Асимптотические свойства регулярно сходящихся функциональных рядов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Львівський національний університет імені Івана Франка

Трусевич Оксана Мирославівна

УДК 517.53

АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ РЕГУЛЯРНО ЗБІЖНИХ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РЯДІВ

(01.01.01 — математичний аналіз)

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів — 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, доцент Скасків Олег Богданович, ■

професор кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних нате, доцент Винницький Богдан Васильович,

професор кафедри математичного аналізу Дрогобицького педагогічного університету,

кандидат фізико-математичних наук Філевич Петро Васильович, викладач Львівської академічної гімназії.

Провідна установа — Інститут математики НАН України, відділ комплексного аналізу і теорії потенціалу.

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському національному університеті ім. І.Франка за адресою:

79000, м. Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного університету ім. І.Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Захист відбудеться ”<£с2" 2000 р. о 15.20 год.

Автореферат розіслано ” р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

Я.В. Микиткж

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Серед великої кількості задач, що розглядаються у теорії аналітичних функцій, одне з основних місць займає задача опису їх асимптотичних властивостей. У цьому ряду знаходиться і задача опису асимптотичних властивостей функціональних рядів у їхній залежності від внутрішніх характеристик цих рядів (пов’язаних з коефіцієнтами, показниками і т.п.). У даний час досить повно вивчені властивості степеневих рядів і рядів Діріхле. Дослідження асимптотичних властивостей степеневих рядів в залежності від їх коефіцієнтів започатковані наприкінці 19 ст. Ж. Адамаром (який, зокрема, встановив формулу для обчислення порядку цілої функції за допомогою іі гейлорових коефіцієнтів), потім продовжувались багатьма математиками протягом всього XX ст. Цією задачею займались такі відомі математики, як Е. Борель, А. Віман, Ж. Валірон, Д. Пойа, П. Леві, У. Хейман, П. Ердеш, Т. Кеварі, И.В. Островський, А.А. Гольдберг, а узагальненнями отриманих результатів і перенесенням їх на ряди Діріхле (ряди експонент), В. Бернштейн, Л. Шварц, С. Мандельбройт, А.Ф. Леонтьев, М.М. Шеремета, та інші. При цьому виявляється, шо отримувані в даному напрямку результати, відіграють важливу роль у дослідженнях за проблемою зображення довільної аналітичної функції функціональними рядами (інтерполяційними рядами, рядами експонент, різними узагальненнями рядів експонент), а також за проблемами повноти, базисності і т.п. систем експонент та їх різних узагальнень. Серед розроблених методів досліджень важливе місце займає метод Вімана - Валірона, основна ідея якого полягає в тому, що джерелом асимптотичних оцінок служать максимальний член і центральний індекс степеневого ряду. Ця ідея виявилась дуже плідною також і у випадку рядів Діріхле. Відзначимо, що розвитку і застосуванням різних реалізацій ідеї А. Вімана і Ж. Валірона присвятили свої праці А. Макінтайр, У. Хейман, И.В. Островський, Т. Кеварі, П. Розенблум, П. Фентон, П. Леві, Р. Лондон, А. Шуміцкі, Ш.І. Стреліц, М.М. Шеремета та його учні, Сулейманов Н.М. При цьому П. Розенблум запропонував підхід, який грунтується на використанні нерівності Чебишова. Слід відзначити, що стосовно рядів Діріхле на протязі довгого часу вдавалось ефективно застосовувати лише модифікацію методу Вімана - Валірона, розроблену Т. Кеварі і У. Хейманом та адаптовану до потреб рядів Діріхле М.М. Шереметою. Однак, даний метод повністю не застосовний до рядів загальнішого вигляду ніж степеневі ряди і ряди Діріхле. Тому безперечно актуальною є задача отримання результатів типу Вімана - Валірона для функціональних рядів більш загального вигляду (наприклад, рядів Тейлора - Діріхле). Власне у третьому і четвертому розділах дисертації отримуються результати типу Вімана - Валірона для регулярно збіжних рядів за правильними у певному сенсі системами функцій. При цьому у четвертому розділі активно користуємось ідеєю П. Розенблума. Відмітимо, що Осколков В.А. встановлював для рядів за правильними системами функцій

формули подібні до формул Адамара для обчислення порядку зростання суми ряду через коефіцієнти. Формули такого вигляду можуть також бути отримані із співвідношень, що пов’язують максимальний член із сумою ряду. Тому, безумовно актуальною е задача про встановлення аналогів класичних співвідношень, що є відомими для степеневих рядів і рядів Діріхле, і яка розглядається у другому розділі дисертації.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Ця робота є складовою частиною досліджень за держбюджетними темами, які виконувались на кафедрі теорії функції і теорії ймовірностей у Львівському національному університеті: Мт - 202 Б "Цілі функції, ряди Діріхле та їх застосування”, Мт - 380 Б ’’Аналітичні функції та ряди Діріхле”, Мт - 379 Б ’’Властивості операторів, аналітичних і субгармонійних функцій, тополого-алгебраічних структур та їх застосування”.

Напрямок досліджень, обраний в дисертації, передбачений планами науковоі роботи Львівського національного університету імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження:

— знайти необхідні і достатні умови на показники функціональних рядів за правильними системами функцій, які забезпечують асимптотичні рівності без виняткових множин (аналоги класичноі теореми Бореля) між логарифмами суми та максимального члена ряду;

— знайти необхідні і достатні умови того, що поводження суми функціонального ряду за правильною системою функцій повністю визначається максимальним членом ряду;

— узагальнити результати типу Вімана - Валірона на клас функціональних рядів за правильними системами функцій.

Методи досліджень. Для розв’язування сформульованих вище задач застосовуються: метод П. Розенблума, який полягає у застосуванні нерівності Чебишова (або Маркова), до отримання оцінок зверху суми ряду через максимальний член; техніка максимального члена і центрального індексу; деякі прийоми з праць П. Фентона, М.М. Шеремети, О.Б. Скасківа.

Наукова новизна. В дисертації вперше застосовано методики типу Вімана -Валірона до функціональних рядів за правильними системами функцій. При цьому для таких рядів:

— встановлено аналоги теорем М.М. Шеремети, отриманих для рядів Діріхле, про умови справедливості асимптотичних співвідношень без виняткових множин між сумою ряду та максимальним членом;

з

— встановлено аналоги теореми Ердеша - Макінтайра - Фентона (отриманої для лакунарних рядів ) про ряди, поводження яких повністю визначається максимальним членом;

— встановлено аналоги класичних теорем типу Вімана - Валірона про співвідношення між сумою ряду та максимальним членом, справедливі зовні виняткових множин.

Наукова новизна одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер і є певним внеском в теорію цілих функцій. Результати дисертації можуть знайти застосування у наступних дослідженнях з теорії регулярно збіжних рядів, а також у її застосуваннях.

Особистий внесок здобувана. Викладені в роботі результати одержані автором самостійно. У виконаних у співавторстві статтях О.Б. Скасківу належать постановки задач, а також ідея можливості застосування методів Розенблума і техніки максимального члена у колі питань, що розглядаються.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівники проф. А.А. Кондратюк, проф. О.Б. Скасків), на Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник - проф. М.М. Шеремета), а також на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики”(м. Львів, 1998), присвяченій 70-річчю з дня народження Я.С. Підстригача, та міжнародній науковій конференції, присвяченій Ю.П. Шаудеру (м. Львів, 1999).

Публікації. Результати дисертації опубліковані у 8 статтях і повідомленнях (дві виконані без співавторів), з яких 5 надруковані у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається із чотирьох розділів, висновків, списку умовних позначень і списку літератури із 93 назв. Загальний обсяг праці - 154 сторінки, у тому числі список літератури на 9 сторінках.

Зміст роботи

Через 5(Л,/3) позначимо клас функцій Р, зображуваних збіжними для всіх а > 0 рядами вигляду

+оо

2?(<г) = ]Гьпехр(<7Ап +/?пт(<т)), Ь„ > 0 (ті > 1), (1)

П=0

де А = (А„), (3 = (/?„) - невід’ємні послідовності такі, що Ао = Ро = 0, А„ > 0, /?„ > 0 (■п > 1). Через А+, Р+ позначатимемо зростаючі до +со послідовності. Для додатних

неперервних зростаючих до +00 функцій ф(х) і Ф(<т) визначимо наступні підкласи класу S(\,P)

S^(X,P) = {F Є 5(А,/3) : Ь„ < ехр(-ап^(ап)) (п > п0)},

- {F є S{\,0) : Ьп < ехр(-а„^(А„)) (п > п0)},

•Sj,(A,^) = {F Є S(\,(3) : Ь„ < exp(-A„V>(a„) - /?„г(і/>(а„))) (п > п0)},

•S^,(A,/?) = {F Є S(A,/3) : Ь„ < ехр(—Апг-1(і/;(а„)) - 0„ф(ап)) (п > п0)}, де ап = А„ + /?п, а також визначимо

5(А,/?,Ф) = {f£ S(A,/3) : (3<7j t +оо)[1пР(«г;) = 0(Ф(<г,-))]} S(X,0, Ф) = {F 6 S(X,0) : lnf(a) = 0(Ф(ст))}.

Отримувані нами оцінки виконуються, як правило, зовні виняткової множини, для описання якоі використовуємо поняття міри measE (Лебегова міра множини Е П [0,+оо) на прямій), /i-міри h-measE = fz;n[0+oa)dh(a), лінійноі щільності DE та нижньоі лінійноі щільності dE відповідно

DE = lim — meas(E 0 [0, <т]), dE = lim — meas(E П [0,сг]),

£г-++оо a a-t+oo а

/і-щільності DkE та нижньоі /і-щільності dhE відповідно

DhE = lim -rr~\h-meas[E П [0,a]),di,E = lim 7-7—-h-meas(E П [0,<r]),

<7-»+oo h(cr) Ka)

де h(a) - додатна неперервна зростаюча до +оо на [0, +оо) функція.

У вступі розглянуто актуальність теми дисертації, описано: зв’язок роботи з науковими програмами, мета і задачі досліджень, методи досліджень та наукова новизна результатів дисертації. У першому підрозділі дано детальний опис результатів та літератури, що мають безпосереднє відношення до результатів дисертації, як з точки зору близькості самих результатів, так і з точки зору близькості методів дослідження. що застосовуються.

Невеликий розділ 2 містить деякі найпростіші властивості максимального члена fj.(a,F) — max{6„ ехр(сгА„ + r(cr)/?n) : п > 0} та центрального індексу і/(сг) = max{n : 6„ехр(ітАп +т(а)0п) = ft(a,F)} ряду (1), що зображає функцію F Є 5(А,/3). Власне, там описано умови монотонності центрального індексу i/(a,F), що надалі істотно використовуються у розділі 3. Отримано аналоги (твердження 2.1 - 2.5) нерівності Валірона M(<j,F) < К(є)ц(сг + (?о + e,F) (сг > 0), справедливої для кожного цілого

ряду Діріхле F Є 5(A), у випадку, коли 9 = lim пр- < в0. З огляду на те, що

П-+ + 00 Ап

просте твердження 2.1 знаходить застосування у розділі 4, можна допустити, що інші отримані твердження можуть бути також використані, наприклад, хоча б для встановлення формул для обчислення узагальнення порядків для функцій F Є 5(А,/3). У розділі 2 отримано наступне зображення

ln/j(u,F) - ln/j((T0,.F) = f

Jtro

у випадку, коли послідовності А, 0 та функція г(<т) такі, як в лемі 2.1, тобто: а) т(сг)

- неспадна і послідовності А = (Ап), 0 = (/?„) - неспадні; б) г(<т) - диференційовна,

0 < г'(ст) < 1 (<т > 0), і послідовності а = (А„ +0п) - зростаюча і А = (А„) - неспадна; в) т(а) - диференційовна, т'(сг) > 1 (сг > 0) і послідовності а = (А„ + 0п) - зростаюча

1 3 = (/?„) - неспадна.

У розділі 2 також отримано необхідні і достатні умови на показники і коефіцієнти ряду, що забезпечують справедливість при сг —>■ 4-со співвідношення

ln.F(cr) = (l+o(l))b/j(<r,.F). (2)

Власне доведено наступні теореми.

Теорема 2.1. Нехай т(<т) < cr, sup{An : п > 0} = +оо. Якщо F 6 Бф(\,0) і

Inn = 0(V»(An +/?„)) (п —»• +оо), (3)

то співвідношення (2) справджується при сг —>■ +оо.

На те, що умова (3) теореми 2.1 є необхідною для того, щоб для кожної функції F Є S(\,0) співвідношення (2) виконувалось при сг —> +оо, вказує наступна теорема.

Теорема 2.3. Для кожної послідовності а„ = Ап + 0П такоі, що в = sup{ : п > 1} < +оо, Inn = о(апг/і(ап)) (л -+ +оо) і умова (3) не виконується, а також для кожної функції т(сг) такої, що 0 < т'(а) < 1 (сг > 0) і додатної сталої h > 0 існують функція

F Є S^,(\,0) і послідовність аь t +°° такі, що ln.F’(crjfc) > (1 + h)lafx(cTk,F) для всіх

k> 1.

Із теорем 2.1 та 2.3 випливає наступний критерій.

Теорема 2.4. Нехай 0 < т'(сг) < 1 {сг > 0), а для послідовності an = Ап + 0„ у' виконуються умови в = sup{^=- : п > 1} < +оо і Inn = о{апф{ап)) (п —>■ +оо). Для того, щоб для кожної функції f Є А,/3) співвідношення (2) справджувалось при a —► +оо необхідно і досить, щоб виконувалась умова (3).

Розділ 3 повністю присвячено дослідженню рядів, поводження яких повністю визначається лише максимальним членом ряду, тобто встановленню умов, за яких

FW=(l+o(l))^,F) (4)

А„(,)<& + І 0„wdr{t) (0 < сг0 < сг)

Jern

при сг —> 4-оо зовні деякоі множини. Раніше (Величко С.Д., Скасків О.Б. Асимптотичні властивості одного класу функціональних рядів // Вісник. Львів, ун-ту. - 1989.

- Вип. 32. - С.50-51.) було анонсовано наступне твердження: якщо А = (А„) "І- +оо, Р = (рп) | +00 і виконується умова

то співвідношення (4) справджується для кожної функції € 5(А,/3) при а -> +оо зовні деякоі множини скінченної міри. З наступних двох теорем отримуємо вичерпну відповідь на питання про необхідні і достатні умови справедливості співвідношення (4) при а -> + со зовні деякоі множини скінченної міри для кожної функпіі і51 Є 5(А. /З).

Теорема 3.1. Нехай т'(сг) > 1 (сг > 0), а послідовності А і /3 такі, як в лемі 2.1. Якщо виконується умова

то співвідношення (4) справджується при a —> 4-оо зовні деякоі множини скінченноі міри.

Теорема 3.2. Нехай функція г(сг) > 0 така, що г'(сг) > 1 (сг > 0), а неспадні послідовності А = (А„), Р = (/?„) такі, що Inn = 0(А„ + Ьп) (п —>■ +00). Для того, щоб для кожної функції F € S(X,p) співвідношення (4) виконувалось принаймні при a = -»• +оо необхідно, щоб справджувалась умова (6).

Із теорем 3.1 і 3.2 отримуємо наступний критерій.

Теорема 3.3. Нехай функція т(ст) > 0 така, що г'(сг) > 1 (<т > 0) (або т'(о) < 1 (ст >0)), а неспадні послідовності А = (An), Р = (/?„) такі, що виконується умова (3). Для того, щоб для кожноі функції F Є S(\,P) співвідношення (4) виконувалось при <7 —>■ -fee зовні деякоі множини Е скінченноі міри (або скінченноі т-міри), необхідно і досить, щоб справджувалась умова (6).

Зауважимо, що у випадку, коли послідовності А, /9 - неспадні, умова (6) виплітає як з умови (5), так і з умови

(5)

(6)

(7)

Звідси слідуватиме, що у випадку, коли (5) і (7) виконуються одночасно, то співвідношення (4) справджується при <т —> +оо зовні деякоі множини Е такої, що mea.sE + т-mea.sE < -+-оо.

Виникає питання: чи для кожних функції т(сг) | +°о, с = о(т(<т)) (ст —і- +оо) і зростаючих послідовностей Л, р таких, що умова (5) виконується, а умова (7) - ні, існує функція і** Є 5(А,/3) така, що співвідношення (4) справджується при <г —*• +оо зовні деякоі множини скінчеішоі міри, а для всіх ст 6 £2 (з т-теазЕг — +оо) справедлива нерівність

' РМ>(1 + %(^) (8)

з деяким /і > 0? Певну відповідь на це питання отримуємо з наступної теореми.

Теорема 3.4. Нехай зростаючі послідовності А = (А„), Р = (/?„) такі, шо для А = (А„) виконується умова (5) і

Рп+і — Рп — о(А„+і — А„) (п —>• +оо). (9)

Для того, щоб для кожної функції г'(сг) > 1 (сг > 0) і кожної функції і*1 Є 5(\,р) існупа.іа множина Е скінченної г-міри так, щоб при сг —► +со (и Є [0, +со) \ Е) справджувалось співвідношення (4), необхідно, щоб виконувалась умова (7).

Власне з теореми 3.4 випливає, що для будь-яких послідовностей А, р таких, що виконуються умови (5), (9) і не виконується умова (7) існують функція і7 Є 5(А,/?), множина Е С [0, +оо) і стала /і > 0 такі, що т-теазЕ = +со і для всіх а Є Е виконується нерівність (8). За додаткових доволі жорстких умов на послідовності А, Р і функцію т(сг) відповідь на сформульоване питання міститься у твердженні 3.1, з якого, зокрема, для збіжних для всіх х > 0 рядів вигляду

+оо

Г(х) = ^апіЛ"еІ/9", а„ > 0 (п > 1), (10)

п=0

отримало наступне твердження.

Твердження 3.2. Якщо зростаючі послідовності А = (^л), Р = (Рп) такі, що для послідовності А = (А„) виконується умова (5) та

---—(А„ - Ап_!) > с (п > 1), 7п+і = ^ 1"+0° (п + со),

7п+1 кп+1 Нп

то для того, щоб для кожної функції вигляду (10) співвідношення (4) виконувалось зовні деякоі множини скінченно! міри необхідно і досить, щоб виконувалась умова

(7).

Зауважимо, що за умови (5) для кожноі функції Г вигляду (10) співвідношення (4)

справджується при а —> +оо зовні деякої множини Е скінченної логарифмічної міри,

тобто / 42. < 4-00.

£л(і,+оо)

У підкласах Зф(Х,Р), 5^,(А,/3), 5ф(Х,Р) умову (6) можна послабити. При цьому доводиться задовольнитись гіршим описанням виняткових множіш (тобто, виняткові множини є ’’масивнішими”). Справедливі наступні теореми.

Теорема 3.5. Нехай г'(сг) < 1 (сг > 0), а послідовності X, 0 такі, як і в лемі 2.1. Якщо і7 Є 5^,(А,/0), де ^ Ііт ^ < 1, і виконується умова

(УЬ > 0) . ( Ьт^ Лп^<, л"+і + А.+1 - А„ - 0П ~ °’

то співвідношення (4) справджується при а -» +оо зовні деякої множини £ нульової т-щільності.

Теорема 3.6. Нехай функція г(а) така, що: а) (\/сг > 0) : г'(ст) > 1, або 6} (Уст > 0) : т'(а) < 1, - послідовності А, /3 такі, як в лемі 2.1, а функція -фі^) така, що (Ііт < 1. Якщо Р € 3ф(\,0) і виконується умова

(УЬ > 0) : Ііт * У' ---------------—------------— = 0, (12)

<->+оо ф(Ы) Лп“^<4 Ап+1 + 0П+1 — А0п

то співвідношення (4) справджується при а -> +со зовні деякої множини Е, такої, що

ВЕ = 0 у випадку а), та 23ТВ = 0 у випадку б].

Твердження теорем 3.5 і 3.6 доповнює наступна теорема, яку встановлюємо в класі 5*(А,0).

Теорема 3.7. Нехай функція г(<г) така, що т(о-) < сг (сг > 0), послідовності X, 0 -

неспадні, а функція г/>(і) така, що (ііт < 1. Якщо і7 6 §ф(Х,0) і виконується

умова

(V* > 0) : Ііт -4- У ----------—— = 0, (13)

^ > ,_>+« ф(Ьі) \к+1 -Хк ' К ’

го співвідношення (4) справджується при и —>• +оо зовні деякої множини Е нульової лінійноі щільності, тобто ВЕ = 0.

Зауважимо, що у випадку класу цілих рядів Діріхле Р Є 5(А+,0) із кожної із теорем 3.5 - 3.7 отримуємо достатність у твердженні зі статті (Скаскив О.Б., Шеремета М.Н. Об асимптотическом поведении целых рядов Дирихле // Махем. сб. - 1986. - Т.131, N3(11). - С.385-402.), яке можна сформулювати у наступному вигляді: для того, щоб для кожної функції Е Є 5(А+,0) такої, що

(ЗА' > 0) : Ь„ < ехр(—А„^(К'ЛП)) (п > по) (14)

співвідношення (4) справджувалось при а —>• +оо зовні деякої множини нульової лінійної щільності необхідно і досить, щоб виконувалась умова (13).

Умова (12) - (13) теорем 3.5 - 3.7 можна послабити ще більше, проте при цьому вдається отримати описання виняткових множин лише в термінал нижніх щільностей,

шо у застосуваннях таких тверджень, як правило, дає не більше, ніж справедливість отриманих співвідношень на деякій послідовності.

Теореми 3.8 - 3.10 є аналогами теорем 3.5 - 3.7. Сформулюємо одну з них (теорему 3.8). Формулювання двох інших теорем є подібними.

Теорема 3.8. Нехай т'(сг) < 1 (<т > 0), а послідовності А, /3 талі, як і в лемі 2.1. Якщо F Є 5^(А,/?) і виконуються умови (Зд Є (0; 1)) : +Л),_1 < +°° та

(V6 > 0) : т(ф(Ь(\„ + 0„))) £ Ав+1 + 0я+і - Ап - рп = °-

го співвідношення (4) справджується при a -¥ +оо зовні деякої множини Е нульової нижньої т-щільності, тобто drE = 0.

В останньому пункті встановлено, що у випадку, коли т’(сг) < 1 (сг > 0), умова ,

1 А і „ІТоо т-‘(и(Ь(вв+Г))) ^а*+1 -аь "

є необхідною для того, щоб для кожної функції F Є S(\,/3) такої, шо виконується

(Ж > 0) : Ьп < ехр(—а„ф(Кап)) (п > п0), (15)

співвідношення (4) справджувалось принаймні вздовж деякої послідовності а — —*■

+со (теорема 3.11). Звернемо увагу на те, що отримані для класу 5^,(А,/3) достатні і необхідні умови доволі істотно відрізняються одна від одної.

Розділ 4 присвячений встановленню умов справедливості співвідношення (2) при сг —> +оо зовні деякої множини, як у всьому класі S(\, в), так і у його підкласах 5(А,/3,Ф), 5(А,^,Ф).

Як і у розділі 3 основними у розділі 4 є перших три твердження, які разом мають завершений характер.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 4.1. Нехай т'(а) > 1 (сг > 0). Якшо для функції F Є 5(А, /3) виконується умова. -

(16)

то співвідношення (2) справджується при a -+ 4-оо зовні деякої множини скінченноі міри, тобто measE < +оо.

На необхідність умови (16) для справедливості співвідношення (2) при a —> +оо зовні деякої множини скінченної міри для кожної функції F Є 5(А,/3) вказує наступна теорема.

Теорема 4.2. Нехай послідовності А = (Ап), р = (/3„) - неопадні, Inn = 0(А„ + /?п) (п -> +оо), а функція г(<т)така, що г'(ст) > 1 (сг > 0) або 0 < г'(сг) < 1 (сг > 0). Якщо умова (6) не виконується, то існує функція F Є S(А,/?) така, що для всіх ст > сто

lnF(o-) > (1 + /i)ln/j(cr,F), (17)

де h > 0 - деяка стала.

Із теорем 4.1, 4.2 і наслідку 4.1 отримується наступний критерій.

Теорема 4.3. Нехай послідовності А, /З - неспадні і такі, що для послідовності (а„) єдина тонка скупчення +оо, а функція т(сг) така, що aj г'(іт) > 1 (с > 0) або 6) т'(<т) 5: І і0’ > 0). Для того, щоб для кожної функції F Є S(\,P) співвідношення (2) виконувалось при и —> -t-oo зовні деякої множини Е (measE < +оо у випадку aj і т-measE < +оо у випадку б_)_) необхідно і досить, щоб збігався ряд (16).

Легко бачити, що умова (16) виконується, як тільки виконується умова 51 <

Н-оо або умова

+со

£ — (18)

п=0 ,

Наступна теорема доповнює твердження теореми 4.1.

Теорема 4.4. Hex ай г'(сг) > 0 (сг > 0). Люцо виконується умова (18), то для кожної функції F Є 5(\,Р) співвідношення (2) справджується при сг —>• +оо зовні деякоі множини скінченної міри.

Якщо ж виконуються умови <- +°° * (^), то співвідношення (2) справ-

джується для кожної функції F Є 5(А,/3) при сг —> +00 зовні деякоі множини Е такої, що measE + т-measE < +00 (наслідок 4.2). Проте питання, чи можливим є, щоб measE < +00 і т-measE = +00 для множини Е, зовні якої виконується (2), у випадку, коли сг = о(т(с)) (<т —> +оо), умова (18) виконується, a l/(n^n) = +со,

залишилось відкритим, на відміну від розділу 3, де певні позитивні відповіді стосовно співвідношена (4) знайдено.

У підкласах 5(А, р, Ф) і 5(А,/3,Ф) умова (16) послаблюється. Власне, справедливими є наступні теореми.

Теорема 4.7. Нехай т'(сг) > 1 (сг > 0). Якщо F Є 5(А, /З, Ф) і виконується умова

lim 4 У' -І-= 0, at = At +Pk, (19)

R-++00 R t—1 kctk

0<а*<Ф (R)

то співвідношення (2) справджується при a —>• +00 зовні деякоі множини Е нульової лінійної щільності, тобто DE = 0.

Теорема 4.8. Нехай т'(сг) > 1 (сг > 0). Якщо і7 б §_(\,0, Ф) і виконується умова (10), то співвідношення (2) справджується при <т -> +ос зовні деякої множини Е нульової' нижньої' лінійної щільності, тобто ДЕ = 0.

Теорема 4.9. Нехай т'(сг) > 1 (сг > 0). Якщо Р Є Б(\,Р, Ф) і виконується умова

то співвідношення (2) справджується при сг —> +оо зовні деякоі множини Е нульової' нижньої лінійноі щільності, тобто (ІЕ = 0.

Переформульовуючи теорему 4.9 для 0 < т'(ст) < 1 (сг > 0) отримуємо наступній наслідок.

Наслідок 4-7. Нехай 0 < т'(а) < 1 (а > 0). Ягацо Р Є 5(А.Д, Ф) і виконуються умови (20) та 1піг(<г) < Ф(г(ст)) (сг > сто), то співвідношення (2) справджується при сг -> +оо зовні деякоі множини Е нульовоі нижкьоі г-шільності, тобто д.тЕ —

На необхідність умови (20) у класах ширших, ніж ті, що розглядаються у теоремах 4.9 і наслідку 4.7 вказує наступна теорема.

Теорема 4.10. Нехай послідовності А = (А„), 0 — (/?„) - неспадні і одночасно виконуються умови Inn = О(0П) (п —> +со) та г'(ст) > 1 (сг > 0) або Inn = 0(А„) (п -+ +оо) та 0 < г'(сг) < 1 (сг > 0). Якщо умова (20) не виконується, то існує функція F Є S(\,0) така, що для всіх a > сг0 справджується з деяким h > 0 нерівність (17) і In F(a) < А'Ф(А'сг) (сг > <70) для деякого К > 0 у випадку, коли т'(ст) < 1 (а > 0) та In F(cт) < КФ(Кт(а)) (а > сг0) у випадку, коли т'(и) > 1 (<т > 0).

Подібне твердження справедливе стосовно умови (19) у теоремі 4.8.

Теорема 4.11. Нехай послідовності А = (А„), 0 — (0П) і функція т(<т) такі, як у теоремі 4.10. Якщо умова (19) не виконується, то існує функція F Є S(\,0) така, що для всіх a > сто справджується з деяким h > 0 нерівність (17) і для деякого К > 0

у випадку, коли т'(ст) > 1 (сг > 0), де сг;- | 4-оо (^ -»■ +оо) - деяка послідовність.

Як і у розділах 2 і 3 та підрозділі 4.1, обмеження можна накладатзї лише на одну з послідовностей А = (А„) чи 0 = (/?„). На це вказує наступна теорема 4.12.

(20)

1І51я-и-со г(Д) /еп[о,лі ^т(<г) — 0.

ЬГ((7;) < K$(K<Tj) (j > 1)

у випадку', коли 0 < т'(сг) < 1 (сг > 0), та

ln-Ffo) < K$(Kr(aj)) (j > 1)

У підрозділі 4.4 встановлено достатні умови справедливості співвідношення

ш(1піг(сг)) -ш(1п/а(ст,.Р)) 0 (21)

при а —> +со зовні деякої множини скінченної міри для кожної функції Р є Б(\,Р) у

випадку, коли Іпх < иі(х) < х (і > 0). Справедлива наступна теорема.

Теорема 4.13. Нехай т'(а) > 1 (<т > 0), а ш(і) - неперервно диференційовна із

спадною до нуля похідною така, що —V 0 (< —► +°о) для кожної додатної

функції г(і) -> 0 ({ -> +оо) і ш'(і)4 > с > 0 (і ->■ +оо). Якщо і7 Є 5(Л, /3) і виконується

умова /0+°° і-2/і(1пп0(())Л < +оо, то співвідношення (21) справджується при и —►

-4-00 зовні деякої множини Е скінченної міри, тобто mea.sE < +оо, де /і(і) - функція

обернена до ;4їу, па(і) = . £ 1.

' х„+/5„<1

Із схеми доведення теореми 4.13, яка по-суті є продовженням доведення теореми 4.1, видно, що можна отримати аналоги, всіх отриманих для співвідношення (2) теорем, також і для співвідношення (21).

Крім того, у підрозділі 4.2 знайдено умови справедливості співвідношення

ІпДст) = (1 + о(1))1п/іі(сг,^) (22)

при а —» -)-оо зовні деякої множини скінченної міри для кожної функції вигляду

+<х>

Е(а) = а„/(сгА„), а„ > 0 (п > 0),

п=0

тобто для кожної функції Р з класу Н(\, /), де 0 = Ао < Ап "[• +оо (1 < п | +оо), /(х) -додатна зростаюча на [0,4-оо) функція така, що /(0) = 1 і 1п/(х) - опукла на [0, +оо) функція, ці(<г, Р) = тах{а„/(стАп) : п > 0}. Нехай, крім того, Я(А) = UfH(X,fi). Справедливі наступні теореми.

Теорема 4.5. Для того, щоб длякожноі функції і"1 Є Н(А) співвідношення (23) справджувалося при а —і- +оо зовні деякої множини скінченної міри необхідно і досить, щоб виконувалась умова (18).

Необхідність отримуємо із результату, встановленого раніше для цілих рядів Діріх-ле. Достатність випливає з наступної теореми.

Теорема 4.6. Якщо виконується умова

^ п1ц/(А„) < +°°

і і7 6 Н(А,/), то співвідношення (22) справджується при а —у +оо зовні деякої множини скінченної міри.

Висновки.

Для регулярно збіжних у всій площині функціональних рядів на основі підходу (запропонованого В.А. Осколковим (1976 р.)), який полягає у зведенні задачі про отримання асимптотичних оцінок для таких рядів до подібної задачі для одного класу додатних рядів і який містить в собі широкий спектр рядів (степеневі, ряди Діріхле, ряди Тейлора - Діріхле, узагальнення рядів експонент і т.д.), вперше розглянуто у загальній постановці задачу про отримання аналогів класичних теорем типу Бореля

і Вімана - Валірона. Для таких рядів отримані наступні результати, які є основними у дисертації:

- необхідні і достатні умови на суму показників для асимптотичної рівності (без виняткових множин) логарифмів суми і максимального члена ряду;

- необхідні і достатні умови на показники для асимптотичної рів1 ості зовні виняткових множин суми і максимального члена ряду;

- вперше застосовано метод Розенблума і отримано необхідні і достатні умови на показники для асимптотичної рівності зовні виняткових множин логарифмів суми і максимального члена ряду;

- у різних підкласах загального класу, які визначаються обмеженнями на коефіцієнти ряду чи обмеженнями зверху на зростання суми ряду, отримано достатні умови, що забезпечують різні асимптотичні рівності зовні виняткових множин між сумою і максимальним членом ряду.

В ідейному плані із результатів дисертації випливає, що умови, які забезпечують справедливість співвідношень, що розглядаються, мають вигляд умов на суму показників або лише на одну з двох послідовностей показників і є подібними у такому сенсі до умов, що забезпечують аналогічні співвідношення для цілих рядів Діріхле. Це спостереження може виявитись корисним у подальших дослідженнях асимптотичних властивостей регулярно збіжних функціональних рядів. Самі ж результати можуть знайти застосування у різних розділг^: теорії цілих функцій, де зустрічаються такі ряди.

При доведенні всіх описаних вище результатів використовуються методи з праць П. Фентона, П. Розенблума, М.М. Шеремети, О.Б. Скасківа. При цьому висновок про можливе ефективне застосування методів теорії Вімана - Валірона може виявитись корисним у різноманітних дослідженнях, де виникає потреба в асимптотичних оцінках функціональних рядів різного вигляду.

Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в наступних статтях і наукових повідомленнях:

1. Скасків О.Б., Трусевич О.М. Максимальний член і сума регулярно збіжного функціонального ряду // Вісник Львів, ун-ту, сер. мех.-мат. - 1998. - Вип. 49. -

С.75-79.

2. Скасків О., Трусевич О. Ряди Тейлора - Діріхле, асимптотичне поводження яких визначається максимальним членом // Сучасні проблеми механіки і математики: Матеріали міжнародн. конф. присв. 70-річчю Я.С.Підстригача. - Львів: Інститут прикл. пробл. мат. і мех., 1998. - С.284-285.

3. Трусевич О.М. Аналоги теореми Бореля для одного класу функціональних рядів // Вісник Львів, ун-ту, сер. мех.-мат. - 1999. - Вип. 53. - С.45-47.

4. Скасків О.Б., Трусевич О.М. Теореми типу Бореля для регулярно збіжних функціональних рядів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1998. - Т.41, N4. - С.60-63.

5. Trusevych О.М. Borel type theorems for positive series // NPDE: Book of abstracts. -Internation, conf. dedicated to J.P.Schauder. (Lviv, August 23-29, 1999). -Lviv, 1999.

- P.205.

6. Скасків О.Б., Трусевич О.М. Про повну еквівалентність логарифмів суми та максимального члена додатного ряду типу Тейлора - Діріхле // Вісник Львів.ун-ту, сер. мех.-мат. - 1999. - Вип. 54. - С.175-179.

7. Скасків О.Б., Трусевич О.М. Про теореми типу Бореля для рядів, подібного до до ряду Тейлора - Діріхле // Матем. студіі. - Т.13, N1. - 2000. - С.79-82.

8. Скасків О.Б., Трусевич"О.М. Асимптотичні властивості регулярно збіжних функціональних рядів // Препринт N 17-1. - Львів: Інститут прикл. пробл. мех. і мат. НАН Украіни, 1999. - 18 с.

Трусевич О.М.. АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ РЕГУЛЯРНО ЗБІЖНИХ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РЯДІВ. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01. - математичний аналіз. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2000.

Розглядаються умови, що стосуються асимптотичного поводження одного класу додатних функціональних рядів. Задача про отримання асимптотичних оцінок досить широкого загалу регулярно збіжних функціональних рядів зводиться до подібної задачі для функціональних рядів, що розглядаються у дисертації.

Ключові слова: регулярно збіжні ряди, максимум модуля, максимальний член, щільність, міра, лічильна функція.

Trusevych О.М. ASYMPTOTIC PROPERTIES REGULAR CONVERGENT FUNCTIONAL SERIES. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degree on the speciality 01.01.01. - Mathematical Analysis, Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2000.

There are some conditions contein some results on asymptotic behavior of a class of positive functional series. The problem of establishing asymptotic estimates sufficiently for a wide class of regular convergent functional series reduces to a similar problem for functional series that are considered in this thesis.

Key words: regular convergent series, maximum modulus, maximal term, density, measure, counting function.

Трусевич О.М. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНО СХОДЯЩИХСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01. - математігческті анализ. Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2000.

Рассматриваются условия асспмптотического поведения одного класса положительных функциональных рядов. Задача получения асимптотических оценок для достаточно широкого класса регулярно сходящихся функциональных рядов сводится к подобной задаче для функциональных рядов, которые рассматриваются в диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх разделов и списка литературы.

В первом разделе ” Обзор литературы и основных результатов диссертации” дано детальное описание результатов и литературы, которые имеют непосредственное отношение к результатам диссертации, как с точки зрения близости сами результатов, так и с точки зрения близости методов исследования, которые испольэуються.

Небольшой раздел 2 ’’Соотношение между суммой ряда и максимальным членом ряда бгз исключительных множеств” включает некоторые свойства максимального члена и центрального индекса, а также получено необходимые и достаточные условия на показатели и коэффициенты ряда, которые обеспечивают справедливость асимптотического равенства между логарифмом суммы и логарифмом максимального члена ряда.

Раздел 3 "Ряды, поведение которых полностью определяется одним членом” полностью посвящён исследованию рядов, поведение которых определяется только максимальным членом, то есть установлению условий, при которых сумма ряда асимптотически равна максимальному члену вне некоторых множеств.

Раздел 4 "Соотношение между суммой и максимальным членом ряда: теоремы типа Вимана - Валирона” посвящён установлению условий справедливости асимптотического равенства между логарифмом максимума суммы и логарифмом максимального члена ряда вне некоторого множества как во всём классе регулярно сходящихся рядов, так и в его подклассах.

Ключевые слова: регулярно сходящиеся ряды, максимум модуля, максимальный член, плотность, мера, считающая функция.