Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений с вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0 8 2'

ТОРОНТСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕШШП УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ' ЛЕШШОКОГО КОМСОМОЛА

На правах рукописи

КУЗНЕЦОВА НАТАЛЬЯ АН/Л'ОЛЬЕША

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДУ В ТЕОРИИ ДШЕРЕНЦИАЛЫШХ УРАВНЕНИЯ С ВИРОЭДЕНШ'К

Специальность 01.01,0? - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1991

Работа выполнена в Воронежском государственном университете имени Ленинского комсомола

Научный руководитель« доктор физико-математических наук,

профессор Глушхо В.П.

Официальные оппспенты: доктор физико-математических наук

Кислов Н.Е.

доктор физико-математических наук Пешков В.З.

Еедуцая организация « Уральский государственный университет.

Защита состоится " аоЧ^ 19^ г.. в 15.10 на заседании специализированного совета К 063.48.09 по присуждение ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском ордена Ленина государственном университете имени Ленинского комсомола по адресу« 394693, Воронеж, Университетская пл., I, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "_/£¿-^О^О^ 19$/г.

Учений секретарь специализированного

совета К 063.40.09 -/У^Л."' В.Г.Йадорожний

J

СП-АЛ ХЛГАКТЕРТСТК'Л PAGOTH

.'•:•:rygгь (Ьсть те',"-:. "гссерттиоаная работа посвяцена иэуче-ч ас;::;пготических своЯсте репеийЯ обытаовеяного выроздеюцего-Л'."''°рз!!:!иальчого уравнения второго порядка, содержащего боль-Я числовсЯ параметр, и связанных с ним граничных задач. Рас-атр/.рчемсе уравнение тесно связано с вырождающимся эллиптичес-м уравнением Еторого порядка в частных производных. В теории рзидаищнхся эллиптических уравнении переломной и ссиовополага-еЯ стала работа Р.Келдияа, в котороЯ он показал, что глядеть репениЯ вироащагщихся эллиптических уравнения к, следова-льно, постановка краевах задач для них существенно зависят от ведения младиих членов уравнения в окрестности многообразия рождения. Свое дальнейшее развитие теория вкрохдаюцихся эллпп-ческнх уравнен;:!! получила в работах !.!.!.!.Смирнова, С.А.Терсено-, С.А.ОлеЯнпк и Е.Р.Радкевича, Í.M!.Ритика, В.В.Групипа, \.Гнпр',:пг.зн1, Р.П.Глузко. Метод, примененный М.К.Пиииком и [¡.Грумиким, позволял исследовать уравнения при степенной хара->ре вырождения. Р работе P.ü.Глуыко удалось рассмотреть продольно "сильное" вырождение для эллиптических уравнения второ-порядка. Р дальнеЯпем эта методика била перенесена в работах' ¡.Глуико, А.Д.Еаееа на уравнения высоких порядков. Значитель-í продвижения в теории впрождасщихся операторов высокого по-[ка стали еозмохш; благодаря использовании понятия и ыетодов (вдоди'К'еренциальннх операторов и введении класса весовых :вдодиУ,еренцнальннх операторов.

Исследование вырождающихся эллиптических уравнения приводит 1еобходимопти изучения сесЯств реисниН обикновеннчх вырождав-

ч

щихся дифференциальных уравнения с веществен»!':.':: параметра:;;:. ! Ряд свойств таких решении бил установлен в рябогах В.П.Глупко.

Таким обраэоа, в теории граничных задач длл вырождающихся эллиптических уравнения достигнуты большие успехи. В частности построена теория разрешимости обцих граничных задач для впроуд ющихся эллиптических уравнений высокого порядка в пространство (а также в пространствах типа Ссболева-Слободеикого, построенных на основе пространства ). Изучение аналогичных вопросов в пространстве <2'pCi<p<•co ), а также в пространствах Гельдера наталкивается на существенные трудности. Дал неЯиее продвижение в указанном направлении требует болое тонки методов для исследования свойств решения граничннх задач вблиэ поверхности вырождения. ОсноеоЯ такого подхода могут стать аси птотические методы.

Цель работы.'- Изучение своЯсте решения обыкновенного сильн вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка, со держацего болызоя числовой параметр, и получение - оценок решения, связанных с этим уравнением, граничннх задач на основ нового, не связанного со специфическими свойствами гильбертово -'пространств, подхода, в основу которого положен асимптотически метод ГКБ> приложение полученных результатов для обыкновенных дифференциальных операторов с параметром к изучению некоторых вырождающихся эллиптических операторов в частных производных второго порядка.

Методика исследования. В диссертации использованы совреме ные методы математической физики: псимптотичбокип метод "КБ, : ория преобразования Фурье обобщенных функция, теория пространс С.Л.Соболева.

Прущая новизна. Основные результаты, полученные в диссерта-:и; являются новыми. Впервые обосновывается возможность исполь-ipaiMin еснмптотического метода ЕКБ для исследования вырождапще-!ся дифференциального уравнения второго порядка. Получены асимп-)т;1'юскге оценки репений обыкновенного сильно рирождащегося диф-¡ренииального уравнения второго порядка, содержащего больной чис-тсй параметр К , и их производных первого порядка при L £(o,roj. с поиоцьг БКБ-аснмптотик построена формула представле-[п решения задачи Дирихле, исследованы свойства реаений рассиат-шаеыого уравнения и установлены ¿2, -оценки репзний.

Впервые асимптотический метод ГКБ используется для изучопия 1зрешикости задачи Дирихле в полупространстве для одного класса ¡рождавшихся эллиптических уравнений второго порядка при произ->льном "сильной" характере вырождения. Для построения решения я . ■о оценки при малых значениях параметра К в работе гффехтив-| использован метод продолжения пг> параметру.

Теоретическая и практическая ценность. Развитие в диссеplain методы пригодны для исследования различных задач для уравне-[й в частных производных с существенно изменявцииися Спо одной | незавнетоых переменных) коэффициентами. В диссертации созданы ^едпосылки для построения теории вырождающихся эллиптических авнений в пространствах -^р ( 1 ^ Р с СУЗ ) и Гельдера. Практи-ская значимость рассмотренных в диссертации проблем обусловлена связьб с актуальными задачами математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ■ронежской зимней математической школе (Воронеж, 1987 г.), иа , ХЯ школах по теории операторов в функциональных простран-вах (Тамоов, 1937 г.5 Куйбипев, 1988 г.), на X конференции vo-дых ученчх факультета физнкп-ыатемат^чееких и' естественных на-(.Уосква, УДИ им.П.Думунби, 1967 г.), на Республиканской конфе-

б

' ренции "Теория и численные методы решения краевых задач дифференциальных уравнения" (Рига, ЛГУ, 1988 г.), на Рсесовзиой конференции по неклассичаским уравнениям математической физики (Но- . восибирск, 1989 г.), на научных сессиях Воронежского госуниверситета (1987-1990 гг.), на научных семинарах кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского госунивер-штета и научно-исследовательского института математики при Воронежском госуниверситете (IS83-IS9I гг.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в двенадцати работах автора, приведенных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Настоящая работа состоит из введения, четырех глав, дополнения и списка литературы. Основной текст диссертации (без дополнения и списка литературы) составляет 137 страниц машинописного текста. Список литературы содержит Ю наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТ11

' D главе I диссертации рассматривается вырождающееся обыкновенное дифференциальное уравнение

Kl, «sj, С1)

содержащее большой числовой параметр К € . Для коэффи-

циентов уравнёния (I) предполагается выполненным

Условие . • ¿(к)е С%,оо); bl*ViU)6. С3(0,оо),

г 2

Ш)^С(О,ро); СС' btO^l-

jU>MWO) МЬ>Рь>0 Пр„ t^O ( при tô;

гл]\ г- .

ШвС (ОЛ), «ЛГХОНО, *0е(О,5), л/>1;

Установлено, что при выполнении перечисленных условий ^ :е (.0,5" > и К ? К 6> О , К0 - достаточно велико, уравнение I) имеет два линейно независимых реаения у^ ( + ) , И = 1,2, ¡"0,1 » для которых справедливы асимптотические представления

дэ

О (У ?! II

Хсу)с1р, Те (.-<*>, о),

' с*

-1 } I

^ЧТИ), К) = л и) I ь») + IК 4) Д.«)] -1-« ),

В основу доказательства положено использование асимптотического метода ВКБ, применение которого к вырождающемуся урвЕне-пию (I) обосновывается. Исследование функции У^' (-Ъ} к) позволило изучить поведение решений Ум] вблизи точки

еыроадвния -^ = 0 при^ и установить следующие оценв

I Угои) 1 * ^ К^РI ^4 К (5 » ) ■

В главе П диссертации уравнение (I) исследуется при ■Ье и устанавливается справедливость следующих теорем

Теорема I. Пусть выполнено условие . Тогда при ^€(0,00)« К^Кц^О , К0 - достаточно велико, уравнение (I) инеет два линейно яезависимых решения У^НО > П = ],Я, ^ ^ , для которых справедливы асимптотические представления

Уп]1*)= У^НЛ.кН 1 + 01К1)), Уп] И) = Уп] к) Рп: + ооЛ),

I Е^.юи^С

.1 Ц/ЛМн^-т1,

не —

о

л Т '

1:ое10)ео)> Те (.-<*>, <*») . эшения ^ • ] = О, 1 » ограничены на любом интерва-

з (0,^) , Т4>0 » рзпепив Чго^ ограничено на лв-зн луче. (,Т2)£>о) "Т Т2?0 »реиеяие + ) ограничено

1 всей полуоси СО, оо).

Функции К) являтся БКБ-асимпютикаия репений

П-1,2 > ]= 0,1 > при • (0,оо) , К-'-оо Теорема 2. Пусть выполнено условие . тогда пря

Ж0 , для линейно независимых решений Уи]1Ь) , ,

'■О, I I уравнения (I) справедливы следующие оценят а) при "1: 6 С О, 5)

1 ^ '} I г 2 л -1 л .

!У|01+)1 ~ К еур|-с\К Ц+К-Ч*» ей

Л Б ' -1 л А

М1

б) при te (.s, ««О , t06 1а/ ).

\r ' Л i nu -i L " а , 2 л i л 1

В символ ~ (эквивалентность) вкладывается следующий смысл« ^(х) ~ Ч'СУ') i 0сли существуют постоянные Cj>0 и такие, что C¿ <- < Сг Б главе 13 диссертации рассматриваются две граничные задачи для уравнения

Первая - задача Дирихле на интервале -te с гранич-

ными'условиям»

У10)=Ч0, ЧС5) = 0. (э)

Вторая - задача Дирихле на полуоси "te (,0,oq) о граничными условиями

Um 4(tb 0 . 00

А

Теорема 3. Пусть выполнено условие ^ . Тогда при te 10,5), к>, К0>0 и любой функции

задача (2)-(3) имеет единственное ограниченное на {0,5) решение

для которого имеет место опенка

к IIУ 1*о,Б)+ и У«VIIСь¿41*>, í5)

&

ii2

1а.

а

„4мг<н,

Йд К) = р2ди.к),

Б -

У^У^У** ] w (т и^*^, .

о

:ции У^Н) , ут=1,2, - линейно явзависииыв. решения единого уравнения (I) при , - вронскиан :ций Уи11+) , •

В диссертации показано, что условие Ч является не-

диным для справедливости оценки (5).

Теорема 4. Пусть выполнено услогие Л . Тогда при ^е(о,оо)} ! и левой функции К) 6^(о,оо) задача (2),

имеет единственное ограниченное на 10, оо) реявнив

которого имеет ыесто оценка

4 2 '2. а ' , 2 2 и 2 ' , 2. 22

о

та

+1 УцН^Ф ч^флд^д&^Д,

УщН) , И-1,2, -'линейно независимые решения'однородного уравнения (I) при (О.оа) и , V/ ("И - вронск

ан функций , П=1,Я.

В главе 1У"диссертации рассматривается задала. Дирихле для рождающегося эллиптического уравнения второго порядка в полупро странстве « , 0 < < , УеЙ^ . При у

ловии "регулярности" вирождения оператора на гиперплоскости Ч-и вещественпости'коэффициентов исходного оператора в частных пр изводных, эта задача может быть сведена к изучению уравнения

А 1-ь, I* »«а^и-Ои -

с условиящ

ё

где \) ^ О - параметр,

(7!

В силу .эллиптичности рассматриваемого оператора при любом 4:^0 | , <Ш)>0 I ЦШ>0 и ^¿^С^Н), Предполагается, что при 1~+0 происходит сильное и только характеристическое вырождение оператора А . Поэтому ЦД+О)*

= ¿4+0)'0, Cji+O^o, j- .. Кроме того предполагает-л, »»то величина

Применение преобразования Фурье приводит задачу (б)-(7) к

иду

{Л*)Ч) -1 u А1+4 ф1, у ■-ксадч - Оч = f» ), (8)

4t+0byo 1 Um УН.) =0 , • , (9)

V-» •+ со

y-F^tuc*,»!, fi-^^gtt.*)],- к=1||,

О* О . Параметры К , 0<К<оо ,и fe I ' рассматриваются как независимые.

Разрешимость задачи (8)-(9) исследуется в пространстве

" 2.

U(a, (o^a^ß^co) с нормой

<L 1-

2lU,b) 1 ^ висящей от параметра К?О .

Теорема 5. При любых К>0, НО,

+ 0.О, (Ц±)£ (0, оо) и у,'еС существует речение

<2

Ч^Цсо) задачи Сб)-(9)> для которого справедлива оценка

114 12, л о, «*)■[ + »01 4.1+ \\ iftl l0i ^ \>

s постояпнзя ОО не зависит от К, О, ^ , ii, у, ,

Теорема б. При любых \)>0 , cj (t,jt) е

110(Ю£ Н^йц) cvqecTBveT резениэ ин g ц2- (о+ \

j " Л * n+i '

дачи Сб)-С7), прк«еи выполняется опенка

'"Чо'^'З'ыС»4 «"^им I•

где

00 2. ~ ' " 2 2

ПН '

со

liü,W rll \

* ntl о Rw '

01-1,1)= F,_t tu-t, XI] ,

к

О

я

D Дополнении приводится доказательство леммы, используемой в главе 1У диссертации.

Б заключение автор выражает искреннею благодарность своему

4

научному руководителе профессору Б.П.Глушко за постановку задач и постоянное енюание.к работе.

Основные результата диссертации опубликованы в следующих работа*:

1. Кузнецова U.A. Асимптотические представления решений однородного гйро«ду.Ркегося дифференциального'уравнения второго поря; ка // Неклассические уравнение математической физики. - Новосибирск, 1986. - С. 163-166. '

2. Кузнецова H.A. Исследование свойств решений вырождающегося

равнения второго порядка с параметром // Всесоюзное научно овецшше "Методы малого параметра": Тез.докл. - Нальчик, 967. - С. 85.

/знецова II.Л. О некоторых свойствах решений вырождающихся равнений второго порядка с параметром // ХЛ школа по теории -ораторов в Функциональных пространствах: Тез.докл. - Тамбов, ?Ü7. - Ч. I. - С. III.

пнецова H.A. Асимптотические представления и оценки решений /рождающегося уравнения второго порядка с большим параметром ' Краевые задачи неклассических уравнений математической фиши. - Новосибирск, 1987. - С. II8-I52.

■знецова H.A. Асимптотические оценки решений для одного илас-I порождающихся уравнений второго порядка с больпим числовым .раметром / Воронеж.гос.ун-т. - Воронеж, 1987. - 50 с. - Деп. ВИНИТИ 15.01.87, У' 357 - Е87.

знецова H.A. Задача Дирихле для одного вырождающегося диффе-наиальиого уравнения с большим параметром // ХШ всесоюзная ола по теории операторов в функциональных пространствах: з.докл. - Куйбышев, 1988. - С. 104.

знецова H.A. Асимптотики решений задачи Дирихле вырождавце-ея дифференциального уравнения второго порядка с большим па-иетром // Республиканская конференция "Теория и численные годы решения краевых задач дифференциальных уравнений"\ з.докл. - Рига, 1988. - С. 76.

знецова H.A. Оценки в of2 решения задачи Дирихле для вырож-эщегося дифференциального уравнения второго порядка // Но--. 1ссические дифференциальные уравнения в частных производных.-юсибирск, 1988. - С. Ш-Ш.

шецова H.A. Об асимптотике решения задачи Дирихло с вырох-жи и большим параметром // Х1У пкола по теории операторов

в функциональных пространствах: Тез.докл. -Новгород, 1989, Ч. 2. - С.

10. Куэнсшова H.A. Оценки решения задачи Дирихле для одного вырождающегося ураьнения с больший параметром / Бороне*.гос. ун-г, - Вороне*, 1989. - 31 с. - Деп. в ВИНИТИ 9 . 05.89,

* 38'j7-B89.

11. Кузнецова H.A. Глобальная асимптотика на полуоси решении ви-• рождающихся дифференциальных уравнений второго порядка //

Краеьие задачи для неклассических уравнений Математической физики. - Новосибирск, 1939. - С. 125-128.

12. Кузнецова H.A. Асимптотика на полуоси решений вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка с параметром // Алгебра и математический анализ. - Новосибирск, 1990. -

С. 3-8.

^itiiuifdn •

Заказ 394 от 9.07.01 г., тнр.т». IQO экз. Сормят бОхУО 1/10. Объем I n.J. ' Офсотн-т япборпгорад ЬГУ.