Арифметические приложения оценок сумм Г. Вейля от многочленов растущей степени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В.Ломоносова

ПОПОВ ОЛЕГ ВЛАДИМИРОВИЧ

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОЦЕНОК СУММ Г. ВЕЙЛЯ ОТ МНОГОЧЛЕНОВ РАСТУЩЕЙ СТЕПЕНИ

Специальность oi.oi.o6— математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 511

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физ.-мат. наук,

профессор В. Н. Чубариков

Официальные оппоненты: — доктор физ.-мат. наук,

профессор Н. М. Тимофеев, кандидат физико-математических наук, доцент О. В. Тырина

Ведущая организация — Математический институт

имени В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится ОКТЯбрЯ 1995 ГОда, в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан 20 СвНТЯбрЯ 1995 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования. Настоящая диссертация посвящена приложениям оценок тригонометрических сумм Г. Вейля [1], [2] с многочленом растущей степени в экспоненте к задачам аналитической теории чисел. Имеются в виду суммы вида

5 = 5(Р) = е2тп/(х) ^ (1)

г^Р

где /(х) — многочлен и его степень растет вместе с длиной промежутка суммирования Р.

Актуальность темы. Первым среди многочисленных возможных приложений такого рода оценок в свое время явился результат Дж. Литтлвуда [3] в асимптотическом законе распределения простых чисел [4], [5]. Именно применение метода Г. Вейля позволило ему дать первое уточнение результата Ш. де ла Балле-Пуссена [5], [6], касающегося границы нулей дзета-функции Римана. Дж. Литтлвуд получил следующее улучшение асимптотической формулы Ш. де ла Валле-Пуссена для количества 7г(х) простых чисел, не превосходящих х:

7Г(Х) = £ ^ + 105108*) ,

где с > 0 — некоторая постоянная.

Исследования этой проблемы и ее обобщения на ¿-функции Дирихле были продолжены Э. Ландау [7] и другими (см. например, [8]-[11]). Наилучшие результаты здесь были получены методом И. М. Виноградова [12]—[15] И. Г. Чудаковым [16], [17], И. М. Виноградовым [18]—[20], II. М. Коробовым [21].

Перейдем теперь к общей постановке проблемы.

Аналитический смысл широкого круга задач теории чисел сводится к правильному учету вклада больших и малых значений функций в общую сумму. Техника рядов и интегралов Фурье позволяет свести подобные вопросы к учету осцилляций экспоненциальных функций мнимого аргумента. Таким образом возникает аналитическая проблема оценок экспоненциальных сумм с аналитической функцией в экспоненте. Но поскольку аналитическая функция сколь угодно точно приближается многочленом растущей степени, то становится ясным, что сколько-нибудь полное решение проблемы оценок экспоненциальных сумм от многочлена растущей степени с чисто мнимыми коэффициентами дает решение необозримого круга аналитических проблем. Данное направление исследовании — одно из основных в теории чисел. Но в столь общей постановке задачи современные исследования представляются достаточно скромными. В то же время сам факт наличия подобного рода результатов является крупным достижением математики. Эту мысль подтверждает пример асимптотического закона распределения простых чисел в натуральном ряде.

Отметим, что чем быстрее растет аналитическая функция, тем хуже она приближается многочленом фиксированной степени. Другими словами, при одинаковой точности приближения для быстрее растущей функции требуется, чтобы степень приближающего многочлена тоже росла быстрее. Это обстоятельство определяет актуальность задачи оценок тригонометрических сумм от быстро растущих функций в экспоненте.

Современные представления в данной проблематике и методы ее исследования разработаны А. А. Карацубой [9], [10], [23]. В частности, ему принадлежит пример быстро растущей функции

/(а:) = е<10**>\ 1<7<§,

для которой он получил [23] нетривиальную оценку тригонометрической суммы.

Теоретико-числовые задачи, рассматриваемые в данной диссертации, связаны с оценками некоторых сумм подобного вида и их приложениями к аддитивной теории чисел.

Цель исследования. 1. Доказательство методом Адамара теоремы о современной границе нулей дзета-функции Римана. Установление зависимости между границей нулей дзета-функции Римана и ростом ее модуля в окрестности единичной прямой.

2. Получение оценок тригонометрических сумм специального вида с функцией в экспоненте, растущей на бесконечности быстрее многочлена.

3. Оценка сверху мощности исключительного множества в задаче о представлении натурального числа в виде суммы простого числа и числа из редкой последовательности.

4. Получение асимптотической формулы для количества представлений натурального числа в тернарной задаче с двумя простыми числами и одним редким слагаемым.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть использованы в теории дзета-функции Римана, в аддитивной теории чисел, в теории оценок тригонометрических сумм с быстро растущей функцией в экспоненте.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Чебышевских чтениях 1994 года в МГУ, на семинаре по аналитической теории чисел в МГУ под руководством профессоров Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова.

Публикации. По теме диссертации опубликованы пять работ.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем работы семьдесят страниц, список литературы включает сорок четыре названия.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Первая глава диссертации посвящена выводу методом Адамара современной границы нулей дзета-функции Римана. Эта граница была анонсирована в 1942 году И. М. Виноградовым [18]. В дальнейшем он предложил два доказательства этого факта: в 1958 г. [19] и в 1965 г. [20].

В 1896 г. независимо друг от друга Адамар и Валле-Пуссен доказали, что на единичной прямой отсутствуют нули дзета-функции Римана ([4Н6]).

Идея Адамара была основана на следующем соображении: допущение существования нуля дзета-функции на единичной прямой в точке 6 = 1 + ¿¿о означает выполнение асимптотического равенства при <7 —> 1 4- 0

bg|((i + ;<„)! ~ £ ~ iog(c -1) ~ £

р р

что в свою очередь свидетельствует о том, что в некотором смысле значения большинства чисел cos(to\ogp) близки к (—1). Но тогда значения большинства чисел cos(2io должны быть близки к (+1), откуда следует, что log + 2г^о)| должен быть эквивалентен величине log(<7 — I)-1, то есть функция Ci6) должна иметь полюс в точке 6 = 1+ 2ito, что на самом деле не так.

В дальнейшем было предложено несколько модификаций метода Адамара. Например, в книге Титчмарша [8] приводятся два варианта этого метода, принадлежащие Титчмаршу и Аткинсону. Но до сих пор

с помощью метода Адамара не удалось указать какую-либо область в критической полосе, свободную от нулей дзета-функции Римана.

В то же время метод Валле-Пуссена, который не столь прозрачен в идейном отношении, как метод Адамара, позволяет тем не менее получить современную границу нулей дзета-функции вида C(s) ф 0 при

Re(s) ^ l-a(t), где a(t) > (log i)"1 (log log i.

В настоящей диссертации мы приводим новый вариант метода Адамара, который дает такие же точные результаты, как и метод Валле-Пуссена. При этом мы существенно опираемся на оценки дзе-товой суммы, полученные с помощью метода И. М. Виноградова оценок тригонометрических сумм от многочленов с растущей степенью. Цель первой главы диссертации — расширить возможности метода Адамара и вычислить постоянные в оценке границы нулей.

В §1 первой главы в качестве примера дан новый вариант доказательства теоремы Адамара и Валле-Пуссена по методу Адамара.

Теорема 1. Дзета-функция Римана не обращается в нуль на единичной прямой.

В §2 первой главы мы доказываем современную границу нулей

этим методом.

Теорема 2. Пусть при t ^ 2, 1 ^ <7 ^ 1 - 2 • 10~4, S = О + lt, справедлива оиенка:

\С(*)\ < t«1-)*Oogt)i .

Тогда при некотором to I дзета-функция Римана не имеет нулей в следующей области комплексной s-плоскости:

В настоящее время известно значение постоянной а = 21.2, ([16],

[17]). Следовательно постоянная постоянная в утверждении Теоремы _2

равна = 0058 ...

Наконец, теорема 3 первой главы посвящена зависимости между границей нулей дзета-функции Римана и ростом ее модуля в окрестности единичной прямой. На целесообразность рассмотрения данного вопроса и его связь с методом И. М. Виноградова оценок тригонометрических сумм обратил внимание А. А. Карацуба, [11], стр. 127, формула (2.104).

Теорема 3. Пусть при ¿^2, 1 ^ <7 ^ я = сг + И, справедлива, оценка

|C00l<ia(w) (log*)6-

Тогда существует to ¿Z 2 такое, что дзета-функция не имеет нулей в следующей области комплексной s-плоскостп:

t^t0, <7^1- c(\)a~ * (log (log log t)"1^ где c(A) = 1 ~^c1(c1X + b+j+ здесь C\ = ((A -!)(&+ y + 1)) *

Глава II носит вспомогательный характер. Здесь получены необходимые для приложений оценки тригонометрических сумм. Отметим, что некоторые леммы этой главы также имеют самостоятельный интерес.

Лемма 1. Пусть а и х — вещественные числа, причем 0 < |a| S-C i, jV — натуральное число, N ^ 2. Тогда имеет место формула:

е-2 Kia{x} = ^ Ame2irimx + Rn(x),

|m|<AT

1 — e~2nia

где Am = -—-г — коэффициенты Фурье фу акции Fix) ,

2тг г(а + тп)

I I р— 2nia

где F(x) = е~2ж{а^ , х £ Ъ; = ^-Ц--, х € Z.

Z

|Ялг(аО| ^ 4л/2 |sin7ra| фм{х) , Af = J(2JV + 1),

z

= , \ ==•

V1 + M2 sm 7гж

Вместе с результатом Л. Закзака [33] о разложении функции Фм{х) в РЯД Фурье (лемма 2 диссертации) это дает нам возможность получать оценки сумм

S(a) = Y, e27rlQt/(n)l, 0 < |аК \

P<n<Pl исходя из оценок сумм

T(ß) = J2 ,

P<n^Pi

где ß = а -f- m, m — любое целое число (лемма 3 диссертации). Основными в этой главе являются следующие утверждения:

Теорема 4. Пусть А, В, Р, Pi, ß, *f — вещественные числа, причем А ^ 1, 1 < 7 < §, у < Pi ^ Р,

-^(logP + ВУ < log \ß\ < (logP)3~27, f(x) = ßeMlog* + B)^

T = T(P]ß) = Y^ e27r'/(x) •

Pl^X<P

Тогда справедлива оценка IТ\<Р1~Р, где p = 2-10A-2(log2P + B)2-2'r.

Теорема 5. Пусть А, В, Р, Р\, у — вещественные числа,

Pl<n^P f(x) = еМ1о&х+ВГ ^

и вещественное число а удовлетворяет неравенству:

-"(log Р + ву ^ log |<*| - log 2

Тогда справедлива оценка:

l^cOKMP^iog'p, где р = 2~10A~2(log2P + В)'2-2^ .

Теорема 6. Пусть А, Бь В2, Р, Pi, (3,

7 — вещественные числа, А ^ 1, 1 < 7 < f < Pj ^ Р, Вх - В2 > О

-|(logP + J5i)7 < log |/9| < (logP)3"27 ,

ф(ж) = /3 ^(logr + Bx)-» _ gAOogr+Bx)^ ?

To = T0(P,/3) = e2nia*{x) .

Pi<i<P

Тогда справедлива оценка:

То < БР1~Р, р = 2~10А~2(1с^2Р + ВО2-2^ Л = + Д = 2Л_1(1с^(2Р) + В)7-1

Наибольший интерес представляет оценка тригонометрической суммы по простым числам с быстро растущей функцией в экспоненте. Этот интерес связан также с тем, что указанная последовательность имеет более сложную арифметическую структуру, чем сама последовательность простых чисел. Сформулируем соответствующие теоремы из второй главы.

Теорема 7. Пусть А, В, Р, Рг, ¡3, 7 — вещественные числа, А> 1, 1 <7< §, £ <Рх ^Р,

-|(1об Р + ВгУ < 1оё |/?| < (1оёР)3-27 , /(¡г) = £ел(1о{51)\ переменная р пробегает последовательные значения простых чисел,

Р1<р^Р

Тогда справедлива оценка:

5*0 < Р1""0, гдер0 = 2-11А-2(1о52Р)2-2'>'.

Теорема 8. Пусть А, В, N, N1, 7 —. вещественные числа,

1, 1 <7 < I % < N1 ^ N. N > 1,

5о(а)= е27Г1а[/(р)] ^ /(х)=еЛ( 1о8«+В)^

переменная суммирования р пробегает значения простых чисел и величина числа а удовлетворяет неравенству

- |(log N + ВУ ^ log Н < - log 2. Тогда справедлива оценка

|50(а)| < |o:|iV1~P0log2jV, ро =2-13A~2(log2N + Bf-21.

Глава III посвящена оценке мощности исключительного множества в задаче о представлении натурального числа в виде суммы простого числа и числа из редкой последовательности. Первый пример аддитивной задачи такого типа представляет теорема II. П. Романова [26]. Утверждение теоремы состоит в следующем. Пусть a ^ 2-целое число. Тогда числа п, представимые в виде

n = p + am, (2)

где р пробегает простые числа и m пробегает натуральные числа, имеют положительную плотность. Другими словами, существуют постоянная с > 0 и Хо = Хо(с, а), такие, что для всех х > Xq, количество чисел П, прсдставимых в виде (2), превосходит величину СХ.

Различные обобщения и уточнения этой теоремы дали ван дер Кор-пут [27] и Эрдеш [28].

К этому же кругу относятся и рассматриваемые в §2 задачи о представлении натурального числа N в виде

N = p + f(n), (N=p + f(qj, (3)

где неизвестные р, q и П принимают значения простых и натуральных чисел соответственно, функция f{x) определяется следующим образом f(x) = [^(ic)], g(x) = е1 < 7 < |, u — постоянная.

Обозначим через <^(у) обратную функцию к д(х) — у,

Ч>{У) = ехр(1/~т^у)т).

Пусть Е(х) (соответстнно Ео(х)) обозначает мощность множества Ш = М{х) (соответственно Мо = Мо(х)) натуральных чисел N, не превосходящих х и не представимых в виде (3).

Теорема 9. Справедлива оценка

Е(х) < х(у(Ах))~2р\о£х,

где р — Сд(1о§ <^(4а:))2—27, Со > О ■—некоторая постоянная. Теорема 10. Справедлива оценка Е0(х) < х(ср(4х))~2р01о^х, гдеро = с(1с^(4ж))2-27,

где С > 0 — некоторая постоянная.

Отметим также, что к тематике, начатой II. П. Романовым, примыкают исследования К. Хооли [28] и А. Мильуоло [29]. Сформулируем их основные результаты. К. Хооли доказал, что количество простых чисел в последовательности Каллена П2" — 1, П ^ X, является о(ж). Продолжая исследования К. Хооли, А. Мильуоло доказала, что если р пробегает последовательность простых чисел, р ^ X, то количество простых вида 2Р + р является величиной о(я"(а:)).

Глава IV диссертации посвящена нахождению асимптотической формулы для количества представлений натурального числа в тернарной задаче с двумя простыми числами и одним редким слагаемым.

Близкой по формулировке к рассматриваемой нами задаче является следующая аддитивная проблема, решенная 10. В. Линником [26],

[27]. Пусть д ^ 2, к ^ 1 — фиксированные натуральные числа, р\ и Р2 пробегают последовательные значения простых чисел и П1,... П ^ пробегают значения из натурального ряда чисел. Рассмотрим уравнение N = р\ -\-р2 + ... -\-дПк • Оно, как установил Ю. В. Линник [27], разрешимо для достаточно больших чисел N, имеющих одинаковую четность с кд, причем к ^ ко, ко = ко(д) ■— постоянная. Более того, при дополнительном условии делимости чисел N на некоторую достаточно большую степень числа д он доказывает асимптотическую формулу для количества таких представлений.

Сформулируем основные результаты главы IV.

Теорема 11. Пусть I = /(Аг) — число представлений натурального числа IV в следующем виде:

Тогда для величины Г справедлива асимптотически формула при

N = Р1 + Р2 + /(п).

N

оо:

N

а С > 0 является постоянной, взятой из леммы .

Теорема 12. Пусть I = — число представлений нату-

рального числа N в следующем виде

Тогда для величины I справедлива асимптотическая формула при N —> оо

• А?

+ 0(N(v(N)y~o°) + 0( ^ V(0 Л),

где функции <ß(t), 7(iV) определены в Теореме 11, ро = po(iV) — постоянная из Теоремы 8.

Отметим, что в главах III и IV мы постоянно пользуемся арифметической особенностью задач, связанных с функцией "целая часть числа". Она состоит в том, что значения такой функции равномерно распределены по всем арифметическим прогрессиям с любой наперед заданной разностью. Это обстоятельство позволяет выделять главный член асимптотики круговым методом с использованием только малой окрестности нуля. На данную особенность впервые обратил внимание К. Бурнев и использовал ее в решении некоторых аддитивных задач теории чисел [32], [35], [3G].

Настоящая диссертация выполнена в русле тех исследований по аддитивным задачам, которые ведутся на семинаре профессора Л. А. Ка-рацубы в МГУ ([9]-[11], [23], [37]).

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах автора [39]—[44].

Автор выражает глубокую благодарность профессору В. Н. Чуба-рнкову за научное руководство и помощь в работе.

Литература.

1. H. Weyl. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. Math. Ann. 77 (1916), 313-352.

2. H. Weyl. Zur Abschätzung von ((1 + it). Math. Zs., 10 (1921), 88-101.

3. J. E. Littlewood. Researches in the theory of Riemann ^-function, Proc. London Math. Soc. (2) 20 (1922), XXII-XXVIII.

4. J. Hadamard, "Sur la distribution des zeros de la fonction С(5) des consequences arithmétiques", Bull. Soc. Math. France 24 (1896).

5. С. J. de la Vallee Poussin, "Recherches analytiques sur la theorie des nombres. Premiere partie: La fonction de Riemann et les nombres premiers general", Ann. Soc. Sei. Bruxelles 20 (1896), 183-256.

6. С. J. de la Vallee Poussin, "Sur la fonction C(s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs a une limite donnie", Memories couronnes de l'Acad. Roy. des Sei. de Belgique 59 no. 1 (1899-1900).

7. E. Landau. Uber die ^-Funktion und die L-Funktion. Math. Zs., 20 (1924), 105-125.

8. E. К. Титчмарш, "Теория дзета-функции Римана", Москва, 1953.

9. A.A. Карацуба, "Основы аналитической теории чисел", Москва, 1983.

10. С. М. Воронин, А. А. Карацуба, "Дзета-функция Римана", Москва, 1994.

11. A.A. Karatsuba, "Complex analysis in number theory", CRC Press Inc., 1995.

12. И. M. Виноградов, "Основы теории чисел", Москва, Наука, 1972.

13. И. М. Виноградов, "Метод тригонометрических сумм", Москва, Наука, 1980.

14. И. М. Виноградов, "Особые варианты метода тригонометрических сумм", Москва, Наука, 1976.

15. И. М. Виноградов, "Избранные труды", Москва, Изд-во АН СССР, 1952.

16. II. Г. Чудаков. О нулях L-функций Дирихле. Матем. сб. 1 (43) (1936), 591-602.

17. II. Г. Чудаков. О нулях функции <(s). ДАН СССР, 1936, 187-201.

18. И. М. Виноградов, "Об оценках тригонометрических сумм", Доклады АН СССР, 1942, 34, 199-200.

19. И. М. Виноградов, "Новая оценка функции + it)", Изв. АН СССР, сер.матем., 1958.

20. И. М. Виноградов," К вопросу об оценке тригонометрических сумм", Изв.АН СССР, сер.матем., 1965, 29 N 3, 493-504.

21. II. М. Коробов, "Оценки тригонометрических сумм и их приложения", Успехи математич. наук, 1958, 13, вып.4, 185-192.

22. II.-E. Richert. Zur Abschätzung der Riemannschen Zeta-funktion in der Nahe der Vertikalen (7 = 1. Math. Ann. 169, 2 (1967), 97-101.

23. А. А. Карацуба, "Оценки тригонометрических сумм методом И.М.Виноградова и их приложения", Труды МИАН СССР, 1971, т.112, 241-255.

24. G. Arkhipov, К. Buriev, "Refinement ofestimates for the Riemann zeta-function in a neighbourhood of the line Re(s) = 1", Integral transforms and special functions, 1993, 1, 1-7.

25. II. П. Романов. Uber einige Satze der additiven Zahlentheorie. Math. Ann., 109 (1934), 668-678.

26. IO. В. Линник. Простые числа и степени двойки. Труды МИ АН СССР, 1951, т.38, стр.152-169.

27. Ю. В. Линник. Складывание простых чисел со степенями одного и того же числа. Матем. сб., 1953, т.32, вып.1, стр.3-60.

28. К. Хооли. Применение методов решета к теории чисел. М.1987.

29. А. Мильуоло. О простых числах в редких последовательностях. Вестник МГУ, сер. мат. мех.,1987, N 2, 75-77.

30. J. G. Van der Corput. On de Polignac's conjecture. Simon Stevin, 27 (1950), 99-105.

31. P. Erdos. On integers of the form 2к + p. Summa Brasil. Math., 2 (1950), 113-123.

32. К. Бурцев, "Аддитивные задачи с простыми числами", Москва, МГУ, 1989.

33. А. Закзак, "Проблемы делителей Дирихле в редких последовательностях", Москва, МГУ, 1993.

34. Г. И. Архипов, В. Н. Чубариков, "О некоторых формулах суммирования", Вестник МГУ, сер.1 матем.,механ., 1987, N 5, 29-32.

35. К. Бурцев, "Об одной аддитивной задаче с простыми числами", Докл.АН Тадж.ССР, 1987, 30 N И, 686-688.

36. К. Буриев, "Об исключительном множестве в проблеме Харди-Литтлвуда для нецелых степеней", Мат.заметки, 1989, т.46, вып.4, 127— 128.

37. Г. И. Архипов, А. А. Карацуба, В. II. Чубариков, "Теория кратных тригонометрических сумм", Москва, Наука, 1987.

38. Г. И. Ватсон, Е. Т. Уиттекер, "Курс современного анализа", ГТТИ, 1933, с.181.

39. О. В. Попов, "О квадратичных вычетах и невычетах в последовательности бесквадратных чисел", Вестник МГУ, сер.1, мат. мех., 1989, N 5,стр. 81-83.

40. О. V. Popov, "On Hadamard's method concerning zeros of the Riemann zeta-function", Integral transforms and special functions, 1993, Vol.1, N 2, 143-144.

41. О. В. Попов, "Вывод современной границы нулей дзета-функции Ри-мана по методу Адамара", Вестник МГУ, сер. 1 матем., механ., 1994, N 1.

42. О. В. Попов, "О методе Адамара", Тезисы докладов международной конференции "Современные проблемы теории чисел", Россия, Тула, 1993, с.1333.