в Q, крсе» шззт

быть точек отрезка s = О , уравяешз (Т> и u.uj в с (5) ,

lu(t,s)i s M , sup lUjji < + со . Пусть танкэ выпсшены (8), й

(1.8) с вше указанная Мое функцией Ир). удошэтвор-язггза (11). 1огдз спрзпздяивы аюдущие утверждения : 1) Если

".СО h

Ш о < * < min { Ц , Н6 = шах { ж ; ; } .

= , ТО ДЛЯ ЛОбЫХ (t,x) е q6

lUjtt.X)! £ С£ ,

гдэ константа С6 зависит от И,б,а0,Н,Ир) ;

2) Пусть дополнительно известно , что и(0,х) = а0(х) ,

iu^(x)i < К0. Если выполнено условие (19) с К, = « max { К0; , Н5 = mai { ; о < б < с, тогда

ДЛЯ ЛЯбьа (t.x)e

iUjtt.Dis с6 , гдэ С6 зависит ещэ и от К0 ;

3) Пусть u(t,x) удовлетворяет уравнении (1) всаду в Q , и крата того известно, что u(t,± г) = о „ u(0,z) = ц^х). Если

»00

pop

ц <

2

К

Г p<ïp

2 J (20>

r®Ho = max{^;4§-},K = max{Ko;-£f},T0 дая (t,x) « 5 справедлива оцэнка lu^it.x)! s С

гда константа G зашсет от 0.U ,2а,»1!?).

О О _

Доказан анаяог творэмы 1.9 (тсорэыз 1. Ю) для ¿адчаа. когда Функция Ир» яваваэтззоряат îtcscssep тала Бзршеяпа ¿Ш). При этой ^ьловги (19J, ¿20) та здеэтвв 1)-3) шуцяазвгся.

Полоши = Ю1 I р U) + № о (Pf(t) - и {%)) / 2t Q

К0 « ЕШ: iu;(x) - (^(0) - / Zt I.

1

= Ш I и. (t) - I / 2f, H = шх I jul(t) + (ï + i)x

io.v] g

x (*;.(*> - m(t)> / 2г I» »'E + к0 . (Sis (6) ).

Teopasa f.H. Пусть u(t.s)- рэшзшзэ задачи (1)-(3) такое .

ЧТО U,U^ « С(Щ), SUp lU^gl < + о и выполнены условия (12),

(7) и (8),<8> с К ха- (6). Ест функщш v(p) из (9) не удэагэтйорггзт усл)вш тала Бэршггеана ( выполнено (11) ) и

♦ ES

1 f pdp < 2 J » (21)

k

r H f 2Mi 1

ГХЗ Hc = C2S | -§- ; -j- j , К = ЕЭ2 I K0 ; -j- j , ^(p). s

a Ир + <Pe)', тогда ДУШ .Ш&К (t,2) с о

lU^itpS) ! S po , (22)

гргаа копстаета pc здаксш- от П0ро0КС1,ро,П,во,¥'(р) .

В §5 EEOJiSîTCfl ИЦЕЭрЛЯЯ ОЙЗШШ IU^J.1 рз^зшш u(t,x) за-да5® (1 M3> .ара здо для (t„z) « б» lut s и ( к из.

Î6Î >» ipi , С КЗ (22) ') И F е if ШШЛгЭНЫ

либо условия В* из П 3 : la^u.x.u.p.Dl £ К0 а^ (г* + 1) , iati s К0 а^ ( т2"1"* +

+ 1 ) , layi < К0 ар ( |г|1+£ + 1 ) , г < 1 ; либо условия :

iat(t,x,u,p,r)i s А0 , aytt.i.u.p.r) s В0 . (23)

Теорема 1.12. Пусть u(t,i) s (^'"(Q)- решение задачи (1) -(3) и выполнены все условия предыдущей теоремы . Если функция a(t,x,u,p,r) из уравнения (1) удовлетворяет условиям В* или условиям (23), то для всех (t,x) « S

lUj^t.x)! s ro = const . В §6 доказаны априорная оценка lui1? ^ < С, теорема 1.130

z »г

и теоремы существования и единственности классического реве-нкя задачи (1 ) - (3). Теорема 1.14. Пусть выполнены условия (12).(7). условия (8),(9),(11>,(21), и В* С ро из (22) ( либо условия (23) ). Пусть также выполнены условия согласования м+(0) = ио(±0 , а( O,±f,uo(if),u;(ii),u;- (±0 ) = aç(0). Тогда существует единственное решение u(t,x) е {f,c,(Q) задачи (1)-(3) . Теорема 1.15. Пусть выполнены все условия теоремы 1.14 , кроме предположения (11) о функции v(p) и условия (21). Если функция Ир) из (9) удовлетворяет условию типа Берштейна ( выплнено (10) ), тогда существует единственное ретанга u(t,x) е С2'"^) задачи (1)-(3) .

1. Кружков С.И. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными. -Труды Моск. натем. о-ва, т.16, •1967, с 329-346.

В §7' устайакййВё«ТС№ теоремы существования периодического по t рвшвшая задача? iO,(3) в полосе п = R1 * при

условии, ЧТО S( ) = а( t.x.u.p.r ), ^(t+T) =

= n+(t) для некоторого Т = const > О, а функциии p+U) е е С1,а(10,Т]).

Для оцзнки мзкСййуиа модуля решений рассматриваемой задачи будем предполагать сугрствование числа К > О такого , что

при (t.x) 6 п , lui > К .

Из условия (24) и принципа максимума следует априорная оценка

iu(t,x)i £ шах ( К; max in(t)i;max l^.(t)l } - M (25) I [о.т] " [о,т] + J

периодического с периодом Т решения u(t.x) задачи (1),(3) .

Теорема 1 Л6. Пусть выполнено условие (24 ) . Пусть т5кШ~ на

множествах

"П.И = { (t.x) е П, lui ïH, p« tf filf I ,

где M = const > 0 „ выполнен!:' условия (8),(9) r а аа множествах "п>м>м = { (t.x.u.p.r) : (t,x) е п .. lui s IT ,. ipr s

2Н,Гей1|,Ы>0, выполнены условия В*. ЕСДКфуШЦЙ»

у(р) из (9) удовлетворяет условию типа Бернштейна (1Ш)> то существует по крайней мере одно периодическое по t решение и(г,х) е с^Ш) задачи (1),(3) . Теорема 1.17. Пусть выполнены все условия теоремы 1.16 , за исключением предположения о функции у(р) из (9). Если функция у{р) удовлетворяет условию (11) и

u a(t,x,u,0.0) < О

(24)

со

2Ы г ou 4M 4И. ч

гле К0, . Но - шах { f-; ; } .

О \ о о о о ^

= пшзя | <,3? | . тогда существует по крайней каре одно перио-

лическое по г решэние и(И,х)е с^ДО) задачи (1),(3) .

Во второа глаш диссертации доказываются априорные оцэнки решения второа и третьей скешанных задач (1),(2)»(4) - (5) в пространстве Сг,а(5), а также устанавливаются теоремы существования и единственности классических решения этих задач .

Во введеннии приведен один из вариантов известной Леммы о "нормальной" производной ( лемма 1 ) и получены априорные оценки <6) глаксимумов модулей решений рассматривавши задач.

В §1 доказаны оценки ¡и^! в 3 и в 06 для решений второа смешанной задачи в предположении, что уравнение (1> не удовлетворяет условию типа Бернштеяна.

Георема 2.3. Пусть и(1;,х) - решеню задачи (1), (2), (4);

и, и^ е C(Q). supiu^i < ос, ; выполнены условия (12),<8) и й

условие '9> с И из (б) . Если функция v(p) та (9) не

удовлетворяет условию типа Барнштагна ( выполнено (11) ) и

®

* r pdp

и < i J WT ' (27)

К

где К = max iu^(x)i, тогда всюду в Q

|U^(t,X)) i р„ = const, (28)

Ро

г (рйр

где константа р0 определяется равенством 2У = "

К

Теорема 2.4. Пусть выполнены все условия теореш 2«30 кроет

сэ

2EI 4 г

условия (27), б а (ОД), Hj = -g-g . ЕйдП И <

о

«

тогда в Q6 спраЕэдаша ошнка lUjit^s)! < С6 „

г РЙР

где константа С6 определяется равенством 2М = ] у^+д" .

В §2 доказывается априрорная оценка 10^1 решения и(1:,х)

второй свешанной задачи (1),(2)Л4) в 5 ..

Теорема 2.5. Пусть и(г.х) « Сг"с,(2)-рвшенш задачи (1>.(2), (4), выполнены условия теоремы 2.3 :: число ро из (28) . Если ®3?шщ£Я ^ (р) кз (16) не удовлетворяет условии типа Бернш

таша ( выполнено (11) ) и

а

и. о

А г рйр « г РЙР

к < % = т-1 *&< Т \ (29)

к, к

{ 2р„ Л 4р

гдэ Е. = вах 4 —г I шах ш*' | } , Н = —А , К = , тогда для любых (г.г) « 2

С-/,*]' °

lu^it.x)! <ro = const .

В §3 установлена априорная оценка lui^ < С для решений

(1 )Д2).{4) к доказаны теореш классической разреши-иоета зтоа ®адачн о

З.6. Пусть « С2'а(3)-реЕвнкэ задачи О). (2),

(4) ш шташжы всэ условия теоремы 2.5. Тогда для некоторого г « (0о1) справздхша оцэнка < С = const.

Хоораиа 2.7о'Пусть выполнены условия (12Ы8), условия (9), Ш)Л27) е EI м (6) и условия (1.6),<11 Ь<29) с £1 из (6) и

ra Í23). Щгсть ташз кшашеш условия согласования

u¿(t <0 - О. Хохда сукэсгщуот одавстезнноэ ресэнкз

ии.х) « Сг,с<((3) задачи (1),(2).(4) .

Теорема 2.8. Пусть выполнены все условия теорэкы 2.70 гфсаэ предположения (11) о функции у(р) и условия (27). Есхш функция у(р) из (9) удовлетворяет условию типа Берншвйна ( выполнено (Ю) ), то существует единственное рвиенвз щг.х) е ^(б) задачи (П,(2),(4) .

Теорема 2.9. Пусть выполнены все условия теорэкы 2.7, кроне предположения (11) о функции ^(р) и условия (29). Если функция у4(р) из (16) удовлетворяет условия типа Бернпггеява ( выполнено (10) ), то существует единственное рюнв и(г,х) е с*»в(15) задачи (1).(2),(4) .

В §4 устанавливаются теоремы существования периодического по г решения задачи (1),(4) вП = Г1 * 1-Л Л при условии „ что функция а(г,х,и,р,г) из (1) периодична по { о шрнодоя I > о, то есть а(г+Т,х,и,р»г) = а(г,х,и,р,г).

Теорема 2.10. Пусть выполнено условие (24); на кнопвствах °П,Ы ' си* 1.16) выполнены условия (8),(9), а на

множествах п^ м выполнено (16). Если функции у(р) из (9) и у4(р) из (16) удовлетворяет условию типа Бернштейна (10), то существует по краетэа мере одно гариодиескоэ с пзршдря Т решение и(г,х) <= ^'"(П) задачи (1),(4) в П.

Теореиа 2.11. Пусть выполнены все условия творены 2.10 , за исклпченнзм прздполшзшш о функши у(р) го (9). Ест функ-

05

, г рйр

шя у»(р) удовлетворяет (11) и К <-£- , где 5 т

о

(24), Н = 0 тогда существует по краанеа гарэ одно

о

г,а

шркодкчзско90 с периодом Т, решение и(г„х) в С (П) задачи

(1),(4)вп.

В параграфах 5-7 второй главы доказаны априорные оданкя

111^1.1 и^! „решний задачи О),(2).(5) и теорема

существования и единственности классического решения этой задачи. При помощи нелинейных замен вблизи границ х = ± г прямоугольника 0 задача (1), (2), (5) приводится к аналогичной задаче с нулевыми граничными условиями, к которой применимы методы, использованные в параграфах 1 - 3 второй главы. Теорема существования решения этой задачи доказывается при помощи теоремы Дерз-Шаудера.

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору С.Н.Кружову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации :

1. Барсов О.Н. О задаче Коши и краевых задачах для нелиней-

ного параболического уравнения второго порядка. -Тезисы док. "14 школы по теории операторов в функц. простр.", Новгород. ч.1. 1989. с. 23.

2. Барсов О.Н. Об условиях разрешимости задачи Коши и крае-

евых задач для нелинейного параболического уравнения второго порядка. -Сбор. "Материалы и области, конф." Новгород, 4.2, 1889, с. 51-54.

3. Барсов О.Н. О нелокальной разрешимости третьей краевой

задачи для нелинейных параболических уравнений второго порядка. -Меж. вуз. сб. "Математ. модзлир. и его прило -шния", Новгород, 1993, с. 90-92.

4. Кружков С.Н., Барсов О.Н. Нелинейные параболические ура-

внения второго порядка на плоскости. -УМН, т.48, вып.4 (292), 1993, с. 186.

5. Барсов О.Н. О нелокальной разрешимости задачи Коши и

краевых задач для нелинейных параболических уравнений. -Вестник МГУ, Ь 6, 1994, с. 10-13.

л

Лицензия ЛР К» 020515 от 20.09.93.

Подписано в печать 14.11.95. Формат 80x80 1/16.

Уч. - изд.л. 1,0. . Тираж 100 зкз. Заказ & 650

Издательско-газлпграфичэяаа ¡энтр Новгородского государст-

еэнного университета ш. Ярослава Мудрого. 173003, Новгород,

уд. Б. Санкт-Петербургская,, 41.