Асимптотические свойства целых (кратных) рядов Дирихле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



\

Льв]пськнй державний ушверситет

1мен11вана Франка

Л/

Орищин Оксана Григор1вна

УДК 517.576

ЛСИМПТОТИЧН1 ВЛАСТИВОСТ1 Ц1ЛИХ (КРАТНИХ) РЯД1В Д1Р1ХЛЕ

01.01.01 - математичшш анал1з

¿Автореферат дисерташ! на здобуття наукового ступеня кандидата ^пзико-математичнпх наук

Льв1в - 1998

Дпсерташею с рукопнс.

Робота виконана на кафедр! теорИ функшй i теори ймов1рностеп Льв1в-ського державного ушверситету ii\ieni 1вана Франка. Науковий KepiBHiiK: доктор ф1зико-математичних наук, доцент Скасюв Олег Богданович

Лкшвський державнпй университет iivieni 1вана Франка професор кафедри Teopii функцш i Teopii ймов5рностей Офшшт опоненти: -доктор ф13ико-математ1Г1них наук, професор Кондратюк Анлрш Андршович

Льв1вський державний ушверситет iMem 1вана Франка завщувач кафедри математичного i функционального анал1зу, - кандидат ф1зико-математичних наук Шаповаловський Олександр Володимирович

Дрогобицький державний педагопчний шститут iMeHi 1вана Франка старший викладач кафедри математичного анашзу. Пр овина установа:

Ihctiitjt математики HAH Укращи, в1ддш комплексного аиалЬу i те-opii потеншалу, Ешв

Захист вщбудеться " 2 i "" ТРДВНЯ 1998 р. о ЗОгодиш на 3aci-данш вчено! ради Д 35.051.07 у Льв!вському державному У1пверситст1 inem 1вана Франка за адресою: 290602, м. Льв1в, вул. Ун1верситетська, 1, ауд. 377.

3 дисертащсю можна ознайомитись у 01блютеш Льв1вського державного ушверситету iMeHi 1вана Франка за адресою: м. Льв1в, вул. Дра-гоманова, 5.

Автореферат роз1слано " Ю "" КЫ ТНЯ " 1998 р. Вчении секретар

спещал1зовано1 вчено! ради

Микитюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальшсть теми. Одне з центральних мкць у теори аналтн-них функцш займае задача описания ix асимитотичних властивостей. Конкретш постановки таких задач викликаш, як потребами розвитку Teopii анатйтичних функщй, так i потребами ix застосувань в шших роздшах математики. Однак важллвкть, як самого класу аналтпних функцш. так i задач пов'язаних з описом властивостей цього класу. випл1шае безумовно i3 тих багаточисельних застосувань, як! знаходять результата i методи Teopii аналтгщих фyнкuiй.

У цьому ряду знаходяться i зaдaчi описания асимптотичних властивостей ряд1в Дipixлe (експонент), що визначаються властивостями показнигав i коефкпенга цих ряд'ш, або характеристик, шо ними визначаються - максимальний член ряду, центральный показник i т.п. Нехай А - клас ycix щлих функцш

со

/(*) = £>„*", (1) п=г О

a А+ - його тдклас, що складаеться з функцш вигляду (1) i таких, що а0 = 1, ап > 0 (п > 1).

■щгщ -ущ -x>Qj, s*n(x) = £ akxk-

OniiiKii величины a* (/) викорисговуються y рашональнш апроксхшащ! ni лих функцш. Erdos P., Reddy A.R (Adv. in Math. Soc., 1976, v. 21. доведения теореми 7) показали, що для кожно! uLioi функцп / £ Л+ lim ï^- In —^jy = +oc, а M.M. Шеремета (Укр. матем. журнал, 1979,

т. 31 N 3) flOBÎB, що якгцо (пк) постдовшсть така, що

+ CQ ..

(2)

i для функцп / 6 А+ внконуеться ап = 0 (п ф п^)- то

-1 , 1

lim -In—— = +ос. (3)

fe_+00fc <r*k(f)

При цьому bîh висловив гшотезу, що умова (2) с також i необхздною для справедливое^ стввиношення (3) для кожшл шло5 функцп / € А+((пк)) (тобто f € А+ i ап = 0 при п ф пк).

Безпосереднш узагальненням шлпх функыш вигляду (1) (/ £ А+ чи / € A+({rik))) е абсолютно збхжш в С ряди Д1р1хле.

+ =о

F(z) = ]Г 0пегЛ", 0 = А0 < А„ f +oq (и -4 +оо). (4)

п=0

Клас таких ряд^в Jipixjre позначимо через Я(Л), Л = (Лп): Я+(Л) -клас ряд1в вигляду (4), для яких а0 = 1, а„ > 0 (п > 1).

Якщо L - клас додатних неперервних зростаючих до +оо на [0, +оо) функшй i ú' £ L, то через Яа(Л, ф) позначимо клас функшй: F <Е //(Л) таких, що для деякого с > 0 i bcíx п > по |а„| < exp{-An¿>(cAn)}. Для F 6 Я+(Л) покладемо <r„(F) =

= max{g-^ -^:i£R},S„(i)= £ afce*Afc. Стага M.M. Ше-

ремети (ТФФА и их прпл. (Харьков), 1983, в. 40, Anal. Math., 1991, v.17, N 1) присвячеш одержанню оценок величини <r„(F), при цьому в зазначеному колз питань вперше, мабуть, використано метод ЕИмана-Валпрона. Зокрема, показано, що для того, щоб для кожно! функци F € Я+(Л) справджувалось

1

lim --In —— = +оо (5)

n-+ + oolnn crn(F)

необх1дно i досить, щоб

+ СС ^

(6)

п=1

У клао Я+(Л, v) умова (6) уточнюеться. Доведено, що умова

(Vb > 0) : lim 1 У 4- = 0 (7)

t^+oo ip(bt) nA„

е достатньою для справедливое^ сшввдаошення (5) для кожно! функнй F € Я+(Л, ф) i показано також, що умова

<Vi>0): J&m&ik-0 (8)

е необх1ДШЮ для справедливостх (5) для кожно1 функцп F6Ü+(A,i¿). При виконанш додатхово! умовп

ílnn(t) 1 ^ ílnn(x)\ ,

sup<—t > х l = О í J J I (x-t+oo),

(9)

де n(t) = 1 - л1чильна функд1я постдовносп (Ап), за допомогою K<t

рсзультат1в теорй ЕНмана- Вал1рона С. Херате показала, що умова (8) е також i достатньою для справедливост! ствв1дношення (5) для кожно! функци F £ Я+(А, ф).

У иьому зв'язку, а також з огляду на цитовану вище гшотезу М.М. Шеремета (1979 р.), актуальною е проблема в1дшукання неоГшдних i достатшх умов справедливост! стввщношення

1 . 1

lhP 771-71п —TFT = +0°' (10)

п-^+оо/ЦШ П) 0ГП(Г)

яке е битып загалыпш, тж отвв1дношення (3) i (5), де h(x) € L. Зо-крема, при h(x) = х i h(x) = е1 з (10) отримуемо стввщношення (5) i (3), ¡мдшшдно.

Одним з основних тверджень у теорй В1мана-Вал1рона е наступна теорема: для кож но! щлш функцп / 6 A icHye множина Е С [1, +ос) скшченно1 логарифмггасм nipn (тобто ln— meas Е =f J din г <

ЕП[1,+со)

+oc) така, що для кожного £ > 0 i для bcíx г € [г0, +оо) \ Е виконуеться

Mf{r)<pf(r)(hxiif{r))*+', (11)

де Mf(r) = max{|/(r)| : |z| = г}, щ{т) = max{|a„|rn : n > 0} - мак-снмальний член ряду (1). ЗвЦси. зокрема випливае, шо

In Mf(r) = (1 + о(1)) !n^í/(r) (12)

при г —У +оо (г g [1,+оо) \Е). Встановленню аналопв i узагальненням HepiBHocTi (И), а також стввщношення (12) у р1зних класах аналтп-чних функщй присвятили cboí npani П. Дев1, Б. Ашра. К. Супмура. П. Розенблум. А. ТЦумщкп. П. Фентон. У. Хейман. Г. ITojia. Р. Лондон. A.A. Гольдберг. М.М. Шеремета, М.М. Хомяк. Ю.М. Галь. О.Б. Скааав та íhhií.

Зокрема, П. Розенблум отримав наибцгып широко узагальнення HepiBHocTi (11) для шлих функцш / G .4, Н.М. Сулейманов вивчав аналоги HcpiBHocri (11) для функцш аналштчних в одиничному крузц М.М. Шеремета отримав аналоги (11) для шлих ряд1В Д1р1хлс F € H (А), а Ю.М. Галь одержав аналоги nid HepiBHocTi для абсолютно зб1жних у твплошшп ряд1В Д1р1хде з показниками, шо мають додатнш крок. Для щлих функшй / вЩ ДВОХ КОМПДСКСНИХ 3MÎHHIÏX

+ 0О

f{zuz2) = (13)

аналоги HepiBHocTi (11) вивчали 1.Ф. Б1тлян i A.A. Гольдберг, А. Шу-мщки та П. Фентон.

3 результата П.Фентона [Trans. Amer. Math. Soc., 1995, v. 347, N 11, теорема 1] для щдих функцш вигляду (13) випливас, шо для кожного е > 0 HepiBHicTb

Mf(ri,r2) < Cßf(ri,r2) ln+ fij(ri,r2)(ln+ Innj{r\, r2))2+£ (14)

виконуеться для Bcix r = (rj, r2) E, r1; r2 > 1, де E - множина така, що // ~~'<2(l+e)lni?+0(l) (л +00); Дд = {r = (ГЬГ2) ;

ЕПДЯ

l<rj<R}, С - абсолютна стала, a Mf(ri, r2)—niax{\f(zi, z2)\ : \zi\=r\, Ы = r2}, Hf{ri,r2) = max{|ari;m|r?r£l : n > 0,rn > 0}.

Якщо ж тепер К - довьчьна необмежена множина така, що Mf(ri,r2) —» +оо (rA d= maxfrj, г2} +oo,r = (rj,r2) € kJ, то i3 не-piBHocTi (14) одержуемо

In Mf{rur2) = (1 + 0(l))lnM/(r1,r2) (15)

при гл =Г тах{гь г2} +оо, г 6 (К П А+0О) \ Е.

ЕИдзначимо, що необхгдно сшввщношення вигляду (15) сшд роз-глядати на тш множит К, де Mf(r) прямуе до +оо при гл —? -foo. На це вперше вказав JI.C. Масргойз. Зауважимо, що, взагал1 кажучи К ф A+oû; Л-м функщ! j(zi,z2) = е22, К \ А+00 ф 0 i Д+00 \ К ф 0; для функци f(zi,z2) = ez,z2, очевидно, Д+ос С К, К \ А+ос ф 0. У цьому зв'язку, природшм виглядае розглядати стввщношення вигляду

(15) наKOHyci KF = < u £ R2 : lim ln+ MAtUl, iU2)/lni > О V, тобто на

I i —»-f-oo J

максимальному KOHyci з вершиною у початку координат такому, що на кожному промет з конуса, який виходить з початку координат, опукла функщя V(u) = In M/(eUl, е1'2) строго зростае до +оо не повитьшше в1д In t. Зауважимо, що у вииадку циих функдш / £ А (тобто, в1д одн'ш змшно!) К/ = [1,+сс). Дали Скаск1в О.Б. показав (Матем. заметки, 1985, т. 37, N 1), що для кожно! функцп F £ Н(А) сшввщношення

\nM{a,F) = (l + o(l))\nfi{a,F) (16)

справ джуеться, при <т —> +ос зовш деяко1 множпни сюнченно! Mipn, тод1 i тйгьки тод1, коли виконуеться умова (6), де M(cr,F) = = sup{|F(<r + it)\ : t £ R}, fi(a, F) = max {|аге|е<тА" : n > 0}. У npa-пях Гречанюка M.II, цей результат перенесено на подвшт ряди Jipix:ie. У статтях Скасюва О.Б., Луцпшин М.Р. (Укр. мат. журнал. 1992, т. 4-i, N 9, Матем. студи. Пращ Льв1вського матем. товариства, 1994, в. 3) встановлено улови справедливоcTi ствшдношення

2\f(a,F) = (l+o{l))ti(a,F) (17)

для кратних ряд5в Д1р1хле. Природного у пьому зв'язку е задача про умови справедливое^ сшввщношення

w(ln M(cr, F)) - а;(Iii ц{о, F)) = о(1) (18)

бьтьш загального, тж сшввиношення (16) i (17), де и(х) - долатна, неперервна, зростаюча до + со функщя. ВЦзначимо, шо остання задача в iciaci Н(\) та його шдкласах розглядалась в статтях Скасюва О.Б., Хом'як М.М., Шеремети М.М.

Одним з центральних результата теори Вшана-Валрона. який мае важлив1 застосування, е описания поведшки анал1тичних функшй в omii точки максимуму модуля. Для кратних ряд1в Д}р5х.те результат такого вигляду знаходимо в кшш Стрелша Ш.1. Однак. оекьть-ки вш формулюеться в термшах характеристик зростання функшй. пов'язаних з вичерпанням простору полшшними областями, то зона застосування таких результата е обмеженим. Тому актуальною е задача знаходження результата про поведшку кратних ряд1в Д1ргхле в oKo.ii точки максимуму модуля, ¡ншого вигляду.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Пя робота е складовою частиною доспдженъ за держбюджетною темою Мт-202Б "Ilüri функпп та ряди Д1р!хле".

Напрямок досл1джень, вибранпй в дисертадп, передбачений планами науково! роботи Льв1вського державного университету imchI 1вана Франка.

Мета i задач1 досл1дження.

1. Знайти neooxijm i достатш умови на иоказники щлих ряд ¿в Д1р)хле, яю забезпечують наперед задану швпдисть 301ЖН0СТ1 ряд!В, як в клай Bcix шлих ряд1в Дipixлe, так i в шдкласах, що визначаються обмежен-ням зверху на зростання максимального члена ряду.

2. Для шлих кратних ряд1в Дipixлe довести аналоги теореми типу Бо-реля та ii узагальнень.

3. Дослщити повед'шку суми кратного ряду Дгргхле в оюш точки максимуму модуля, отримати аналоги теореми В1мана.

Наукова новизна одержаних результата. У робота:

1. Отримано необхщш i достатш умови на показники (як в клай Bcix шлих ряд1в Дipixлe, так i в шдкласах, що визначаються обмежен-нями на зростання максимального члена зверху), що забезпечують наперед визначену швидюсть збгжноста ряду Д1р1хле з додатними коефшентами. Вперше доведено гшотезу М.М. Шеремети.

2. Для щлих кратних ряд1в Ддр1хле, отримано необхшп i достатш умови на показиики ряду, що забезпечують справедливкть уза-гальненого стввхдношення Бореля.

3. Отримано нов1 аналоги теореми В1мана про асимптотичне пово-дження мшмуму i максимуму дшсно! частини суми цшого кратного ряду Д1р1хле.

Практкчке значения одержаних результатов. Результата дисертаин носять теоретичний характер i е певним внеском в теорш шлих фзикцш. Вони можуть бути викорнстан! в наступних доопдже-ннях з Teopii абсолютно зб1жних ряд1в Д1р1хле, а також в н застосува-ннях.

Особистий внесок здобувача. Викладеш в poöoTi результата одержаш автором самостшно. BapiaHT теореми 2.3. при р = 1 нале-жить О.Б. Скасмву.

Результата, як1 в працях [2,3] належать О.Б. Скасюву в дисертацшну роботу не ввшшли.

Апробащя результатов дисертацп. Основш результата дисертацп допов]лались та обговорювалпсь на V-iii М1жнароднш науко-вш конференци b.tehi академжа М. Кравчука (Kiiïb, 1996), на науковш конференпн " Нелшшш проблеми аналзу", прнсвяченш пам'ят1 М.С. Курпеля (1вано-Франк1вськ, 1996), на Vî-iii ¡Шжнароднш конференци iMCHÏ академика М. Кравчука (Kiiïb, 1997), неодноразово на ceMmapi з теорп аналтгшпх функшй у Львов1 (кер1внпк професор А. А. Голь-дберг) та региональному ceMiHapi з математичного анал1зу (кер1внпк професор М.М. Шеремета).

Структура i обсяг роботи. Дисертащя складаеться 1з вступу, чотирьох роздЫв, списку цитовано1 лтератури, що мктить 72 найме-нування та списку основних позначень. Загальний обсяг роботи 120 сторшок.

3MICT РОБОТИ

У встут i роздал 0 дана загальна характеристика роботи, обгрун-тована актуальтсть темп, мета, теоретичне значения проведених до-слижепь, викладеш основш положения дисертацп.

Предметом розгляду розыу 1 е умови справедливост1 сшввщношен-ня (10).

Нехай H (А) - клас абсолютно зб!жнпх у Bciii плошиш ряд1в Jipix.ie

n=0

де А = (А„), 0 = А0 < Ага t ос (п +эс).

Нехай L - клас додатних неперервнпх на [0. +зс) фуакщп, шо зро-стають до -foc: L\ - клас функшй h 6 L таких, що х = 0(h(x)} (х —¥ +оо), h(0) = 0: Ln - клас диференшйовних функшй А € ¿i таких, що h'(x) h'(x) = 0(ех) (х +оо).

Для v 6 L через На(А.ф) позначимо клас функшй F G Н(А), для яклх (Зс > 0) : \an\ < ехр| - A„ti(r;An)| (п > щ). Для Ф Ç L позначимо

Нх( А,Ф) = Я( А) : 1п F) = 0{аФ(а)) {а -++ос)}. Я2(А.Ф) =

{F £ Я(А) : (За, î +oc)(ln n(aj.F) = 0(^Ф(<т,))) }. Через Я+(А). Hj~(А. Ф), #+(А.Ф) позначаемо виповино класи шлих ряд1в Д1р1хле. для яких «о = 1. а„ > 0 (n > 1).

Через Aj позначаемо послщовшсть А. для яко!

lim / ——= +dc. n-^+эс In п J t-0

Через An позначаелго послиовшсть А. для яко! виконуеться умова

supj^ : , > = О(^) (а- +оо). де n(t) = ¿1 - ш-чнльна функтя посл1довност1 (А„).

Теорема 1.1. Нехай h <Е Lx, Ф <Е L. Tofli для функци F € Я+(Л) виконуеться сшввиношення (10), як титьки справджуеться хоча. б одна з наступних трьох vmob: 1)

+ ЭО

, _0

/

о

t ~h(\nn{t))dt < +ос; (19)

2) F еН?{Л2,Ф) i

ЬФ(х)

(Vb > 0): Jim_ I f t~~h(lnn(t))dt — 0;

(20)

X—ОС

U

3) F € Я+(Л2,Ф) i

6Ф(х)

(Vb > 0) : lim - i t~2h(lnn(t))dt — 0. (21)

¿t-H-oo X J 0

Шдроздш 1.1 присвячений доведению uici теореми. У тдроздш 1.2 встановлюеться необхщшсть умов (19)-(21) у вхдповщних класах. Зокрема на цьому шляху одержуемо доведения питовано! вище гшотези М.М. Шеремети.

Настлтша теорема вказуе на необхшпсть умови (19) в усьому icaaci Я+( Л).

Теорема 1.2 Нехай h 6 Li. Для кожнсн поотдовност) Ai, для якси не виконуеться умова (19) icHvc F € Я(А1) така, що сшввиношення (10) не виконуеться, тобто

1

lim 771-7 1п —ТБГ < (22)

n-»+ooft(lnn) <Jn(F) v .

1з теорем 1.1 (1) i 1.2 негайно одержусмо наступил" теорему. Теорема 1.3 Hexaü h £ L\. Для того, шоб для кожно! функшз F £ H(Ai) справ лжуватось сшввйношення (10) необхино i досить. шоб впконувалась умова (19).

При h{x) = ех ¡з теорем 1.3 отримусмо наступний наши док. шо MicTiiTb в cooi твердження иитовано! вище гшотези М.М. Шеремети. Наапдок 1.1 Для того, щоб для кожно! функпп F £ H(Ai) справджу-валось ешввшношення

lim \/an(F) = 0. (23)

неоох1Дно i досить, шоо

+ ЭО ^

£-<+ос. (24)

п=1

Теорема 1.4 Нехай Ф 6 L. а h £ L->- Для кожно5 послщовноеп Л = (Л„) такой що для деякпх Ь, Ь^ > 0

Иль 7 Y -— (h(ln(n -f 1)) — Л(1п n)) > bi, (25)

t . TT. , . A„ v /

а також

i_* + oc А„<ЬФ(() "

A„

A„ f/i nn ,

— / -i—i-üdi +CO (n ~> +oo). In n J t2

(26)

кнуе функщя £ Н1(А\, Ф) така, що виконуеться (22). 1з теорем 1.1 (2) 1 1.4 одержуемо в1дразу наступне твердження Теорема 1.5 Нехай Ф £ Ь 1 И £ Ь2. Для того, щоб для кожно! функпп Р £ ^(Лг- Ф) справджувалось сшвв1дношення (10) необх1дно 1 досить, шоб виконувалась умова (20).

Подобно до теореми 1.4 встановлюсться наступна теорема. Теорема 1.6 Нехай Ф £ Ь 1 к £ Ь2- Для кожно! посл1довност1 А = (А„) тако!, шо виконуеться умова (26) 1 для деяких £>, > 0

Т15Г- V -1 (й(1п(п +1))-Л(1пп)) > Ьь (27)

<-» + оо £ Лп V /

¡снуе функшя F £ #2(^-1. Ф) така, шо справджуеться ешввшношення (22).

Под1бно до теореми 1.5, Í3 теорем 1.1 (3) i 1.6 негайно одержуемо наступну теорему.

Теорема 1.7 Нехай Ф G L i h G Х2. Для того, щоб для функци F € ,£Г2(Л2, Ф) справ джувалось сшввЦношення (10) необх1дно i досить, щоб виконувалась умова (21).

Через НР(А), р > 1 позначимо клас цишх функцш F(z), z G Ср, зображуваних абсолютно зб1жними для bcíx 2 G Ср кратними рядами Д1р1хле

+оо

F(z) = апе<г'л">, ||п||=о

тут ||n|| = ni + п2 +----b пр, для мультшндексу га = (ггь гг2,..., np), a

(г,у) = %i¡Ji + Х2У2 Н-----ЬХрУр для х = (Ж!,...,^), 2/ = {У1,...,Ур),

А = {А„ : n G Z^.} - фшсована послщовшстъ А„ = (А^',..., А^рр') така, шо 0 < А^ t (к +00), j = 1,2,...,р. Для функцп F G #Р(Л) i для сг G Rp покладемо M(cr, F) = sup ||F{a + it)\ : t G Rpj,

fi(<r,F) = max|janje^n^ : n G Кожне v(a,F) G Z+ таке, що

|оу|ехр|(сг, Ay j- = ¡i(cr,F) називаемо дентральним мультшндексом кратного ряду Д1р1хле. Через n{t) = Y^ позначаемо лиильну фун-

Pn||<t

кшю посл1довноеп (||AU||), KpiM того, для функцп F G НР(А) нехай n(t, F) = I3||An||<t anlto де а™ ~ коефш1енти ряду, a nj(t) = £ 1 "

P^llSf

.¿чильна функц1я послиовнослч (А^) - j-тих компонент вектор!в (Ап).

Для а € Rp позначаемо \а\ — + а\ -|-----Ь а^. Визначимо конус

зростання максимального члена /х(<х, F) функци F G НР(Л)

lF d= (a G Rp : lim - ln fi{ta, F) = +oc V ( г-Н-оо t J

Через L, як i вше позначаемо клас додатних неперервних зростаю-чих ло +оо функшй. Через Lq - позначаемо клас додатних неспадних

+оо

до +сс функцш k(t) таких, що J t~2k(t)dt <+ос. Через Хз, як i

о

више позначаемо клас неперервно диференпшовних на [О.+ос) функцш u{t) G L таких, шо u;'{t) j =0(¿{t)) (t -> +эс), а через L4

- тдклас L3, який складаеться з функпш w(t) таких, шо для кожно! функцй p{t) +эс [t -> +00), ~ 0 (/ +оо). Через L5

позначаемо клас дВ1ч1 неперервно диференцшовннх фу н кыш и; £ L та-

o{t)

ких. що J{t) 4 (t -> +ос), /i'(f) У (t -4 +ос), In^l-f

(f +00). де /¡(£) - функшя обернена до - . , а через L6 позна-чаемо клас диференпшовних функпш ш € L i таких, шо для кожного с > 0 йШ -_ ^- >0, де и; (х) - функшя обернена до

'(г))

X-i + OO

üj(x). Через Ly позначаемо клас функпш h(t) £ L таких, що для ко-

жно1 функцй e(t) —» 0 (i -» +эс) ^ ,■ 0 U +оо). а через

/¡-!(i) _

Xg - клас диференшйовних опуклих функцш h 6 L таких, шо для кожного с > 0, ft(cf) - 0(A(f)) (t -» +00), h'(i) In + ^ j = o(t)

(t —» +00). Нехай всюдп дал! 5Г - цклшдр, у який переходить ци-лшдр S'r = = (хх,..., хр) Е Rp : х2 + ■ • ■ + х^ < г2| при поворот! системи координат, при якому шввюь Oxi переходить у промшь {х е Rp : Xi — х2 — ■ ■ ■ - = С0.

РоздЬт 2 прпсвячений вивченню умов справедливост1 узагальненого сшввщношення Бореля. У тдроздш 2.1 отримуються ошнкн загаль-ного члена кратного ряду Д1р1хле через максимальний.

Теорема 2.1 Нехай k(t) £ Lq i F £ HP(A). Tofli знайдеться множина E така, що для кожного а ^ Е ёснуе v G таке, що для Bcix п£ Ър+

\\К\\

\ап\е^ <ß(a,F)exр j - J t~2 (||Än|| - t)k(At)dt j,

WKW

а для множини E виконуеться /ip(2i flSr) = 0(rp_1) (r -> +00). Наследном теореми 2.1 e наступна теорема.

Теорема 2.2 Нехай k{t) € L0, А = (AUA2,.. .,АР), Aj > 0 (Vj = ТГр), F 6 Hv(Л). 'Год! знайдеться множина Е така, що для кожного а ^ Е

icHye и € таке, що для bcîx n G Z+

<А„,Л)

<A„,A)

а для множини .E виконуеться fip(E П 5r(A)) = 0(rv~1) (r —> +co), де 5r(A) - цилшдр, у який переходить цилшдр S'r при поворот! системи координат, при якому bïcb цилшдра S'r перейде в пряму, що проходить через точки О i А (тобто, в пряму OA).

У тдроздш 2.2 знайдено умови cпpaвeдливocтi узагальненого сшв-вщношення Бореля. Основним результатом другого роздиу е наступна теорема (вар1ант nid теоремн при р = 1 наложить О.Б. Скасгаву). Теорема 2.3 Нехай w(i) € ¿4 i h(t) - функщя обернена до функци

,, , . Якщо F 6 Нр(A) i виконуеться умова ш \Ч

+ О0

J t~2h{hm(t,F))dt < +оо, (28)

о

то для кожного конуса К С Rp з вершиною у початку координат такого, що (К \ 0) \ "уF стввшшшення

w(ln М(<х, F)) - w(In ii(a, F)) -4 0 (29)

справджуеться при \а\ —>■ +оо (с € К \Е), де Е - множина така, що fip(E Л Sr) — 0(rp~l) (г -» -Ьоо), де цр - Mipa Лебега в Rp.

Сформульована теорема в1др1зняеться в1д више наведених результате П. Фентона, Л.С. Маергойза, О.Б. Скаскша, М.Й. Гречанюка не тш>ки формальним переходом до 6Libinoï юлькоси змшних та розгля-дом pядiв Д1р1хле i бшып загального сшввщношення (29), але й по cvTi. Так у випадку степеневих ряд1в новим моментом с врахування лише В1дмшних В1д нуля коефиценпв, а також повнипе описания винятково! множини. Те ж стосуеться i ряд1в Д1р1хле.

Насликом теореми 2.3 е наступна теорема. Теорема 2.4 Для того, шоб для кожно! функцп F 6 ЯР(Л) сшввино-шення (16) справджувалось при \а\ -foc (а 6 К\Е. np(EC\Sr) =

= 0(гр необхшно i досить. шоб викощ'валась умова

+ оо

lnn{t]dt<+ ос. (30)

/,

о

де К - довигьнии конус такий, як в теорем! 2.3.

Теорема 2.4 посилтае вшповщний результат Гречанюка М.И. (Укр. ма-тем. журнал, 1989, т. 41, N 8) у частиш, яка стосуеться описания винятково! множини.

Теореми 2.6 1 2.7 формулюють необхщш 1 достатш умови справедливое^ ствв^ношення (29) для шших клайв функиш ). Теорема 2.6 Нехай ш £ Ьа П Ь5 П Ьс,. Для того, шоб для кожно! фун-кип Р £ НР(А) сп1вв1дношення (29) справджувалось при \а\ +эо (а £ К \ Е, цр(Е П 5Г) — 0(гр-1)) необхщно 1 досить, шоб виконува-лась умова

+ 0О

^ 2 з

/

Г7h(ln n{t))dt < +00, (31)

о

де К - довигьний конус такий, як в TeopeMi 2.3.

Теорема 2.7 Нехай ш i h таю, як в TeopeMi 2.3, А — (Лх,..., Ар), Aj > 0 (Vj). Якщо F £ ЯР(Л) i виконуеться умова (28), то сшввщно-шення (29) справджуеться при |<т| +оо (сг £ К \ Е, цр(Е П 5Г(Л)) = = 0(гр_1)), де К - довмъний конус такий, як в TeopeMi 2.3.

У тдроздип 2.3. доведено HepiBHOCTi типу Вшана для кратних ряд1в Jipixae.

Теорема 2.8 Нехай F{t) £ ЯР(Л), h(t) £ Ь7 П Ls. Для того, щоб для довшьного е > 0 i для вйх a g Е ^/J,p(E П Sr) = 0(гр~г)J виконувалась

HepiBHicTb M(a,F) < р(сг, F)exp|c:ft~3 (In//(a,F))| необхщно i досить, щоб виконувалась умова (31).

Встановлено насждки з теореми 2.8 при h{t) = tvd-«) , 0 < а < 1, h(t) и t{\nt)a, а < 0.

У третьому роздт зберйгасмо позначення з роздхлу 2. IvpiM того, нехай А = (Лх,...,Лр) 6 Rp - фшсовашш вектор, а {С(г,Л)}г>о система Л-под1бних полшншних областей, яка е вичерпаниям Ср.

Для функцп F € НР(А) позначимо SF{r,A) = sup j|.F(z)| : z €

G(r, Л)|. Вважаемо, що Sp(r, Л) < +со (Vr > 0). Для цього досить

вимагати, щоб Б^ С G(r, А) С при деяких R\ < Ro, де Пд = {2 Е € Ср : Re Z\ < R..... Re zv < /?}. Осшльки, In Sp(r, A) - опукла функ-шя, то у не! всюди гснуе правостороння поххдна Lp(r,A) (lnS^(r, А))!^., яка е неспадною функщею.

В1дзиачимо, що в KHirai Стрелхца Ш.1. розглядаються лише вичер-пання {G(r,A)} 3 А = (Ai,...,Ap), Aj > 0 (j = ТТр)- Хоча по-сут1 використовуеться те, що у цьому випадку L(r,A) î +00 (i—> +00). На-ступна лема шстить умови, що е необхшшми i достатшми для того, щоб L(r, A) t +00, (г +оо).

Справедливе наступив твердження. Лема 3.2. Для функцп F £ НР(А) виконуеться Lf{t,A) t +00 (r -> +оо) тод1 i тгпьки тод1, коли А € 7^.

У цьому роздш вивчаеться поыедшка кратних ряд!В Д1р1хде в окол1 точки максимуму модуля. Встановлено pi3HÏ аналоги теореми Вшана. Теорема 3.1 Нехай F S Нр(A) i А G Тод1 сп1вв1дношення BF(r,A) =f sup ^Re F(z) : z € 5G(r,A)}=(l + o(l))SF(r,A) та

Af{t,A) d= inf [Re F(z) : z 6 dG{r, A) j=-(l+o(l))Sf(r, A) справджу-ються при г —» -foc (r G R+ \Е, Е - скшченно! Mipn).

Наслщком теореми 3.1 е наступна теорема для плюр1гармошйних в Ср (р > 2) функцш.

Теорема 3.2 Нехай и - плюрйгармоншна функция в Ср. Тод1 спшв1дно-шення B[R) = — (1+о(1))А(Д) справджуетьсяпри R —> +оо зовш деяко! множили смнченно! логариф.\йчно1 Mipii, де

B{R) d= sup{u(z) : \г\ = R}, A(R) d= inf{u{z) : \z\ = R},

M = у/Ы2 + Ы2 + -Ы2.

Разом з теоремою 3.2 справедливе подгоне твердження для rcnopi-гармошйних функцш при довитьному вичерпанш Ср системою подхб-них повних кратнокругових областей. Зокрема справедливе наступив твердження.

Твердження 3.1 Нехай и - плюр1гармоншна функц1Я в Ср. Toji сшввшношення B\{R) = —(1 + o(l))Ai(iï) справджуеться при R —> -foc 30ВН1 деяко! множини скшченши логарпфшчшй Mipn, де B\{R) =f sup{«(r) : - - (n,...,^),!^! - - R}. Ay(R) inf{u(r) :

r = (rb____Zp), \zi\ = /?,..., \zp\ = II}. Через (a,t)£L0 позначного впо-

рядковану за неспаданням по&лдовшсть (||АП||). Нехай всюди да-ii n(t)

- л1чильна функшя посл1довност1 (о^). тобто для t > 0 n(t) = 52 1 —

ak<i

+ ос

Ii £(t) = f x~2lnn(43-)dx. l|A„||<i t

У шдроздш 3.2 встановлено теорему про поведшку функнп F € НР(А) в окол1 точки максимума модуля.

ос

Теорема 3.3 Нехай F(z) 6 НР(А) i виконусться умова УЗ kk^ < +30-

к—к0

1 ( — Х 1 Нехай к\х) — i —.- и ,—=ттг <Q — ö(c) < 1 - де min береться

V41) mm ||г/(<т. i7)!! за вс1ма значениями центрального мультшндексу.

Припустимо, що для деяюн точки zq = (-?■, ■ ■ ■, Re ;о = а виконусться HepiBHicTb |F(*o)| > QM(a,F). Тод1 при |ст| —» +ое, а € К \Е (цр(Е П Sr) = О(г7*-1) (г —>■ +оо)) i Bcix л = г0 + s таких, шо

Re,,- = Rezl |1ш - Im г»| < для Bcix

j — 1,... .р справедлива р1вшсть

I i<Ki<p J

(32)

\Ф1\< v^M^I^-aiM))", (1 < г < J < Р),

|sj| = max ¡«¿j, M = In 1,55, С = 14у/р. 1<!<р

3 теореми 3.3 отримано наступний аналог теореми В1мана. Теорема 3.4 Нехай F(z) Е НР(А) i виконуеться умова (32). Тод1 cni-вв1дношення (1 + o(i))B(a,F) = М(а,F) = -(1 + o(l))A(a,F) виконуеться при |сг| —> +оо, a G К \ Е, де К - довш>ний конус з вершиною у початку координат такий, шо К \ {0} С 7f, Е - множина винят-кових значень, Mipa Лебега перетину яко5 з множиною Sr мае оцшку

Ир(ЕПБг) = 0{г?-1) (г +оо), а А(<т,Р) = и* {Ле + : * £ Яр}, В(сг, Р) = эир {11е Р(ст + ¿4) : Ь £ 11*}.

ВИСНОВКИ

У дисертацп вперше отримано остаточне розв'язання як деяких проблем, що стосуються асимптотичного поводження щлих (кратних) ряддв Д1р1хле, 1 яга виниклп в останш роки, так 1 вперше отримано доведения одшй давньо!, висловлено! М.М. Шереметою [Укр. мат. журнал, 1979 р.] гшотези, яка стосуеться питания швидкост! зб1жност1 додат-них лакунарних степеневих ряд1в, що задають цЫ функцп.

1з результата дисертацп про швидккть зб1ЖНО(лч ряд1в Д1р1хле (зяайдена у дисертацп форма таких результат1в) 1 теорем про сшвв1д-ношення Бореля 1 нер1вност1 типу Вшана випливае ёх близгасть (певна дво1ст!сть) у тому сена, що умови, яю забезпечують перел1чет вище типи сп1вв1Дношень в щлому виявляються одними 1 тими ж.

При доведенш вах описаних вище результата використовуються методи праць П, Фентона, М.М. Шеремета, О.Б. Скасюва, а для вста-новлення результата для цших кратних ряд1в Д1р1хле, кр1м того, ¡сто-тно доповнено ¡снуючий метод, що дало змогу отримати бш>ш ефекти-вну ошнку винятково1 множини у неровностях типу Вшана-Вамрона, у яких даеться оцшка загального члена ряду через максимальный 'х яка лежить в основ1 доведень вах нових теорем дисертацп, яга стосуються щлих кратних ряд1В Д1р1хле.

Основш результаты дисертацп опублшовано в роботах

1. Орищин О.Г. Аналоги теореми В1мана для цших кратних ряд1В Д1рЬсле. // В1сш1к ЛДУ. Питания алгебри та матем. ф1зики. -

1996. - Вип. 43. - С. 20-23.

2. Оришин О.Г., Скасгав О.Б. Про швидккть зб1жност1 часткових сум цших ряд!в Д1р1хле // Матем. студи. Пращ Львгв. мат. т-ва.-

1997. - Т. 7, N 2. - С, 167-173.

3. Скасгав О.Б., Орищин О.Г. Узагальнення теореми Бореля для кратних рядгв Д1р1хле // Матем. студи. Пращ Льв1в. мат. т-ва. -1997. - Т. 8, N 1. - С.

4. Орищин О.Г. Поведшка щлого кратного ряду Дёрёхле при великих значениях модуля його сумн. Укр. - Деп. в ДНТБ Украши. 29 с. 11.05.95, N 1191. - Ук 95.

АНОТАЦП

Оришпн О.Г. Асимптотичш властивост1 шлих (хфатних) ряд^в Ji-ршге. — Рукопис.

Дисерташя на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-мате-матичних наук за сиешальшстю 01.01.01 - математичнпй анализ. -Льв1вський державний ушверситег теш 1вана Франка. Лыив. 1998.

Дисерташю присвячено вивченню астшптотичних властивостей ni-лих та шлих кратних ряд1в Д1р1хле. Для кратних ря;пв Д1р1хле вста-новлено аналоги класичних сшвв!Дношення Бореля i HepiBHocri BiMaHa. Отримано hobi результати про швидюсть зб1жноеп шлих ряддз Д1р1хле. У клай шлих кратних рядхв Д1р1хле ютотно доповнсно метод Вшана-Вал1рона, що дало змогу отримувати б1льш ефектпвш за к'нуюч1 ощнки Mipil ВИНЯТК0В01 множини.

Клютюв1 слова: uLii функип, ряд Д1р1хле, метод В1мана-Вал1рона. асимптотичш властивостк

Орищин О.Г. Асимптотические свойства целых (кратных) рядов Дирихле. - Рукопись.

Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. -Львовский государственный университет имени Ивана Франко, Львов, 1998.

Диссертация посвящена изучению асимптотических свойств целых и целых кратных рядов Дирихле. Для кратных рядов Дирихле получены аналоги классических соотношений Бореля и неравенств Вимана. Получены новые результаты о скорости сходымости целых кратных рядов Дирихле. В классе целых кратных рядов Дирихле существенно дополнен метод Вимана-Валирона, что дало возможность получать более эффективные, нежели существующие, оценки меры исключительного множества.

Ключевые слова: целые функции, ряд Дирихле, метод Вимана,-Валирона, асимптотические свойства.

Oryshchyn О. Asymptotic properties of the entire (multiple) Dericlet. Series.- Manuscript.

The thesis for obtain Candodate of the Physical and Mathematical

sciencies degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis.- Lviv State University by I. Franko, Lviv, 1998.

Scientific work is dedicated to studying of the asymptotic properties of the entire and entire multiple Diriclet series. Analogues of the classical Borel's selation and Witman's inequality for the multiple Diriclet series are proved. New results about the convergency rate for Diriclet series are obtained. There are also important additions to Witman-Valiron's method in the class of the entire multiple Diriclet series that allows to obtain more effective estimates of the measeere for the exceptional set.

Key words: entire functions, Diriclet series, Wiman-Valiron's method, asymptotic propertis.

IliAiiHcaiio /jo apyicy 25.03.98 <J>o|)Mar 60\84 1/16. rianip o(|>ceiiiiiii. rapiiirypa Times 04>ccTiiin"i /ipyk\ yihobii. flpyK. iipic. 1,6 Ymoii. <J>ap6o-nifl6. 1,5 Ou.t. iiii/i apt; 1,6 iiaioia,a 100 npiiivi. 3a,\ioBJieiniH 181 ill! Mapycii'i M.M., m. Jli.ijiii, iiji. OcMOMiiaia, 5.