Асимптотические характеристики целых функций и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Маергойз, Лев Сергеевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Новосибирск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1991
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА СИШРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
На правах рукописи
t
МАЕРГОЙЗ Лев Сергеевич
УДК 517.547+517.555
АСКМПТОТИЧЕСИТЕ ХШКЖИСШВЙ
цвжх шшвдй и их шшшетя .
01.01.01 - штема отческий анализ
АВТО РЕ ФЕРА Т ,
диссертации на соисканио ученой степени доктора &йзи1сс-ш тематачзских наук :
НОВОСИБИРСК .1991
Рабога выполнена в Красноярской жнженерно-ствогсгвдьвсЕг институте.
Официальные оипоневта: доктор фЕзикочйатематЕэдских наук
профеосор Л.И.Ронкин
доктор физико-математических наук профессор П.М.Тамразов
доктор физнко-математаческвг неук щюфесоор И .А .Александров
Ведущая организация: Ивстагаут математики ЕНЦ ) • УрО АН СССР
Защита состоятся
■1991 г.- в
_час.
¿¿3 заседании Спациалнзцрованяого совета Д 002.23.02 по защите дгааавртацнй на соискание ученой степени доктора наук при ристшуте математики СО АН СССР по адресу: 630090, Новоои- , йнрск, 90, Университетский проспект, 4.
С диссертацией можво ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР, Университетский проспект, 4.
Автореферат разослан
1991 г.
Ученый секретарь Сгшциалаэароваиаого совета доктор ф!эш!о-н9тематичбсккх наук профессор ¡Л
В.О.Белсносов
У
ОЩЯ лШКТЕИЙ-ША FAECUi :
Дктуальност .ь rmv. Теория дедах функций едкой и многих яе-. ремешшх - одип из стих популирзнх разделов ког.~.№^сного айгшюа, вмещай шюгочпшшные применения- ко только в сметных с еж областях комплексного сналк&*,. но'и в npyrzx разделах теэр&тичеояса л ирякладпой матзмзтяхи. Неотшер, матжгакпескоа мо.геларо-лйягэ ®о-гпх процессов, Бстреташаяхоя-в природе к инженерной. практике« осуществляется о помощью зенойннх двф^р^шдалшшс.уреькенйй kcrsiko-го порядка.с яоотоязашя хоэфрциокиема.-'Реа^ляи.ч »тих ураБаенгй . являются целые '-©тжцаи, 'называемые 'каваясалгиешшс. ••
Выделяй двз $гЕдамвнталшгх прд«иия# о-котором оаязгяо таоо-кое направление асоледовзягЁ в теория целш: -фняцкй и в ее ярмдо-
'жениах вМэтекзг*жо, раглячных обясегях;осггеояюгжаяЕЯ, 'технике.'
~ <•:> ...
Это зчреебрззоваЕй» Ъоцэхя F (£} - £ х&®>2 $утсщии
оо (1 ,
у акл ... . *
~¡ác> '~<Г" ввояовейцявяыюго тяяз г-es шщшеаторнзя диатраиьга'
- вавуклый' кейнав?-» v- г оаоргсЗ яугицией, яотсрого является ивдикатог- х4-¿я Шгс^И -Г-ГНТРДЕГ Í .
. ' •> 't-'r'*3 : '
• Иаюиио'Ендиглгорго^ .с-вгрк^ш гесл шт^иг"
Д.Пойэ и доказал о ого асяода® слйдушуа"TaOjpsay. и 1929 г.
ЗЕОРША Ат. Пусть в нрадэдзтяяобоекзееннях К - осгретелкая дизграпае футткГдщ i,'¿¿в,-.ш'теенкааЯ 'аадЬга® 'кемпает в -С» зне которого ела-тлалескЕ ио<Шо.®свгсй'.#22ща- P¿ '-'Уохдэ '■
íe.JH}. у-..^.. ' ■ -
Д.Пойа aaseá'iré BToít теоретлд в зз-
. датах. анадпидяесяогр ' гфодолсекия, о 50.У ярко йовзстзузтса а" ягае-огасЁ.моаографа! Л.Еабербзхй» Созреас'кпяя /гракто'акз, тесра:.« А. восходят к-АЛ&ртано-ь Ji.SpesnpaííoF. '
' -Пусть : К - вкауялйй.х&шрзст. в-С.; х».-5цр'{Rs ееч°:"ге 6к}, ' £<,Ь(0Й={$; - зэдазшшоа отадпертной тоаслох-аей сро~-ектпвнего предела пространство целых ^вкци? • зйопонвшцшльного типа TsKiix, чте Ь|(9) ¿ к.(б). Y&^\H0'.(-C \ • -[щйстранство. ' $ункцай,голоморфах В .С л К -л рэгшх О в точке с тсноло--.згаей. равномерной схсдакосо'и. sa комшктйх 'в 'С v-К . Тогда преобра-
ра'зовониб Бсреля зад&ет гонолбгкчэокЕЙ изоморфизм пространств с 1,ксоп .'2. Н0<€>К).
•Другпя форма теоремы Ат, доцуохагшя многомерное обобшенке, связана -а ройлкззпдей аопрякзянсго' просгранствэ Н*(Ю к пространству h4.IV/ фуякццй, голоморфных в окреетяооги выпуклого яск-лаята К С С-., нздеденкогау 'стандартной • типологией пдцуктивяого. пре-
'ТЕОГША Ло. Пусть пространство Н *(Ю наделено сильной топологией., Тогда б 1'федзддах обозначениях отображение Н * ( — и,И{0;1, ВДе ; Г
задает гополопкеский;.Н5«ор$иаа' Н*(К) и
Аналсгячные теорем« оправедлавн и дла: пространств Ь(0// £ Н о (Л где К - "опорная" с)уш;шя ограниченной выпуклой области С?) > а [1, Ь(,ЗЛ г {| - пространство целых функций экопо-ненцаального- типа таких, что Ь^(б) <и(<?) V , а также пространств С1,И(Э}) И Н*(£>,
^ Теорема Д.Пойа послукила своеобразным мостом для цронихаове-ння методов теории целых функизй экспоненциального .типа в такие, например, раздали кшндеконок« анализа, 'как .сдамгфование степенных рядов, комплексный-анализ в выпуклых областях (полнота системы экспонент, разложение голоморфных ^нвдвй в ряды экспонент и др.)» интерполяция • делах -^акций» дифференциальные уравнения бесконечного норядка, уравнения в свертках я др.
Эти зэдзчи щ® = I рассматривались А.0.Гельфондом, Б.Я.Ле-ьиншЛ.Шварцаьа, А .И .Ыаркушзвзмом, А*Ф.Леонтьевым, М Л „Евграфовш, . И.§.Краоичковам-Тсрновскш, Ю.§.КоробеЁнш;ом,!0,Н.Фроловш, 0.3.Ели-йановш и др., а при к>1- Б.Мальграшеи, Л.Уренпрэйсом, А.Мзрти-но, В .В.Иапалловш,Л.Грозном, В.П.Громовым, В .Б .Моряаковш и др. .
Преобразование Бореля-Лапласа» теорема А| активно используется и в прикладных-исследованиях, например,-радиофизике, оптике, теории связи.(Я.И.ХургяЕ, В.П.Яковлев) , в биофизических исследованиях (работе автора, связанные с развитием алгоритма Прони).
Значительное расширение сферы подобных приложений целых функций возможно при условии привлечения леей богатой результатами и хорошо развитой; теории роста целых функций конечного порядка. Поэтому с появлением в литературе теорема Ат актуальной стала за-
дача о построении аналога теоремыД.Попа для целых функций г.опич-ко.те порядка . 8та задача привала ».цроблсие воотроенин гоо-штрзческого образа в С,- индикатора целой функодк порядка р ¿ l -яэдикаторяой диагрсшях-я такого яро образования этой ®гнккш*( аналога преобразования Боредл), чтобы соответствущая "сопряженная диаграмма" совпадала с • мешкаторкей (см. монографию "История о-мтест-ваяней математики". Т.4. Кя Л:Каук.думка,J.9V0.-С.I7-J0).
Усилиями М.Ф.Субботина, В.Бергаптейна, -.А.Макинтг>йра, А.М.Иар-.куасвича, Ы.М.Дарс-83яна, М.А.ЕБХфяфоЕа, Ю.А.Казшнва и др. введено и изучено обобщенное преобразование Борз ля для ойзлрянх классов целых функций?. А.И.Мэркушевич, например, рассматривал "обрат-- • ноо преобразование Бороля",.соб-газгстнуэдеепроизвольно фиксаро-. аанией .целой функции двух перемгнных К Это оператор* /стйгязгий н соответствие каждой фля.зяя £> гонсморфаой в открытой окрестности Va VÍP) точка ^ в С. л такой, что Г(«>) - О, целую -¡аункшго
■ -ÍÍA >"=4" jf<íA,¿)F(zL)cb, лес. (1)
L! г!.- R :
Здесь R>0 - число со свойство« {г'€ С : ¡2i>-R?cV. Наиболее исследован 'случаи К (Д , Z) где Д - специального вида целая функция с ЕолоаитбЛьниют ;:тайлсровсяй%ш козффтнеятамя,. при этой обобщенное преобразование. Еорсшг нашло наибелкаэв пршенвиее в' тех частных случаях, когда'- сукцёотвуёт обраткоб интегральное представление -функции. F через f • (см. {I)) что. 'вндрдяяется,например,осла
: (u) - BpíuijM),.^ ■;uet;^;p>0 .
.'-'функция Уиттаг-Леффлера. Так, в ЗО-бО-е годи XX века-н исследованиях М Л .Субботина. 3 .Борш«е2на, И.Ф.Лохинэ, Л.Е.Аьотаояна, M.V..Джрбгяяка. бил.получен аналог теорема- Aj -для класса. целшх гонкий порядкаи HojatDJ/bíicro типа с нбоградйтельнхгл иадшеатором, . при «ем индикаторная- дизграгйлэ в этом'. случае/ - так наагшаемнй р -вн-пуклкй компакт. С иоглоадэ этих результатов усимвша сОЕетсклх математиков: к иаатбящшу 'ьрсмочи доотнггйут- значительной • прогрело и задачах' хсиилекопого- анализа в -внауклы'* областях. (К.М.Дарбашян^' А.Ф.Леоятьеь, ».©.Коробейник-'и др.). И ,70-е год}.- М.А.Т5в?рзфс£': и автор независимо друг от друга полечили аналог теорема Aj для цо~ лих функций уточненного'-порядка 'о неотрицательаш индикатором.
• Saposoa • cácássase sp3í:6paso.ssjs£', fijpsa, ъсрвщ, layase»-. -взадавааг» но шдаако Й.Ф^оребфаикси. . . .
Мксгожбряш яяэлогаа геороян ДЛойв посвятили свои вооледавз-'' kze В.КЛЬаЕСЕ,'А.Ыаргшо, ¿.Зренпрайр, С.Г.Гивдикии, Л.Е.Рошаш, ;
Х,Кяошгшав'а -др. С госметрйческзм образом в С- связаны.лишь результаты А.Кер'яшс а Я.Эренирзйсз (ок. 'хеоре:лу А2), рассмотревших-по существу случай выпуклого рвгу-гяризоваЕЕого радиального явдцкэ-арра'целой . экояоввшцшлшогб яша.
■ Ti обцен случае, как еэвссшс, этот вддакатор могет бить н£ только ашуклш, но п рзорнвнш. Хрси& того, .понятие радиального
^оетнторс .
■ .-,-ecZ-tim t^-entfchM, ш)1
VM-ъ i+-<* г ' "- . ' .
к ноторсму срзЕкомшо внкмэнм; ккогкх математиков', <5азаруегся вэ 'дзш-ск Э.Бсрелем ва рубеие -2Z века оиредалйщгЕ: порядка целой фрк-кда í(2>';= íi'z,,.... г„) Е0 совокупности переменных :
peí- )••» • .i?),'.
* fi-.fOO .
где' М^(-г)- каксякум. модудч..^' в водядамже (геСп: {Zjlít^ j=i,„,,n.},'
Порядок ^ ij созпадает с порадхок следа фуняцЕВ - ' .
..<Ц1х)= €п+М}(г) -хе IR*':& г, >о,... j
на' "радиальном.лучо" : П= {ге-R = Естественно рас»
с«о¥реть.е- другие направления роста нз.»' {рщцки Ф^-. С. этой точки ореквя, если исходить из гадая общей -тёорис целых Зунхцай, а не ее' отдельных .врЕкладнвх вонресов, .персовавьиоа внимание к ра-дггальишу "шдакатору 'представляется данью традиции» В связи с этим встает ьадача об исследовании "яетрадвцконных" направленв? роста полой функции многих веременвкх, определения" показателей асяшзтсгвчзского поведения целой функции многих веремевявх, учвтц-вахккх se» -ссвокутаосгь'.вапревлзнЕй ее. роста. Начало здесь положено работами Л.Б&укгэртвэра, 2.Валярона, М.М.Дярба0яна, Л.И.Ронкн-. ta, А .А -.Голъдберга.
йекеедея ж:лг, paíoTjr востокт в разработке новых харзктермс-
ííK -iегтэ ^ул'ашЗ.одкей л югогих переменных ^ивдакаторкая
¿<
диаграмма целой фуикщк одной перзмеялой порядка РФ i ; ^нот'ог/ор-ный аналог порядка, тина, ■ иаддаатора, 'индикаторной:диаграммы. у-га-тызаюшхй всю совокупность яапревлмшй pesia целой сйтхш'Л многих переменных) и их различных приложений в калплоусноа: ен-элдгз (в тел; числе к к аналитической-реализации пространств•нолкх функций с ау~ данными ограничении: наиндикатор в духе -теорем /w, Ag) ¿.
Научная коадзиа.зеоледовзьгя заключена в елгауаакг. основных результатах диссертации. '
' I. Разработана конструкция плоской ииджаторпоЯ диаграммы целой фунйда порядка рл. , с .щщикэторо!» общего над а с помощь® применения ясных кетсдовг - -геслодазэния структуры мжигаль»-ннх тригонометрачеокм § -аыауклпх: $у»|ццяй и построения осиоцинро-зашшх .с -ними рзшаод&х поверхностей специального зцпа. йзудевн геометрические свойства плоских, Чак нзоыкавшх- (^,сД')-в;тухлих множеств,'..которым нринадлолтот эта дтагрдаага.: Найдено сообщенное преобразование 'Бсрьля долс-á функции. порядка f^i. , связанно« с уиоиянутш поюгаказ -вдихкаторной диагрьмий этой £уякдаи « С леноадо этих понятий получен*» 'реализация. пространств цо-лих екпагкцкй с задан-кш.и ограничения/и за индикатор как -'ирсотраист аналитических' ф/iî-кщюнзлоп ( ^«Л'-знпунлых жгазстлпх (аналоги теореа Ат, Дл)',' т.е. решена известная упомянутая знк& задача -теории - роста целых функций одной перецепкой. ' Получай:ряд яы»«тращай ' применения' итого резу.итйт«-. в ко?дплбкснсм анализа ¿разложение хч/локорфшх' • цлл.в ряды- s .(»(л^-вп'ук.шх сбласлсях и Др.) , ; с
■ с. Вредот и- исследована новио..спаян роста 'яллрисуг'гариоакче-• ск:;х л цолых fjfrîocsBfr. многих цвр«.:Ьнаых.и -чайпалкно с еяя ловце характеристики роста otkí 'функций (перцдок-йуккщзя, сизтеиа тил-iio'hkivi.'i, систеиз рягулчркзо.ьакпкл индикаторов), .явднхккйоя много-й£Огл1ь2л- (madrea известной. триады- цехазятэлей роста целой or,ней яереггегаой (порока, ткга,' тади'каторт» Эти ржадч роста нзй-декк г мзуч«ни о ноуспьо гоаптрпчаок; пкалязз оснмлтотшги класса -?J ллорйсуогарл'олхчссчих в С" фккций/ завкояйЕХ лк:ць от модуле Гг — комплекс ни;: йьреиггдо», к методов чшуклего анализа.
3, доказано суядестй<л»-зиз0 цолнх фунгеджй' шюгих юютмшеда* i явг.скеннь'х с заданными птещок-пункцией к сксте&ой ,
удовлет^орядией услсс»» "с.-ддозки4, характерному для ткп-йункций неотрицательной яогарк-Гки^оскк фуяацв* клао-
св .Псзупеш. -зтщдадгегш:- зжкжзс^й;;^»^; ростагщ^: ес^гуа! сргйактельнсй'О; рсегаг- -зесйдаревзаннх • с 'цело1.3ушщей$
иаксаыумг-?лодуля и.аолвджеве,.»ксшальнсго ¿лена, характеристики Л&ранжннн.
4. Разработано понятие'хщикаторной диаграмма для целой функции многих переменных. а заданной системой лолокителытх сопряжен-ш«х Еордцков и с кеотрицателъкш шедшзтором, соответствующим это! снс-теие. Изучены хчзскеатрачесяло свойства иноаеств» которым. принадлежит- эта диаграмма.' Дяа-'рассмотренного• класса д&айс функций доказывается аналог теорегш Войа -Мартшю - Эренщкзйса» находятся его приложения к доказательству существования целых функций
с подкшгаельанк в шгдаяаторш, соответс^вувщЕи заданной
-система положительно сонрянешшх'порядков; к опйсашш обобщенного' мяогоутолшака Бореля заданной системы штегрзлъных ив" адов суши-ровавия а «кратного степенного ряда при им..'.
Основная методика исоладовашй - синтез .аппарата кошхлзксио-го анализа, асзампто-кпеского анализа, .выпуклого анализа (а том тесло гесмогрик дшузлкх кноззесюз), (1у1шпшналького анализа,.
Апробация. Основные результата диссертации докладывались на
Всесоюзных конференциях по теории т/шсдий (ЛарьксвДЗ?!^ Черноголовка, 1977-1569 - по печетнш годсм; Нозоопбврск,1988)Мездува-родней конференций по шхлклексяомз йна.янзу в Болгария (Варна,1585), Школе-семинаро "Ксашлеконна. енатаз'я категгатетеекая бланка" (Див-вогорокД687), а чекЕв да семинарах Батфского, Красноярского, Львовского, Московского, Ростовского, Уральского, Харьковского университетов8 Института математика СО АН СССР, Института г.:ате:лэ-тики АН УССР, из еемлнаро акад. В .С .Зяадаглнрова в ШШ СССР.
Отдельные поагхкя и результата дассертагцк.использовались в работах немецкого иатематкка Г.В!оп$з по асимптотике целых ёушшдЕ кногше переменных, в работах автора и Б.И.Яковлева по асимптотике целых функций бесконечного порядка ко совокупное® перемешшх, аевзтютаке голшор^ша функций, заданша в неограниченных областях Рейнхарта в С4 .
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в .работах £1] - [23], в тем эд ю б ыгчографик [22].
Диссертация -сыполнейя в Красноярской внжензрие-стрс-ительЕОМ. институте»
Структура и объем диссертации. Диссертация включао? введение, раздел. "Вспомогательные сведения", шесть глав и'.приложение. Внутри параграфа нумерация различных утверждений (георем, яеш, свойств и т.д.) - сквозная и сплошая по совокупности. Во избеги-ние громоздкое"? виут.и глава нумерация двойная; яри ссылке на другую главу впереди добавляется ее номер, т.е. нумерация становится тройной, а при ссылке на раздел "Бспшогат&лыше сведения" впереди ставится 0. Параграфы-разбиты на пункты с-самостоятельными названиями, пункты имеют двойную нумераций.
Объем диссертации - $сч швшопиевнх- страниц:, из них. 20 страниц занижает список цитированной литература (213' наименований), 7 страниц - рисунки.
ССйЕШНИЕ РАБОТЫ
В раздело 'Зспомогатслыше сведения" -приведен;! некоторые известные понятия, результата выпуклого анализа, теории тркгономет-. рически с -выпуклых -субгармонических-, плгзр:«;убгармонйт1есклх функций, теория роста цэлы'х функций одной .'и шиитах переменных, которые понадобятся при -дгясэзнки'основного текста диссертации..
Первые трл главы посвящены реишгиз ягаеупогякутой задачи об индикаторной дизгра:.п:с целой фуп'щкк 'одной а^екояной порядка р г I и ее щяикшш«аи
В первой главе разрабэтиваотей баз-фуапйеся на кскотрукнзи З.Бернштейна понятие шс'голистяоЗ шщкка торной дпзгрзклы целой фушошв одной, переменной порядка р 1 к леслодуатс.? свойства 8Т0Й дяаз^рокглы;
Предварительно изучается подкласс .Мр адата дышх элементов класса {Ь : К-*- 11Г -перкодачесхдас тргтопсматретески р -выпуклых функптлй, частйчко упорядрчесного естоствекяш образом,т.е. еолиЫб) ^9(0} V 9еЦ; В частности, из класса Мр функция классу принадлежа? индикаторы целых функций . порядка $ 7. конечного типа.
7Б0РША 1.7. Пусть ^ > о ееМ ? О^Щорё6-
pñCb i? е- ÍWS • йуякцпя -2 ез классе г^пртдазезат-его под-
классу Mj, тогда и дашь- тогда, когда от 'либо' щвшздлеяга' Op eado про р>является "садеенясй" .23. ^етонсжетраческих .функций
Rcp.e1^ 9GÍ9i..,(e»3 , it Z "' (2)
где аосдэдовательасатй Р - i Fj > j e 2} ( 9. = 9j ; .¿gíZ ) соответст-эеиг.о. кашлексиах и вещвствеяадх чисел удевдотворяют следующий ycxoBíKbi вр.н. KeKvi'opiai • -*6lMi.:'
>j*Pj.4 ^Pj'.Pj*^*
6J+K.* jH^'^y VjeE.
(3)
Иехке с§увн>зи с деотргауэтольнш индикатором являются распространенна объектом всслидованмя (иащшэр, .как отмечено вша,для Йувкдий этого класса был-подучен вналог теоремы kj). Бели у целой j порядка § ' к аортального .•■типа индикатор Ws h^ общего вида, то длч и^. существует, хо-гя бы одна, миноранта из класса N}« .-тшгаш. 1.П, пусть -£е и^ . '
Р?Се>- -ihelj:' h 5 в} . (4)
Тогда = \) {^еЖеМр.
В.Бернатейн 'ассоцшфозад с ивдикатораи h= целой функции J порядка .j. и нормального тайа кяоголистаую вогнутую поверхность заметаемую при дашевак полуплоскости
' Пь(е)={реС: Repesez Ь (е)} (5)
где величина @е [R - параметр дзвдеиия. Существует функция t в ¡vo такая, что поверхность fh 'располонена на поверхности Е-в (см. т. 1,11, 1.7), которая либо совладает с ршлзновой поверхностью логарв&а (при -Се. Oj> ), либо является многоугольной поверхностью (при С&. 0<р ). Точкой поверхности Eg является пара in =(р. а),где р е i ; Д-А(р) ~ непустая компонента множества (ее К'ре r)g(9)} (5))- На поверхности Ее действует авто-
В :Ее-г.ег я^ре^Г-Л-гзг. (6)
Рассмотрим проекцию Бе > - р; ( р, А)б£е •
Поскольку - -..'.*- - t ','■.-
ж) « е **<?«£<••»») У т с Ее , (7)
го по отношений к % щш ватоморфизм 6 не исслойачй.
СВОЙСТВО 2 »8. На поверхности с г действует ивклетоскея группа О Е автюррзмов с обрзаукэдй В (0)» У грушш ка Ее оу-кеатзует фундаментальная область со свойством: ее сшыкакке допускает пополнение Мс> одной тонкой 1\ ^ такой, что Ч> ^ А * 00' прячем пара , ™ топологический мкогоугольтшк о углом 2 'Л р при эераине Л».
На свойство 2.8 опирается следующее
ОПРЕДЕЛЕН!® 2.11. Пусть-СеМр Сом, т. 1,7), Исполнение точкой Л« наделенного фзктор-топологпей пространства орбит Ее / хруыш С-Е , дейстзутйй на Ее , аз зовем -ляотяым в окрестности со №.огоугольи5ком, "эссоциаровяняш с санкцией 6 .
При шзлга р такое услоаеэ склейка в эквивалентной йоргдо рассматривал Е.Зеризтейь. В ото« случае автглгорЗзгаи группы (£. послойные по огногзониэ д ^ («;.(?)) , Поэтому в этом случае определено отобракегше у ; ч- £. Тогда кара 1 ) являет^; рд~
каповой поверхность» ¿униптаЛ.'*],- р, , о. е С при некотсре если £с О^лиоо ••шогслпстаад товогогйческий много^тольвикда, шз-щт вершин, если -¿«¿'М^х Ор :$>*~(си. т. 1.7?.
Дадкд определение исдикаторноЗ дкаграши, кото-
рое яри >М рассматривал' йаятзчесй^ В.ЕергатсШи
ШРЩШНИ2 2.15. Пусть Ь - кдаг-ятор целой йукщпп порядка 1 « нормального типах ■€,<£ Но ' Ь а 6. Погашение ./Iь точной
^ с /
Д са наделенного йшиор-тспологиой пространства орбит /Сте группы (у- , дойствущел к яз Еч, , назояом <? -лиотуой в окрестности са индикаторно?: дкаграшаЦ фушорз '-> .
5 тошд глава досэдеяэ • излоязпиэ ксвс.^рукйин плоской кн,дика-торной диаграммы целой <&цкцчх порядка и нормального тина, дндккатср й которой мояет приккиать значения лаоого знака. Если, ианрюгер,- Ь (€»>-- О V О&К.то лршэя = : йере1,1 Ь(£>)} при изменении д зраоается вокруг течки о в С , делая вокруг о 2 оборотов пра р £ М, Поэтому докалыю-вшзузаая дуга Г/,,
опорная ф/нкцвл которое совпвраа^ с Ь образ прд
итобро&евкг. 41 ^ ~ ^жгфдзнов(}2. яри&ой, ограничиваякеЗ компакт в
С ; содержащий внутри о, Этот так называемый f -выпуклый компакт,. кграадай роль индикаторной диаграммы, вводя s рассмотрение и использовали для построения аналога теоремы Aj А,Е.Аветисян s M .M .Джрбашян. В гл. 2 выясняется вцп отобрази шя d. , при котором дуга Г„ - обра5 замкнутей жордановой дуга в С для всех, (г из класса PpiO, где -£<?.М^(см. (4)).
опррдамшЕ I.I. пуоть ? а iNhfl; Mp AQp , { р. уД
•у-
{О,системы соответственно ксдадексках и вещестЕенвнх чисел, входящих в определение фгшссии -Ê '(см. (2)); --рациональная фувхщш вида
где (û.i,... , ) с€ , iQ^ (0) ~ компонента множества ^ € С :
•£(0)}J содержащая луч ¿te с}, где
уе ¡R. функция .оС праваддеашт классу Л <€) ' есЛЙ йИйЬдняются условия: ''.'■■
1) уравнение {%&€ имеет всего к ëb^iiea X-=. {£., ,...„£к} таких, что d(Zj)=p. j = ± !<•
2) XrsVéîl:: 0 VQ eW.eiT
X л (6) - ^Zj) 1/0Ê (0j-i ,0j) i ' ^ii-.x; ХП iÔ^ô] ) j, ) , j. *,..., • * / ¿m s . .
Если IcOy и Ш = Repe^-0, ■ то = + p).
Лодобнчй класс отображений рассматривается й tondit ¡M : ош-р
вол 2. в (8) в этом случае понимается в смнсЛе Главного значения. Для простота изложения дальнейшие формулировки понятий и результатов гл. 2 и 3 'приводятся при j е fîlli, хотя при соответствуЕщей модификации, связанной с "выходом" на риманову поверхность логарифма , они остаются справедливый! и цри^^М.
Опираясь на понятие многолистной индикаторной диаграммы и используя функции класса ^ (€), найдем геометрические образы в С
принадлежащих классу (4) дцикаторов целых функций поряд-
ка и нормального тина.'■'■.- ,
ТЕ0РВ1А 1.3. Пусть Rte'"1). - ркканова поверхность обращения . ' 12
А
отображения вида (8); '• ^ ')-» С- ео проекция. Для лвбой функции £ из Мр\ Ор существует функция с£ ез 4чГ(С> такал, что ассоциированный с -листннй а окрестности 00 многоугольник (^ , ) гшеоморфно я послойно вкладнвазтся в вдкритие
аС : (£ — С эквивалентное закрытию ^ : Р? () — С .причем отобраяе-
нно вложения С конформно в ¡м'ЬЯ^ и удовлетворяет ус-
ловию О¿¿¿Л „■)=<>о .
Отмети* дополнительное свойство отображения '-Ра- из тзореш 1.3. Пусть И & (£) (см. (4)); б е К С б 1 И) - компонента
множества ем , содержащая луч ^е
Хь - С ч и «0^ (9; (9)
'..■«0^(0) О; ^ = и£¿(9) !9£ К . (ю)
ТЕОРШ. 2.1. Б обозначавши трорсш 1.3, определения 1.2,15
СЕрЗВЗДЛКВи фошулн ' _
) = М"; Ъс А)-- С V ь € Рэ(€).
ОПРЕДЕЛИЛИ 2.2. Пусть 1/в£6 ~ кщака-
тор целой фушсцЕЯ £ порядка п 'нормального типа; и. ~ = 'тах ^ й^, €}. В обозиачвагмх формулы (9) ьш^еотао казовом (о, и. )-шщшсаторкой деаграшой Зу|»кщш- .
Е скотча© ^ (2) = ; ■£-о; ато определение парэходкт в понятие пздшсаторной диаграммы, вознгкзадео з работах А.Е.Аьа®£ся-ва, П -М.Дярбашяна. Для шцшкаторов из класса Рр водунепрернвншс снизу 2 "]Т -периодических тригоаоаотретески £ -выпуклых• фракций со зиачояаяыи в{- «>,<»] локятво (^ , )--шщкка торной диаграммы вводится аналситаным образом.
В гл. 2 изучаются я геометричоскив свойства множеств в С, содержащих. икдикаторянэ • диагрзжи дедах функций порядка р ^ ШЩРЖНЙЕ 2.3. Пусть Ы Мр } ^
(с?л. (10». ?)'погкоство^ в С цазовем )-внпуклш, ведя:
; '•-) -;ги лвбоч О'ёР образ множества .С? Г) (О, (0) прн
ОТОфШИКН e¿ ™ — t "" 1
Это сшрадра ' / ' лдАеайЕеэ штеру^внутрахшее"
0Яр0Д6.751Ше ^г ь < _ в Ч i % Квре^/'
OttÍK j, ¿'до püt j = Тогда = {Oj,
Б §2 1'ЛвЗ с liOKOEib® сявш двогсгабявоогк Шшхоьо»то устзд&ь-люшесок асшорфжзя Евштсрвх естгстаездах классов (j> c¿ -
juíx &с;окео«а к соответствуй® jí подклассов ф^атщй вдссоэ* ■
Сем. (4.)} s •••••' и )
0? (•£} -1 Ь S Р^ ; Ь > ё) Ш)
,, х 1 '' • ог
:щ>£бМ<?, Здесь ояиэод h>-'¿ osesv*-« 1.(6)- * С
Пусть ¿i £ ¿D- (-6) (са. оар I ^^ г»**:
■{TI^C•} cv); tf еС} KJ-íüoos Po(£),xm (<- . (JOЛ
-Се'О^Сш. теорему 1.1.7} „ то t> , ч) =с1"} +;.6(0)ггдо
' 1 '¿í et - | J
I' o " " <is)
~ функция, нсколъзуе;шя црп оялсшзид o нкщу^язх ьдонаств, С uíro-ецнзй h из R?(,6], Ш.С) еоокрвруш oooTiaure'ímwo rntosecTsa (as, ÍI2)) J . , , >
X h - { ц s С ; х-л'^-.с,) , . -
По аналогии с щшшддепащгд А.ВЛвз®шщ? и М.Дйрбааду ^о-Еяткаг j> -опоркоа функции сводится
ОПРЕДЕЛЕНИЙ 2.15. Пусть Ие С Д-укнцшо (си. (12)} hM(e) = = назовем ( 9 .J. ¿-опорной- функцией шоаест™
ва И, • ;
ТЕОРЕМА 2.20. Пусть ti ¿ ($>¡d \ L = i,2. - класс компактных, соответственно открытых (5*, ^)-выпуклых мнокоств,'частично упорядоченных с иомощьи операции вложения. Тогда (су. (4), (ii), (14)) двойственность Мииковского ....
- изоморфизм частично упорядоченных множеств, причем (г) - -,сО-опорнзя аункцик множества из У.2А) > 1 = ' >2..
,Эквивалентность "внутреннего" к "внешнего" определений компактных (§, -выпуклых мнскестз устанавливает
СВОЙСТВО 2.22, Пусть Р - компактное ($>, Л- )-выпуклое множество; Ь - кого I о, -опорная функция. Тогда С Г г -С 4 Хц ~
- Ь) (€ 2(к, т.а. в формулах (9), (14) символом Хь сбо-. зкачаетсл одно к то ке множество.
СВОЙСТВО 2.24. Пусть - делая функция порядка р г-' и нормального типа; Ьх - ее индикатор; €еМр.; тах^
Тогда (у ,«£)-Евдикатсрная диаграмма функции £ -' (£» ¿¿)-выпукшй коглпакт. Если И> 6,тс граница 2 - замкнутая яордакоза кривая.
В третьей главе дано решение задачи о реализации пространств целых функций порядка с заданными ограничениями на индикатор в виде пространств аналитических функционалов на определенном классе множеств в С и ее различным приложения« в комплексном анализе. Сно спирается, с одной стороны, на понятие плоской яндлкг торной диаграммы, разработанное в гл. 2, с дроггой - на обобщенное преобразование Зоредя вида (I), з котором ядро - выбирается так, что существует обратное интегральное■представление - Р через ? . Изучению асимптотических свойств этого ядра посвящзн §1 гл. 3, Пусть € £ М р ; сС Д/ (£). Ассоциируем с функцией целую
функцию двух комплексных переменных ,с помощи которой
' ниге конструируются представдявдяо системы в (§>,-<-)-выпуклых областях.
Пусть £ > о • €с Мр ; ^ е^ (е): V* иЩ) _ зегвь функ_
цш V ^ I , однолистная з окрестности Ц точки « в С
и удовлетворяющая условию ££«' Р<з>о -такое
а о»»
число, что При Рч^оокруяность Со - •{ ^
. ТКОРША 1,1. Пусть Е^ (м) '¿¡г^'^^)- санкция Миттаг-Леффлера:
lr
Формула (14) оцредашеа целую функцию X ) от двух коыллак-
ch:c.í переменных, разлагающуюся в абсолютно и равнсморко сходяащй-
сл на каздои компакте i С1 рад
где Qi¿(¿) - яолансм степени К- с коэффициентом 1'/Р( ■)-
Щ)П ■ „ ^
Еслк iv K¿(Á,Z) £ Ej»fAx) ,
Асшатотическиа свойства <§ункцни /С / выясняются ирк -Се.М0^Оп
9
TEGFEm 1.4 и 1.5. I) При любом йеС функция kfимеет по переменной Л порядок £ в-вполне регулярный рост, причем ивдикатор h ^ (©JH.)-%¿(&¡2) (см. (9)).
2) Аналогичным свойством обладает функция и пс переменной & ври всех А ез С , причем (си. (13)) Евдккатот) hk(G-
§2 гл. 3 иоовздэн аналогу теореми Пойа-Мартпно-Эренпрайса в (С (tai. теоремы Ар А0) .для целой функции .порядка ^^ i с индикатором'общего е2дз.
Пусть he ' h(&)) ) С?, Ь (6)J - пространства целых дувкций, уцовлетворякщдх оценке
ёш б» I f Ctetó)| < h (в)- V е € R,
t-voo
соответственно . Предполагается, что в первом случае мнояест-
^ (М ^h},
а во втором h&^^-f^1 По теореме I.I.II тогда существует функция £ в Му такая, что (см. (Iх), (4)) Че Ор(^) соответственно Ь £ f^,(-2). Е перзом случае, согласно результату В.А.Тка-
IG
чонко, найдется последовательность функций {ЧД, ss аласса Q-(C) гакая» что
* -t<bK<hK„ < Ь VxeiMI; &mhK(0) = b(S), eeR.
■ г*. p. * Ч /
В t j31 Ь (0)) вводится топология индуктивного предела поело-дезатэлъности пространств ¿УЬД^с нормами
I'fi'fe = i ЧШ '"*p{-Maffs.) тЦ- ге€}( кеМ, а в If, h(0}] - а пемощыо оно теш полунорм
l]jrl!K^ up {|;f(2)| exP\+ 1/к] : 2*-Cj , Кё^.
Цуоть С.?,«) - Cj»,h0(®W, wehifojs oe, 9бВ? ; HoOf) ~
пространство функций, голоморфных в окрестности «> в и рэвяях О в точке cf
ШЗДВИЕВПВ 2.1. Цуоть в (I) К- ^ ~ определяемая в
теореме 1.Г. Тогда Ь £ Г о, си? ) а существует обратный оператор (обобщенное преобразовала Бореляэ Sy : (^¿ог) Н0 («») такой, -
что ес.та
¿(Л* £ ,АеС( (15)
•го
■F(Z)rCWCz)S , (IB)
где V - нзкоторая окрестность оо в С } в которой голоморфа
ветзь \fci(z.)' = (.£) со свойством (си. (8)). "Если при
этом J е Lf где то (с,м. (4), (9))
со Р /
1(2) = J'jK'O^pf-^2)*Мл. , Z&7)^(6;ЦееК. (17) в
В.Бернмтейн ассоциировал с функцией f вида (15) голоморфную функцию
Rpl.fVp^P'ft.tl^.FW^ .
к=о
где U = {(г, Ч1) е i-1', {R} {_. _ ркианова поверхность лога-
рифла, 'Г-- Т(П > о . Опираясь на это прообразована и на нонет- . рукпдю мяоголистной поверхности , Б.Бернштейн доказал существование целой функции порядка f У 1 с еада нш хвдпкатором. При
¿■(i) =у t~ Q формула (17) была найдена А.Е.Аветисяном а М.М.Д,хрЗааянач ».несколько более общем виде.
Центральной в §2 является теорема о реализации пространств [ р/и'О)] и - аналог теоремн А2 в € для целых функций
порядка <р / i с индикатором общего вида,
ТЕОРЕШ. 2.3. Пусть Н(О) - пространство голоморфных функций на открытом ила замкнутей множестве 2> в С - со стандартной топологией; Н * I ¡D} ~ гространстао, сопряженное к Н(£>), наделен-- -кое сальной топологкеЁ. Тогда в обозначениях предложения 2.1, формулы (14) - обобщенное прообрасование Ланласа
задает тодологачесзий изоморфизм Н "(Й ^ } и Ср;Ь(©)), соответственно Н*(Хи)и [^¡Мё)].
Для случая hьО подобная теорема была найдена О.В.Еиифэно-вш, А.А.Леневым к Ю.й.Коробейником.
"Предельным" вариантом теоремы 2.3 одуавт следуюдай аналог теоремы Aj н теоремы А.Е.Аветисяна и М.М.Дкрбашяна.
ТЕОРЕМА 2.6. Пусть Ы М о ; , KG Xh-(f ,d)-
выпуклый компакт, ассоциированный с h (см. (14)). Следующие факты эквивалентны:
1) Целая функция /еГ^,02*) и ее (j>, d.)-индикаторная диаграмма (см. опр. 2.2.2) равна Х^ (или max = h, где hj -индикатор j- при порядке ); ,
2) Обобщенное преобразование■Боредя Н0 (•*> ) (см.(16)) и наименьший К $)-выпуклый компакт, вне которого аналитически
А
продолжается функция j (сопряженная диаграмма функции } ), сов-шдает с X h ;
3) Существует аналитический функционал /л, т.е. уи G Н"(С) такой, что [k^i -; 2.)] = причем Xf, - единственный (£»<<)-ьипуклый носитель уи .
Б §3 дэны различные иллюстрации применения аналогов теоремы
IB
Пойа-Мартшю-Эренпрайса в С , В п.3.1 найдена аналитическая реа-
'лиэацил оператора обобщенного диф|еренхщрсвзния Л*, т.е. опорато-рэ, сопряженного к оператору /1 ;[ р,и(9))-^ [^р.Рно)} умножения на яезависгсдую переменную, причем (си. (13)) Л'*' •' М (£!, } —
Н (Л (т}. Широко известно, что при у ~ I опора гор Л" реализуется как оператор дифйаренирроээкЕя, а праутЦ/^Я,как показал В.А.Тка-ченко, в виде оператор" Гельфонда-Леоитьева. Б п. 3,2 получена аналитическая реализация оператора обобщенной свертки Т* т.е. оператора, сопряженного к оператору Т-. £Гр,Н(©>) —[ о, Ь(9>+Ь^(Й) умножения на целую функпию у порядка ^ 1 с индикатором Ь^,,
причем Т*: М ( Я. ^ Ь^) если Ъ^го ; найдено условие
его эпиморфизма. Этп результата оплраотся на исследование отах вопросов В.А.Ткаченко в случае 'п>,0 и на результаты §2.
Мпогсплаиовш исследованиям, связанным о пространством апа/ш-тпческих функций, с ошраторш оверлеи, его обобщениям*, з тем числа в многомэрнниа, посвящены работы В .В .Напалкова, Э.Ф.Коробэйни-;;а, И.Ф.Крзспчксзэ, О.В.Епифэнсаа и ряда других математиков. В п.3.3 дано условие виутрь-1фодоляаемостк•лрвдетаиляэдой системы ууннцра в ( р, «с)-ашуклой области. В.Ф.Коробелгтку приведшая1 сладуиаео определение.
Пусть и - линейно»! тосодсгнчзское пространство. Последовательность {х.\сэлемонтов кз М называется предстаБЛящей системой в И , ее.® яэбой элемент к из Н представляется в виде ряда
Со . '
х - Ос ( сходящегося в Н ,
Представляздие систем:« дя*'пространств 'И(Р ) , И(£>), где ■ ■<2)- выпуклая или О -выпуклая область в£ исследованы, например,, в работах А.Ф.Леонтьева, Ю.<5.Коробейника, А.В.Абанкна, С.Н.Мелихова. Снй выбирается соответственно из системы экспонент
{ ел2" : Л&€) или функций Ииттаг-Жеффлерз { 1) в связи
с геи, что оти системы полны в Н(<£>)« В случае (р/^ )-вылуклой области X) по/шой является система функций | (Л,2); Л 6 С}.
Согласно-определению А.Ф.Леонтьева и Ю.Ф.Коробейника, представлявшая система (функций пространства И(&) , где £? - область в С, называется вкутрь-проделкаемей в относительно компактную об-
лас*ь 2) С(?,если-отб сгстема. предомг.ш®з& а И (2? X Ца-- еа&шэгаг* о определонЕшш д.Ф.Лоон1гевз» А^В.Абашяа- назовем ( у.»«с ^выпуклую подобласть <£> )-ЕКпуклэй области .6- ,)-зыпукло-до-во.лнелой , если. % - Не Рр, где к - ( §■, Ы- )-опорнке (Зункции соответственно областей 50,0 . Результаты А.Ф.ЛеонтьеЕа, А.В.Абани-на обобщает на ( ^ , )нэщу клне области следующая
ТЕОРЕМА 3.8. Пусть & - ограниченная (-выпуклая областье
~ { ^ (Ь - представляющая система в Н(&) ■ Тогда
система внутрь продолжаема во всякую (о) Ы. )-2Ш1укло-дополнимую подобласть облаете & . со
В л. 3.4 выясняются условия ка последовательность / Ау}^; при которых система в теореме 3.8 является представляющей -.-.в пространстве функций, голоморфных в С , )-выпуклой области и приводится результат, являющийся аналогом одного результата А.Ф.Леонтьева.
Пусть Й) - ограниченная (^ ^)-вкпуклая область; К- - ее (^-опорная функция (ем. опр. 2.2.15), т.е. 35 ~ ^ ь I Ь - целая функция вполне регулярного роста порядка р с индикатором Ь., имеющая простые нули ,Лп причем , \АК\-юо
и для любого £>о при К> удовлетворяющая оценке
ЬУ(Л)= ЬСи-А^)-Ь/(Ау>3~ ; Уу(2)- СВ^ЬуКг), УбМ.
Пусть ш - содеряащая ограниченная область в С со спрямляемой жордановой границей, расположенная шесте с замыканием в области
голоморфности функции Г, Функции образуют биортогояаль-
ную систему функций по отношению к системе
' АЛЬ
где 6= 0 при У^/и ; - есш • Сопоставим функ-
ции р ряд
со
Р ~ 21 (ЗуМЧ2*
где
21» С ^ ' ' 4
ТЕОРЕМА 3,Э. Ряд (10) сходится, в топологии пространства Н(£) и функции V , какова бы нк бнла функция г пз т.е.
последовательность {К^у. ^ ^ - представляющая система функций для пространств Н(<«^) С И(Д)).
При доказательстве теоремн 3.9 использовались свойства интерполяционного ряда Лаграиза, прзмсздявнегося в исследованиях, примыкающих к этому кругу вопросов, Л.Ф.Леснтьевьм,В.В.Напалковым, И.Ф.Красниковым и другими математиками. В п.3.4 найдено.такое следствие результатов Ю.Ф.Коробейника и А.В.Абэняпа: из теоремы 3.9 система (¡{¿(Л^*)}™ - абсолютно представляющая всюду а Н(л)).
Главы 4-6 посвященыпобранным вопросам теории показателей роста плюрисубгармонических и целых функций многих переменных и нх прилогениям.
В четвертей главе дан геометрический анализ асимптотики хтас-са плюрисубгармопаческих в С' функций и его подкласса ^ функций, зависших лиаь от модулей комплексных переменных, позволявшая ввести невь-е характеристики роста, адекватно отражающие асимптотическую природу этих функций-п являвшиеся многомерными аналогами порядка, типа н индикатора субгармонической функции, целой фасции одной переменной.
Класс ввел в рассмотрение Л.Й.Рэнкпн. Если Н(С ) пространство целых йункдкй п комплексных переменных, то классу Ъ принадлежат следующие вещественные функции, ассоцшз-рованкко с функцией £ и.зависящие.от т,; - !?.¿1 1*1 л ,
где г.- . . '2.и С п( иадсэдум модуля
гг,ах{ 1^(2.)! •. > Г,...., п } ;
£
мзкепмзкышй член = !С«1 ъ Ике» о) ) где ~ коэф-
фициента Тейлора функции ^ , характеристика Неван-
лйкнн 2лг ' ' ' '
- (X ; 4 ) Г ] .. ■ 1/(7, е'?, е и .
О О
Иавасихх- ttosaca-rass 'роста зздшедц- класса -г/ (И0рЯ£КН> Т2ХГ.:) к его подкласса •'.•••.•
-г/о = ' к or'1)} сю
делятся на трн основные группы: не совокупности неременных, по ямдоё переменной,. сопряаешше порядки и теш.
Б отдельности кэдшб показатель из этех групп'пореднов есть
либо число, либо система чисел (вектор з ¡Rn ), характеризующие рост, функции класса -ZJ лишь в одном направления (как это отмечалось выше э отношении порядка по совокупности переменных).
В трубчатой радиальной области О. ~ С - конус
в {R ' с вершиной в 0, асимптотику плврисубгаршнической функции изучал Б.С.Владимиров, сравнивая рост U с ростом ее мааоранты V\j ly) = {ucx+íy): X €Й'Ч, у.е С .
В гл. 4 рост функции и сравнивается с ростом другой ее мажоранты
Характеристиками роста (порядками,'типами) функции U е <Q считаются аналогичные показатели роста ее кааоранты М^ ^ принадлежащей классу ¡Ü .
Идею излагаемого а гл. 4 геометрического подхода к определению показателей роста функций класса легко проиллюстрировать на npœ.iepe_ функций одной переменкой. Если неотрицательная возрастающая фупкщш Ф(ч),"с^Ошает конечный порядок ¡>ьо и нормальный ш, то в обозначениях V(tO : = -£п+ф(еи) ) у (и) •.
теш: tV(ir) - ^(ti)3 = Ö. Геометрически это означает, что
и -i. со .
плоская кривая ^ ~ Vi >J4¡ t u£-(R обладает "верхней" асимптотой
У-r Функция -, х - о - элемент широко
известной икали роста неубывающих фуккщпи
В связи с том s что V(ix) = Ф(еи): =• ФС£и,\.., eU|"!J- выпуклая функция, если Фе%,то основной метод гл. 4 - выпуклый анализ. Его применение в этом круге вопросов восходит к Ж.Валироку (см. также работы В.С.Владимирова, Л-И.Ронкина).
3 §1 езсдцтся й июгзяготел. созсе. сд?о^ел51г.з "¿орсп'-а" ¿укп-1щц класса ~ порядон-^няцшг»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Порядок-функцией функции Ф из класса % назовем функцшо в со значениями в Со ; ос J
Если I, то fcp'f) = так ^о,-уи^где Sf - порядок функции Ф,т.е. в этом случае порядок-функция «рф и порядок £ ^упкцш ср взаимно определяют друг .друга. Порядок-функция характеризует совокупность параболических направлений роста функции Ф и не зависят от коэффициентов подобия этих направлений (легаш I.I5) -аналог результата Э.Бореля, т.е. для. любых г., > о(ъп > о
fcpiu) « fZ UG
Порядок-функция наследует свойства других определений порядков я обладает дополнительными свойствами.
ПРЗДЖШНИЕ 1.8. Б любой точке значение порядок-ч|унк-
щш <?ср С~ - ^ -порядок функции- Ф из в определении А.А.Гольдберга. В частности , ,<рф(И) = ^(Ф) - порядок Ф по совокупности переменных. Если в (л,о,...,о); ем-(Oj. то icpi-^t) = - порядок Ф по переменной , L = d,,.., п .
В отлзчие от снсткды ~х -порядков ' ' функ-
ции Ф - порядок-функция учитывает и те параболические направления роолз функции Ф из вдоль которых некоторые из координат "-Ц,.,, убивают»
Отметил олодущ00 основное для ■ порядок-фуннщш СВОЙСТВО 1.9». Для любой функцииФ из-2J порядок-функция $ср - иооафздатетаюя сублинейная неубывающая по каадой переменной функция В Р, П . .
Взаимозависимость ^ л ^(Ф) отражает ЛЩШШВ I.IO. Поредок-фптдая - конечная в ipsi функция ( ftp С"-1) - 0 ) тог;- и лишь тогда, когда у функции по совокупности переменных порядок у (ф) < оэ . (^ ¡ср) - о) • Порядок-гипардоверхность
ункцги из £-1 определяет ее гиперповерхность сопряженных порядков 5=$(Ф) в определении Л.Баумгартнора и Д.И.Роккина.
ПРВДЛСШСЯЕ 1.12. Пусть Ср е- ¿и ; тФ п Ф 0, Тогда {(х,-; ... : хеТфлГ0Ь-5лй;
Отметал геометрическое свойство яорадок-уункцни ^¿р (функции Ф из .¿а определяет асимптотический конус п (.V) над графика ер:У квэзааыяукдсй функции)= Сг.ч<Т>се";(опр. 1.14), т.з'. функции со свойством У(Лх гпау VС^> ^ , >о-
Конус .П(V/— обобщение известного понятия асимптотического конуса неограниченного выпуклого шюгества, например, если V- выпуклая функция, то ^ (\/)- максимальней конус в З?"*1 с вершиной в О, сдвиг которого помекается в ерСУ.
ТЕОРША 1.16. Пусть ср - 'произвольная функция из конечного порядка по совокупности переменных. Тогда асшатотачаокий: конус П(\/) надгрефикэ функции '/(и) г Ф<еи)—выпуклый, причем
П(у)--ер(:?ср: = {(и1г)п+1)£ : ^(с^ие^К
Порядох-фуккцая поровдает удобную фнкцв» сравнения. ГлОРЕМА 1.19. Пусть ЯР~ произвольная функция из ^Л конечного порядка по совокупности перемени.' Для любого ь>о найдется постоянная Сс>о такая, что
Ф (еи) с С^екр Ь\и\] ,уи е К"
В §1 для класса
ТТе* {Фе^; о < у (.Ф) < оо | (?т)
функций нормального порядка но совокупности иереь-.ешюй .рас ¿¡отрим шкалу роста элемслтсм которой является функция
и (г ; Рф) - ехр ^ср^г,,. . , €« е'^
(с;-.:, св. 1.5, нредл. 1.10). Пусть У - хлапе, копочикх сублинейных. неубквагодах по кзадой переменной ¿уккцлй в , нос/.г^цзтельных, причем (и) ¿? о V, Мп - { Н - ••, Ч) ■ 1Р<ь 1 }.
Пр.* и. -' 1 - жег- . гкв-а^еаглза !::.-и
зквзвстаой гжш* роста,■'ъ - яеуЗнгаяскз: пря-
Пусть V« У {не > 5*« {ие. Й*
функцию Н(' ; 41) 23 икали Мп назовем асимптотически эквивалентной функции ф нз класса | если ТГрСу) = 1 > ij.cS"л где
'"'—■.гаг У
ТЕОРЕМА 1.20. Цуст- Фё.Жп ; 5>ф - порядок-функция ^нкцилЯ3. Функция Н ; ) - единственный элемент шкалы М „ асимптотически эквивалентный Ф^ причем {И(.'}Рер) : Ф £ } - , Мп - полная окала для ЗТ^п .
В отль ла от функций шкалы Ии у функций сравнения вида Ф(?):
-г, V--' > + (Л.Баумгартнер, Ы.М.Дкрбз:ажн, Л.И.Рок-
кин) или вида Ф(г) = г, ^ *геК + ) где {а^о}^ (Дзс.Крта-
на ж И.Рао), порядок -функции имеют соответственно взд
и&Й*1, т.е. образуют лишь собственный подкласс класса у .
Для функции из класса /$ТСп. множество направлений ее нормального порядка роста совпадает с множеством (см. (21), опр.1.7)
7)? = {ие 5>ф(и)> о}. (22)
В §2 вводятся и изучается многомерный аналог типа неубывающей функции - тип
Дер = {^ср (-¡х) : (23)
функцииФ пз "г®£П)где
£Гет ' г • х > -- -Еьт -&т срса£*1> гей?" (24)
г ' > ' а-*х ±-*<*> ' + ~
л-тип-функция функции ср или ее функция типов по направлению При х -■ •£(., = (о,,.,, о, 1) 1 понятие £п-тип-функции эквивалентного понятию типа функции Ф по переменной Ъп.Пря х-теп 67р (у ) : -- 6"ф ; ) функции Ф совпадает с величиной ее ((г, х)-типа, где (т-{гь К*1* ; г^1)...'гп^}.Если п =1 и
= сг^Г, где ¿",6* - соответственно порядок и тип функции СР,
Существует взаимозависимость мевду зс -типом ^(х) и % -тип-функцией ■ ас; функции Ф из вря любом (21), (22), предл. 2.2, 2.3, сл. 2.13): ф - функция нормального -типа тогда и лкиь тогда, когда
о <бгф (еи; *)< со ^иёК'11, (25)
прпчеи
р у? *
' бфС^-хуг ёГ^Г 1 * -фЫ^') (26)
%
Пусть (у) - подкласс функций класса нормального
х-ткпа, .где хе и с заданной норядсж-фушцпей £> из класса
У (ем. (20), (21)). Для функцииСр из ее х-тип'функция
6~ (• ^х) имеет простой геометрический смысл: надграфкк функции
$р*(и):= -бп ¿чр (еа; эс) ( и£[1?п (см. (25), (2и)) - асимптотический х-цилигадр иадграфика функции */('•)-;
обладащий при любом ией" свойством
-¿1^7 [) - 2Г*(ж1+и)] = [>{*£ миУ -1<рсх)-8|(и)]=0.
1*00 ^о»
То есть вадграфяк'- огкбзвдей верхних х-асжжтот ^кк-
цик V.
Тип Лср (см. (23), (20)) функцилФ допускает
представление .Аф - {б~ф (•; х) •. хе 7ф> . В §2 выясняется зависимость свойств х -тип-функции от расаолоаоняя'ж нэ Т^ т.е. как устрое. тип ^¿р локально. Пусть ^е у. х еТ5> ;
Т** N в '$>(">/= 1] ; (27)
Ку- выпуклый компакт г опорной ф&тшсгей -оторсго является
%>(*> > к5>; <*,У> .-1 ^ (28)
- грань Кр, ортогональная х ; - ног? -асе классасо
свойство»*: дат любой функции" -с из N г/<„<•,' .уществует
единственная выпуклая полунепрерывная снизу функция у : ■) — -»'(-со,со]такая, что
'fx0* ) - *<-<р {г*- isSfW^w.«" . (29)
В частности, если функция р дифференцируема в точке ас и 'f х £ j), то найдется постоянная о со свойством
-эр
{х ] 5 cf г «г; ; г £ 0? +
Центральным результатом §2 является
ТЕОРЕМА 2.9. В упомянутых обозначениях ,\'п"(у>5 - {&ф а)-..,
Ф6 ^Тп (р)}, т.е. для заданной лары функций j> е У, у <• и
элемента хб Ti существует функцияФ из класса у кото-
рой порядок-функция fcp^j3, а х. -тип-функция х) = f.
Из .теоремы 2.9 вытекает следующее геометрическое свойство х -тип-функций: любая опорная гиперплоскость к Екпудлсму мнокест-
ByGx-|u6Rh ; S'Cp(eu-/x)4i}i где Ф е параллельна некото-
рой проходящей через точку х опорной гиперплоскости к порядок-ги-
П9рпозерхностиЧф=Т^ (2?) функции ф. Позднее и другими способами Г.Шопф и Ф.И.Гече нашли модификацию этого результата, позволяющую судить о геометрических свойствах гиперповерхности сопряженных типов при положительных сопряаенных порядках ( ¡ft,. ) в зависимости от расположения ( f __ ) на гиперповерхности сопряженных порядков. '
Функция типов по направлению х является удобной функцией сравнения, на цилиндрических множествах с направлявши,! вектором
х( а класс N является шкалой роста для: класса
ТЕОРЕМА 2.16. В обозначениях теоремы 2.9 для функцииФ из
в икало сущостгуот единственная функция' (■ ,х)
(см. (24)), такая, что
<ч,х>— оо j ие П^ для любого полуцилиндра { хЬ + хгеШ* • t >t„ ; irePCj с ограниченным основанием 1< ё {1/ б iRf. <Vlx>*o}. Шкала N* (g) яв-
дяется полной для класса
При п = 1 Ы-Лл = {тт.*. «»о}, где = ¡Г"4, ,5>о,т.9.
(?) - многомерный аналог известной шкалы роста для неубывающих функций, заданных на полуоси в К .
В §3 рассматривается подкласс (?- {ср(г)} класса , состоящий г з неотрицательных логарифличэски-выпуклнх от'-биг,,.,,7 блГп. функций. Для функции Фе(£ исследована глобальная структура ее тл-ла т.е. устанавливается, как "состыкованы" меяду собой различные тш-ч>ункции системы Лср (23). Иуоть
Я? Л,(|>) - {Фе те: »?} (30)
- подкласс функций класса и (21) о'заданной порядок-функцией у яз У ; С - наименьший конус с вершиной в О, содержащий компакт Кр ; Гр = К^л.(Сграниц относительно С (см»(28)). Тогда _
Г^ = у Эр(*> I хе т^ (31)
(см. (2'7), (28), лемму 3.1). Дадим следующее определенно стыковки
тип-®гнкцй1о
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Пусть И (П») - кяао полунепрерывных снизу на ынояестве Р^ функций, ашуклых на всех его выпуклых участках;
- соответствующая функции М' лз класса Н (Гр) система функций, определяемых. формулой (29),..(Скажем, что тип функции Ф из
И?„ф(си, (23), (30;),, ,'(3153 удовлетворяет условие стыковки, если в классе Н(Гу) найдется функция у со свойством Геометрический ешгсл условия стыковки таксв:
Пусть = ■бмЦ'хСе"!,, хеТ^. Есда у надграфиков ерс^З^,
I = 1,2 существуют окоряке гиперплоскости I = 1,2, парадага^ нве друг другу, то Пт = Г^. '
Осеовяш результатом §3 является -олвдуюаея . ТЕОРЕМА 3.3. Пусть реУ. У любой фикции тин Лср удовлетворяет условию стыковки* причем (см. (32))
- ■' У € ИОД ;' (33)
Доказательство теоремы 3.? опирается па данное в лемме 3.6 -решение задана Дирихле дет выпуклых функций, т.е. задрчу восстановления выпуклой функции внутри выпуклого компакта К с R"no ее значениям на границе "ЭК . 1
Г.Шопф к автор иязависимо друг от друга нашли "геометрический" вариант этого результата для гиперповерхностей еопряпенннх порядков и сопряжениях типов и пх модификаций, связанных с различ-
Crj
_______________^________ , прячем автор рассмотрел более обшуи
ситуации. Г.йопф показал, что упомянутое условие "стыковки" тии-Щуннций не переносится на вое функции класса ^ (см. (19)).
В пятой главе результаты гл. 4 применяются для введения новых характеристик роста целнх функций многих переменных (порядок-функции, СЕС-Хемн тип-функций), исследования их свойств, изучения сравнительного роста ассоциированных о функцией f нз H (Си) ее гаяовдумэ модуля Mf, максимального члена f j., характеристики Не-вгзнлшшы m (• j j).
Объектов исследования §§ I и 2 гл. 5 является, класс (см.
(19)) (показатели роста j- <=• H (С )>ж называются в ли-
тературе показателями роста целой функции f ). По сравнению с результатами гл. 4 в §2 исследуется типичный дополнительный вопрос -о существовании целых функций с заданным набором ее новых характеристик роста. В частности, справедлива следующая теорема о существования целой функции с заданными порядок-функптей и системой тип-$згшсцнй, удовлетворяющих условия стыковки.
. ТЕОРЕМА 2.3. Пусть §>6 У; фе Шп С?)П<?(См. (30)). Существует целая функция $ из ЖиС^тЛ. fe-{g.e HCC"): -&i4Mg.e 6 Wtft(£) см.(30)), y которой тип Sep (cm. (23), (33)).
В доказательство теоре?.ш 2.3 фундаментальную роль играют формулы, вцрязающка связь коэффициентов Тойлорэ далей функции с еа порядок-функцией, системой тип-функций (теорема 1.2). Эти формулы примыкают к аналогичпш формулам А .А .Гольдберга для (6-, х )-порядка л (G, х )-ткпа целой функции многих переменных. Кроме того, использовались методы выпуклого анализа, в частности, теорема Маяковского о числе целых точек в выпуклом множестве.
Построению целых функций многих переменных с заданными другими характеристиками роста поев ,знн результаты B.C.Владимирова,
Л.И.Ронкина, Г.Шспйа, Б.Н.ГинзОурга и др.
В §3 исследуется вопрос о сравнении роста И^. у J*^ в случае
йункции f из Н (С"), п »± конечного порядка но совокупности не-ременннх. П^и n = i хорошо известка асимптотическая эквивалэнт-ность и tn+f1^*) при х.-*■ . При n~z Ж.Ва-щрон в
1923 г. получил следующий результат:
Пусть G = €ст (Z» г>"1 '¿п*^(Iх;=<*>};
/С—оо
К - кс ус в К4 с зершиной в точке О таксой, что К \ {r'jd nt G. Тогда .
Ьт C-enСeU2)]"! £„ Mj (eu; eu*-) = ±
US К; IUI-» со
Дж .Гопала Кришна доказал асимптотическую .эквивалентность.• Сп+М,:(г]1 ¿h^fiz) при 'сисо , i-i.....ti.B обоих случаях порядок по совокупности переменных ао ,
В §3 найдено следушее обобщение этих результатов.
ТЕОГЕНА 3.1. Пусть е. И С С") - функция конечного порядка a(j) по совокупности переменных;
J--lue R'1: ^(U) > 0} К - произвольный конус в с вершиной в О такой, что К \|o}c£)g-. Тогда
tirn С^А (еи>Г? ¿n.Mf(.eul ? 1 . (34)
ilii-»- оо ■ ue К
Это равенство выполняется, в частности, если j! е к IO jO^cDö
r^j ¿2>£> - {ue К PfÄV) > О}- ~ порядок-йункция ДЛ1 функции -f.
Метод доказательства основан на идеях выпуклого анализа i отг лячен. от методов, использованных 2.58лщганом и ¿ж.Гопала "ришна при получении увсмггтутых гше результатов.
В §4 вводится многомерный: аналог классг яеубывавдах функций, шещг одинаковую категорию роста, и исследуется принадлежность атому классу различных вещественных ^унхций, ассоциированных с целой функцией шоггх переменных. ' •. .
ÍKE 4.2. Пусть V Ол (x) - €íít'! г'- \/i^¿QZ
зскед. санкция вяяуклоЯ йупкнди V; R ' ~> (-<*>,<»,). Неот-G аушгд: а,
а
ттцяз Ф, д из клнсса ойлэ" "юг одлзакоесЗ патзгс»
1) 1 функций Ф(еи), сс&ая асшптотзпеская функция с •Л/саосгш до- постоянного тогячвяя;
2) у функций Ф, ^ обс;эя норядок-йушэдяя: о • ~.?<р ~ ;
3) з оаучае, когда Ф, (21)), у них од~ кезромевло мнншальяий.нотелальшй или каясдаэлышё .х-ткп при до-
(кч xs rf т.дв {и&¡R" • ~ ¡:x общая порядок-гиперпо-
ЬС?рЯ!ОСТЬ, .. {ЩИН класс СХОДЖССТИ» ;=ар(гХ),
'i* ít)~ % (tx) Х>Ощ>т*вдх<ятт однетгу классу сгодааостн ира любом ¡67^
ТЕСНЕЙ 4.3,'Пусть ÍGHÍC), п>±- 5сí"£)~ ¿_ Ю^г", ГЛ0
ÜKjíiO
Г- ) f, ЗГ0 1.' Л. "Э\Э ОуНКГЩИ , ет(-;/)
v -г г lC" i и чп), S, обладают оддаэксвой катего-_ г , т» "л -г с' .. о кг jp - й2 обгая порядок-функция, то ".(!)) у ; У-
йрл п-1 этот гркт лоропо нзвЧсгеа. ЛЛ.Роккин'списал гипор-¿•уг^рхкссть сощнзегпга Е'орядтсск у ассоциированной с целой qyinc-
щтоя I КЗ ф/ищт
* 'гт 2JT
ТМощ .л^с^ролл -J- , для которой ¡¿унхцпя Kl^CO
гжлт порл'лох'-^пяц'та д поятязу» кя-^икцей по факснрс-
гаплсау
Б иертрй гяодягга -сндгзэ лпдикзторной дзаграголы целой
ьузкции в'С' калачного порлака по совокупности перслсяяпх .с неот-рэдатедыгчч рядяяжшга регуляразовапши пнднкяторсг!; обобщение отого понятая у случай целой с заданно!! еаотэмоа лодояи-
тольных сопрякеякнх порядков; ¿рассматривается аналог теоремы Пойа-Мартине ~ Эренпрайса для уясиявутых классов целых фунющй »'чогях перемешшх и его приложения.
Ела одаря теореме о стирании коыпактгых особенностей голоморфных' функций многих переменных многомерный вариант теоремы Л^ Ни возможен в формулировке, аналогичной одномерному случаю. В работах А.Мартино, Л.Эрекпрайса, В,М.Трутневз в неявном виде имеется следующий вариант теоремы ^ в €" 1
ТЖя'ША. А3. Пусть К - выпуклый компакт в £и; ОеК;
К = Ые С": < V/, £> / 1 {35)
где <ч/, Ь(с)»*ир{Йе<ч,£>:£€К};
пространство целых функций экспоненциального.типа, у каадой иг которых радиальный регуляризовашзый инаккатор £ Ь ) V*® е
£■ С1 с общепринятой топологией; Н (К ) - пространство 'функций, голоморфных в К с топологией равномерной сходимости на компактах в К. Тогда существует изоморфизм А :• С'Й, Ь] Н(К), Другие многомерные аналоги теоремы А^ связаны с расположенным
е геометрическим образом Т^.(ц>) вел^д функции ^ из Н (О . ассоциированным с фиксированным вектором' '{% ,, %) аргументов комплексных переменных г^... ,2.» в С " (В.К.Иванов-, С.Г.Гкк-
дкккн, Л.И.Ронкин). При п=± Т^Щ) £^(лр), «О , где - целая (тункция порядка р и нормального типа с индикатором Ь^.
Объектом' ж гяедокшия гл. 6 является введенная автором система регулярпзоваышх индикзтсров { И ^ {■ >г) : % & 5;} целой функции £ с- 'заданной непустой гиперповерхностью пблсгштельных сопря-геняых порядков, где
'Ь^аМ'ёш '-Сш , гбГ^^у;;.;.,^)-. <зе)
и/-* 2. Т-^ог
В §1 вводится система ¿>-'{Ьи рехул- шао-
Еанных шщикаторов Зункгдо: ^ яз) где =
(Зц — порядок—(тункщш функции ц ; 1 '■■
Система 21 - мяог-сшркиВ -аналог понятна индикт эра субгор'.пняч'"'-скок, о -ои ус копия К пб-)!/! .-Х.€'Н(С"' : . г.ой туп:--- :
переменной.. Показан«, что для функция vi из класса ГЛ?П конечного х -тала при любом хвЙц сщ. .ведливо тождество, известь,е при п. - I :
^{uet/'^„^„е^". ас)-. hpjlSiT j = dLJt., .п^б^*)/«^
где 6'u ( • ; х) ~ х-тип-функция функции "и , Изучены и другие свойства системы , в частности, системы (35). Вводится ассоциированное с ^ (• j à") (36) понятие индикаторной диаграммы.
(ШРЩЕЛЕНЙЕ 1.5. Пусть h = так{ о, (• ■ Г)}(• Множество
■ Qh * и Пс»Рет>о ; Пт={г.еСп: h (zr^xRer} <37)
назовем ¿f-индикатотшоЯ диаграммой целой функпди 4 из ZStn. Здесь
Это понятие является модификацией конструкции Х.Киоелклана, рассматривавшего в случае faß' ассоциированное с радиальным индикатором h целой функции экспоненциального' типа множество (см.(37)).
un^-ltéC. <за>
При имеем: где у- порядок функции f и если ее
индикатор h ^(0)^,0, "о Ь^ { 2.- у) = I Z.1^ hj (qz.g г), (см.(35)) - сопрякенное множество у-выпуклого компакта К, Jf-опорная функция которого совпадает с h^ s который выполняет роль индикаторной диаграммы функция -f с неотрицательным индикатором.
В §2 с помощью схемы двойственности Ми&ьовского исследуются геометрические свойства jf-индикаторной диаграммы Q ^ функция ■} . Она принадлежит классу х-кругообразных мноаеств, т.е. множеств в С" которые вместе о каэдой своей точкой 5 содержат и множество
Ох (w ) = {w С и : 'CS К} j К - {О ReVfcM*
при неко'.эром w- V/t-). Функция Ь = тах{0 , ; q )} (См.(36)) принадлежат подклассу ), где х - («f.,-1,... , ¡f„ ') функций класса ; удовлетворяющих условию '
0$ h (Ä)< ©о ; b(zt*)=tb(2) Vt^o.zeC".
Если существует последовательность'функций класса Рп (:с) л
00 свойством то (см.(37))'- область го-
ломорфности в С и (теорема 2.9). В случае ¡¡'-il подобное ^чойство
для множества вида (38) установлено'ранее Х.Кйеельманш.
ТЖЛА 3.1. пусть ze Rо ; Ье Чл:'-У) ü^^i]-,^}-h] - пространство целых функций я С, таких, что
¿Tm i"\ i f (wtx)| 4 'И (£3 Угг-С";
£ T-» «?
H(Я^ I- пространство функций, голоморфных в ß^ (сы, (37)). Оператор ; [-у. h } - Н ) ; *
mnzo 1 t ,x' 1 i/K((>o
где 2. ■ - ii Uli = K",+ ^осуществляет алгебраиче-
ский изоморфизм пространств и 'Й(,"),причем следуетхе
факты эхзквалэатвн: I) ¡f -индккаторная дкаграгс/а у функция f из £g- к] равна Q 'ели неотрнцат&шт срезка у-индикатора ®гнг>
ши J « J (2- ; J ) ~ mfl^j о, hjCZyJf)} s h(2), 2e£h(cM. (36), опр. 1.5); 2) наибольшая х -кругообразна.: область Q ; куда аналитически продолжается функция ¿^-fif ("совряэшшая диаграмма"), совпадает с Q ,
При п ~ I,' х = I преобразование (39) ввел Э.Борель, а при и = i • х=</р ~ Мкттаг-Яеффлер." Более odaee преобразование дано
К.М.Джрба2яном: со степенным ряаок j(2)~ Zör2. оходещал-
. }
ся в некоторой окрестности О в С^1 эс'соцщровадась целая • функция
Oö к '
■fp У. f >ü; jv! >о. При x = f npe.oö—
разование (29) всиользоьал Х.Кгсеяьман; в близкой $о$ме око-рас-окатрнвалось-В.К.йваЕсвам, ЛЛ.А&зен0эргси и В.М.Трутнезш. В oi «ем случае преобразование (39)-предложил Е,И.Яковлев.
Б п. 3.2 выясняется услсвяе, при которой изоморфизм в теореме 3.1 являет ся топологическим.
ТЕО.РНМА. 3.4. Пусть для Функции и. из р /т) существует яосле-
оо И *
довательность ^Ь«}, • непрерывных ^унхдай'.лз Ц.(х), кскстонно убц-вводая к ней. Введем в ijf; ЬЗ топология прсекгт лото предела'после» дователыюстя { Ву банаховjx пространств и?.л';. .■gfnz'mi о н'о)г.;:-г.'Л«
а в - тоьэЛогл» рэзкскеряеЗ .сходус.:о<:тя а всех в
Тогда 'кзол'срйлзм А : С^, Ь3 явдяе-тел го::слсг.л-т-о:-;^.:.
3 отличие от ярпиадлозавпк В.К.Кз8Нобу, Л.И.Роькг.'.гу, Н.С.Лрр-сокозсй и В.11 .Треневу,-Е.И.Яковлезу миогемзрнцх а;млсгов а-г в теореме 3.1 дано описание с пойощьж того гдп иного ра целой .<5ушаски $ .фянздлэнгщзй оцределазноау классу с.бд-:-г;?ц аналитического продолжеиая. ассоциированного с £ п -крьпкгс гле-некного ряда. Это позволило найти рз се прплдаеня/., рзос^.с.трон-''ннх в §4. В а. 4.1 найдено условие оунбсздованвя целок лупк;^:;: с заданный положительный вСи^ (о} шщкБбтсрок, ссответстзуксзга фиксированной системе вслокительных сопрягеявкг яордгиссв. В качестве следствия этого результата получено сравнительно нрос-гог доказательство существования целой функции конечного порядкалэ совокупности переменных с -заданным полраптедыш в€Й\{о} р»дв-альннм регуляризовашны индикатором. Этот факт язляется ослабленным вариант« известной теорем А.Мартяно. Б п. 4.2 дзяо оззсаяке области аналитического продолжения л-кратного степенного рцдз ) с помощью спстемн кнтегралышх методов сушкроаакця. Пусть
. а( г.) = Хак 2." (40)
цкцг-о
Л - кратный степенной ряд, сходящийся-в окрестности о в С" ;
а.-ассоциированная с нем целая функция (см.(39)). Для йикси-рованного х ^ К рассмотрим-систему интегралов
ОО (<?С0Г= 0)
Гег ^)1бкя/г.
При люб:м Об (-^/2,^2) интеграл'--задает аналитическое продолжение ряда д. во внутренность 83 множества точек абсолютной и ' равномерной сходимости && . ■
Случай аналитического продолжения степенных радов при п = 1 / х>о1 0 ~0 исследевзлм Э.Бореяь н Г.Мкттег~Яефвлер (соответст-. венно при эс=Н , х = - интегральный метод суммирования Борэля'/у и Миттаг-Деффлзра), а в близкой форме рассматривал М.М.Дхрбоглн. Множество Во называется многоугольником Боре ля. Случай 9 = 0,. а>1 1 х = -й ) когда ассоциированная с: рядом (40) целая йушадая'
сгеет вид 71 Вл^-: изучали В.К.Иванов ( п~ 2),
тьог(ти п)
".¿.Айзенберг, В.М.Трутнев, Е.И.Яковлев рассматривал случай ©=о
Х&1Р о. Суфлированию гг-кратных числовых рядов с помощью интегральных методов посвятили свои исследования ряд авторов (например, З.^.Мураев). В упомянутых исследованиях изучалась и задача об о-дсании множества В0. В частности, при п - I, х = I Э.Борель
показал, ча. В0= 12.е С : Р?ег/е? < 1 гд9 5 - ^езда-Мит-
таг~Леф.;лера ряда (40). Подобный результат найден Г.Мпттаг-Леф-флером, В.Ееркзтейном, автором при гг* 1, х
В случае рассматриваемой системы интегральных методов оуши-рования возникает задача об списании для ряда (40) обобщенного многоугольника. Бореля ..
И = у 8е| 19|<Я/г (41)
объединения областей суммируемости этих методов.
Множество М - х -кругообразная область в €и В частности, при х = -А
м> и Кг. |ге В0/ •. .'(42).
где г- круг • с' диаметром Н ], расположенный на комплексной
прямой {•c2.eC : С ^, э.Борель, при п* I, В.М.Трутнев прх <"<> 1 доказали возмогность аналитического продолжения ряда в мкогество М, лдзваемоо форелей (¿3). :
Известно эффективное описание многоугольника Бореля ряда (40) с помощью индикатора ассоциированной с целой §»гякция (Э.Борель - случай п 8 I, х = •1;.В,БерштойнУ' автор - п. = I, х= 1/0р. В.М.Трутнев ; Е.И.Яковлев - п> ' 'х с КГ ).
Подсбноз описание возможно и для'обобщенногоашогоугольнгка Боре-' ля. Справедливо следующее дополнение, к.теореме 3.1...
120Ш&. 4.5. В упомянутых' обозначениях условия I), 2) теоремы ЗЛ эквивалентна условию:
3) обобщенный многоугольник БореляМ .ряда (см. (4.1))
совпадает с (37),
Ряд других приложений теореш ЗЛ рассмот- ж е п. 4.3, 4.4,
csHZff рг-'экозоЗ- погорхйоата злгсбрззяесЕгх ^ушадгй,- ясследуетс.т конструкция рзшановой поверхности обращения отображения
= fU
в случае нецелого . Эта поверхность по сравнения с рпиано-
ео5 поверхностью алгебрзическсй [|уняцип ( fS.?! ) смеет ряд особенностей. Свойства это?" конструкции используется в главах I к 2 при описании индикаторных диаграмма ц&лзх функций нецелого порядка $ . .
ПУБЛИКАЦИИ: GO ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ :
I. ' МзергоЗз 'I.C.. Некоторые свойства выпуклых мноаеств и их прило-сонея.к теория выпуклых я целых'с§уйкцпа//С2б.катем.зурн.- 1968. Т.9, й 3. - С,577-591. 2» Наергойз Л.С.- 0'шкалах'роста целых сТушшдй слотах переменных// Докл. АН СССР. ~ 1970. -T.I92, В 3. ~ С.495-498.
3. МаергоЗз Л.С. Одна•краевая- задача для выпуклых функций и ее пршгозение к Есодедоваапо зешптотшш функций// Докл.АН СССР. -1971, - T.I98, Д 4. - С.762-765.
4. МзергоЗз Л.С. Об аеэттотшеэ выпуклых функций' многих перемен-1шх//0птигззащм.-1971,-.'51(18) .-C,67-Si,
5. Maeprofts 1»С. Разлцчкнэ определенна етпоз s шкалы роста.целых йупкгай шогзх пере!яэвикх//8сь^о;озная конфэренцяя по теории
. ¿уккппй когшлбкепоро 'переиешого: • Тез,дошг.~Харьков, ФТИНТ АН УССР, 1971. »€.129-131.
6. Наергойз JI.C. йуш;цшт порядков п.пхадн роста целых функций многих а.ро:леикау//Спб.еттс:л.гд??а.~13'?2.-Т.8I.~ C.II8-I32.
7. НаергоЗз Л,«" » тт~се,"*а о -вщувлнв шо:"естпэ п некоторые пх црн-ло;:;знтет//Го г '„ о Сускцз- ь-ногнд кошлзкеных переменных. -Красноярск, 1 СО СССР, шг. - С»75-91.
8. Maeproâs I.o. " -ч - и еаязанннх -с вша шкалах роста целых Функций ипепх гор.- 0яш1х//д0кл. АН CCCP.-I973.- Т..213, 3 5. -С.1025-1028.
9. Меергойз I.C. Функции типов целой фувв»да кяогях переменных по направлена®.! ее роста//СЕб.катем.дурн.-1373.-Т.14, й5. 3.10371056.
IG. Vпергой» Л .С. О структуре икдккаторз • «¡цсй функции конечного порядка ? »о^алдього-типз //СЕб.мзтем.йурн. - XS75. - 15, J.'.- 2. - С.301-313. -.■ ■■.-
II. йзергейз л .С. оле.мен:'ы xscpzn акпуклпх к цьлнх (»ункаий многих neper.'.«i;KK>:.- Kj-aciienpcic; К17, I97G. - 163 с.
12. йа«-ргь?.з jLС. Об аналогах тооролп; Полша, для целой Зушщгн i-'iio- -гйх ni.reMe.n'KHX'// v 'голоморфных йпшшых «лногхх цзремь-нккх, -Крагнеярок, АН ССОР,•1976; - С Л$3-299. .
13. .ч.С. Со. одном.результате Валлропа // Теория (тунццй,
гл-влнз и их щшореги!;:. - Харьков, 1976.- . Луп. 29, - C.S9-9&. . - .
1Л. .-'¿epri-iis Л.С. 05 аналитической реалмеши'caepavepoa, кс?"иугй~ с опора-хсрим. сообщенного дя^реренппроланля // Успеха - 1982. - 'Г.37, й 3. С Л91-122.
Jo. МаергЛз. .¿i.e. Кнтеграгаш» поробразозакия ^эдцх фнкщй конеч- . ьеге порядка о задании«' шадасг0р<ад//срир1 eix analysis ana its f.npiACt^iono tc\ partial c:ifier-'.atiai efuetions.-Halle, 1$sS''.-72.
It, b'.uc£„s. In..! ¿en tor £ш2 го«5и£аг<» 'fUofiraiso -of oatire Ximc- • с ion or JKsr C^ ■*; /? IniC'rbatior.ai conference on complex г..-: oni- огр1£6а*Лслд* Лигктз.^з. - Varna, "S'G5.~
1?. rJac-prwb л.С. 0 предотэвлжадх'системаx:целых с' (у, <*• ьхг.ухлнг. ч*/® сто/Дом.- iK СССР .-I98S .-Т.Й85С5) .-C.I058-I06X.
18. L'acp-rc ii Л.С. йаоская шиикатеркап .дкагрэшэ цело? функции це~ лот« порядка. о 1/2 //■Сиб.мате,л.курн.-1567.~Т.гЁ, £¿.-€.107-
19. МеургдКэ Л.С. Плоская едд^зторнай дкагра.'ли целс-2 фуккгш: нецелого перо-дк'-' /У -Коиплоксяуй анализ. н катекатическая фпзккз: !£ксла'-се:л:к«р' (:бз.дс-кл.) .-Краскок>з!\' йф-СО. АН 'СССР, 1337. -
С .69.
Маергойа' Л.С. Иэдпкагеркая д;игракла целой, фуккпкя многих переменных с неотрицательным иедкк<зтсро'///докл,: AI' СССР.- 1988. 7.29Э, ..'г 3. ~0.:ДЛ-Ь54. 'У'
21. ;.;аетгсйз Л.С. •¿арзкуерксУйки роста ;;лю;>исуб.г^ркощ«1ескнл в цела функцдй'й!Н&хах парск-гниах // intern. з;.-пр. Complex Analgia J-T;d Applicti-i lass's -Abr.tr.- H<JTC08-»4jvi, . Кзерюйз Л.С.*2лоека>; индикаторная дка •'рои/в цело!: фягадаг рз-цкепальноге ьорядка f>-> i/2 УуМсследоБакиг- по ус^слозз: и теория операторов.'- Сворддопск: УрГ7, Ii-0. - С.
23. „Ч.С. Лсзсдтотпсескпе хй.л^терх-гтики дчЛаХ (i/K'-ii/P:
.
кх'криложешя в математике и биофизике. - Новосибирск: Наука. Сио. отд-ние, 1991. ~ 272 е.
I
I
ч
Пг.д1',;си!о у. r.fr 'u?;. и.,,^.Л ,
бумаги cv7.£4 (б-ь^м Г- л.?..,-X ^у.кгд.д.'
Зака."; 145 . 7'лр*ч .ICQ
Отпечатано.- fia уэтапр«н?е. Ич'.титути ¿»тематики ,ЛЦ C'Jf>
620090, íbnocüívifí-K.QO:; ■
