Асимптотические и переходные режимы критического поведения идеальных и дефектных кристаллов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА ФИЗИЮ -ТЕХНИЧЕСКИЙ ШЮТЛЭТ имени Д. Ф. НОМЕ

На правах рукописи

МАЙЕР Игорь Оскарович

УД1С 536.42: [537.611.2*537.225.4]

АСИШГГОТИЧЕСЖ И ПЕРЕХОдаЫЕ РЕ®Ш КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ и даьлотшх КРИСТАЛЛОВ

( специальность 01,04.07 - физика твердого тела)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ленинград - 1990

Работа выполнена в Ленинградском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции электротехническом институте им.В.И.Ульянова (Ленина).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор А.И.СОКОЛОВ .

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор А.Н.ВАСИЛЬЕВ; кандидат физико-математических наук В. М. ЛАПТЕВ .

Ведущая организация - Ленинградское отделение Математического института им.В.А.Стеклова Ali СССР

Защита состоится " 19 00 г, с

часое на заседании специализированного совета К 003.23.02-при Физико-техническом институте им.А.Ф.Иоффе АН СССР по адресу: I9402I, Ленинград, K-2I, Политехническая ул., 26.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке института. ,

Автореферат разослан " " 19 - V г.

Ученый секретарь специализированного совета X 003.23.02

кандидат физико-математических наук С.И.Бах о лд

Общая характеристика работы

Актуальность теми. Критические явления в различных твердо-■ельных системах являются объектом активного экспериментального I теоретического изучения. Одним из направлений исследований яв-[яется выяснение влияния замороженных примесей в кристаллах типа 'легкая ось" на характер критического поведения и, и частности, 1а зеличины критических индексов. Интерес к этому случаю изин-•овских систем положителен, их критичэские индекс» изменяются гри введении примесей типа "случайная температура" (критерий Сарриса). В последние годы проведен ряд измерений критических ин-;ексов, описывающих асимптотическое поведение восприимчивости, геплоемхости, параметра порядка и корреляционного радиуса изин-чэвских антиферромагнетиков различного состава, в разной степени разбавленных немагнитными примесями:Рв^й*,^ и !Барретт, 1936; Белакже, Кинг, Джаккарино, 1986; Данлэп и Гот-глиб, 1981; Биржено, Каули и др., 1983; Митчелл, Каули и др., [986; Розов, Кляйнхаымес и др., 1988; Ърстон, Питере и др., [988). Имеются также работы, в которых температурные зависимости восприимчивости и параметра порядка примесных систем определяют-5Я,методом Монте-Карло и оцениваются соответствующие критические шдексы. Теоретические работы обычно ограничиваются низшими порядками разложений критических индексов по степеням ^ПГ ( £ А-размерность пространства) или по степеням константы взаимодействия флуктуаций при фиксированной размерности пространства. 1э-за того, что эти разложения расходятся, прямое их испольэова-1ие ведет к противоречивым результатам, а качество простейших 1роцедур перэсуммирования трудно оценить, так как неизвестны 1симптотические свойства разложений.

Разработка и обоснование методов суммирования таких разло-гений и получение надежных оценок критических индексов >и-инговс-ких систем о примесями типа "случайная температура" являете^ необходимым для дальнейшего гродвижения в изучении как названных метем, так и систем с примесями типа "случайное поле".

Значительный интерес представляет возможность трансформации «прерывного фазового перехода в фазовый переход первого рода а кубкчрском сегнетоэлектрике за счет взаимодействия флуктуаций

параметра порядка, а также возможность асимптотической изотропи эации кубического кристалла в критической области- Последняя си туация изучалась как теоретически, гак и экспериментально, но окончательного ответа на вопрос, становится ли изотропным трехмерный кубический кристалл в критической области, получено не было. В частности, неизвестна причина граничной размерности параметра порядка. Положение проясняется вычислением разложений ренормгрупповых функций достаточно высокого порядка и их тщател ного анализа с помощь» методов суммирования расходящихся ряде

Представляет интерес вычисление критических индексов изотропных моделей с числом компонент параметра порядка 4, поскольку существуют системы с параметром порядка, многокомпонет ность которого не связана с наличием анизотропии (СодО^, Хриплс вич, 1982). Разработанные в диссертации методы позволяют не тол ко получить теоретические значения экспериментально измеряем! индексов, но и установить пределы применимости разложения, которое при сравнительно «алых п. дает, как известно, весьма не удовлетворительные результаты»

Цель работы.

1. Вычисление свободных энергий тетрагональной и ромбоэдо ческой фаз кубического сегнетоэлектрика для детального описании трансформации непрерывного фазового перехода в переход первого рода за счет взаимодействия флуктуация.

2. Вычисление четырехпетлевых разложений ренормгрупповых функций обобщенных кубических моделей в схеме Каллана-Симанзик! Получение разложений критических индексов в двойные ряды в это) приближении.

3. Развитие методов борелевского суммирования двойных расходящихся рядов. Вычисление значений критических индексов трехмерной примесной модели Изинга с помощью различных методов бор лепскогс суммирования с тем, чтобы повысить надежность получав' мых оценок.

4. Вычисление граничной размерности параметра порядка куб; ческого кристалла и индекса, отвечающего ренормировке констант: кубической анизотропии во всех приближениях вплоть до четырех-петлевого;

5. Расчет зависимости критических индексов обобщенной мод

и Гейзенберга от п. в области 4 в четырехпеглевом прибли-:ении с помощью методов суммирования расходящихся рядов для поучения теоретических значений индексов при произвольном и ;ля установления области практической применимости рал л оке-!ИЯ.

Научная и практическая значимость работы. Вперпые гшчислени ■клады всех четырехпетлевих фейнмановских диаграмм для обобшен-ой модели Гейзенберга с кубической анизотропией, в пределе иу-еаого числа компонент параметра порядка термодинамически экви-ллентной примесной модели Изинга. Получены разложения роиорм-рупповых функций в схеме Каллала-Симанзика в четнрехпетлевом риближении в двумерном и трехмерном случаях; они могут быть ис~ ользованы для дальнейших теоретических исследований критичес-ого поведения примесных изинговских систем, например, для вичи-лсния экспериментально измеряемого отношения критических а:.!п-игуд.

С помощью развитих в диссертации методов вычислены крити-:ескис индексы трехмерной модели Изинга с примесями типа "слу-айяая температура". Проведено сравнение с имеющимися окспери-юнтальными данными. Во всех случаях, где ото было возможно, ма-оды суммирования применялись к точно решаемым двумерным «оделяй целью проверки соответствия приближенных и точных значений ин~ ексов. Вычисленные значения иедехсов неоднократно использова-ись при сравнении теоретических и экспериментальных результатов работах, посвященных измерениям индексов трехмерных илинговс-их витиферромагнетиков (Митчелл, Каули и др., 1906; Тэрстон, итерс и др., 1983).

Методы борелевского суммирования, примененные к трехмерной рехкомпонентной модели Гейэенберга с кубической анизотропией, оэволили объяснить отсутствие yвepeffнoгo экспериментального одтверждения наличия асимптотической изотропнзации, возможность огорой была предсказана теоретически. Оказывается, что йсимпто-ический режим может проявиться в чрезвычайно узкой области близи критической температуры, достижение которой находится эп ределши возможностей любого эксперимента.

Апробация работы. Результаты диссертационной ркботн доклеивались на:

- б -

- XX Уральской зимней школе-симпозиуме физиков-теоретиков, Пермь, 1984;

- Всесоюзных семинарах по магнитным фазовым переходам и критическим явлениям, Махачкала, 1984, 1903;

- ХУЛ Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений, Донецк, 1985;

- У1 Международной конференции по сегнетоэлектричеству, К< бе, Япония, 1985;

- Ш и 1У Советско-японских симпозиумах по сегнетоэлектрич« ству, Новосибирск, 1984; Цукуба, Япония, 1988;

- Республиканском семинаре по физике магнитных явлений, fif нецк-Кяраванное, 1986;

- I Научно-технической конференции молодых ученых и спецш листов ЛЭТИ, 1936;

- XI Всесоюзной конференции по физике сегнетоэлектриков; Черновцы, 1987;

- Всесоюзной школе-семинаре молодых ученых по сегнетоэлек рикам и родственным материалам, Минск, 1987;

-У1 Европейской конференции по сегнетоэлектричеству, Познань, ПНР, I9G7;

- II Республиканской школе-конференции молодых ученых "Ак туальные вопросы физики полупроводников", Алушта, 1988;

- II Всесоюзной школе-семинаре по нелинейным волнам, Кали нинград, 1908.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из вве дения, пяти глав и заключения, содержит 123 страницы текста, 4 рисунка, 29 таблиц, список литературы из 123 наименований.

Основное содержание работы

До введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются поставленные задачи, дается обзор содержания дис сертации и распределение материала по главам.

В первой главе после краткого рассмотрения метода приближенного построения эффективного потенциала с помощью петлевых разложений вычисляется свободная энергия кубического кристалла

дипольными силами в нулевом электрическом поле.

Вычисление проводится для двух фаз - тетрагональной и ром->эдрической. В первой вектор спонтанной поляризации направлен \оль ребра куба, во второй - вдоль его диагонали. Свободная !ергия вычисляется в кольцевом приближении. Поправка к свобод->й энергии Ландау в этом приближении может быть записана з пн-I континуального интеграла, в котором коэффициенты квадратич->й формы в экспоненте днютсн матрицей, описывающей анизотропный 1ектр флунтуаций и равной коэффициенту при гауссовокой части ¡ходкого гамильтониана с учетом сдвига компонент поля флуктуа-1Й на величину составляющей вектора поляризации. Вычисление »сводится в линейном приближении по анизотропии спектра флук-'аций и существенно упрощается за счет того, что дипольидя щель шагается много большей всех существенных имп/льсоп. Это допу-1Ние оправдывается тем, что дипольная щель в сегнетоэлектриках |рддка импульса обрезания.

Из выражений для свободной энергии тетрагональной и ромбо-деической фаз получены уравнения кривых сосуществования фаз инодалей) и кривых абсолютных неустойчивостей низкотемперлтур-к фаз (перегревннх спинодалей) и вычислены скачки параметра рядка на них.

Полученные выражения совместно с системой уравнений Г'елл-нна-Лоу позволяют полностью описать переходы I рода в кубмчес-м сегнетоэлектрике. Они могут быть переписаны в пергмршплс, посредственно выражающихся через экспериментально коктролиру-ые величины - расстояния до точки фазового перехода по темпе-туре и затраеочньг/ констант анизотропии.

Во второй главе в первом разделе приводится обзор литорату-по использовании петлевых разложений для приближенного впчис-нип ренормгрупповых функций в теории фазовых переходов. Переедены наиболее примечательные многопетлевые разложения и Полунине с их поиощы) результаты. Наибольшее продвижение достигнув однозарядных теориях. Л дпухзарядннх теориях результаты вы-ядят гораздо скромнее: меньше количество рассчитанных петель отсутствуют сведения об асимптотическом поведении высших подков разложений, известные практически для всех пдноэартцньгх цялей. В частности, для обобщенной модели Грйэенбергл г куб и-

- о -

ческой анизотропией, которая в пределе нулевого числа компонент позволяет описывать фазовые переходы в примесной модели Изинга, были известны только коэффициенты трехпетлевых разложений.

Второй раздел посвящен вычислению разложений ренормгруппо-внх функций обобщенной модели Гейзенберга с кубической анизотропией в схеме Каплана-Симанзика. Изложены детали схемы ренормировки и введены определения всех используемых функций. В следующем разделе обсуждаются алгоритмы расчета четырехпетлевых фейН' мановских графиков и способы контроля правильности маьиккьгс вычислений. Приводятся вклады всех графиков вплоть до четырехпет-левых:, как вершинных, так и массовых, сведенные в таблицы, вклю чающие в себя полевые и симметричные факторы и численные значения соответствующих импульсных интегралов (последние взяты из неопубликованного отчета университета в Гельфе, Онтарио, Канада 3977, присланного Вейкером, Никелем и Мейроном).

Третья глава посвящена обзору некоторых методов суммирования расходящихся рядов. Основное внимания уделяется методам, по зволягсщнм приближенно находить суммы двойных или, п более общем случае, рядов произвольной кратности. Рассматриваются три метода борелевскопо суммирования. Два из них связаны с аналитическим продолжением борелевского образа исходного ряда, пппроксима ции Чисхолка и Падс для так називаемого разрешающего ряда, пост роенного из первоначального кратного ряда, а третий, формально не требующий аналитического продолжения - первая конфлюэнтная форма ¿-алгоритма Винна, основывается на ускорении сходимости. Два последних метода не зависят от кратности суммируемого ряда. В предельном случае 6 -алгоритм Винна переходит в последователь ность аппроксимолт Паде для разрешающего ряда, включающую к дна тональные аппроксиманты. Последнее достигается применением обоб ценного преобразования Бореля, иначе называемого преобразованием Миттаг-Леффлера, для построения суммы ряда. Для проверки работоспособности 6 -алгоритма Винна в случае коротких рядов он применяется для отыскания энергии основного состояния в трех квантовомеханических задачах (ангармонический осциллятор, потеу цналы Скавы и чармонип). Показано, что при константе связи, не превосходна^ двух, метод дает хорошее приближение к истинной энергии основного состояния. Затем метод применяется к изот-

ропньы моделям: модели исключенного объема, модели Изинга, XY -модели и модели Гейаенберга в трехмерном пространстве (трсхпет-левые разложения). Критические индексы получаются близкими к известным значениям. В частности, индексы для модели исключенного объема и модели Изинга получаются при одном и том же значении свободного параметра, присутствующего в ¿-алгоритме Винна, что существенно используется в дальнейшем при вычислении критических индексов примесной модели Изинга.

Четвертая глава посвящена изучению критического поведения примесной модели Изинга. В первом разделе рассматривается фазовый переход в трехмерной модели Изинга с замороженными примесч-ми типа "случайная температура". Приводятся краткий обзор известных результатов и таблица экспериментальных данных по критическим индексам примесных изинговских антн^рромагнетикоэ разного химического состава и в разной степени разбавленных немагнитными примесями, полученных различными экспериментальными методами. Обсуждается надежность экспериментальных данных и критерии, позволяющие судить о степени выраженности примесного критического поведения. Среда них - оценка ширины критической области примесного поведения по концентрации немагнитных примесей и сравне-" ние ее с интервалом приведенных температур. Эти интервалы, сче- • ■видно, должны перекрываться.

Путем применения всех перечисленных в третьей главе методов суммирования расходящихся рядов проводится вычисление критических индексов трехмерной примесной модели Изинга во всевозможных приближениях. Из системы уравнений ренормгруппы при отом получаются также и фиксированные точки изотропных моделей, позволяющие попутно вычислять индексы этих моделей в каждом данном приближении и танин путем контролировать качество аппроксимации. В случае t -алгоритма Винна известный значения индексов изотропных моделеЛ используются для подбора свободного параметра, при котором затем оцениваются индексы примесной модели Изинга. Получаемые всеми тремя методами значения индексов близки друг к другу и находятся в пределах погрешностей экспериментальных данных, за исключением индекса восприимчивости, который попадает на границу значений, полученных усреднением чисел, полученных в разных экспериментах. К этому следует прибавить, что измеряемые ,

значении индекса восприимчивости снижаются от эксперимента к эксперименту о течение последних нескольких лет, так что они по-

степенно приближав

ген к расчетным значениям.

Эксперимент

(ТЪрстон, 1,3710,04 0,3410,01 -0,0910,07

Питере и др.,

1988)

Теория

1,323*0,003 0,3410,02 -0,019±0,006

Для проверки работоспособности используем!« процедур они прииен-ттсн в ситуации, эквивалентной с математической точки »реши той, которая имеет место в трехмерной примесной модели Изинр«, но в дополнение известны точные значения как индексов в изотропных фиксирован]«« точках, так и в примесной. Это двумерная модель Иэинга с замороженными примесями типа "случайная температура", Из точных решений дня примесного случая известно, что индексы в примесной и чистой двумерных моделях Иэинга должны совпадать. Применение методов пересумыирования к двойным рядам в этем случае позволяет получить значения, близкие к точным, хотя погрешности оказываются существенно больше, чем дня трехмерного случая, что связано с большими по абсолютной величине коэффициентами рядов в двумерном случае. Так, точные значения индексов двумерной модели Иэинга: р «1,75; V «I; <¿»0, а типичный результат приближенного расчета у =1,7510,12; =1*,002-¿0,071; Л»-0,00410,14. Алгоритм Винна в этом примере дает возможность испольэова'»'ь в качестве базовых значений для выбора величины свободного параметра как индекс теплоемкости, гак н индекс восприимчивости. Иэ-эа того, что индекс теплоемкости в этом случае равен нуло, результирующие наборы индексов различается меяду собой. Эти различия дают представление о степени надежности используемых процедур.

Дополнительную возможность для проверки эдркон1 мости меи>-/Еив суммирована д<шт точные значения индексов, «опестны-? из кэнфлрлю-кнгиричнтимх теория поля. Иэ нпбо^ч магтил^ннх размер-

ностей этих теорий можно определить индексы двумерных моделей при числе компонент параметра порядка, из Превосходящем двух ио абсолютной величине. Полагая это число равным пул») или -I, мы можем сравнивать с точными значениями приближенные индексы модели исключенного объема и нефизического случая --1. В этих случаях соответствие также оказывается весьма удовлетворительным.

Приводится обзор экспериментальных данных по примесным двумерным изинговским антиферромагнетикам. Большинство этих данных получены э последние! годы и относятся к соединениям К^Со^ и "^Ма^, разбавленным атомами /Л и Нд .

Пятая глава содержит анализ критического поведении кубических моделей в пространстве двух и трех измерений. В трехк^рисм случае особый интерес предстаапяет определение гронмчней размерности параметра порядка пс, от которой зависит, какой имений режим реализуется в модели ГеРзенберга с кубической анизотропией приИ-=3. При ти-чг^ кристалл изотрспнруется в 1фитнческо!> области, а при ахг^ выходит на анизотропную асимптотику. Извзст-. ны экспериментальные попытки получить информацию о великим? (¿а^Оз , К.Л,Мюллер, 1984). Суммирование двойных расходящихся-рядов п четцрехпетлевсм приближении дает величину пс оч^нь близ-

кум к трон (^=2,93). Индекс, отвечающий скорости изучения константы кубической анизотропии, оказывается чрезвычайно малым (Ал"0,007), так что кроссовер между двумя режимами затягивается и реальный асимптотический режим устанпвливается настолько близко к точке перехода, что 'надежное экспериментальной гго наблюдение оказывается за пределами возможностей любого мыслимого эксперимента. Этот вывод подтверждается результатами применения в диссертации процедур суммирования Паде и Паде-Бг;ррля к Ь-раз-ложениям для и.й и критического индекса кроссовора, получения:.':! другими авторами.

В двумерной .модели при любом У-> 3 должны получаться индексы модели Изинга (Шалаев, 1908, 1989). Применение методов бо-релевского суммирования дает в этом случае результаты, согласующиеся с этим утверждением, причем при малых и» ото согласие носит только качественный характер и улучшается при увеличении »V .

Последний раздел главы посвящен вычислению зависимостей критических индексов трехмерной обобщенней модели ГеЯзекбрегп.

от КС . Это вычисление представляет интерес как с точки зрения сравнения с экспериментом, так и с теоретической точки зрения. Поскольку из предшествующего анализа следует, что методы суммирования, использованные в диссертации, приводят к значениям индексов, близким к их правильным значениям при малых уь, то полученные завксимости можно использовать для устацовления области применимости 1/п, разложения для критических индексов. Расчеты проведены двумя методами борелевского суммирования: аппроксимации Паце .идя аналитического продолжения борелевского образа исходного ряда и конформное преобразование области с разрезом, идущим вдоль отрицательной полуоси в комплексной плоскости, на круг единичного радиуса. Оба метода даит согласующиеся между собой результаты. Начиная с и- =10, наблюдается вполне удовлетворительное согласие со значением индекса 4 в третьем порядке по

, в тс время как для индекса ^ во г. то рем порядке разложения различия становятся меньше 1% лишь при а.^ 40. Эти данные подтьередают выводы Кондора и Темешвари (1980),

В заключении сформулированы основные научные результаты работы. Они состоят в.следующем.

1. Найдены выражения для свободных энергий тетрагональной и ромбоэдрической фаз кубического сегнетоэлектрика в кольцовом приближении в пределе, когда дипольная щель больше всех существенных импульсов, и в линейном приближении по анизотропии спектра флуктуация. Получены уравнения кривых сосуществования фаз (бииодалей) и кривых абсолютной неустойчивости низкотемпературной фазы (перегревших спинодалей) и найдены величины скачков параметра порядка на них. Эти данные совместно с уравнениями Гелл-Манна-Лоу позволяют полностью описать переходы первого рода в кубическом сегнетоэлектрике.

2. Вычислены вклады всех четнрехпетлевых массовых и вершинных графиков в виде полиномов по двум переменным, коэффициенты которых являются полиномами по числу компонент параметра порядка, в модели Гсйзснберга с кубической анизотропией. Получены разложения в даейные ряды функций Гелл-Мздна-Лоу и критических индексов для произвольного числа компонент параметра порядка до дяюго и четвертого.порядков по степеням зарнда,соответственно. Разложения приведены для фиксированных разуеркостеП пространст-

I / — ¿О —

ва а =3 и а- "2. При этом использованы значения импульсных интегралов, вычисленные Бейкером, Никелем и Мейроном (1977).

3. Показана пригодность первой конфликтной формы Е, -алгоритма Винна для работы с короткими отрезками расходящихся рядов на примерах суммирования рядов теории возмущений ЕЪлея-Шрединге-ра для ангармонического осциллятора, потенциалов Юкавы и чармо- . ния. Построено обобщение алгоритма на ряды произвольной кратности. Установлено, что в предельном случае из приближений первой конфлюэнтной формы £-алгоритма Винна возникает последовательность аппроксимант Паде для разрешающего ряда, причем при исполь-. зовании обобщенного преобразования Бореля (преобразования Мит-таг-Леффлера) возникает новая, по сравнению с обычным преобразованием Бореля, последовательность аппроксимант, включающая э себя диагональные аппроксимантн Паде.

4. Рассчитаны критические индексы трехмерной примесной модели Изинга тремя методами - Чисхолм-Бореля, Паде-Бореля и £ -алгоритма Винна. Для проверки работоспособности применяемых методов они также использовались для суммирования двойных расходя-' щихся рядов в случае точно решаемой модели - двумерной примесной модели Изинга. При этом получаются результаты, согласупгцие-ся с точными решениями. Теоретические значения критически;: индексов, полученные в диссертации, попадают в интервалы, даваемые экспериментом.

5. Методами Чисхолма-Бореля и Паде-Бореля для разрешающего ряда в разных приближениях вычислен критический индекс, контролирующий процесс смены асимптотик в критической области в трехмерной трехкомпонентной модели Гейзенберга с кубической онизо- . тропией, а также величина граничной размерности параметра порядка. Последняя оказывается очень близкой к трем (у\.=2,93), а индекс, отвечающий скорости изменения константы кубической анизотропии, весьма малым (фа=0,007), что делает маловероятным экспериментальное различение кубического и изотропного режимов.

6. Получены зависимости критических индексов обобщенной изотропной модели Гейзенберга от числа компонент параметра по- • рядка Л при 4. Для этого использованч методы Паде, Пацп-Бореля и конформного преобразования подынтегральной функции в борелевском интеграле. Все методы дают практически совпадающие

результаты. Найденные зависимости дают теоретические значения для сравнения с экспериментально измеряемыми индексами мнопоком-ионентных изотропных систем, а также позволяют установить границы применимости i/a- разделения. Численная надежность последнего оказывается невысокой при вычислении индексов по первым нескольким члена;* i/"' разложения.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1. llatiep И.О. Свободная энергия кубического сегнетоэлектри-ка в кольцевом приблияении//№ - 1984. - Т.60. - КЗ. - С.476-4ГО.

2. Майер И.О., Соколов А.И. Критические индексы примесной модели Изиш>а//&ТТ. - 1934. - Т.25. - №II. - С.3454-3456.

3. Майер И.О...Соколов А.И,-Критические индексы трехмерной обобщенной модели Гейзенберга при А, > 4//Тезисы докл. ХУЛ Всесоюзной конф. по физике магнитных явлений. - Донецк, 24-27 июня 19££. - С.26-27.

4. Майер И.О., Соколов А.И. О критическом поведении кубических кристаллов при структурных фазовых переходах/УИэв. АН СССР. - Сер. Физ. - 1987. - Т.51. - »12. - С.2103-2X06.

5. Майер И.О. Борелевское суммирование расходящихся рядов теории поля к i, -алгоритм Вннна//1Ш. - 1988. - Т.75. - №2. ~ С.234-244.

6. Мауег 1,0., Sokolcv А.З., ¡ShaJayev В.В, Crltlcal expolíente fnr cubio end irapure oryeteles isoet accurate (?) theol-e-tioal valúes,// Perroelectrloe - 1JQ9 - v. 95 - N 1/2/3/4 -

р. 93-96,

7. Meyer I.O. Orltical oxponente of the dilute laing model from four-loop лхрагш1огш.// J. Phya. A; Meth. Gen. - 1969 - v. 22 - К 14 - p. 2815~2£¡23.

ЛШР,зпк,09в,тир, 100,уч. -изд. л.0,7; 25/.У11-1990г. ,М~18274 Епоплг.тно