Асимптотические свойства производных ряда Дирихле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Львівський національний університет імені Івана Франка

ФЕДПНЯК СТЕПАН ІВАНОВИЧ

АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ПОХІДНИХ РЯДУ ДІРІХЛЕ

(01.01.01 - математичний аналіз)

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

УДК 517.53

Львів - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Шеремета Мирослав Миколайович, завідувач кафедри теорії функцій та теорії ймовірностей Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Кондратюк Андрій Андрійович,

завідувач кафедри математичного та функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка.

кандидат фізико-математичних наук, доцент Шаповаловський Олександр Володимирович, доцент кафедри математичного аналізу Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ комплексного аналізу і теорії потенціалу

Захист відбудеться “18 “ травня 2000р. о 15.20 год.

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:

79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розіслано “ “ К СА./?///І?2000р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Микитюк Я,В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія аналітичних функцій займає одне з основних місць в сучасній математиці. Не дивлячись на певну завершеність, в цій теорії, особливо, у певних класах аналітичних функцій, ряд задач залишаються нерозв'язаними, а при їх розв'язуванні виникають нові задачі.

Одним з важливих напрямків дослідження властивостей аналітичних функцій є вивчення поводження їх похідних. В 1957 р. Т.Коварі, уточнюючи один результат С.Н Бернштейна, отримав непокращувані оцінки максимума модуля похідної цілої функції скінченного порядку і нормального типу. В 1988 р. ММ.Шеремета узагальнив результат Т.Коварі на випадок цілих функцій довільного зростання.

Безпосереднім узагальненням степеневих розвинень аналітичних (в тому числі цілих) функцій є ряди Діріхле

со

У(ї)= і = ст + і7

и=0

з невід'ємними зростаючими до +°о показниками. Роль рядів Діріхле в математичному аналізі та суміжніх розділах математики добре відома, а у другій половині 20-го століття інтерес до них значно зріс, завдяки працям

О.Ф.Леонтьева, М.М.ІІІеремети, їх учнів та багатьох інших відомих математиків.

Природньо постає питання про можливість узагальнення згаданої вище, теореми М.М.ІІІеремети як для рядів Діріхле абсолютно збіжних в С (цілих), так і з скінченною абсцисою абсолютної збіжності, а з цим отримання аналогу теореми Т.Коварі для функцій, аналітичних в одиничному крузі.

Іншим важливим напрямком досліджень в теорії аналітичних функцій є теорія цілих функцій обмеженого індексу. Поняття цілої функції обмеженого індексу ввів Б.Лепсон в 1968 році. А.Д.Кузик і М.М.ІПеремета, узагальнюючи це поняття, ввели в 1985 році поняття цілої функції обмеженого / -індексу. Г.Фріке, С. Шах і В.СІсарчик в 1973 році вивчили зростання так званих цілих функцій обмеженого М -індексу і показали, що такими є функції експоненціального типу і тільки вони. Нарешті, Ш.Абуарабі і М.М.ІІІеремета в 1989 році узагальнили теорему Фріке-Шаха-Сісарчика на цілі функції обмеженого 1-М -індексу.

Актуальним стало отримання аналогу теореми теореми Ш.Абуарабі та М.М.Шереметн для рядів Діріхле з довільною абсцисою абсолютної збіжності і, отже, ввести означення обмеженості 1-М -індексу ряду Діріхле.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, обраний в дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського державного університету імені Івана Франка.

Матеріал другого і третього розділу є складовою частиною досліджень держбюджетної теми Мт-202Б "Цілі функції, ряди Діріхле та їх застосування".

Матеріал четвертого розділу є складовою частиною досліджень держбюджетної теми Мг-380Б "Аналітичні функції та ряди Діріхле".

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є:

- отримати узагальнення теореми М.М.Шеремети на ряди Діріхле з довільною абсцисою абсолютної збіжності, показати їх точність; зокрема, отримати аналог теореми Коварі для функцій аналітичних в одиничному крузі;

- для функцій, зображених абсолютно збіжними рядами Діріхле, ввести поняття обмеженості лінійного 1-М-індексу і вивчити можливе зростання таких функцій.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими. У роботі вперше:

- отримано узагальнення теореми М.М.Шеремети на ряди Діріхле з довільною абсцисою абсолютної збіжності, показано точність отриманих оцінок; зокрема, отримано аналог теореми Коварі для функцій, аналітичних в одиничному крузі; виведено формулу для знаходження К -тішу абсолютно збіжного у півплощині ряду Діріхле;

- для функцій, зображених абсолютно збіжними рядами Діріхле, введено поняття обмеженості лінійного 1-М -індексу і вказано необхідну та достатню умову для того, щоб функція мала обмежений лінійний 1-М-індекс.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер і є певним внеском в теорію рядів Діріхле. Вони можуть бути використані як у теорії рядів Діріхле, так і в загальній теорії аналітичних функцій та інших розділах сучасної математики.

Особистий внесок здобувача. В опублікованих спільно з М.М.Шереметою статтях [2,4,5] співавтору належать постановки задач, а в [2] -ідеї побудови прикладів, що вказують на точність оцінок, та теорема 1 (у дисертації - теорема 2.2 - наводиться з дозволу М.М. Шеремети). Результати із праці [6], які належать автору дисертації, опубліковані в дещо загальнішому вигляді в [2]. Нарешті, в опублікованій спільно з Я.В.Микитюком і М.М.Шереметою статті [3], М.М. Шереметі належить постановка задачі, а Я.В.Микитюку доведення деяких лем (в дисертацію ці леми 4.3 і 4.4 включені з дозволу Я.В.Микитюка). Всі інші викладені у роботі результати отримані автором дисертації самостійно.

Апробація результатів дисертації. Всі основні результати дисертації з повним доведенням доповідались та обговорювались на Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівники: проф. А.АГольдберг, проф. А.А.Кондратюк, проф. О.Б.Скасків), а також на Міжнародному Конгресі Математиків ІСМ'98 (Берлін, 18—27 серпня 1998 року), Міжнародній конференції "Проблеми механіки і математики" (Чернівці, 23—27 червня 1998 року), Міжнародній конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" присвяченій 70-річчю Я.С.Підстригача (Львів, 20—22 травня 1998 року), Міжнародній науковій конференції присвяченій 100 річчю Ю. Шаудера "Nonlinear partial differential equations" (Львів, 23—29 серпня 1999 року), Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (кер. проф. М.М.Шеремета).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 7 роботах (2 без співавторів), з яких 5 журнальні статті (1 без співавтора) у виданнях із

з

переліків, затверджених ВАК України, в яких слід опублікувати матеріали дисертацій, в 1 препринті (у співавторстві), та 1 (без співавторів) у матеріалах міжнародної наукової математичної конференції.

Структура і об’єм роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 128 сторінок. Список використаних джерел займає 3 сторінки і включає 29 найменувань.

ОСНОВНПИ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, та загальна характеристика дисертації.

У першому розділі наведені результати Т.Коварі та М.М.Шеремети про похідну цілої функції, оцінки максимума модуля через максимальний член цілої функції отримані, П.Локгартом і Е.Страусом, а також огляд праць, що стосуються обмеженост індексу цілої функції. Крім того у першому розділі формулюються основні результати дисертації.

Для аналітичної в крузі 0< А’< +со, функції

f(z)~ С1)

покладемо

Mf(r) = max{\f(z)\:\i = r}-, 0<r<R,

а через Q(A), -oo<A<+ao, позначимо клас додатних необмежених на (-оо,Л) функцій Ф таких, що похідна Ф' неперервна, додатна і зростаюча до + со на (-со, А). Нехай Ч,(х)=х- -функція, асоційованаз Ф за Ньютоном,а Ч*-1

- обернена до Ч*.

В 1957 році Т. Коварі показав, що якщо ціла функція / має порядок рє(0,+х>) і тип Т є (0,+00,), то

TprP

причому оцінки точні.

В 1988 році М.М. Шеремета узагальнив цей результат на випадок цілих функцій довільного зростання. Він показав, що якщо ФєП(+со), / - ціла трансцендентна функція і

-—ІпМг(г)

Іт~Ф(ШїГ= '

ТО

Безпосереднім узагальненням степеневого ряду (1) є ряд Діріхле

00

Р(з) = а0 + + и.

(2)

де 0 = -?о <Х„ 1" +со(п-^-кх>). Нехай оа = А е(-оо,+ао] - абсциса абсолютної збіжності ряду (2). У випадку, коли аа = +оо, тобто, коли ряд (2) абсолютно збіжний в С, він називається цілим рядом Діріхле.

Для а<А позначимо

- максимальний член ряду (2).

Для того, щоб перенести результат М.М.Шеремети на ряди Діріхле з довільною абсцисою абсолютної збіжності та показати непокращуваність отриманих оцінок, потрібні деякі співвідношення між зростанням максимума модуля ряду Діріхле та поводженням його коефіцієнтів. Для отримання таких співвідношень спочатку, переважно, вивчається залежність між зростанням максимального члена та поводженням коефіцієнтів (на таку залежність вказує загальна теорема М.М. Шеремета, в дисертації теорема 2.2), а потім подаються оцінки максимума модуля через максимальний член.

В 1985 році П.Локгарт і Е.Страус довели, що для всіх г>є> 0 справедлива нерівність

М(а) = М(ст, Г) = іир{\ Ь (о + ІІ) І: І є 9?;

- максимум модуля, а

і4<у) = ц(а, Р) = тах{\ ап І :пї.О}

Позначимо

тобто п(і) - лічильна функція послідовності (Ац) показників ряду (2).

У другому розділі дисертації вивчаються зв'язки між зростанням функції зображеної рядом Діріхле та поводженням його коефіцієнтів. Однією з найважливіших теорем у цьому розділі є наступний аналог теореми Локгарта -Страуса.

Теорема 2.3. Нехай -оо</1<+со /' 0<є < А-<т,а <А. Тоді, якщо

lnn(l)<qlnt (І>10) тодлявсіх а<А справедлива нерівність

ШЦІ < {iVLi л£±і> + к] + К2є'+ч,

p(cr,F) \eJ ^ ц(а + у2) )

де додатні сталі Кх і К2 не залежать від aie.

Звичайно, накладаючи різні умови на швидкість зростання лічильної функції, можна уточнювати описані вище оцінки. Наприклад, справедлива

Теорема 2.5. Нехай ряд Діріхле має абсцису абсолютної збіжносі А = 0, lnn(t)<qla (¡>1^), qe(0,+<x>), а є(0,\).

Тоді для всіх справджується нерівність

де додатні етапі К\ і К2 не залежать від q і а.

Для абсолютно збіжного в півплощині Ке$■<()) ряду Діріхле, крім

введенного А.М. Гайсіним ¡І-порядку

р=Шіа'*ШпК4(а'р)<

сг-> 0

введемо Я-тип

Тд = 71т Є^1пМ(а-р)

СГ->0

Гайсін А.М. показав (Гайсин А.М. Оценки роста функции, представленной рядом Дирихле, в получиоскости. //Матем. сб. - 1982.-Т.117, №3.-С.412-424.), що якщо

+ К.

1-а

---- Inlnn

Використовуючи теорему 2.5, в дисертації вперше доведена формула для знаходження К - типу .

Теорема 2.6. Нехай ряд Діріхле (2) має. абсцису абсолютної збіжності А = 0 і Іпп(і)<діа (і > ¡о), де д є(0,-но) і а є(0,1,). Тоді

т н=ряе'1>

Третій розділ є основним в дисертації і присвячений оцінкам величини .^сг, Р) = М(а, Р')ІМ(а, Р).

Основними в цьому розділі є такі теореми.

Теорема 3.1. Нехай -оо</1<+оо, ф єО/А), ряд (2) має абсцису абсолютної збіжності А і

<г->А

Тоді

-^ІпЩа.Р) _ , /31

Ііт~ф(а~~

ІЩ Ф’(о) ~ ■

а-* А

Теорема 3.2. Нехай а - неперервна додатна зростаюча до + оо на [$,+<&)

функція така, що а(/)~ <>(!), г -> -ко. Припустимо, що ¡пп(і) і По, а ряд

(2) має абсцису абсолютної збіжності А є (-оо,-юо].

Нехай, нарешті, Ф єО{Л) і

а(Ф'$» < Ф(а) + (А~ а)Ф'(а)' °о*о<Л- (*)

Тоді, якщо виконується умова (3), то

de ß(o) =--------------.

a(<VC¥-l(o)))

Зауваження 3.1. Якщо n(t)<pt4 (t>t^, то з теореми 3.2 випливає, що нерівність (5) виконується з

_ 2д1гіФ'С¥~](0))+Іпр ФГІ'-Уа)) '

Але в цьому випадку можна взяти

і умову (4) замінити умовою

ІпФ'(а)<~(Ф(<у) + (А-а)Ф'(а)), ст^<гг< А .

Зауваження 3.2. При А<+<х> умова (4) рівносильна умові a + ß(cr)<A, що природно, оскільки функція Т-1 визначенна на (~°с,Л). Якщо ж А = +оо, праву частину (4) потрібно вважати рівною +°о, так що у випадку цілих рядів Діріхле умова (4) зайва.

Більше того, із виконання умови

!nn(t) = o(t), /->+оо,

випливає співвідношення

S{a,F)<(\+o(\)}S>'C¥-\a+c(\))), ст->+оо.

Використовуючи ту чи іншу шкалу зростання цілих і аналітичних в півплощині функцій, заданих рядами Діріхле з невід'ємними зростаючими до нескінченності показниками, з теорем 3.1 і 3.2 можна одержати відповідні наслідки. В підрозділі 3.3 ми зупиняємось тільки на класичних характеристиках зростання.

Для опису зростання цілого ряду Діріхле переважно використовують R-порядок рі( і R-тип Тд, які визначаються рівностями

-— lnlnM(<j,F)

Р,с lim---------„-----*

(Т—>+00

ГТ’ _ ~ ІпМ(о,І'')

їй“ Ііт арв ■

<т->+оо Є

Справедливе наступне узагальнення теореми Т. Коварі.

Наслідок 3.1. Якщо цілий ряд Діріхле (2) мас Я-порядок п є(0,-ко), Я-тип

• П

є("0,+оо,) і Іпп(і) = о(і),1^>+х>, то

°™Т*РКЄР*

Для рядів Діріхле з нульвою абсцисою абсолютної збіжності справедливий такий

Наслідок 3.4. Якщо ряд Діріхле (2) має абсцису абсолютної збіжності А = 0, Н-порядок е(0,+аа), ¡(-тип є(О.-но) і

><&)

Для аналітичної в крузі {г:\4<1} функції / величини ---------------------------------ІпІпМ^(г)

р~1іт -іп(і-г) ’

г—>\

Т = -1-(У-гГІпМ}(г)

1

називаються відповідно порядком і типом. Наведемо тепер аналог теореми Т.Коварі для аналітиних в крузі функцій.

Наслідок 3.5. Якщо аналітична в одиничному крузі функція / мас порядок рє(0,+<х>) і тип Т 6(0,+оо,), то

г->1

В підрозділі 3.4 показано, що отримані оцінки точні. Крім того, доведено наступну загальну теорему.

Теорема 3.3. Нехай - т< А <+ю, функція Ф сО(А) двічі диференційовна і обернена до Ф' функція ф задовольняє умову Iіф'(і^1“ -юо (70<г-> аа).

Тоді існує ряд Діріхле (2) з абсцисю абсолютної збіжності А і такий, що

Іпа„=-(\ + о(\))Х„х¥( ф(Л„)),п-*-ко

пт ФГ¥-'(а))

В підрозділі 3.5 дисертації досліджується зв'язок між зростанням похідної ряду Діріхле і поводженням його коефіцієнтів.

Припустимо, що Р - невід'ємна, неперервна і зростаюча до нескінченності на /Д-к»; функція, В - функція, обернена до /?, (у„) - додатна послідовність, а (а„) - комплексна послідовність така, що

! ■ап\2 Уп ехр{~КД^,)},п>п0. (6)

Через Ц позначимо клас неперервно диференційованих, невід'ємних, зростаючих до +<х> на [0,-ко) функцій р таких, що х2/3'(х)> 1 для всіх х>х0, а через Л - клас невід'ємних зростаючих до +оо послідовностей Я-(Л„). Справедлива така

Теорема 3.4. Нехай (у„) - додатна послідовність, р єЦ.ЯєА, а (ап) -комплексна послідовність така, що виконується (6). Тоді для того щоб ряд (2) був цілим і для нього виконувалось співвідношення

Я/а,Р)<(\ + о(1))В(с), <х -> +оо,

необхідно і досить, щоб

(V

п=1

Перейдемо до рядів Діріхле, збіжних в деякій півплощині. Можемо, не зменшуючи загальності, вважати, що такою півплощиною є {я: Ке .•><()}. Через ¿2 позначимо клас додатних неперервно диференційовних зростаючих до +со на [0,+аз) функцій р таких, що х2р’(х)/р2(х)> 1 для всіх х> х0. Аналогом теореми 3.4 є така

Теорема 3.5. Нехай (у„) - додатна послідовність, рєІ^.ЛєА, а (ап) така, що

Iй,,!á Yn exp{ *ПІР( Л, Д « ^ ”0>

Тоді для того u¡o6 абсциса абсолютної збіжності ряду (2) була невід'ємною і для нього справджувалося співвідношення

Sx(a,F)<(\ + o(\))l{^, СГ-+-0,

необхідно і досить, щоб виконуємось умова (7).

В четвертому розділі дисертації вводиться поняття і вивчаються властивості рядів Діріхле обмеженого лінійного 1-М -індексу.

Нехай А е(-оо,-и»], ф еП(А). Покладемо

4» = ІІШфЩ^а)) ■ (8)

сг-М

Якщо Аф < +°о, то будемо говорити, що функція Ф має правильно змінну відносно Ч' похідну, а Аф назвемо коефіцієнтом правильності зміни функції.

Нехай тепер а - неперервна додатна зростаюча до + со на [0,+оо) функція така, що a(l) = o(t),t -> +оо. Через Л ), Ае(-оо.+ооу, позначимо клас неперервних додатних зростаючих до +оо на (-оо,А), функцій g таких, що

2

СУ Н--z-у—тт < А ,

a(ag(cr,/)

и~*А '

для довільного a e(0,+ccj. Величину

Т —InM(a.F)

1®-Цт ф(а)

СГ-+Л

назвемо Ф-типом ряду Діріхле (2).

В підрозділі 4.3 досліджуються функції, що мають скінченний Ф-тип.

Теорема 4.2. Нехай а - неперервна додатна зростаюча до + со на [0,+сс) функція така, що a(t) = o(l), t -»-юо. Нехай A є(-оо,+<х>7, Ф еП(А), Ф' єя(А) іФ має правильно змінну відносно функції Ч' похідну.

Припустимо, нарешті, що ряд Діріхле (2) має абсцису абсолютної збіжності А і Ф-тип Тф <+оо, a lnn(t)<-^jj при t>íü.

Тоді для будь-якого ег0 є (-оо, А) існує ще Z+ таке, що для всіх п>п0 і всіх а є [а0, А) виконується нерівність

В підрозділі 4.4 вводиться поняття функції обмеженого лінійного 1-М -індексу.

Нехай А б (-ао,+со] і / - додатна неперервна на (-со,А) функція така, що для кожного ст є (-оо, А)

Функція ^ називається функцією обмеженого лінійного І - М -індексу, якщо існує N таке, що для всіх п є Т., \ а є ('-оо, А)

Найменше з таких чисел N будемо називати лінійним 1-М -індексом функції Р.

Для а є Е покладемо а" = 0, якщо а > 0, і а" = 0, якщо а < 0 .

Теорема 4.3. Нехай І - додатна неперервна на (-со, А) і неперервно диференційовна на [<г0,А) функція, що задовольняє умови (9) і

Тоді, якщо ряд Діріхче має абсцису абсолютної збіжності А і зображає функцію обмеженого лінійного 1-М-індексу N. то

де Ца) = 11(1 )Л.

Оо

Використовуючи теореми 4.2 і 4,3, отримано одну з основних в цьому розділі, теорему.

Теорема 4.4. Нехай - оо < А < +оо, функції а і Ф єП/'А) такі, як в теоремі 4.2, і Ф" - неперервна на (-<х>,А), а ряд Діріхче (2) має абсцису абсолютної

збіжності А і його показники задовольняють умову Іпп(і)< при і>і0.

Тоді для того, щоб функція Т7 мала скінченний Ф -тип, необхідно і досить, щоб вона була функцією обмеженого лінійного 1-М -індексу з

А

(9)

<т

¡(a) = тах{Ф'(a)}}.

В підрозділі 4.5 для вивчення поводження рядів Діріхле обмеженого лінійного /-А/-індексу використовуємо результати типу Вімана-Валірона, отримані Ш.І.Стреліцом (Стрелиц Ш.И. Асимптотические свойства аналитических решений дифференциальных уравнений - Вильнюс: Минтис. -1972. - 468 с.). Перевагою підходу Ш.І.Стреліца є те, що він не потребує жодних умов на показники. Розглядаються два випадки А = +оо і А = 0 (випадок

- оо < А < +00 зводиться до випадку /1 = 0).

Додатна вимірна на [l+ю) функція к називається RO-змінною, якщо

для довільного ч е(1,+х>) існує М = М(а) є fí-ню) таке, що - М, для

всіх Я є fia] і всіх х є[1.+оо).

Додатну неперервну на [0,+ж) функцію 1(<г) = к(еа) назвемо лінійно RO-змінною, тобто додатна неперервна на [0,-нс) функція І називається лінійно RO-змінною, якщо для довільного а є(0,+ж) існує М = М(а) є [1+х) таке, що

-Г7 < - < М для ВСІХ X є АО, a / і всіх <Т Є /О.+'Х) ,

М і ( (У)

Теорема 4.6. Нехай а - неперервна додатна зростаюча до + °о па [0,-но) функція така, що a(t) = o(t), í ->-ко, а показники цілого ряду Діріхле (2)

задовольняють умову lnn(í)<-^jj при t>l0.

Нехай додатна неперервна на (~со,+со) лінійно RO-змінна функція І зодовольняє умови

lim ~—

limi¡§j=h>°>

<Т—>+QO

ІІт l(a) = 8> 0.

Тоді цілий ряд Діріхле (2) має обмежений лінійний І - М -індекс якщо і тільки якщо T¿ <+<».

Функцію l(cr) = k(]/\a\) назвемо RO-змінною в точці 0, тобто додатна неперервна на [-10) функція / називається RO-змінною в точці 0, якщо для

довільного ає(0,1) існує М - М(а) є Д+х) таке, що ~ - М

для всіх Лє(0,а] і всіх а є [-1,0).

Теорема 4.8. Нехай а - неперервна додатна зростаюча до +оо на [0,+оо) функція така, що а(і) ~ о(і), і —> +со, а показники абсолютно збіжного у

півплощині {¡: Не .к < 0/ ряду Діріхле (2) задовольняють умови Іпп(і)< при

І > і() і виконується співвідношення

у.— і , М'(а,Р) ,

Ііт-гі"мШ=Р>'-

№

Нехай додатна неперервна ЯО-змінна в нулі функція І така, що

о

¡¡(І)СІІ <+со, СТ + 77^Т<°.

Ііт~—^ а <=-№)•

Ііт |о^»>> ' Піп і(о)=8>о.

СГ->-0 <Т-*-оО

Ряд Діріхле (2) має обмежений лінійний 1-М -індекс тоді і лише тоді, коли Тг <+СО.

висновки

Основним результатом дисертації є оцінка зростання максимума модуля похідної функції, заданої рядом Діріхле з невід'ємними зростаючими до +оо показниками і довільною абсцисою абсолютної збіжності аа е(-оо,+оо]. З доведеної в дисертації загальної теореми випливає ряд непокращуваних оцінок для тієї чи іншої шкали зростання. З цієї теореми, зокрема, отримано не тільки добре відомі результати Т.Коварі і М.М.Шеремети для цілих функцій, але і нові результати для функцій, аналітичних в одиничному крузі.

З метою доведення основного результату встановлено потрібний зв’язок між зростанням функції, заданої рядом Діріхле, і поводженням коефіцієнтів. На зв'язок між зростанням максимального члена та поводженням крефіцієнтів вказує наведена в дисертації теорема 2.2 (М.М.Шеремети). Для встановлення зв'язку між зростанням максимума модуля і максимального члена ряду Діріхле в дисертації доводиться аналог теореми Локгарта-Страуса. Використовуючи цей результат отримана також формула для знаходження Я-типу ряду Діріхле абсолютно збіжного в півплощині Не х <()} .

В роботі введено поняття ряду Діріхле обмеженого І - М -індексу і, використовуючи основний результат дисертації, в термінах зростання

максимума модуля доведено критерій обмеженості лінійного 1-М -індексу функції.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Фединяк С І. Про похідну ряду Діріхле // Математичні студії. - Вип.б. - С. 5358.

2. Шеремета М.Н., Федыняк С.И. О производной ряда Дирихле // Сиб. мат. журн,- 1998. - Т. 39, №1. - С. 206-223.

3. Mykytyuk Ya.V., Fedynyak S.I., Sheremeta M.M. Dirichlet series of bounded 1-М-index // Математичні студії, - 1999. - Т. 11.- №2. - С. 159-166.

4. Фединяк С.І., Шеремета М.М. Оцінки похідних ряду Діріхле // Вісник Львівського університету,- 1998. - Вип.49,- С.80-83.

5. Шеремета М.Н., Федыняк С.И. О производной ряда Дирихле // Математическое моделирование и комплексный анализ, - Вильнюс: Техника.

- 1996. - С. 76-79.

6. Шеремета М.М., Притула Я.Я., Фединяк С.І. Зростання рядів Діріхле // Препринт Центру мат. моделювання ШПММ НАН України. - 1995. - 32 с.

7. Фединяк С.І. Про похідні ряду Діріхле // Сучасні пробл. матем.: Матеріали Міжнар. наук. конф. Част. З.-Київ: ІМ НАН України.-1998.-С. 146-148.

Фединяк С.І. Асимптотичні властивості похідних ряду Діріхле. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. -Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2000.

У дисертаційній роботі досліджуються ряди Діріхле з невід’ємними показниками. Отримано узагальнення теореми М.М.Шеремети на ряди Діріхле з довільною абсцисою абсолютної збіжності, показано точність отриманих оцінок. Для функцій, зображених абсолютно збіжними рядами Діріхле, введено поняття обмеженості лінійного І-М-індексу і вказано необхідну та достатню умову для того, щоб функція мала обмежений лінійний 1-М -індекс.

Ключові слова: ряди Діріхле, абсциса збіжності, максимум модуля, максимальний член, R-порядок, аналітична функція, 1-М -індекс.

Fedynyak S.I. Asymptotic properties of derivatives of Dirichlet series.-Manuscript The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2000.

Dirichlet series with nonnegative exponents are investigated. The generalization of Sheremeta theorem is obtained for Dirichlet series with arbitrary abscissa of absolute convergence. The sharpness of the such estimates is proved.

For the functions represented by absolutely convergent Dirichlet series a concept of bounded linear 1-М -index is introduced. The necessary and sufficient condition for the function to be of bounded linear 1-М -index has been found.

Key words: Dirichlet series, abscissa of convergence, maximum modulus, maximal term, R-order, analytic function, l-M-index.

Федыняк С.И. Асимптотические свойства производных ряда Дирихле.

- Рукопись.

Дисертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Львовский национальный университет имени Ивана Франка, Львов, 2000.

Дисертация состоит из введения, четырех разделов, выводов и списка использованых источников. Объем дисертации 128 страниц. Список используемых источников включает 29 наименований.

Во введении дано обоснование актуальности темы, наводятся цель и залачи исследования, научная новизна, практическое значение и аппробация полученных результатов.

В первом разделе приведены результаты Т.Ковари та М.Н.Шереметы о производной целой функции, оценки максимума модуля через максимальный член целой функции полученых П.Локгартом и Е.Страусом, а также дан обзор работ, касающихся ограничености индекса целой функции. Кроме этого в первом разделе формулируются основные результаты дисертации.

Второй раздел имеет несколько вспомагательный характер. В нем получен аналог теоремы Локгарта-Страуса, а также формула для нахождения R-типа абсолютно сходящегося в полуплоскости ряда Дирихле.

Третий раздел является основным в дисертации. В нем получен аналог теоремы Шереметы не только для целых, но и для абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле, а также показана точность полученых результатов. В часности, здесь получены аналоги теоремы Ковари для функий аналитических в единичном круге. Указана связь между ростом производной ряда Дирихле и поведением его коэффициентов.

В четвертом разделе для функций, представленных абсолютно сходящимися рядами Дирихле, введено понятие ограничености линейного 1-М -индекса и указано необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция имела ограниченый линейный I- М-индекс.

Ключевые слова: ряды Дирихле, абсцисса сходимости, максимум модуля, максимальный член, R-порядок, аналетическая функция, / - М -индекс.