Асимптотически плоское пространство-время в каноническом формализме общей теории относительности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.'.

Глава I. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ГРУША ПУАНКАРЕ В

ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО.

§ I. Алгебра связей в каноническом формализме ОТО.

§ 2. Поверхностные члены в скобках Пуассона.

§ 3, Асимптотическая группа Пуанкаре.

Глава П. АЛГЕБРА ГЕНЕРАТОРОВ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ ДЛЯ АСИМПТОТИЧЕСКИ ПЛОСКОГО

ПРОСТРАНСТВА-ВРШЕНИ.

§ I. Линеаризация поверхностных интегралов.

§ 2. Определение асимптотически плоского пространства-времени.

§ 3. АДА - разложение, выбор гиперповерхности и фоновой" метрики-.

Глава Ш. ТЕОРИЮ НЁТЕР В КАНОНИЧЕСКОМ ФОНШИЗМЕ ОТО.

§ I. Общий вид вариации действия.

§ 2. Первая теорема Иётер.

§ 3. Вторая теорема Нётер.

§ 4. Несобственный закон сохранения.

§ 5. Глобальный подход и сохранение поверхностных интегралов.

ЗА1Ш0ЧЕНИЕ.

В современной шизике все заметнее проявляется стремление к объединению отдельных физических теорий, описывающих разные уровни взаимодействия материи. Решение этой задачи возможно, разумеется, лишь при условии успеха в каждой отдельной области. Исторически, первое строгое математическое описание появилось в ньютоновской теории движения тел под действием тяготения ^. Парадоксальным кажется, поэтому, положение, когда к настоящему времени гравитационное взаимодействие менее изучено по сравнению с другими видах/и фундаментальных взаимодействий: электромагнитным, слабым и сильным.

Объясняется это тем, что гравитационный эксперимент из-за чрезвычайной малости константы взаимодействия оказался наиболее трудно осуществимым. Не последнюю роль играет тут и невозможность экранировки силы тяготения. В результате в построении релятивистской теории гравитации принцип "внутренней красоты" (в терминологии Эйнштейна) получил преимущество над принципом "внешнего оправдания". В то же время общая теория относительности (ОТО) принятая большинством физиков, обладает чертами, резко отличающими ее от остальных физических теорий. В ОТО, например, оказывается невозможным ввести понятие тензора энер-ши-импулъса гравитационного поля (кроме тождественно нулевого -на ренгейиях уравнений движения), а тензор энергии-импульса прочих полей материи не приводит, в общем случае, к законам сохранения. Квантование ОТО встречает до сих пор не преодоленные затруднения, главным образом, из-за необходимости принимать в расчет флуктуации метрической структуры и топологии на малых расстояниях, где наши представления о пространстве-времени теряют смысл.

Однаконесмотря на все трудности, физика гравитации сейчас бурно развивается, причем в нескольких направлениях: в постановке новых экспериментов, углублении понимания ОТО, разработке новых конкурентоспособных теорий. Так в работах А.А.Логунова с сотрудниками ^ была недавно предложена полевая теория гравитации, в которой гравитационное поле, аналогично другим физическим полям, обладает тензором энергии-импульса и, следовательно, имеет место закон сохранения и превращения энергии.

Важным шагом в. поступательном движении гравитационной физики явилось создание канонического формализма ОТО в конце 50-х - начале 60-х годов. Трудность этой задачи, задержавшая ее решение на столь долгий срок (40 лет с момента появления ОТО), объясняется геометризованным характером теории. Еще в 1913 году Эйнштейн писал /^Л ". я обнаружил, что уравнения, однозначно определяющие J^j по и в то же время обшековашантные. вообще не могут существовать.". (Здесь J^y - метрика, тензор энергии-импульса материи). Такой "неоднозначный" канонический формализм, имеющий дело с произвольными функциями, разрабатывался Дираком /4-6/ в 5ох годах, им же заложены основы гамильтонизации ОТО Почти одновременно появился цикл работ Арновитта, Дез ера и Мизнера (AMA) /Ю*-16/, в котором был выяснен геометрический смысл подхода и найдены удачные переменные, что позволило рассмотреть ряд конкретных проблем.

Состояние в каноническом формализме Дирака - Щй задается на пространственнойодобной гиперповерхности одновременности, так что индуцированная метрика Q¿.- и линейная комбинация второй фундаментальной формы являются сопряженными переменными. Остальные 4 компоненты метрического тензора являются динамическими, а входят в действие в качестве множителей Лагранжа при связях, то есть, произвольных функций.

Гамильтониан имеет вид

И^Х^^Ю^, (в.1) где - связи св.2)

Обозначения приведены в Приложении I.

Такой гамильтониан совпадает с "плотностью энергии", полученной из симметричного тензора энергии-импульса гравитационного поля и обращается в нуль для любого решения уравнений связи.

Нулевой гамильтониан приводит к проблеме "замороженной" динамики. Это значит, что процедура наложения калибровок, исключения "лишних" переменных, замены скобок Пуассона скобками Дирака приводит к "замораживанию" собственных степеней свободы гравитационного поля. Проблема по разному для замкнутых и открытых пространств решается. В последнем случае, которым мы занимаемся в настоящей диссертации, указанием на возможное решение задачи послужило, в частности, сравнение с линеаризованной теорией.

Исходя из приближения слабого поля Дирак /Ч-Ъ! счел естественным разделить гамильтониан на две части - главную и поправочную, причем при получении главной принималось ж ПР°~ изводилось вычитание поверхностного интеграла по бесконечно удаленной сфере, так что

Ни^гЛ^рГ-^) + В+ св.3) гДе / ^

Дирак писал "Отбрасывание этого поверхностного интеграла не влияет на способность Нис^н давать уравнение движения, но приводит к тому, что ¡-¡члцЯц не исчезает в слабом смысле". Поверхностный интеграл имеет вид

5 1 ъ . (В.4)

Главный гамильтониан Дирак предлагает дополнять линейной комбинацией связей для того,чтобы генерировать произвольные деформации гиперповерхности состояния. Уменьшение числа произвольных функций (или их полное исключение) достигается при наложении калибровочных условий, рассматриваемом в

Такой спооэ б получения ненулевого гамильтониана ОТО был расценен в работе АДМ ^^ как "логически несовершенный": "Хотя при частном выборе дивергенции, который делает Дирак, редуцированный гамильтониан дает правильные уравнения движения в линейном приближении, не дано никакого общего доказательства, что в этом отношении все будет верно и в полной теории". Впоследствии в работе Редае и Тейтельбойма было сказано: "В процедуре Дирака кажется, что включение или отбрасывание поверхностного члена Е^жш лю^ого другого поверхностного члена) есть дело вкуса. Однако, конечный результат оказывается критически зависящим от включения поверхностного члена".

АДЛ в своей формулировке гамильтонова формализма ОТО подчеркивали аналогию с параметризованной формой механики (и теории поля). Обычный вид действия для механической системы с /V степенями свободы

• Ц*' (В'6) 4ои > # = -д > приводится к параметризованной форме введением новой степени свободы

А/Н ^.7) и нового временного параметра ТГ , так что ^- (в.8)

Однако, в таком виде действие приводит к неэквивалентным исходным уравнениям движения и поэтому необходимо добавить к лагранжиану связь

Я* рт+(В.9) с некоторым лагранжевым множителем ¡V св.ю)

Поскольку действие, полученное в канонической форме ОТО

3 =(вли имеет подобный же вид, то в работах АДМ и процедура перехода к ненулевому гамильтониану предлагалась аналогичной параметризованной форме механики. Именно, требовалось построить из канонических переменных время и координаты, с тем чтобы сопряженные переменные считать энергией и импульсом. По предположению АДМ, эта проблема решается путем "калибровочного" преобразования к выделенной системе координат, где все переменные являются каноническими (то есть остаются 2 физические степени свободы на точку пространства). Эта идеология близка, как отмечали АДМ работам В.А.Фока /19,20/^ где делался уд0р на предпочтительную гармоническую систему координат.

Все дальнейшее развитие теории не подтвердило выделенности гармонической системы среди прочих координатных систем. Эта калибровка является только одной из бесконечного числа возможных, также как "калибровка излучения" АДМ» или условия Дирака.

Невозможность построить 4 координаты)(° ,)(1 из канонических

• * переменных ^ , в случае асимптотически плоского пространства-времени следует из наличия условий на бесконечности

- , . св.12)

При этом допустимыми оказываются только те преобразования координат, которыми асимптотики (В.12) сохраняются, то есть, убывающие на бесконечности.

Дело несколько затемняется тем, что АДМ в большинстве случаев говорят о "соответствующих граничных значениях" обратного лапласиана, не выписывая их явно. В частности, сопоставляя условия из (АДМ-разложение подробно обсуждается ниже в § 3 главы П) / -г х Ж ' ' (в. 13) мы видим, что в данном случае -Л * ® т0 же вРемя ДОЯ пространственных координат имеем А^О, СВ.14) то есть х1 •

Таким образом, калибровки АДМ

-йр-О (В. 15) и "соответствующие граничные значения" обратного лапласиана Ус это, вообще говоря, разные вещи. Последние отнюдь не являются функционалами от канонических переменных, а строятся из первоначальных координат, имеющих смысл до наложения каких бы то ни было калибровок. тт

АЩ утверждают, что истинные канонические переменные^,- , Ж'У^могут после наложения калибровочных условии (В.13-В.14) быть представлены как функционалы от новых пространственно-вре

7 Т Л менных координат » •

На самом деле, речь идет просто об исключении "лишних" переменных жЦ[Тж продолжении старых координат^ , X1 с бесконечности на все пространство-время.

Картина несколько проясняется в последующих работах АДМ то/ где признается, что "все координаты сводятся к обычным на бесконечности, оставляя свободу делать преобразования -типа во внутренней области". В работах /14,16/ отмечалось так же, что выражение для "АДМ-энергии" оказывается независящим от выбора калибровки. Это не могло бы иметь места при правильности идеологии АДМ, так как, выбирая в качестве времени другую комбинацию канонических переменных мы получили бы и другое значение "энергии".

Математические доказательства, приводимые АДА в поддержку своей аргументащи, ташке являются некорректными. Например, выражение для производящей функции подстановкой ортогональных разложений с^^ ,Ц[У приводится к виду

Г' ^ЧР7]- (В.19) причем сказано, что "при получении этой формы мы свободно интегрировали по частям и опускали как поверхностные члены так и тт/ полные вариации ' ' » При корректном интегрировании получаем, в частности, что

После учета калибровки (В.13) левая часть (В.20) обращается в нуль, а в правой части первое слагаемое есть, согласно (В.17),

Однако, отброшенные АДМ поверхностные члены равны в точности , то есть полностью компенсируют желаемый ответ.

Другой пример математической некорректности имеется в Приложении В к работе где предлагается решать уравнения

-¿ЭГт=ХеЬЫг> св.21) для о(>0\ а затем совершить предельный переходе/—>О . Легко видеть, что это означает совершение скачка от одних граничных условии обратного оператора Лапласа к другим. Например, в первом случае (В.21)

ПРИ Ы>° (В.22) при cL-z.0

Предельный переход, таким образом, предлагается производить при отсутствии непрерывности.

Швингер в своей статье в основном, повторяет рассуждения AM, используя аналогичное ортогональное разложение, причем выводы делаются "при условиях, когда правомерно интегрирование по частям". Как мы выше показали, в асимптотически плоском пространстве-времени, заданном при помощи (В.12), эти условия не выполняются. Интегрирование по частям оказывается, справедливым только в замкнутых пространствах, куда и должна быть отнесена идеология АЩ

В статье 1967 года ПОСВЯщенной вопросам канонического квантования ОТО, де Витт при рассмотрении роли поверхностных интегралов следовал, в основном, линии рассуждений Дирака. Было отмечено, что в связи линейным образом входят вторые производные, которые обычно исключаются интегрировннием по частям. Де Витт писал: ". хотя такое интегрирование по частям -оставляет динамические уравнения неизменными, оно изменяет определение энергии".

Из вышесказанного мы видим, что Дирак и де Витт ^^ обосновывают вычитание поверхностных членов из гамильтониана сравнением с линеаризованной теорией, а AM и Швин

21/ гер ' ' - аналогией с параметризованной формой механики, которая оказывается в случае асимптотически плоского пространства-времени неприменимой. Поэтому, можно согласиться с высказанной Редже и Тейтельбоймом /18/' °Ченкой этих подходов ^проблеме по

- 12 верхностных интегралов как "апологетических".

Более точная аргументация была найдена в 1959 г. Хиггсом. В заметке указывалось, что наложение связей эквивалентно инвариантности состояний Ц* относительно локализованных преобразований координат на гиперповерхности, так что

В.23)

25/ а не любых, как считалось в более ранней работе ' ' . Это следует из соотношений ау-гь« * - г поскольку" тогда справедлива формула

-фх аЪ;%<к)Ч'-¿фвг. аЪуьайЧ&Р, св.25) и для инвариантности ^ необходимо как й>Р=о, ®'26) так и

4 (В.27)

Таким образом, было замечено, что асимптотические координаты играют особую роль для открытых пространств.

Работа оставалась в тени в течение 15 лет до появления статьи Редже-Тейтельбойма Рассмотрим принципиальные особенности нового подхода, предложенного в используя также последующие работы /26-28/^

- 13

Обычно предполагается, что изменение действия на поверхностный член не меняет уравнений движения. Зто оправдывается тем, что вариации полей могут быть приняты равными нулю на границе области интегрирования. Вариационный принцип, развитый в учитывает неограниченность области интегрирования, совпадающей со всем пространством, и медленное убывание варьируемых функций (как ЧГ^ или ). Вследствие этого, вклад некоторых дивергенциальных членов в гамильтониан оказывается отличным от нуля.

Вариация гамильтониана (В.1) в самом общем случае имеет вид

В.28)

Если принять для вариаций , ^^ ту же асимптотику, которая задается (В. 12) для^-¡"у* и соответственно, то величины поверхностных интегралов при варьировании могут изменяться.

Если же рассматривать лишь быстро убывающие пробные функции ^^¡¿(К) » ^^(/С) , то поверхностные интегралы на пространственной бесконечности пропадают.

Таким образом, возможно два вариационных принципа: обычный - с заведомо быстро убывающими пробными функциями и новый, допускающий все пробные функции, которые не нарушают асимптотических условий (В. 12). Приняв второй из них, как это было сделано в /18//, уже нельзя утверждать, будто добавление поверхностных членов к действию не влияет на получение уравнений движения. Этот вариационный принцип позволяет находить поверхностные интегралы в гамильтониане, в то время как.в обычном подходе они остаются неопределенными. Идеология находит поддержку после редукции, то есть наложения калибровок, замены скобок Цуассона на скобки Дирака и принятия связей равными нулю "в сильном смысле". После редукции "дивергенции перестают быть дивергенциями", по выражению АДА. Исключив все зависимые переменные мы получим нелокальную зависимость , от новых

77* Л'тт* независимых переменных (у АД/1 - ^ и Цр* 1' ). Следовательно, варьирование этих новых переменных в конечной области может приводить к изменению асимптотически главных членов порядка

Ч и 2~ в , ЯГУ на бесконечности. Это изменяет поверхностные интегралы, а значит, и действие в целом. Если же зафиксировать члены порядка * и £ л в , Ш'У , .то это приведет к дополнительным связям на независимые переменные »уменьшая тем самым число степеней свободы. Поэтому, считая, что гамильтониан должен принимать одни и те же значения до и после редукции, надо пользоваться подходом работы /-^Л Тогда "мы видим, что поверхностный интеграл должен быть включен в гамильтониан с самого начала по фундаментальным причинам, а не по каким-либо апологетическим соображениям" /-^Л Переопределенный гамильтониан принимает вид = /№/(Ц%+ )/х -/^¿М,' , «.29) так что его численное значение совпадет с "АД& - энергией", а также с результатами работ /8»9»21,23/ ПрИ уСЛОВИЯХ (в.12) на бесконечности.

Редже и Тейтельбойм в ^^ доказали впервые возможность генерации гамильтонианом инфинитезимальных преобразований группы Пуанкаре. При этол/1 пришлось уточнить условия на бесконечности

-о^исгесх

3(1 = О~(Г*)+0*(ъ-у, приняв разное поведение для четных и нечетных по отношению к пространственной инверсии частей функций. Параметры, соответствующие преобразования!/! Пуанкаре, являются главными асимптотическими членами в /У(у) и /\[ ()() 0-(?°)+ 0+(1-2 А\=-А\ ,(В'31)

Обобщенный гамильтониан в этом случае дается формулой где рм фЛл' Р'= ,

Справедливость алгебры Пуанкаре для генераторов следует из полученного в соотношения для скобок Пуассона и \1 , & и удовлетворяют условиям (В.31). / ' /то/

В результате проделанного в ' ' анализа стало ясно, что в пределах фазового пространства, заданного переменными^- , удовлетворяющими (В. 12), нельзя построить сопряженных к энергии-импульсу-АДУГ величин. Такое построение возможно только в расширенном фазовом пространстве, где взаимно сопряженными являются 10 параметров асимптотически главных частей л/ж № : Д , А*е> , V , И 10 генераторов О1' ,ра , к.

4 . Калибровки, рассматриваемые АДМ, относятся к исходному фазовому пространству (^у , и никак не затрагивают новые асимптотические переменные.

В дальнейшем подход, развитый в работе применялся к ряду различных задач: рассмотрению сферически симметричных конфигураций гравитационного, калибровочного и хиггсовского полей /26,27/^ супергравитации /28/^ используя терминологию этих работ преобразования Пуанкаре можно назвать "несобственными". "Собственными" в называются преобразования, соответствующие функциям т и щк) , принадлежащим пространству, дуальному к пространству функций и . Дяя "собственных" преобразований поверхностные интегралы в (В.32) исчезают. Согласно /2?/, "инвариантность теории относительно собственных калибровочных преобразований связана с сохранением во времени выполнения уравнений связи теории, тогда как инвариантность при несобственных преобразованиях ведет к нетривиальным законам сохранения. Соответствующие сохраняющиеся величины даются поверхностными интегралами". "Несобственные" преобразования не являются вполне произвольными, от них требуется сохранение граничных условий.

Утверждение о дуальном пространстве нуждается в уточнении. Речь может идти лишь о формальном критерии сходимости интегра не учитывающем возможность интегрировать по частям. Применительно к асимптотически плоскому пространству в диссертации преобразования будут классифицированы на основе группового подхода.

- 17

Выше мы рассмотрели в историческом плане основные результаты, полученные до последнего времени в гамильтоновом формализме ОТО для асимптотически плоских пространств. Логически и математически последовательным является только подход Редже-Тейтель-бойма. В качестве определения асимптотической плоскости всюду принимались условия (В.12) или (В.30), вследствие чего область применимости подхода, развитого в была ограничена неинвариантными асимптотическими условиями. Ограничения были наложены на форму гиперповерхности состояния (она должна быть асимптотически плоской), систему координат на гиперповерхности (должна быть асимптотически декартовой, сферические координаты использовались в /26,27/ только для СТрого сферически симметричных конфигураций) и на скорость стремления к асимптотическим значениям. Полученные выражения для численных значений генераторов группы Пуанкаре (В.32) также не инвариантны по отношению к произвольным преобразованиям координат на гиперповерхности. Как было показано в работах /3>29-31/^ эти Прео<5разоваШ1Я позволяют произвольно изменять, например величину Е ("ДЩ-энергию"). Поэтому доказательства положительности "АДМ-энергии" /32-37/^ использующие те же неинвариантные асимптотические условия (В.22), иногда, вместе с дополнительный® ограничениями для высших производных, конечно, не решили проблему энерши-импульса в ОТО, как это утверждалось в Таким образом, основной недостаток постановки задачи, использующей "наивные" (по выражению Л.Д. Фадцеева /^/) граничные условия (В.12), состоит в невозможности провести-различие между истинными тензорными величинами, преобразующимися по тензорному закону при общих преобразованиях координат, и аффинными тензорами. Уместно отметить, что по аналогичному поводу в статье Эйнштейн писал: ". такие граничные условия предполагают определенный выбор системы отсчета, что несовместимо с духом принципа относительности".

Одним из основных результатов настоящей диссертации является постановка граничных условий для асимптотически плоского пространства координатно-независимым образом. При этих условиях действуя в духе подхода Редже-Тейтельбойма удается построить гамильтонов формализм с поверхностными членами, удовлетворяющий требованию ковариантности относительно группы Пуанкаре. Численные значения генераторов при этом определяются однозначно для решений уравнений связи., Следует отметить, что неоднократно предпринимались попытки дать ковариантное обобщение выражений для "АДМ-энергии" и других генераторов группы Пуанкаре. Ниже мы рассмотрим ряд работ в этом направлении с целью сравнения их с нашим подходом.

В статье Комара (1959 г.) было предложено использовать 4-вектор с тождественно равной нулю дивергенцией

СБ.34) в качестве исходной величины для получения интегралов движения. В асимптотически галилеевской системе координат при выборе 8о интегральная величина св.® совпала с шварцшильдовской массой. По этому поводу Комар пишет "Так как строгие трансляции не образуют инвариантной подгруппы группы общекоординатных преобразований, идентификация любых величин Р как энергии и импульса должна производитьоя отдельно в каждой координатной системе. Возможно окажется осуществимым разбить векторные поля на классы эквивалентности и идентифицировать соответствующие классы с энергией и импульсом. Однако эти исследования еще находятся на ранней стадии". В работе Мурчадхи и Йорка предлагалось разбивать метрическии тензор гиперповерхности (^у на две части где - плоская метрика, Ьу->0 на бесконечности. После этого Ьу подвергается ковариантному ортогональному разложению

4 = % + + 3 (В. 37) тТ ПК i - г з где hy - поперечно-бееследовая часть,

Lwjv = УсЦ+Щ-i^V,. И/* продольно-беооледо-вая, pi^ h¡¿4^ » ~ ковариантная производная по отношению к плоской метрике . Тогда утверждается, что энергия есть просто коэффициент при в разложении скаляра h-J2Ц^ И/*^ Выполняя преобразование координат, приводящее плоскую метрику к виду iij-ïy + СВ.38) и преобразуя при этом L-- как тензор, Мурчадха и Йорк получают о согласие с формулой AM (В. 17) и делают вывод, что в произвольных координатах обобщенное выражение для Е должно иметь вид

В.39)

Нетрудно заметить, что все приведенные утверждения справедливы только в линеаризованной теории. Taie например, если ^ - плос

- 20 кая метрика, то из (В.38) уже не будет плоской, так как не включает квадратичных членов преобразования координат. Точно также не является скаляром при общих координатных преобразованиях. Рассуждения работы поэтому, носят формальный характер и не подкрепляются никакими конкретными оценками области их применимости.

В статье Абботта и Дезера ^^ метрический тензор пространства-времени разбивается на две части -+ ¿V, СВ.40) так что - решение уравнений ОТО, обладающее векторами Кил-линга, а у? ,->о на бесконечности. В частном случае асимптотически плоского пространства-времени, который нас интересует, ^- плоская метрика, то есть, ее тензор Еимана равен нулю. Эта фоновая метрика имеет 10 линейно-независшнх векторов Киллинга, удовлетворяющих уравнению где оЬ^ - ковариантная производная по отношению к .

Плотность "тензора энергии-импульса гравитационного поля" определяется формулой т< г- св.42) и удовлетворяет (для решений уравнений ОТО) закону сохранения

В.43)

Здесь ь и ^ означают линеаризованные по ^ ^ выражения

Г'«* .

Используя определение вектора Киллинга (В.41) и симметричность / , получаем

В.44)

Интегрирование этого соотношения по всему пространству приводит к формуле й]т°*Ъ Л = -§т% л. (в.45)

Далее "если 1[ $ исчезает достаточно быстро на пространственной бесконечности, тогда, как обычно, мы получаем, что

В.46) не зависит от времени. Таким образом, с каждым вектором Киллин-га ассоциирована сохраняющаяся величина, определенная как

Если - времениподобный вектор, эта величина есть как раз то, что мы называем энергией Киллинга".

Ясно, что ключевым моментом, позволяющим получить "тензор-энергии-импульса", является введение фоновой плоской метрики. В более ранней работе Персидеса ^^"тензор энергии-импульса" строится аналогичным образом, но более точно называется комплексом Ландау - Лифшица св.48) где - физическая, а ¡^^ - фоновая метрика,^ и ^ - детерми соответс,гвенно' Вторая метрика ¡^^ "должна нанты с/ , и пониматься как инструмент для вычислений и не имеет физического смысла. Таким образом, существование двух метрик не означает возврата к двуметрической теории гравитации" ^ таком подходе "нет ковариантных условий для единственного и полного определения жъ^^ . Следовательно, энергия-импульс пространства-времени остается нелокализованной".

Однако, если Персидес в ^^ доказывает единственность интегральных величин, получаемых в специальной системе координат на световой бесконечности, то Абботт и Дезер ^^ проблему единственности даже не рассматривают. Покажем, что требования исчезновения интеграла^ У1 на пространственной бесконечности для времениподобного вектора трансляции Я) достаточно для однозначного определения величины Е(^) . Примем за исходную метрику Шварцшильда в виде - (<- Чг)\ д.<=о, (в49) & (и Ъ/4т)\ тогда разбиение (В.40) при^р^ - ^^ , у ~ (1,0,0,0) дает

В то же время, выбирая фоновую плоскую метрику в виде

В. 50) где £>0; мы по-прежнему имеем г*О на бесконечности и для любого £ >0 . Но при (Х£< £ интеграл у^ расходится, а при изменяется на конечную величину. В частности, если принять, следуя ^^ получаем

Е (В.53)

Таким образом, определение Абботта - Дезера ^^ приводит к неоднозначности численного значения "энергии Киллинга".

В более поздней статье представляющей собой обзорный доклад, Дезер вносит в определение "энергии Киллинга" некоторые коррективы. Во-первых, трейуется убывание ^ как Г1, во-вторых, утверждается справедливость соотношения

В.54)

Однако, ссылка на исходные работы АДМ как на дающие координатно-инвариантное разбиение метрики 40) не обоснована, поскольку, как мы видели выше, там рассматривались только нековариантные условия (В.12). Что касается алгебры Пуанкаре (В. 54), то в таком виде она до сих пор нигде не была доказана.

В диссертации при ковариантных асимптотических условиях будет доказано соотношение (В.33), которое после наложения калибровочных условий и редукции имеет вид, сходный с (В.54).

В работе Нестера ^^ предлагается формула для"4-вектора энергии-импульса" асимптотически плоского пространства-времени

4Стгкрл и*=-]>их 4Гцз , (в.55) где лГ^р ~ Г/р ~~¡Яр разность двух связностей.

Нестер принимает условие называя эту величину "асимптотическим тензором". Ясно, однако, что такое условие, наложенное на компоненты тензора Л , при переходе от асимптотически декартовых координат к произвольным не выполняется и поэтому не является ковариантным. Критерий разбиения (В.40) должен быть сформулирован независимо от системы координат, в диссертации это достигается при групповом подходе.

Аналогичная непоследовательность имеет место в методе Мел-лера (1964 г.), использующем тетрадный формализм. Согласно "вектор энергии-импульса" имеет вид

P^-H^dStí, (В. 57) где

Нее > h ¿ =¿f<'tc , здесь с , /С, е = 1,2,3,4.

Поле тетрад строится следующим образом: "В случае островной системы мы можем взять асимптотически лоренцеву систему координат, в которой стремится к по мере пространственного удаления от системы. Для тетрад мы будем тогда требовать асимптотического стремления к постоянным значениям

7. (В. 58)

Естественно потребовать для граничных условий, чтобы разность у\ • - 0¿ стремилась к нулю на бесконечности таким же образом, как и~ . Во всех других отношениях выбор тетрадного поля вполне произволен, разумеется, при условии, что не нарушается соотношение Ьса)К.~ '(

Приведенная нами выше оценка, данная в /^9/ Комаром формулам (В.34-В.35), целиком относится и к (В.57).

В работе Реулы ^^ недавно было предложено новое определение асимптотически плоских начальных данных (3, , ) для уравнений Эйнштейна, где 3- 3-х мерное многообразие без границы, А»* - метрика сигнатуры (-,-,-), - симметричное тензорное поле второго ранга.

Определение: начальные данные (3, , «¡¡Г* ) называются асимптотически плоскими, если

I. Существует плоская метрика ^^ на , где/^- компактное множество, так что для некоторогоС>0 и любого вектора С* и ^ай) состоит из конечного числа связных компонент, каждая из которых изометрична евклидову пространству с выброшенным шаром. г. ¡УЛ*!, зг*ЬгЛ4, ^ъСЧ+^Ьи-яу, являются интегрируемыми. Здесь ]/« обозначает ковариантную производную на ( 3 ,

- ковариантная производная на (3 , А^). Для оп-редения"энергии-импульса"в ^^ служит о>6ъемный интеграл с заведомо неотрицательным при ^^^¿Г/^ подынтегральным выражением, в котором используется вспомогательное спинорное поле. Существование и единственность этого спинорного поля доказывается для определенных выше асимптотически плоских начальных данных. Реула дает следующее резюме /^7/. "т|Т0(зы определить полную энергию-импульс изолированной системы обычно исходят из очень небольшого класса начальных данных, для которого легко получить выражения для/Г и Ра и представить физическую аргументацию (как существование законов сохранения или канонического формализма), оправдывающую эти выражения. Определение затем подтверждается в приближении слабого поля или применением к точным решениям. После этого определение распространяется на все системы, для которых эти выражения имеют смысл (то есть дают конечные значения для£Ги Ра ). Но теперь мы имеем объемный интеграл с положительно определенным подынтегральным выражением, который, согласно аргументам Виттена, при соответствующих граничных условиях дает тот же ответ для и , что и АДМ - выражения. Но по настоящей теореме существования объемный интеграл имеет смысл при более слабых граничных условиях. Это наводит на мысль, что энергия и импульс и определяется этим объемным интегралом. Таким образом, этим определением мы расширяем, в некотором смысле максимально»класс начальных данных, допускающих конечную полную энергию и импульс".

Подведем итоги нашего рассмотрения. В ряде работ /40-42/ получены ковариантные формулы (В.35), (В.39) и (В.47), призван^ ные обобщить понятие "энергии-импульса АДМ", без строгого установления области их применимости, в результате эти формулы оказываются неоднозначными. В других работах /44-46/ уСЛ0ШЯ на бесконечности ставятся только в специальных системах координат, что не позволяет считать эти подходы последовательно ковариант-ными. Здесь мы имеем дело лишь с попыткой ковариантной экстраполяции формул. Серьезно аргументированной является статья Реу-лы /4?/, где дается новое и весила общее определение асимптотически плоских начальных данных последовательно ковариантным относительно выбора системы координат на гиперповерхности образом.

Это позволяет с помощью вспомогательного спинорного поля ввести величину, которая определяется единственно, обладает положительной определенностью и совпадает при асимптотически условиях (В. 12) с "энершей-импульсом А ДМ".

Однако, в как ж в наст0ящей диссертации, результаты получены только для состояний, заданных на асимптотически плоских гиперповерхностях, причем наложены ограничения на скорость стремления кривизны гиперповерхности к нулю.

В также не рассматривался гамилътонов формализм, и поэтому, открытым остается вопрос о том, являются ли введенные там величины численными значениями генераторов трансляций. То же самое можно сказать о работах /48-51/^ где НОвые определения сохраняющихся величин даются не путем введения новых полей на старом многообразии, а путем введения нового многообразия (компактификации).

По поводу часто встречающегося стремления связать какую-либо из вышеупомянутых работ с решением проблемы энергии-импульса в ОТО можно сказать следующее. Проблема энергии-импульса в ОТО имеет длинную историю. Множество подходов, изобретательно развитых выдающимися учеными, впоследствии не выдерживало строгой критики. С нашей точки зрения, все рассмотрения, использующие понятие закона сохранения энергии-импульса в ОТО в конечном счете окажутся привнесенными извне и возникшими лишь в. силу привычных форм мышления.

В настоящей диссертации найдены инвариантные относительно выбора системы координат на гиперповерхности асимптотические условия, достаточные для реализации в каноническом формализме ОТО алгебры генераторов группы Пуанкаре. Сравнение показывает, что условия, принятые в работе ^^ для этой цели являются слишком слабыми. Последние, тем не менее, достаточны для существования генераторов трансляций.

В диссертации канонический формализм ОТО для асимптотически плоского пространства-времени рассматривается с применением двух различных подходов: построением алгебры генераторов с поверхностными членами и методами теоремы Нетер.

В первой главе получен общий вид скобок Пуассона связей с учетом всех могущих возникнуть поверхностных членов.

Показано, что в общем случае не удается построить алгебры генераторов с поверхностными членами. Однако, для пространства Минковского и состояний, заданных на пространственноподобных гиперплоскостях можно замкнуть алгебру связей, если выбирать параметры инфинитезимальных преобразований соответствующими асимптотической группе Пуанкаре. Она имеет структуру полупрямого произведения группы Пуанкаре на бесконечную группу координатных преобразований, определенным образом убывающих на бесконечности.

Во второй главе рассматривается более общий случай асимптотически плоского пространства-времени.

При выборе параметров из алгебры группы Пуанкаре, сохраняющей некоторую "фоновую" плоскую метрику, производится разложение по степеням отклонения от нее реальной метрики гиперповерхности. Показывается, что члены нулевого порядка обращаются в нуль, линейные имеют вид, необходимый для замыкания алгебры генераторов, а члены высших порядков нарушают алгебраическую структуру.

На этом основании строится фазовое пространство, допускающее реализацию алгебры генераторов группы Пуанкаре. Асимптотически плоские начальные данные определяются как принадлежащие этому фазовому пространству.

Асимптотически плоское пространство-время определяется как содержащее семейство гиперповерхностей с асимптотически плоскими начальными данными, так что преобразования группы Пуанкаре, соответствующей "фоновой" плоской метрике, переводят их друг в друга.

Доказывается, что в этом случае применим вариационный принцип Редже-Теительбойма и генераторы с линеаризованными поверхностными членами образуют алгебру. Эти генераторы реализуют представление алгебры асимптотической группы Пуанкаре, введенной в главе I для пространства Минковского. Показано,- что, хотя "фоновая" плоская метрика определяется неоднозначно, численные значения генераторов на решениях уравнений связи не зависят от ее выбора.

В случае декартовой системы координат на бесконечности показано, что нашему определению асимптотической плоскости соответствует некоторое обобщение условий работы

Дается рецепт применения АДМ - разложения при медленно убывающих преобразованиях координат и времени для перехода на "хорошую" гиперповерхность и для выбора "хорошей" плоской "фоновой" метрики (то есть, удовлетворяющих нашему определению асимптотической плоскости).

В третьей главе к гамильтонову формализму ОТО применяется инфинитезимальный метод анализа инвариантной вариационной задачи, восходящий к работам Э.Нётер и Ф.Клейна /52,53/^ получены тождества, связывающие лагравжевы производные от действия с ди-вергенциальными членами (I теорема Нётер), тождества для самих лагранжевых производных (П теорема Нётер) и тождества для дивергенциальных выражений (несобственный закон сохранения). Проводится сравнение с результатами общековариантного лагранжева формализма.

Глобальное рассмотрение инвариантной вариационной задачи означает учет граничных условий на бесконечности. При условии асимптотической плоскости пространства-времени из теоремы Нё-тер получены генераторы асимптотической группы Пуанкаре, которые совпадают с найденными в главе П.

Обсуждается вопрос о выборе поверхностных членов в дейст-. вии ОТО. Показана ошибочность утверждения о том, что единственно допустимой плотностью лагранжиана является для асимптотически плоского пространства-времени плотность без вторых производных.

В приложении дается сводка используемых обозначений, а также сводка определений и теорем, позволяющих с большей математической строгостью формулировать некоторые результаты.

Эти выводы следуют из того, что выделением производных по времени из (3.43) получаем в интегралах по^(ЪО.]^ выражения с асимптотикой 0~(ъ^)*О^Ъ1'^)-ЬО^4'^] , а умножение их на р дает 0+(г"^0Ч^НЯ^МРУ Поскольку для ? , ¿Г справедливы неравенства из (3.36), все интегралы оказываются равными нулю и вклад дают только линейные члены, причем он полностью сводится к интегралу по 'д(ЪО)^ . Из (3.41) получаем

•() -6( (3.45)

При сложении (3.45) и (3.46) члены, не являющиеся полными производными по времени, сокращаются друг с другом и, таким образом, Щ

Воспользовавшись (3.44), получаем общую формулу для вариации действия причем

3.49) где задаются формулами (2.8), а

Численные значения генератора на решениях уравнений связи совпадают с полученными в главе П и поэтому, в силу ранее доказанного, конечны и не зависят от преобразований из(^г . При рассмотрении использовались асимптотически декартовы координаты, но линеаризация может быть проведена и в других системах координат на гиперповерхности.

Гамильтониан в обычном смысле, то есть генератор трансляций по времени, имеет вид и-(3.51)

Нетрудно заметить, что обычное преобразование Лежандра определяет его лишь с точностью до поверхностных членов. Ведь действие .(3.4) при условии (3.36) содержит поверхностные члены

- <2М31с1с)А> (3.52) которые необходимы для инвариантности при преобразованиях (3.2). Вариация этих членов при произвольном преобразовании координат, удовлетворяющем (2.17), будет иметь вид хЛ^/Д Л/^ (3.53) я следовательно, при произвольных отлична от нуля.

Эта вариация обратится в нуль только для более узкого класса преобразований . Член можно интерпретировать как производящую функцию канонического преобразования, меняющего местами координаты и импульсы

3.54)

Этот член, если не учитывать уравнения движения, является единственным потенциально расходящимся при условиях (В. 12) или (В.30). Преобразование Лежандра

Л./(Л/Ж^М^Л , (3.55) таким образом, не дает нам правильного гамильтониана, причем /^^^/Г/^у-^^А' (3.56) даже при учете уравнений связи.

Другой заслуживающий упоминания результат состоит в том, что Л. (3-57>

Он, однако, не должен никого удивлять, поскольку псевдотензор в ОТО не имеет физического смысла. Выше мы уже пришли к выводу, что все псевдотензоры эквивалентны с точки зрения получения из них интегральных соотношений в силу (3,21). Концепция псевдотензора в глобальном подходе является излишней, важен лишь вид целом.

Из всего содержания настоящей главы видно, что действие Гильберта (3.1) является инвариантным при общих преобразованиях координат и, в частности, в случае асимптотически плоского пространства-времени (3.36) при преобразованиях асимптотической группы Пуанкаре. В этом случае предложенный Нет ер ^^ метод исследования инвариантной вариационной задачи, дополненный учетом асимптотических условий, приводит к нахождению генераторов асимптотической группы Пуанкаре. На решениях уравнений связи численные значения генераторов однозначно определены и выражаются поверхностными интегралами по бесконечно удаленной двумерной поверхности. Из этого ясно, что утверждение обзора о неинвариантности действия Гильберта при преобразованиях группы Пуанкаре является неправильным.

Несомненно, что асимптотические условия Редже-Тейтельбойма (В.30) или более общие условия (2.7) не исключают возможной расходимости интеграла действия (3.1) вне экстремалей. Однако, это не является препятствием ни для получения из (3.1) уравнений движения, ни для применения метода Нётер. Расходимость при условиях (В.30) может возникнуть исключительно из-за нединамического вклада от производной по времени ^^Х • В работе приводится аргументация в пользу отбрасывания этого члена в лагранжиане для удобства перехода к гамильтонову формализму, поскольку именно в нем содержатся нежелательные переменные: первые производные по времени от /|/, и вторые от . Что касается пространственных дивергенций, то есть, вторых производных по пространственным координатам, то их присутствие,согласно не С03дает никаких затруднений.

Разумеется, как было сказано во Введении, использование вариационного принципа Редже-Тейт ельбойма приводит к исключению произвола в добавлении поверхностных членов. Однако в настоящей главе мы этим принципом не пользуемся, как не используется он и в /38/, где утверждается, что два действия, отличающиеся ни дивергенцию, дают одни и те же уравнения движения.

Дня сравнения продемонстрируем возможность глобального подхода в применении метода Нётер к электродинамике. Источником заряда пусть будет скалярное поле. Инвариантность рассматривается относительно калибровочных преобразований. Плотность лагранжиана

2. №- (3.58) где

Калибровочные преобразования р*-> Гег^ (р*- (р* (з.бо) ограничим требованием сохранения на бесконечности условий

4= о^+о-^), тогда должно быть с( сю ^Ы(ос)^ сг(ъ О^г ^Х О'С^Ь, (3.62)

Требование релятивистской инвариантности условий дает/£-<$}(<у. Требование включения решений уравнений связи: . Вариация действия, вызванная калибровочным преобразованием м «.63) содержит дивергенциальный член, который при , приводится к виду

3.64) Г в предположении быстрого убывания полей г » ^ . Здесь <в , (3.65) и интеграл берется по бесконечно удаленной поверхности.

Видно, что (3.49) и (3.64) имеют сходное строение. Генераторами "собственных" (в смысле преобразований являются связи, а "несобственных" - связи с добавлением поверхностных интегралов. Таким образом, изложенный в настоящей главе диссертации подход позволяет решать задачу нахождения генераторов неубывающих на бесконечности преобразований в различных теориях с медленным убыванием полей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая- диссертация посвящена инвариантному относительно выбора систем координат на пространственноподобных гиперповерхностях, в предположении их асимптотической плоскости, изучению асимптотически плоского пространства-времени в рамках канонического формализма ОТО. При этом используются два различных подхода: построение алгебры генераторов и применение метода

Нётер. Основное содержание диссертации опубликовано в работах /29,59,65,69/

Перечислим полученные результаты по главам.

Во Введении дается подробный обзор результатов, полученных в рамках гамильтонова формализма ОТО для асимптотически плоского пространства-времени. Рассматриваются также работы по ковариант-ному обобщению формул для генераторов трансляций в ОТО. Показано, что в ряде работ ковариантные формулы получены без строгого установления области их применимости, в результате чего они оказываются неоднозначными. Другие работы представляют собой лишь попытку ковариантной экстраполяции формул, полученных при нековариантных граничных условиях. Это означает подмену доказательства ковариантности ее неявным постулированием. В работах, свободных от этих недостатков, не рассматривался гамильтонов формализм, и поэтому открытым остается вопрос, являются ли введенные там величины численными значениями генераторов трансляций.

В ряде рассматриваемых во Введении работ встречаются утверждения о том, что авторами решается проблема энергии-импульса в ОТО. Однако следует заметить, что подобные утверждения являются зачастую безосновательными и не выдерживают строгой критики. Как было показано в работах А.А.Логунова с сотрудниками в рамках ОТО решение этой проблемы в приципе отсутствует.

В I главе на примере пространства Минковского производится построение в гамильтоновом формализме ОТО алгебры генераторов преобразований, отличных от нуля на границе рассматриваемой области.

Сначала выводятся общие формулы (1.16) для скобок Дуассона (Но(ЬЮ) //о (^рО]^ (не принимая пока в расчет вариационного принципа), которые не зависят от добавления к Ло каких-либо поверхностных интегралов. Эти выражения инвариантны относительно произвольных преобразований координат на гиперповерхности. Из их явного вида следует, что в общем случае никаким выбором поверхностных членов нельзя добиться выполнения алгебры (1.2), имеющей место для преобразований, не затрагивающих границу.

Затем рассматривается случай, когда исходным состоянием является произвольная конечная часть гиперплоскости в пространстве Минковского. Доказано, что здесь алгебра возникает тогда и только тогда, когда преобразования на границе принадлежат группе Пуанкаре (1.19).

Наконец, для бесконечной области интегрирования, то есть, для всей гиперплоскости ищется группа преобразований^ таких, которые не изменяли бы поверхностных интегралов в (1.16) в силу асимптотического поведения, и в то же время^ была бы инвариантна относительно преобразований группы Пуанкаре^ , не имея с ней нетривиальных общих элементов. Доказано, что в асимптотически декартовых координатах такая группа (ть задается условиями (1.28) - (1.30) на бесконечности. Тогда асимптотическая группа БуанкареОг , инфинитезимальные преобразования которой генерируются генераторами гамильтонова формализма, имеет структуру полупрямого произведения = Q, ©G-рИ . Показано, что в силу инвариантности поверхностных интегралов в (I.I6) алгебра группы может быть реализована в любой системе пространственных координат на гиперповерхности.

Во П главе делается переход к общему случаю пространства-времени асимптотически плоского на пространственной бесконечности .

Вначале производится разложение подынтегральных выражений в поверхностных интегралах (X. 16) по степеням отклонения от некоторой плоской "фоновой" метрики hy при параметрах J $ yß » /1 1 > соответствующих (I.I9) группе Пуанкаре для hg . Доказано, что члены нулевого порядка по » при этом исчезают, а линейные выражения, в отличие от членов более высоких порядков, шлеют вид, необходимый для существования алгебры.

Далее предлагаются новые, инвариантные относительно преобразований координат на гиперповерхности, определения .асимптотически плоских начальных данных Cjy, (Определение I) и асимптотически плоского пространства-времени (Определение 2), основанные на возможности реализации группы Пуанкаре, соответствующей хотя бы одной плоской "фоновой" метрике hy . Для пространства-времени, удовлетворяющего Определению 2 доказаны следующие предложения:

I. В асимптотически декартовых координатах должны выполняться условия (2.7), обобщающие полученные ранее в работах /18,6V

- 87

2. Группой инвариантности асимптотических условий (2.7) является введенная в I главе асимптотическая группа Пуанкаре^-.

3. Генераторы с поверхностными членами (2.6) удовлетворяют вариационному принципу Редже-Тейтельбойма

4. На решениях уравнений связи генераторы // и их скобки Пуассона инвариантны относительно преобразований группы (¿^ . ^

5. Численные значения генераторов // (^У) на решениях уравнений связи определяются однозначно.

Затем делается сравнение полученных результатов с результатами других работ, где рассматривалась группа Пуанкаре на пространственной бесконечности.

Наконец, в § 3 главы дается метод нахождения "фоновой" метрики ку при - О , то есть для асимптотически декартовой метрики . Метод состоит в применении АШ - разложения (2.29) к наиболее медленно убывающим линейным членам, после чего по ним восстанавливается и нелинейный вклад координатного преобразования.

Глава Ш посвящена изучению асимптотически плоского пространства-времени методами классической работы Э.Нётер

Сначала, исходя из гамильтоновой формы действия, были получены тождества, связывающие лагранжевы производные от действия с дивергенциальными членами (3.20) (I теорема Нётер), тождества для самих лагранжевых производных (3.25), (3.28), (3.29) (П теорема Нётер) и тождества для дивергенциальных выражений (3.30) (несобственный закон сохранения). Проведено сравнение с результатами общековариантного лагранжева формализма (3.33).

Затем делается переход к глобальному рассмотрению инвариантной вариационной задачи, когда область интегрирования представляет собой все пространство и конечный промежуток времени и учитываются граничные условия (2.7) на пространственной бесконечности. Показано, что поверхностный интеграл по части границы 4-мерной области 12 (рис. 2) (ъ£1)г, входящей в вариацию действия, не исчезает, а сводится к интегралу по границе самой (аС^, то есть, по В итоге из теоремы Нётер найдены генераторы асимптотической группы Пуанкаре (3.49), которые совпадают с найденными в главе П (2.8).

Обсувдается вопрос о выборе поверхностных членов в действии ОТО. Показано, что утверждение ^^ о том, что единственно допустимой плотностью лагранжиана является для асимптотически плоского пространства-времени плотность без вторых производных, неправильно.

В конце главы указывается, что предложенный глобальный подход в методе Нётер позволяет решать задачу нахождения генераторов неубывающих на бесконечности преобразований в различных теориях, где поля убывают медленно.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую и искреннюю благодарность всем тем, без чьего участия настоящая диссертация не была бы написана.

Постановкой задачи и постоянным вниманием к работе я глубоко обязан А.А.Логунову. Непосредственную помощь в решении научных и связанных с ними проблем мне оказывал мой научный руководитель Н.Е.Тюрин, которому я многим обязан. Неоценимую поддержку В течение длительного времени я получал от О.А.Хрусталева, затратившего много усилий и времени на введение меня в науку. Я признателен моим соавторш по первым публикациям А.В.Разумову и А.Ю. Таранову за терпение и помощь. Благодарю В.И.Денисова за все, чему мне удалось у него научиться.

Разумеется, эта диссертация, как и множество других, обязана своим появлением преподавателям кафедры Физики высоких энергий физфака МГУ, терпеливо вводившим нас в современную физику. Не могу не вспомнить, что первым знакомством с теоретической физикой я обязан покойному профессору Куйбышевского университета А.Д.Ершову, а выбором профессии - моим прекрасным школьным учителям А.С.Нагнибеде и К.В.Уставниковой.

Мне приятно выразить благодарность всем теоретикам ШВЭ, с которыми меня связывает повседневное общение и у кого я стараюсь постоянно учиться.

1. Newton 1. Ehilosophiae naturalis principia mathematica. London, 1687 ( Перевод: Собрание трудов академика А.Н.Крылова, т. 7, М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1936).

2. Hilbert D. Die Grundlagen der Physik. Gott. Nachr., Math.phys. Kl., 1915, Heft 3, s. 395 (Перевод:'Вариационные принципы механики. Сб. статей под ред. Полака Л.С. М.: Физматгиз, 1959, с. 589-598);

3. Dirac Р.А.М. On generalized Hamiltonian Dynamics. Canad. J. of Math., 1950, v.2, No.2, p. 129-148. (Перевод: Вариационные цринципы механики. Сб. статей под ред. Полака Л.С., М.: Физматгиз, 1959, с. 705-722).

4. Dirac Р.А.М. Generalized Hamiltonian dynamics Proc. Roy. Soc., 1958, A246, p. 326-332 (Перевод: Новейшие проблемы гравитации. Сб. статей под ред. Иваненко Д.Д., М.: ИЛ, 1961, с. 128-138).

5. Dirac Р.А.М. Lectures on Quantum Mechanics, Hew York? Yeshiva Univ., 1964. (Перевод: Дирак П. Лекции по квантовой механике. М.: Мир, 1968).

6. Dirac Р.А.М. The theory of gravitation in Hamiltonian form. Eroc. Roy.Soc., 1958, A246, p. 333-343

7. Перевод: Новейшие проблемы гравитации. Сб. статей под ред. Иваненко Д.Д., М.: ДО, 1961, с. 139-158).

8. Dirac Р.А.М. Fixation of coordinates in the Hamiltonian theory of gravitation. Phys.Rev., 1959, v.114, Ho.3, p. 924-930.

9. Dirac P.A.M. Energy of the gravitational field. Phys.Rev.1.tt., 1959, v.2, Ho.8, p. 368-371.

10. Arnowitt R., Deser S., Misner C.W. Dynamical structure and definition of energy in General Relativity. Phys.Rev., 1959, v. 116, Ho.5, p. 1322-1330.

11. Arnowitt R., Deser S., Misner C.W. Canonical variables for General Relativity. Phys.Rev., 1960, v.117, Ho.6, p. 15951602.

12. Arnowitt R., Deser S., Misner C.W. Consistency of the canonical reduction of General Relativity. J. Math.Phys., 1960, v. 1,№ 5, p. 434-439.

13. Arnowitt R., Deser S., Misner C.W. Heisenberg representation in classical General Relativity. Huovo Cim., 1961, v. 19, Ho.4, p. 668-681.

14. Arnowitt R., Deser S., Misner C.W. Energy and the criteria for radiation in General Relativity. Phys.Rev., 1960, v.118, Ho.4, p. 1100-1104.

15. Arnowitt R., Deser S., Misner C.W. Wave zone in General Relativity. Phys. Rev., 1961, v. 121, Ho.5, p. 1556-1566.

16. Arnowitt R., Deser S., Misner C.W. Coordinate invariance and energy expressions in General Relativity. Ehys.Rev., 1961, v. 122, Ho.3, p. 997-1006.

17. Лсяунов A.A., Фоломешкин B.H. Проблема энергш-импульса и теория гравитации. Т®, 1977, т.32, № 3, с. 291-325.

18. Regge Т., Teitelboim С. Role of surface integrals in the Hamiltonian formulation of General Relativity. Ann. Phys. (H.Y.), 1974, v.88, Ho.1, p. 286-318.19» Pock V. Three lectures on Relativity Theory. Rev.Mod.Phys., 1957, v. 29, Ho.3, p. 325-333.

19. Фок B.A. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Физматгиз, I960.

20. Schwinger J. Quantized gravitational field. Phys.Rev., 1963, v. 130, Ho.3, p. 1253-1258. (Перевод: Гравитация и топология.

21. Актуальные цроблемы.Сб. статей под.ред.Иваненко Д.Д.,Меф,1966.с.6783.

22. Hanson A.J., Regge Т., Teitelboim С. Constrained Hamiltonian systems. Roma: Accademia Hazionale dei Lincei, 1976, p. 1-117.

23. De Witt B.S. (Juantum theory of Gravity. I. The canonical theory. Phys.Rev., 1967, v. 160, Ho.5, p. 1113-1148.

24. Cordero P., Teitelboim C. Hamiltonian treatment of the spherically Symmetric Einstein-Yang-Mills system. Ann.Phys. (H.Y.). 1976, v. 100, Ho.2, p. 607-631.

25. Benguria R., Cordero P., Teitelboim C. Aspects of the Hamiltonian dynamics of interacting gravitational, gauge and Higgs fields with applications to spherical symmetry. Hucl. Ihys., B122, Ho.1, p. 61-99.

26. Teitelboim C. Surface integrals as symmetry generators insupergravity theory. Phys.Lett., 1977, v. 69B, No.2, p. 240244.

27. Соловьев B.O. Теоремы Нетер в каноническом формализме общей теории относительности.2. Глобальный подход. Прецринт ИФВЭ 82-18, Серпухов, 1982.

28. Денисов В.И., Соловьев В.О. Энергия,определяемая в ОТО на основе традиционного гамшгьтонова подхода, не имеет физического смысла. ТМФ, 1983, т.56, № 2, с. 301-314.

29. Денисов В.И., Соловьев В.О. О замечании Л.Д.Фадцеева. -ТМФ, т.56, № 2, с. 316-320.

30. Schoen R., Yau S.-T. On the proof of the positive mass conjecture in General Relativity. Commun. Math.Ebys., 1979, v. 65, Ho.1, p. 45-76.

31. Schoen R., Yau S.-T. Positivity of the total mass of a general space-time. Phys.Rev.Lett., 1979, v. 43, Ho.20, p. 1457-1459.

32. Schoen R., Yaa. S.T. The energy and the linear momentum of space-times in General Relativity. Comrnun. Math.Phys., 1981, v. 79, Но»1, p. 47-51.

33. Schoen R., Yan S.T. Proof of the Positive mass theorem. II.-Commun. Math.Phys., 1981, v. 79, Ho.2, p. 231-260.

34. Witten Б. A new proof of the positive energy theorem. Comrnun. Math.Ehys., 1981, v. 80, Ho.3, p. 381-402.

35. Parker Т., Taubes C.H. On Witten's proof of the positive energy theorem. Comrnun. Math.Phys., 1982, v.84, Ho.2, p.223-238.

36. Фаддеев Л.Д. Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна. -УФН, 1982, т.136, № 3, с. 435-457.

37. Einstein А. Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad.Wiss., 1917, B.1, s. 142-152.(Перевод; Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т.1, М.: Наука, 1965, с. 601-612).

38. Komar A. Covariant conservation laws in General Relativity. -Ehys.Rev., 1959, v. 113, Ho.3, p. 934-936.

39. Murchadha H.O., York J.W., Jr. Gravitational energy. Phys. Rev., 1974, D10, Ho.8, p. 2345-2357.

40. Abbott L.P., Deser S. Stability of gravity with a cosmological constant. Hucl.Phys., 1982, B195, Ho.1, p. 75-96.

41. Persides S. Energy and momentum in General Relativity. Gen. Relat. and Grav., 1979, v.10, Ho.7, p. 609-622.

42. Deser S. Energy in gravitational theories: definition, positi-vity theorems and stability. Preprint 1982.

43. Geroch R. Struoture of the gravitational field at spatial infinity. J. Math» Phys., 1972, v.13, Ho.7, p. 956-968.

44. Sommers P. The geometry of the gravitational field at spacelike infinity. J. Math.Phys., 1978, v. 19, Ho.3, p. 549-554.

45. Ashtekar A., Hansen R.O. A unified treatment of null and spatial infinity in General Relativity. I. Universal structure,asymptotic symmetries and conserved quantities at spatial untinity. J. Math.Phys., 1978, v.19, Ho.7, p. 1542-1566.

46. Persides S. Structure of the gravitational field at spatial infinity. II. Asymptotically Minkowskiaa space-times. J.Math. Phys., 1980, v. 21, Ho.1, p. 142-151.

47. Hoether Б. Invariante Variatiousprobleme.- Gott. Hachr. Math.-Phys.Kl., 1918, Heft 2, s. 235-258. (Перевод:' Вариационные прин ципы механики. Сб. статей под ред. Полака Л.С., М.: Физматгиз, 1959, с. 611-630).

48. Dirac P.A.M. The Hamiltonian form of field dynamics. Canad.-J. Math., 1951, v.3» No.1, p. 1-23.55* Teitelboim C. How commutators of constraints reflect the spacetime structure. Ann.Phys. (N.Y.), 1973» v. 79, No.2, p. 542-557.

49. Kuchar K. Canonical quantization of gravity. In: Relativity, astrophysics and cosmology. Ed. Esrael W. North-Holland Publ.1. Comp. Doderecht, 1973.

50. Hojman S., Kuchar K., Teitelboim C. Geometrodynamics regained. • Ann.Phys. (N.Y.), 1976, v.96, No.1, p. 88-135.

51. Kuchar K. Geometry of hyperspace . I.-J.Math.Phys., 1976, v. 17, No.5, p. 777-791.

52. Соловьев B.O. Пространство Минковского и асимптотическаягруппа Пуанкаре в общей теории относительности. Препринт ИФВЭ 83-193, Серпухов, 1983.

53. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М,: * Наука, 1970, с. 1-664;

54. Gursey I. An introduction to the group theory. In: Relativity, Groups and Topology. Eds. C. De Witt, B. De Witt, New York-London, 1964 (Перевод: Теория групп и элементарные частищ Сб. статей под ред. Иваненко Д.Д., М.: Мир, 1967, с.25-113).

55. Christodoulou D., Murchadha И.О. The boost problem in General Relativity. Common. Math.Phys., 1981, v. 80, Ho.2, p. 271300.

56. Schotten J.A., Struik D.J. Einfuhrung in die neueren methoden der Differentialgeometrie. B.2, Berlin, 1938. (Перевод: Схоутен И.А., Стройк Д.Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии, т.2, М.: ШИЛ, 1948, с. 1-348).

57. Eisenhart L.P. Continuous groups of transformations. Princeton, 1933 (Перевод: Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразовании. М.: ГИИЛ, 1947, с. 1-359).

58. Пухов А.Е. Пространство состояний гравитационного поля в гамильтоновом подходе к общей теории относительности. Вест. Моск. ун-та, Сер. Физ., Астрон., 1983, т.24, $ 3, с. 4147.

59. Соловьев В.О. Алгебра генераторов асимптотической группы Пуанкаре в общей теории относительности. Препринт ИФВЭ 84-29 ^Cejrtiy

60. Bergmann P.G. "§auge-invariant" variables in General Relativity. Phys.Rev., 1961, v. 124, Uo.1, p. 274-278.

61. Фаддеев Л.Д. Симшшктическая структура и квантование теории тяготения Эйнштейна. Международный конгресс математиков в Ницце, 1970. Доклады советских математиков. М.: Наука, 1972, с. 328-333.

62. McOwen R. The behaviour of the Laplasian on Weighted Sobolev Spaces. Commun. Pure Appl.Math., 1979, v. 32, No.6,p. 783-795.

63. Соловьев В.О. Теоремы Нетер в каноническом формализме общей теории относительности. I.Локальный подход: Препринт ИФВЭ 81-79, Серпухов, 1981, с. I-I5.