Асимптотические свойства аналитических функций, представленных степенными рядами и рядами Дирихле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Льв1вський державний ушверситет ¡м. 1вана Франка

Г Г Ь О Д и

На правах рукопису

- 1 № ^

Скасшв Олег Богданович

Асимптотичн! властивост! анал1тичних функцт, представлених степеневими рядами \ рядами Д1р1хле

01.01.01 - математичний аналЬ '

Автореферат

дмссртаца на здобуття паукового ступеня

доктора ф1зико-мзтематичннх наук

Лыпв - 1996

Дисертащсю б рукоалс.

Робота виконана на кафедр! теорП функцш i Teopl'i ймов!рностей Аьв1вського державного ун!верситсту 1м. I. Франка.

0ф1цШн1 опоненти: члсн-кореспондеят HAH,

доктор ф!зико-математи11них наук, професод) Островський И.В., доктор фЬико-матсматичних Наук, професор Осколков В.А., доктор ф1знко-математи<ших наук, професор Кондратюк A.A.,

Пров1дйа установа: державний ун1верситст "Льв1вська нолггехнЬса"

' Захмст В1дбудсться^ кЬ^Кк Шбр Q 15 на зааданш спещал1зованоТ bhchoi ради Д.04.04.01 ври Аьв1вському державному ушверсигет!1м. I. Франка за адресою: 290602, M.Abaia, вул.Уи1верситетська, 1, ауд.377.

3 дисертац!ею можна ознакомитесь у б1бл!отец! Аьв!вського ' державного ун1верситету ¡м. I. Франка за адресою: м.Аьв1в, вул.Драгоманова, 5. .л ^ Автореферат розклано 1996р.

Вчсний сег.ретар Q

спец1ал!зовано'1 ради Микитюк Я.В.

Загалыга характеристика роботи

Актуальшсть теми. Як цш1, так i, бЫьш загально, аналгсичш функци' утворюють важлив1 функщональш класи, як! природно ви-никають в Teopii крайових задач (¡нтеграл типу Komi), теорп ймов1р-постей (характеристична функци), штсгральнях та операторних pis-нянь (резольвента), Teopii чисел (С - функщя PiMana, L - функщя Д1р1хле), Teopii' диференщальних р^внянь. KpiM того, а.на.л'1тичт функцП займають одне з центральних м!сць в загальшй Teopii ме-роморфних функщй. При дальшому розвитков'1 Teopii аналггичних i мероморфних функщй ВИЯВЛЯЮТЬСЯ HOBl IX зв'язки, як з цими га-лузями математики, так i з, власне, i'x прнродяими розширеннями такими, як теория субгармонШних: функщй, теор1я пoлiaнaлiтичниx функщй. BiflOMi зв'язки 'и з радшф1зикою, задачами лйийио? фшь-трацп i т.п.

Як окремий науковий напряиок теор1я щлих та анал1тичних функщй виникла наприкшщ XIX - початку XX ст. I шдразу, почина-ючи з праць Адамара, Бореля, BiMatia, BanipoHa, Пойя, як один з основних i великих, вид1лябться в шй найрямок, який можна пи-зиачити, як досл!дження асимптотичних властивостей аналтгчних функщй у залежност1 в1д повед1нки коефщ1в1тв i'x тeйлopiвcькиx ро-звинень. При цьому переважають досл1дження, у яких виявляються класи ц!лих функщй, що волод1ють асимптотичними властивостями, максимально под1бними до властивостей многочлешв, безпосеред^ н'ш узагальненням яких в Ц1Л1 функци.

Нехай f(z) — аналогична при \z\ < R < +оо функ-

щя. Для г < R позначимо Л//(г) = тах{|/(г)| : |'| = г|,т/(г) = rain{|/(z)| : |г| = г}, /t/(r) = max{|a„|rn : » > 0} - максимальний член, Uf(r) — тах{г» : (a„(rn = /i/(r)} - центральний шдекс. Якщо / -щла функщя, то один з основних висновмв Teopii" Вшана-Вал1рона, що пиникла як метод досл1дження степеневих. ряд1в, можна описа-ти в наступний cnoci6: в околах точок максимума |/(~)| (тобто при малих |rj| i z таких, що |/(г)| в деяксму секс! близький др М/(г)\

/(«") ~ е""М/(0. ~ ПРИ И = г - +oc,r i Е -

скшчен:го1 л с г а р и ф м i ч к oi MipH. Зауважимо, що у пипадку, якщо / - многочлен deg/ = п, то fj(r)' — п (г —> -+оэ) i одержан! оласти-BocTi поошстю аналоггчш до властивостей многочлент. В1дзначи-мо, що описан! щойно сгпвв1дношення виявились досить корисни-ми при вивченш асимптотичних властивостей ц1лих роз'в'язмп диференщальних р1внянь та функщоиальних ршнянь, а i'x узагальнен-ня - до дослщження характеристичных функщй ймошрносних за-кошв. До шших властивостей, ям можна трактупати як под1бн| до властивостей многочлешв, цс рЬном.нипй сп^вв^дношення пигляду

Mf{r) ~ nf{r) ~ my(r), 1пЛ/Дг) ~1птДг), Ф(1пЛ-//(г)) ~ Ф(1п^у(г)) xa пов'язаш з ними HepiBHOcTi. Так, для щлих функщй скшченного порядку добре ведомо, що

InMj(r) ~hifif(r) (1)

при г —> +оо. Цей елемеитарний факт часто приписують Е.Борелю. Вкажемо на ге, що Е.Ворель остановив (при в!дсутност1 обмежемня р < оо), що (1) справджуеться вздовж деяко!" посл1довноси rj —* +00, тобто при г ~ гj +00.

Аналопчнс твердження можна одержати також Í3 одного результату A.Bibiana, я кий показав, що для кожно1 цшо1 функцп / i для кожного е > О знайдеться посл!довшсть r¿ —► +00 така, що

itf/(r)<^/(r)(ln/.y(r))i+* (2)

при г е {г,}. Найб1льш широке узагальнення згаданих результата одержав П.Розенблум, який по-cyTÍ встановив, що

МЛ'-) < /«/(г)^(1п^/(г))

для bcíx г С (l,+oo)\i? ( JE7 — множила скшчснно? логарифшчно! м!ри на [1,+ос), тобто Y < -foo ), де ф(Ь) - додатпа неперервна

зростаюча на [0, Ч-оо) функцш, для ЯК01 J0+°°(V'(':))-2 < +00. Зв1дси випливае, зокрема, спраВедлий1сть (1) i (2) при г —» +оо поза множи-ною скшченно! логарифшчноГ М1ри. Розвитку методу i його застосу-ваннямприсвячемтакожстатт! А. Макштайра,.В.Фукса, П.Ердеша, П.Фентона, Ш.Стрелща, И.В.Островського, T.KeBapi, Л.Соне i ба-гатьох ¡нших anropiB.

В цьому ряду в1дзначимо працд У.Хеймана (Cauad. Math. Bull. 1974, v. 17, N 3), у лк!й в Певшй í.iipi тдеумовано наявш на час и написания результати типу В1мана-Вал1рона для щлих функщй та íx розвиток, М.М.Шеремети, в яких розроблено аналог методу Вшана-Вал1рона, у якому враховуеться лакунаршеть, Що дало змо-гу застосувати метод до щлих рядгв flipixne. Ряди Д1р1хле

оо

F(¿) = I>„e*4 (3)

u=o

О = Д0 < t (1 5: n ~* звичайно, природшм узагальнсн-

иям стспсневих ряд!в. Вони виникаготь також, як самостшш об'екти

-Б-

d роjii розв'язкт операторных ршнянь для оператора типу згорт-ки та оператора цескшченного диференщювання, в теори ймов1рно-стей увипадку nip зосередженних на дискретшй миожш», в Teopii чисел. Не в останню чергу зростання iiiTepecy до рядш Д1р!хле ви-кликано також появою велико!" илькост! праць з теори зображень анал!тичних функщй такими рядами (див. книги А.Ф.Леонтьева) i у дьому зв'лзку - необэйдшеть вивчення i'x асимптотичних власти-востей. В1дзначимо, що при вивченш асимптотичних иластивостей в депких задачах ефективною виявляеться методика, яка базуеться на штегралышх перетвореннях типу Бореля чи Фур'е, що бере cnifl початок тд роботн Пойа (Math. Zeitschrift., 102S), Bd. 20) i активно розвивалась А.Ф.Леонтьсвим та його учнями.

Для цших ряд!п Дф1хле вперше задачу про справедлив1сть cnin-в1дношення

luM(<7,F)~ln/i(o-,.F), (4)

де М(а, F) = sup{|F(cr + ty)| : у € М}, ,i(cr, F) = maxiKle0^" : n > 0}, при а —» +оо розгляиув К.Суг1мура (Math. Zeitschrift, 1029, Bd. 29). Однак у найбшьш загальному внгдяд! задачу встаповденкя умов, при виконанш якнх сп!вв!дношення (4) справджуеться при сг —» +оо зовн! винятково? миожинп вперше розглянуп М.М.Щеремета (Мат. сб., 1979, т. 110, N 1), при цьому Bin внсловив припущенин, що умова

1

£ "Г" < (5)

»-I ,1Л"

е необх1диою 1 достатньою для того, що б спщгпдиошення (4) викону-валось при сг —» +оо зииш миожинп скшченцоУкцри для кожного щло-го ряду Д}р1хле (3)»з фшсовапого посл1довтстю показникш Л = (Л„). Це припущення, яке пперше доведена автором дисертацц, одержимо у вигляд1 насл^дку з теореми, яка стосуеться умов виконання бшын загального стшмдношення

ь>(1н М(сг, Г)) - Ц1п^(<г, — 0 (С)

при а —* +оо зовш мшлткооо? шгожини, де и - додатна неперерпиа зростаюча на [0, оо) функцш.

Аналопчн! питания, як для функщй анал!тичних в крузГ, так 1 для абсолютно зГмжиих у пЬплощиш ряд1в Д'ф1хле вивчеш знач-но менще. Це не в останню чергу йикликано тим, що побудупати задов1льну методику досл!джекня асимптотичних властивостей не вдавалось до останшх рок^в, хоча в цвому напрямку працювали математики, починаючи 1)1 д А.В)мана, Д.Пойа та Ж.Вал1рпна. Однак,

з огляду на ваяслишсть вивчення зазначених кла«в, актуальшсть розробки ефективного методу не викликав сумшву. Такою могла виявитись методика типу В1мана-Вал1рона, однак спроби 'и побудо-Ви (див. також прац» T.Keaapi, Л.Соне, T.Mypa'i та шших автор1в) до належноУ загальност! одержупаних результата не приводила. В дашй дисертацШнШ poöoTi побудовано метод типу BiMaua-Baflipona для зб1жних у пшплощиш ряд!в Д1р1хле. 1де1, ли при цьому иши-Кають приводить до нових формулювань задач для цших функцШ, Що приводить до нових результате, при цьому часом в добре в!до-Ыих задачах. Зокрема, на цьому шляху буде знайдено неох1дш та достатн! умови в рамках в1домо! Нпотези Д.Пойа (1929 р.), та знайдено доведения ппотези Й.В.Островського (1083 р.). Iinui KoMeHTapi стосовно зв'язку результаив дисертаци з результатами !нших ав-Topin та актуальности 1нщих конкретних постановок проблем див. нижче:

Мета- роботи.

1. Досл1дити асииптотичн! властивост! цишх ряд!в Дф>хле. Вста-. новити необх!дш i достатш умови для справедливост! (6) зовш

виняткопоУ мпожини ск1нченно1 Mipit та 3ooni множили нульових лЬййних щшьностей.

2. Розробити метод, що дозволяв одержити аналоги класичних теорем А.Шмаиа, Ж.Ввл1рона, Е.Бореля для абсолютно зб!жиих у швплощин! рядгв Д1р!хле та лакунарвих степеневих ряд!в в единичному круэ!.

3. Вивчнти асимптотику ряд1в Д1р1хле з монотонними коеф!ц1внтами в ситуацй', коли система показник!в допускав наяпшеть у не» до-в!льно! к1лькосг1 точок скупчення.

4. В рамках Нпотези Пойа про м!н1мум модуля лакунарного степене-вого ряду встановити необх1дн! та достатш умови для справедливое» асимптотично! ршност! логарифшв максимума та м!шмума модуля.

б. Одержати узагальненнл теореми Шкпра, з ярого би випливала справедлив!сть г!потези Островського.

Загаяьна методика досл1джень. При розпяэуванн! вказаних ви-ще задач використовуються методи xeopii функцШ комплексно! ЗМ1Н-Hoi.

Новизна результат^ та ü наукова ц1ш(1сть. Bei основн! результаты Дисертаци в новими I одержан! автором самостШно. Ix зм1ст Яолягав в наступному.

1. Розроблено аналог класичвого методу В1мана-Вал1рона для функцШ анал1тичних п круз! та абсолютно зб^жних у п1вплощин1 рядш Д!р1хле, що дало змогу вперше одержати у широкШ загаль-ност! ряд остаточних результате про асимптотичш властивост»

,-т-

таких функцШ, зокрема одержано посилення одн1еУ теореми А. В1мана.

2. Дослужено асимптотичн! властивост1 ц!лих та абсолютно зб1ж-них у п1вплощищ рядгп Д1р1хле з монотонними коеф!щвнтами, що дало змогу: а) одержати нов! уэагальиення теореми Вореля; б) вивчити эростання в горизонтальних смугах; в) досл1дити асим-птотичну поведшку мш!мумп модуля, - при цьому вперше встано-илено, що ямсно и умовах, як1 забезпечують бажан! асимптотичш властииост! посл1довшсть логарифм5в модул!в коефщ!бнт1в ряду Д1р1хле виступае у т!й же рол1, що й посл1довн!сть ноказнимв цшого ряду Д!р1хле.

3. Одержано для ц!лих ряд1п Д1р1хле узагальнення теореми Вореля, з якого випливав справедлив!сть Нпотези га вир!шення одн!е1 проблеми сформульовано'1 М.М.Шереметою, а також необх!дш та достатщ умови справедливост! узагальненого сп1вв1дношення Вореля.

4. Вивчено асимптотнчн1 властивост! ц!лих ряд1в Д1р!хле та лаку-нарних степенених ряд1В при слабих обмеженнях на швидмсть зростання та показники, що дало змогу: а) одержати необх!дш.< та достатн! умови на посл1довтсть лакун для того, щоб логарифм максимума модуля щлоТ функци ск1нченного або сличенного нижнього порядку, зображено» лакунарним степеневим рядом, були асимптотично р!вш зонт винятково*1 множини; цим отрима-но остаточш результати в рамках Нпотези Д.Пойа; б) вивчити поведшку мипмума модуля щлого ряду Д1р1хле 1 одержати за-вершет результати; в) огримати дальш! узагальнення теореми Вореля;

5. Одержано узагальнення теореми Шкара про винятков1 значения щло'1 функци принципово нового характеру, як насл1док вперше одержано доведения гшотези Й.В.Островського. Апробац1я роботи. Основн! результати дисертащУ допов1дались

та обговорювались на Саратовських зимових школах з теорЯ' функцШ (1986, 1988), на конфереищях з комплексного анал1зу в м. Черноголовка (1985, 1987,1989), наконференцп з теор»1ЩЛИХ 1 субгарМошй-них функцШ (Харк!в, 1990), на школ1 з теорП' функцШ (Одеса, 1991), на м!Жнародних конференщях до стор1ччл С. Банаха (Льв1в, 1992), пам'яп акад. М.Кравчука (Кшв - Луцьк, 1992, 1995), пам'ят! Г.Гана (Чершвщ, 1994), на семинарах у Львов! (кер1вник А.А.Гольдберг), в Московському ушверситет!: з класичноГ теорК функцШ (кер. Ю.А. Казьмш), з теорн наближень (кер. б.П.Долженко),- у Харков1 (кер1в-ники Б.Я.Левш, Й.В.Островський), в Уф1 (кер. В.В.Напалков).

Структура I обсяг роботи. Дисертащя складавться 1з вступу, чотирьох роздШв, списку цитовано» л^тератури, що м!стить 130 най-

менувань та списку основних позначень. Загальний обсяг роботи 299 с.

Короткий зм!ст дисертацК.

У вступ! дана загальна характеристика роботи, обгрунтован! ак-туалыпсть теми, мета, теоретично значения проведених досл!джень, викладеш основн! положения дисертацН'.

Розд1л I повн!стю приспячений досл!дженню ствв\дношеннЯ (в) при а —» +оо зовн1 множини смяченно! шри. Нехай Н(Л) -клас в«х ц!лих ряд!в Д1р1хле з ф!ксованою посл1довн!стю Л = (А„), О < Лп Т +оо (п —V +оо), Пл(а,Ь] = ¿С„<д <ь 1- У §1 остановлено наступну теорему.

ТЕОРЕМА 1. Нехай Р € #(Л), и - додатна, неспадна на [0, +оо) функция з незростаючою пох(дною, а функций} ~ додатш^еперерен* такг, що эадоволъняютъ умову

Г

dt

iw<+00' (7)

V'i - монотонно зростаюча. Якщо F е Н(Л),

i = О(ы'(0) (« - +»), (8)

и' (vr1(*)) lnnA(i - vV'2(t);i + VMtj) < 0. (9)

t—>4-00

то стввгдношення (6) виконуетьсл при а —> +ос эовш множини скшченнох Mtpit, de Пд(а,Ь] = /С„<а

У §2 показуемо, що в ряд! важливих вииадмв умова (9) в необ-х1дною або близькою до такой Як встановлено у зауваженш 1 у випадку u>'(t) Int —* О (t —> +оо) з умови (9) випливае зб1жн!сть iHTe-гралу

' fc(lnn(i))

Г

-dt < +оо, (10)

де А({) - функция обернена до » "(4) = 52л„<а Наступна теорема вказув на необзидшсть в деякому сенс! умови (10).

ТЕОРЕМА 2. Нехай функцйг ш - додатна, зростаюча,двгчл дифсренцгй-ована на [0,+оо) така, що и' - спадае, при цьому к'(Ь) - не спудае { 1н(1 4- А:'(£)Д) = о(() (£ —» +оо). Для кожног посл{довност1 Л = (Ап), для яко1 роэб1ЖУш.й гнтеграл

Г

kjlnnjt))

-—-dt = -f оо (11)

эмойдетьсл функция F € Я (Л) така, що

и (In М(<г, Г)) - u>(ln ц (a, F)) >Ь> О (а. > <г0) (12)

У випндку, коли ¡^(t) така, що для e(t) —► +0 (t -* +00)

(t-*+oo)' (1з)

умови (б) i (10) е ршиоснльш, а осыльки умова (13) виконуеться при BitKoiiamii, наприклад, умови

(Зс £ £— 1; 0)> : < с (f - -И»), (14)

то з теорем 1 i 2 одержуемо теорему 3.

ТЕОРЕМА 3. Нехай и> - додатна^эростоючо,deini диференцтована на [О, +оо) функция гз спадною похгднию такою, що в-иконуютъся умови (8), (Ц) a A;'(t) - не епадае. Для того, щоб для кожног функци F € Н(А) викопувалосъ ствв{дношепня (б) при а —♦ +оо зов Hi множини ск%нченно1' Mipu Heo6xidno i досить, щоб викопувалосъ (10)j де k(t) функция обернена до фупг:цЦ ^.

Наведемо прикладн функцШ ui(t), для яких виконуються умови теореми 3. Такими, очевидно, с u>(t) = (li»t)l+<* (о > О), a>(t) =

ta (0 < /3 < I). У другому випадку k(t) = (flt)1^1, а у першоиу k(t) ~ (1 + а)<(1п<)". У в1дпов1днаст| з ним одержуемо наступи! насл1дки теореми 3.

НАСЛ1ДОК 2. Для того, щоб- для кожног функцп F е If (Л) викону-валосЬ стввгдношення (4) При <г —» -f00 aoeui множини сктченко»

Тверджения насл1дку 2 показуе справедлив!сть г!потези сформу-льовеио» М.М.ЩереМетою (Мат. сб., 1979, т.ЦО, N 1).

НАСЛ1Д0К 3. Нехай О

< /3 < 1. Для того, щоб для кожно{ функци F £ #(Л) виконувалосъ стввгдныиення

(In Л/(a, F)f - (In ц(в, F))1* - О при or - + +00 эовт множини сктченно!Mtpu, необхгдно t досить, щоб

J t~2 (ln«(t)) dt < 4-сю.

При /3 = ^ одержуемо розв'язок проблеми б сформульоваяо! М.М.Шереметою (Матем. студи, 1994, вип. 3, с.118). Лкщо ж a>(t) =s t, то у в1дпов1диост! ¡з зауваженняи 6 умова (0) i умова

1 . <-Юо (15)

„=о An+1 ~Лы

в р!ВНОСИЛЬШ.

Теореми 4 i б м1стять тверджеиня про те, що умова (15) 6 необ-х1дна i достатня для того, щоб сп1вв1дношення

M(v,F)~»(<r,F), (10)

М(а, F) ~ т(а, F), (17)

де пг(сг, F) = inf{|.F(a4- iy)\ : у 6 К}, викоиувались для кожно? функ-ц11 F € Н(Д) при сг —» -foo эорш множшш смичецно!- м!ри. Оказан! теореыи, а також теорема 5 посилюють, або узагальнюють наступ-ш результати. Для ц!лих функций /, представлекмх лакунарними степеиевими рядами

ас '

Я*) = ¿d«»2*"' Q = Aq < А„ Т +оо (п —» -foo), А„ € N (г» > 1), (18)

достатш умови для справедливой сп1вв1дношення М/(к) ~ т/(г) при г = гу ^ +оо пкаэало вже у статтях А.ЕЫана та Д.Пойа. В 1053р. П.Ердеш 1 А.Мак1нтайр показали, що умова (16) (з А„ е К) е достатньою для справедливости сл1вв1диошеш>

й= .¡й

г—Ч-ооД/Дг) Г—»-оо А/Дг)

де М/(г) 1 т/(г), в!дпов1дно максимум та мШмум модуля на кол» рад!уса. г, а Також у певному сенс! - не покращупана. П.фентон показав, що умова (15) е достатньою для справедливост! сп!вв!диощень Л//(г) ~ /»/(г), Му(г) ~ ш/(г) при г —» +оо зошп деяксп множили скшченно! логарифм!чноТ и!ри. Для Ц1ЛИХ функцШ Р е Н(А) В 1981р. Ш.Стрел1ц I 1.Вейт показали, що якщо (А„+1 — А„)2 > Ап+11па+' Ап+1 (п > по), 6 > 0, то стввЦношення

F{a + ir) » (1 + о(1))а,((г)е^+<Т>А^">

(19)

виконуетьсп при о —> -foo зовн! деяко! множини скшченно! м1ри, pin-homi'pho по г 6 R, де v — u(cr) = f(cr, F) - ценгралышй ¡ндекс ряду Д1р1хле (3). 1з одержаних panime М.М.Шереметою результате внпливае, що аналопчне твердження справджуеться при виконаши УМОБИ (An+1 — An) ^ Дп+1 п+1 ("■ > гео)> 6 > 0.

У твпрджеинях 1 i 2, пстановлених в §2, для випадюв, доповняль-них до тих, що розглянут! в теоремах 3-0, встановлюеться остаточ-шеть умови (0). Kphi того, зпайдено умов«, при яких викопуються аналоги ricpinrroeTi Binarta (2), а тякож встоновленп i'x непокращу-ватсть. Метод досл1джешш, який використовусться при доведенш достатност! у розд1л! I, а також в §4.2 в1дмпишй в1д вар1ант1в методу В1мапа-Вал1рона, що належать У.Хейману i М.М.Шеремет!, i е блиэьким до П.Розенблума. ЗагалыН конструкцН' функщй, що за-безпечують доведения необх1дност( тут i в ¡нших розд!лах, вперше були побудопаш автором дисертаци.

Розд1л II, який присвячений вивченню властивостей абсолютно эб|жних ряд!в Д1р!хле з монотонними косф1ц1внтами, починавться теоремою, яка покаэув, що повна иналогш результатов в /1о(Л) (клас bcix абсолютно зб^жних п {z : Rez < 0} ряд1в Д1р!хле) i результат)в в класах щлих функцШ в не можлива.

Для щлих функц!й, представлених як лакунарними степеневими рядами, так ! рядами Д1р!хле, а також в щлому мероморфних в ycift площиш функщй, добре а\домо, що наявн!сть обмежень на зростан-ня зверху, як от: умови на ск1нченний порядок або на ск!нченний нижн1й порядок i т. п., - надае додатков» (часом вирдтальн1) можли-bocti для описания асимптотичних влЬстивостей функцШ 1з в!дпов1д-них клас1в. Прикладом можуть служити, як i особливо характерш у цьому плаш cos ят>-георема та г!потеза Пел1, так 1 велика мльк!сть {нших тверджень, ям можна зиайти у будь-як!й монографГ1 з Teopii ц!лих i мероморфних функцШ. .

Однак, теорема 2.1 покаэус, що hUkI обмеження иа показники, навить DKyni з обмеженням на зростання суми ряду Л1р1хле ( э класу Н0(А) ) зверху, не можуть эабезпечувати бажаних асимптотичних властивостей.

Нехай L - клас додатних, неперервних на [0,+оо) функц!й, що зростають до +оо.

Теорема 2.1. Несай w(t), Ф(<) € L - doeUbHt рупкцИ, u>(t) ~ 0 для t < 0. Для кожног noMidoenocmi А — (А„), 0 =» До < А„ | +о°(п —♦ +оо) icnye функцъя F 6 Яа(А), для як о!

и(1п М(<т, F)) - u>(ln fi(er, F)) +оо > (20)

при (т —> —0, а також

sup{|a„| : п > 0} = 4оо, (21)

t для ecix а £ [<ro;0) — нергвнгсть

ln/tfoF) <♦(—). (22)

§2.1 присвлченнй одержанню оцшок эагального члена через мак-симальний для ряд1в, як з Н = илЯ(Л), так i з Н0 = U\ffo(A). Характерною у цьому плав! е наступна теорема.

det

Теорема 2.2. HexaÜ F е я0 == UaH0(A), a v(t) неегд'емна на [О,+оо) i додатна при t —♦ -foc функция тагса, що v(t)dt < +оо. Якщо 1пп = о(Л„)(п —+ +оо) i sup{|an| : п > О = +оо}, то icnye функция ci(t) t" +оо (í —+ +оо) тйка, що для ecix п > О i для ecix

<т < 0(сг € Еу, la — meas(Ei) == /£.1П[_г 0j dIn < -foo) - виконуетъся нерйвтстъ

апе<гЛ" < {~М J^'O1" - *)CW)v>i (0 v(4t)dt} , (23)

de цп =1па*,у>!(<) - функция, оберненй до функци 0i(t) = ln/< (— t > 0, и — u(er,F), а* - коефщхентн мажоранти Ньютона функци F.

Використовуючи властивосп мажоранти Ньютона, ми задачу одержання оц!нок загальиого члена ряду !з Н0 через його макси-мальний член звели спочатку до аналомчно! задач! для ряду Д!р!х-ле Í3 класу Н (для цЫого ряду Д1р1хле), способ роэв'язання останньо!' складае суть класичного методу В!мана-Вал!рока та його модиф!-кацШ. ГГроте використання тут, у зазначеному кол! питань, лога-рифм!чно1 м1ри - е новим i приводить до нових результат!в також у випадку ц1лих ряд!в Д1р!хле (F с Н).

Кр!м того, м!ркуючи "навпаки", задачу одержання оц!нок для щлих ряд!в Д!р1хле зводимо до аналоНчно!' Задач! для ряд1в ¡з М0{\). Сл!д в!дзначитм, що до розв'язаннй останньо1 застосувати аналог методу В!мана-Вал!рона шкому, аж до po6ÍT автора, не вдавалось через значн! проблемы тсхн!чного характеру, що при цьому виника-ють. Зауважимо, що !нша обставина, яка, мабуть, з!грала не остан-ню роль - це те, що bíbca ношук прямих аналопв (як для лакунарлих степенсвих ряд!В в одиничному круз1 D, так i для абсолютно зб1жних у швплощиш ряд1в Дф!хле) результат!в, в1домих для ц!лих функц!й та щлихрпдш Д1р1хле. Однак, як показуе теорема 2.1, прям! аналоги прннципово неможлив! (принаймш tí, що стосуються стввЦношень внгляду (6), (2) i г. п.').

Кр1м того, у цьоыу ж параграф! остановлено п клас! Н теорему

2.3 хшд1бну до теореми 2.2. Обидв1 ц» теореми дозволлють одержа-ти ряд результата, з яких буде сл1дувати, що яюсио, посл1допшсть

(1п|ап|) у випадку класу Н0 та посл1довшс:ть I (А„) у випадку

класу 11 в|д1грають однакопу роль, що полягае у тому, що достатш умопи (як1 при цьому с непокращупаниыи) для слрапедливост1 ана-лопчних теорем с однаковтш.

§2.2 приспячений встановлешпо узагальнень теорем Бореля для рядт з мпиотошшик коефицентами. Центрильикми тут <з теореми

2.4 -2.7, насл!док 1 з теореми 2.8 1 теорема 2.4. У теоремах 2.5, 2.0 1 2.7 розглядавться випадок сшвшдношення (6).

ТЕОРЕМА 2.4. Нехай К е Но- Лкщо для г? мажоранты Ньютона ви-конусться умова

£

и 1п а'

п=1 '

< +оо (24)

1п М(ст, Г) = о ( ~ 1п а, ) , (25)

\|ст| /

гари <т —► Ч-оо зовш дсяког множинн £"[ скшченног логарифмгчног мгри (тобто, Iо — теаз (Ех П [— 1; 0)) < -)-оо ). Яку!,о додатково вимагати аиконання умови

(Эд > 0) (|а|"1пА1(<г,^)1 (<TQ<<T<0)), (26)

то спраад жуешься стввгдногиенншт (4) при а —» —0 зовнг деяког множит! скшченпог логарифличног мipu.

На непокращувашсть теореми 2.4 вказуе теорема 2.7.

ТЕОРЕМА 2.7. Для кожног посл{довностг (оп) таког, що 0 < |п,,| ^ -|-сю,1ги1 = 0(1п |пп|)(га —+ +оо) в умова (24) не виконуетъся гснус функ-ц1я Р е Н0, для яког

1пМ(сг,Г) > (<г0 <а <0),/3, >0,

1СГ1

а умова (26) еиконуетпъся эд = 1,

Аналогом теореми 2.4 для класу Н в наступне твердження.

НАСЛ1ДОК 1. Нехай F £ Л ■ Лкщо для (г мажорапти Ньютона вико-

п п

нутотъся умови: ^ , • - не эростае t

ос

Е-гх<+°° (27)

о також ¿-ln/i(cr, F) £ Li, то cniaeidnouiennsi (4) оиконустъся при а —+ +оо зов mí mhoptcuhu Е ckíwhchhoí логарифм1чног Aiipu, тобто

ln —meas(E) /яп[1,+оо) f^n<T < ~l"00> ^ ~ клас тих функцШ Ф £

L, що f ^ix = О(Ф(0), * - +оо.

На непокращуван1сть твердження насл1дку 1 вкаэуе

ТЕОРЕМА 2.9. Для кожпо'С послгдовиостг (а„) таког, що 0 < |а„| \

0 (п —» +оо),11Шп—t+oo |д*|? ~ в < 1, i умооа (27) ме оикопуетЛься,

icnye фун'кцы F £ Н, для яког '¿-j —* +°о (f —♦ +оо).

У §2.3 вивчаеться зростання у горизонтально сиугах ряд1в з Ц

1 Д0. IcTOTHo тут використовуеться, кр1м результат^ §2.1, леыа H.Typalia (Eine neue Methode in der Analysis und deten Anwendungen, Budapest, 1953).

Основними результатами тут в теорема 2.10 та насл}док 1 з iiei, а також теорема 2.15 та насл1док 1 з не!.

Нехай ot(a;) i 02(1;) - дадатн! на М функци так!, що at(х) < а2(я) для Bcix х з R, a tj(x) - деяка довшьиа дШсна функщн на R. KpiM того, визначимо

tj, oj) = {г = о- + iy : ||/ - íj(er)| < aj(a)}, Sj = U tj,aj), 5,=. US^tj^aj),

o<. и CTfclK

• M(a,F,Sj) = sup{|F(<r + iy)| : |у - tj(<r)| < a,(«r)}.

теорема 2.10. Нехай F £ IJ0. Лкщо для коефщгенппв мажоранти Дъютона ряду (1.3) виконустъся улюва

СО J

;-Г < (28)

11=0 "

то для Будъ-яких горизопталъних пхвемуг 5® С (тут, aj(cr) = const, tj(a) = const) вьконуетЬся ствв^диошення

ln Л/(cí, F, S2) > ln M{a,F,Si)>

In(M(ff, F, 5a) + F))) + o(lu p(o, F)) (20)

при a —t —0 зовнг деяког множини Е\ скгичетюН логарифмгчног Mipu ма [—1;0). якщо тмьки виконусться улюва (26).

НАСЛ1ДОК 1. Hex.au Р Е Н0 * виконуютъся умови (28) г (20), а ко-ефщ{енти ап = |а„|е1"" такг, що

К - 0\ < 7 < | (п > По), 0 6 я-) (30)

Тодг для гсожног пзасмуги 5'° = и<т<о-5'((Г, в), <7 > О, Ь 6 К, ггр« а —> —0(гт Е\,10 — тсп»(Е\) < +оо) оикопуютпгся ствтдношення

ЬМ(а,Р) = (1 + о(1))1иЛ/(гг,Р,5). (31)

Умопа (28) близька и делкому сенс! до остаточноГ (необх1дно1). На це вказуе теорема 2.13. Теорема 2.15, яка остановлена для класу Н е повшстго 11од1бна до теорсМи 2.10. Це Ж стосуеться 1 насл!дк!в. У §2.4 остановлено, що умова

£-< (32)

„=о ''"+1 ~ ''«

е необхЦна 1 достатня для справедливом! сшвп!дношень (17), (1С):

а) у випадку F е II, /1„ = 1п рру, <т —* +оо (а £ Е, 1п — теавЕ < оо),

б) у випадку Р 6 Н0, //.„ = 1п|пп|, сг —» О (сг ^ Е,10 — теаз£! < оо. При цьому у випадку Г 6 Н гид посл1довност) Л = (Л„) досить вимагати, щоб Лп < зир{Л, : } > 0} = Д(п > 0).

У розд!л! III продовжуемо досл1дження асимптотичних властиво-стей функщй Р е Но, що розпочат! у роздЫ! II. Не зважагочи па виявлену гам нову ямсну картину, що посл!довн1сть (/х„) у випадку класу Н0 в1д1грае в ицлому ряд! питань ту ж роль, що 1 носл!довн!сть (А„) в клас! Н, а також на нсобх!дний 1 ДостатнШ характер одержу-ваних при цЬому результата, сл!д в!дзиа4ити, Що вс! твердження ц1.аго розд!лу формулгоються з тими чи 1ишими додатковими умо-вами, пк1 стосуються певиоГ правильном! зростання 1п/и(гг, I хо-ча при побудов! функций, як! покликан! покаэати Иепокращуван!сть (Меобх!дн!сть) основних умов, як правило, просто перев!ряеться ви-конання додатьових, Иаявнкть остайй!х в пепн!й м1р! обмежуе зону застосуванмя одержуваинх результат!«. В теорем! 2.1 показана принципова НеМожливкть в 1деЙноМу пяан! повних аналог!й теорем про сп!вв!дношення вигляду (6) в класах Я0(Л)! #(Л). Розд!л III по-чинаетЬся з теореми 3.1, в ямй под!бне твердження встаноВлювться стосовно сп!вв!дношення • '

1(а,Р)=.(1 + о(1))А„(<т,Г)1 (33)

де£(а,Г) = (1пМ(а1Л)+-

Як виплииае ¡з результата цього роздЫу, досить хороше описания умов, що забезпсчуюхь справедливость тих чи шших асимпто-тичиих властиоостей ряд1в Д1р1хле \a.Ho, е можливе, якщо швидмсть прямування (А„) до +оо псвним чином пов'язувати 1з швидк5стю зро-стаиня ц(а, Р) до +оо при сг —» —0. Зокрема, для сшввдаюгаепня (33) сл^д вимагати априорного виконаннл умопи (5), тобто зб!ЖНОст1 рп-ду 1 а Поим швидккть зб1жност! цього ряду пов'язувати 1з

зростанням до +оо максимального члена /»(сг, Р).

§3.1 ьистить оцшки загального члена через максималышй. Характерною тут е теорема 3.2.

Нехай Ьо — клас додатних неспадних на [0, +ос) функцШ г(<) та-/• + 00

ких, що ] —^ < +00.

Теорема 3.2. Нехай Ф(£) = ^^ € Ьх\ 1>(£) е Ь0 » Г е НВ(А). Якщо 1пп = о(Ап) (п —» +оо) I виконуються умови

(36 > О) : ■ \{а) , > О, (34)

-о л ( (, \

! / /•+«> 1 \ Нт —гТ / ( / ) <1и = 0, . (35)

(-+<*> ф(£) J0 \.1и х У

то для всю п > О I вЫх <т € [—1;0) \ Е (<1Е = Нт<т—.-о ¡¿¡теая^Е П [—1,0"]) = 0) справджуетпъся нергвнгсть

^(<г,Г)ехр{-^ (36)

дс и = "(сг) = у(сг,Е) - центральный тдекс ряду (3).

Зауважимо, що у випадку теореми 3.2 1 теорем 3.3, 3.4, пор1вняно з доведениям под!бних тверджеиь, як для ц!лих функцШ, зображе-них степеневими рядами, так 1 для Ц1яих рлд!в Д1р1хле, виникають принципово нов1 техтчн! ускладиения, яю вдалось здолати лише на основ! нового в Шейному план! п!дходу до одержання таких результате.

В §3.2 встановлено подалыт аналоги теореми Бореля. Нехай

Я0(Л,Ф) = (г€ Я0(Л) : (36 > 0) [ Шц К.(°\ > о] 1 ,

I * (Я) ] )

Я„(Л,Ф) =(fe Но (Л) : (3 0 > 0) [ Um ^ > о] 1 ,

I 1И

до «I»! (е) = fí'(í) , Ф a L.

Теорема 3.5. Иста it 'I' £ , í»i(í) = t'T'(t). Для того, щоб для кожног функцп F 6 //ц(Л, 'I') ямгеонувалосъ стов1дношсння /4) при er —► —0 (er ф Е) , dEx — 0) необхгдно i доситъ, щоб

lim t ]Г -4- = °-

£—+оо пл„

Л„>Ф,(0

Твердження j;ici" теорсми, а також под1бних - D кла« Нд(А, Ф) одержувмо ¡з б1льш загалышх теорем, що стосуються умов вико-нания сгипП1дношспь (0).

Теорема 3.6. Hexait Ф б íb Ф,(«) = t<b(t) i F е Я0(Л,Ф), а w(t) неперервно диференцШовапа функцгя на [О, сю) ta спадною похгдною, для яко1 виконуютъея умови (13) i (fo/(í)) (t —v -foo). Нкщо вико-нуетъея умова

fc(ln(n + 1)) - k(lnn) , ч

lim t —--Г-Ь- = 0- (37

(_+оо ' АП

A„>4>i(t)

то ствв1дношення (б) справдокуетъся при и —* —0 (tr £ Ei, dEi =0).

Ha непокращуван!сть теореми З.б вказуе наступна

ТЕОРЕМА 3.7. Нехай функция и> - додатна,зростаючаг двЫг диферсн-цгйована на [О, -foo) така, що при цьому k(t) - вгнута aid In t, k'(t) не спадае

Al^v+t)*1' (38)

de k(t) -функция обернена до . Для кожног Ф € L i кожног поелг-довностг (Л„) таког, що умова (37) не виконуетъея энайдетъея функ-Ц1я F е Но(Л,Ф) така, що нермметь (12) виконуетъея при а0 < er <

0.

Враховуючи, що при виконанн! умови (14) умови теорем З.б i 3.7 на функцп ai(x) i k(t) виконуютъея одночасно, тому з цих теорем одержусмо наступну теорему.

ТЕОРЕМА 3.8. Нехай Ф е Llt $i(t) = а t) - пеперервно ди-

ференцШована функциг на [0, +оо), для яког виконусться умова (14), (tui (<)) i k'(t) не спадають, k(t) агнута eidnocno lní. Для того, щоб для кожног функци F 6 Но(Л,Ф) спгввгдношення (6) виконувалосъ при <т —» —О (а е [—1; 0) \ Е{, dEt = О) необхгдно i documí, щаб вика-нувалась умова (37), de k(t) - функция обернена до ;j i,

ш ух)

Позначення Н0(Л 1,Ф) озиачае, клас Н0(А,Ф) з ф!ксованою посль довн1стю Л = Ai, яка задовольняе умову

Urn V VÍ (t) = (39)

í—>+oo Г

3 функц1ею Vi(t) оберненою до = tí(t).

ТЕОРЕМА 3.9. Hexaií Ф e L, $i(t) = t$(t), а функцгя така, як в

теорели З.в. Лкщо F 6 яц(л1,ф) i виконусться умова

Шце Е (40)

>•!>, (í)

то стввгдношення (6) справджуетъся При а —•» —0 (tr ^ E3,dEg = de k(t) - функция обернена ¿,i¡xy ■

На необх1дшсть уМови (40) в клам Н0(А, Ф) вказуе наступна теорема.

ТЕОРЕМА 3.10. Нехай it>(x') - функх^ия така, як о теоремг ЭЛ. Для кожно1 функци Ф € L i kookhoí nocAidoenoctni (А,,) таког, що умова (40) не виконусться, энайдеться функция F <И Яо(А,Ф) mated, що Hcpio-нгсть (12) справджуетъся для ecix а Е [оо;0) 3 деякими его < 0, b > 0.

3 теореми 3.9 i 3.10 иегайно одержуемо наступииЙ критерШ.

Теорема 3.11. . Нехай ф е i, ф^) = м>(<), a ш{х) - така як в meopeMi S.S. Для того, щоб для кожног функци F 6 Нц(А^Ф) cnie-в{дношсння (0) виконувалосъ при <Т —»

-0 (<т 6 [—1; 0) \Е3, dE3 = о;

необхгдно i досить, щоб виконуваласЬ уМова (40), de k(í) - функция обернена до .

нлсл1док. Нехай ф е L, фi(f) — t$(t). Для того, щоб для кожно'{ функцп F £ н0(л!,ф) сп1вв1дношення (4) виконувалосъ при а —+ —0 (а & Е3, <1Ез ~~ 0J необхгднб i documt, щоб

Urn t = (41)

Наступна теорема mícthti» значно б5льше шформаци про винятко-ву множину, kí» теореми З.б, 3.8, 3.9, 3.11.

Теорема 3.12. Нехай Ф 6 L, 'ii(t) = t<l>(t), а функщя и>(х) така, .як а meopcMi 3.6. Лкщо F 6 Я0(Л,Ф) i аикопустъся умоаа (37), то спгвв0ношеиня (0) сПравджуеться при о —> —О (и $ Е2, DE2 = 0)-

У §3.3 встаноалюемо умопи достатш для справедливое:» сшвв!д-ношення (33) при о" —► — 0 зошп деяко'1 мложипи для фушсцШ F 6 Я0(Л). Вкажемо па природщеть задач1 про встановлення зв'язку шж L(cr) i делтральшш показннком. Осыльки, з одного боку, L(a) niflirpae важливу роль п застосупаннях теори В1мана-Вал1рона, а з ¡пшого боку, шднопити функцио F (тим паче, обчислити L(a)) за заданный пог.л!довгшстями коефщ!ент!в (rtn) i яоказниив А„ досить складна задача, яка допуекпе пряме розп'язаиня лише у частко-внх пипадках. Як i в §3.2 для сп1вв»дпошепня (1), пажливу роль при випченш ствв!дпошешш (33) п(д!грае попедшка залишку ряду , якай падал1 впажатииеио збЬкшш, тобто таким що вико-иуеться умова (5). При цьому виявляеться, що, лк i у пипадку ц!лих рядш _Шр1хле (д1га. Мат. заметки, 1985, т. 37, N 1; Мат. сборник, 198.8, т. 137, N 1), умопи, при BUKoimnni яких справджуються зовн! шшяткових множил сгппв1дношення (4) 1 (33), в целому, зб!гаються.

Теорема 3.13.- Hexati Ф б L^'I'^t) = f<D(t). Лкщо F е Я0(ЛЬФ) г викопуються умави (37) (з k(t) — t) та

A= jta (42)

„ —0 In Щ

то cniaaiduoiuetititf (33) спра&джуетъся при а —* 0 (а £ Ел, dE4 =

Теорема 3.14. Нехаи Ф 6'xb«5i(() = t<b(t). Лкщо F е Яц(Л1,Ф), еиконуетъея умова (41), то ствв{дпошепня (33) справдгнсустъся при сг — О (а i Es,dE5 = 0).

Теорема 3.15. Нехаи Ф е Хх, Ф1 (i) = £Ф(0- Лкщо F е ЯП(Л1,Ф), аикопустъся умов а (37) (э k(t) = t), то ставгдногиепня (33) справ-джуетъея при а —» 0 (о- <£ Ee,DEs — 0).

При доведен»! цих теорем пикористовуються теореми з §3.1, ДВ1 леми з прац! Укр. мат. журя., 1979, т.31, N О та одае твердженпя з книги Ш.И.Стрелиц, Асимптотические свойства аналитических решений дифференциальных уравнений, Вильнюс: Минтис, 1972. Ключовимн у допеденш в леми 3.G i 3.7, ям описують попед'шку F 6 Яо(Л) та а ппхЦних в окол1 точки максимума |F(*)|. Наступил теорема 3.1G показу« неиокращупанк-ть теореми 3.15

Через = (Ап) поэн&чимо послщовшсть Л = (Ап), Длл ЯК01 icnye граница

1 de/ .

lim t Ъ — ==

t-н-® nA„

A„>4>i(i)

для фшсовансн функцп Фх, що визначас клас йи(Л,Ф). Справедлива наступна теорема.

ТЕОРЕМА 3.16. Hexaü Ф е Li, Фх(£) =<Ф(<). Для того, щоб для ко окно? функцп F 6 Ф) викопувалосъ при а —♦ — 0 (а $ Еь, £>Ев = 0) спгввгдношення (33), необхгдно » documt, щоб = 0.

Твердження теореми. 3.16 одержуемо поеднуючи теореми 3.15 i 3.10 (при ui(x) =1пх ), та застосовуючи иаступну лему.

JlEMA 3.9. Hexaü f(x) i g(x) f +оо(ж —» —0) - невгд'емт опуклг при х «£ 0 функцп такг, що правосторонш noxidni f'+(x), g'+(x) У -f-oo х —► —0). Лкщо

f(x)<g( х), хе[а0;0),

то для кожних К > 1 ie > 0 знайдетъся множима Е С ( — оо; 0) отава, що

» для ecix х € Е еиконусться uepiemçrni

j'(x)<(l+e)Kg'(x). (43)

Доведения леми 3.9 под1бпе до доведения теореми 1 (Bergweiler "VV. Bull. London Math. Soc., 1989, v.21).

У §3.4 досл1Джуються умови, достатш для виконання ствв!дно-шень (16), (17) i т.п. в клас» if0(A). Як випливае з теореми 2.1, шя-ке обмежеиня на показании (А„) нав!ть у сукупносп э обмеженнлм зверху на зростання функцп F е Яа(Л) не може забезпечувати виконання ствв1дношення (6). Якщо'П9Сл1довшеть (Ап) така, Що умова (15) не виконуеться, ход! HinKe обмеження зцизу на /¿(<х,\Г) також не дозволяв одержати сп1вв1дношеннЯ (16), (19) i (17) нао1ть для делко'х посл»довност1 о = Oj —* —0 (Для кожного 1з сшвв1ДНошепь CBoeï).

ТОЕРДЖБННЯ 3.2. Hexaü Ф 6 L - доеглыш функц1я. Для кожног по-сл{doenocrni А = (Ап), 0 = А0 < А„ "f +сю (п ■—» +оо) такоИ, що умова (15) не виконуеться, icuye функц1я F е #0(Л), для яког смавгдношен-кя (16), (17) i (19) не Л1оо)сутъ оиконуватись хона б вэдовж деяког nocAidoeHocmi ананень а —> — 0 при цьому

In h(<t,F) > * (i) {а0 < er < 0).

1э тверджень 3.1 i 3.2 випливае, що бажаного результату (спра-ведливост! ствв!дношень (10), (17), (19) при <г —» —О эовн! мало! множини) можна дослгти лише накладаючи обмеження на эростан-ня n{a,F) зиизу, вважаючи при цьому умову (15) виконаною.

Встановлен! у §3.4 теорешг 3.17 - 3.19 м!стять достатн! умови для справедливост! (19) при <г —► —О зопн! множини Е з DE = 0 чи dE = 0 в класах Но(А, Ф), /f0(A,4). Характерного тут е наступив теорема.

Теорема 3.17. ffexaU Фх е LB, в t$(t). Якщо F е Я0(Л,Ф) «

вигонустъся умова

.JÎÏU« £ (А„+, -Л„)"1-0, (44)

то ства1дношеннл (i9) справджустъся при а —► —0(сг ^ Ef,dEj = 0) ргвномгрно по г € К, де £б = {Ф € L : <р (^¡у) ~ (t —*■ +oo)},ip — обернена до Ф}.

В теоремах 3.20-3.22 м1стяться твердження про иеобх1дн!сть одер-жаних в теоремах 3.17-3.19 умов. 3 теорем 3.17-3.22 одержувмо на-' ступи!.

Теорема 3.23. НсхайФ1 è £6, Ф1 = *Ф(<). Для того, щоб для кожног функцИ' F 6 //у (Л, ГТ>) ставгдношення (19) виконувалося при сг —» —0 (а Е7, dEj = 0) pteHoMtpHo по г € К, необххдно i досить, щоб справджувалосъ (44).

Теорема 3.24. Нсхай Ф ç Lit Фi(t) = t$(t). Для того, щоб для кож-ног функцгг F е Яо(Л, Ф) справджувалосъ сЫвв{дношення (19) при <т —> — 0 (о £ Е9, dEs = 0) pieHoMtpHo по г 6 R, необидно i досить, щоб еиконуеаласъ умова (44) гз эамтою lim на Иго. де lu2 t -* 0 (t +00)}, <р - обернена до Ф}.

Теогемл 3.25. Нехай Ф € Lt, ®i(£) = *Ф(<)- Для того, щоб для кож-hoï фупкцМ F е Н0[А, Ф) справджувалосъ сшввгдношення (19) при а —* — 0 (сг £ i?g, DEg » О) pieuoMipHo по т е R, необхгд-но i досить, щоб еиконуеаласъ умова (44).

Функц1я, яка побудована при доведенн! теорем 3.20 i 3.21, кр!м того, що для пел стгиидношеиня (19) Ие може виконуватись, очевидно волод!е властип1стю (21) Не эалежно в!д будь-яких умов на показники Л — (Лп). Тому можма чекати, що ця функц!п може виступати в якост! оптимально!' оцшки знизу вигляду

<

яка забезпечуе справедлшисть ствв1днощення (19). Нехай An(q) = In ап,ап — коеф!щенти ряду, визначеного при доведенн! теореми 3.20.

ТЕОРЕМА 3.2С. Hexaä F € Н0(Л) i виконуетъся умова (15). Якщо виконуетъся умова

п— 1п1а"1

lim -- .= +оо, п-+ооД„(1)

то сшввгдношення (19) справджуегпъся при а —+ —0 (it $ Ец,<1Ец = 0) pienoMipno по г 6 R.

1з теореми 3.26, зокрема, одержуемо наступив посилення геореми В1ман& (Wimaii А. Acta Math., 1910, v.41, p. 1-28).

насл1док 3.2. (посилення теореми А. Шмана). Для того, щоб для коэюмоГ функцИ F € Но(Л) maieof, що

fili \o\p\nM(o,F)>V, ■ * (j —* —о

ствв1дношення (19) виконувалосъ при сг —> —0 (er £ E,dE : 0) необ-хгдно i досить, щоб

-bk)'1 =о(1) (гг —+ +оо).

fc>n

У Розд!л1 IV продовжуються вивчення асимптотичних властиво-стей щлих функцШ F € Н(А).- При цьому, також, уточнюемо одержат вигце у розд1лах I i II теореми у pi3imx шдкласах Н(А). Шеремета М.М. ( Мат. заметки, 1987, т. 42, N 2, с. 215-226) показав, що якщо послЦовшсть А = (А„) така, що

In п 1 Y

lim »

n—>+оо А„ \ fcAi,

" 4=i

то для того, щоб сшвв1ДНошеннл (4) пиконувалось для кожно! функцн

F е На(А,ф) {F е Н(А) : In |о„| < -\п9{КХп) (п — +оо), К > 0}, ДЛЯ Ф € L, при СГ —► -foo ЗОВН1 деяко! множини нульовоУ щЬльносп, необх1ДИо i досить, щоб

1 -г-^ 1 (Vv > 0 : lim —— —— = 0

v f—Юо xp(l)t) пА„

' ' о<xn<t "

Хомлк M.M. (Изв. вузов. Мат., 1082, N 10, с. 70-81) встановила при деяких умовах на гладмсть та ттльне зростання функцй' ф е L , що умова

In n(t) = o(t V'(t)) О -* (46)

e достатня для того, щоб для кожноГ функци F € На(А,ф) спшшдцо-шення

V»(ln M(«т, F) ~ V'(ln /î(ît, F)) (47)

виконувалось при сг —► -foo зови! множили нульово'1 дальность Якщо ф пов!лыш зростаюча i така, що ф^ф^)) ~ ф(Ип t) ~ ф{Ь) (t —» -t-oo), то Шереметою М.М. (Мат. заметки, 1095, т. 67, N 2, с. 283-206) показано, що умова (4(3) с необх1дна i достатня для справедливое™ (47), при сг —» +оо зовш миожини нульово! щ1льност1, для кожно'1 функци F е На{А,ф). Однак, у випадку, коли функцП ф, як1 виступають у ствв1дношенш (47) i у в)1эначенн1 класу На(А,ф), с pi3iii, то така умова е не в!дома. В1дкритим залишаеться питания i у випадку оди-наковйх функций ф, лкЩо ф не с пов1льно зростаючою (див. також щойно цнтоваш статт! М.М.Шеремети). У цьому роздал! розгля-даемо питания про умови справедливости спшв1дношення (47) для х < ф(х) < ех або, що те ж саме, сшпв1дно1и(шпя (6) з lux < w(x) < х у наступних тдкласах класу Jf(A)

Я(Л,Ф) ={Fe H (А) : In Ш1(а, F) < 0(аЪ(0(а))), er +оо},

Я(Л,Ф) = {F е Я (Л) : ln£D»(<rj,F).< 0(<г,-Ф(0(£7,-)))> +оо},

Я„(Л, Ф) = {F 6 Я(Л) : In /i(a, F) < 0(аЪ(0(а))), а — +оо},

Я^Л.Ф) = {Fe Я(Л) : ln/i^.F) < 0(а&(0(о,))), aj -» +оо}, для Ф € L,

+<х п=0

KpiM того, розглядасмо поведшку мЫмуму модуля m(x,F) шлих ряд!в Д1р1хле, та мЬймума модуля mу(г) лакунарних степонових

- л-

РЯД1В виг ляду (18). При цьому встаиовяюемо иербх1дн1 i достат-н! умови для справедливой! асимптотичиоУ ршност» 1и rn/(rj) ~ In Mf(rj) при rj —» +od, як!, эрозум1ло, М1СТЯТЬ в co6i тверджен-ня в!домо» г!потезн Г.Пойа (Math. Zeitschrift, 1029, Bd. 20, S. 549640). Встаиовлюемо також деям uuui властивост! т./(г) в залеж-ыост! в1д ступеня лакунарирст1 ряду, щкяЛ эображае /, доповиюючи один результат У.Хеймаиа (Proc. London Math. Soc., 1972, v. 24, N 4, Р. 590-624) те застосовуючи \'х до роэо'яэания одн!еУ г!потеэй Й.В.Островського (див. Итоги науки и техн. Соврем, пробл. мат. Фундаи. напр. / ВИНИТИ, 1Q00, с. 5-166).

У §4.1 остановлено деяк1 нов! оц!ики загальиого члена через максимальный для функцШ 1з И (А) при слабких обмеженнях на зростаи-ня та на показинки. В 1деЙному план1 ц1 гвердження близьк! до результате П. Фелтона (Trane. Amer. Math. Bot., 1982, v. 271, N 1, Р. 183-195). В цьому ж §4.1 останов л юютьсп деяк! iuuii допомшн1 твердженНя, як! дыють эмогу пстановити в §4.2 теореми 4.1-4.3. НехаЙ

Le = {ф 6 L : V>(t) < ta, t « o{^{t<p(t))) (t +oo), f 1 /ь*(,) Лф~Чх) 1

и « {фе L : < = о{ф(МЩ (t - +oo),

f 1 Лф~Чх) 1

1 (vt > o) lim 7 / »0h

L t-.+oo tJ X J

де ф~1(х) — функщя оберлена до ф, у - обернена до ф. Характерною тут ? наступна теорема.

Теорема 4.1. яехай щ е x, ф 6 £»($)> F е Я(Л,Ф) а функция u(t) - додатна^неспадна э незростаюиаю nosiducio такою, що задовольняе умову '(б). Лкщо eUKOHyemicjr умова

то cnieeiduoweHwr (в) справджустъся при ff —> -f оо (а & Е, DE = 0), de DE в Ига„_+во ±теаа(ЕП (0, сг])..

Теореми 4-4 i 4.5 в£тановл|оють необх>дшсть умов в теоремах 4.2 i 4-3, при додатковихобмеженнях наш таких, як в §2 розд!л I. Основании в §4.2 « теореми 4.6-4.9 та 4.12. Навсдемо де«к! з них.

ТЕОРЕМА 4.С, Нехай и - функцЫ така, як о теоремг 3, Ф е Ь, а Л = (Ап) - послгдовшстъ, для яКоИ виконувтъся умова

х—>+оо х<р(0х)

де <р - функция обсрнена до Ф.

Мая того, щоб для кожног функцп Е 6 //(1(Л, Ф) спгввгдыошення (б) аикопуаалосъ при сг —» +оо зовт деякоИ множпни Е (<1Е — 0), пеобх(дно I досить, щоб

(УЬ > 0) : Щ

= 0. •

ТЕОРЕМА 4.9. Нехай Ф е Ь. Для того, щоб для кожног функцп Р £ Л(Л,Ф) виконувалосъ при сг —> 4-эо (сг ^ [¿В = 0) cniввiднoшeння (19) ргвном1рпо по г 6 М, необхгдно г досить, щоб справджуваласъ умова

(уь>о) •• Ша ^ £ 1 =0.

теорема 4.12. Пехай Ф е того, щоб для кожпох функцп Е 6

Ф) виконувалосъ при гг —» -+оо (сг ^ = 0) р4вномгрно по

г 6 К стввгдношення (19), необхгдно { досить, щоб справджуваласъ умова

1 П-1 1 (У6 > О) : Кш —-Ет-Г=°-

Для щлоГ функцп / вигляду (18) в 1929 роц! Д.Пойа висловив припущення, що у випадку сличенного порядку для справедливости сшвв!дношення

^ГТГП-1 '

г—>+оо 1п М/(Г)

досить, щоб виконувалась умова Фабр!

п = о(А„) (п +оо). (.48)

Це припущення Д.Пойа до01в У.Фукс, який, базуючись на результатах Т.Кевар1 та сво\'х оцшках 1ятеграл1в по малих дугах в!д лога-рифм1Чно1 пох1дио1, показав, що якщо для Ц1ло1 функци смоченного порядку виконуеться умова) (48), то для кожного е > О нер1втсть

1пт/(г) > (1 - е)\пМ](г)

(49)

2 6

виконуеться для scix г G {1, +00) \ E,DinE = О. Дал! Л.Сонс довела, що при. виконанн» умови (48) для ц!ло1 функцп сличенного нижнього порядку (49) виконуеться на деякШ множим! Е нескшчен-Hoi логарнфм1чно1 М1ри, In —measJE = -foo. 1э одного результату У.Хеймана випливае, що d умовах теореми Л.Сонс (49) виконуеться для г £ E,dinE = 0. Базуючись на лемах 4.1 i 4.2 встановлюемо тут теореми, ям м!стять HeoöxiflHi i достатн! умови для справедливое« (49). Тут всюди DinE та d\nE, в1дпов!дно, верхня та нижня логариф-М1ЧН1 гщльност1 множини Е иа промеж.

ТЕОРЕМА 4.13. Для того, щоб для коасно» цгло? функцп вигляду (18) стнченного порядку ствв1днош,ення (49) з е = е(г) —♦ +0 (г —► -foo) виконувалосъ для в rix г е [1, 4-ос) \ dinE 0, необх1дно i доситъ, щоб

теорема 4.14. Для того, щоб для кожног цмог функцп вигляду (18) оконченного нижнього порядку спгвв1дношення (49) э е = е(г) —> 4-0 (г —* +оо) виконувалосъ для eeix г 6 [1, +cc)\J£, dinE = 0, необх1дно i доситъ, щоб

Зауважимо, що умова, (51) (тим паче (50)) слабша за умову Фабр1 (48). Кр1м того, тут встановлено теорему 4.15, яка посилюе теорему У.Хеймана.

У цьому пункт1, використовуючи встановлен! вище результати, а також деям результати ¿з цитовано! вище книги Ш.Стрелща одержимо твердження про неможлив!сть у рЬних класах щлих та ана-л1тичних функщй одн!в? функцюнальноГ тотожност!, що узагальнюе теорему Шкара про винятков1 значения щлих функщй. Добре ведомо, що ця теорема еквшалентна до твердження про неможливщть тотожноеп

еш(«) +ей(») = Дг), (52)

де gj - довЫьш щл1 функщУ, при цьому д 1(2) £71 (0), а Е(г) = 1. Й.В. Островський в 1983р. на конференцн з теори функщй 1 диферен-щальних р1внянь (м. Черноголовка) сформулював задачу, вияени-ти, при яких }гмовах на лакунаршеть степеневого розвинення функцп Е тотожшеть (52) залишабться неможливою, при цьому вш висловив припущення, що тотожшеть (52) неможлива, якщо степеневе розвинення функцп F мае адамар1всьм лакуни, тобто 1 А„+1/А„ > 0 > 1

(50)

(51)

(ri > 1). 1з встановлених в цьому параграф! результата одержимо, зокрема, справедливкть наступного твердження, яке очевидно MicTHTb твердження гшотеэи И.В. Островського.

теорема 4.16. Лкщо цгла функция F вигляду (18) задоволъняе умову lnl"+ А" < +оо, то тотпожмстъ (52) неможлива, як тглъки F(z) £0, ffi(z) £ 3i(0).

Висновки. Дисертац1я м1стить noni иауково обгрунтоваш тео-ретичш результат в теорй' цших та анал1тичних функцШ, предста-влених рядами Д1р1хле та лакунарними степенепими рядами. Су-купшсть одержаних результата дозволила розвинути напрямок, що базуеться на комплексному дослщжеиш основно! частини в^домих асимптотичних стввгдношень у внутрданШ Teopi'i таких ряд'т, та дав новий шдх1д до розв'язання ряду класичних задач та Vx уза-гальнень. Ефектившсть такого шдходу продемоистровано при до-веденш гшотез Й.В.Островського, М.М.Шеремети, та остаточному BiipimeiiHi проблеми, що випливае з гшотеэи Д.Пойа, а також при одержанн!, як посилень в!домих теорем, так i при доведенш принци-пово нових.

Результати дцсертацп_ опубл1кован1 у наступних статтях.

1. Скасмв О.Б. Максимум модуля i максималъниП член щлого ряду Дгрьхле // Доп.АН УРСР, сер. А. - 1984. - N 11. - С.22-24.

2. Скаскив О.Б. О поведении максимального члена ряда Дирихле, задающего целую функцию // Матем.заметки. - 1085. — Т.37, N 1. - С. 41-47.

3. Скаскив О.Б., Шеремета М.Н. Об асимптотическом поведении целых рядов Дирихле Ц Матем.сб. - 1986. - Т.131(173), N 3(11). -С. 385-402. . '

4. Скасюв О.Б. Про picm цЫих рядгв Дгргхле нулгового порядку за fimmoM // В1сн. Львш. ун-ту, сер. мех.-мат. - 1985. - Вип. 24. -С. 36-39.

5. Скаскив О.В. Обобщение Малой теоремы Пикара// Теория функций, функцион. анализ и их прилож. (Харьков). - 1986. - Вып. 46. - С. 90-100.

6. Скасюв О.Б. Припущсння МакЫтайра про вгдсутнгсть скгнчсн-них асимптотичних эначень у ц{лог функцп з лакунами фейвра // В1сн.Льв!в.ун-ту, сер.мех.-мат. — 1987. - Вип.28. - C.8Q-81.

7. Скаскив О.В., Шеремета М.Н. Об асимптотическом поведении целых рядов Дирихле // Исследов.. по комплекс«.анализу. \1 еж-вуз.'науч. сб. - Уфа: БФАН СССР, 1987. - С. 200-217.

8. Скаскив О.В. К предположению Пойа о минимуме модули, целой функции, представленной лакунарным степенным рядол1 // Тру-

-зв-

ДЫ З-eft С аратов.зими.школы. Межвуэ.науч.сб., ч.З.: Изд. Саратов. ун-та, 108В. - С. 61-53. 9. Скаскш О.Б. Про поведгнку максимального члена абсолютно збгжного у Ывплощим ряду JJipiхле // Доп. АН УРСР, сер. А.

- 1988. - N 8. - С. 10-21.

10. Скаск1в О.Б. Про налететь виняткових зпачень у стввгдношент t,.uny Вореля для цмих ряд%а Д(р{хле // Шсн. Льв1в. ун-ту, сер. мех.-мат. - 1088. - Бип. 30. - С. 63-54.

11. Скаскио Q.B. К теореме Вимана о минимуме модуля аналитической в edxtHUHHOM круге функции // Изв. АН СССР, сер.матем.-1080. - Т.БЭ, N 4. - С. 833-850.

12. Скаскив О.Б. О теореме типа Бореля для ряда Дирихле, имеющего нулевую абсциссу абсолютной сходимости // Укр.мат.ж. - 1989.

- Т.41, N 11. - С. 1632-1541.

13. Скаскив О.В., Сорокивский D.M. О росте на горизонтальных лучах аналитических функций, представленных рядал1и Дирихле // Укр.мат.ж. - 1990. - Т.42, N 3. - С. 303-371.

14. Скаскив О.Б. О росте в полуполосах аналитических функций, представленных рядами Дирихле // Укр.мат.ж. - 1093. - Т.46, N 5. - С. 081-693.

15. Скасмв О.В .Про цемпральний показник абсолютно зб{жного у ni-впЛощин{ ряду Д\р{хле /f Мат.студй. Прац! Лыпв. мат. т-ва. -1993. - Вип. 2. - С. 35-40.

16. Скаскив О.В. О минимуме модуля суммы ряда Дирихле с ограниченной последовательностью показателей // Мат .заметки. - 1994.

- Т.56, N 5. - С. 117-128.

17. Скаскив О.Б. Обобщенное соотношение Вореля для целых рядов Дирихле. - М1жнароДна матеи. конф. присв'ячена пам'ят1 Ганса Гана (10-15 жовтня 1094 р., Чершвц!): тези допов!деЙ. — Черн1оцк Рута, 1904. - С. 134.

18. Skaskiv О.В. On the Polya conjecture concerning the maximum and minimum of the modulus of an entire junctions of finite order given by a Iacunary power teriei // AndlMath. - 1990. - V.1C, N 2. - P. 143-157.

-3i-

Скаскив О.Б. Асимптотические свойства аналитических функций, представленных степенпыми рядами и рядами Дирихле.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 — математический анализ. Львовский государственный университет, Львов, 1996.

Для рядов Дирихле абсолютно сходящихся в полуплоскости разработан аналог Классического метода Вимана-Валирона. Изучено асимптотическое поведение таких рядов и целых рядов Дирихле, при этом получены решения известных задач как во внутренней теории таких рядов, так и в приложениях. Исследованы асимптотические свойства рядов Дирихле с монотонными коаффициентами. Получено новое обобщение теоремы Пикара.

Skaskiv O.B. Asymptotic behaviours analytical functions represented by power series and by Dirichlet. series.

The Doctor's Degree (Physics and Mathematics) thesis in speciality 01.01.01 - mathematical analysis, Lviv State University, Lviv, 1996.

For Dirichlet series absolutely convergent in half-plane, an analogue of" classical Wiman-Valyron method is developed. Asymptotic behaviours of such series and entire Dirichlet series is studied. Furthermore, the solutions of well-known problems, both in the internal theory of such series and in applications, is obtained. The asymptotic properties of Dirichlet series with monotone' coefficients are investigated. A new generalization of the Picard theorem is obtained.

Ключов! слова: щла функцш, анал1тична функщя, ряд Д1р1хле, лакунарний степеневий ряд, метод В!мана-Вал1рона.