Асимптотические свойства устойчивых случайных процессов и полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Г Б ОД

1 о ЛПР 1985

НАЦЮНАЛЬНА А КАПЕ M !Я НАУК УКРА1НИ 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Не праш руеояксу

С2НЧЕНКО НадЫ Mycffsaa

АСИМПТОТИЧН1 ВЛАСТИВОСТ1 СТГЙКИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСШ I ПОЛЮ

0I.0I.CS - т«ор1з ймотприостей тя ыатеммичн» статяетзяа

АВТОРЕФЕРАТ ВяггртапН на пдобуття науюзого ступвпа дмтор» фЬиоуитгжптгчпях йаув

Knin тъ

Дисертац1ею е рукопис.

Робота внконанл у Ки!вськоыу ун!версите?1 Тараса Мевчйнка.

0ф1ц1йн1 опоненти - доктор ф1аико-математкчних неук, лрофоеор ГШО Й.Л.

доктор ф!зико-«атематичннх наук ЛШЮВ 0.8,

доктор $1зико~и&тем&тнчних каук, СВ1ЩУК А.В.

!1ров1дна орг«ш1яьц1я - 1нститут прикладно! математики та ыехвнхки НАЛ УкраЬш

ОЬ & Захист в1дбудет1>ся _" " 1996р. о_годин}

на оасЦанн! Сиец1ал1зовако! ради Д 01.66.01 при 1нститут1 ыатекатикм ИАН Укра!нм за адресов! 252601, Ки!в, нулЛеро -ценк!вська 3 , конференц-зал.

3 дисертац!ею и сана оамайоыитись у б!бл1отец1 1нсти -

туту.

Автореферат роз!слано " $ » ОЗ ¡99а р.

Вчений секретар спец1Еи^эовано1 ради

о

ГУСАК Д.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РСЬОГИ

Антуальнтсть теыи. ДисертацЪ- присвоена доведению гранич-них теорем типу сильного принципу хнвархантностх дль суи неза-лехних однакоео роэнодхлених випадковнх величин з облает! при -тягання ст1йкого захону та досл1дженню асимптотичног повед1нки / локальний рхст та рхст на нескхнченностх/ стхйких випедкових процеглв г пол1в.

Граничн1 теореми длл сум незалежнкх ьипадкових величин зай-

ышоть особливе ьисце в теорп 1мовхрностей, про що евхдчить безлхч роб!т э оде! тематики. Серед них мшена видхлити дв1 групи результатхв: по-перше, результати стосоино з61жност1 за розпод1лом, починаичи з центрально! грани >-но1 теореми 1 закгн-чувчи питаниям эС1жност1 1моь1рн1сних М1р в метричних просторах; по-друге, результати цодо зб1жност1 з ;Ыов1рн1стю I ,зо-крема, р1знх модиф1кацхх закону великих чисел х закону повторного логари4ыу. До цих задач Сезпосередньо.вЦносяться такс» питания, лоа"мзан1 з асимлтоттноя поведхнкою процесхв 1з неза-леяснини приростами. Це I основополоянх пращ О.Я.Х1нчина , Б.В.Гнедснка, П.Лев*1 та б1льи пхзн1 роботи А.В.Скорохода , ЯЛ.Пхмала, В.М.Золотарьова , Н.Б.КалхнаускаЯте, С.Тейлора, $1.1Шнх1ера, Да. Хоукса, Б.&р1стеда, В.Пру1тта та хн,

Своврхдниы метком, цо зв"яэуе цх групи задач, в так званий "сильниЯ принцип 1ниар1антност1" /СП1/. Залочатковашй прах^ми А.Б.Скорохода *а В.Штрассена, В1Н, завдяки резульга -теа Черге х Ревеса, Найера, Коылоза 1 Туичьд1, Веркеша, Йлхп-па, Стоута, в осташи десяткрхччл зайняв ч1льне ьасца серед гра мнчнкх теорем теорх! хыовхрностей та пхд наэво» "метод одного ймов1рнхсного простору" знаЯиов ашрокв застосування в статисти-ц|. СП1 ствердауе маяливгеть побудови на одному Йиов1рн1сному простор4 послхдовносгх сум незалеяших однаково розподме -них випадкових величин /н.о.р.в.в./ разои хз в!нер1вським процесс» \л/ш так, цоб р4эницн |£>п, - | э 1нов1рн1стп I при п-»» не перввк^увала дояко! невппадково! фунмц!, вигляд яно| залетать в!д додаткових припу^ень цодо роэлод!лу доданкха. Як правило, ц® В!210Гй «а1нчвнност1 икгент4в но нкхче другого

£

порядку. Тому актуальною е проблема уэагальненнн сильного принципу iHBapiaHTHOCTi, коли вадмовитисн В1Д прилущення про icHy -вання другого моменту i, тим бхльше,- момент! в сшдого порядку . Природаою в задача про мохлив1сть м.н. апроксимацН на одному ilMODipniслому простор! сум и.о.р.в.в. з облает! притнгання crifi-кого закону за допомогою стойкого процесу /аОо поля у випадку кратних сум/. Отяе,друга вежлива тема - вивченни асимптотично! повед1нки ст1йких процес!в i полхв с но кенш актуальной. Випад-ковг процеси з незалехними приростами о цабуть ньйбхлыа д0сл1д-яеним класом виподкових процесхв, проте основна кхлькхсть результат! в стосуеться пуассонхвського та в1нер1вського ироцесгв. Стхйкх процеси вивченх порхвшшо ггрше, хоча qohh застосовують-ся для ппису ряду реальних лвмц в астрономп, радхоелектрон1ц1, ядернхй фхзицх, reopii надхйноси, екснометривд. Це менае ре -вультапв вхдомо цодо стхйких пол1в.

Таким чином, проблематика дисертацхйнох рбботи в актуальное як з точки зору власнох лог1ки розвитку Teopi'i iMOfiipKOCTeli , так i з точки зору ii застосувань.

Нега роботи полягае, no-парше, в доведен»! сального прнн -ципу iHBapiaHTHOCTi для сум н.о.р.в.в. з обласи притигаиня CTittKoro закону та його узагальнень дня сум нез&легних виподкових веиторхв та сум н.о.р.в.в. з нульти.4ццексами, Гю-доуге, в дисертащ! дослхдден1 асимптотичнх властивост1 стхйких випадко-вих npoqeciB i пoлiв та ix приросив. Основна у вага придхлена стхйким процесам i полям э параметрами fi>1 1 , 1 < с*, < 2. Для них доведен! pi3Hi модифхкацп закону повторного логарифму,як1 эавдяк1 СП1 леренослться i на П0сл1д0вн1сть сум. Вивчен1 умови s6i*nocTi 8 iMoeipHicTD I до constфо нормованих сум стхйких н.о.р;в.в., що эалеж&ть лише в!д лп осташих спостережень , коли t4rv-* со , але не ювцдше за п. .

Наукова новизна. В дисертецх$ вперше доведено аналог CIH длi: н.о.р.в.в. з облает! притягання стхйкого закону бег будь-яких обмежень на значения характеристичних параметр!в a, t fb стхйкого закону. Цоааивхсть розглядати не симетричнх розподхли / рф О / дае ряд кормсних насладив у випадку притягання до "крайнхх" птхйких законов /р = ± i /. Схоплениы вш^вляеться i випадок а, = 1 . Розроблений метод доведения, що спирасться на

'aartuibHi мрококмац^йнх теореии, дав зиогу донести узагальнен-ня Uli для сум. незолежних однаково розподхлших випццкоьих ве-кгорхв з о<5ласт1 притягання стхйкого закону Ловх - Фвльдгейма. Вперло доведено також аналог СП1 для кратних сум н.о.р.в.п. з областНпритягання CTiHKoro закону, при цьому використонуеться : u.M. адроксимацхя смйким полем. Вигляд похибки алрокснмацп доэъоляе перенести чимало факт1в стосовно асицптотики стойких nuoneciß i пол1в на поел1довн1Стъ сум & п практично без доведения .

Детально ьивчена асиыптотични поведана приросте стойких процес1в SoiC-t) без додатних стрибнхв на ¡Ытервалах домино» От*Т При Т->оо . Дослхдаена ивидкхсть зростання на нес -кЬ(ченностх стхйкнх ышадкових пол1в з параметрами ,

■кос<2. V дила. в1дпо1)1дь на питашя про те, насх1льки великими коиуть бути прироста такого поля на Гнтервалах, илоща яких зростаз.але не дуже швидко, а cemi хнтераали належать облас-тi специального взгляду. Для 4-паршгетричного броун1вськсго руху доведено функц10нальнмй закон повторного логари^у для досить^агального типу норыування.

Виичена асимптотика приросте сум н.о.р. стхйких випадко-ввд величин. Дня них доведен! граничн! теорени типу Ердеша -Реньх та ыодиф!кацй' закону повторного логарифму у форм± Чо -вора для рхзних значень параметр!в ос , ß ст!йкого закону як у випадку эвичайних сум, так i у випадку кратних сум випадко-вих величин з мульти!ндексами.

Практична ц1ннхсть. Отриман! результат!! i ыетоди IX довё- " ' дення, розвинут! о дисертаци, иояуть Сути застосовон! як при ДОсл1дженн1 задач caaoi TeopiiI 1мов1рностей, так i у матема -тичн*й статистицх.у р!оних адаптац1йних процедурах,при оброб-ц! неповних i цензуровали* дан их, s ?eopii над1йностх, еконо-• кетриц!, inmnx застосуадннях Teopii iHOBipHOCTea.

АпроСащя цоботн. Реэультатн дисертац!! допов1долиея на двох м!«народних В1лытських конференц!ях а Teopii iMOBipHoe-тей i мигематично* статистики /В1льнос 1989, 1993/, на III Ферганськ1й кон};еренц1х з Teopii 1мов1рностей/4ергпна,19Ш/, на Першому всесв1тньому конгрес! товариства математично! статистики та Teopii 1мов1рностей 1м.Ьернулл1 /Ташкент,1906/.

на УI Радянсько-японському CKunoaiyui э Teopii 1мов1рностей 1 математичнох статистики / Ки'1В, 1991/, на Ыгжнародн1Й конфе -ренвдх CAonDe' 1992 / Khib,I992/, на Мхжиароднхй конференцх!, ярисвячен!й пам"ят! академхка М.О.Кравчука /Ки!в-Луцьк,1992/, на II Укра1но-угорськ1Й конференщХ з нових налрямк!в у тео -pii 1мов1рностей та мат.статистиц! / Кукачеве, 1992/, Ыххна -родн!й математичмй конфереиц1х, присвячен1й пам"ят1 Г. Гана, / Чернхвцх, 1994 /, на наукових сем1нарах в Ки1вськоцу ун1 -верситет1 1м.Т.Шевченка та 1нститут1 математики HAH Укра1ни. По Teui дисертащх опубл1ковано 25 наукових праць.

Структура i обсяг дисерташ!. Дисертац1я складаеться ia вступу i трьох глав i включав 168 с. машинописного тексту Б1бл10графгя мхстить 210 найменувань.

3 М I С Т Р Ü Б Ü Т И

Перейдеыо до б1льш детального викладу результатов дисерта-цхйно! роботи. 11умерац1я теорем i лем в автореферат! i дисер-тац11 однакова.

I. Перша глава присвячена сильному принципу Лнвар1антност1

п

для сум £ н.о.р.в.в. з област1 притягання ст!й-

кого закону, цо в даному випадку означав мохлив!сть побудови посл1довност1 ; ,' *1 J на одному досить Сагатому üMOBip -н1сному простор! разом 1з ctiBkkm процесом Ua^(.-tJ , is о так, щоб майхе напевно /н.н./

-У Ct) Uo(lW) , колн-k , /I/

де Sit) - невипадхова функц1я - похибка апроксимацх!, t- ] ц!яа частина числа.

Пвд ст1йким процесом poayuieMO стохастично неперервний од-норхдний процсс а незалежними приростами, розподхленими за ст!йким законом

В дисертац11 отримаш достятн1 умови виконання Gill для сум н.о.р.в.в., що забезпечують похибку алроксимацН для деякого . Вираэ для g народиться. i|i умови фор-

мулюються в термхнах характеристично! функцх5 доданкхв ^(и) .

- ñ -

Позначимо через у л ^(и) = e#p-{-iu\\i-ipsign.ü <o(o¡.,u>.)J , де а * f, оз(а,и>*-(Z/rr)?a tul для o¿ = i -

характеристику функцги /х.ф./ CTifiKoro закону з параметрами , а.е(о,2], ipi¿ 1 ; а через - вхдповадну функц!» розпо-

AÍ"y /ф.р./. Вважаемо, що вех випадков1 величини мавть нульове математиине слод^вання , коли воно icHys.

Теорема 1.2 / АпроксиыаЩя за допомогою сум стхйких випад-

кових величин /. Нехай х.ф. WpCiux)dFC*) эадовольняв

уыову: "

/А1/ ichyrtb tekí а,, а2>о та ? > сх, що при \u\<а ,

I ítio-g^iu) 1.4 aatui*.

Тод1 на одному iuo в i рн i сному простор! мояна визначити и.о.р.в.а. { »i*1 i 3 заданов ф.р. Rx; / або х.ф. та посл1довн1сть

' н.о.р.в.в. ^ rjj si стхйким розпод!лом Grt^TaK,4o6 ы.н.

п м.

| ZU - | = о(ц/а 9;для деякого g = g(oí,6>o. /2/

Теорема 1.3 / Апроксимащя стЩким випадковим процесом /.

При виконанн! умови /А1/ icHye ímobíphíchuí! npocTip(£>,$Tp), на якому можна побудувати н.о.р.в.в. } • , ¡ *í } Í3 заданоо *'Ф» í(u) та ст1йяий випадковий.процес (fc).fc?o

т&кий, що м.н.

| ä -у Ct)|«o(tlM'S), 9»«С«,6»о. -/8/ tt 2

.При доведенн! теорем 1.2 i 1.3 викориотан1 заг&лы^ апрок -• сиыац!йн1 теореки Беркеша i фШппа, оц£нки ииидкост! зСЬсност! Х.ф. лШйно нормованкх суи н.о.р.в.в. до х.ф. граничного ст1й-яого закону та oijíhrh для коливання процесу (í) на {нтер -валах с кефального вигляду.

Достатн! умови виконання /I/ 8 похибков Манна

переформулювати дезцо в i mi их терн!нах. Позначимо

/Ч(т) * ( X т - m-fl псевдомомент ,

-i(m) = j | X | md | F(*) -G > 1 - m -Й абсолютами лквдомомент.

Як насшдок э теорем I.Ü i 1.3 випливае наступне тведдвеннн Теорема 1.4. Якщо для деякого

. . . , /4/

то справедливх твердження /'¿J, J3/.

Зауважнмо, що в прикладн випадкоиих величин, для яких ви -конуеться умова /А1/ , отже, справедлив! тёореми 1.2 та 1.3» аве в1дпов1дН1 псевдомоменти несмнченнх.

Роэвинутий П1ДХ1Д до доведения сильного принципу íhb&piaHT-hoctí е досить утйверсальним i залишаеться в1рним як у випад-ку d- вимхрних вектор!в, d > 1 , так í у випадку кратних сум. У $ 1.3 доведен! узагальнення теорем 1.И - 1.4 для сум и.о.р. випадкових векторов э облает! нормального притигання CTiflKoro закону в Rd , с(ч .

Поэначимо через G« Я* ft + - ф.р., а через

ueR^- х.ф. d- вимхрного строго сийкого залону Jieei -Фельдгейма, яка допускав зобряжения

в

де сот(й,х) » i-i eÁgn(<ü,x^)tg(?rá/2), М(о - ск!нчвнна Mips-на одишшнМ ofepi j х "• 1*1» 1 } > <■•,■> - скалярний добуток, t • | - ввюйдова норма в

Випадковий вектор наложить област1 нормального притяган-ня строго ctíRkopo закону G « м , а ф 1 , яйцо

...... i G «,М г

- . ' ' " 1 де - неаалежн! koiííí . Вваяаемо, що

дл/г ot > 1 .

Hexaft ,¿»' \ та 4 , - н.о.р. d'BHMipHi випадко-fii векторн, oi»-i >4° "алежати ойлост! нормального притяган-ня одного i того я строго стгйкогэ закону.О ,о<а<2,а#» ;

П

Iе*

п

I

Теорема 1.5. Янцо для деяких сг, Сг , в ,&>о

I 1 с^п,"11 ДЛЯ |а|< сг

то <о; > та ^ М I ,£>''^мояна перевизначити на одному хмо-в1р|«сноыу пастор! та*, цоб м.н.

д *

I ^ п ~ ТП 1"°Сп- для дел кого 9*»9>Л«0>°./б/ йюцо V). «. . , ¡я, - просто ст1йм випвдкор1 вектора з х.ф. „<•) » то = * У140®81 /А1/ або вимога ск1-

> ниенностх псевдоаокент!в порядку1«31-1 забеэпечув виконання /5/. Теорема 1.7. НехаЙ^!,. »I»1}- н.о.р. виnaдкoвí вектсрй з Х.ф. таков, чо для р1знжц | м(й) | виконуеться

/А1/. Тодг послхдовн1сть ^ ,1*1} можна перевиэначити на од -нону ;Ыов1рн1снсму простор! разом хэ неэалетшкии м -розпо-д1леними векторами ^ ^ ; тах< щоб м.н.

П. ^^ д I

I 2—- 21 Ч; 1= °(П ' \

У 5 1.4 розглянута задача алроксиыацх! кратних сум н.о.р.в.в, з област1 притягання спйкого закону за допомогоэ стхйкого поля. ■ НехаЯ Я ^ «неявна ^-вкадрних вектора э невхд"емкими

координатами, 2. + - Мнояина ц1лочислених додатних вектор!в. Для операций* 6 та мер1вност! I < а /£<§ /

розуахсио покоординатно, £-»<*> означав, цо —<*> , ' «, И 6!на в!дмхну вад овкл1дово! нории .

Роэглян"МО прнрооти поля Х(?),£бб+на с^-вим1рному 1нтер -

валi 0 - tfi.tij-Л [q.,Ь.3 s шо задаютьея о - в ешшаяоа рхзницез J*»

Я

X(Q) =2_ 2—С-О X(б1-йУ) wt.

£,»0,1 * ~ 7 ■ *

Означення. Дхйсне випыдкове поло X(t) , t «= R, * » $ »

назвемо однорадкии випадковим полем а неаалежнкми приростами

/ ВП31Ш /, нкцо:

I/ X (t) на осях ;

'¿J для будь-якого набору с^-вим1рних хнтервалхв Git...,Qn , що попарно не перетииаються, прироста поля X(Q^) , будуть незалеаними величинами;

3/ пркрости поля на конгруентних мнояшшх иаать одныювий аозподхл.

Означення. Стхйк«г випадкове поле , fc^./v^- це

однораднв ВПЗНП з х.ф. if (t,u) = еир 4 'fC(u)} , кумулянта якого мае виглпд:

|иГо -¿psi$n,(u>cO(«,u)) ) , о<а<г,1^1*1 ,

де для о-'. 1 та co(cs,u; = -(a/roFniu| для ос.«* .

Скр1зь далх в канонхчноыу зображеннг гукулянт;; стхйкого пшш нвлхаено Л 1 , " О ,

Випадок К(и)= / = а / вхдповздае багатопараметрич-

ноцу Сроунхвськоцу руху /в1нер1вськоцу ¡¡одю/ W(t> «tfeiv^. за М.М. Ченцовиы. Для cTiflKoro поля

Х[а',в))= |6-а!! Уа С1 ), коли о<о<.<2 ,о(,11 ,¡>141 ,

або t 1 , = о ,

i Уй^(Са,Б)) = |!6-а11 Ув (.i)- fa li В • a Г,, колкая ,

~ , ' . •

fij Oi — означав рхьнхсть за розподхлоы.

НехаД - , ^ e j± + - м.о.р.в.в. э ф.р. и (x) та х.ф. f UO ,

ft, Лц,

S . - ¿L_ 4 , - Z_ ' • • z— ^.... v ■

■x J,', Л,«-» ' ' ^

Основним результатом стосовно мояливостх м.н. апроксимашх кратких сум ^ стхйкмм полей е теорема I.IG.

Теорема 1.10. Нехай PC) i эадовольннють /А1/. 'Годг

на однсцу 1мовхрн1сному простор! (Й, #,Р) метла побудувати

стхйке поле U = tL ie та н.о.р.в.зЛё,-

Я у jib ty ^ \ у J

is задан со ф.р. /Г(х) так, ¡цсб м.н.

де £ t ] - вектор э координатами (, Г. t,...,[ t ^.

Умову /А1/ мсжна замхнити такта виыогою скхнченност1 псевдомоменту порядку t ><х . Анадогхчнх мхркуванна у випад -

г- I г- .г+<5 t>

к у, коли Е. I £> -j I <« дли деякого о< д < 1, доэволяють довести

ысгшмьлсть м.н. алрохснмацН ^ в1нерхвським полем W(t) •

t С R, ^ а похкбксэ o(|lt!|1'") , 40 нонращуо результати Майа-ра, Мсрроу, Нхдерхаузера.

2, Друга глава присвячена дослхдхенно аскмптотиино! лозэдхн-ки випадхових процесхв i полхв э незалезкниыи приростами. Основ-ну увэту псидхлено сттйким вапедховкм процесса i полны э параметрами , 1 <<%<а. та с^-параматричноыу Сроун1Вськсцу ру~ ху. СтхЙя! випадхоэх процеси э наведенгаии значениями_пареметрхв

маять стрябки явив одного знаку - додатнх, коли £ * i , i над"©» «®i, коли ft а -1 . Значения а - а в1дпов!дав в!нвр1всьхому процесу, я кий с неперервнии з хыоз1рн1ств I.

Bci результата сб"здяанн1 спхльноя хдесэ - зияорксташя хн-

Т(.'грэльм1«х критерНв для зявчоння локально? повед1нки та пове-*Ь<ки я- иес;анчемностх випадкоэнх прсцесхв i пол1э. Взагалх, тптегральнх критери в зручним инструментом при досл1дженнх аэяд«о<!?1 аростання pisHitx juiaciu бипадховия npoqecie, эгадаЛ-

- AW -

мо лшт в1домх хнтегральнх тести Колмогорова - Петровського та , Чкуна - Едцеша - Cipao ддл в!нерхвського процесс.

У заг&дьноцу випедку процос1ь а незалежними приростами ще А.Я.Ххнчин та Б.В.Гнеденко ломхтили, що вивченн^ швидкост1 зростання процесу X(t) при t -*■ ° або t-*oo эручно провадити в аалеяностх ьхд s6i»HOCTi 1нтегралу

11 - = ^ P{ X(t)>c4>(t)]dt.

Подальший розвиток цих хдей мохна энайти в монографиях А.В.Ско- 1 рохода, Й.1 .Гххыана та A.B.Скорохода.

У главх 2 за допомогов хнтегрольних критерххв описано мно -кину граничних точок в узагальненоцу эаксш повторного лога -рифму для с^-параметричного броун!вського руху, що уэагальнюв ц1кавий результат О.Бул1нського; знайдено вираз для Г = Шк X(t) / ü>(t) для процесхв з незалежними приростами

1 '■f -t*oo ' '

в терминах 1нтегралу I ; вивчена швидк1сть зростання Haniß-неперервних ст1йких процесхв i доведено граничив теореми типу закона Ердеша - Рень! для стхйких npoueci в i полхв з параметрами ji=-i, 1 < «, < 2 . Для реалхзацхх цхех схеми потребно ряд допомЬших результат!в. В першу чергу, це нер1вностх дл$, роз -иод1лу супремуму випадковкх процесхв i поив з незалежними приростами та Ix приросте.

У § '¿.1 отриман1 оцхнки эверху для розподхлу супремуму прирост! в стхйких процеыв ifc.., (*) з параметрами -1 , 1 < ос < а . Наведемо дек1лька з них.

Лема 2.5. 1снуе таке число L * 1л°0, що для будь-икого 6c(o,i) знайдеться константа С = c(ot,t)>.o така, що при x>L ,o<h*.T

Р^ sup } *

1 CX-tiT-h И. - О. J

< С сг/ft) 'да

3 = Д =а./(а-т), e = ßÄ = (oc-oot |cos(jt<x/«o | . /б/

Тзореца 2.1. Для досить великого V ,

Р -I бир (4 (*') - £ Ш) > V I ^ £1 V е " /7/ { о<*<*'«г . Л } К ' -

В 5 2.2 отркиан! нерхвност1 для розподхлу супремуму випад-кових пол! в з незалеясними приростами на с{,-вю«рних хнтерва -лах при вельми широких припущеннях стосовно випадкових тмив , вигляд нер!вностей конкретизоваяо для ст1йких пол1В.

} 2.3 присвячений своер!днкм узагальнешил нер1вностей типу /7/ на випадок стгйкюс полхв на плоцши.

Нехай ат, 6Т - неспедаг додатнх функцИ таы.що от<Т.

Розглянемо на плсярад область

/8/

та мнозишу примокутникхв

1г~МагА>Н : Я(0><-ат }• /9/

Теорема 2.Ь. Для довольного £.>0 1снують |у>0 та С»с(£)>0 такх, чо при и > к

Р| Р 4 ({})> I 4

1 ¿)б Ьг *

* а~ ° +Ьта-г'Х<+ь 8га'*)е*р(-Ви),

Основними у глав! в §§ 2.6 та 2.7, присвячем вивченнв аси-ыптотичнох поведднки приростов ст1йких процесхв 1 полхв ¿.^С*)» 9 1 э параметрами р = -1 , 1 <«<2.

У 5 2.6 вивчаеться питания про те, наоильки великими мо -яуть бути прпрости [о,г-<зтз, коли <3 т

зростае, але повхльнше за у . Вперше таку задачу для ешш-ргвського процесу /«,»2 / поставили Ердеш та Рень? /1961/. Пхзн1пп результати належать Буку, Ла1, Черге х Ревесу, Хансо-ну 1 Руссо, Грхллу, Коно, 0ртез1, Чо1, Штейнебаху.

Нами розгллнуто су то негауссхвський виладок л <«,< г та запро-поновано 1нтегральнх тести, якх дають змогу вивчати шеедкхсть зростаннл приростав типу

Н (Т) = б^Р бир ( 0ittT-ar o»usar

i знайти явний вигляд нормуюч01 функцх! ö т ^ ¿(г,ат> т&ко!,що ^^ ö "1 Н (т) - ciwst ф о и.н. /Ю/

Т-»-оо> т

Скрхзь дал! ввааасмо, що О- т - неспадна функцхя на [о,оо) ( яка задовольняе умови :

/й!/о<ат<т ; /В2/Т/ат не спадав аа Т ;

а ц>(t) - неперервна неспадна додатна функцхя, для яко 1 ср ( +) -» oq при t- оа .

Теорема. 2.12. Регулярна функцхя ^(ТЭ^&т буде верхньсп для прироста в типу Н(,Т) » я;£Ч° г т f °° -4 а ,

ls а isCf,aT) --- J ат(1р(г>) 4>£.p{-Bip (r))dT<<х>,

i нижньою, ЯКЩО Г5.(Ц),аг) ш 00.

£ункц1с у(т) назвемо.регулярною, ящо

2irn siip И - f(TU>/^<r) I "О. и t1 Г

В другхй частинх теореии /виладоя =00 / умэза регулярном! f (Т) не внкористовуеться. Проте при вивченн! питания про верх-Hi функцх! вхдмова вад припущення про регуллрн!еть j- (•) об/ -мовлюе бхльш жорстк! умови на а r i lp (т) , sp привадить да замхни хнтегралу J s на

Г6 w IfcC'f,ат) - j "

Теорема 2.13. йункц!я ^(т) " 0-т будя всркньсэ

для приростхв М(Т) тод1, КОЛИ X <tf»ÖT)

Як нагладок, 3 теорем 2.12 та 2.13 отрицаемо рхшення эадачх/Ю/, Теорема 2.10. 3 ÏMOBipHicro I iim ft'1 н(т)= 1 ,

Г-*оо г

де 8Г- а^Са~\еп£.1Т + еп(г/ат)))1П,

- Д ,

А » ос/(a.--!) , & =• (ot-i)ot | соь(лос/2> | ' .

Для конкретних CLT вигляд норцупчоХ функц11 ^ г спро-цустьсн. Так, наприклад,

I/для ат = сТ , о<с<1 , }<Г-ССТ),М(Ь'Чп1птУП1 2/для Ьг*с£пТ, е»о-,#т«с ^ (пТ/&1,л -,

€t ** 1/А

3/ для аг= Т , о<о,<1 , О ;

V для а т = 1 функция g т я у)

3 останнього спхввгднощення для н.о.р.в.в. si

стхйккм рсзподхлом Сга випливав

pj HZ (-ё—\1/л max è,.=il=f

j n -»M tri П. ' 1 t tin 1 J

При переход! до багатовимхрного параметра отримаено ще бхль-аэ роэмахття цхкавих фактiв стосовно асимптотики як самого

еийкого поля ê «,(£.) , te , q.>i , i<a,<2. t тшс i його npupoCTÎB. В § 2.7 дослвджена задача про те, яков буде швид -меть аростання %, коли Ц£Ц-»оо , ало не bcï i-. -*оо ?

До цього питания близька задача про асимптотику прирост!в поля %>a(Q) на хнт-ервалах Q с R,^ ,• колк Mipa Лебега эростис, але не дуже швндко.

Нами детально вивчена поведхнка приросте 2-параыетричного стойкого поли на прямокутниках Q э /ч(0)4<*т, колиат4Т , « Q налегить облает! D e. типу /О/.

Позначимо

й т ' 8 т( ^ = Т* & х + &(/„ А. +, )))*

Теорема 2.14. Нехай О. т - неспадна додатна функц1н на Со,«) , яка задовольняе /ВХ/ 1 /В2/, а & т е регулярною неспадноп фунхщею. Тод!

Ит Л- ылр 4 (Р>= 1 \ = "» .

г^т о п/- 1 * ^

При доведен^ теореми використан! оц1нки эверху для розпо-дхлу ¿""^ э 5 2.3. Теорема 2.14 виявляеться вельмк

гнучкою I може слугувати джерелом велико! к1лькост! корисних наслхдк1в щодо асимптотики як самого поля ^^ (?) • так 1 йоге приростхв для р1аних й-т 1 б т . Все в найпростхигй ситуа-Ц1? ат~Т маемо:

р( <мр ё, (^Д**!, да

I т-»оо 3

У #г=т1/*(е>~Чп{птУ1* для бТ-Ят ,

2/ х **т"*ие>~'епептУ" £-г* «>*/*,

о т Т

э/ ■т"*(.в''елтУ/* для >

4/ # « Т/&1/л ДЛЯ 5 Г~е*р(ехр(г)).

Э. Тематике третье! главк т!сно повязана з ыатерхалом $ 2.6 та ? 2.7. У прикладных яадачбас, повязан их з! стагистичяою об -робкою данях в реальноцуиаслггсб! часу, в процедурах стохастич-ffOí апрохегагацЯ та реку рентного офнювання, псслхдорного вна-

Л1зу, при оброСцх цензурованих даних використовуютьси статистики, що залежать вгд »с осталн1Х спостережень. Часто це су-ми к останшх спостережень: гг

1-П-К п

В эв%эку з цим виникав питании про асимптотику- • коли

при п,-»оо зростав, алв пов1льн$ие за п. ; зокрема ,

для хко! нормух>чох фунюцх!

У 5 3.1 наведено низку граничите теорем для х

, як1 безпосередньо випливаять з результатхв- V 2.6 та I 2.7 у випадку незалежних доданкхв, розпод1лених по ст{йко-му закону 1 <.&.<&,

Так, н&приклад, мае м!сце аналог закону Ердеша - Реньх

Р{

ЛГ~ ■ 1 ■ с"*1 >

Ьт _ та* тах С, = -— С = 1.

П-оо 1<гп 1*п*п-[сепп] 1(1ф1пп] 8

У 5 3.2 розгинуто ширший клас стхйких доданк!в, вважасмо, цо ^ - н.о.р.в.в., як1 мають :

- симетричний стойкий розпод1Л Оао, О<ос<й, або

- асиыетричний ст1йкий розподхл .£>=-•<. 0<а<1 • Для них доведено гранича теореми у виглид1,близькоцу до закону повторного логарифма Човера,

Теорема 3.3. 3 1мов1рнхсто I

^ 3 л - е ,

П. + оо I ГС

де с1(п)*.с1(п,Иг1) = &гёпп * (п(п/К„_) х задовольняс умо-вя /В1/ та /В2/.

- 1Ь -

Ця теорема допускав уэ&гальнення 1 на випадок кратких сум

ст1йких випадкових величин а цульти!ндексами. Пехай § ^ ,

3 € "Ж. + - н.о.р.в.в., як1 мають симетричний розпод!л 0>

або асмметричний розпод!л , ,

де !п(/мпп+ &«.( йп»/ *а(п)й>, йЛИ*г», 'гЧ >

. векторнозначна функц!л, яка

по кажн!й координат! задовольняе /В1/ та /В2/ .

Сильний принцип !нвар!антност! дав можлив!сть лего пере-носити доведен! результати на граничну повед!нку нормовених сум н.о.р.в.в. з облает! притязания ст!йкого закону а в!дпо-в!дними значениями характеристичных параметр! в <Х , р> .

01ЮВН1 РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТЛЦ11 ШУМШОВАШ • У НАСТУПИЛА РСБОТАХ !

I. Зинченко Н.Ы. О верхних и нижних функциях случайных полей с независимыми приращениями // Теорий случайных про -цессов.-1979.-ВыП. С. 23 - 26.

Теоцеиа 3.4. 3 !мов!рн!ств 1

1ип ( ИСНП)8~т | $

Я Л/И

2. Зинченко Н.М. Локальный рост случайных полей с независимыми приращениями // Теория вероятностей и ее применения.-1979.-

' 24, » 1.-^184-191.

3. Зинченко.Н.Ы. Выборочные свойства случайных полей с независимыми приращениями // Теория вероятностей и мат.статистика. -1981.- Вып. ¡¿4,- С. 35 - 40.

4. Зинченко Н.Ы. Асимптотическое поведение гаусровских случайных полей // Теория вероятностей и мат.статистика,- 1982. -Вып. 26.- С. 34 - 41 .

5. Зинченко Н.М. Сильный принцип инвариантности для сумм слу -чайных величин с цулътииндексами // Докл. АН УССР. Сер. А,-

1983.- » IX.- С. 9-12.

0. Зинченко Н.Ы. U функциональном законе повторного логарифма для многопараметрического броуновского движения // Теория вероятностей и мат. статистика.-1983.- Вып.29.-' С. 41 - 46.

7. Зинченко Н.Ы. О скорости роста случайных полей с независимыми прирацениями // Теория вероятностей и мат. статистика. -

1984.- Вып. 30.- С. 31 - 36.

8. Зинченко H.U. Сильный принцип инвариантности для'кратных сум случайных величин с цультииндексами // Укр.мат.журн.-1964.- 36, » 2.- С. 143 - 154 .

9. Зинченко Н.И. Аппроксимация сумм случайных величин из области притяжения устойчивого закона // Докл. АН УССР. Сер.А. -1984.- g 7.- С. 9 - II.

10. Зинченко Н.Ы. Сильный принцип инвариантности для сумм случайных величин из области притяжения устойчивого закона // Теория вероятностей и ее применения. - 1985.- 30 , » I.- С. 132 - 136.

11. Зинченко Н.М. Сильный принцип инварйанФности для сумм случайных величин из области притяжения устойчивого закона// Тез. докл, 1У Вильнюс, конф. по теории вероятностей и

■ мат. статистике. - Вильнюсе. - 1985. - T.I.- С. 272-273 .

12. Зинченко Н.Ы. Об асимптотике сумм случайных величин из области притяжения устойчивого закона // Укр. мат .жури.-1986.-38, » о,- С. 713 - 718.

- lb -

13. Зинченко H.M. Асимптотика приращений устойчивых случайных процессов со скачками одного знака' // Теория вероятностей и ее применения. - I9U7.- # 4.- С. 793 - 790.

14. Зинченко Н.М. Сильный принцип инвариантности для кратных сумм случайных величин из области притяжения устойчивого

закона // Теория вероятностей и мат.статистика.- i960.-Вып. ЗЬ.- С. Ь2 - 75.

15. Зинченко Н.Ы. Асимптотическое поведение устойчивых процессов и пйлей // Тезисы докл. У1 Советско-японского симпозиума по теории вероятностей и мат.статистике.-Киев.-1991. -С.

1£>. Зинченко U.M. Об асимптотике устойчивых случайных полей // Теория вероятностей и мат.статистика,- 1988,- Вып. 38.-С. 51 - 59.

17. Зхнченко Н.Ы. До питания про асимптотику приросте асимет -ричних стхйких процес!в // Teopifl ймов!рностей та мат. статистика,- 1992,- Вип. 46.- С. 53 - СО.

IB. 3iH4et!Ko U.M. Про апроксгь„щю сум випадкових величин а облает! цритягання ст!йкого закону з параметром а, л л Ц Teopifl Ймов1рностей та мат. статистика,- 1992.- Вип. 4,.-С. 29 - 34.

19. 31нченко Н.Ы. Граничн1 теореми для ст!йких випадкових процв-ciu i пол!в // Тези доп. м!жнародно! конференцП, прсвячено! пам"ят1 академхка U.U.Кравчука.- Ки1в - Л1уцьк.-1992.

20. 3iH4eiiK0 I1.M, До питания про асимптотику приросте деяких клас!в випадкових пол!в // Teopifl ймов!рностей та мат.статистика,- 1993,- Вип. 48.- С. II - 18.

21. 31нченко Н.Ы. Про модиф!кац1п закона повторного логарйфцу для ст!йких випадкових величин // -Теория ймов!рност0й та мат. статистика,- 1993,- Вип. 49,- С. 99 - 1II.

22. 31нченко Н.Ы. До питания про апроксимшд!» сум випадкових величин з облает! притягання ст!йкого аакону//Доп. HAH Укра!г ни.- 1994.- » б,- С. 20 - 29.

ts

23. Zlnchsnko H.X. Integral tests'for lncressnts of the stable processes and fields^UI International Uilnius Conference on Probab.Theory and Math.Stat. Abstracts of Сов«., 1993.

24. Zlnchenko Н.И. Strona lnvarlance principle for rectansular subs of randos variables In the doealn of attraction of the stable la»// The I-st World Coneress of'Bernoulll Society.-Tashkent, 1986.- P. 883.

25. 3in4enKo Н.И. Сильний принцип iKBapiawTHOCTi для суы ви-пядкових вектор!в э облает! притягання ст!йкого закону// Гези доп. м!анародно! конферещц!, присвячено! иим"ятх Г.Гана.-Черн!Бц!. 1994.- С. 56.

АО

3/ii4£hKü h.M. Асимптотические свойства устойчивых случайных процессов и полей. Диссертация /рукопись/ на соискшше уче -ной степени доктора физико-математических наук по специаль -ности Ul.UI.05 - теория вероятностей и математическая ста -тистика. Киев. Ин-т математики HAH Украины

.В диссертационной работе рассмотрены обобщения сильного принципа инвариантности для сумм независимых одинаково рис -пределенных случайных величин из области нормального притя -жения устойчивого закона , (0,2) , 1

¿остаточные условия выполнения сильного принципа инвариант -ности сформулированы и терминах характеристических функций слагаемых или в терминах псевдомоментов. Эти результаты обобщены на суммы независимых одинаково распределенных случай -пых векторов из области притяжения многомерного строго устой» чивого закона Леви-йельдгейма и на кратные суммы случайных . величин с мультииндексаыи. Изучено локальное поведение и поведение на бесконечности устойчивых процес'сов и полей, Ос -новьое внимание уделено устойчивым процессам и полям с параметрами , коиЗ, а также многопараметрическому броуновскому движению; для них доказаны различные модификации закона повторного логарифма. С помощыо интегральных тестов изучена скорость роста приращений устойчивых процессов без положительных скачков и приращений устойчивых полей с параметрами -1 , к а <2 и получены предельные теоремы типа закона Ердеша-Реньи. Сильный принцип инвариантности позволяет перенести большую часть этих результатов на соответствуйте последовательности сук». Например, получены аналоги закона Брдеша-Реньи для приращений суш независимых случайных величин в случае, когда слагаемые распределены по устой чивоиу закону или принадлежат области его притязания.

SIHCHEKKO H.B. Asyiptotic propertias of tha «table randoa processes and fields. Theses for a degree of Doctor In Phlslcs and Jiatheaatlcs, speciality 01.01.03 - Probability theory and Ha-theaatlc Statistics, Kiev. Institute of Katheiatlcs flcedeay of Science of Ucralns.

In the thesis the strong Invarlance principles for the suae of the independent Identically distributed random variables In the dosaln of attraction of the stable lav ere proved. The sufficient conditions for such statements are forsulated In the teras of characteristic functions of the sua-lands or In the teres of psevdoaoaents.These results are genera-Hied for the s,uas of Independent vectors fro» the domain of at-ractlon of Levy - Feldgela stable law or for the suss of randoa variables «1th eultlindexes.Tha local behavior and the asyapto -tics; on Infinity for the stable processes and fields are Investigated.The sain attention is paid for stable processes and fields with i <ra<2 and for the aultlparaaeter Brownlan sheet,

various Bodif1 cations of the law of the Iterated logarithe are obtalnd. The rate of growth of the Increaents of the stable process without positive JuapS and stable fields ulth paraaeters - 1 . 1 < a <2 IS studied with the help of Integral tests and Frdos - Renyi type Halt theorems are proved. Strong Invarlance' principle gives the poslbllity to extend 3uch results on the sequences of the partlai su*s. For Instance, Erdos - Renyi type strong lass for the lag suss are proved ih the case , when the saeaands are stable or belong to the doaaln of attraction of the stable law.

КЯВЧ0В1 CflOBfl: ст1йкий закон, область прнтвгання, ст1йк! проце-сй, ст1йк1 поля, Сагатопараиетричний броцн!пський рух; поля з иезалеянмки приростами, псевдоиоиемти, авидк1сть зростання. за кон повторииго .»огарифау

Шдп. до друку . Формат 6СХ64/16. Пап1р друк. Сус. ,д?ук.

Ум. друк. арк. // . Ум. фарбо-в!дб. /,У , Сбл.-зпл. зрк. Тира;.; /СО пр. Ьам. 4} Безкоштовио.

¡Иддруковано в 1нотитут! математики АН Усрниш 252601 Кшв 4, ЮТ, вул. Тереце»к*веькз, о