Асимптотическая теория МГД равновесия и устойчивости плазмы большого давления в несимметричном торе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

пСЧ

2 ' '5'""^0(ЗсЙЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

па правах рукописи УДК 533.95 : 537.84

ЩЕПЕТОВ СЕРГЕЙ ВИКТОРОВИЧ

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МГД РАВНОВЕСИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ БОЛЬШОГО ДАВЛЕНИЯ В НЕСИММЕТРИЧНОМ ТОРЕ (01.04.08 - "физика и химия плазмы")

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1998

Работа выполнена в Институте общей физики РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ПГКУКрггпп —г - т----г

ПОПОВ А.М.,

профессор факультета вычислительной математика v. кибернетики МГУ ИМ.М-В. Ломоносова

доктор физико-математических наук,

ПгчлАал/'лп

yUV^I^V/V/V/J

РУХАДЗЕ A.A.,

главный научный сотрудник,

ИНСТИТУТ ofiTTTPt* физики Р \Ч

доктор физико-математических наук, ЮРЧЕНКО Э.И. ведущий научный сотрудник, РНЦ "Курчатовский институт", Институт ядерного синтеза

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН Защита состоится '28 декабря 1998 г. в 15 часов

на заседании Диссертационного совета Д.003.49.01 Института Общей физики РАН по адресу: Москва В-333, ул. Вавилова, 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИОФ РАН.

Автореферат разослан " 46. Ж 1998 г

Ученый секретарь Диссертационного совета Д.003.49.01

кандидат физико-математических наук

В.П.Макаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность.

В последние годы достигнуты значительные успехи в области исследований, ставящих своей конечной целью осуществление управляемой термоядерной реакции в рамках маптиттгогп удержания. При этом основное внимание уделяется токамакам. где получены наиболее впечатляющие экспериментальные результаты и достигнуто наилучшее понимание физических закономерностей, лежащих в основе явлений, происходящих в плазме. Тем не менее не исключено, "что окончательный успех может обеспечить иной подход к решению задачи управляемого термоядерного синтеза. В одном из таких подходов предполагается использовать стеллар&тор - замкнутую магнитную ловушку, в которой удержание плазмы осуществляется с помощью полей, создаваемых токами, текущими по внешним проводникам. Основное преимущество стелгаратора заключается в том, что для его работы нет необходимое) и нолбужда 1 ь токи в плазме и он может работать в стациоиарпом режиме.

За последние годы стеллара.торная программа заметно продвинулась вперед. Успехи ее как в экспериментальной, так п в теоретической областях оказались столь значительными, что стеллараторные системы уже вполне серьезно можно рассматривать как один из вариантов термоядерного реактора. Стелла.раторы являются принципиально трехмерными магнитными ловушками. Необходимо также отметить, что и считающиеся аксиально симметричными токамаки, строго говоря, таковыми не являются. 3 частности, небольшая трехмерная составляющая магнитного поля возпикает из-за дискретности катушек соленоида, создающего продольное магнитное поле. Именно такие конфигурации и исследованы в диссертации, причем основное внимание уделено классическим стеллараторам с плоской геометрической осью.

Одной из важнейших и актуальных проблем, без решения которых невозможно осуществление управляемого термоядерного синтеза, является вопрос о величине предельно допустимого давления плазмы. В диссертации рассмотрены ограничения на величину давления плазмы, накладываемые совместно условиями равновесия и устойчивости. Важность этого вопроса диктуется в частности тем, что экономически выгодный термоядерный реактор на основе системы с магнитным удержанием возможен лишь при достаточно большом давлении плазмы ( параметр /3- отношение давления плазмы к давлепию магнитного поля должеп быть пе мепьше 5%). Очевидно также, что без детальной информации о равновесии и устойчивости плазмы невозможно ни интерпретировать экспериментальные данные, получаемые на действующих установках, пи осуществлять проектирование новых установок.

При теоретическом исследовании любой проблемы возможны три основных направления делтельности. Одним из них является нахождение точных (не асимпто-

тических) аналитических решений. К сожалению, для задач равновесия и устойчивости тороидальной трехмерной илазмы такие решения если и существуют, то не найдены ни автором данной работы, ни другими исследователями. Второй подход заключается в исследовании проблемы с помощью асимптотических методов, что естественным образом предполагает как использование уже, известных методов, так и создание новых. Наконец, можно решить задачу численно. Здесь необходимо отмстить, что в последние годы прогресс в области вычислительной техники сделал возможным проведение прямых трехмерных численных расчетов. В то же время, проведение прямых численных расчетов во многих случая*, представляющих практический интерес, остается весьма тонкой и сложной задачей, лежащей на грани (а иногда. и гранью) возможностей современных компьютеров. В настоящей работе был выбран способ решения задач, предполагающий использование асимптотических методов. Необходимо отметить, что развитие новых методов и усовершенствование уже имеющихся, представляется весьма важным и актуальным, поскольку асимптотические методы дают, как показано в диссертации, не только качественно, во и количественно корректные результаты, и при этом позволяют глубже проникнуть в суть исследуемой проблемы. Большинство включенных в диссертацию результатов было получено аналитически. В тех же редких случаях, когда математические выкладки неоправданно сложны или невозможны, упрощенные уравнения анализировались численпо.

Цели работы.

Основной целью диссертации является теоретическое исследование магнитогидро-динамического (МГД) равповесия и устойчивости плазмы в стеллараторах с плоской геометрической осью и токамаках при учете гофрированности магнитного поля. При этом наибольший интерес представляет исследование плазмы большого давления, т.е. тех случаев, когда магнитные поля создаваемые плазменными токами, существенно искажают магнитную конфигурацию. Разумеется, первоочередной задачей является разработка асимптотического метода исследования, который должен удовлетворять следующим требованиям: сводить по крайней мере часть задач к виду, допускающему рассмотрение аксиально симметричного случая (что подразумевает автоматическое использование всего арсенала методов, развитых ранее для исследования аксиально симметричной тороидальной плазмы), а также описывать в рамках единого подхода чисто трехмерные эффекты. После создания метода естественно начать с анализа простейшего случая, а именно усредненного равновесия плазмы, когда предметом исследования является не трехмерная структура магнитных поверхностей, а их усредненный образ. Затем, постепенно усложняя задачу, необходимо перейти к подробному анализу структуры трехмерных магнитных полей, создаваемых токами, протекающими по плазме. И, наконец, завершая иссле

дование равновесия плазмы, необходимо подробно изучить вопрос о разрушении приграничных магнитных поверхностей под действием магнитных полей, создаваемых плазменными токами. Отметим, что одной из задач работы является исследование устойчивости плазмы по отношению к идеальным и диссипативным неустой-чивостям. В диссертации предполагалось проанализировать и понять физический смысл ограничений на величину предельно допустимого давления плазмы, определяемых как условиями равновесия, так и устойчивости, исследовать возможные пути оптимизации магпитпых ловушек и способы управления плазменным шнуром.

Научная новизна.

Наиболее существенные новые результаты диссертации сформулированы в заключении. Так, необходимость исследовать равновесие и устойчивость плазмы потребовала создания соответствующего математического аппарата. При этом, впервые метод усреднения был применен непосредственно к уравнениям магнитной гидродинамики и выведепа система векторных усредненных уравнений, пригодная для решения различных задач, таких, например, как равновесие, устойчивость, нелинейные процессы. Выведена также система упрощенных скалярных усредненных уравнений, пригодная для анализа плазмы большого давления. Решен широкий круг задач равновесия плазмы в стеллараторе при налички стационарных течений. Исследованы особенности усредненного равновесия плазмы в системах с большим магнитным бугром.

Получено скалярное уравнение, справедливое при произвольной тороидальности, позволяющее исследовать трехмерные магнитные поля, создаваемые плазменными токами, как в стеллараторе, так и токамаке при учете гофрированное™ магни тного поля.

Подробно исследована структура и физические механизмы формирования трехмерных магнитных полей, создаваемых плазменными токами. Определена степень их влияния на модуль продольного магнитного поля, показано также, что измерения трехмерных магнитных полей вне плазменного шнура могут быть использованы для оценки профиля тока в стеллараторе по результатам м'агпитных измерений.

Впервые проведен подробный анализ иптереспого физического явления - разрушения границы плазмы под действием магнитных полей, создаваемых плазменными токами, в зависимости от структуры вакуумных магнитных полей, профилей давления плазмы и плотности нлазменного тока. Проанализированы физические механизмы, лежащие в оспове ограничений на величину предельно допустимого давления плазмы, а также эффективность различпых способов его повышения.

При исследовании устойчивости плазмы получены аналитические критерии устойчивости как идеально проводящей плазмы, так и при учете конечной проводимости. В частности, исследована устойчивость плазмы большого давления, когда существе-

нен не только сдвиг магнитных поверхностей, но и искажение их формы. Проанализирована возможность создания второй зоны устойчивости.

Научная и практическая ценность.

Решенные в диссертации задачи были изначально весьма сложны, что потребовало создание соответствующего математического аппарата для их анализа. Разработанный в диссертации формализм усредненных уравнений обладает тем преимуществом, что для исследования широкого спектра физических задач используется уже готовая универсальная система усредненных МГЛ уравнений; п что п свою очередь позволяет значительно упростить решение каждой конкретной проблемы. При этом многие трудоемкие задачи, которые требуют при ах решении с помощью прямых численных методов значительных затрат машинного времени на современных суперкомпьютерах, оказывается возможным решить с достаточной точностью на рядовом персональном компьютере.

Исследование равновесия и устойчивости при предельных значениях давления плазмы имеет важное значение для решения проблемы управляемого термоядерного синтеза. Результаты исследований были использованы в ряде работ для оценки эффективности реактора па основе стелларатора.

Обнаруженные в диссертации зависимости структуры магнитных полей вне плазменного шпура от профиля давления плазмы и распределения плотности тока, послужили основой для разработки нового метода анализа результатов магнитных измерений в стеллараторах.

Исследования по устойчивости плазмы конечного давления были использованы при проектировании стелларатора ЛТК (США) и прошли там экспериментальную проверку. Многие положения теории, связанные как с равновесием, так и устойчивостью плазмы, стимулировали развитие экспериментов на стеллараторе Л-2 (Россия) и были подтверждены в ходе этих экспериментов.

Проведенный анализ различных аспектов теории равновесия и устойчивости плазмы, а также различных способов управления плазменным шнуром и их эффективности, позволяет глубже понять физические закономерности, лежащие в основе ограничений на величину предельно допустимого давления плазмы и указывают пути его повышения.

Достоверность и обоспованность

результатов диссертации подтверждается в частности тем, что ряд теоретических выводов диссертации нашел экспериментальное подтверждение, многие положения диссертации повторены в более поздлих работах других исследователей, где прошли независимую проверку.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах ФИАН, ИОФ РАН, МГУ, РНД "Курчатовский институт", ХФТИ (Харь-коз, Украина), Института физики плазмы (Гархинг, Германия), СИЕМАТ (Мадрид, Испания). Они докладывались и обсуждались на международных конференциях: Международных конференциях по физике плазмы и УТС (Балтимора, США, 1982 г., Ницца, Франция, 1988 г.), Европейских конференциях но УТС и физике плазмы (Аахен, Германия, 1983 г., Мадрид, Испаши, 1987 г.), 8 Международной рабочей группе по стеллараторам (Харьков, Украина, 1991 г.), 5 Европейской конференции по теории УТС (Мадрид, Испания, 1993 г.), 5 Международной Токи конференции по физике плазмы и УТС (Токи, Япония, 1994 г.) и опубликованы в работах [1-21].

Личный вклад автора.

Диссертация является результатом многолетпих исследований автора и представляет собой обобщение работ, список которых приведен в конце автореферата.

Основная часть задач, входящих в диссертацию, была решена автором лично. В Главах 1,2,4 автор частично использовал результаты совместных исследований с Л.М.КоврИжных, часть исследований (Глава 3) выполнены совместно с А.Б.Кузнецовым.

Выбор направления и метода исследования, постановка задач, сравнение полученных результатов с имеющимися экспериментальными и теоретическими данными, объяснение экспериментов, проведенных в установках по магнитному удержанию плазмы, а также основные результаты, представленные яа защиту, принадлежат автору.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложена ца 163 страницах, включая 24 рисунка и библиографию из 240 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность работы и ее важность для исследований но программе управляемого термоядерного синтеза (УТС), описано состояние проблемы до начала настоящих исследований, сформулированы цели и задачи диссертации, показана научная новизна и практическая ценность полученных результатов. Отмечецы наиболее важные результаты диссертации и кратко изложено ее содержание.

Первая глава диссертации посвящепа разработке математического метода ана-

7

лиза плазмы, удерживаемой в быстроперемепном (в пространстве) магнитном поле. Здесь подробно описывается процедура усреднения уравнений магнитной гидродинамики и вывода усредненных уравнений, которые используются для решения многих задач равновесия и устойчивости, рассмотренных в диссертации.

Параграф 1.1 посвящен изложению основ используемой в диссертации математической процедуры. В качестве исходной используется система уралпении одцожид костной магнитной гидродинамики, которая имеют вид:

/>(Йу/Л) = -Ур+[ЛхВ], гоШ = J,

Е + [V х В] = Лц/<тц + Лх/<г±, Ф/Л — —р(1ю\,

= о,

го(Е = -дВ/81, ёюВ = 0.

Здесь />, р, V - Плотность, давление и массовая скорость плазмы; Е и Б обозначают электрическое и магнитное поле; Лист- плотность тока и проводимость; 70 - показатель адиабаты. Используемые здесь магшггогидродинамические уравнения не содержат констант с (скорости света) и тг. Для того, чтобы, например, перейти к гидродинамике в гауссовой системе единиц, достаточно в (1) -(7) произвести замену переменных Л .Р(2,/5г/с),В И'/2у/к,Е Е'/2су^г,а ->■ а'А.—/с2, где штрихом обозначены ток, магпитное и электрическое поле, проводимость в гауссовой системе единиц.

Представляется весьма заманчивым применить классический метод усредпепия Боголюбова и Митрояольского непосредственно к уравнениям магнитной гидродинамики и свести задачу к исследованию осесимметричного случая. При этом, с одной стороны, становился бы доступным весь арсенал методов, развитых ранее для исследования аксиально симметричной тороидальной плазмы, с другой стороны, получившаяся система усредненных уравнений была бы пригодна для решения широкого круга задач, таких как, например, равновесие, устойчивость, нелинейные процессы и т.д.

В §1.1 излагаются особенности применения метода усреднения для решения задач рассмотренных в диссертации. Отмечено, что стелларатор и токамак с учетом гофрировки представляют собой магнитные ловушки, где для удержания плазмы используется большое аксиально симметричное и малое быстропеременное в продольном направлении магнитное поле. Тогда естественно предположить (а затем и проверить в ходе расчетов), что все величины, характеризующие плазму, можно представить в виде суммы двух частей, медленно меняющуюся на периоде быстропере-

8

(1) (2)

(3-)

(4)

(5)

(6) (7)

менного поля и быстроосциллирующую малую добавку, например, X =< X > +Х, где X - произвольная величина, определяемая из уравнений магпитной гидродинамики, причем < X >= 0, а угловые скобки означают среднее по тороидальной переменкой, вдоль которой система периодична. Производя подобную замену искомых функций, мы в результате приходим к тому, что число уравнений удваивается, однако при этом оказывается, что осциллирующие члены могут быть, в принципе, вычислены путем прямого интегрирования по быстроменяющейся пространственной переменной. Средние же величины находятся из системы уравнений, в которой учтены члены, получающиеся при учете четных степеней осциллирующих величин.

При выводе усредненных уравнений магнитной гидродинамики использовался ряд малых параметров. Основными из пих являются отношение винтовых компонент вакуумного магнитного ноля но отношению к продольному магнитному полю (, что позволяет ограничиться в диссертации учетом в усредненпых уравнениях лишь квадратов осциллирующих величин, и параметр ft/N, малость которого, собственно говоря, и позволяет применять процедуру усреднения (здесь [i - угол вращательного преобразования, N - полное число периодов вакуумпого быстропеременного поля). Остальные параметры являются вспомогательными. В частности малость полей, созд&вемых токами, протекающими по плазме, по отношению к продольному полю позволяет упростить получающиеся уравнения. Отметим также, что процедура усреднения не требует малости тороидального отношения.

В §1.2 на простейшем примере, а именно, выводе усредненпых уравнений равновесия, подробно излагается суть используемого в диссертации метода. Хотя выкладки §1.2 могли быть проведены в произвольной системе координат, для определенности использовалась так называемая квазитороидальная система координат {г,ш,(р}, в которой квадрат элемента длины определяется с помощью следующего выражения:

(dlf = (¿г)2 + (rdw)2 + (Rdyf, (8)

где R — /2q(1 4- &гсозс(?)(к = 1/До -кривизна, геометрической оси системы); if -угловая координата вдоль большого обхода тора; г ий - полярные координаты в плоскости ip = const. Усредненное уравнение силового баланса в окончательном виде записывается следующим образом (для удобства ряд слагаемых, содержащих средние от квадратов компонент быстропеременного вакуумного магнитного поля В8' = УФ, упрощены за счет введения вектора В*; кроме того, у средних величин опущен знак усреднения):

Vp = [J х В] + [В х [В х VAJ], (9)

B = BT + Be + BJ + B*.

Под В следует понимать эффективное магнитное поле, включающее как реальные магнитные поля (Вт - продольное магпитпое поле; Ве - сумма внешних, не зависящих от ip полей, (например, мультипольное магнитное поле, применяющееся для

9

коррекции положения и формы магнитных поверхностей); BJ - магнитное поле, создаваемое токами, протекающими по плазме (в частности, током омического нагрева, диамагнитными токами); так и "эффективное" поле В*, характеризующее усредненное действие на плазму быстропеременных компонент вакуумного магнитного доля:

В" = В1 + evB*, Bi = rot ВГФ*, B'v = - < > /Вт, (10)

T, R /дФ г1дФ J \

Ар = Ф'ар, ар = (J • В)/В2, <f>=jfdV/fdy, (12)

где Ф" - полоидальыый поток "эффективного" магяптпого поля (Ф* = const уравнение усредненной магнитной поверхности в вакууме). Необходимо отметить, что при выводе (9)-(12) использовались лишь очевидные коммутационные соотношения тина < А" / Y d<p >—< Y J X dip >, где Л и У произвольные быстроосциллирующие величины, а также лишь те свойства скалярного потенциала вакуумного магнитного поля Ф, которые вытекают непосредственно из уравнения Лапласа (граничные условия нигде не учитывались). Кроме того, при выводе (9)-(12) тороидальное отношение 5 (<5 = Яр/До, ар - средний радиус границы плазмы) считалось произвольным, т.е. разложений по этому параметру не проводилось. В ряде случаев оказывается, что для конкретных вычислений более удобной является иная система координат, чем использованные выше кваэнтороидальцые координаты. В этом случае выражения для компонент "эффективного" магнитного поля легко модифицировать. Например, если ввести в плоскости tp = const вместо полярных координат (г, и) произвольную ортогональную систему координат (Х1,Хо), то выражение для Ф* принимает вид:

гДе Ai,2 - коэффициенты Ламе.

Остальные усредненные уравнения записываются в виде:

rot (В — В*) = J, ... (14)

div В = 0. 4 (15)

Интересным свойством полученных уравнений является то, что "эффективное" магнитное поле В*, также как и реальное, удовлетворяет условию div В* = 0.

Принципиальной особенностью используемого метода является то, что усреднение проводилось фактически вдоль силовой линии среднего магнитного поля. При этом система усредненных уравнений пригодна в тех случаях, когда все величины мало меняются при движении вдоль силовой линии среднего магнитногй поля. Таким образом система усредненных уравнений может быть использована, в частности, для исследования устойчивости плазмы по отношению к мелкомасштабным

10

возмущениям, сильно локализованным в окрестности рациональных магнитных поверхностей и почти постоянным вдоль силовой линии магнитного поля.

Заметим также, что при проведении усреднения не оговаривался способ создания вакуумных полей при помощи внешних проводников. Следовательно, система усредненных уравнений пригодна как для исследования плазмы, удерживаемой в стел-лараторс (Ф* ф 0), так и для исследования плазмы., находящейся в гофрированном магнитном поле (в этом случае Ф* = 0).

В §1.3 представлена процедура вывода динамических усредненных уравнений в рамках идеальной магнитной гидродинамики (т.е. при с —> ocV При этом система, усредненных уравнений идеальной магнитной гидродинамики приводится к следующему виду:

p{dv/dt) = -Vp + [J х Bj + [В x [В х VA,]], (16)

rot (В — В*) = J, (17)

Е + [v х В] = 0, (18)

dp/dl = -pdivv, (19)

d{ppT)/«t = Q, (20)

rot E = -dB/dt, (21)

div В = 0. (22)

Четвертый параграф первой главы посвящен выводу усредненного закона Ома в рамках магнитной гидродинамики. Круг задач, где' необходимо учитывать усредненные поправки, связанные с конечной проводимостью, как показано в диссертации, достаточно узок. Поэтому при решении задачи проводимость плазмы считалась достаточно большой, т.е. считалось выполненным условие т„ 3> тд (где т„ и та- характерное скиновое и альфвеповское время, соответственно). При этом наибольшей частотой является характерная альфвеновская частота; учет малого но конечного сопротивления приводит к появлению усредпенпых поправок лишь в законе Ома, который для средних величин зайисывается следующим образом:

E+[vxB] = il + ^-

(7|! <т±

-V

■д?

Вт

а\\ а\\)

§1.4 завершает вывод системы векторных усредненных МГД уравнений. Таким образом задача сведена к исследованию осесимметричного случая, что подразумевает автоматическое использование методов, развитых ранее для исследования то-

камаков. Отметим, что для аксиально-симметричных токамаков разработан целый

11

ряд методов для численного решения задач в рамках магнитной гидродинамики. Поскольку, как правило, задачи такого класса весьма трудоемки и требуют для их реализации много машинного времени, то обычно используется не полная система векторных уравнений, а более простая система скалярных уравнений, которая конструируется с помощью набора малых параметров.

§1,5 посвяшен выводу системы усредненных укороченных скалярных уравнений. В качестве основного параметра при выводе укороченных уравнений используется малый параметр Ар — |В±]/Вт- отношение поперечных компонент магнитного поля, создавемого токами, протекающими по плалмо, к продольному магнитному полю. Впервые система укороченных нелинейных уравнений была использовала для описания аксиально симметричного цилиндрического плазменного шнура Кадомцевым и Погуде. В диссертации выведена система укороченных усредненных уравнений, при этом учтены слагаемые вплоть до Д^ включительно, а также члены первого порядка по тороидальности. Необходимо отметить, что существенным преимуществом выведенной выше системы укороченных уравнений является то, что любой числецный код, разработанный для исследования равновесия и устойчивости аксиально симметричной тороидальной плазмы, может быть использован и для усредненного описания трехмерной плазмы без сколько-нибудь сложной переделки. Для этого достаточно ввести заданные функции координат Ф*, В*, которые легко могут быть определены из (10)- (12).

В §1.6 собраны задачи, которые с одной стороны не требуют для своего решения сложных математических выкладок, а с другой позволяют' на конкретных примерах продемонстрировать принципы использования формализма усредненных уравнений. Так, в частности, рассмотрел вопрос о неоклассической диффузии плазмы в стел-лараторе и о возможности (и целесообразности) уменьшения переноса частиц за счет использования внешних магнитных полей специального типа, об измерении давления плазмы по диамагнитному сигналу и об устойчивости плазмы в стеллараторе по отношению к токово-винтовым модам. При решении последней задачи основное внимание уделялось исследованию устойчивости токово-винтовых мод в стеллараторе с тиром, где физические процессы существенным образом отличаются от случая аксиально симметричного токамака. Например, в системах с большим широм при пикированных монотонно""спадающих при увеличении радиуса магнитной поверхности профилях тока возможен случай, когда внутри плазменного шнура имеются две резонансных магнитных поверхности. Подобная ситуация, например, может иметь место и в токамаках, но лишь при скицированных профилях тока, причем развитие именно этой неустойчивости позволяет току омического нагрева проникнуть во внутренние области плазменного шнура за времена много меньшие характерного скинового времени. Анализ, проведеппый в диссертации показал, что в стеллараторе, в отличие от токамака, наличие двух резонансных поверхностей,

вообще говоря, не гарантирует развитие неустойчивости, которая возникает лишь при достаточном сближении этих поверхностей.

Во второй главе диссертации равновесие плазмы в стеллараторе анализируется в рамках усредненных уравнений. В рамках данного подхода исследуется, собственно говоря, не структура трехмерных магнитпых поверхностей, а поведение их усредненного аналога. Разумеется ряд тонких эффектов при этом исследован быть не может (рассмотрению таких задач посвящена третья глава диссертации). Однако имеется широкий круг принципиально важных для теории удержания высокотемпературной плазмы задач, которые наиболее просто и. главно« достаточно точно решаются именно в этом приближении. К такого рода задачам относится значительная часть задач об изменениях в магнитной конфигурации под действием магнитных полек, создаваемых токами Пфжрша - Шлютера, причиной возникновения которых является средняя (тороидальная) кривизна продольного магнитного поля.

В первом параграфе второй главы выведены походные скалярные уравнения, которые используются в диссертации для исследования усредненного равновесия плазмы в стеллараторе. Поскольку в рамках даппого подхода задача обладает аксиальной симметрией, то полоидальные компоненты магнитного поля можно представить с помощью скалярной функции Ф - усредненного полоидалыюго потока, для определения которого используется уравнение Грипа-Джонсона. Давление плазмы является функцией усредненной магнитной поверхности. Однако, в отличие от токамака, по-лоидальный ток уже не является функцией усредненной магнитпой поверхности и ответственны за это слагаемые ~ Ар. Как было.показано в первой главе диссертации, они существенны, когда по плазме протекает однонаправленный продольный ток (например, бутстреп-ток или ток омического нагрева), и важны для корректного определения полоидальпых токов и, соответственно, изменения тороидальной компопенты магнитного поля или тороидального потока, измерение которого, например, является важным элементом диагностики плазмы в стеллараторе.

При исследовании равповесия и устойчивости плазмы (особенно при помощи аналитических методов) часто оказыватся удобным использовать систему координат . с выпрямленными силовыми линиями х' = {а, 0, у>} , где а - произвольная функция магнитной поверхности , 0 и-<р- циклические угловые координаты, меняющиеся на 27г при обходе вокруг магнитной оси и главной оси тора соответственно. При этом П1 = 0, а отношение контравариантных компонент В2/В3 не зависит от 0 и (р (верхний индекс буде,т относится к контра- , а нижний к ковариантным компонентам векторов). В качестве радиальной координаты а в диссертации принят аналог среднего радиуса усредненной магнитной поверхности. В §2.1 сформулированы уравнения равновесия в потоковой системе координат. Использование потоковой системы координат базируется на предположении, что усредненные магнитные поверхности представляют собой систему вложепных тороидов. Как правило, при анализе про-

блемы равновесия плазмы в магнитных ловушках априори не ясно, какова же будет топология магнитных поверхностей системы. В частности, наличие конечного давления или протекающих по плазме токов может привести к появлению магнитных островов или сепаратрисы. Поэтому, предваряя иснользовадие потоковых координат для решения задач равновесия в рамках усредненных уравнений, необходимо обсудить возможные изменения в топологии магнитных поверхностей.

Этому вопросу посвящен §2.2 второй главы диссертации, где получен ряд точных аналитических решепий уравнений равновесия плазмы, исследованы классы топологических структур, которые могут образовываться при большом давлении. Механизм изменения топологии усредненных магнитных поверхностей при увеличении давления плазмы может быть пояснен следующим образом. При увеличении давления плазмы суммарное полоидальное магпитпое поле уменьшается на внутренней стороне тора и увеличивается на внешней. При достаточно большом давлении плазмы магнитное поле, создавемое дкамагшггньша токами, может сравняться по величине с полоядальной компонентой удерживающего магнитного поля, что в свою очередь, ведет к тому, что в окрестности нулевой точки полоидального поля появляется дополнительная ось и образуются магнитные острова. Необходимо отметить, что их форма сильно зависит от вида функции р(а) и профиля давления. В токамаке дополнительная магнитная ось появляется на границе плазмы и при увеличении давления плазмы смещается в сторону магнитной оси, при этом средний радиус сечения плазменного шнура уменьшается. Как показапо в диссертации, в стеллараторах с большим пшром при фиксированном полном токе дополнительные нулевые точки могут образовываться и внутри плазменного шнура. Следует отмстить, однако, что появление внутри сепаратрисы, обусловленной винтовыми полями, подобной внутренней подструктуры магнитных островов, может не приводить к катастрофическому ухудшению удержания плазмы. В §2.2 исследованы также топологические свойства равновесий бестоковой плазмы. В частности, доказана теорема о том, что в бестоковом стеллараторе, т.е. когда ток, текущий через сечение каждой магнитной поверхности равен нулю, при условии, что усредненные вакуумные магнитные поверхности представляют собой семейство вложенных тороидов с единственной магнитной осью, конфигурация с минимумом Ф не может образовываться ни при каких значениях параметра 0. Данная теорема является надежным критерием оценки правильности численных расчетов, поскольку появление в расчетах запрещенной топологической структуры однозначно свидетельствует об их недостаточной точности.

Как уже отмечалось, исследование равновесия и устойчивости упрощается, если использовать систему координат с выпрямленными силовыми линиями. Равновесие плазмы в стеллараторе в потоковых переменных аналитически исследовано в §2.3. При этом задача о равновесии плазмы была решена разложением выражения для

усредненной магнитной поверхности по полоидальному азимуту и сведением уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд разных гармоник. Во многих практически интересных случаях достаточно ограничиться рассмотрением двух наибольших гармоник, т.е. описывать изменения, вызываемые плазменными токами, в форме вакуумных магнитных поверхностей при ппмоппт двух функций, а именно, смешения ттотттпов магнитных поверхностей ((а) и их эллиптичности u(u). В §2.3 выведены нелинейные уравнения для смещения и эллиптичности магнитных поверхностей, обсуждены условия применимости этой системы увавнений для списания плазмы большого давления. Необходимо отметить, что изменения в положении и форме магпитпых поверхностей могут в свою очередь приводить к значительным искажениям профиля угла вращательного преобразования. В §2.3 получено аналитическое выражение для угла вращательного преобразования на смещенных магнитных поверхностях, причем тщательпо учтены особенности Структуры вакуумных магнитных поверхностей, связанные с наличие:.: так называемых тороидальных сателлитов, т.е. вакуумных винтовых гармоник с полоидальными волновыми числами равными / ± 1, где I полоидальное волновое число основной гармоники (заходпость системы) и одинаковым с основной гармоникой тороидальным волновым числом. Показано, что тонкая структура вакуумных магпитпых поверхностей, оказывающая (как показано в четвертой главе диссертации) сильное влияние на устойчивость плазмы, заметно влияет и ira поведение такой усредненпой характеристики, как угол вращательного преобразования.

В §2.4 подробно анализируется смещение магнитных поверхностей под действием магнитных полей, создаваемых плазменными токами, причем основное внимание уделяется изучению влияния магнитного горба стелларатора на величину предрлыю допустимого давления плазмы (как считалось ранее, магнитный горб стелларатора приводит к заметным ограничениям на величину предельно допустимого давления). Показано, что корректно это влияние может быть описано лишь в рамках нелинейных уравнений, причем можно показать, что для бестоковои плазмы нелинейные слагаемые становятся больше слагаемого, характеризующего магнитный горб системы, уже при достаточно малом давлении плазмы и в результате оказывается, в представляющих практический интерес случаях Nу.8 ~ 1, магнитный горб не оказывает заметного влияния на величину предельно допустимого давления плазмы.

В §2.5 исследуется еще одно весьма интересное свойство систем с большим магнитным горбом, которое заключается в возможности уменьшения токов Пфирша-Шлютера при неизменном среднем, давлении, при наложепии вертикального магнитного поля, смещающего магнитную ось внутрь ( в направлении главной оси тора). Впервые такая возможность была обнаружена Грином и Джопсоном, однако, при исследовании этого явления использовались упрощенные модели для усредненных вакуумных магнитных поверхностей, которые считались системой концентрических

тороидов. В диссертации исследовано влияние различных особенностей вакуумной магнитной конфигурации на это явление и показало, что влияние тороидальных сателлитов оказывается значительным. Показано также, что при не слишком малой величине отрицательного вертикального магнитного поля, влияние профиля давления на величину смещения границы плазмы может быть весьма значительным. Таким образом, при использовании отрицательных вертикальных полей открывается интересная возможность получать информацию о профиле давления плазмы в системах с большим магнитным горбом, используя измерения дипольной компоненты магнитного поля.

В §2.6 обсуждается вопрос о влиянии на равновесие плазмы стационарных течений. Вращение плазмы может появляться при использовании нейтральных пучков высокоэнергичных атомоЕ (широко применяющихся для нагрева плазмы), и становится весьма заметным, если пучки оказываются несбалансированными. Вопрос о влиянии стационарных течений на равновесие плазмы, удерживаемой в аксиально-симметричных магнитных полях, был достаточно хорошо изучен. Поэтому оказалось возможным, используя методы, развитые ранее для исследования токамаков и формализм усредпеипых уравнений, решить широкий спектр задач о равновесии плазмы со стационарным течением в стеллараторе. Так, получена система скалярных усредненых уравнений, изучены их общие свойства; обсуждены возможные изменения в топологии магнитных поверхностей при увеличении давления; получены аналитические выражения для смещения магнитных поверхностей и поверхностей равной плотности.

Третья глава диссертации посвящена исследованию трехмерных магнитных полей, создаваемых плазменными токами, а также изменениям в структуре магнитных поверхностей при наличии плазмы большого давления. Магнитные поля, создаваемые токами, протекающими по плазме, можно разделить на две части: аксиально симметричные (или двумерные) и трехмерные. Аксиально симметричные магнитные поля создаются классическими токами Пфирша-Шлютера, причиной возникновения которых является двумерная (средняя) кривизна магнитного поля, а также однонаправленными токами (например, током омического нагрева или бутсреп-током). Аксиально симметричные компоненты магпитных полей изучались во второй главе диссертации в рамках усреднешшх уравнений. Существует несколько физических механизмов возникновения трехмерных магпитных полей. Они создаются, в частности, трехмерными токами Пфирша-Шлютера, причиной возникновения которых является локальная неоднородность магнитпого поля. Кроме того, двумерные "в среднем" плазменные токи, протекая через магнитные поверхности, не обладающие аксиальной симметрией приобретают трехмерные составляющие и так же участвуют в создании трехмерных компонент магнитного поля плазмы.

В §3.1 при помощи метода усреднения выведены упрощенные уравнения, позволя-

ющие исследовать трехмерные магнитные поля и токи в плазме, удерживаемой как в стеллараторе, так и токамаке с гофрированным полем. Магнитные поля, создаваемые плазменными токами, находятся с помощью следующей системы уравнений:

-Д(ДЯ1„ - ир) = [УФ х Уу>) У(«„Д2) + 2ВтЧЫВ1)У{В?~), (24)

Оу>

Вц = V(ВД„) + Я[Л х е„], (25)

У± = У - е^д/Ядч).

Здесь использованы следующие обозначения:

Л = ¿РВТ + аРУ® + [е„ х Ур]/Вт - Л (ЗФ/д'-р) ГАВу, (26)

а, = -Я(Уар ■ УФ)/БГ + (3 ■ УФ)/Вт, (27)

Р = (УР-У4), (28)

= (Л • В)/В2, (.:.) = /(...)#, (29)

_ пш п «

ир=рВт2— + П'Вг-(Ур- УФ), (30)

где йр функция регулярная внутри плазменного пшура и тождественно равная нулю вне его, нижний индекс 1 определяет трехмерные магнитные поля, создаваемые плазменными токами, для удобства у средних величин опущен знак усреднения. Если найдено решение системы усредненных уравнении, то уравнение (24) представляет собой линейное дифференциальпое уравнение с известной правой частью. Если к тому же известно разложение скалярного потенциала трехмерного вакуумного магнитного поля Ф в ряд Фурье по продольной координате, то для амплитуды каждой гармоники по <р получается независимое двумерное уравнение, которое, в свою очередь, в пределе большого аспектпого отношения легко сводится к системе связанных одномерных уравнений.

В §3.2 получеп ряд аналитических решепий, описывающих поведение трехмерных магнитных полей, создаваемых плазменными токами, вне плазменного шнура. Необходимость подобного исследования была обусловлена следующими причинами. Было известно, что оценка профиля небольшого однонаправленного тока (например, бутстреп-тока, ожидаемого в прогнозируемых экспериментах на стеллараторах) из измерений аксиальпо-симметричпых компопепт магнитного поля затруднена, поскольку вклад тока в величину аксиально симметричных компонент магнитного поля невелик па фопе вклада токов Пфирша-Шлютера, вызываемых тороидальной

неоднородностью. Поскольку по порядку величины магнитное поле, создаваемое

17

локальными (трехмерными) токами Пфирша-Шлютера, меньше, чем аксиально симметричное поле, создаваемое нелокальными токами Пфирша-Шлютера, то было естественно предположить, что на его фоне вклад однонаправленного плазменного тока будет различим лучше. Проведенный анализ показал что это действительно так, однако оказалось, что два профиля тока, сильно различающихся в центральной части плазменного шнура, могут давать практически одинаковый вклад в амплитуду внешнего магнитного поля. В тоже время, внешнее трехмерное поле, создаваемое плазменными токами, сильно зависит от распределения плотности тока на краю плазменного шнура. Таким образом, было показано, что измерения трехмерных магнитных полей, создаваемых плазменными токами, могут служить основой для оценки профиля плотности тока в стеллараторах.

В §3.3 исследована структура магпитпых полей внутри плазменного шпура и обсуждены механизмы влияния конечного давления и протекающих по плазме токов, на величину локальных горбов продольного магнитного поля. Подобными факторами являются: влияние локальных токов Пфирша-Щлютера, т.е. токов, причиной возникновения которых является локальпая кривизна, влияние двумерных в среднем токов, протекающих через трехмерные магнитные поверхпости ( оба эти механизма учитываются в уравпении (24)), и, наконец, наиболее грубый геометрический эффект - сдвиг магнитных поверхностей под действием магнитных полей, создаваемых двумерными токами Пфирша - Шлютера. Показало, что последний механизм играет наиболее значительную роль в системах с большим аспектным отношением и круглыми (в среднем) магнитными поверхностями.

В §3.4 рассмотрен вопрос о разрушении приграничных магнитных поверхностей в стеллараторах иод действием магнитных полей, создаваемых плазменными токам. Разрушение магпитных поверхностей является во многих случаях важным фактором, снижающим величину предельно допустимого давления плазмы. Существует несколько физических механизмов, приводящих к тому, что объем плазмы уменьшается ио мере увеличения давления. Наиболее простой связал со сдвигом магнитных поверхностей, при этом приграничные магпитные поверхности приближаются к винтовым проводникам, где резко возрастают трехмерные вакуумные магнитные поля и силовая линия может попадать в зону лритяжения винтовых проводников и уходить из цолезного объема. Кроме того, взаимодействие магнитных полей, создаваемых плазменными токами и винтовых вакуумных магнитных полей приводит к появлению мелкомасштабных магнитных островов, а их перекрытие - к образованию стохастической зоны.

Во введении декларировалось, что большинство представленных в диссертации результатов было получено аналитически. Действительно это так. К небольшому числу задач, исследованных численно, относится вопрос о разрушении приграцич-ных магнитных поверхностей из-за эффектов, связанных с конечным давлением

плазмы. Задача в практически интересных случаях не может быть решена аналитически, хотя, как показано в диссертации, без учета этих процессов невозможно решить пи вопрос о предельно допустимом давлении плазмы в стеллараторе, ни вопрос об оптимизации магнитной ловушки или управлении плазменным шнуром.

В §3.4 задача о разрушении магнитных поверхностей анализируется с помощью численной процедуры основанной на решении упрощенных уравнений, полученных в рамках метода усреднения. При этом средний радиус границы плазмы считался свободным параметром, и для его определения проводилась трассировка силовых линий магнитного поля. При проведении расчетов оказалось, что разрушение границы определяется действием аксиальпо симметричных компонент магнитного поля. Во всех примерах рассмотренных в диссертации, действие трехмерных магнитных полей, создаваемых токами, протекающими по плазме, на формирование границы оказалось пренебрежимо малым. Действительно; компоненты этих полей значительно изменяются при продвЕкезпп вдоль силовой липни, при этом оыстрое чередование участков с разным направлением магнитпого поля приводит к тому, что результирующее отклонение силовой линии под действием этих полей оказывается малым. Выл проведен подробный анализ разрушения границы плазмы под действием магнитных шлей, создаваемых плазмеппыми токами, в зависимости от структуры вакуумных магнитных нолей, профилей давления плазмы и плотности плазменного тока. Оказалось, что для случаев, когда ток, текущий через сечение каждой магнитной поверхности равеп пулю, и при малом давлении плазмы, средний радиус сепаратрисы практически не зависит от профиля давления плазмы, подобная зависимость проявляется при увеличении давления плазмы и может становится существенной при приближении давления плазмы к предельным значениям. Во всех рассмотренных в диссертации примерах, зависимость разрушения приграничных магнитных поверхностей от распределения плотности тока оказывается слабой, если зафиксированы полный ток и профиль давления плазмы. В диссертации проанализированы физические механизмы, лежащие в оспове ограничений на величину предельно допустимого давления плазмы,.а также эффективность различных способов его повышения. Показано, что ограничение на величину предельно допустимого давления плазмы может диктоваться разными причипамй. Для пикированных профилей давлепия более жестким является ограничение, связанное с малостью сдвига магпитных поверхностей по сравнению с поперечными размерами плазменного шнура. Для плоских профилей давления более жестким может быть ограничение, связанное с уменьшением размеров плазменного шнура из-за разрушения приграничных магнитных поверхностей.

§3.5 посвящен различным аспектам управления равновесия плазмы в стеллара-торах, причем подробно исследуются лишь те случаи, где разрушение границы плазменного шпура может оказаться существенным. Хорошо известно, что одним

из наиболее естественных способов увеличения величины предельно допустимого давления плазмы по равновесию в тороидальной ловушке является создание конфигурации с вытянутыми в среднем в вертикальной плоскости (эллиптическими) магнитными поверхностями. При разумном выборе параметров системы вертикальная вытянутость магнитных поверхностей приводит к уменьшению коэффициентов переноса за счет меньших отклонений от них дрейфовых орбит частиц, что в свою очередь приводит к снижению равновесных токов. Наиболее распространенный способ создания эллиптических магнитных поверхностей в обычных стеллараторах с круглыми в среднем магнитными поверхностями состоит в использовании внешнего квадрупояьного магнитного поля. В диссертации показано, что подобный способ повышения предела достижимого давлепия по равновесию не является универсальным. Квадрупольное поле зачастую приводит к разрушениро внешних магнитных поверхностей, причем фактор разрушения внешних магнитных поверхностей под действием квадрупольного ноля особенно силен для систем, обладающих при отсутствии квадрунольного поля естественным дивертором. При этом оказывается, что разрушение внешних магнитных поверхностей является столь значительным, что положительный эффект- увеличения предела по равновесию из-за эллиптичности магнитных поверхностей нивелируется за счет разрушения внешних поверхностей и уменьшения алпертуры плазменного шнура. Показано также, что управление профилем вращательного преобразования (т.е. восстановление профиля вращательного преобразования в плазме большого давления при помощи комбинации квадрупольного и вертикального полей) не приводит к существенному уменьшению среднего радиуса плазмы и, тем самым, вполне оправданно. Наконец, рассмотрен вопрос об управлении плазменным шнуром большого давления при помощи вертикального поля. Проведенный анализ показал, что в большинстве случаев (исключение составляют лишь конфигурации со слабой топологической устойчивостью вакуумпых магнитных поверхностей), подобрав величину вертикального корректирующего поля, удается с достаточной точностью восстановить средний радиус плазмы до уровня среднего радиуса вакуумной сепаратрисы. Более того, оказывается, что зависимость среднего радиуса плазмы от профиля давления при значениях вертикального воля, близких к оптимальному, ослабляется. Таким образом, в этом положении плазменный шнур можно удерживать, используя традиционные методы управления.

Перейдем к обсуждению вопроса об устойчивости плазмы. Наибольшую опасность представляют два типа неустойчивостей. Источником энергии первого типа неустойчивостей является энергия магнитного поля, порождаемого подольным током, применяющимся для создания и нагрева плазмы. Токово-винтовые неустойчивости были рассмотрены в первой главе диссертации. Поскольку, однако, удерживающие свойства стелларатора сохраняются (и, как правило, улучшаются в отсутствии тока омического нагрева), в настоящее время большинство экспериментов

направлено на изучение бестоковой плазмы, где собственно и может проявиться преимущество стелларатора как принципиально стационарной системы. В этом случае наиболее опасны так называемые баллонные или перестановочные моды, источником энергии которых служит тепловая энергия плазмы. В четвертой главе диссертации рассмотрены неустойчивости плазмы конечного давления, обусловленные неблагоприятной кривизной силовых линий, т.е. именно те типы неустойчивостей, которые могут ограничить величину предельно допустимого давления. Как правило, при анализе устойчивости плазмы в тороидальных магпитпых ловушках разделяют крупномасштабные моды и моды локализованные в окрестности рациональных магнитных поверхностей. Нелокальные крупномасштабные моды существенным образом зависят от распределения параметров по объему плазмы, и для их изучения обычпо привлекают численные методы. Локальные моды можно исследовать аналитически, получая критерии устойчивости, выраженные через характеристики равновесного состояния па заданной магнитной поверхности. Именно такого рода неустойчивости и рассмотрены в четвертой главе диссертация в рамках формализма усреднен-пых уравнений.

В §4.1 исследованы возмущения, мелкомасштабные в направлении, перпендикулярном к равновесному магнитному полю, и мало меняющиеся при продвижении вдоль силовой линии равновесного магнитного поля. Интерес к подобного рода не-устойчивостям обусловлен тем, что именно они, как принято считать в литературе, ограничивают предельно допустимое давление плазмы в тороидальных магнитных ловушках. §4.1 посвящец выводу усредненного линейного уравнения малых колебаний в плазме, которое существенно упрощает исследование устойчивости плазмы как в стеллараторе, так и токамаке при учете гофрировки.

В §4.2 в рамках формализма усредненных уравнепий получен критерий устойчивости мод с радиальной длиной волны, много меньше длины волны вдоль малого азимута (критерий Мерсье). Следует при этом отметить, что при использовании усредненных уравнений учитывается лишь двумерная (средняя) кривизна силовых линий магнитного. поля. Тем не менее, как показано в диссертации, такой подход вполне правомочен, поскольку при N 3> (а это одно из условий применимости усредненных уравнений) в практически важном случае /3 < /126 баллонный эффект на локальных гофрах трёхмерного магнитного поля можно пе учитывать (что связано с многократным чередованием участков с благоприятной и неблагоприятной кривизной, суммарный вклад которых в критерий устойчивости пренебрежимо мал). В §4.2 рассмотрен эффект самостабилизации плазмы в стеллараторах с широм. Наиболее простой вид критерий устойчивости принимает для плазмы достаточно малого давления, т.е. при /? /х2<5, когда давление плазмы приводит лишь к смещению

магнитных поверхностей, не вызывая практически изменения их формы:

о = [и' 2р' \

^ 2а \ I/ Щ До/1 ) '

л> г~зс/1/ о«' I" ч J

и а'Но В0 Щ'

(31)

где V/и - характеризует магнитную яму (горб) системы, угол вращательного преобразования в вакууме. Если исключить с помощью уравнения для смещения магнитных поверхностей, то выражение для (¡>1 приводится к следующему виду:

■ 2 ац

В0 2а - 2а*ц

(Г/-'*«'

где смещение магнитных поверхностей в вакууме. Первое слагаемое в (32) положительно и характеризует магнитный горб прямого стелларатора. Второе слагаемое при положительном смещении магнитных поверхностей и /л*' > 0 отрицательно. Поскольку £ возрастает цри увеличении давления, то второе слагаемое также является возрастающей функцией давления. Следовательно, устойчивость цлазмы может улучшаться при увеличении давления. Механизм подобной самостабилизации можно пояснить следующим образом. Смещение магнитных поверхностей под действием полей, создаваемых диамагнитными токами, происходит в направлении увеличения большого радкуса. При этом в системах с возрастающим с увеличением радиуса утлом вращательного преобразования силовая линия быстрее проходит участок с неблагоприятной кривизной на внешнем обводе тора и задерживается па внутреннем обводе. При этом, поскольку Цаг < 1, то сумма первого и второго слагаемых в (32) может быть отрицательна лишь при достаточно малой величине Nц'&.

Третье слагаемое в (¿г связано с вакуумным смещением магнитных поверхностей и,может быть как положительным, так и отрицательным. Отметим, что смещая магнитную ось системы, например, с помощью вертикального магнитного поля, либо меняя закон намотки токонесущих винтовых проводников на поверхности тора, можно добиться улучшения устойчивости плазмы в системе. Два последних слагаемых при N¡1 3> /1 малы но сравнению с первым и практически не влияют на устойчивость плазмы в системе. Они сохранены лишь для того, чтобы обеспечить предельный переход в критерий Шафранова и Юрченко для аксиально симметричного токамака.

В §4.4 рассмотрен вопрос о предельно допустимом давлении плазмы в стеллара-торс, следующим из условий устойчивости. Было показано, что при достаточно

22

малой величине N¡1*5 критерий устойчивости желобковых мод не дает ограничения на величину предельно допустимого давления плазмы в стеллараторе. Там же было проанализировано влияние на устойчивость плазмы особенностей структуры вакуумных поверхностей и было показано, что небольшая модуляция закона памотки токонесущих шин на поверхность тора может существенно изменить условия устойчивости плазмы при неизменных грубых параметрах N и /. Был проведен анализ условий устойчивости с точностью до (£')3 включительно, и было показано, что нелинейные слагаемые приводят к дополнительной стабилизации, и что особенно важно, на краю плазменного шнура, где максимален магнитный горб системы. В §4.4 в основном рассматривалась устойчивость плазмы при нулевом продольном токе. Дело в том, что, как показано в диссертации, наличие продольного тока приводит к ухудшению устойчивости плалмы, что с связано,с одной стороны, с тем, что уменьшается, (или даже становится отрицательным) шир системы, с другой -одновременно уменьшается глубина магнитной ямы.

В §4.5 подучено условие устойчивости плазмы, удерживаемой в гофрированном тороидальном магнитном поле по отношению к мелкомасштабным возмущениям при произвольных значениях параметра Ма/Рщ. Показано, что эффекты, связанные с наличием гофрировки, могут нарушить условие устойчивости вблизи границы плазменного шнура.

Хорошо известпо, что в Том случае, когда плазма оказывается устойчивой в рамках идеальной магнитной гидродипамики, учет малого, но конечного сопротивления может привести к появлению новых видов неустойчивых колебаний. Резистив-ные моды не стабилизируются широм, однако могут быть устойчивы, если глубина средней магнитной ямы превосходит баллопныя эффект. В §4.6 получен аналитический критерий устойчивости резистивных желобковых мод в стеллараторе при учете тороидальности, при- этом показано, что эффект самостабилизации, связанной с шяром, для ДЕСсипативпых желобковых неустойчивостей имеет место лишь в центральной части плазменного шнура. Влияние тока омического нагрева может быть двояким: с одной стороны уменьшается глубина магнитной ямы в центральной части плазменного шнура, с другой - при достаточно большой неоднородности угла, вращательного преобразования, создаваемого током омического иагрева, может иметь место улучшение условий устойчивости.

ОСНОВНЫЙ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан метод теоретического исследования плазмы, удерживаемой в быстропеременном (в пространстве) магнитном поле. Выведена система векторных усредненных МГД уравнении, сводящая задачу к исследованию аксиально симметричного случая и пригодная для решения широкого круга задач, таких, например, как равновесие, устойчивость, нелинейные процессы,

2. Получена система упрощенных скалярных усредненных МГД уравнений, пригодная для анализа плазмы большого давления. Система упрощенных усредненных уравнении содержит в себе как предельный случай хорошо известные МГД уравнения, применяющиеся для анализа плазмы в аксиально симметричном токамаке. При зтом любой численный код, разработанный для исследования равновесия и устойчивости плазмы в токамаке, может быть использован и дли усредненного описания трехмерной плазмы без сколько-нибудь сложпой переделки.

3. Решен ряд задач усредненного равновесия плазмы в стшла-раторе. Решена задача о топологии магнитных поверхностей п плазме большого давления. Выведена система обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений, описывающая измепения структуры равновесных усредненных магнитных поверхностей при наличии плазмы большого давления. Система уравнений используется также при анализе устойчивости плазмы. Подробно исследованы свойства решений этой системы. Исследованы особенности усредненного равновесия плазмы в системах с большим магнитным бугром. Показано, что магнитный горб не оказывает существенного влияния на предельно допустимое (по равновесию) давление плазмы.

4. Рассмотрено равновесие плазмы в стеллараторе при наличии стационарных течений. Выведена система двумерных усредненных уравнений, содержащая в себе как предельный случай хорошо известные уравнения для аксиально симметричного токамака. Исследовано влияние стационарных течений па величину смещения магнитных поверхностей и поверхностей равной плотпости, рассмотрен вопрос о топологии магнитных поверхностей и поверхностей равной плотности.

5. Разработан асимптотический метод, позволяющий исследовать трехмерные магнитные ноля, создаваемые плазменными токами, в несимметричном торе.

6. Подробно исследована структура и физические механизмы формирования трехмерных магнитных полей, создаваемых плазменными токами. Определена степень их влияния на величину гофров продольного магнитного поля, показано также, что их измерения вне плазменного шнура могут быть иснользовапы для оценки профиля тока в стеллараторе по результатам магнитных измерений.

7. Проведен подробный анализ разрушения границы илазмы под действием магнитных полей, создаваемых плазменными токами, в зависимости от структуры вакуумных магнитных полей, профилей давления плазмы и распределений плотности плазменного тока. Проанализированы физические механизмы, лежащие в основе

ограничений на величину предельно допустимого давления плазмы, а также эффективность различных способов его повышения.

8. При исследовании устойчивости плазмы получены аналитические критерии устойчивости как идеально проводящей плазмы, так и при учете конечной проводимости. В частности, исследовала устойчивость плазмы большого давления, когда сэтцегтвенен не только сдвиг магнитных поверхностей, но и искажение их формы. Определены параметры конфигураций, где снимаются ограничения на величину предельно допустимого давления по устойчивости.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Коврижных Л.М., Щеиетов C.B. Описание плазмы в стеллараторе с помощью усредненных МГД уравнений. Физика плазмы, 1980, б, 976-986.

[2] Коврижпых Л.М., Щепетов C.B. "Самостабилизация" плазмы конечного давления в стеллараторе. Физика плазмы, 1981, 7, 419-427.

[3] Коврижных Д.М., Щепетов C.B. Критерии МГД-устойчивости в стеллараторе. Физика плазмы, 1981, 7, 965-968.

[4] Коврижпых Л.М., Щепетов C.B. Существует лп предельное давление в стеллараторе? Письма ЖЭТФ, 1981, 33, 441-444.

[5] Kovrîzhnykh L.M., Shchepetov S.V. Condition for the stability of dissipative modes in a stellarator. In Proc. 11 Eur. Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics. Aachen, 1983. 7D, 147-150.

[6] Kovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V. MHD equilibrium and stability of a stellarator plasma. Nuclear Fusion, 1983,'23, 859-867.

[7] Гребенщиков C.E., Коврижпых Л.М., Корнев Б.И., Шпигель И.С., Щепетов C.B., Блехер П.М., Зуева U.M. МГД колебания на периферии плазменного шнура в стеллараторе Л-2 при омическом нагреве. Физика плазмы, 1985, 11, 515-519.

[8] Коврижных Л.М., Щепетов C.B. МГД-аспекты удержания плазмы в стеллараторе. Труды ФИАН СССР, 1985, 160, 58-92.

[9] Коврижных Л.М., Щепетов C.B. Современное состояние теории МГД равновесия и устойчивости плазмы в стеллараторе. УФН, 1986, 148, 637-670.

[10] Данилкин И.С., Щеыетов С.В. Стелларатор с эллиптическим малым сечением. Физика плазмы, 1987, 13, 392-402.

[11] Kovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V., Kostomarov D.P. Sychugov D.Yu. High-/? equilibrium m a stellarator. In Proc. 14 Eut. Conf, on Contr. Fusion and Plasma Physics, Madrid, 1987, 11D, pt.l, 406-409.

[12] Сычугов Д.Ю., Щепетов С.В. Равновесные плазменные конфигурации с магнитными островами при больших ¡3. Физика плазмы, 1988, 14, 663-667.

[13] Kovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V. Equilibrium of a plasma with a steady flow in the stellarator. In Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research (Nice, 1988). IAEA, Vienna, 19S9, 2, 631 636.

[14] Kovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V. Stellarator equilibria with steady flow. Nuclear Fusion, 1989, 29, 667-671.

[15] Щепетов С.В. Равновесие и устойчивость плазмы в гофрированном магнитном коле. Труды ИОФАН, 1091, 31, 28-36.

[16] Kuzne.tsov Yu.K., Shchcpetov S.V. On the problem of magnetic measurements in stellarators. In Proc. 8th Stellarator Workshop (Kharkov, 1991). IAEA, Vienna, 1991, 421-424.

[17] Кузнецов А.Б., Сычугов Д.Ю., Щепетов C.B. Разрушение внешних магнитных поверхностей в стеллараторах кз-за эффектов конечного давления. Вопросы атомной цауки и техники, сер. Термоядерный синтез, вып.1-2, 1993, 65-70.

[18] Shchepetov S.V. Magnetic fields and currents in a non-axisymmetric torus. Nuclear Fusion, 1994, 34, 369-374.

[19] Shchepetov S.V., Kuznctsov A.B., Sychugov D.Yu. Plasma equilibria with stochastic regions and magnetic islands. Transactions of Fusion Technology, 1995, 25, 455-458.

[20] Kuznctsov А.В., Shchepetov S.V., Sychugov D.Yu. Finite pressure induced destruction of the plasma boundary in stellaxators. Nuclear Fusion, 1995, 35, 183-193.

[21] Shchepetov S.V., Kuznetsov A.B. Equilibrium magnetic fields and currents in a non-axisymmetric torus: external magnetic fields in stellarator. Nuclear Fusion, 1996, 36, 1097-1112.

' - //

/

институт общей физики российской академии наук

Президиум БАХ России

(решение от " " „¿УГ. \ г., № присудил ученую стап^чь ДОК":'*

Начальник4,

асимптотическая теория мгд равновесия и устойчивости плазмы большого давления в несимметричном торе

(01.04.08 - "физика и химия плазмы'

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

москва - 1997

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ 4

§1. Актуальность проблемы и обзор литературы 4

§2. Общая характеристика работы 35

ГЛАВА 1. УСРЕДНЕННЫЕ МГД УРАВНЕНИЯ 40

§1.1. Метод усреднения 40

§1.2. Усредненные уравнения МГД равновесия 41

§1.3. Усредненные уравнения идеальной МГД 46

§1.4. Усредненный закон Ома 48

§1.5. Укороченные усредненные МГД уравнения 50

§1.6. Некоторые примеры ' 54

1.6.1. Неоклассическая диффузия в стеллараторе в МГД-приближении 54

1.6.2. Об измерении давления плазмы по диамагнитному сигналу 55

1.6.3. Уравнение малых колебаний в прямом стеллараторе 56

1.6.4. Токово-винтовые моды в стеллараторе 57

ГЛАВА 2. УСРЕДНЕННОЕ ОПИСАНИЕ РАВНОВЕСИЯ

ПЛАЗМЫ В СТЕЛЛАРАТОРЕ 62

§2.1. Исходные уравнения 62

§2.2. Топология магнитных поверхностей при большом давлении плазмы 67

§2.3. Система координат с выпрямленными силовыми линиями 71

§2.4. Уравнение для смещения магнитных поверхностей 77

§2.5. Особенности равновесия плазмы в системах с большим магнитным бугром 82

§2.6. Равновесие плазмы со стационарным течением 92

2.6.1. Усредненные скалярные уравнения 93

2.6.2. О смещении магнитных поверхностей 95 2.6.1. О топологии линий уровня равной плотности 97

стр

ГЛАВА 3. РАВНОВЕСНЫЕ ТРЕХМЕРНЫЕ МАГНИТНЫЕ

ПОЛЯ И ТОКИ В НЕСИММЕТРИЧНОМ ТОРЕ 99

§3.1. Система скалярных трехмерных уравнений 99

§3.2. Структура внешних магнитных полей 101 §3.3. О влиянии плазменных магнитных полей

на величину гофров |В| 106

§3.4. Разрушение внешних магнитных поверхностей в стеллараторах 108

§3.5. Об управлении равновесием плазмы в стеллараторе 118

ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ

В НЕСИММЕТРИЧНОМ ТОРЕ 125

§4.1. Уравнение малых колебаний 125

§4.2. Критерий Мереже в рамках усредненных уравнений 128

§4.3. Самостабилизация плазмы в стеллараторе с широм 130

§4.4. О возможности существования двух зон устойчивости 132

§4.5. Устойчивость плазмы в гофрированном магнитном поле 137

§4.6. Устойчивость диссипативных желобковых мод в стеллараторе 139

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 142

ЛИТЕРАТУРА ~ 144

4

ВВЕДЕНИЕ

§1. Актуальность проблемы и обзор литературы

В последние годы достигнуты значительные успехи в области исследований, ставящих своей конечной целью осуществление управляемой термоядерной реакции в рамках магнитного удержания. При этом основное внимание уделяется токамакам, где получены наиболее впечатляющие экспериментальные результаты и достигнуто наилучшее понимание физических закономерностей, лежащих в основе явлений, происходящих в плазме. Тем не менее не исключено, что окончательный успех может обеспечить иной подход к решению задачи управляемого термоядерного синтеза. В одном из таких подходов предполагается использовать стелларатор - замкнутую магнитную ловушку, в которой удержание плазмы осуществляется с помощью полей, создаваемых токами, текущими по внешним проводникам. Основное преимущество стелларатора заключается в том, что для его работы нет необходимости возбуждать токи в плазме и он может работать в стационарном режиме.

За последние годы стеллараторная программа заметно продвинулась вперед. Успехи ее как в экспериментальной, так и в теоретической областях оказались столь значительными, что стеллараторные системы уже вполне серьезно можно рассматривать как один из вариантов термоядерного реактора. Стеллараторы являются принципиально трехмерными магнитными ловушками. Необходимо также отметить, что и считающиеся аксиально симметричными токамаки, строго говоря, таковыми не являются. В частности, небольшая трехмерная составляющая магнитного поля возникает из-за дискретности катушек соленоида, создающего продольное магнитное поле. Именно такие конфигурации и будут исследованы ниже, причем основное внимание будет уделено классическим стеллараторам с плоской геометрической осью.

Одной из важнейших и актуальных проблем, без решения которых невозможно осуществление управляемого термоядерного синтеза, является вопрос о величине предельно допустимого давления плазмы. Ниже будут рассмотрены ограничения на величину давления плазмы, накладываемые совместно условиями равновесия и устойчивости, Важность этого вопроса диктуется в частности тем, что экономиче-

ски выгодный термоядерных! реактор на основе системы с магнитным удержанием возможен лишь при достаточно большом давлении плазмы ( параметр ¡3- отношение давления плазмы к давлению магнитного поля должен быть не меньше 5%). Очевидно также, что без детальной информации о равновесии и устойчивости плазмы невозможно ни интерпретировать экспериментальные данные, получаемые на действующих установках, ни осуществлять проектирование новых установок.

При теоретическом исследовании любой проблемы возможны три основных направления деятельности. Одним из них является нахождение точных (не асимптотических) аналитических решений. К сожалению, для задач равновесия и устойчивости тороидальной трехмерной плазмы такие решения если и существуют, то не найдены ни автором данной работы, ни другими исследователями. Второй подход заключается в исследовании проблемы с помощью асимптотических методов, что естественным образом предполагает как использование уже известных методов, так и создание новых. Наконец, можно решить задачу численно. Здесь необходимо отметить, что в последние годы прогресс в области вычислительной техники сделал возможным проведение прямых трехмерных численных расчетов. В то же время, проведение прямых численных расчетов во многих случаях, представляющих практический интерес, остается весьма тонкой и сложной задачей, лежащей на грани (а иногда и гранью) -возможностей современных компьютеров. Естественно, что при выборе способа решения поставленных в данной работе задач не могли не сказаться как личные пристрастия автора, так и чисто внешние обстоятельства как, например, доступность необходимой вычислительной техники. При этом был выбран способ решения задач, предполагающий использование асимптотических методов. Необходимо отметить,, что развитие новых методов и усовершенствование уже имеющихся, представляется весьма важным и актуальным, поскольку асимптотические методы дают, как мы увидим ниже, не только качественно, но и количественно корректные результаты, и при этом позволяют глубже проникнуть в суть исследуемой проблемы. Большинство включенных в данную работу результатов было получено аналитически. В тех же редких случаях, когда математические выкладки неоправданно сложны или невозможны, упрощенные уравнения анализировались численно.

Представление метода исследования и результатов физических исследований естественно предварить описанием объекта исследования.

Впервые магнитная ловушка стеллараторного типа была предложена в 1951г. Спитцером [1], показавшим, что при свертывании тороидального соленоида в восьмерку реализуется магнитная конфигурация, имеющая вид вложенных друг в друга

5

магнитных поверхностей с отличным от нуля вращательным преобразованием (что обеспечивает компенсацию в среднем дрейфа частиц из-за неоднородности магнитного поля). В [2] был предложен еще один способ создания вакуумного вращательного преобразования. В ловушках такого типа (которые мы в дальнейшем будем условно называть классическим стелларатором) продольное магнитное поле создается соленоидальной обмоткой, а вращательное преобразование током, текущим в I (число I > 1 носит название "заходность") парах винтовых проводников, -намотанных на поверхность тора, причем в соседних проводниках токи равны по величине и противоположны по знаку (см. рис. 1).

Заметим, структура магнитных поверхностей, характерная для классического стелларатора, может быть создана и в ловушках, получивших название торсатрон [3,4], более простых с инженерной точки зрения. В торсатронах магнитные поверхности получают с помощью I винтовых проводников с одинаковым направлением текущего по ним тока, заменяющих как соленоидальную обмотку, создающую продольное магнитное поле, так и 2/ винтовых проводников, создающих вращательное преобразование в традиционной схеме стелларатора. Однонаправленные токи в тороидальной геометрии приводят к появлению магнитного поля, перпендикулярного плоскости тора, которое компенсируют обычно системой кольцевых проводников. Еще один способ компенсации заключается в специальном выборе закона намотки токонесущих шин на поверхность тора [5,6], при котором на оси системы вертикальное магнитное поле автоматически обращается в ноль. Такую систему авторы назвали ultimate torsatron, имея в виду предельное упрощение токовой системы.

Выше мы рассмотрели ряд магнитных ловушек, в которых вакуумные поверхности получают с помощью винтовых токов. Существует, однако, несколько других возможностей создания аналогичных конфигураций, в частности, с помощью дискретных магнитных катушек специальной формы. Впервые такая идея была высказана в работе [7], где для создания винтовых полей предлагалось использовать соленоид, витки которого проворачивались при продвижении вдоль оси системы и имели форму близкую к форме требуемых магнитных поверхностей (+для создания двухзаходного поля необходимы катушки эллиптической формы, трехза-ходного - треугольной и т.д.). Поскольку эффективность создания угла вращательного преобразования в такой системе оказывалась невелика, в. [7,8] было предложено использовать для увеличения угла вращательного преобразования соленоидальную обмотку, уменьшающую продольное магнитное поле.

6

Катушки, создающие продольное поле

•Винтодые лрододши

Рис. 1. Схематическое изображение стелларатора с плоской геометрической осью.

Рис. 2. Изменение величины магнитного поля при движении вдоль силовой линии в аксиально симметричном тороидальном токовом шнуре (а) и стеллараторе или токамаке при учете гофрировки (б).

Более эффективным с точки зрения получения оптимальной магнитной конфигурации, оказывается использование вместо плоских проводников пространственных токовых колец [9]. Профилированные токовые катушки позволяют конструировать широкий спектр магнитных конфигураций. Существует мнение, что для будущих реакторов более выгодными являются системы, состоящие из отдельных катушек, что позволяет производить замену неисправных частей не разбирая всю магнитную ловушку.

Итак, мы кратко перечислили основные способы создания вакуумных магнитных поверхностей при помощи внешних токовых проводников. Подробный анализ имеющихся возможностей можно найти, например, в обзорах [10-19]. Наиболее полный библиографический обзор по данной тематике содержится в монографии [20].

В настоящей работе исследуется равновесие и устойчивость плазмы в системах с плоской кольцевой осью, безотносительно к конфигурации внешних токов, используемой для создания вакуумной конфигурации.

Стеллараторы являются трехмерными магнитными ловушками. Как известно, отклонения в магнитной конфигурации от винтовой симметрии существенно усложняют структуру вакуумных магнитных поверхностей. В частности, резонансные магнитные поля малой амплитуды могут приводить к образованию островных структур, возникающих на месте магнитных поверхностей с рациональными значениями угла вращательного преобразования [21-27]. Увеличение амплитуды возмущающего магнитного поля может приводить к перекрытию островов и образованию стохастических зон [28]. Различные возмущения (в том числе и тороидальность) приводят к расщеплению сепаратрисы и уменьшению полезного объема плазмы [29-31]. Необходимо отметить, что отсутствие должного контроля за качеством магнитных поверхностей привело в свое время к катастрофе и на долгие годы затормозило исследования по стеллараторной программе, как экспериментальные, так и теоретические. Речь идет о стеллараторе С (США), где экспериментально наблюдались удивительно быстрые потери частиц и энергии. Это привело значительную часть исследователей к выводу, что стеллараторы не имеют перспектив дальнейшего развития. Ситуация разъяснилась лишь перед закрытием установки. Проведенные измерения показали, что магнитные поверхности были практически разрушены [32,33], т.е. стелларатор С, строго говоря, и не являлся системой для магнитного удержания. В дальнейшем возможность осуществления конфигураций с хорошим качеством магнитных поверхностей была доказана как теоретически, так и экспериментально. При этом существует лишь два основных способа создания топологически устойчивой магнит-

8

ной конфигурации. В рамках первого из них реализуется магнитная конфигурация, в которой угол вращательного преобразования практически не меняется по сечению плазменного шнура, причем его значение выбирается таким образом, чтобы условие резонанса не выполнялось для наиболее вероятных возмущений. Такой принцип используется, например, в действующей \У-7А8(Германия) [10], входящей в строй TJ-II (Испания) [34] и строящейся W-7X (Германия) [35] установках.

Иная идея лежит в основе систем с достаточно большим широм ( термин "шир" обозначает перекрещенность силовых линий, при наличии которой угол наклона силовой линии меняется при переходе от одной поверхности к другой). Хотя при этом число возможных резонансов велико, однако, размеры получающихся магнитных островов можно сделать достаточно малыми. Этот принцип используется, например, в установках JI-2 (Россия) [13], CHS (Япония) [36] и строящейся установке LHD (Япония) [37].

Успеху стеллараторной программы в настоящее время в значительной мере способствует то обстоятельство, что все крупные современные установки используют сильно отличающиеся друг от друга магнитные конфигурации. Подобный подход позволяет рассмотреть большее число вариантов и выяснить основные физические закономерности поведения плазмы, удерживаемой в ловушках с различными свойствами.

Необходимость исследовать равновесие и устойчивость плазмы, удерживаемой в трехмерных (в пространстве) магнитных полях, привело к созданию ряда специфических методов. Исторически первым асимптотическим методом, предложенным для исследования равновесия и устойчивости плазмы в стеллараторе, был метод так называемого стеллараторного приближения, развитый группой теоретиков из Принстонского университета (США) [38-43]. В основе его лежит разложение по набору малых параметров, которыми являются: отношение винтовых компонент вакуумного магнитного поля к его тороидальной компоненте t =| Bs* | /Вт', l/~t/N ( ¡л - полный угол вращательного преобразования, 1/N- отношение заходности к полному числу периодов винтового поля); 5 = ар/Rq - тороидальное отношение (отношение среднего радиуса границы плазмы-к большому радиусу тора); BJ / Вт -отношение магнитного поля, создаваемого токами, протекающими по плазме, к по-дольному магнитному полю, а также величина /3,- отношение газокинетического давления плазмы к магнитному. При этом использовалась процедура весьма сходная с методом усреднения. В цикле работ [38-43] был получен ряд замечательных результатов, в частности, выведен критерий устойчивости плазмы по отношению к

9

желобковым модам в пренебрежении тороидальностью [38,39], выведено двумерное уравнение равновесия [40] аналог известного уравнения Грэда-Шафранова для то-камака [44-46], рассмотрен вопрос об управлении плазменным шнуром при помощи внешнего вертикального поля[41]. К сожалению, общее падение интереса к данной тематике привело к тому, что эти результаты остались практически незамеченными современниками. Однако, эксперименты проводимые на небольшом числе уцелевших стеллараторов, и успехи, достигнутые на них по удержанию плазмы [47-49], в том числе и бестоковой [48,49], оказались столь значительными, что к началу 80-х годов вопросы связанные с теоретическим изучением равновесия и устойчивости плазмы стали вновь весьма актуальны. С одной стороны это привело к возрождения метода стеллараторного приближения [50-53] (хотя, следует отметить, что работы этого времени посвящены главным образом адоптации стеллараторного приближения к имеющимся численным методам), с другой стороны стимулировало создание новых методов. В частности, набор малых параметров, сходный со стеллараторным приближением, использовался также в [54-59], где продольная координата в ряде задач равновесия и устойчивости исключалась с помощью специальной замены переменной в потоковой системе координат.

Более общую задачу решили авторы работ [60-64], где* была выведена система усредненных уравнений, сводящая задачу к исследованию