Асимптотическое описание локализованных спектральных зон одномерных периодических задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи МИРОНОВ Александр Леонидович

ргв од

;•! п П>:т

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗОН ОДНОМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Специальность 01.01.03 - "Математическая физика"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в отделе математической и вычислительной физики Научно-исследовательского института физики Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры

высшей математики и математической физики ОЛЕЙНИК Владимир Лукич, СПбГУ, г.Санкт-Петербург

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физ.-мат. наук, профессор

кафедры квантовой механики АБАРЕНКОВ Игорь Васильевич, СПбГУ, г.Санкт-Петербург.

кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры математики БАДАНИН Андрей Васильевич, АГТУ, г.Архангельск.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт проблем механики РАН, г.Москва.

Защита состоится " 16 " ноября 2000г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета К.063.57.17 по зашите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9, ауд.85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького СПбГУ.

,„/3 «О&т*^,Я

Автореферат разослан " (/ " О * <*С>№ 2000 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета, ^ С.Н.Манида

профессор

9Г. 05

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Асимптотическое исследование спектра периодических задач представляет большой интерес как в общей спектральной теории операторов, так и в приложениях к конкретным операторам, возникающим в математической физике. Знание особенностей спектральных свойств различных периодических операторов необходимо для решения многих конкретных научных и практических задач, связанных с исследованием периодических структур, что в свою очередь крайне актуально в современном мире во времена бурного развития электроники в частности и физики кристаллов в целом.

В качестве базового исследуемого оператора можно указать оператор Щредингера, который в зависимости от вида потенциальной функции может быть как самосопряженным, так и не самосопряженным. Рассмотренные задачи тесно связаны с широко применяемым в физике методом приближения сильной связи.

Цель работы. Цель настоящей работы - получение максимально подробного способа асимптотического описания локализованных спектральных зон одномерных периодических задач, а также определение границ применимости классического метода приближения сильной связи и получение более общих асимптотических формул для широкого класса потенциальных функций.

Научная новизна. Диссертация содержит следующие новые результаты:

1. Строго математически обосновано применение метода приближения сильной связи, в том числе для оператора с комплекснозначным потенциалом.

2. Разрешен вопрос о границах применимости классического метода приближения сильной связи и получены более общие асимптотические формулы для различных степеней убывания потенциала.

3. Получены условия совместной локализации сразу нескольких спектральных зон периодической задачи и описаны поведение этих зон вблизи центра локализации. Научная и практическая ценность. Результаты работы могут быть непосредственно применены при исследовании спектральных свойств периодических структур. Также результаты диссертации и изложенная в работе техника исследования могут быть полезны специалистам в области теоретической и математической физики, теории операторов, математического анализа, квантовой механики, физики кристаллов.

Аппробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры высшей математики и математической физики СПбГУ и общегородском семинаре ПОМП РАН, а отдельные этапы были представлены в общей сложности на 9 международных и всероссийских научных конференциях. Публикации. По теме диссертаций опубликовано 4 научных работы. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех частей, списка цитированнной литературы из 32 наименований и трех приложений. Общий объем работы - 99 страниц текста, включая 4 рисунка.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации изложены истоки возникновения исследуемых вопросов, дается обзор предыдущих результатов по теме работы, содержится постановка задач исследования и формулировка цели работы и, наконец, поясняется последовательность изложения материала.

В первой части работы предметом исследования является спектр одномерного дифференциального оператора Шрёдингера в пространстве ¿2(11) с периодическим потенциалом, который строится как сумма сдвигов заданного одноатомного потенциала ц £ Пусть Ао - изолированное собственное значение оператора

Шрёдингера с потенциалом д. Тогда для соответствующего оператора с периодическим потенциалом существует непрерывный спектр, лежащий вблизи Ао- Изучается асимптотическое поведение этой части спектра при неограниченном возрастании периода. Асимптотическое исследование периодической задачи опирается на возможность записи дискриминанта рассматриваемого оператора в терминах одноатомной задачи, то есть через потенциал ч и собственные функции оператора Шрёдингера с одноатомным потенциалом. Поэтому первый параграф этой части содержит постановку одноатомной задачи и необходимые впоследствии асимптотические оценки. Итак, сперва рассматривается следующая задача:

- У"(*) + Ч(х)у(х) = -оо < х < +оэ, (1)

/+оо

!«(*)№ < 00. (2)

■оо

Спектр этой задачи С И непрерывен на полуоси [0, +оо) и дискретен и ограничен на (—оо,0).

Фиксируем собственное значение Ао и пусть в(х) - нормированная собственная функция при А = Ао, а <р{х) - какое-либо другое вещественное решение уравнения (1) при А = Ао такое, что определитель Вронского этих решений равен единице: №'[&,<?] = 0(т}р'(х) — 0'(х)р(х) = 1. При этом для этих двух решений на всей оси верны следующие оценки:

|0(г)| < С,е~*И, ^(х)! < С^е*'1', -сю < х < +оо. (3)

Здесь и далее полагаем

Лля получения асимптотических оценок вводится оценочная функция р(Т):

р(Т)= [ \ч(х)\ах + е-™, Т>0. (4)

Из условия (2) следует, что р(|я|) монотонно стремится к нулю при \х\ —* +оо . Используя эту функцию, приходим к асимптотике решений в(х) и <р(х) при |г[ —► +оо:

Нх) = С±е~к№(1 + 0(р(|г|))), <фг) = + 0(р(|х|/2))),

где C-fc ф 0. Далее удобно пнести обозначение для следующей комбинации двух вещественных функций /(х) и д(х):

[/.*](*) = Я*) А-*) ~ ГШ-*)- (5)

Тогда для выбранных решений 0(х) и <р(х) уравнения (1) при х —> ±оо получаем следующие асимптотические формулы:

«(*) = \<р, V)(x) = ±(2A:C+C-)~1e2k'I'(l + 0{p(\x|/2))),

Ь(х) = [0,<р](х)=О(р{ N/2)),

с(х) = [в, в](х) = ±2кС+С.е~2кМ(1 + 0(p(|i|))).

Во втором параграфе приводится постановка соответствующей периодической задачи и формулы описывающие спектр периодической задачи. Сперва строим периодический потенциал Q(x,T), как сумму сдвигов исходного потенциала ç(i), то есть

+оо

Q(x;T) = £ я(х + 2Тп). (6)

П = — ОО

Рассматривается уравнение Шрёдингера с периодическим потенциалом:

-y"(x) + Q(x,T)y(x) = Ay(x), -оо<х<+оо. (7)

Спектр <t(Q) С R этой задачи состоит из замкнутых отрезков (спектральных зон), конечное число которых находится левее произвольного конечного числа. Этот спектр описывается следующим образом:

«•(<?) = {А е R : |^(А,Т)| < 2}, (8)

где F(A,T) -дискриминант уравнения (7). При втом границы зон спектра определяются уравнениями Р(А,Г) = ±2. Пусть Sx и 9т ~ да3, линейно независимых решения уравнения (7) таких, что W[0Ti Vt] = 1. Тогда, используя обозначение (5), имеем:

F(X, Т) = [От^тШ) + [От, Vt]{-T). (9)

В третьем параграфе методом вариации произвольных постоянных ведется построение решений у>г(*) и в-г(х) через функции ¡р и в. В результате приходим к выражениям:

<рт(х) = а(х)(ф) + у{хЩх)), (10)

0т(х) = а~\хЩх) + ¡3(х)<рт(х), (11)

где а(г), 0(х) и -у(х) удовлетворяют условиям а(0) = 1, /3(0) = 0 7(0) = 0 и являются решениями следующей системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра:

а(х) = exp f \иО(у> + -/t?)dÇ (12)

Jo

7(х) = -/ ш(<р + -,0)3с1£ (13)

J о

0(х) = Ги;02а-Ч, (Н)

Jo

где к = А — Ао, ь(х,Т) = 0(х,Т)-<1(х), ш(х,к,Т) = ф,Г) - к.

В четвертом параграфе выводится основное уравнение, описывающее спектр периодической задачи в терминах одноатомной задачи. Для втого сперва подставляем выражения (10) для 4>т{х) и (11) для вх(х) в уравнение для дискриминанта (9) и приходим к равенству:

/Ч* - Р, Т) = ЩТ) - 0{-Т)] а(Т)а(-Т){а{Т)+ (15)

+1{Т)Ь[Т) - ^-ТЩ-Т) + 7(Т)7(-Г)с(Г)}+ +{(ЦГ) + с(Т)у(—Т))о(—Т)/а(Т) + (¿(-Г) + с(—Т)у(Т))а(Т)/а(—Т)). Используя сокращения:

С = о_а+(а + 7+6+ +7_Ь_ -+7_7+с), Н = (Ь+ + 7_с)а_/о+ - (¿_ + 7+с )а+/о_,

где а± = а(±Г); 7± = 7(±Т); а = а(Х); Ь± = ±Ь(±Г) и с = с(х), с учетом (14), равенство (15) перепишется в виде:

,т

F(K-k2,T) = GJ (y-K)fl2a-2iii + Я.

В соответствии с формулой (8), описьшающей спектр ct(Q) для любого числа d 6 [-2,2] уравнение F(X,T) = d определяет точки спектра X(d;T) £ <r(Q). Это уравнение удобно записать следующим образом:

jT v01lo-'idx^(H-d)G-1 {jT в1 a^d^j (16)

или, кратко, к = /(«)■ Причем, здесь функция /(к) зависит, также, от d,T и Л. Таким образом мы пришли к искомому уравнению на спектр. Далее изучается асимптотика такого решения к(d;T) = A(d;T) — Ао уравнения (1S), которое стремится к нулю при Г-»+оо .

В пятом и шестом параграфах проводятся вспомогательные оценки. Прежде всего асимптотически решается система уравнений (12)-(14), в результате чего выписываются асимптотики функций а(х), 0(х) и 7(х), с использованием которых проводятся все остальные оценки. При этом возникает необходимость введения дополнительной оценочной функции г(Т) :

гт

г(Т) = sup / M*, t)|e-"Ndi + е~"г, Г > 0. (17)

I >tJ-T

Как показано в диссертации, для всех Т > О

Р(Т) > Г Их, Т)\<1х + е'1кт > г(Т). У-т

Стоит также заметить, что поскольку спектр <г(С?) исследуется в окрестности точки Ао , то при проведении оценок мы предполагаем, что

Н<С*Г(Г) (18)

для некоторого произвольного фиксированного положительного числа Ск. Предположение (18) выделяет на вещественной оси промежуток / = /(Г) = (—С»г(Т), С*г(Г)], на котором в дальнейшем рассматривается уравнение к = /(«).

В седьмом параграфе доказывается существование и единственность спектральной зоны периодической задачи вблизи А = А0 при достаточно больших значениях периода Т, то есть разрешимость уравнения (16) и единственность при фиксированном параметре (I решения на промежутке, выделяемом условием (18). Справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Пусть Ск и ¿ц -полозкительнме числа, удовлетворяющие условиям: С* > шах{С^,2А|С+С_|^о}| если г(Т)Т —► 0 при Т —< +оо « С» > С| в противном случае. Тогда существует положительное число 1о такое, что для любого Т > и любого <1 6 [—■уравнение (16) в промежутке ЦТ) имеет одно и только одно решение к-к(фТ).

В соответствии с формулой (8) имеем следующее следствие теоремы 1:

Следствие 2. Пусть ¿о > 2,С > тах{С|, 2£|С+С_|<^о} и пусть к(ё\ Т) при ¡¿| < (¡о является таким решением уравнения (16), что |к(с/; Т)| < Сг(Т) для больших Т. Положим, А(<1,Т) — Ао + к{Н\ Т). Тогда, для того чтобы А{(¡;Т) 6 необходимо и достаточно, чтобы с1 е [—2,2]. Следовательно, отрезок А(Л,Т) : —2 < <1 < 2 совпадает с изолированной спектральной зоной , лежащей вблизи Ао .

Наконец, в восьмом параграфе формулируется и доказывается основная теорема части А, максимально подробно описывающая асимптотическое поведение спектральной зоны периодической задачи вблизи Ао при стремлении периода этой задачи к бесконечности.

Теорема 3. Пусть функция 5(1) е ¿1(Я), число Т > 0 и функция С){х,Т) определена формулой (б). Пусть Ао -отрицательное собственное значение и 0(х) е £/3(П.) -собственная функция задачи (1) такая, что ||0||£,з(я) = 1- Пусть функция <р(х) - какое-либо решение уравнения (1) при А = Ао , удовлетворяющая условию = 1. Пусть

к > 0, к7 = — Ар , числа С( и С± - определены выше, а функции р(Т) и г(Т) определены формулами (4) и (17), соответственно. Тогда, если С > тах{С|,44|С+С_|} и к{Л\Т) - решение уравнения (16) при Л 6 [-2,2) такое, что \к(Л\Т)\ < Сг(Т) для больших Т, то верны следующие утверждения:

1) А(<1; Т) = А0 + *(<*; Т) 6 <Н<?) при <1 е [-2, 2] ,

S) A(±2; Т)-края зоны, a Д(Т) = |Л(2;Г) - Л(-2;Г)| -ширина зоны ,

3) имеет место асимптотическая формула:

ГТ

Л(0; Т) = До + / (Q(x, Т) - ,(e))tf3(a)rfi + е,(Г),

J-T

где ei(T) = о(г(Т)) при Т — +оо ;

4) имеют место асимптотические формулы для ширины зоны Л(Т): aje общем случае

Гт

In Л(Т) — —2kT + у (Q(x,T)~q(x))ez(x)dxx

х ^ЩМт + ЫП

где е2(Т) = 0(1 + р(Т)г(Т)Т) при Т -* +оо ;

б)для такого потенциала q(x), что р(Т)г(Т)Т —* О njou Т —* 4-оо

Д(Г) = 8Jt|C+C-|(l + г3(Т))ехр[-2№+

+ Г [Q(x,T)-q[X))e\X)dx J-T

где е3(Т) = о( 1) при Т — +оо ;

в)для такого потенциала что г(Т)Т ограничена

Д(Г) = 8*|С+С_|ехр[-2ЛГ+

+{T/k) J\q(*,T) - q(x))e\x)dx] + е4(Г),

где е4(Т) = «(е"2*7-) при Т — +оо.

г)для такого потенциала 9(1), что г(Т)Т —* 0 при Г —► +оо

Д(Г) = 8*|С+С_1 ехр[-2М*] + е5(Т),

г<Эе е5(Г) = о(е~2кТ) при Т +оо .

Наконец, в девятом параграфе рассмотрен ряд примеров, иллюстрирующих различные степени убывания оценочных функций р(Т) и г(Т), а следовательно различные формулы описания спектра, приведенные в теореме 3.

Вторая часть диссертации посвящена случаю дискретного оператора Шредингера с вещественным потенциалом q. Общий ход рассуждения в этой части идентичен ходу рассуждения в части А. Поэтому и содержание параграфов, в основном, повторяет часть А. Следовательно, приведем только основные результаты этой части. Итак, исходно рассматривается одноатомная задача в 12(Z) :

- ï(n 4-1) — у{п - 1) + ?(n)j/(n) = M"). neZ, (19)

при любом T

для вещественного дискретного потенциала ?(п), такого что

+оо

YI < (20)

П = -0О

Спектр этой задачи a(q) С П. состоит из отрезка [—2,2] и дискретен и ограничен вне этого отрезка. Пусть Ао ÎÊ [—2,2] - собственное значение и пусть (?(п)-нормированная собственная функция, а <р[п) - какое-либо другое вещественное решение уравнения (1.1) при А = Ао такое, что: W[6,<p] = 0{п)<р(п + 1 ) - 6(п + l)y(") s 1. Удобно ввести следующие обозначения:

Í = и tf = í-í-1 = v/Ao-4-

Затем определим оценочную функцию p(N):

р(ю= £ líooi+r**.w>o (2i)

»eZ \Y(jv)

Здесь Y(JV) = [-N + 1, TV]. Существуют постоянные С» > 0 и С± ф 0 такие, что < С«?'1"1, а при п — ±со верна оценка в(п) = С±$-|п|(1 + О(КМ)))-Далее переходим к рассмотрению периодической задачи:

-y{n+l)-y(n-l) + Q(n,N)y(n) = Xy(n), neZ, (22)

+ СО

Q{n-,N)= £ q(n + Wk). (23)

Спектр o(C¡) С R.задачи (22) состоит из 2N замкнутых отрезков (спектральных зон). Этот спектр может быть также описан уравнением

J2 t)(A)02(A)tt_I(fc)'»"1(A-1) + (tf-d)G;"1 х (24)

fcey(jv)

X ( £ в2(к)а~1(к)а~1{к — 1) |

или, кратко, к — /(к). Причем, здесь функции v,a,HuG определяются аналогично одноименным функциям из части А.

При оценке решения этого уравнения нам понадобится вспомогательная оценочная функция t(N):

r{N) = sup У \v(n,t)\C2M + CM, M >0. (25)

При этом нас интересуют только те решения уравнения (24), которые находятся вблизи собственного значения Ао. Поэтому мы решаем уравнение к — /(к) на промежутке I = ¡(N) = [—CKr(N), CKr(N)] С R. В работе доказывается существование и единственность такого решения при фиксированном параметре d в следующей теореме:

Теорема 4. ПустъСк и da -положительные числа, удовлетворяющие условиям: Ок > тах{С|,5(С+С_|^о}| если r(N)N 0 при N —• +00 и С„ > С| в противном случае. Тогда существует положительное число No такое, что для любого N > Nq и любого d е [-¿о, ¿о] уравнение {24) в промежутке I(N) имеет одно и только одно решение к — K(d;N).

Упомянутая теорема имеет следующее следствие:

Следствие 5. Пусть da > 2, С > maxC¡ ,í|C+C_|do « пусть it(d; N) при |dj < d¡¡ является таким решением уравнения (24), что < Cr(N) для больших N. Положим \{d,N) = Ао + n(d;N). Тогда, для того чтобы A(d;N) S o(Q) необходимо и достаточно, чтобы d € [—2,2]. Следовательно, отрезок X(d,N) : — 2 < d < 1 совпадает с изолированной спектральной зоной , лежащей вблизи Ао .

Таким образом, при достаточно больших значениях периода N вблизи Ао находится ровно одна спектральная зона периодической задачи. Детальное описание этой зоны дано в заключительной теореме части В.

Теорема 6. Пусть функция q(n) £ /' (Z), число N > 0 и функция Q(x,N) определена формулой (S3). Пусть А0 {É [—2,2] - собственное значение и 0(п) 6 Í2(Z) - нормированная собственная функция задачи (19) при А = Ао. Пусть функция ip(n) -какое-либо решение уравнения (19) при А = Ао , удовлетворяющее условию W[0t = 1. Пусть f > 1, £ = ^|Ао| + — /2 f = \ЛР4. числа С« и С± такие же, как выше, а функции p(N), r(N) и определены формулами (21) и (25), соответственно. Положим

N

S(N) = *(hbo;N)= £ (Q{n,N)-q{n))e\n). n=-N+1

Тогда, если С > inaxjCj, 2<5|С+С_ |} и rt(d;N) - решение уравнения (24) при d 6 [—2,2] такое, что < Cr(N) для больших N, то верны следующие утверждения:

1) A(d; N) = Ао + K{d-, N) в tr(Q) при d 6 [-2,2] ,

2) А(±2\Я)-края зоны, а Д(ЛГ) = |А(2;ЛГ)- А(—2; ЛГ)| -ширина зоны ,

S) имеет место асимптотическая формула для сдвига зоны относительно Ао:

А(0; ÍV) = Ао + s(iV) + £i(iV),

где e¡.(N) = o(r(N)) при N —► +оо ;

4) имеют место асимптотические формулы для ширины зоны A(N)(2N:

а)в общем случае

N

In A{N)=s(N) J2 +

fc=-iV+1

где ei(N) = 0(1 + p(N)r(N)N) при N +00 ;

б)для такого потенциала q(n), что p(N)r(N)N —» 0 при N —» +оо

N

Д(ЛГ) = 4г|С+С-|(1+ез(ЛГ))ехрКЛГ) £ sign(k)e(k)<p{k)),

*=-лг+1

где Ss{N) = о( 1) при N —»+оо ;

в)для такого потенциала q(n), что r(N)N ограничена при любом N

A (N) = 45\C+C.\sxp[2Ns(N)/¡]+e4(N), где £л(Ю = о(1) при N —>■ +оо.

г)для такого потенциала q(n), что r(N)N —► 0 при N —* +оо

A(JV) = 4Í|C+C-| + £!(A),

где = о(1) при N —► +оо .

Третья часть работы посвящена изучению спектра одномерного дифференциального оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом, который строится как сумма сдвигов заданного одноатомного компленсно-значного потенциала q 6 X'(R). В силу комплекснозначности потенциала q исследуемый оператор является несамосопряженным. Итак, в ¿J(R) рассматривается одноатомная задача при igR:

/+оо

|<,(*)|<fe < со. (26)

•со

Спектр такой задачи а С С состоит из вещественной полуоси [Q,-foo) и некоторого не более чем счетного числа собственных значений, лежащих в комплексной плоскости вне этой полуоси.

Для одного из таких собственных значений Ао ¿ [0, +оо) выбираем два решения 0(х) и tf(z) уравнения (26) при А = Ао, первое из которых есть нормированная в £2(R) собственная функция, а второе выбирается так, чтобы определитель Вронского этих решений W[9,tp] равнялся 1. Положим р :— \До, r¡ := Imp > 0. Далее вводим оценочную функцию р(Т):

рСП ••= [ |í(*)|A: + е-2"т,Т> 0. (27)

V|i|>T

Существуют постоянные С) > 0 и С± ф 0 такие, что |<?(е)| < Сее~п^, а при х —» ±оо верна асимптотическая формула: в(х) = С±е'^хI (1-1-О(р(М)))• Теперь переходим к периодической задаче. Для х € R

+ СО

-J'{x) + Q{x-,T)y(x) = \y(x), Q(x;T) := £ «(z+2Tn). (28)

ns=—оо

Спектр cr(Q) этой цепочки состоит из не более чем счетного числа криволинейных отрезков(спектральных компонент), гомеоморфных единичному отрезку [0,1], и расположенных в комплексной плоскости. Этот спектр описывается следующим уравнением

к ^y^eV-'drj = JT ve2a'2dx + (If -djG-1. (29)

Здесь все упомянутые функции определяются совершенно аналогично тому, как это сделано в части А. Также необходимо отметить, что интеграл в левой части

равенства (29) может стремиться к нулю. В этом формально проявляется специфика несамосопряжениости задачи, рассматриваемой для комялексно-значного потенциала. На самом деле, характер асимптотического поведения вышеуказанного интеграла непосредственно связан с размерностью инвариантного подпространства (ИП), отвечающего собственному значению До одноатомной задачи. Ниже мы рассмотрим случаи одномерного и двумерного ИП. Лля этого выразим в терминах функций в и <р условия, при которых размерность ИП, отвечающего собственному значению До, равна 1 либо 2.

Лемма 7. Пусть

/+оо /• + «> / ГХ \

02{х)<1х, 1г:=2 62{х) ( / 0(иМ1,)^! ) Лг.

-оо У—оо \-/о /

Тогда

а) Для того, чтобы ИП, отвечающее собственному значению До было одномерным необходимо и достаточно, чтобы 2\ ф 0;

б) Для того, чтобы ИП, отвечающее собственному значению До было двумерным необходимо и достаточно, чтобы = 0 и 1ъ ф 0.

Сперва рассмотрим случай одномерного ИП. Также как в части А, наряду с функцией р(Т), определяемой формулой (27), введем в рассмотрение еще одну оценочную функцию:

П(Т) :=вир [' Мх,1)|е-г"!х'(*И-е-2'т, Т> 0. (30)

t>тJ~t

Для Т > 0 имеем п(Т) < р(Т).

Далее, для некоторого произвольного фиксированного положительного числа Ск и Т > 0, ограничивая область исследования спектра <?((}) на окрестность точки До, мы предполагаем что: |к| < Скгх(Т).

Тогда справедливы следующие утверждения.

Теорема 8. Пусть До - собственное значение одноатомной задачи (26) с одномерным ИП, т.е. 1\ ф 0. Пусть Ск и ¿в - положительные числа, удовлетворяющие условиям: Ск > |11]-1тах{С|,2|/>С+С_|с1о}, если Тп(Г) — 0 при Т +оо и С, > Щв противном случае. Тогда существует положительное число ¿о такое, что для любого Т > ¡о и любого й 6 [—¿о,¿о] уравнение (29) в круге Вх(Т) имеет одно и только одно решение к — к(<1; Т).

Следствие 9. Пусть ¿0 > 2, Х^ ф 0, С > \1\\~1 тах{С|, 2|рС+С_|йа} и пусть Г) при Щ < ¿о является таким решением уравнения (29), что |к(й;Т)| < Сгх(Т) для больших Т. Положим, Д((1;Г) = До + к{(1;Т). Тогда, для того чтобы Д(«¿¡Г) £ необходимо и достаточно, чтобы с{ 6 [—2,2]. Следовательно, криволинейный отрезок {Д(^;Т) : — 2 < с! < 2} совпадает с изолированной для больших Т спектральной компонентой, лежащей вблизи До .

Таким образом мы доказали существование спектральной компоненты вблизи Aq. Приведем теперь формулы, асимптотически описывающие эту компоненту.

Теорема 10. Пусть функция д(х) G í'(R), число Т > 0 и функция Q(x;T) определена формулой (28). Пусть Ао <t [0,-foe) -собственное значение и 0(х) 6 ¿2(R) - соответствующая собственная-функция задачи (26) такая, что Ц^Ц^з(д) = 1 и Ji 07(x)dx ф 0. Пусть функция у>(х) -какое-либо решение уравнения (26) при

А = Ао такое, что W[0,yj] = 1. Положим

V(T) fT(Q^;T) - q{x))e*(x)dx,

и(Г):= (fo ~I-T)°ixMx)dX'

Пусть далее р — \Ао, Im р > 0 , числа Се и С± такие же, как выше, а функции р(Г) и (Г) определены формулами (27) и (30), соответственно. Тогда, если С > |Ii|-1niax{C|;4|pC+C_|} и n{d;T) - решение уравнения (29) при d € [—2,2] такое, что ¡k(c¡; T)l < Cr¡(T) для больших Т, то верны следующие утверждения:

1) A(d; Т) = Ао + ф; Т) 6 <г(0) при d е [-2,2] ,

2) А(±2; Т)-края спектральной компоненты ,

3) имеет место асимптотическая формула:

тТ) = Х0-¥МТ)/Х1]+е1(Т),

где Ei(Т) = о(г,(Т)) при Г— +ос ;

4) справедлива формула параметрического представления спектральной компоненты

X(d;T) = Л(0; Т) + Д (d;T)de2i'T,

причем для A(d-T) верны следующие асимптотические формулы:

а) в общем случае

In [A(d;Г)] = 1ГУ(Г)£/(Г) + е2(Т), где e2(d; Т) = 0(1 + Тр(Т)гх(Т)) при Т —* Н-оо равномерно по d € [—2,2] ;

б) для такого потенциала q(x), что Тр(Т)ri(Т) —► 0 при Т —* +оо

Д (<¿; Г) = 2»>С+С_ 1Г'(1 + e3(d; Г)) ехр[ Jf1 V(T)U(T)},

где £s(d,T) = о(1) при Г —» +оо равномерно по d 6 [—2,2];

в) для такого потенциала д(х), что Tr¡(T) ограничена при любом Т

&(d;T) = 2¡PC+C- Z¡\l + e4(d-,T))txp[ Х{'(гТ/р)У(Т)},

где c^(d\T) = о(1) при Т -* +оо равномерно по d £ [—2,2];

г) для такого потенциала д(х), что r¡(T)T —»0 при Т —<■ +оо

A(d;T) = 2ipC+C-Xi'(1 + ís№T)), где f5(d; Т) = о(1) при Г -» +оо равномерно node (-2,2] .

Перейдем теперь к случаю двумерного ИП. В этом случае нам понадобится другая оценочная функция

Заметим, что при таком определении га(Т)'= 0(р1'2(Т)) при Т —► +оо.

Лля произвольного фиксированного положительного числа С* выделяем на комплексной плоскости круг радиуса Сжга(Т) с центром в нуле, на котором в дальнейшем решаем основное уравнение (29). Приходим к следующему результату

Теорема 11. Пусть Ао - собственное значение одноатомной задачи (26) с двумерным ИП, т.е. = 0 и Хг ф 0, где 1\ и 12 определены в лемме 7. И пусть Ск и <10 -положительные числа, удовлетворяющие условиям: > ¡2Гг( 1 тах{Св,2|рС+С_Мо}, если Тг2(Т) —+ 0 при Т —» +оо и СЦ > в противном случае. Тогда существует

положительное число ¿о такое, что для любого Т > 1о и любого <1 6 [—¿0] уравнение (29) в круге имеет ровно два решения к =.к(<1;Т).

Следствие 12. Пусть — 0, 1з ф 0, ¿о > 2, С -положительное число такое, что выполняется неравенство С3 > \Zi\~1 шах{С|,"¿\рС±С~\(1а]. И пусть «1,5(^1 Т) при |с(| < ¿о являются такими решениями уравнения (4-3), что < Сг2(Т)

для больших Т. Положим, А 1,2(^1 Т) = Ао + К),2(^;Г). Тогда, для того чтобы ^1,2(¿;Г) € необходимо и достаточно, чтобы <1 € [—2,2]. Следовательно, па-

ра криволинейных отрезков А 1,г(<1;Т) : — 2 < Л < 2 совпадает с двумя изолированными спектральными компонентами, лежащими вблизи Ао .

Таким образом, доказано существование пары спектральных компонент вблизи Ао. Приведем теперь формулы, асимптотически описывающие эти компоненты. Далее везде под выражением г1'2 мы понимаем оба значения квадратного корня из комплексного числа х.

Теорема 13. Пусть функция д(х) £ £1(й.), число Т >0 и функция <2(х ,Т) определена формулой (28). Пусть Ао - собственное значение и 0(х) 6 £2(П.) -собственная функция задачи (26) такая, что ||0||х.а(я) = 1,

Пусть функция <р(х) -какое-либо решение уравнения (26) при А = Ао, удовлетворяющая условию 1У[0, ф] н 1, причем

1/2

(31)

Положим

Пусть р = у/Хо, 7 = Im /> > 0 , числа С$ и С± такие же, как ранее , а функции р(Т) и г?(Т) определены формулами (S7) и (31), соответственно. Тогда, если С2 > II2I"1 тах{С|,4|рС+С_|} ы k(c¡;T) - решение уравнения (29) при d 6 [—2,2] такое, что < Сгг(Т) для больших Т, то верны следующие утверждения:

1) А(сi; Т) = Л0 + к(d;T) £ <г(Q) при d 6 [-2,2] ,

2) А(±2;Т)-крия спектральных компонент,

3) имеет место асимптотическая формула для "центров" спектральных компонент:

Aj,2(0;T) = Ao + s1/z(T),

где 51(Т) = [^(Г)Д2] + £1(Г),

а £Х(Г) = о(г2(Т)) при Т — +оо ;

4) если при некотором положительном S и всех достаточно больших Т выполняется неравенство

Mi(0¡T) - Аа(0;Г)| < ехр((-„ - S)T),

то для описания спектра вблизи Ао имеет место асимптотическая формула: KMT) = + (2ipC+C-d/I2)1!2exp[ipT]+e2(d-,T),

где et{d;T) = о(е'рТ) равномерно относительно d € [—2,2] при Т —■ Н-оо ;

5) если при некоторо-м положительном 5 и всех достаточно больших Т выполняется неравенство

[АЦО.-Г) - Аг(0; Г)| > ехр ((-г, + 6)Т), то для описания спектра вблизи Ао имеет место асимптотическая формула:

A1,2(rf¡T)=A1,2(0;T) + (¿/2)Sr1/2(í,)s2№r)e2i"T,

где для функции Si(d\T) имеют место следующие асимптотические выражения:

а) в общем случае

la s2(d-, Т) = s\!\T)U(T) + е3 (d; Т),

где ез(<*; Т) = 0( 1 + Тр(Т)г2(Т)) равномерно относительно d 6 [-2,2] при Т —» +оо ;

б) для такого потенциала q(x), что Тр(Т)г2(Т) —> 0 при Т —> -foo

t(.d;T) = UpC+CJZ^O. + e4(<¿; T)) exp[Sl/2(T)í/(T)],

где £i(d\T) = o(l) равномерно относительно d € [—2,2] при T —* +оо ;

в) для такого потенциала ?(г), что Тг2(Т) ограничена при любом Т

s2(d; Т) = 2.>С+С_22-1 exp[(¡r/2p)S¡/2(r)](l + £5(d; Г)),

где s¡(d\T) = о{ 1) равномерно относительно d 6 [—2,2] при Т —► +оо. г^ для такого потенциала q(x), что Тгг(Т) —» 0 при Т —► +со

s2(d;r) = aípC+C-Ij-^l + e6(<í; Г)),

где ее(rf; Г) = о(1) равномерно относительно d 6 [—2,2] при Т —» +оо,

Наконец, в приложениях приведены результаты компьютерных вычислений и графических построений, проведенных с помощью математического пакета MapleV, которые иллюстрируют и подтверждают на нескольких примерах наиболее интересные результаты работы. В частности, в первом приложении на примере потенциала двойной "гребенки Дирака" - простейшего потенциала для которого может существовать трехмерное ИП, показано разнообразие возникающих асимптотических описаний локализованных спектральных зон и совпадение этих описаний с теоретическими результатами работы. Во втором приложении тот же самый пример рассмотрен в ракурсе разнообразия спектральных картин вблизи Ао в зависимости от того какова размерность соответствующего ИП. Наконец, в третьем приложении показано, что классическое чисто экспоненциальное поведение всех членов асимптотики спектральной зоны(компоненты) на самом деле во втором приближении нарушается даже для простейших периодических потенциалов.

Список основных работ по теме диссертации.

1. Mironov A.L., Oleinik V.L. "The discrete tight binding approximation"

University of Turku, Department of Physics, Report series, Turku-FL-R15, 1993, P. 1-20.

2. Миронов А.Л., Олейник В.Л. "О границах применимости метода приближения сильной связи"

ТМФ, Том 99, N 1, С.103-120, 1994.

3. Mironov A.L., Oleinik V.L. "The discrete tight binding approximation" J. of Stat. Physics, Vol.75, Nos.1-2, 1994.

4. Миронов А.Л., Олейник В.Л. "О границах применимости метода приближения сильной связи для комплексно-эначного потенциала"

ТМФ, Том 112, N 3, С.448-466, 1997.

Введение

Часть А. Дифференциальный оператор Шрёдингера п.1. Один атом. п.2. Периодическая цепочка идентичных атомов п.З. Построение функций <^т(х) и #т(х) п.4. Основное алгебраическое уравнение п.5. Асимптотики функций а(х) и 7(х) п.6. Асимптотики функций (3 и Н. п. 7. Доказательство существования спектральной зоны п.8. Асимптотическая формула зоны. п.9. Примеры конкретных потенциалов

Часть В. Дискретный оператор Шрёдингера п.1. Один атом. п.2. Периодическая цепочка идентичных атомов п.З. Построение функций </?лК«) и п.4. Основное алгебраическое уравнение п.5. Асимптотики функций а(п) и 7(п) п.6. Асимптотики функций и Н. п.7. Доказательство существования спектральной зоны п.8. Асимптотическая формула зоны

Часть С. Дифференциальный оператор Шрёдингера с комплексно-значным потенциалом п.1. Один атом. п.2. Периодическая цепочка идентичных атомов п.З. Построение функций <рт(х) и &т(х) п.4. Основное уравнение п.5. Вспомогательные оценки в случае одномерного инвариантного подпространства п.б. Существование и асимптотическое поведение спектральной компоненты в случае одномерного инвариантного подпространства п.7. Вспомогательные оценки в случае двумерного инвариантного подпространства п.8. Существование и асимптотическое поведение спектральных компонент в случае двумерного инвариантного подпространства. п.9. Примеры

1. Глазман И.М., Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов, М.: Физматгиз, 1963.

2. Титчмарш Э.Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, Т.2, М.:Изд. иностр. лит., 1961.

3. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики. Анализ операторов, Т.4, М.:Мир, 1982.

4. Гасымов М.Г. // Функц. Анализ, 1980, т.14, N1, стр.14-19.

5. Серов М.И. // ДАН, 1960, т.131, N1, стр.27-29.

6. Рофе-Бекетов Ф.С., // ДАН, 1963, т.152, N6, стр.1312-1315.

7. Ткаченко В.А., // ДАН, 1964, т.155, N2, стр.289-291.

8. Ансельм А.И., Введение в теорию полупроводников, М.:Наука, 1978.

9. Бассани Ф., Пастори Парравичини Дж., Электронные состояния и оптические переходы в твердых телах, М.:Наука, 1982.

10. Павлов B.C., Смирнов Н.В. // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1984, Т.133, С.197-211.

11. Kirsch W., Kotani S., Simon В. // Ann. Inst. H. Poincare. 1985, Sect.A, V.42, N4, P.383-406.

12. Oleinik V.L. // J. of Stat.Ph., 1990, V.59, 3/4, P.665-678.

13. Каллуэй Дж. Теория энергетической зонной структуры, М.:Мир, 1969.

14. Wohlfarth Е.Р. // Proc. Phys. Soc., 1953, V.A66, Р.889-893.

15. Пастур Л.А., Ткаченко В.А., // Мат. заметки, 1991, т.50, N4, стр.88-95.

16. Миронов А.Л., Олейник В.Л. // ТМФ, 1994, т.99, N1, стр.103-120.

17. Mironov A.L., Oleinik V.L. // J. of Stat.Ph. 1994, V.75, 1/2.

18. Миронов А.Л., Олейник В.Л. // ТМФ, 1997, т.112, N3, стр.448-466.