Асимптотические свойства целых рядов Дирихле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЛЬВОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. ФРАНКО

на правах рукописи

ХЕРАТЕ САФАЕ

УДК 517.576 Асимптотические свойства целых рядов Дирихле 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Львов - 1992 г.

Работа выполнена на кафедре теории фушодяй ¡1 теории вероятностей Львовского государственного университета им. И.Франко.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент Скаскив О.Б.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мельник Ю.И.

кандидат физико-математических наук, доцент Винницкий Б.В.

Ведущая организация: Институт пршелздннх проблем механики и математики г. Львов

йавдта состоится ,, 21 мал 12Э2 г. 15 час.

ни заседании специализированного совета К 063.12.13 по при-суяцшмп ученой степени кандидата физико-математических тук во Львовском государственном университете им. И.Франго / 2Э0602, г. Львов, ул. университетская, 1 /.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Львовского госуниверсятета /г. Львов, ул. Драгоманэва, 5 /.

Автореферат разослан „ 1С и апреля 1Э92 г.

Учений секретарь специализированного совета

К 068.12.13 Я.В.Микитюк

Л ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из центральных вопросов теории аналитических функций является задача исследования их асимптотических свойств. Среди прочих различных методов, применяемых при этом, хорошо известен, так называемый метод Вимана-Валирона, основывающийся на следующем элементарном замечании /см. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анали-за.ТД.М^: Наука,1976.Отдел 1,гл.3,задачи 122,123/. Пусть -С,(?) =27 2 п - целая функция, а ряд ¿и.'3-"'

■¿п > имеет конечный радиус сходимости и такой,

что для каждого ft € № найдется О <л < Лл такое, что

I ¿н.\л.п* J)1*-) тл* [ :j>,o} - максимальный член. Тогда на!1дется л "> о и найдется л < такие, что для всех л £ ИГ

/ 1 /

Действительно, достаточно рассмотреть целую функцию /4iHJ-^ » называемую иногда функцией сравнения или рядом сравнения, воспользоваться определением максимального члена и положить ОС^л , где тшсое, что

- Vfitx), где - п: \йп.\лп = \ - цент-

ральный индекс соответствующего степенного ряда. Выбирая теперь функцию iz специальным образом, получим из /1/ различные оценки сверху общего члена произвольной целой функции через максимальный член (П) , из которых уже выводятся различные утверждения о самой целой функции, в частности о поведении функции и ее производных в окрестности точки максимума ее модуля на окружностях. Если ряд сравнения не сходится во всей плоскости, то уже получить 5^акую-либо содержательную информацию о связи между и {г, таким способом нельзя. Заметим, что долгое время отсутствовало четкое понимание того, как оптимальным образом следует выбирать , что в свою очередь рождало как новые подходы к получению результатов типа Вимана-Валирона /см., например, [1], С2]/, так и делало не

til. fen-icn р.с. /fTnans . А теп . МаЫ ■ Sot . 1119. V- 2 52 . Р. 221 -2 32. MtCi'ntfM /1 ■?//Gua.-it ■ 7. MAifi. ■ V. 9 . р. 81 - .

очень эффективным применение метода к лакунарным степенным рдцагл и целым рядам Дирихле /см., например, [3-5]и т.п./. И лишь недавно для ряда задач это окончательно прояснилось, вследствие чего в различных классах целых функций были получены окончательные результаты. При этом использовалась модн-фикодия, предложенная М.Н.ШереметоИ применительно к целым рядам Дирихле, одного подхода из работ w j.^ %д\/а.лГГ. ,

применявшегося к ст(;ношц:м рядам.

Отметим также, что п работах Ге^Ык p.c. > Хомяк М.М. делались попытки и ¡лучения результатов типа Биг.ина-Валиропа и в случаях, соответствующих случаю расходящегося ряда сравнения. О.Б.Скаскив предложил в этом случае некий подход, основывающийся на синтезе идеи из работ М.П.Шереметы, Feidm p.c. М.М.Хомяк. D диссертационной работе этот подход развивается применительно к целым рядам Дирихле, получаются оценки общего члена целого ряда Дирихле £ Ыи.

, о, —-«i /2/

rt.ro

и 1

через максимальный член itwor { iaM|<? : п о {,

которые затем применяются для доказательства теорем об условиях выполнимости соотношения

-/«. HLe~, Г) = (- 't+octl) -tu. Г С <r,F) /3/

при <г—■» вне исключительного множества, где г) =

- 5u|i{ : ü £ IR } , и на основании этих же оценок

нолучеюгея утвер;кдения об условиях справодливости соотношения

Мсе.п* С -UoiD) / 4 /

при вне исключительного множества, где Lctr, F)_

правосторонняя производная от /ч с i Г.) , а ¡>(.<г) -

[HJ -1929 ■ Bd. 29. <J. zei<-

141 . А »и'лл 3. // Maii.i. Bd. 31 ■ S. 591,-600.

f 5 J . 5 ¿«.5 'U- R.. Ц Pnoc. Loulan- Ma.il. 5<?c . (3) . 19 71 ■ .

V ■ 21 j N 3 . f. 521 - S33-

Р«Г|П= улмс\п: - /< с<г, р) { -центральный

индекс, Ъраг) - центральный показатель ряда / 2 /. Из полученных оценок выводятся утверждения о скорости сходимости частных сумм ряда / 2 /.

Цель работы. Пусть ф^)-всюду в дальнейшем неубывающая к + при I положительная на £.—<*>» функция. Обозначим через А .последовательность показателей ряда / 2 /, а 5 (А) ■ класс абсолютно сходящихся всюду в С рядов Дирихле. Пусть

5 ( л ,ф) = { Г€ 5М)4п. У- (а-, г) =• О (е-фсо-)) (

j —и*»)}.

Целью настоящей диссертационной работы являются развитие методики типа Вимана-Валирона в случаях, отвечающих расходящемуся ряду сравнения, получение необходимых и достаточных условий в классах 5 С Л> ф) , 5* I. Л/ Ф) для того, чтобы соотношение / 3 / выполнялось при б-—» -+«> вне исключительного множества нулевой нижней плотности, а также получение необходимых и достаточных условий в классах 5 (л.ф) и Б» СА1 ^ для того, чтобы соотношение / 4 / выполнялось при с—» +<>0 вне исключительного множества нулевой нижней плотности, и, наконец, получение оценок скорости сходимости частных сумм ряда / 2 / в классах Б ( л. <$) и Б* (л( <$ ).

Научная новизна и теоретическая ценность. Все полученные результаты являются новыми. В диссертации получены необходимые и достаточные условия в классах 5(.л, ф) и 5»(.л|ф) для того, чтобы выполнялось соотношение / 3 / при <г—»• +«> вне исключительного множества нулевой нижней плотности, необходимые и достаточные условия в классах 5(Л. и 5Ч сл.<$> для того, чтобы соотношение / 4 / выполнялось при о-— вне исключительного множества нулевой нижней плотности, и получены оценки скорости сходимости частных сумм ряда / 2 / в классах 5 (.л, ф) и 5» СЛ,ф)

Методы исследования. В работе используются методы действитального и комплексного анализа, результаты работ

О.Б.Скаскива а также идеи работ Fen-ien. p.c. , Шереметы М.Н., М.М.Хомяк и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Львовском межвузовском семинаре по теории аналитических функций /рук. проф. А.А.Гольдберг/.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 статьи.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти параграфов и списка литературы. Общий объем работы - 86 страниц.

Содержание работы

В § 1 получены следующие две общие теоремы.

Теорема 1.1. Пусть Г£ SC а, ф) и для любого 4 О выполняется условие

^ _1 ( wu) =0, U« t i

где \дНи) - неотрицательная на С о,+<*>) функция такая, что \fJLu.) - о при о ^а <и.и . Тогда существует множество Ел нулевой нижней плотности /т.е.

с/е]

(¿ЕА = -± те5 СЕ"л П С со-]) - о )

такое, что для всех <5- е С о, \ Е, и для всех а «г^п ' Ъп

4 iff.F) (-М--±) М1-И f j Wtt)dt;

M -^1)

/ 5 /

a,/

где |) т ^ и-, р) ,а 3" 1 - произвольное.

Теорема 1.2. Пусть г £ 5 ( А, ф ) и для любого 4 > о выполняется условие

( ¿и =0.

о

Тогда найдется множество /с о1Етакое, что для всех е- 6 [_о >-¥«>) \ Ег и всех п о выполняется / 5 /. Утверждения о справедливости соотношения

. Н^ и) = С 4 + о^О -Лг (-»),

которое впервые для целых функций рассмотрено в Сб]принято называть теоремами типа Бореля; здесь {

\1\ ~ я (. Для целых рядов Дирихле конечного Я -порядка, т.е.

f

** D

m-

^¿У (g-/ F^

¡Г

i

теорема типа Бореля впервые была получена в [3], при этом доказано, что если

nil) t^ L i = 0(-1*) и + я« .<м

для некоторого > о , то соотношение / 3 / выполняется при в~ —-> •

Вопрос о снратзедливости соотношения / 3 / в классе S(a) при т—v + « вне исключительного множества В , впервые рассмотренный в 17], затем получил исчерпывающее решение п 18], где была доказана следующая теорема.

6 . ВoreC Е. -Paris : баиЫгм - sjiMtrS , 49Z1 ■

7 . Шеремета М.Н. //Матем. сб. 1979. Т. 110, № 1. С. 102-116. О . Скаскив О.Б. //Матем. заметки. 1985. Т. 37, № 1.0.41-47.

Теорема А. Для того, чтобы для каждой функции Г £5(л) соотношение / 3 / имело место при (г- ц-« / <г 4 Е , е: — конечной меры, т.е. те$ ( Е п С о,) ) < / необходимо и достаточно, чтобы

< +«7 / 6 /

Пт1 И- Я И

В [ЭЗэтот результат уточнен для класса 5 (А > 4>) . Тагл доказана теорема, которую можно сформулировать в следующем виде.

Теорема Б. Для того, чтобы для каждой функции Р £ £ 5 (л, ф) показатели которой удовлетворяют условию

и А* С £ /7 /

соотношение / 3 / имело место при (У—/ 4 Е . Е -нулевой плотности, т.е.

-¡г г»г5{ЕпСо,«"]) = с) необходимо и достаточно, чтобы для любого ■<?><?

^ 4 Г , -¿5=0. /8/

В § 2 диссертационной работы эти результаты в классах сэ(А)ф) и Чч,(Л, ф) уточняются. Обозначим через Л* = - последовательность показателей ряда / 2 /, удовлетворяющую условию

9 . Шеремета М.Н. //Матем. заметки. 1987. Т.42. Вып.2.С.215-226.

< /5 ( к. > ), / 9 /

а через ^ (Л^ , ф) _ класс д ( Л, ф ) с последовательностью Л = /\г . В § 2 доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Для того, чтобы соотношение / 3 / выполнялось для каждой функции т & 5 С Лг, ) при <г—■>+<» , с1 Е" - о /, необходимо и достаточно, чтобы для любого > о

— — =-0. / Ю /

Теорема 2.2. Для того, чтобы соотношение / 3 / выполнялось для каждой функции ё Ъ 1Лг» Ф ) при о- ^ / о' 4 Е~ , с!е"=о / необходимо и достаточно, чтобы для любого & > ¿7 «мало место / 8 /.

Заметим,что утверждения теорем становятся содержательными по существу, если

t —» + -о *

т.е. в классе целых рядов Дирихле бесконечного й. -порядка. В ? 2 доказаны, ?сро'.:е того, следующие теоремы из которых выводится необходимость в теоремах 2.1 и 2.2. Пусть

Д^ =. ( Яп.-) - последовательность показателей, удор-лтпорямщяя услонкп

•4л г

1ГИ-Н

-¿«.а

(Е 4

К Л.

<1 ■

/•и /

Теорема 2.3. Для любой последовательности Л - Л с ^ < ± такой, что при некоторых 4 0 и ^ > р

¿т. 4- I » — > ^

срюствует функция Г (: > Ф) , для которой соотно-

шение / 3 / невозможно даже вдоль некоторой последовательности значений (У - (Гц —> 4 «> Сп —, т.е.

Ль М Г) > ( + ) Л /' г; /12/

для >,, и некоторого •

Теорема 2.4. Для любой последовательности Л - Л^ с ({ < такой, что при некоторых 4 > о и т^ >о

^/'гп

г

> А

существует функция Р" £ ф) , для которой соотно-

шение / 3 / невозможно даже вдоль некоторой последовательности значений <г = <Гп. —* -V»« с л —»»+«») • Заметим, что при доказательстве теорем 2.3 и 2.4 используется конструкция, впервые предложенная в [8;10]

В § 3 диссертационной работы доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.1. Для того, чтобы соотношение / 1 / выполнялось при (г + о* /.б~ Е о / для каадой функции ^ £ 5 ( ^ г 1 Ф ) необходимо и достаточно, чтобы для любого > о имело место / 10 /.

Г.'10]. Скаскил О.Б. //Львов, 1983. - 39 с. - Ден. в УкрНИШГГИ.

Теорема 3.2. Для того, чтобы соотношение / 4 / выполнялось ПрИ б~ —> сх> / сг 4 £ , с1 В - о /, тая каждой функции Г £ (Л^.ф) необходимо и достаточно, чтобы для любого ^ б имело место / 8 /.

Отметим, что величина Л(<г) играет важную роль при исследовании асимптотических, свойств аналитических решений дифференциальных уравнений /см# [11]/, а также в некоторых других вопросах. Однако, непосредственное вычисление

по заданным (^п.) и (ал) обычно довольно сложная задача. Поэтому уже Стрелиц Ш.И. предпринимал попытки получить условия выполнимости соотношения / 4 / при гг—» -+оо вне множества конечной меры, и показал, что это утверждение обеспечивает условие

<А Спи)

при некотором Р > о . Вместе с тем, это условие оказалось достаточно далеким от окончательного. Окончательным а этом случае оказалось условие / 6 /(см.[12]Х Если же

Г € Б (А) ) и для любого 4 > о выполняется / 8 /, го соотношение / 4 / имеет место при сг —ч + °° / <т~ $ Е , <0 Е - о /. Условие / 8 / в этом случае, по-видимому.,также шляется окончательным, однако в этой же работе ответа на этот вопрос нет.

Доказательство достаточности в теоремах 3.1 и 3.2 юлучаем при помощи одного результата из £ 11^, а также слегших теорем 3.9 и 3.10.

Теорема 3.9. Пусть £ 5 СЛ*, ф) и ддд л^ого -в > о выполняется условие / 10 /. Тогда для каждого таксированного ^ ё. ЦТ и всех 9 , кев -V ,

11]. Стрелиц Ш.И. Асимптотические свойства аналитических решений дифференциальных уравнений. Виль.:Минтис, 1972,

12]. Шеремета М.Н. //Матем. сб. 1988. Т.137(179X0.128-133.

I Г- еИ < 11(зо >

при <Г —> (. с é С о, +*>) \ Е , ÎT = о) справедливы соотношения

к ■ к

F (s) - ( F(s) +о(М Ct,F))) ,

04 к

M (Г, F j = ( 4 + оси) M ir.FJ.

Теорема 3.10. Пусть F £ S л ( А г ,Ф ) и для любого выполняется условие / 8 /. Тогда для каждого фиксированного е »/К1 и всех s , ¡iss - Т ,

(эо ¿СМ) ,

при б"—» + 00 с сг е С о, +«?) \ Е , d£ = о ) справедливы утверждения теоремы 3.9.

§ 4 посвящен исследованию скорости сходимости целых рядов Дирихле, с положительными коэффициентами, из классов S 1Лг, ф) и S* C/Vл, ф) .

В [13]доказана следующая теорема В. Теорема В. Для того, чтобы для каждой функции

FU) = JL але «п. > £> оJ

принадлежащей классу S( А1 , выполнялось соотношение

/i'm -J- -At - : +м, /14/

[13]. sfrertmtia H.rJ. II /)ла/. Мои/. -i^v . v . <f? , дм. P- 47-У«.

необходимо и достаточно, чтобы имело место / 6 /; здесь

6VF) ^ >»<»* [ ----X € ® \ ,

S„oo FO)

к -у').

ЪЛ(у) ~ ¿L ¿v в

к - о

Кроме того, там же доказано, что если для функции Ft b (-А) ф ) выполняется / 8 /, то имеет моего / 13 /. Л если выполняется / 11 / с ^ = с , то необходимо, чтобы имело место / 10 /. В § 4 установлено, что для справедливости / 13 / в классе 5 (Лг> Ф) необходимо и достаточно, чтобы для любого 4 О выполнялось / 10 /. Условие же / U / оказывается необходимым и достаточным для справедливости / 13 / п классе С Л?, / ^ ) .

Обозначим через 5 "Ч Л^ класс функции F ? Л1) с положительными коэффициентами.

Имеют место следующие две теоремы.

Теорема 4.1. Для того, чтобы для каждой функции V t 5» САг> <Б)выполнялось соотношение / 13 /.необходимо н достаточно, чтобы .для любого имело место усло-

вие / В /.

Теорема 4.2. Для того, чтобы для каждой функции F€ £ S 1 ф ) выполнялось соотношение /13 /, необходимо

j достаточно, чтобы для любого > О имело место ус-товио / 10 /.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях

.. Скаскив О.Б., Херате С. Одна теорема типу Бореля для ц1лих ряд1в Д1р1хле //В1сник Льв1в. ун-ту: Прикладн1 питания математики. 1УУ1. Вии. 3G. С. 42 - 43. I. Скаскив 0.Б,, Херате С. Некоторые теоремы типа Бореля для палых радов Дирихле. - Львов, 1991. - 25 С. - Деп. в УкрШШГГИ.

3. Скаскив О,Б., Херате С. О центральном показателе целого рада Дирихло. - Львов, 1991. 25 С. - Деп. а УкрШШГИ.