Факторизационные представления и свойства корневых множеств весовых классов аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

004603787

На правах рукописи

Быков Сергей Валентинович

ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И СВОЙСТВА КОРНЕВЫХ МНОЖЕСТВ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математи

11 О И ЮН 291.0

Саратов 2010

Работа выполнена на кафедре математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Шамоян Файзо Агитович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Коточигов Александр Михайлович

Ведущая организация: Казанский государственный энергетический университет

Защита состоится «17» июня 2010 года в 17 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете имени Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

кандидат физико-математических наук, доцент Шубабко Елена Николаевна

Автореферат разослан «_> уМССЛ' 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

В.В. Корнев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Хорошо известно, что исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений различных классов аналитических функций играют важнейшую роль в общей теории функций комплексного переменного и её приложениях. Исследование этих вопросов привлекало внимание классиков комплексного анализа ещё в начале прошлого столетия. В этой связи отметим классические работы К. Вейерштрасса, Ж. Адамара, Ф. Бореля, Е. Линделёфа, О. Пикара и др. о нулях целых функций, имеющих заданный рост вблизи бесконечно удалённой точки, а также работы Р. Неванлинна и В.Н. Смирнова о внешне-внутренней факторизации классов Харди и классов функций ограниченного вида в единичном круге. Эти вопросы остаются в центре внимания и современных авторов, для этого достаточно отметить работы М.М. Джрбашяна, Б.И. Левина, Н.В, Говорова, Б.А. Тейлора, Л.А. Рубеля, A.A. Гольдберга, И.В. Островского, A.M. Седлецкого, Ф.А. Шамояна, H.A. Широкого, Б.И. Коренблюма, К. Сейпа, Б.Н. Хабибуллина и других математиков, посвященные исследованиям свойств корневых множеств и построению факторизационных представлений ряда важнейших классов голоморфных функций.

Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы, для этого введём необходимые обозначения и определения.

Пусть С - комплексная плоскость, //(С)- множество всех целых функций, Л- монотонно возрастающая, положительная функция на R+. Введём в рассмотрение классы функций

где Af ,Bf,Cf - здесь и в дальнейшем произвольные постоянные, зависящие

Я (Л,-н») = {/ е Я (С): 1п|/00| < Cf • A(|z|), z е с}

и

Я (Л,+оо) = {/ е Я (С): ln|/(z)j < Arx(Bf -\z\), геС),

только от функции / . Пусть X е и существует предел

тогда назовём его степенным порядком роста функции Я. Нетрудно заметить, что если ал < +со , то рассматриваемые классы функций Н(&,+со) и

Я (Л,+оо) совпадают, а если Я(х) = хр, х е , то они совпадают с классом целых функций конечного порядка р и нормального типа. Однако при ак = +оо это уже не так, например, в случаях, когда

Я(р = ехрехр...ехр(>), реК+

п

или

Я(0 = ехр(Ы)", /бК+, р> 1. Если Я(<) = 1Р, р е К+, то класс #(Я,+°о) обозначим через

Н{р,л<х>).

В дальнейшем будем считать, что если / е #(С), то Ъ{ будет обо-

Н / ч 1

значать множество всех нулей функции / , то есть Z/ = {г е С: /(г) = 0|.

Хорошо известно следующее свойство корней функции из класса #(р,+оо): последовательность можно представить в виде

Z = Zp р г М, р> 0 тогда и только тогда, когда

п{г) = {саЫ 2к : \2к| <: г} <: С, ■ гр . (1)

Но при р б N наряду с условием (1) возникает еще условие Е. Линде-лёфа1,2: существует М > О, такое что

Используя последнее условие, нетрудно построить последовательность {**}*"> причём /Ф О, /еН(р,+х>), реМ, такую, что

для любой функции g е Н(р,+<») из условия где = {¡^1}^,

1 Гольдберг А. А. Распределение значений мероморфных фикций / А. А. Гольдберг, И.В. Островский - М.: Наука. - 1970. - 457 с.

2 Левин Б .Я. Распределение корней целых функций / Б.Я. Левин - М.: Гостехиздат. -1956. -632 с.

следует, что g(z) = 0, г е С , то есть множество не представимо в виде ни при каких g е Н(р.-но), р е N , £ 0 . Примером такой после-

Г ±

доЕательности может быть последовательность е Р {

Иными словами, для представления последовательности

{гк — 2 = важен не только рост функции п(г) , но и расположение

}+<*>

м по аргументам.

Определение. Скажем, что некоторое множество X целых функций удовлетворяет условию Линделёфа, если существует функция / с X,

/Ф О, =\2к такая, что из условия g&X, где

— {к^!}^-, > следует, что ¿г(^) = О при всех г еС . Из вышеизложенного следует, что класс #(р,-юо) при р е N удовлетворяет условию Линделёфа, а при р й N не удовлетворяет ему. Естественно, возникает вопрос, а что происходит при остальных Л , например, при Яр) = ехрехр...ехр(гр), реМ+

п

или

А(/) = ехр(1п^, /ей+, ¿>>1? Исследованию свойств корневых множеств функций из класса

Я(Я,+со) посвящено множество работ. В работах Л.А. Рубеля3 и Б.А. Тейлора4, применяя методы теории рядов Фурье, получено описание корневых

множеств функций класса Н (Я,+оо) . Приведём этот результат.

3 Rubel L.A. / L. A. Rubel // Lect. Notes in Math. -1973. - V. 336. - P. 51-62.

4 Rubel L.A A Fourier series method for meromorphic and entire functions / L.A. Rubel, B.A. Taylor -Bull. Math. France. - 1968. - V. 96. - P. 56-96

Пусть 2 = {Оу}^- последовательность отличных от нуля комплексных чисел, <2^ —> со при V —> +оо , Я - функция вышеуказанного типа. Для чисел к е N и г > 0 определим функцию

S(r,k,Z) =

к |a„|Sr

4avy

Если rx >r2, то S{rvr2,k,Z) = S{rvk,Z)-S(r2,k,Z).

Положим также n {r,Z) = {card ak : \ak| < г] и N(r,Z)= j ^ ' ~dt.

0 '

Основной результат в вышеуказанных работах JI.A. Рубеля и Б.А. Тейлора формулируется следующим образом: для того чтобы последовательность можно было представить в виде Zf1 f&H(X,-Hо), f Ф 0, необходимо и достаточно, чтобы существовали положительные числа А, В и С, такие что при всех rt и г2 выполнялись оценки

+ гх,гг е М+, г, > г2 Д = 1,2,...

и

N(r,Z)<C-X{Br), г е R+.

Исследования корневых множеств классов аналитических в круге функций, имеющих конечный порядок роста вблизи единичной окружности, были начаты в работах В.В. Голубева5'6. Отметим, что результаты В.В. Голу-бева почти через десять лет были переоткрыты немецким математиком Ф. Беурманом7.

В работах Н.В. Говорова8'9 получена полная характеризация корневых множеств и построено факторизационное представление классов аналитиче-

5 Голубев В.В. Исследование по теории особых точек однозначных функций / В.В. Голубев // Ученые записки государственного Саратовского университета -1924. - Т. 1, вып. 3, т. 2, вьт.1.

6 Голубев В.В. Однозначные аналитический функции. Автоморфные функции / В.В. Голубев -М.: Изд. физматлит. -1961. - 455 с.

7 Веиегтапп F. Wachtumsordnimg, Koezientenwachstum und Nullstellendichte bei Potenzreihen mit endlichem Konvergenzkreis / F. Beuermann. // Math. Zeitschrift. - 1931. - B. 33. - S. 98-108.

8 Говоров H.B. Краевая задача Римана с бесконечным индексом / Н.В. Говоров. -М.: Наука, Главная редакция физматлит. - 1986. - С. 29-41.

ских в полуплоскости функций конечного порядка р . В последние десятилетия довольно интенсивно развивалось исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений классов аналитических в круге функций, принадлежащих классам С. Бергмана или имеющих степенной рост при приближении к единичной окружности. Эти результаты подытожены в монографиях10,11.

М.М. Джрбашяном12'13 были получены формулы типа формул Пуассо-на-Иенсена, на этой основе исследовались корневые свойства и факториза-ционные представления функций, мероморфных в круге, имеющих заданную Тш - характеристику.

В работах Ф.А. Шамояна10'14 получено полное описание корневых множеств и построено факторизационное представление классов аналитических в круге функций с заданной мажорантой вблизи единичной окружности при условии, что степенной порядок роста мажоранты строго больше единицы.

Цель работы.

1) Изучить свойства корневых множеств целых функций с мажорантой бесконечного порядка.

2) Получить полное описание корневых множеств весовых классов целых функций и построить их факторизационное представление при условии, что вес имеет бесконечный степенной порядок.

3) Охарактеризовать корневые множества классов голоморфных в полуплоскости функций с мажорантой конечного порядка.

4) Оценить в среднем производную голоморфной в круге функции посредством средних самой функции.

9 Говоров Н.В. Об индикаторе функций, аналитических и вполне регулярного роста в полуплоскости / Н.В.Говороз // Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков, секция 4.-М.-1966, С.45-46.

10Djrbashian А.Е. Topics in the theory of A* spaces / A.E. Dj'rbashian, FA. Shamoyan // Leipzig: Teubner-Texte zur Math. - 1988. - V. 105. - 200 P.

" Hedenma!m H. Theory of Bergman spaces / H. Hcdcnmalm, B. Korenblum and K. Zhu // New York: Springer, 2000. -277 P.

12 Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН АрмССР. -1948. - Вып. 2. - С. 3-35.

13 Джрбашян М.М. Теория факторизации функций, мероморфных в круге / М.М. Джрбашян II Матем. сборник. - 1969. - 79(121): 4(8).- С. 517-615.

" Шамоян Ф.А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций / Ф.А. Шамоян // Сибирский математический журнал. -1999. -Т. 40, №6.-С. 20-41.

Методика исследования. В диссертационной работе используются общие методы линейного и комплексного анализа, а также более специальные методы геометрической теории функций комплексного переменного. В диссертации важную роль сыграли теоремы типа теоремы Л.В. Альфорса и С.Е. Варшавского об оценках конформно отображающих функций криволинейных полос на стандартные области.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1) Установлено, что корневые множества класса целых функций с мажорантой бесконечного порядка удовлетворяют условию Е. Линделёфа.

2) В терминах лишь одной считающей функции получено полное описание корневых множеств и построено факторизационное представление весовых классов целых функций, когда вес имеет бесконечный степенной порядок.

3) Введена серия новых бесконечных произведений, посредством которых охарактеризованы корневые множества классов аналитических в полуплоскости функций с мажорантой конечного порядка.

4) Построено новое факторизационное представление аналитических в круге функций с мажорантой конечного порядка вблизи граничной окружности.

5) Получены II - оценки производной аналитической в круге функций

через 1Р - средние самой функции.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены в последующем к задачам аппроксимации рациональными функциями с фиксированными полюсами, изучения классов целых функций с мажорантой бесконечного порядка, а также при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты данной работы неоднократно докладывались автором на семинарах по комплексному и функциональному анализу при кафедре математического анализа и на апрельских научных конференциях преподавателей физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского в 2005 - 2010 гг., а также на Смоленской международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005 г.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2006 г., 2008 г.) и «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования»

(Воронеж, 2009 г.), на Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008 г.), на Саратовской зимней математической школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1] - [11], список которых приведен в конце автореферата. Работа [8] входит в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

Структура н объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка используемой литературы в алфавитном порядке. Объем диссертации - 130 страниц. Библиография содержит 56 наименований.

Во введении приводится история вопроса, обосновывается актуальность темы и кратко излагается содержание работы.

Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию свойств корневых множеств и построению факторизациошшх представлений классов целых функций с мажорантой бесконечного порядка.

В §1 главы 1 рассматриваются вопросы, связанные с нулями целых функций, имеющих мажоранту бесконечного порядка. Здесь мы рассматриваем класс целых функций Н (л, +оо). Для изложения основных результатов

данного параграфа приведём следующее определение.

Определение. Монотонно возрастающую положительную функцию

га класса С^ (Е+) назовём весовой, если СХх = +со.

Установлено следующее утверждение.

Содержание работы

Теорема 1.1. Пусть Л - весовая функция, причём Л е функция у/ (х) = 1п Л(ех) выпукла вниз на множестве , причём

при некотором 0 <6 < 1.

Тогда класс функций Н (Я, +оо) обладает условием Линделёфа.

Заметим, что из теоремы 1.1 следует, что характеризацию корневых множеств функций го класса Я (А,+со) в терминах получить нель-

зя, здесь важно расположение корневых множеств по аргументам.

В §2 главы 1 мы рассматриваем класс целых функций H (Д,+°о). В

случае ах = +оо нами получено полное описание корневых множеств функций из рассматриваемого класса. Оказывается, что указанное описание имеет

модульный характер и его можно получить лишь в терминах , то

есть в терминах функции я(г) .

Теорема 1.2. Пусть Л- весовая функция, функция (р{х) — Ъ\Х{х)

выпукла вниз на множестве . Тогда следующие утверждения равносильны:

1) последовательность комплексных чисел {2ь}Ы1 можно представить в виде Zf для некоторой ненулевой функции / еЯ (Л, +оо) ;

2) существует такое положительное число С, для которого

Еехр(-<КсЫ))<+со-к~\

Интересно сравнить утверждение теоремы 1.2 с вышеуказанным результатом JI.A. Рубеля и Б.А. Тейлора.

Установленное свойство корневых множеств класса #(Я,+оо) позволяет построить факторизационное представление рассматриваемого класса функций.

Теорема 1.3. Пусть, как и прежде, Х- весовая функция, Ф (*) = 1п Я (х), Jte К+ выпукла вниз на множестве К+ .

Тогда класс функций Н[Л,+со) совпадает с классом целых функций f, допускающих представление в виде

f ' ЧА

■ехр

р, 1 f - V

я. 1

I1

MJ

\Zn) j

, zeC

где Ш— неотрицательное целое число, последовательность ком-

плексных чисел, таких, что гп —»со при п —> -Ко и удов-

летворяющих условию

4<Р

л=1

<+со

при некотором С>О, Р„-

1п2

, « = 1,2,..., а #(2)--

целая

функция, удовлетворяющая оценке

|*(фс;.<р(с2|г|), *еС

при некоторых положительных С, и С2.

В §3 главы 1 рассматривается класс аналитических функций в правой полуплоскости С+ = {г е С: Лег > 0}:

х; (С+ ) = {/ е Я(С + ): 1п\/(г)\ < С, • г е С+ } .

В работах Н.В. Говорова8,9 получено полное описание корневых множеств аналитических в полуплоскости С+ функций, имеющих там конечный

порядок, меньший или равный р > 0 .

Основным результатом этого параграфа является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1.4. Пусть <р - монотонно возрастающая функция из С® (М+ ), при этом существует предел

!ип Д =а<?- (2)

Если а9 = +оо, то дополнительно предположим, что <р £ С-2' (К^), <р - выпуклая вниз функция, и, кроме того, существует такое число О<£<1, что

<Р\г)

<р {г)

Тогда:

= 0{ 1) при г->+оо.

1) если /еХ;(С.), /(гк) = 0, к = 1,2,,.., гк>0, О, ге€+, то

+00^ 1

для произвольного £>0: ^ ~ ~ " - < +оо■

ых<р(гк)\}а<р(гк))

2) обратно: существует функция / 6 X^ , такая, что /(гк) = 0, к-1,2,..., гк > 0, / (я) ^ 0, для которой

•ЮО 1

—— = +00.

В §4 главы 1 рассматривается класс функций X* (С+) в верхней полуплоскости С = (г е С: 1т г > 0}.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.5. Пусть / при этом ^ е С(1;-к») и сущест-

вует предел (2). Тогда для того чтобы из условия

/ех;(с+), /(%) = О, Ук>8> 0, к = 1,2,..., /ФО,

+00 |

следовала сходимость ряда /_,— необходимо и достаточно, чтобы

Г^тЛ/х<+00

г *

В §5 главы 1 описываются корневые множества функций, аналитических в полуплоскости С+ класса Х9 (<С+). В этом параграфе получены результаты, которые являются уточнением соответствующих результатов Н.В. Говорова.

В случае нецелых справедлива следующая теорема.

Теорема 1.6. Пусть <р— монотонно возрастающая положительная

функция иа 1+, причём <р 6 С^' (й.+). Предположим, что существует пре-дея(2), а^ЬЪ^, <+оо.

Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) последовательность гп=гпе'в", гп > Л, Л > 0, п = 1,2,... точек из верхней полуплоскости является корневым множеством некоторой ненулевой функции из класса X™ (<С+ ) ;

2) существует положительное число С, такое, что V/? > 1 справедливо

(?)

О <Х<га<Я Гп Я

где С зависит только от последовательности (.?„Г" .

В случае натуральных агр справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.7. Пусть - произвольная последовательность точек

из верхней полуплоскости, причём \2„\ — Л>§. Если последовательность {2„}П=[ является корневым множеством некоторой ненулевой функции из класса X™ (<С+ ^ е К, ар > 1, то выполняется оценка (3).

И обратно: если {г„}п=1— произвольная последовательность, для ко-

торой наряду с оценкой (3) выполняется оценка

Z-

i—t а

<м, о</г<+со,

при этом SUP—7~С < +G0, то можно построить ненулевую функцию

/"€ X* множество нулей которой совпадает с множеством точек

последовательности {г„}„=|-

В §6 главы 1 рассматривается бесконечное произведение типа Вейер-

штрасса

р i

mJ

2 + Р

где {<Zk}*k-i ~ проювольная последовательность точек из С+, для которой

<+00

?к

Порядок роста произведения Вр ), в отличие от произведения,

построенного Р. Неванлинна в работе15 и многократно используемого различными авторами, не зависит от р.

В случае, когда корневые множества находятся в угле справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.8. Пусть задана последовательность \2к\к=\ > такая, что г4еДя, к~\, 2..., где Да={геС+: а<йщг<л:-а), 0 <а<ж, существует функция <р е С*'1' (К.+ ), удовлетворяющая (2), \<а(р< +оо, тогда при любом фиксированном р. р > сср—\, следующие условия эквивалентны:

1) ВРФ 0;

2) п(г)<с-<р{г) при Г >0.

Вторая глава диссертационной работы посвящена построению факто-ризационного представления и оценкам в среднем классов голоморфных в круге функций, допускающих рост вблизи граничной окружности.

§1 главы 2 посвящен факторизации аналитических в круге функций с мажорантой конечного порядка.

Пусть Ш> = е С: < 1| - единичный круг на комплексной плоскости С, Н (Ю>) - множество всех голоморфных в И функций с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах В. Пусть ф - монотонно возрастающая положительная функция на К+. В этом параграфе исследуется свойство факторизационного представления функций из класса

13 Nevanlinna R. Uber die Eigenschaften meiomorpher Functionen in einen Winkelraum / R. Nevanlinna

//Acta Sol. Sei. Fenn. - 1925. - V.50, №12. -P.l-45.

x;{®) = \f&H{n>y.\n\f(z)\<cr(p

' i л

v*— Fly

, ze.

Как и ранее, пусть <р е С^ (К +) и существует предел (2). Обозначим

через £2 класс монотонно возрастающих функций ф из класса С®(К+), для которых справедливо представление

<p(*) = J

JCP -ю

'О

W

хе.

где 0) - функция типа модуля непрерывности из класса Зигмунда.

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение.

Теорема 2.1. Пусть (peQ, при этом av > 1. Тогда следующие утверждения равносильны:

2) f допускает представление в виде:

\ V (е'° )

f(z) = zx-na(z,zk)-exр J--ZE®,

где А. е Z+, а > а^ -1, {z„}n=l - произвольная последовательность точек из единичного круга ©, удовлетворяющая условию

кв N, -24"1 < / ^ 2*-1,

где

- произведение М.М. Джрбашяна с нулями { zk

KAz>zk)=T[

V

•exp

, (1-Р2Г-1П

ре"

■pdpd9 >

* ¿Л

которое сходится равномерно в единичном круге 0 м и/ш а > ар +1 удовлетворяет оценке

чЧ*1

, ге\

функция (V9 ^ имеет непрерывную производную до порядка п = [а] — [а(р ] включительно, при этом справедлива оценка

|¥М (е'^)! < С-ю(И), 6, г е (-71571]

Отаетим, что в работах10'16 Ф.А. Шамояном получено другое представление.

В §2 главы 2 мы исследуем свойства корневых множеств классов голоморфных в круге функций с заданной мажорантой вблизи единичной окружности. Если 1 < <Х9 < +оо, то характеризация корневых множеств получена в работе16. Как установлено в этой работе, применяемый метод при \<а(р< +со не проходит в случае <1. Здесь мы предполагаем, что

ос9 — 1 и получено необходимое условие на корневые множества, которое

близко к достаточному условию.

В §3 главы 2 получены несколько приложений факторизационных представлений для оценок в среднем производной функции через значения самой функции.

Пусть Нр- класс Харди в ©, причём 0< р <+со . Применяя фактори-

защгонные представления класса Нр, мы устанавливаем следующее утверждение:

Теорема 2.8. Пусть /еЯ(В) иО</><#<+оо. Тогда если

Мр(г,/)<С-<р(г)

/ \ ф(г)

и при этом 0 < а9 < +<» , то Мц (г,/) < С--^ТТ' 0 < Р - 9 < +сс-

&-ГУ1

Если же а = +оо , то

Мч {г,/)<С-[<р(г)]+яЛг

16 Шамоян Ф.А. Факгоризационная теорема М. М. Джрбашяна и характеризация нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста/ Ф.А. Шамоян // Известия АН Арм. ССР. Математика. - 1978. - Т. 13, №5. - С. 405-422.

В диссертации получена точность теоремы 2.8. В частном случае, когда <р(г) = —-—j, [} > 0 указанное утверждение установлено в работе17.

(1 -г)

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ф.А. Шамояну за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Быков C.B. Характеризация корневых множеств и факторизацион-ное представление весовых классов аналитических в полуплоскости функций [Текст] / C.B. Быков, О.В. Охлупина // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной конференции / Смоленский гос. университет. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2006. - Вып. 7. - С. 119-120. (Быкову C.B. принадлежит характеризация корневых множеств весовых классов аналитических в полуплоскости функций, а построение факторизационного представления принадлежит Охлупиной О.В.)

[2] Быков C.B. Характеризация корневых множеств и факторизацион-ное представление весовых классов аналитических в полуплоскости функций [Текст] / C.B. Быков // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. - Брянск: Изд-во БГУ, 2005. - № 4,- С. 159166.

[3] Быков C.B. О нулях аналитических в полуплоскости функций с заданным ростом на бесконечности [Текст] / C.B. Быков И Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы / Воронежский гос. университет [и др.]. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2006. - С. 31-32.

[4] Быков C.B. О нулях аналитических в полуплоскости функций, имеющих заданную мажоранту бесконечного порядка [Текст] / C.B. Быков // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. - Брянск: Изд-во БГУ, 2006. - № 4. - С. 106-110.

[5] Быков C.B. О нулях аналитических в полуплоскости функций с заданной мажорантой в бесконечности [Текст] / C.B. Быков // Современные

17 Hardy G.H. Some properties of fractional II integrals / G. H. Hardy, I. E. Littlewood // Math. Zeitschrift. - 1928. - V. 28. - P. 612 - 634.

методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения -XIX» / Воронежский гос. университет [и др.]. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2008. - С. 61-62.

[6] Быков C.B. О нулях аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка [Текст] / C.B. Быков // Вестник Томского государственного университета: Математика и механика. / Томский гос. университет [и др.]. - Томск: Изд-во Томского университета. - 2008. - С. 72-73.

[7] Быков C.B. О параметрическом представлении классов голоморфных в круге функций с мажорантой конечного порядка [Текст] / C.B. Быков,

Ф.А. Шамоян // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. - Брянск: Изд-во БГУ. - 2008. - Вып.4. -С. 19-27. (Шамояну Ф.А. принадлежит постановка задачи, основные результаты принадлежат Быкову C.B.)

[8] Быков C.B. О нулях целых функций с мажорантой бесконечного порядка [Текст] / C.B. Быков, Ф.А. Шамоян // Алгебра и Анализ / Санкт-Петербургское отделение Института математики РАН. - СПб: - Наука. -2009. - Т. 21:6 - С. 66-79. (Шамояну Ф.А. принадлежит постановка задачи, основные результаты принадлежат Быкову C.B.)

[9] Быков C.B. Об одном свойстве корней целых функций с мажорантой бесконечного порядка [Текст] / C.B. Быков // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования / Воронежский гос. университет [и др.]. - Воронеж: Изд-во ВГУ. -2009. - С. 166-167.

[10] Быков C.B. Об условии Бляшке в полуплоскости [Текст] / C.B. Быков // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. - Брянск: Изд-во БГУ. - 2009. - Вып.4. - С. 17-27.

[11] Быков C.B. О корневых множеств весовых классов целых функций [Текст] / C.B. Быков, Ф.А. Шамоян // Современные проблемы теории функций и их приложения. / Саратовский гос. университет [и др.]. - Саратов: Изд-во Саратовского гос. университета. - 2010. - С. 42-43. (Шамояну Ф.А. принадлежит постановка задачи, основные результаты принадлежат Быкову C.B.)

Подписано в печать 14 мая 2010г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем 1 п. л. Заказ № 169. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готовых диапозитивов в типографии ООО «Полиграм-Плюс», 241050, Брянск, пр. Ленина,67

Введение.

Глава 1. Исследование свойств корневых множеств классов целых и голоморфных в полуплоскости функций.

§ 1.1. О нулях целых функций с мажорантой бесконечного порядка.

§1.2. Описание корневых множеств функций из класса Н(А,,+оо) и построение их факторизационного представления.

§ 1.3. О вещественных нулях аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка.

§1.4. Об условии Бляшке в полуплоскости.

§1.5. Об одной теореме Н. В. Говорова.

§1.6. О росте бесконечного произведения типа Вейерштрасса в полуплоскости.

Глава 2. Факторизационное представление и оценки в среднем классов голоморфных в круге функций, допускающих рост вблизи граничной окружности.

§2.1. О факторизации аналитических в круге функций с мажорантой конечного порядка.

§2.2. О нулях аналитических в круге функций с мажорантой первого порядка.

§2.3. Факторизационные представления и Lp- оценки производных аналитических функций.

Актуальность темы. Хорошо известно, что исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений различных классов аналитических функций играют важнейшую роль в общей теории функций комплексного переменного и её приложениях. Исследование этих вопросов привлекало внимание классиков комплексного анализа ещё в начале прошлого столетия. В этой связи отметим классические работы К. Вейерштрасса, Ж. Адамара, Ф. Бореля, Е. Линделёфа, О. Пикара и др. о нулях целых функций, имеющих заданный рост вблизи бесконечно удалённой точки, а также работы Р. Неванлинна и В.Н. Смирнова о внешне-внутренней факторизации классов Харди и классов функций ограниченного вида в единичном круге. Эти вопросы остаются в центре внимания современных авторов, для этого достаточно отметить работы Б.И. Левина ([26]), М.М. Джрбашяна ([20]—[23]), Н.В. Говорова ([14]- [15]), Б.А. Тейлора ([51]), Л.А. Рубеля ([50]- [51]), А.А. Гольдберга ([19]), И.В. Островского([19]), A.M. Седлецкого ([28]), Ф.А. Шамояна ([34]- [35]), Н.А. Широкого ([55]), Б.И. Коренблюма ([46]), К. Сейпа ([52]), Б.Н. Хабибуллина ([30]) и других математиков, посвящённые исследованиям свойств корневых множеств и построению факторизационных представлений ряда важнейших классов голоморфных функций.

Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы, для этого введём необходимые обозначения и определения.

Пусть С— комплексная плоскость, Я (С)— множество всех целых функций, Л— монотонно возрастающая, положительная функция на R+. Введём в рассмотрение классы функций

Н (Л, +оо) = |/ е Я (С): In |/(z)| <Cf-Л (|z|), zeC} (0.1) и H^,+cc) = {fGH(£)-.\n\f(z)\<Af^{Bf-\z\), zeC). (0.2) где Af,Bf,Cf - здесь и в дальнейшем будут обозначать произвольные постоянные, зависящие только от функции /. Пусть Л е (М+) и существует предел Л'(х)-х ал ^^ , тогда назовём его степенным порядком функции Л. Нетрудно заметить, что если ах < +оо 5 то рассматриваемые классы функций Н (Л, +оо) и

Н(Л,+ оо) совпадают, а если = хр, х е М+, то они совпадают с классом целых функций конечного порядка р и нормального типа. Однако при ах = +оо это уже не так, например, в случаях когда

Л(0 = ехрехр. ехр(tp), /eR+, peR+ или Я(0 = ехр(Ы)р, р> 1. и

Если = р е М+, то класс Н(Л,+ со) обозначим через Н(р,+со).

В дальнейшем будем считать, что если / е#(С), то Z/ будет обозначать мноdef жество всех нулей функции /, то есть Zf =

Хорошо известно следующее свойство корней функции из класса

Н(р,+ оо): последовательность можно представить в виде Z = Zf, р <£ N, р > 0 тогда и только тогда, когда n(r) = [card zk : \zk \ < г} < Cf • rp . (0.3)

Но при р е N наряду с условием (0.3) возникает еще условие Е. Линделёфа (см. [19], [26]): существует М> 0, такое что

Z4

7Р zk

М, re

Используя последнее условие, нетрудно построить последовательность {z*}ITi> пРичём Zf={zkYZ1» /еЯ(А-ко), ре N, такую, что для любой функции geH(p,+ со) из условия Zg=Zf , где Zf - , следует, что g(z) = 0, ze С, то есть множество Zf не представимо в виде Zg ни при каких g s H(p,+ oo) , peN, 0 . Примером такой последовательности может быть

I ikx 1 последовательность i к е р Г к=1

Иными словами, для представления последовательности (zkJ'^l=Z = Z важен не только рост функции п(г), но и расположение [zk}+k2{ по аргументам.

Определение. Скажем, что некоторое множество X целых функций удовлетворяет условию Линделёфа, если существует функция / е X, f Ф О,

Zf~{zkXZ\> такая> что из условия geX, Zg-Zf, где Z/={|zjtследует, что g(z) - 0 при всех z е С.

Из вышеизложенного следует, что класс Н(р,+ оо) при peN удовлетворяет условию Линделёфа, а при р £ N не удовлетворяет ему. Естественно, возникает вопрос, а что происходит при остальных Л, например, при Я(0 = ехр(//>), t еК+, или МО = ехрехр.ехр(/р), t <=Ш+, реЖ+ ИЛи п

Л(t) = exp(lnt)p, teR+, р> 1?

Исследованию свойств корневых множеств функций из класса Я(А,+оо) посвящено множество работ. В работах JI.A. Рубеля и Б.А. Тейлора (см. [50]— [51]), применяя методы теории рядов Фурье, получено описание корневых множеств функций класса Н (Л, +оо). Приведём этот результат. с ■\ +00

Пусть Z = javjv=1— последовательность, отличных от нуля комплексных чисел, av-> со при v —» +оо, Л - функция вышеуказанного типа. Для чисел k g N и г > 0 определим функцию если гх > г2, то к

S(r„r2,k,Z) = S(r„k,Z)-S(r2,k,Z). f / t-f \

Положим также n(r,Z) = {card ak : \ak\ < г} и N(r,Z) = J--—dt. о *

Основной результат в вышеуказанных работах JI.A. Рубеля и Б.А. Тейлора формулируется следующим образом: для того чтобы последовательность акУк=\ можно было представить в виде Zf, / а>), / ф О, необходимо и достаточно, чтобы существовали положительные числа А, В и С, такие, что при всех гх и г2 выполнялись оценки ч Л(ВгЛ Л (Вг2)

S(r„r2,k,Z)<A rk +А \k > rx>r2, k = 1,2,. и N{r,Z)<C-X(Br), reR+.

Исследования корневых множеств классов аналитических в круге функций, имеющих конечный порядок роста вблизи единичной окружности было начато в работах В.В. Голубева (см. [16]-[17]). Эти результаты почти через десять лет были переоткрыты немецким математиком Ф. Беурманом (см. [37]).

В работах Н.В. Говорова получена полная характеризация корневых множеств и построено факторизационное представление классов аналитических в полуплоскости функций конечного порядка р . В последние десятилетия довольно интенсивно развивалось исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений классов аналитических в круге функций, принадлежащих классам С. Бергмана или имеющих степенной рост при приближении к единичной окружности. Эти результаты подытожены в монографиях [40] и [46].

В работах А.И. Хейфица (см. [33]) и И.О. Хачатряна (см. [31]) было найдено каноническое представление классов аналитических в полуплоскости функций типа Н (Л., +со).

М.М. Джрбашяном (см. [20]—[23]) были построены формулы типа формул Пуассона-Иенсена, на этой основе исследовались корневые свойства и факторизационные представления функций, мероморфных в круге, имеющих заданную Та - характеристику.

В работах Ф.А. Шамояна (см. [34]-[35]) получено полное описание корневых множеств и построено факторизационное представление классов аналитических в круге функций с заданной мажорантой вблизи единичной окружности при условии, что степенной порядок роста мажоранты строго больше единицы.

Классы субгармонических в полуплоскости функций с заданной мажорантой в окрестности бесконечно удалённой точки рассмотрены А. Гришиным и Т. Малютиной (см. [42]). Цель работы.

1) Изучить свойства корневых множеств целых функций с мажорантой бесконечного порядка.

2) Получить полное описание корневых множеств весовых классов целых функций и построить их факторизационное представление при условии, что вес имеет бесконечный степенной порядок.

3) Охарактеризовать корневые множества классов голоморфных в полуплоскости функций с мажорантой конечного порядка.

4) Оценить в среднем производную голоморфной в круге функции посредством средних самой функции.

Общая методика исследования. В диссертационной работе используются общие методы линейного и комплексного анализа, а также более специальные методы геометрической теории функций комплексного переменного. В диссертации важную роль сыграли теоремы типа теоремы JI.B. Альфорса и С.Е. Варшавского об оценках конформно отображающих функций криволинейных полос на стандартные области.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты: 1) Установлено, что корневые множества класса целых функций с мажорантой бесконечного порядка удовлетворяют условию Е. Линделёфа.

2) В терминах лишь одной считающей функции получено полное описание корневых множеств и построено факторизационное представление весовых классов целых функций, когда вес имеет бесконечный степенной порядок.

3) Введена серия новых бесконечных произведений, посредством которых охарактеризованы корневые множества классов аналитических в полуплоскости функций с мажорантой конечного порядка.

4) Построено новое факторизационное представление аналитических в круге функций с мажорантой конечного порядка вблизи граничной окружности.

5) Получены Lp - оценки производной аналитической в круге функций через Lp - средние самой функции.

Практическая и теоретическая значимость результатов диссертации.

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены в последующем к задачам аппроксимации рациональными функциями с фиксированными полюсами, изучения классов целых функций с мажорантой бесконечного порядка, а также при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.

Личный вклад соискателя. Все выносимые на защиту результаты получены автором самостоятельно при содействии научного руководителя.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты данной работы неоднократно докладывались автором на семинарах по комплексному и функциональному анализу при кафедре математического анализа и на апрельских научных конференциях преподавателей физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И. Г. Петровского в 2005 - 2010 гг., а также на Смоленской международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005 г.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2006 г., 2008 г.) и «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2009 г.), на Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008 г.), на Саратовской зимней математической школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2010 г.).

Публикации результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2]-[12]. Работа [9] входит в перечень ведущих рецензируемых научных журналов ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка используемой литературы в алфавитном порядке. Объем диссертации - 130 страниц. Библиография содержит 56 наименований.

1. Брудний Ю.А., Гопенгауз И.Е. Обобщение одной теоремы Харди - Литтлву-да / Ю.А. Брудний, И.Е. Гопенгауз // Математический сборник. - 1964.-Т. 52 (94), №3.-С. 234-238.

2. Быков С.В. О нулях аналитических в полуплоскости функций, имеющих заданную мажоранту бесконечного порядка / С.В. Быков // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. Брянск: Изд-во БГУ, 2006. - № 4. - С. 106-110.

3. Быков С.В. О нулях целых функций с мажорантой бесконечного порядка / С.В. Быков, Ф.А. Шамоян // Алгебра и Анализ / Санкт-Петербургское отделение Института математики РАН. СПб: — Наука. -2009.-Т. 21:6.-С. 66-79.

4. Быков С.В. Об условии Бляшке в полуплоскости / С.В. Быков // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. -Брянск: Изд-во БГУ. 2009. - Вып.4. - С. 17-27.

5. Быков С.В. О корневых множеств весовых классов целых функций / С.В. Быков, Ф.А. Шамоян // Современные проблемы теории функций и их приложения. / Саратовский гос. университет и др.. Саратов: Изд—во Саратовского гос. университета. — 2010. - С. 42-43.

6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции / Дж. Гарнетт М.: Мир.-1984.-469 с.

7. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом / Н.В. Говоров -М.: Наука 1986. - С. 29—41.

8. Говоров Н.В. Об индикаторе функций, аналитических и вполне регулярного роста в полуплоскости / Н.В.Говоров // Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков, секция 4 М.-1966. - С. 45-46.

9. Голубев В.В. Исследование по теории особых точек однозначных функций /B.В. Голубев // Учёные записки государственного Саратовского университета. 1924, Т. 1, вып. 3, т. 2, вып.1.

10. Голубев В.В. Однозначные аналитический функции. Автоморфные функции / В.В. Голубев М.: Физматлит.- 1961 - 455 с.

11. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин М.: Наука, 1966 - 628 с.

12. Гольдберг А.А. Распределение значений мероморфных функций / А.А. Гольдберг, И.В. Островский М.: Наука.- 1970. - 457 с.

13. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.М. Джрбашян М.: Наука. - 1966. - 671 с.

14. Джрбашян М.М. О представимости некоторых классов мероморфных функций в единичном круге / М.М. Джрбашян // Докл. АН Арм. ССР-1945. Т. 3, №1. С.3-9.

15. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН Арм. ССР. 1948. - Вып. 2. - С. 3-55.

16. Джрбашян М.М. Теория факторизации функций, мероморфных в круге / М.М. Джрбашян // Математический сборник. 1969. - 79(121): 4(8).C. 517-615.24.3игмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд- М.: Мир.-1965. Т.1. -616 с.

17. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции / М.А. Евграфов- М.: Физматлит.— 1962. 320 с.

18. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций / Б.Я. Левин М.: Гос-техиздат. —1956. — 632 с.

19. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций / А.И. Маркушевич -М.: Наука. 1968. - Т. 2. - 625 с.

20. Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации / A.M. Седлецкий М.: Физматлит. - 2005 - 504 с.

21. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И.М. Стейн М.: Мир, 1973.-354 с.

22. Хабибуллин Б.Н. Множества единственности в пространствах целых функций / Б.Н. Хабибуллин // Изв. РАН. Математика. 1991. - Т. 55, №5. -С. 1101-1113.

23. Хачатрян И.О. Представление мероморфных функций бесконечного порядка в полуплоскости / И.О. Хачатрян // Изв. АН Арм ССР. Серия физ.-мат. наук. 1965. - XVIII, 2. - С. 15-25.

24. Хейман У.К. Мероморфные функции / У.К. Хейман М.: Мир. - 1966. -447 с.

25. Хейфиц А.И. Представление аналитических в открытой полуплоскости функций бесконечного порядка / А.И. Хейфиц // Известия АН Арм. ССР. Математика. 1971. - №6. - С. 472-476.

26. Шамоян Ф.А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций / Ф.А. Шамоян // Сибирский математический журнал. -1999. Т. 40, №6. - С. 20-41.

27. Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и характериза-ция нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста / Ф.А. Шамоян // Известия АН Арм. ССР. Математика. 1978 - Т. 13, №5. -С.405-422.

28. Bagemihl F. Sur quelques proprietes frontiers des functions holomorphes definies par cartains produits dans le cercle unite / F. Bagemihl, P. Erdos, Seidel // Ann. Sci. Ecole Norm. - 1953.- S. (3) 70. - P. 135-147.

29. Beuermann F. Wachtumsordnung, Koezientenwachstum und Nullstellendichte bei Potenzreihen mit endlichem Konvergenzkreis / F. Beuermann // Math. Zeitschrift. 1931. Band 33. - S. 98-108.

30. De Branges L. Hilbert Spaces of Entire Functions / L. De Branges Prentice-Hall. - 1968. - 336 pp.

31. Clune J.On integral functions having prescribed asimitotic growth / J. Clune, T. Kovari // Canad. Jorn. ofMathem-1968-V. 20, №1. P. 7-20.

32. Djrbashian A.E. Topics in the theory of A§ spaces / A.E. Djrbashian, F.A. Shamoyan // Leipzig: Teubner-Texte zur Math. 1988. - V. 105. - 200 pp.

33. Duren P. Theory of Hp spaces / P. Duren. New York: Academic Press, 1970. — 292 c.

34. Hayman W.K. A critical growth rate for functions Regular in a disk / W. K. Hayman, B. Korenblum // Michigan Math. Journal. 1980. V. 27. -P. 21-29.

35. Hayman W.K. Real inequalities with applications to function theory / W. K. Hayman, F. M. Stewart Proc. Cambridge Phil. Soc. -1954. -P. 250-260.

36. Hedenmalm H. Theory of Bergman spaces / H. Hedenmalm, B. Korenblum and K. Zhu // New York: Springer, 2000. P. 277.

37. Momm S. Lower bounds for the modulus of analytic functions / S. Momm // Bull. London Math. Soc.- 1990. Vol. 22. - P. 239-244.

38. Rubel L.A. / L. A. Rubel // Lect. Notes in Math.-1973.-V. 336.-P. 51-62.

39. Rubel L.A A Fourier series method for meromorphic and entire functions/ L.A. Rubel, B.A. Taylor Bull. Math. France. - 1968. - V. 96. - P. 56-96.

40. Seip K. Interpolation and sampling in spaces of analytic functions / K. Seip // Amer. Math. Soc., Univ. lecture series. 2004. - V.33. - 132 pp.

41. Shapiro H.S. On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces / H.S. Shapiro, A. Shields. Math. Z. - V. 80 -1962. -P. 217-229.

42. Shamoyan F.A. Parametrical reprentations of some classes of holomorphic functions in the disk / F. A. Shamoyan, E. N. Shubabko // Operaror Theoiy. Advances and Application. V. 113. - 2000. - P. 331-338.

43. Shirokov N.A. Analytic functions smooth into the boundary / N.A. Shirokov — Lect. Notes in Math. Springe-Verlag. - 1988. -V. 1312. - P. 1-215.

44. Warshawski S.E. On conformal mapping of infinite strips / S.E. Warshawski — Trans. Amer. Math. Soc. -V. 51. 1942. - P. 280-335.