Асимптотические методы Боголюбова в некоторых моделях динамических систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА,ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 53^.19

ХАРРАСОВ Мухаыет Хадисович

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ БОГОЛЮБОВА В НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1995

ЭГ6 'од

1 з г

Ж

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля Московского государственного университета имени и.В.Ломоносова и на кафедре теоретической физики Башкирского государственного университета.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук,

профессор

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН

доктор физико-математических наук

доктор физико-математических наук

В.И.Садовников.

В. Г. Кадашевский

Е.Е.Тареева

Э.В.Геворкян

ведущая организация: Математический институт имени В.А.Стеклова РАН, Москва

' у г

Защита состоится " 2.'2 * 199^~в ~час.

на заседании Специализированного совета Д 053.05.41 при Московской государственном университете им.М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет,

№

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан *

Ученый секретарь ч

Специализированного совета

доцент V—__И'А'Квасников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одна из центральных проблем современной статистической теории многих взаимодействующих частиц связана с исследованием модельных гамильтонианов. Существенный прогресс в этом направлении в последние годы достигнут в значительной мере благодаря использованию основополагающих идей и математических методов, развитых Н.Н.Боголюбовым в теории вырожденных бозе- и ферми-систем. Асимптотические методы в статистической механике, идейно восходящие к известным трудам Н.Н.Боголюбова в теории нелинейных колебаний, дали строгое математическое обоснование феноменологических предпосылок теории сверхтекучего и сверхпроводящего состояний и оказали решающее влияние на развитие не только самой статистической механики, но и ряда смежных областей теоретической физики. Развитие этих методов преобретает важное значение в связи с открытием высокотемпературной сверхпроводимости сложных соединений редкоземельных металлов и сегнетомагнитных материалов - оксидов. Важной особенностью новых высокотемпературных сверхпроводящих соедиений является то, что их кристаллическая решетка имеет в своей основе структуру типа перовскита, и их элементарная ячейка, как правило, соответствует орторомбической или тетрагональной симметрии. В настоящее время, несмотря на интенсивные исследования как у нас, так и за рубежом, еще не выработана общепринятая точка зрения на механизмы высокотемпературной сверхпроводимости. Экспериментальные исследования металлооксидных сверхпроводников показали, что их нормальная фаза характеризуется наличием антиферромагнитного дальнего порядка, а в сверхпроводящей фазе существуют сильные спиновые флуктуации, что свидетельствует о тесной связи магнитных и сверхпроводящих свойств новых сверхпроводящих соединений. Для .понимания сложных физических свойств металлооксидных сверхпроводников прежде всего в нормальной фазе представляется чрезвычайно важным разработать теорию динамических обменных взаимодействий в сегнетоантиферромагнитных системах, имеющих структуру перовскита, с учетом их симметрии. Актуальность задачи исследования магнитоупругого и магнитоэлектрического взаимодействия в сегнетоантиферромагнетиках обуславли-

вается -также практическими потребностями создания новых много функциональных элементов современной радиоэлектроники.

Основная цель работы состоит в развитии теории динамических обменных взаимодействий в конденсированных средах на основе концептуальных положений и математических методов, развитых Н.Н.Боголюбовым при исследовании систем многих частиц с нарушенной симметрией, а также в теории нелинейных динамических систем.

Научная новизна и практическая ценность. Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Развита вариационная процедура для статистических средних в теории вырожденных ферми-систем сверхпроводящего типа и проанализирована взаимосвязь обобщенного метода самосогласованного поля, метода асимптотически точного решения с использованием аппроксимирующих гамильтонианов и метода функционального интегрирования в коллективных билокальных переменных. Показано, в частности, что уравнения метода аппроксимирующих гамильтонианов аналогичны уравнениям метода функционального интегрирования в коллективных билокальных переменных, рассматриваемых в приближении "свободного" поля.

2.'Построена последовательная теория магнитоупругого взаимодействия в перовскитовых структурах с орторомбической симметрией. Получено дисперсионное уравнение для определения спектра связанных магнитоупругих волн. Детально исследовано магнитоупру-гое 'взаимодействие в зависимости от величины и ориентации внешнего магнитного поля. Показано, что при определенных условиях динамическое магнитоупругое взаимодействие низколежащих .магнон-ных мод с некоторыми фононными модами может быть усилено параметром обменного взаимодействия.

3. Развита теория связанных сегнетомагнитоупругих волн в сегнетоантиферромагнетиках с• двумя эквивалентными магнитными подрашетками и релятивистским характером магнитоэлектрической связи. Найден спектр связанных сегнетомагнитоупругих волн. Обнаружена возможность обменного усиления магнитоэлектрической связи. Исследовано влияние магнитоэлектрической связи на основное

состояние магнитной подсистемы и частоту антиферромагнитного резонанса.

4. Построена спин-волновая динамика_ высокотемпературных сверхпроводящих соединений. Найдено дисперсионное уравнение, определяющее спектр спин-фононных колебаний при наличии двух спиновых мод, линейно связанных с фононами. Показано, что обменное взаимодействие электронов проводимости ведет к увеличению частоты квазифононной моды и, следовательно, к возрастанию эффективного параметра электрон-фононного взаимодействия. При этом коэффициент усиления электрон-фононного взаимодействия определяется параметром связи фононов с квазиравновесными спиновыми флуктуациями электронов проводимости.

5. На основе метода компенсации "опасных" диаграмм Н.Н.Боголюбова исследован гамильтониан типа Фрелиха, учитывающий обменное взаимодействие электронов проводимости. Путем модификации канонического преобразования Боголюбова получена система уравнений совместной компенсации "опасных" диаграмм, соответствующих рождению из вакуума двух- и четырехфермионных возбуждений, свидетельствующая о возможности усиления эффективного параметра электрон-фононной связи и повышения критической температуры сверхпроводящего перехода.

6. Исследован гамильтониан сверхпроводящего типа с учетом обменного усиления электрон-фононного взаимодействия. В приближении обобщенного метода самосогласованного поля изучены уравнения для двухчастичных функций Грина и установлено наличие у них особенностей типа 1Л]г, которое указывает на возможность спонтанного нарушения симметрии и фазового перехода в сверхпроводящее состояние.

7. Развит подход для нахождения приближенных соотношений в пространстве параметров системы, определяющих последовательность бифуркаций удвоения периода в некоторых динамических моделях с трехмерным фазовым пространством. Найдена закономерность распределения и показано существование предельного множества бифуркационных значений параметров.

а. Развита теория стохастических диффузионных процессов в нелинейных динамических системах. Разработан- подход для исследо

вания асимптотики решений уравнений типа Фоккера-Планка при больших значениях времени. Построена операторная форма теории возмущений для решения уравнения Фоккера-Планка. Найдены условия применимости гауссовской аппроксимации решений.

9. Изучены спин-волновые флуктуации намагниченности в ферромагнитных кристаллах и показано, что в спектре флуктуаций магнитного момента наибольшее значение иыеёт компонента, соответствующая частоте ферромагнитного резонанса. Это приводит к тому, что в спектр тепловых шумов, обусловленных флуктуациями намагниченности, существенный вклад вносят компоненты Фурье, лежащие вблизи частоты ферромагнитного резонанса.

Апробация'работы;

Основные результаты докладывались и обсуждались: на II Международной конференции по теории плазмы (Киев, 1974), Пятом рабочем совещании по статистической физике (Львов, 1975), семинаре по методам статистической механики (Баку, 1976), Международных симпозиумах по избранным проблемам статистической механики (Дубна, 1977, 1987), -Всесоюзной конференции по автоколебаниям в конденсированной фазе (Уфа, 1989), Всесоюзной конференции па современным проблемам статистической механики (Харьков, 1991), Всесоюзной конференции по математическим методам в химии (Казань, 1991), Всесоюзной конференции по геофизике (Уфа, 1992), Межвузовской научной конференции (Уфа, 1990), Боголюбовских чтениях (Дубна, 1994).

Материалы диссертации докладывались на ежегодных научных конференциях Башкирского университета (1976-1991"), семинарах отдела статистической механики Математического института им. В.А.Стеклова и кафедры квантовой статистики и теории поля Московского государственного университета.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1-27]. , '

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений и списка цитированной литературы, включающего 217 наименований. Общий объем диссертации составляет 232 страницы:

основное содержание работы

Во введении содержится обзор литературы, обоснована актуальность темы и сформулирована цель работы. Изложено краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена анализу обобщенного Метода самосогласованного поля Боголюбова, метода асимптотически точного решения с использованием аппроксимирующих гамильтонианов и метода функционального интегрирования в коллективных переменных. В § 1, исходя из полнбго ■ гамильтониана Ht= H+Jt, содержащего внешние источники Ji=|b(x)j(х,t)dx, изучено влияние внешних источников и получены теоремы о вариации среднего значения динамической величины, позволяющие установить иерархию функций Грина рассматриваемой системы. Обозначая через A(t) и AH(t) гейзенберговские представления оператора некоторой динамической величины А с гамильтонианом Ht и не зависящим от времени гамильтонианом Н, находим, например, для средних запаздывающего и каузального типа

5<A(t)

( â<t(U> .) = -ie(t-ti)<[AH(t);BH(ti.xi]>

l «^VVij-o

a<A(t)> ]

•V ^V^/j-o ~ ' ■

aj(xa

- -â(t-tl)e(tl-ta)<[[AH(t);BH(tilxi)];BH(ta,x2)]> (1)

¿1 a<?(t)> l - <0|T{AH(t)BHCtl.x,)}|0> -l -SJ<x1.t1)jJ_0 и . » » »

<0lAH(t)|0><0|BH(ti,xl)|0>

¿2|-4т-т-г \ <* <0«T4(tîBH(t,'x,)BH(ta-O}|0» -

l ij(xa,t2) 'J(xt.tt)jjm0 .

- <0|T(Ai((t)BH(t1,xi))|0><0|BH(t;l,xa)|D> -

- <0|T(A (t)B (t ,X )}|0><0|B (t ,x )|0> -

H H 4 • nil

' - <0lA(t)|0><0|T(B(t,x)B(t,x))|Q> +

H n I 1 It • «

+ 2<0|A (t)|0><0|B (t ,x )|0><0|B (t ,x )|0> (2)

H till H e 4

В соотношениях (2) |0> есть основное состояние системы с гамильтонианом Н при нулевой температуре и

• т

S ■ T|exp(_iJj-(tJ)dtj)J,

где Т - оператор хронологического упорядочения.

В Ф 2 рассмотрен гамильтониан с бинарным взаимодействием, содержащий внешние источники

H^pif'.f.tKv + тЕ^^^Ф^ДД; +

» . , . » , I . » 221

f.r' •WV'.1

+ i Е |j>(f'-f'fc)ar ar'+ j.if'.f.t)a; a;, J,

(3)

где индекс { может иметь непрерывные и дискретные компоненты; аг,а* - ферми-амплитуды', И получены уравнения обобщенного метода самосогласованного поля для корреляционных средних и соответствующих функций Грина с использованием теорем типа (1), (2).

В ф 3 введен аппроксимирующий гамильтониан для модели (3) :

Н, -. Н = У".Ш\Г,ОаХ,+ -1- У К (Г',£Д)а*а\ +

1 • ' ' 2 I— ' гг

г.г . г,г'

+ — У К ({'^.иа а .. (4)

2 .* г г

2

f,r

где

= ¿(Г-.£■,Ъ) + 7ои-\1) + аг

К (£',£.<;) + а!>

¿^ 13

К (ГДД) = j <Г• .Ъ) + ,£ )<а аг>

V'»

и на основе вариационной процедуры сформулированы уравнения для двухчастичных функций Грина, совпадающие с системой уравнений обобщенного метода самосогласованного поля. Однако, чтобы пользоваться полученными уравнениями необходимо определить значения средних

< а*а > . < а а '> . < а*а* > . г в о г в о' г в о»

что можно вычислить, например, диагонализацией гамильтониана (4) при о = о = 0 с помощью и, V - преобразования. В работе дана альтернативная форма этого приближенного метода с использованием двухвременных температурных каузальных функций Грина и для* гамильтониана типа -ББКШ получено основное уравнение теории сверхпроводимости. Интересно заметить, что для тривиального решения <а гаг> = 0 отклонение функции Грина <<а_(.а(.;а*а*(.>>Е от ее значения при отсутствии взаимодействия (Л=0) является величиной порядка \Л1 (V - объем системы). Действительно, пользуясь уравнениями ф 2, найдем

<<а а ;а*а* >> - - -—— Р (Е) +

-г г д -я с Е-2Т(р) " .

• , 1 «(£-*)-»(£+!{) ^ рТ(р) 2п Е-2Т(р) 2

где обозначено

У Л,Ш,<<а г а ¡0*0* >> = ¥ (Е) I1 V "г| V 4 'ч Е 4

Г1

В $ 4 анализируется связь метода асимптотически точного решения с использованием аппроксимирующих гамильтонианов и метода функционального интегрирования Э коллективных билокальных переменных. Мы выбираем следующий модельный гамильтониан в координатном представлении е источником

Н »= ^ |т(х',в',>с.в,Ь)**(х)*11,(х')ахах' -

41 <*,>*: (х2)*.

А * | г I г

18

Здесь х=(г,оО, а=1,2,...,Ы; интегрирование по х понимаем как интегрирование по координатам г и суммирование по дискретному индексу (спину) о-; приняты также обычные условия периодичности,

1И-3; в(х-х')=«(г-г')в(<г-<г'); ♦(х1-хг)=«( |г,-та|),

Т(х*,а',х,а,Ъ) = .Кх'.а'.х.а.О + То(х'.х)в(а'-а)

Заметим, что гамильтониан (5) может быть приведен к стандартному виду (3). Для введенного гамильтониана получены уравнения метода аппроксимирующих гамильтонианов, проведен их диаграммный анализ и рассмотрены вопросы аппроксимации по степеням 1/И. Когда аномальные спаривания отсутствуют ( = = 0 ) при специальном выборе источника

,)(х,а,у,ЬЛ) = .¡(х,у,Об(а-Ь)

уравнение для определения функции Грина

вСх.а.^х'.а'Л') = <Т{^(х, Ь)ф'л. (х-) )>

значительно упрощается и в частном случае j = 0 имеет вид

1 _£_с (хЛ;х',Ь') + Гт (х,у)й (у,Ь;х'Л')<1у + at 0 0

+ |ро(х,у)Со(уЛ;х'Д')с1у = 1б(1;-£')«(х-х')

^(X>y)=NG(x.t;y,t-0) '

i(x-y)

Используя вариаци-'шый метод, получено уравнение для функции Грина

( 4<**(х ,t)i (x,,t)> \

G(x ,х ,t;x',x-,t') = ¿NJ --г—- [

1221 1 aj(x;,x;,t<) Jj-o

которое, если ввести функцию

R(xi,x2,t;x^,x;.t0 = »(xi-x2)G(xj,хг,t,x;,t')4(x;-x^) +

+ iiixj-x^six^xj )«(x2-xpä(t-t') может быть приведено к виду

R(x ,х ,t;x-,х;,t')

t(x.-x)

" iMjG0{xllt:yllfc1)G0Cyaltl;xalt)

1 2

х R(y, ,y,.t, IX',x; ,t*)dydydt = is(x-x; Ых,-х;)s(t-t-) (?)

1 2 t 4 1 121 11 2 s

Далее для гамильтониана (5) при j=0 сформулирован метод функционального интегрирования в коллективных билокальных переменных. Показано, что именно уравнение (6) имеет место для определения стационарного значения поля, а уравнение (1) совпадает с уравнением для определения пропагатора в методе билокального поля, рассматриваемым в приближении "свободного" поля.

Во второй главе построена последовательная теория магнитоул-ругого взаимодействия в перовскитовых структурах с орторомбичес-кой симметрией (пространственная группа - D'®) и изучен эффект обменного усиления магнитоупругой связи. В § 5 обсуждены экспериментальные данные по кристаллической и магнитной структуре соединений типа La2Cu04 и -х фазовая диаграмма, что позволило описать антиферромагнитную структуру рассматриваемого кристалла как кластер, состоящий из четырех магнитных подрешеток. В $ 6 вволок феноменологический гамильтониан' системы, учитывающий энергии магнитной и упругой подсистем и энергию их взаимодействия. В гамильтониане магнитной подсистемы во внешнем поле учтены энергии о,-.ио

родного и неоднородного обменных и релятивистских взаимодействий, а упругая подсистема рассмотрена в гармоническом приближении. Путем квантования колебаний намагниченности, и упругих смещений найден спектр спиновых волн И получено- дисперсионное уравнение, определяющее энергии связанных спин-фононных колебений, а также общее выражение для параметра магнитоупругого взаимодействия (ф1)■ В 4 а найдены инварианты рассматриваемой группы симметрии и рассмотрены коэффициенты связи между спиновыми и упругими волнами для различных направлений волнового вектора и внешнего магнитного поля. Показано, что в рассматриваемых системах при определенных условиях динамическое магнитоупругое взаимодействие низколежащих иагнонных мод с некоторыми фоновдыми модами может быть усилено параметром обменного взаимодействия.

В третьей главе развита теория связанных сегнетомагнитоупру-гих волн в сегнетоантиферромагнетиках -с двумя эквивалентными магнитными подрешетками и релятивистским характером магнитоэлектрической связи. Вф9 путем перехода н соответствующим операторам вторичного квантования найдены нормальные моды спиновых, упругих и сегНетоэлектрических колебаний и вычислена, явная зависимость параметров связи спиновых,упругих и сегНетоэлектрических волн от тензоров, характеризующих взаимодействия, подсистем, В ф 10 с помощью канонического преобразования Боголюбова получено дисперсионное уравнение, определяющее спектр связанных еегнето-магнитоупругих волн Е:

П (Еа - са)(Еа - ог)(Еа - И®) - 4 Г |Г"и|а сох а» • у. »• • '

х П (Еа - Па)(Еа - са,)(Еа - и',) - 4 г |Г«Г| я * » • Г* г»

X П (Е2 .- са,)(Еа - иа)(Еа - ра.) - 4 Е |Г™|а и.П

• а

X

л'*л

X П (Еа - ег)(Еа - иа,)(Еа -йа.) = О * ' в

X

(7)

где с (7=1,2), и (г>=1,2,3) и П4(«=1,2) - энергии спиновой, упругой и сегнетоэлектрической волн, а Г"", и Г™ - параметры магнитоупругой, магнитоэлектрической и электроупругой связи соответственно. В$11 исследовано магнитоупругое взаимодействие при различных направлениях волнового вектора и внешних полях для кристалла с орторомбичесной симметрией и выяснены условия, когда имеет место обменное усиление магнитоупругой связи. Исследования показывают, что возможность обменного усиления магнитоупругого взаимодействия в сегнетоантиферромагнетиках существенно зависит как от величины, так и ориентации внешнего магнитного поля относительно кристаллографических осей. На основе неравенств для функций Грина для плотности связанных состояний найдена особенность типа . В$12 проведено исследование магнитоэлектрического взаимодействия и обнаружена возможность обменного усиления коэффициента магнитоэлектрической связи. В $13 исследовано спин-фононное взаимодействие в высокотемпературных сверхпроводящих соединениях. С учетом обменного взаимодействия электронов проводимости записан эффективный спиновый, затем спин-фононный гамильтониан. Спектр спиновых волн будет иметь шесть'ветвей, соответствующих парамагнитной и антиферромагнитной компонентам электронной намагниченности. С фонономи линейно связанными являются лишь две продольные спиновые мода, спектр которых имеет вид

с .

где |.Иг)с1г (Лг) - потенциал обменного взаимодействия электронов), кс " 2п/гс, г - обменная корреляцилнная длина, к волновой вектор, характеризующий быстроо'.-циллирующую (антиферромагнитную) компоненту намагниченности, хх - эффективная парамагнитная восприимчивость. Дисперсионное уравнение при наличии двух линейно связанных с фононами двух продольных спиновых мод имеот вид

К.Г"2^,^^-"2) - -

где

:úek - hck/l+c^+c»

и приведенный параметр спин-фононного взаимодействия задается

выражением

С"

= — 1 (10) /

Здесь с, - эффективный параметр спин-фононной связи:

В (11) М - приведенная масса иона • в элементарной ячейке, ё = * ~ электрон-ионный потенциал. В случае ко-» к#1 когда согласно (11) 2а < решение уравнения (9) в области резонансного взаимодействия спиновых и фононных ветвей имеет вид

® I«k,IеК

* /(ü'.Vj'^zV./' 1

tlk olí У I Nk ok 1 tllli ok J

k « ( -ak .+ k. ,k ,+ ak ,) (12)

rl r) rl rl

Обменное взаимодействие электронов проводимости ведет к увеличению частоты квазифононной моды clok, И, следовательно, к возрастанию эффективного параметра электрон-фононного взаимодействия *._ph(k). При za» zí получено

" *о[2/3 + 'u,3„. + уээ„|а4з0/3+

где - эффективный параметр электрон-фононного взаимодействия без учета взаимодействия колебаний атомоч решетки со спиновыми флуктуациями электронов проводимости, u, v суть коэффициенты канонического преобразования Боголюбова. Критическая температура определяется выражением

т. = ^-¡Зехр/--3__\

п 0 1 К (л -ц') Г

у о

где С=0.577 - постоянная Эйлера, ц'- параметр кулоновского отталкивания электронов, Ку - коэффициент усиления эффективного электрон-фононного взаимодействия. В $14 исследованы резонансные и нелинейные эффекты в сегнетоантиферромагнетиках, а также обсуждены некоторые пути улучшения критических параметров новых сверхпроводящих соединений.

В $15 четвертой главы на основе метода компенсации "опасных" диаграмм изучен гамильтониан типа Фрелиха с учетом обменного взаимодействия электронов проводимости

Н = Но + Н1 + Н2 (14)

где

н0 = у/и'к{с(кЬХ +<15>

«г - ^К^Уб^М < «:а + Э.С. (16)

Н = V* Гс11®кУ си и (к У а' а0 а0 а1 [ь +Ь | ,

х «( Е к,) + э.с. (17)

Выражения (16), (17) определяют электрон-бозонное взаимодействие

соответственно второго и четвертого порядков по фермионным опе-

♦

раторам. Фермионные операторы а^, а' - описывают электронные

♦

возбуждения, с = 0,1-спиновый индекс. Бозонные операторы Ь^, описывают нормальные моды связанных фонон-магнонных колебаний, з - номер дисперсионной ветви. Фактор т* является комплексной величиной, удовлетворяющей условию и"| = 1, и определяющей сигнатуру взаимодействия нормальной бозонной моды типа б со спином электрона.

Модифицируя канонические преобразования Боголюбова получены уравнения совместной компенсации "опасных" диаграмм, соответст-

вующих рождению из вакуума как двухфермионных, так и четырехфер-мионных возбуждений. Полученные уравнения свидетельствуют о возможности усиления эффективного параметра электрон-бозонной связи. В §16, исходя из гамильтониана с четырехфермионным взаимодействием с учетом обменного усиления параметра электрон-фононного взаимодействия, исследованы уравнения обобщенного метода самосогласованного поля. Вф.17 для обобщенного гамильтониана типа ББКШ в случае синглетного спаривания установлено, что двухчастичные функции Грина в рассматриваемом приближении имеют особенность типа 1/ч2, что указывает на возможность спонтанного нарушения симметрии и фазового перехода в сверхпроводящее состояние. •

В пятой главе развита теория стохастических диффузионных процессов в.нелинейных динамических системах. В $ 18 показана плодотворность идей асимптотических методов Н.Н.Боголюбова в теории нелинейных колебаний для.исследования бифуркаций решений нелинейных систем. Развит подход для нахождения приближенных соотношений в пространстве параметров системы, определяющих последовательность бифуркаций удвоения периода для некоторого класса динамических моделей с трехмерным фазовым пространством. Для нелинейной системы .

= иГи1и2_и3' А = и?-аи2- "э = Ь(сиГи:Д- <18>

где (¿=(а,Ь,с) - совокупность параметров системы, найдена закономерность распределения и показано существование предельного множества бифуркационных значений параметров ип :

. ця(р) = Ни ип = у1(р) + диа(р)(1-«)"1, а=4.

В$19 развит подход для исследования асимптотики решения уравнения Фоккера-Планка в окрестности особой точки детерминистских уравнений эволюции при больших значениях времени. Рассмотрено стохастическое уравнение в форме Ито

аг{г) ■= + ойцСъ), (19)

где случайный процесс 2=со1(г1,га) и процесс белого шума единичной интенсивности т»=со1 (т>1 ,т)г) заданы в вероятностном пространстве (Е ,Н,Р): И есть с-алгебра, содержащая все борелевские множес-

тва евклидова пространства Ег, Р - вероятностная мера, заданная на о-алгебре W; причем, выполнены условия: а вещественная матрица второго порядка D является постоянной, причем матрица DD* положительно определена; б)нелинейная вектор-функция f = col(f непрерывно дифференцируема; в)матрица линеаризации B=|bkj| -| a f J.zQ)/az \ в особой точке zQ укороченного уравнения эволюции d2/dt=f(z), представляющего детерминистский предел уравнения (19), имеет собственное число л » 0 кратности два.

Показано, что в окрестности точки zo существует невырожденная замена координат, обладающая свойством сохранения элемента объема фазового пространства. Примем, что матрица U составлена из жорда-новых серий u<k> (к = 1,2) матрицы В, взятых в качестве ее столбцов. Тогда уравнение (19) заменой координат

Z = 2 f £ X (t)u""(t) . Z +U(t)x, о k о

k = 1

с точностью до постоянного множителя сохраняющего элемент объема фазового пространства, можно привести к виду

dxk(t) = -bk(t,x)dt+Ç QkJ(t)dnv k=l,2; b (t,x) = -(v"",f(z +Ux))+x л . (20)

k О 2 k . 1

gkj(t) = E у;к,(шп.

причем в окрестности точки z имеет место

b(t,x) = -хх + g (t,x), k = 1,2, k k °k

где функция gk(t,x) не содержит линейных по х членов.

Уравнение Фоккера-Планка, связанное с уравнением (20) имеет

вид

ар/at = £ a (t)a2p/ax эх - £ b (t,x)ap/ax-e(t,x), (21)

k J ' k

A(t) = |akj(t)| = Q(t)Q*(t)/2, c(x,t) = £ abk(t,x)/axk.

В работе получен ряд вспомогательных результатов и. доказана ТЕОРЕМА. Если в уравнении (19) выполнены условия "а","б","в", тс фундаментальное решение уравнения (21) при- всех t-x*l

- 17 -

удовлетворяет оценке

lG(t,T,x-e)| « Ь.(Ь-т)"ехр[-а ) X [l+J0(2/V^(t-T>)]

равномерно по t-т (J0- функция Бесселя, Ct,В?-некоторые постоянные). . ' Заметим, что при малых t-r (t-т с J) справедлива оценка

|Ql « ca(t-T)-'ex'p[-*J^ii- ),

следовательно, наличие кратных собственных чисел матрицы линеаризации в особой точке детерминистских систем уравнений существенно влияет на асимптотику решений при больших значениях времени. Физический следствием полученных результатов является понижение устойчивости стационарного решения по отношению к случайным возмущениям при А1»Ла=Л (л<0) по сравнению с случаем At« лг

< о).

Вф20 исследован вопрос о построении решения уравнения Фок-кера- Планка для нелинейной динамической системы в рамках теории возмущений и на основе равномерных оценок найдено условие приме- . нкмости гауссорекой аппроксимации решений.

Рассмотрена система стохастических дифференциальных уравне-

•ний:

х - fСх,м) + F(t), (22).

где х - n-мерный вектор-столбец, f - нелинейная вектор-функция, ц - совокупность параметров системы, a F представляет белый шум:

<F((t)> = 0, <Г,т^и+т)> - Qu«(t), i,j - 1,2,... ,n

с положительно определенной матрицей QQ*(Q=iQ( »).

В окрестности стационарного решения уравнения dx/dt -' = f(x,u) систему (22) можно представить в виде

х - Ах + g(x,«i) t F(t), (23)

■ где вектор-функция g не содержит линейных членов по переменным х(. После ряда преобразований вместо уравнений (23) получено

У Y(y.M) t Z(t), (24)

где Z(t) - белый шум с некоторой корреляционной матрицей <Q к порядка N=2n. Заметим, что система стохастических уравнений (24)

- 18 -

порождает следующее уравнение Фоккера-Планка для плотности переходной вероятности U(y,t,уо,tQ):

"iU = I QHe<e.«U " вн(\Ю (",-»/«У,).' (25)

где принято соглашение о суммировании По нижним индексам. В (25) начальное условие выбрано в виде

Oiy.t.y ,t0) = «(у-у„). (26)

о

В гауссовской аппроксимации решение уравнения (25) есть yy.t.y0,te) = UHdeMt)}-1/aexp[-AlJ{t)qiqJJ.

q = у - В(т)уо, «X (t)l -<г"'(*), т » t-tQ, где <r(t) - ковариационная матрица, определяемая из флуктуацион-но-диссипационных отношений.

Для построения решения уравнения (25) по теории возмущений функции Yk записаны в виде

I У-*"".

iniïa

где рка - некоторые постоянные, а = («,.а2.....« ) ~ мультиин-

декс длины loti = а,а' , 0, у" = У"'-У"2-•-У""- Введены следующие дифференциальные операторы:

L=Lo+ Ï сПК' Lo^r^.^.VC./Jj- L„= I и/'

П « I 1в|22

и решение задачи (25), (26) построено в виде ряда

U=U + f cnU , . (27)

° >¿1 »'

где решение Un задается интегралом Пуассона

U = - L'1 У L U , п » 1,2,... . (28)

n D L гш

В (28) L"' представляет интегральный оператор, ядром которого является фундаментальное решение уравнения LqU=0.

На основе априорных оценок доказана равномерная сходимость ряда (27), (28) и найдено условие применимости гауссовской аппроксимации решений: ■

- 19 -

2 N

At ■ t-t' €

arm5 j

(29)

где

(

к - 1 ,

I

характеризует квадратичную нелинейность в уравнениях (24), величины 5( и i (iJ>i) связаны с максимальной и минимальной собственными значениями ковариационной матрицы. Из (29) следует, что границы физической применимости решений, имеющих гауссову форму, в общем случае, ограничены достаточно малыми значениями времени, что является следствием диффузионного расплывания волнового пакета.

В §21 в качестве приложения полученных результатов изучена задача о флуктуации намагниченности и ее.влиянии на тепловые шумы в ферромагнитном кристалле, находящемся в скрещенных постоянном

HQ и переменном h(t) магнитных полях. Показано, что в спектры флуктуаций магнитного момента и обусловленных ими тепловых шумов наибольший вклад вносят компоненты Фурье с частотами, лежащими вблизи частоты ферромагнитного резонанса.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложения вынесены некоторый вспомогательный материал и четыре рисунка.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

1. Садовников Б.И., Харрасов U.X. Метод самосогласованного поля Н.Н.Боголюбова в статистической механике // ДАН. 1994. Т.339. С.472-476.

2. Фарзтдинов U.I4. .Харрасов U.X. Метод функций Грина в теории антиферромагнетизма с кубической анизотропией // Уч.зап. Башк. гос. ун-та. Сер. физ. 1972. Вып.57. N2. С.72-82.

3. Садовников Б.Ч..Харрасов U.X. Неравенства Н.Н.Боголюбова в равновесной статистической механике // ДАН СССР. 1974. Т.216. С.513-516.

4. Садовников Б.И. .Харрасов U.X. 0 специфическом упорядочении в конечных системах. Препринт ИТФ-74-IIIP, Киев, 1974, 24 с.

5. Садовников Я./.'. .Харрасов ИХ. Об особенностях корреляцион-

работах:

ных функций п приближении самосогласованного поля // II Международная конференция по теории плазмы. Тез. докл. Киев, 1974, с.9.

6. Харрасов М.Х. 0 сверхпроводящем дальнем порядке в одно- и двухмерных сг темах. ОИЯИ, Р4-8951, Дубна, 1975, 16 с.

7. Харрасов U.X. Об одномерной модели Хаббарда. Препринт ОИЯИ Р4-9087, Дубна, 1975, 11 с.

8. Харрасов U.X. О предельных соотношениях для корреляционных функций // ДАН СССР. 1976. Т.230. С.826-828.

9. Харрасов М.Х. Неравенства Н.Н.Боголюбова в модельных системах. ОИЯИ, 5-10465, Дубна, 1977, 12 с.

10. Харрасов М.Х. Неравенства Боголюбова в конечных системах // Междунар. симпозиум по избранным проблемам статистической механики: Тез.докл. ОИЯИ, Д17-10529. С.87. Дубна, 1977.

11. Садовников Б.И.,Харрасов U.X. Классические функции Грина в слаборелятивистском приближении // IV Международный симпозиум по избранным проблемам статистической механики. ОИЯИ, Д17-87-477, с.77, Дубна, 1987.

12. Садовников Б.И.,Харрасов U.X. 0 предельных соотношениях для корреляционных функций слаборелятивистских систем // Международный симпозиум по избранным проблемам статистической механики. ОИЯИ. Д17-88-95. С.324-329. Дубна, 1988.

13. Харрасов U.X. 0 сокращении описания состояния многомерных систем. // Автоколебания в конденсированной фазе. Тэз. докл. Уфа:БНЦ УрО АН СССР. 1989. С.37.

14. Лбдульменов У.С., Закирьянов Ф.К., Харрасов U.X. Автоколебательные и автостохастические процессы в нелинейных системах. // Автоколебания в конденсированной фазе. Тез. докл. Уфа:БНЦ УрО АН СССР. 1989. С.38

15. Харрасов М.Х. О бифуркациях удвоения периода в трехмерных системах. // Физические проблемы научно-технического процесса. Тез.докл.межвуз.конференции. Уфа. 1990. С.36-37.

16. Алексее в В.В., Харрасов U.X. 0 последовательности бифуркаций удвоения периода в моделях типа Росслера.// ТМФ. 1991. Т.88. С.96-103.

17. Харрасов II.X., Гулебаев С.Д. Бифуркации удвоения периода в

трехмерных системах. // Всесоюзная конференция "Математические методы в химии". Тез. докл. Казань. 1991. С.72-73.

18. Харрасов II.X. Асимптотическое поведение решений уравнения Фоккера-Планка при U«.// ДАН. 1992. Т.325. С.280-283.

.19. Харрасов II.X., Абдуллин А.У. О-гауссовской аппроксимации решений уравнения Фоккера - Планка. // ДАН. 1994. Т.335. С.32-34.

20. Харрасов U.X. Об асимптотике решений уравнения Фоккера -Планка при больших значениях времени. // ТИФ. 1993. Т.97. С.113-120.

21. Харрасов М'.Ж ОШюнное усиление магнитоупругой связи в ан-тиферронагнвтикак. // ДАН. 1994. Т.335. С.175-177.

22. Харрасов И'. Х(. Эволюция простой динамической системы в • случайном поле. // ТМФ. 1993. Т.97. С.414-419.

23. Харрасов II.X., Абдуллин А.У. Обменное усиление магнитоэлектрического взаимодействия в сегнетоэлектриках с орторомби-ческой симметрией. // ДАН. 1994. Т.336. С.335-337.

24. Савченко Ы.А., Харрасов II.X. Резонансные и нелинейные явления в сегнетоантиферромагнетиках. Препринт УНЦ РАН, Уфа, 1994, 19 с.

25. Харрасов II.X. Обменное усиление магнитоупругого взаимодействия в антиферромагнетиках с орторомбической симметрией. //ДАН. 1994. Т.339. С.761-763.

26. Абдуллин А.У., Харрасов II.X. Усиление магнитоупругого взаимодействия в перовскитовых структурах. Препринт УНЦ РАН, Уфа, 1994, 44 с.

27. Харрасов U.X., Тулебаев С.Д. 0 численном Фурье-анализе периодических решений нелинейных систем. // Статика и динамика упорядоченных сред. Межвуз. научн. сб. Башк. гос. ун-т. Уфа.

1994. С.105-109.