Асимптотические свойства мероморфных в полуплоскостии круге функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

, ^‘ч

' "Ь і^Д'вівський державний університет імені Івана Франка

Чижиков Ігор Ельбертович

УДК 517.535

АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ МЕРОМОРФНИХ У ПІВПЛОЩИНІ ТА КРУЗІ ФУНКЦІЙ

01.01.01- математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів -1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському державному університеті імені Івана Франка на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, доцент Скасків Олег Богданович

професор кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей Львівського державного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук Мохонько Анатолій Захарович доцент кафедри вищої математики державного університету "Львівська Політехніка"

■ кандидат фізико-математичних наук

Гірник Маркіян Олексійович __

доцент кафедри вищої математики і статистики Львівської комерційної академії

Провідна установа Харківський державний університет, кафедра математичного аналізу

Захист відбудеться " листопада 1998 року 15« 20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д35.051.07 Львівського державного університету імені Івана Франка за адресою: 290602, м.Львів , Університетська, 1, Львівський державний університет імені Івана Франка, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського державного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова 5).

Автореферат розіслано “¿2” жовтня 1998 р.

Вчений секретар ”

спеціалізованої вченої ради Я.В. Микиткж

' ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з основних напрямків, що виникли в теорії функцій комплексної змінної в останньому столітті є теорія розподілу значень мероморфних функцій. Теорія розподілу взяла свій початок від класичних теорем Ю.В. Сохоцького-Казоратті, К. Вейєр-штрасса та Е. Пікара й набула відносно завершеної форми в 20-х роках у працях Р. Неванлінни. Геометричний зміст теорії розподілу був розкритий у роботах JI. Альфорса та Т. Сімідзу в 30-х роках.

Не зважаючи на певну завершеність теорії розподілу значень мероморфних у площині функцій, багато важливих задач залишаються нерозв’язаними у випадку мероморфних (аналітичних) у півплощині та одиничному крузі функцій. Однією з таких задач є, так звана, обернена задача теорії розподілу, яка також не розв’язана досі в класі цілих функцій скінченного порядку. У загальному випадку мероморфних у площині функцій ця задача була розв’язана Д. Дрейсіном у 1974 р. Цій тематиці також присвячені роботи Р. Неванлінни, A.A. Гольдберга, В. Фукса і У. Хеймана, А. Вейцмана, O.E. Єременка, М.О. Гірника та інших. Тим більший інтерес становить ’’вузька” обернена задача в класах мероморфних та аналітичних у (замкненій) півплощині функцій.

Найбільш вживаними характеристиками зростання й розподілу значень мероморфних у замкненій півплощині функцій є характеристики, введені М. Цудзі, та характеристики, введені Р. Неванлінною. Проте для останніх виникають певні труднощі навколо другої основної теореми теорії Неванлінни. За характеристиками М. Цудзі, навпаки, природним чином визначається поняття дефекту. ’’Вузька” обернена задача в класі аналітичних у замкненій верхній півплощині функцій була розв’язана О.Д. Файнберг. У дисертаційній роботі розглянуто два узагальнення ’’вузької” оберненої задачі в класі аналітичних у замкненій півплощині функцій. Перше є аналогом результату М.О. Гірника, отриманого для цілих функцій, а друге поширює результат О.Д. Файнберг на дефектні функції.

Якщо обмежитись мероморфними в півплощині функціями скінченного порядку, то в цьому випадку практично немає робіт, присвячених оберненій задачі. Проте є подібні результати для мероморфних в одиничному крузі функцій. Третій розділ присвячено вивченню можливості розв’язання ’’вузької” оберненої задачі в класі мероморфних у

верхній півплощині та деякому околі нуля функцій скінченного порядку-

Окреме місце посідає вивчення розподілу значень аналітичних функцій, зображених лакунарним степеневим рядом. Окремі результати для цілих функцій отримані А. Пфлюгером, Дж. Пойа, Т. Кеварі, Дж. Клуні, У. Хейманом, Т. Мураі та іншими. У випадку аналітичних в одиничному крузі функцій добре вивченим є випадок адамарів-ських лакун (М. і Г. Вейс, В. Фукс, Т. Мураі, JI. Соне, П. Ніколс). У цьому зв’язку важливою задачою є встановлення якомога загальнішого результату про відсутність дефектних значень, який би пов’язував характеристики зростання й лакунарності степеневого ряду. Цьому питанню присвячено четвертий розділ дисертації.

З огляду на означення неванліннівської характеристики наближення виникає питання, наскільки точно ця характеристика, а, отже, величини дефектів, враховують асимптотичне поводження мероморфної функції. У працях І.П. Проскурні, В.П. Петренка, А.П. Гришина, A.A. Гольдберга, ,О.Е. Єременка, M.JI. Содіна, І.І. Марченка, О.І. Щерби та інших вивчались подібні до неванліннівських дефектів величини. Серед них слід виділити відхилення за В.П. Петренком. Предметом, розгляду п’ятого розділу є множина додатних відхилень мероморфних в одиничному крузі функцій.

Нарешті в останньому розділі дисертації розглядається питання про співвідношення між мінімумом і максимумом модуля цілих або, більш загально, між інфімумом та максимумом субгармонійних функцій повільного зростання. Це питання тісно пов’язано з класичною cos тг/з-теоремоюи іншими результатами Е. Літтлвуда, А. Вімана, Ж. Валіро-на початку XX ст. та більш пізнішими результатами Б. Чельберга, У. Хеймана, П. Беррі, A.A. Гольдберга, П. Фентона.

З огляду на описані вище загальні положення, актуальність задач, що розглядаються, не викликає сумніву.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, обраний в дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського державного університету імені Івана Франка. Матеріал дисертації є складовою частиною досліджень за дер-жбюджетною темою Мт-202Б ’’Цілі функції, ряди Діріхле та їх застосування.”

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є:

з

1. Отримати розв’язок узагальненої ’’вузької” оберненої задачі теорії розподілу значень, яка враховує розподіл похідних, для аналітичних у замкненій верхній півплощині функції.

2. Отримати розв’язок ’’вузької” оберненої задачі в класі аналітичних у замкненій півплощині функцій для випадку дефектних функцій у термінах характеристик Цудзі.

3. Дослідити можливість розв’язання ’’вузької” оберненої задачі розподілу значень у класі мероморфних у верхній півплощині та деякому околі нуля функцій скінченного порядку.

4. Встановити достатні умови загального характеру, які б забезпечували відсутність дефектних значень у лакунарних степеневих рядів в одиничному крузі.

5. Побудувати мероморфну в одиничному крузі функцію додатного порядку таку, щоб множина її додатних відхилень мала додатну логарифмічну ємність.

6. Уточнити cos 7гр-теорему для субгармонійних функцій нульового нижнього порядку.

7. Уточнити cos 7Г/9-теорему для цілих функцій нульового нижнього порядку.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі:

1. Вперше розв’язано узагальнену ’’вузьку” обернену задачу розподілу значень, яка враховує розподіл похідних у випадку аналітичних у замкненій півплощині функцій.

2. Вперше розв’язано ’’вузьку” обернену задачу розподілу значень у класі аналітичних у замкненій півплощині функцій для випадку дефектних функцій у термінах характеристик Цудзі.

3. Досліджено швидкість збіжності ряду, складеного з величин дефектів мероморфних та аналітичних у верхній півплощині та деякому околі нуля функцій.

4. При деяких додаткових обмеженнях на величини дефектів та дефектні значення вперше розв’язана ’’вузька” обернена задача теорії розподілу в класі аналітичних у верхній півплощині та деякому околі нуля функцій скінченного порядку.

5. Встановлено достатні умови відсутності дефектних значень та достатні умови еквівалентності поза винятковою множиною характеристик T(r,f) і In Mf(r) аналітичних в одиничному крузі функцій, зображених лакунарним степеневим рядом.

6. Для довільного Л Є (0; |) вперше побудовано мероморфну в одиничному крузі функцію нижнього порядку Л, множина додатних відхилень якої має додатну логарифмічну ємність.

7. Встановлено точне співвідношення між інфімумом і максимумом субгармонійних функцій нульового нижнього порядку.

8. Уточнено cos 7гр-теорему для цілих функцій нульового нижнього порядку. За додаткових обмежень на зростання показано точність отриманого результату.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер і є певним внеском в теорію мероморфних у півплощині та в одиничному крузі функцій, а також в теорію субгармонійних функцій. Вони можуть бути використані в наступних дослідженнях з теорії розподілу значень мероморфних у півплощині та одиничному крузі функцій.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації отримано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародних конференціях: ’’Сучасні проблеми механіки і математики” присвяченій 70-річчю Я.С. Підстри-гача (Львів, 1998), "Сучасні проблеми математики” (Чернівці, 1998), на міському семінарі з теорії аналітичних функцій у Львові (керівники: проф. A.A. Гольдберг, проф. A.A. Кондратюк, проф. О.Б. Ска-сків), семінарі з теорії функцій у Харківському держуніверситеті (керівник: проф. А.П. Гришин) та регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник: проф. М.М. Шеремета)

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 7 статтях і наукових повідомленнях [65-71], 5 з яких опубліковано у виданнях, включених у перелік ВАК України, в яких слід опублікувати результати дисертації.

Структура і об’єм роботи. Дисертація складається із вступу, шести розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації — 156 сторінок, при цьому список використаних джерел обсягом 8 сторінок включає 71 найменувань. Вступу передує перелік умовних позначень обсягом 6 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У першому розділі дисертації наводяться основні означення теорії Р. Неванлінни, дається огляд літератури й формулюються основні результати дисертації.

Нехай /(г) — мероморфна в = {г : \г\ < Я < +оо} функція. Основними неванліннівськими характеристиками / є: лічильна функція п(г, а, /), яка дорівнює кількості а-точок в Вт з врахуванням кратності (гг(і, /) = га(і, оо, /)), усереднена лічильна функція

ЛГ(7-,/)=^ П- - і ~ &+п(0, /) 1п г, ІУ(г,а,/) = Л^(г, (/-а)"1), функція наближення

= [ 1п+ |/(re*9)|d0, m(r,a,f)=m(r,(f~a) х)

Jo

і характеристика T(r,f) = + iV(r,/). Перша основна теоре-

ма теоріі Р. Неванлінни стверджує, що (Va Є С) Т(г,/) = m(r,a,/) -f N(r,a,f) + 0(1). З другої основної теореми випливає, що для трансцендентної мероморфної функції для ’’більшості” комплексних чисел а виконується N(r,a,f ) ~ Т(г, /) при г —> +со. Однією з характеристик анормальності a-точок мероморфної в Du функції є величина

S(a,/)= Um —-

Г-+Л-0 1\riJ)

яка називається дефектом функції / в точці а. З другої основної теореми випливає співвідношення дефектів

£ *(«*,/)< 2 (1)

CL ÇC

У зв’язку зі співвідношенням (1) природно виникає ’’вузька” обернена задана теорії розподілу значень.

Нехай задано послідовність різних комплексних чисел {(сч-)} С С і відповідна їй послідовність (5к), 0 < <5/- < 1, ^ £ 2. Знайти меромор-

фну функцію, для якої 5(аїї, /) = і Уа $ {а*;} ¿(а, /) = 0.

Обернена задача в класі мероморфних в С функцій була розв’язана Д. Дрейсіном у 1974 р. ’’Вузька” обернена задача в класі цілих функцій — В. Фуксом і У. Хейманом у 1962 р, У класі аналітичних в одиничному крузі функцій розв’язок ’’вузької” оберненої задачі у 1976 р. отримав М.О. Гірник. При цьому використовувалась функція, побудована В. Фуксом і У. Хейманом. М.О. Гірник також довів точність співвідношення

в класі цілих функцій, які У/с Є 2+ додатково задовольняють умову 1пТ(2г,/Ю) = о(Т(г,/Ю) (цей клас, зокрема, містить всі цілі функції скінченного порядку). Відзначимо, що для таких функцій (2) є узагальненням співввідношення (1). В усіх вище згаданих працях функція /, що будувалась, нескінченного порядку.

Для мероморфних у замкненій півпдощині С+ = {г : Ітг > 0} функцій використовуються характеристики розподілу значень, введені М. Цудзі, та характеристики, введені Р. Неванлінною. Характеристики М. Цудзі вводяться у наступний спосіб.

де г > 1, а Є С, x(r) = arcsin n(t,f) — кількість полюсів функції /(г), що належать множині {z : \z\ > 1, \z — ~\ < Нарешті, %(r, /) = + 9^(г>/)- Величина

ОО

а^іос

kzzІ 0,оо

тг — х{г)

х{г)

г

1

називається дефектом в точці а функції /(г) в розумінні Цудзі.

” Вузька” обернена задача в класі аналітичних в С+ функцій була розв’язана О.Д. Файнберг у 1979 р. При цьому вона також використовувала функцію Фукса-Хеймана.

У другому розділі для аналітичних в С+ функцій встановлено наступні результати. У першому підрозділі другого розділу доведено співвідношення (2) для дефектів аналітичних у замкненій півплощині функцій і аналог результату М.О. Гірника про точність співвідношення (2) (теореми 2.1 і 2.2). Теорема 2.2 в свою чергу є узагальненням результату О.Д. Файнберг. Також доведено теорему 2.3, з якої випливає співвідношення дефектів для дефектних функцій. При доведенні слідуємо С. Топпілі. Наприкінці розділу узагальнено результат О.Д. Файнберг в іншому напрямку, а саме побудовано аналітичну в замкненій півплощині функцію із заданим розподілом іі дефектних функцій.

Якщо обмежитись лише мероморфними функціями скінченного порядку, то ’’вузька” обернена задача в загальному випадку не розв’язана досі. У випадку, коли сума дефектів дорівнює двом, дефекти — раціональні числа і множина -Елг(/) = {а Є С : 5(а,/) > 0} скінченна, розв’язок цієї задачі отримав ще Р. Неванлінна. Необхідність накладених ним обмежень довів недавно Д. Дрейсін. Для мероморфних в С функцій скінченного нижнього порядку А. Вейцман показав, що дефекти додатково задовольняють умову

]Гбз(а,/) < +оо. (3)

а

Тому, при розв’язуванні оберненої задачі у цьому класі умову (3) слід апріорі вважати виконаною. У 1986 р. О.Е. Єременко розв’язав ’’вузьку” обернену задачу в класі функцій довільного скінченного порядку р > \ за додаткової умови таха5(а,/) < 1. У 1975 р. О.Д. Файнберг побудувала мероморфну в С+ функцію заданого скінченного порядку із заданою множиною дефектних значень. При цьому (Ує > 0) ^2а ї^~Е(а, /) = +оо. В.І. Крутінь для довільної заданої послідовності (ак) різних комплексних чисел побудував мероморфну В функцію порядку р > 0 таку, що ¿(а&,/) > £*/4, де 5к — наперед задані, 0 < 6к < 1, — 2- М.О. Гірник розв’язав ’’вузьку” обернену задачу

в класі аналітичних в Г)\ функцій лише за апріорного досить жорсткого

обмеження на дефектні значення

|аь| ехр|23,с+101 < +<хз. (4)

к

При додаткових обмеженнях на суму дефектів ров’язок задачі для ме-роморфних кривих скінченного порядку в одиничному крузі був одержаний Я.І. Савчуком. .

У третьому розділі для мероморфних в С+ = {г : Іпи > 0} та деякому околі нуля функцій доведено теорему 3.1, яка є аналогом теореми В.І. Крутіня. Більш загально, теорема 3.1, як і теорема В.І. Крутіня, стверджує, що у випадку функцій мероморфних в , навіть за умови рх[/] — Нт^+оо 1п^ < +оо, нічого більше, крім співвідношення

Х>К/)<2,

аЄС

взагалі кажучи, про дефекти І)(а, /) сказати не можна.

Теорема 3.1. Нехай (6п) — довільна нєзростаюча послідовність, 0 < < 1, 53п>і £п < 2, (ап) — довільна послідовність різних комплексних чисел, р Є (0; +оо). Тоді існує мєроморфна в С+ функція /(г) порядку р така, що Ь(ап, /) >

Наслідок 3.1. 'ір Є (0,+оо) існує мєроморфна в С+ та деякому околі нуля функція / порядку р така, що У а < 1

^ 3°(а,/) =+°о. .

аЄС

Зокрема, співвідношення (3) не справджується.

У третьому розділі (теорема 3.2) для аналітичних в С+ функцій, отримано розв’язок ’’вузької” оберненої задачі за деяких обмежень на дефектні значення значно більш загальнішого характеру ніж (4), з наслідку 3.3 випливає розв’язність цієї задачі у випадку, коли (аь) не є всюди щільною в С та за умови

< +оо,

к

де р > 0 є довільним наперед заданим порядком функції /.

Нехай / — аналітична в Б я, 0 < Я < +оо, функція, задана рядом

Виявляється, що накладаючи певні умови на послідовність (тік), можна отримати додаткову інформацію про розподіл значень /.

У випадку цілих функцій (R — +оо) питанням про відсутність скінченних борелівських, неванліннівських дефектних значень та еквівалентність \nnif(r) і In М/(г) присвячено багато праць (А. Пфлюгер, Дж. Пойа, Т. Кеварі, Дж. Клуні, Т. Мураі, У. Хейман, Дж. Россі, В. Фукс, Л. Соне, А.М. Гайсин, О.Б. Скасків). Слід відзначити, що для виконання вище згаданих співвідношень достатні умови на лакун-арність молена послаблювати за рахунок обмежень на зростання зверху характеристик функції і навпаки.

У випадку аналітичних в D\ функцій вигдяду (5) добре вивченим є випадок адамарівських лакун 1 > q > 1, (к > 0). Питанню про відсутність пікарівських виняткових значень у функцій вигляду (5) присвячено роботи М. і Г. Вейс, В. Фукса, І. Ченга, Т. Мураі. Крім того, за однією з теорем П. Ніколлс і Л. Соне у випадку > q > 1

(к > 0) і limr_>.1_o A°irfx^r)' > 0 Для Функцій вигляду (5) випливає, що (Va Є С) ¿(a,/) =0. А за іншою теоремою тих самих авторів подіб-

У четвертому розділі встановлено умови відсутності скінченних дефектних значень у аналітичної в функції / вигляду (5).

Основними результатами четвертого розділу є наступні теореми.

вигляду

(5)

к-0

Позначимо /і(г, /) = тах{|а*.(гпь : к > 0},

Mf(r) = тах{|/(2)| : \z\ = г}, mf(r) = min{|/(z)| : \z\ = r},

не твердження отримаємо у випадку к = 0(п\ при к —> +оо, якщо

Теорема 4.1. Якщо для аналітичної в Вх функції /(л) вигляду (5) виконуються умови

+ос, то Уй Є € маємо ¿(а, /) = 0.

Теорема 4.2. Якщо для аналітичної в .Оі функції /(г) вигляду (5) виконуються умови

і- . _

<М£)

де Фі (¿) така, як у теоремі 4.1, то Уа £ С маємо 5(а,/) = 0.

Відзначимо, що з теореми 4.1 випливає цитована вище друга теорема Ніколлс-Сонс. (див. наслідок 4.1). При цьому теореми 4.1 і 4.2 мають значно загальніший характер.

У четвертому розділі встановлено також достатні умови еквівалентності при г -» 1 — 0 зовні виняткової множини неванліннівськоі характеристики Т(г,/) та 1пМ/(г) аналітичної в функції / вигляду (5) (теореми 4.3, 4.4).

Поруч з поняттям дефекту В.П. Петренко ввів поняття відхилення мероморфної в Вц функції / щодо точки о:

та

+ оо

Ф

де Фі(£) — додатна неперервна функція така, що —^ ^ +°° при і —>

та

де L(r,a,f) = sup{ln+ \f(z) - cz|_1 : \z\ = r}. Для мероморфних в C функцій відхилення за Петренко мають властивості, подібні до властивостей неванліннівського дефекту. Зокрема, для трансцендентної мероморфної функції / множина En{f) = {о € € : ¡3(а, /) > 0} не більш ніж зліченна. В одиничному крузі ситуація докорінно змінюється. Для мероморфної в Di функції / В.П. Петренко у 1978 р. поставив питання про знаходження точної межі зростання, такої щоб логарифмічна ємність En(f) дорівнювала нулеві. Сам В.П. Петренко показав, що для цього досить вимагати А[/] = ]imr_+1_0 > 6, а при А[/] = 0 це,

взагалі кажучи, невірно.

На жаль, остаточну відповідь на запитання В.П. Петренка нам отримати не вдалось, проте в розділі о доведена наступна теорема 5.1.

Теорема 5.1. Для довільного А Є [0, j) існує мероморфна при |л| < 1 функція f(z) така, що А[/] = p[f] = А і ємність множини додатних відхилень за Петренком En{f) = {а : /3(а, /) > 0} додатна.

Навпаки, справедливе

Твердження 5.1. Для довільної мероморфної в Di функції / нижнього порядку А[/] > 2 множина En(f) має логарифмічну ємність нуль.

Це твердження встановлюємо, модифікуючи міркування В.П. Петренка.

В останньому розділі розглядається питання про асимптотичне співвідношення між ініфімумом A(r,u) = inf{u(z) : \z\ = г} та максимумом B(r, u) = max{u(z) : \z\ = r} субгармонійної в C функції u при r —» +oc. З класичної cos 7г/>-теорми випливає, що якщо A[u] = limr , t „ -n =

0, to A(rn,u) ~ B(rn,u) на деякій послідовності значень rn ~¥ +оо (п —> +оо).

Нехай ф(г) — додатна зростаюча до +оо, двічі неперервно диферен-ційовна функція при т > 1 така, що ф'ііг) — повільно змінна (тобто г/>2(2г) ~ -ф2{г) при т +оо), де ф^г) = Р- П. Беррі

показав: якщо для субгармонійної в С функції lim,—5- 1, тоді на послідовності значень г = гп —> +оо при п —>■ +оо виконується

A(r, и) > В(г, и) - (■у + є)ір2{г).

(6)

П. Фентон у 1980 р. довів співвідношення (6) для часткового випадку ф[г) — сг1прг (р > 1), але при цьому вимагав лише Итг->+оо £

1. Ним була також отримана оцінка множини значень г, зовні якої

виконується (6).

В розділі 6 доведено теорему, яка встановлює точне на послідовностях співвідношення між інфімумом та максимумом субгармонійної функції нульового нижнього порядку й узагальнює результати П. Бе-ррі і теорему П. Фентона. Введемо клас Ф функцій ф : [1; +оо) —>■ таких,що .

, , ч ¿ф(г) тг f [г /3(в) ч

м') = л7 = *,схрЦ —*}’

де Л'і >0 — стала, (З Є С(М+), /3(г) > 0, /3(г) —> 0 при г —> +оо,

ьй = 0('”щ)' г^+00’ <7)

де /3(г) = тах{/3(й) : в > г}. Зауважимо, що якщо не накладати умови (7) і в(г) > 0, то множина всеможливих функцій фі(г) в точності збігається з множиною додатних неспадних неперервно диферендійовних на [1; +ос) повільно змінних функцій д. Якщо ж виконується умова ф2(г) ~ ф2(2г), яку накладав П. Беррі, то за правилом Лопіталя необхідно фі{г) ~ фі(2г).

Теорема 6.1. Нехай и(г) — субгармонійна в С функція. Якщо Зф Є Ф така, що

Б(г,и) Ііт —

--► + 00 Фу)

ТОДІ Ує > 0 нерівність

7Г2

А(г,и) > В{г,и) - {1+е)—ф2(г) виконується зовні множини Еє такої, що

Ііт т-\~т / іїфЛї) < —^—.

—И-оо фі{г) /веп[і,г] 1 + Є

........... . . . (8)'

Г—* + С

З теореми 6.1 одержуємо оцінку для відношення мінімума модуля цілої функції до максимума модуля.

Теорема 6.2. Нехай j(z) — ціла функція. Якщо Зф Є Ф така, що

Приклад 6.1 показує точність співвідношення (8), а приклад 6.2 — точність співвідношення (9) за умови .

У дисертаційній роботі:

— вперше побудовано аналітичну в замкненій півллощині функцію із заданим розподілом дефектів та дефектів їі похідних;

— вперше побудовано аналітичну в замкненій півплощині функцію із заданим розподілом дефектів ії дефектних функцій;

— встановлено можливість розбіжності ряду, складеного зі степенів величин дефектів мероморфних (аналітичних) у верхній півплощині та околі нуля функцій у випадку, якщо цей степінь менший за 1;

— при деяких додаткових обмеженнях на дефектні значення вперше розв’язано ’’вузьку” обернену задачу теорії розподілу значень у класі аналітичних у верхній півплощині та деякому околі нуля функцій скінченного порядку;

— встановлено достатні умови відсутності дефектних значень в аналітичних в одиничному крузі функцій, зображених лакунарним степеневим рядом;

— встановлено достатні умови еквівалентності поза винятковою множиною характеристик Т(г,/) та 1п М/(г) аналітичної в одиничному крузі функції, зображеної лакунарним степеневим рядом;

— для довільного А Є (0; |) вперше побудовано приклад мероморфної в одиничному крузі функції нижнього порядку А, множина додатних відхилень якої має додатну логарифмічну ємність;

то

зовні множини Еє такої, що виконується (8)!

ВИСНОВКИ

— встановлено точне співвідношення між інфімумом і максимумом субгармонійних функцій нульового нижнього порядку;

— встановлено точне співвідношення між мінімумом та максимумом модуля для цілих функцій нульового нижнього порядку.

Результати дисертації носять теоретичний характер і є певним внеском в теорію мероморфних у півплощині та в одиничному крузі функцій, а також у теорію субгармонійних функцій. Вони можуть бути використані в наступних дослідженнях з теорії розподілу значень ме-роморфних у півплощині та одиничному крузі функцій.

При проведенні досліджень використовувались методи праць A.A. Гольдберга, У. Хеймана, М.О. Гірника, Т. Мураі, О.Б. Скасківа, В.П. Петренка, П. Беррі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Чижиков И.Э. К узкой обратной задаче теории распределения значений в полуплоскости// Математическое моделирование и комплексный анализ. - Вильнюс: Техника. -1996.- С.63-64.

2. Чижиков I.E. До оберненої задачі теорії розподілу значень для функцій, аналітичних і півлощині// Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: 36. наук, пр.- Київ: Ін-т математики НАН України, 1997. - Вип.15.- С.270-281.

3. Чижиков I.E. Дефекти мероморфних у півплощині функцій // Вісник Львів, ун-ту.- 1997.- Вип.48.- С. 12-16.

4. Чижиков I.E. Про множини додатних відхилень функцій, мероморфних в одиничному крузі // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1997.

- Т.40,№4.-С. 48-53.

5. Chyzhykov I.E. A new application of Fuchs-Hayman’s function // Ma-тем. студії. - 1998.- Т.9, №1.- С.7-15.

6. Чижиков I.E. Співвідношення між інфімумом та максимумом субгармонійної функції повільного росту// ’’Сучасні проблеми механіки і математики” міжн. конф. присв. 70-ти річчю Я.С.Підстригача. 25 29.05.1998 р. Матеріали.-Львів: 1998.- С.272.

7. Скасків О.Б., Чижиков I.E. До теореми A.A. Гольдберга про мінімум модуля мероморфної функції нульового порядку // ’’Сучасні проблеми математики”: Матеріали міжн. наук. конф. Частина 3.-Киів: Ін-т математики НАН України, 1998.- С.97-98.

Чижиков I.E. Асимптотичні властивості мєроморфних у півпло-щині та крузі функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-мате-матичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. -Львівський державний університет імені Івана Франка, Львів, 1998.

У дисертаційній роботі розглянуто два узагальнення ’’вузької” оберненої задачі теорії розподілу значень і побудовано розв’язки у класі аналітичних у замкненій півшгощині функцій у термінах характеристик Цудзі. У випадку функцій скінченного порядку розв’язок ’’вузької” оберненої задачі одержано лише за певних обмежень на дефектні значення. Встановлено достатні умови відсутності дефектних значень аналітичної в одиничному крузі функції, зображенноі лакунарним степеневим рядом. Отримано нові результати про множину додатних відхилень за В.П. Петренком мероморфної в одиничному крузі функції. Встановлено точне співвідношення між інфімумом та максимумом субгармонійної в С функції нульового нижнього порядку, яке уточнює класичну cos тгр-теорему. Як наслідок, отримано точне співвідношення для логарифмів мінімума й максимума модуля цілої функції нульового нижнього порядку.

Ключові слова: мероморфна функція, дефектне значення, обернена задача, характеристики Цудзі, лакунарний ряд, відхилення за Петренком, субгармонійна функція.

Чижиков И.Э. Асимптотические свойства мероморфных в полуплоскости и круге функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Львовский государственный университет имени Ивана Франка, Львов, 1998.

В дисертационной работе рассмотрены два обобщения ’’узкой” обратной задачи теории распределения значений и построены решения в классе аналитических в замкнутой полуплоскости функций в терминах характеристик Цудзи. В случае функций конеченого порядка решение ’’узкой” обратной задачи получено только при некоторых ограничениях на дефектные значения. Установлены достаточные условия отсутствия дефектных значений аналитической в единичном круге функции, представленной лакунарным степенным рядом. Получены новые результаты о множестве положительных отклонений по В.П. Петренко

мероморфной в единичном круге функции. Установлено точное соотношение между инфимумом и максимумом субгармонической в С функции нулевого нижнего порядка, которое уточняет классическую cos 7Г/)-теорему. Как следствие, получено точное соотоношение для логарифмов минимума и максимума модуля целой функции нулевого нижнего порядка.

Ключевые слова: мероморфная функция, дефектное значение, обратная задача, характеристики Цудзи, лакунарный ряд, отклонение по Пе- . тренко, субгармоническая функция.

Chyzhykov I.E. Asymptotic properties of meromorph.ic in the half-plane and the disc functions. - Manuscript. The thesis for obtaining the Candidat of Physical and Mathematical degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. Lviv State University named after Ivan Franko, Lviv, 1998.

In the thesis we consider two generalizations of the “narrow” inverse problem of the value distribution theory. These problems are solved in the class of analytic in the closed half-plane functions. In the case of functions of finite order a solution of the “narrow” inverse problem is constructed under certain restrictions on the deficient values. We find sufficient conditions under which an analytic in the unit disc function represented by a Ja-cunary power series has no finite deficient values. New results about the set of positive Petrenko’s deviations are obtained. A sharp relation between the infimum and the supremum of a subharmonic in the plane function of zero lower order is established. This implies the sharp relation between the logarithms of the minimum and the maximum modulus of an entire function of zero lower order.

Key words: meromorphic function, deficient value, inverse problem, Tsuji’s characteristics, lacunary series, Petrenko’s deviation,, subharmonic function.

Підписано до друку 5.10.98 р. Формат 60x84 '/іб. Ум. друк. арк. 1. Обл.-вид. арк. 1,25. Наклад 100.

Видруковано у видавничому центрі Наукового товариства ім. Шевченка у Львові.

290013, Львів, вул. ген. Чупринки, 21.