Асимптотические методы решения задачи Дирихле,заданной в каркасной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

од

- В пив ;9С5

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи УДК 517.955.8

А.Е.Лалншн

Асимптотические методы решения задачи Дирихле, заданной в каркасной области.

01.01.07 - Вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук

МОСКВА - 1994г.

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: академик РАН Н.С.Бахвалов Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук профессор Жиков В.В. кандидат физико-математических наук Чечкин Г.А.

Ведущая организация: МИНХ им. Губкина

Защита состоится "Д/У "феЛраА 1995г. в 15 часов на заседании специализированного Совета К.053.05.84 при Научно исследовательском вычислительном центре МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, НИВИ МГУ. конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВИ МГУ.

Автореферат разослан

199 г.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат физико-математических наук

М.Н.Киоса

ОБШАЯХАРАКТЕРИСТИКАРАБОТЫ

Актуальность темы.

В современной технике широко используются каркасные системы. Это, в первую очередь, строительные конструкции ( фермы мостов, каркасы жилых зданий, опоры линий электропередач и д.р. ). Применяемые для их расчета методы решения системы уравнений теории упругости обладают тем недостатком, что при возрастании количества узлов каркасной конструкции возрастает и количество уравнений. Это обстаятельство сильно затрудняет расчет каркасных конструкций с большим числом узлов, особенно прииследовании нестационарных процессов.

При изучении движения грунтовых вод, миграции веществ в почве часто в качестве геометрической модели используется каркасная система.

В данной работе предлагается метод расчета процессов в каркасных конструкциях, основанный на осреднении уравнений в частных производных, описывающих эти процессы.

В качестве основного инструмента исследования используется метод осреднения уравнений в част-

ных производных, нашедший довольно полное отражение в монографии " Осреднение процессов в периодических средах " Н.С.Бахвалова, Г.П.Панасенко.

Цель работы.

1. Исследование асимптотического поведения решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона, заданной в каркасной области.

2. Исследование асимптотического поведения решения задачи Дирихле для системы уравнений теории упругости в каркасной области.

3. Асимптотический анализ решения первой начально - краевой задачи для нестационарной системы уравнений теории упругости.

Методика исследования.

В диссертаии используются методы осреднения, разработанные в работах Н.С.Бахвалова, методы исследования решений задач, заданных в каркасных областях, развитые в работах Г.П.Панасенко, методы функционального анализа, теории обобщенных решений уравнений в частных производных.

Научная новизна.

Уравнения математической физики в каркасных областях рассматривались в работах различных авторов. Они описывают различные физические про-

цессы в областях, состоящих из тонких полосок или цилиндров. В частности, каркасные области являются геометрической моделью систем трещин или капиляров в грунте. Однако, ранеев каркасных областях рассматривались лишь уравнения с граничными условиями второго рода, и область имела периодическую структуру. Вместе с тем представляет интерес изучение задач с граничными условиями первого рода и в непериодических каркасах; в частности, они моделируют течение жидкости в трещиноватой среде.

Приложения.

Результаты диссертации имеют непосредственное приложение для расчетов строительных конструкций, при изучении движения грунтовых вод, миграции веществ в почве.

Достоверность.

Достоверность результатов и выводов обеспечивается математической строгостью и обоснованностью вычислений и рассуждений, что гарантирует достоверность полученных результатов и выводов.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на

- семинарах под руководством академика РАН Н.С.Бахвалова ( МГУ ),

- математическом семинаре им. Петровского ( МГУ, 1994г. ),

- научно - исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики механико - математического факультета МГУ,

- семинаре Лаборатории трещиноватых сред и микромеханики Института проблем Нефти и газа.

Публикации.

По теме диссертации подготовлено и сдано в печать 6 работ.

Об'ем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Библиография состоит из 40 наименований.

Краткое содержание работы.

Геометрическая модель каркаса.

1. Геометрическая модель прямоугольного периодического каркаса.

Пусть /3 - двумерная звездная ограниченная область с кусочно-гладкой границей, /3 6 (—1/2,1/2)5 привоз ( б- размерность пространства ) , (3 = (—1/2,1/2) при в=2.

Положим

в

= У уЦ ,где

Г=1

Z- множество целых чисел . = £з_г при э=2.

£г = (Ь,Ь) при г = 1,£г = (Сьб) при г = 2,& = (^1) £2) при г = 3 , когда 8=3.

Навзовем прямоугольным периодическим каркасом [1] область

Аец = {а; е й^х/е е Ас}

е,ц — малые параметры.

Таким образом , прямоугольный периодический каркас Ае)1 - объединение тонких ( с диаметром порядка ец) цилиндров , ориентированных в направлении координатных осей и образующих е - периодическую "решетку".

2. Геометрическая модель непериодической каркасной конструкции.

Пусть /?1,Дг ограниченные звездные области в К3-! с кусочно гладкой границей , содержащие начало координат ; В^ (] = !,...,,/)- цилиндры: Bj =

{х € И55 : х'/ц € Р],Х1 £ Л}. Здесь и далее Ух 6 И3, х' — (х2,..., .В" — цилиндры, получаемые из Ву ортогональным преобразованием П пространства с матрицей а* ,а = (агу) и сдвигом на вектор к = (/¡1,...,/г5)*. Пусть е^-э-мерный вектор,получаемый при преобразовании П и сдвиге на Ь из некоторого вектора г(/г, а), колинеарного оси Охг с началом в точке 0. Пусть

в0= и и еЬ

«е Д ЬеН*

2

(А С Л8 ,На С К8,А,Яа не зависят от //.) такое об'единение,чю любые два отрезка могут иметь только одну общую точку - концевую для обоих отрезков. Концевые точки называются узлами. Назовем ¿-пучком пересечение Во с ¿-окрестностью узла; предполагается, что существует такое 6 > 0, не зависящее от ц, что число различных ¿-пучков, содержащихся в Во, конечно ( с точностью до переносов и поворотов).

Сопоставим каждому из отрезков цилиндр В^-и обозначим через его часть,заключенную между двумя плоскостями ,проходящими через концы отрезка е^ и ортогональными ему (основания при-

надлежат В). Пусть любой куб пересекается с конечным числом отрезков из Вд.Пусть Вмножество внутренних точек об'единения

абА

Определение: назовем каркасной структурой множество Ве/1 = {х £ Л3 : х/е б В,^}, получаемое из Вгомотетичным сжатием в 1/е раз.

3.Геометрическая модель конечного каркаса.

Пусть /?1, /Зг ограниченные звездные области в Л8-! с кусочно гладкой границей, содержащие начало координат. Е]{'} — 1, ,) - цилиндры. Е] — (х € : х'//х 6 6 К}. Е"- - цилиндры, получаемые

из Ej ортогональным преобразованием П пространства с матрицей а*,ос = (а,у) и сдвигом на вектор Ь. — (^1, Ьа)*, колинеарного оси О.с началом в точке 0. Возьмем два отрезка е^, имеющих только одну общую точку - концевую для обоих отрезков. Сопоставим каждому из отрезков цилиндр Еи обозначим через Е^ его часть,заключенную между двумя плоскостями ,проходящими через концы от-

резка вд и ортогональными ему (основания принадлежат Е^- ).

Определение: назовем конечным каркасом множество внутренних точек об'единения

Основные результаты.

В главе I. решается задача Дирихле для уравнения Пуассона

Ьи{х) = Ахи{х) = /(х),х е П О (1-2.1)

и(*)к^пс)=0 (1-2.2)

где //^-периодический перпендикулярный каркас А£)1 (параграф 1), непериодический каркас Ве11 (параграф 2), конечный каркас Ец (параграф 3); /(х) £ С°°(С), С-ограниченная область, С С К8.

В главе II. рассматривается задача Дирихле для системы уравнений теории упругости

Ьи = = Хх),х £(?П(1.2.3)

« кспяе,„)= о (1.2.4)

[u]dQxo = 0 (1.2.5а)

ôu

Km Я-= 0 (1.2.56)

ОХ m

где vn - внешняя нормаль к сфере dQXo, QXo -шар радиуса défi и с центром в узле £о> где d -наименьшее число, такое, что любая точка границы этого шара может принадлежать не более чем одному цилиндру с концевой точкой xq. Апт - 1-периодические (§1) или ограниченные (§2,3) матрицы-функции, определяемые следующим образом: пусть имеется А" наборов (sxs) матриц-функций {/1^, п,т = 1,..., s},..., п, m = 1,..., s}, являющихся глад-

кими функциями s— 1 переменных и К наборов (s х s)

=(1) =(К)

матриц-функций {Апт, п, га = 1,..., s},..., {Апт ,п,т =

l,...,s}, являющихся гладкими функциями s переменных. Предполагается, что для любого набора матриц-функций выполняются следующие условия

ih _ nh _ nim _ hi . 71771 — airn nh — umni

существует константа К\ > 0, такая, что

QnrnVinlhm > КгЩпЩп

для любой симметричной матрицы ||??т||-

л/

На каждом цилиндре #£Д(фХо, ифХо2), где х0{, г = 1,2-концевые точки вектораопределяем матрицы-функции

А?1Ш = АПт(г')

V = Хг/£ц(§1), V = ((а(я/е- й))//х)'(§2), и - ((а(х -Л))//х)'(§3) 7 € {1,...,¥}. При этом набор (1.2.6) на-

/V

зовем реализацией коэффициентов на цилиндре Д (<5х01 и(?Х02). Внутри каждого шара <3Жо с центром в узле го определим матрицы-функции

Лпш = (1-2.7)

ю = а:/(^)(§1),ш = (х-ж0)/(е//)(§2),ги = (ж—аг0)//л(§3) 7 £ {1,...,-КГ}. При этом набор (1.2.7) назовем реализацией коэффициентов на шаре (¿Хо. Каждому ¿-пучку ( из определения Во) сопставим набор реализаций коэффициентов на шаре с центром в узле этого ¿-пучка и на всех цилиндрах, с концевой точкой, являющейся узлом ¿-пучка.

Предположение. Число различных 6-пучков вместе с сопоставленными им наборами реализаций коэффициентов конечно ( с точностью до переносов и поворотов).

1(х)— в-мерные вектор-функции, $(х) £ Со>{С) Решение задачи (1.2.3)-(1.2.5Ь) понимается в смы-

еле стандартного интегрального тождества [8]. Поскольку коэффициенты уравнения являются кусочно-гладкими функциями, то вариационная постановка равносильна классической постановке [1],[8], т.е. обобщенное решение удовлетворяет уравнению (1.2.3) поточечно, граничному условию (1.2.4) и условию сопряжения (1.2.5) на границе шаров QXo.

В параграфе 1 главы III. решается первая начально-краевая задача для системы уравнений параболического типа

В области QT = {(М) : х £ G П , t £ [О, Т)> рассмотрим задачу

Lu(x,t) = = f(x, t),x £ СПНе„

(1.2.8)

и(ж,0) = 0 (1.2.9)

«|а«?пяе„)=0 (1.2.10)

[«Ь<г.„=0 (1.2.11а)

[Лпт-тА-УпЬс}., = 0 (1.2.116)

охгп

<5, Апт ~ 1-периодические (п.1) или ограниченные (п.2) матрицы-функции, определяемые следующим образом: пусть имеется К наборов гладких (й х й) матриц-функций 5 — 1 переменного п,гп =

1,...,в},...,{5<Л),А(„т\г1)т = 1,..., в}, и К наборов гладких (в х в) матриц-функций 5 переменных

=(1) =(1) =0<) =(к)

Для любого набора матриц-функций выполняются следующие условия

а) для любого вещественного Б-мерного вектора

V

К^ЪП) > (5»?,»?) > (Г],Г)) б) для любой совокупности вещественных векторов

К2(Яп,Цг) > (АптГ}п,Т]т) > Кз(т1п,Г1п) к2,кз не зависят от е, ц, х, На каждом цилиндре

Х01

V = Хг/ец (п.1) , V — {(а(х/е - Ь))/цУ (п.2).

7 6 Набор {51,Апт} назовем реализаци-

ей коэффициентов на цилиндре Н^ \ (<2х01 и Ях02)-Внутри каждого шара (¿Хо с центром в узле хо определим матрицы-функции

5 = 5 (»,

=(Ъ

Апт — Апт(и)),

w = x/(efi) (n.l) , w = (x — ха)/(ец) (n.2). 7 e {1,.. •, К}. При эхом набор {5, Anm} назовем реализацией коэффициентов на шаре QXo.

Предположение, с точностью до переносов и поворотов число различных ¿-пучков вместе с сопоставленными им наборами реализаций коэффициентов конечно.

u(x,t), f(x,t)— s-мерные вектор-функции, f(x,t) €

Cg°(G х Г0,+оо)) В частности ,/(х,0) = д'Ях>°) =

of

0,1 = 1,2,...

Решение задачи (1.2.8)-(1.2.11Ь) понимается в смысле стандартного интегрального тождества [8]. В силу кусочной гладкости коэффициентов, вариационная постановка равносильна классической постановке [1],[8], т.е. обобщенное решение удовлетворяет уравнению (1.2.8) поточечно, граничному условию (1.2.9), начальному условию (1.2.10) и условиям сопряжения (1.2.11) на границе шаров Qxo-

В параграфе 2 главы III. рассматривается первая начально-краевая задача для системы уравнений гиперболического типа

В области QT = {(x,t) : х £ G П € [0,Т)>

рассмотрим задачу

3:гп Зх

т

(1.2.12)

и(г,0) = и((а:,0) = 0 (1.2.13)

« |в(Сп£<>(.)= О (1-2.14)

[и]в<3ео=0 (1.2.15а)

Зи

[Апт—ип]а(3хо = 0 (1.2.156)

- 1-периодические (п.1) или ограниченные (п.2) матрицы-функции, определяемые следующим образом: пусть имеется К наборов гладких (й х г)

матриц-функций 5 — 1 переменного {Д^, -А^, п, т =

_¡~](\ _("к) —

1 ,Апт,п,т = 1,. - -,«}, и К набо-

ров гладких (в х в) матриц-функций 5 переменных

=(1) =<1) =(Г) =(Г)

{Л ,Апт,п,ш= ,Лпт,п,т= 1,...,5}.

Для любого набора матриц-функций выполняются

следующие условия

а) для любого вещественного Б-мерного вектора

V

> (Я.Г},1)) > К5(Г],Г)) б) для любой совокупности вещественных векторов »71... Ча

> {АптЧп,11т) > К5(г]п,Т]п)

«4, «5 пе зависят от е, /х, х, На каждом цилиндре I Е {1,...,.£Г}. Набор {Я, Апт} назовем реализаци-

/V

ей коэффициентов на цилиндре П^- \ и <5х02).

Внутри каждого шара С}Хо с центром в узле Хо определим матрицы-функции

Я = Я (ги),Апт=Апт(ы)

I £ {1,...,К}. При этом набор {Я,Апт} назовем реализацией коэффициентов на шаре <3х0-

Предположение. Число различных 6-пучков вместе с сопоставленньши им наборами реализаций коэффициентов конечно ( с точностью до переносов и поворотов).

и(х, /(х, £)— в-мерные вектор-функции, /(я, £) 6 С0°°(С X [0, +оо)) В частности ,/(а;, 0) = ^^¡^ = 0,/= 1,2,...

Решение задачи (1.2.12)-(1.2.15Ь) понимается в смысле стандартного интегрального тождества [8]. В силу кусочной гладкости коэффициентов, вариационная постановка равносильна классической постановке [1],[8], т.е. обобщенное решение удовлетворяет

уравнению (1.2.12) поточечно, граничному условию (1.2.13), начальному условию (1.2.14) и условиям сопряжения (1.2.15) на границе шаров С?Хо.

Основным резкльтатом работы является построение формальных асимптотических решений вышеперечисленных задач и получение оценки точности этих решений. Доказаны следующие теоремы

Т е о р е м а А. Имеет место оценка для решений задач (1.2.1),(1.2.2) и (1.2.3),(1.2.5), заданных на каркасах Ае/1 и Вем

Н«(ВД " «||и?(я.„по < С(сМ+2 +МК+2) (1-2.16)

С > 0 не зависят от е и ц.

Теорема В. Имеет место оценка для решений задач (1.2.1),(1.2.2) и (1.2.3),(1.2.5) на конечном каркасе Ем

11«(М,К)" «Н^Ч^по<С(ММ) (1-2.17)

С > 0 не зависят от е и ¡л.

Т е о р е м а С: Имеет место оценка для решений задачи (1.2.8)-(1.2.11)

|_ < С(Т)(ем+2 + (1.2.18)

где Ят =ф, 0 :1 € в П Неф,* € (О, Т)| НЕ — или Д;,^ и константа С (Т) не зависит от е и /1.

Т е о р е м а Б: Имеет место оценка для решений задачи (1.2.12)-(1.2.15)

- «11^ < С(Т)(ем+2 4- ¡1К+2), (1.2.19) где константа С(Т) не зависит от е и

В §1 глав I и II требуем сначала, чтобы / е Со°((г). Решение ищем в виде ряда по степеням г

оо

м(00) = У2£'+2 Лг<(*/£)Я7(*) (1-2-20)

г=о \цы

где ]Уг-(£)-1-периодические по функции,?' =

(¿1 ... г/)-мультиндекс, ij £ {1,..., я},Бг = д1 /{дх11 . ..дх^)

ищем в виде ряда по степеням ¡1

ОС 5 5

т) = £ (о Да-люнх; ^шмы]

к—О з=1 г=1

(1.2.21)

где = = 1 если I * 1>

1, (¿) = 0 если I í |< 3/4, />х(г) е С00 (Б.) - срезающая функция.

' экспоненциально быстро убываю-

щие 1-периодические (« х я) функции. (1.2.20) является формальным асимптотическим решением задач (1.2.1)-(1.2.2),(1.2.3)-(1.2.5), заданных на каркасе Аем.

Если С? = (—<21, Й1) х ... х (—ае, а£) и граница области С пересекает каркас Аеи на расстоянии порядка е от ближайших перекрестий, то можно снять условие финитности правой части Дх). В этом случае строитсяпогранслой вплоть до границы дС области в.

Для усеченных сумм получен следующий результат

Ьи(м,К) = д,,.) + 0(£м+1 + ЦК+1) (1.2.22) и доказана теорема А.

В §2 глав I и II / £ Решение ищем в виде

(1.2.20), где - ограниченные функции,

ос /о=0

+ Е

где -сумма по всем векторам е^,имеющих концевую точку £о,/э(*) — 1 если | * ]> й + 1/2,р{{) = 0 если | Ь |< (I + 1/4, р({) £ С°°(К) - срезающая функция, с1 - наименьшее число, такое, что любая точка сферы радиуса ¿(л с центром в любом из узлов, может принадлежать не более чем одному из цилиндров данного пучка.

~ £о); -^/Г(V) экспоненциально быстро убывающие ограниченные (зх в) функции. Тогда (1.2.20) является формальным асимптотическим решением задач (1.2.1)-(1.2.2),(1.2.3)-(1.2.5), заданных на каркасе В£11.

Для усеченных сумм получена оценка (1.2.22) и доказана теорема А.

В §3 глав 1 и II /(х) £ Со°((5). Решение ищем в виде ряда по степеням ¡х

* • И

1=0 |г|=г р

где л = ж//и, ^о^общая концевая точка, сг = а(х — К)/ц.

— Со)? ^/"(У) экспоненциально быстро убывающие ограниченные (а х з) функции. Для усеченных сумм получен следующий результат

£г/м) = /(г) + 0(//+1) (1-2.23)

Доказана теорема В.

В §1 главы III / £ Со°(С). Решение ищем в виде ряда по степеням е

оо

р,ч,1=о И1=г

(1.2.24)

где Лг£г(£)-1-периодические по (й + 1 х в + 1)

матрицы-функции. = да+1 |{дtqдxi1 .. ,дх{1)

оо « в

^'=1 г=1

^^¡¡¡(О > экспоненциально ббыстро убыва-

ющие 1-периодические (я + 1 х в + 1) функции.

Если G — (—<ц, ai) x ... x (—as, as) и граница dG области G пересекает каркас ASI1 на расстоянии порядка е от ближайших перекрестий, то можно снять условие финитности правой части f(x,t). В этом случае строитсяпогранслой вплоть до границы dG области G.

Для усеченных сумм получен следующий результат

Lu<-M'K)(x, t) = /(г, t) + 0(eM+1 + цк+х) (1.2.25)

и доказана теорема С.

На непериодическом каркасе Beli

оо к-О

л/г \ " г1

е£(£ о)

•^gifc(?_£o)> экспоненциально быстро убы-

вающие ограниченные (s +■ 1 х s + 1) функции. Ряд (1.2.24) является формальным асимптотическим решением задачи (1.2.8)-(1.2.11).

Доказана теорема С.

В §2 получены результаты, аналогичные тем, что

оо оо

получены в §1 с заменой на ЛГд1-, ^ на ^ . Для усеченных сумм верна оценка (1.2.14). Доказана теорема Б.

Основные результаты диссертации опубликован-ны в следующих работах автора:

1. Лапшин А.Е., Панасенко Г.П. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в каркасной области. - Успехи математических наук, т. 49, вып. 4.

2. Лапшин А.Е., Панасенко Г.П. Асимптотическое решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона, заданного на периодическом прямоугольном каркасе. - Вестник МГУ.

3. Лапшин А.Е., Панасенко Г.П. Асимптотическое решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона, заданного на непериодическом каркасе. - Труды семинара им. Петровского, 1995

4. Лапшин А.Е. Асимптотическое решение задачи Дирихле для нестационарной ситемы уравнений теории упругости. - Докл. РАН, 1995

5. A.E.Lapshin , G.P.Panasenco Asymptotic Solution of the Dirichlet's Problem for the Poisson's Equation , Posed in the Periodic Rectangular Lattice. - Publications Equip d'Analyse Numerique St. Etienne - Lyon, URA - 740

6. A.E.Lapshin , G.P.Panasenco Asj-mptotic Solution of the Dirichlet's Problem for the Poisson's Equation, Posed in the Non-Periodical Lattice. - Publications Equip d'Analyse Numerique St. Etienne - Lyon, URA - 740