Асимптотическое расщепление при моделировании линейно упругих стержневых конструкций из неоднородных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

1 Введение

2 Обзор литературы

3 Асимптотическое расщепление пространственной задачи теории упругости для тонкого длинного тела — стержня

3.1 Случай общего положения.

3.2 Температурные эффекты.

3.3 Прямой стержень.

3.4 Напряжения поперечного сдвига в прямом стержне при отсутствии крутящего момента.

3.5 Температурное воздействие в прямом стержне.

4 Одномерная конечно-элементная модель криволинейного стержня

4.1 Аппроксимация геометрии стержня и распределенных нагрузок.

4.2 Регуляризация одномерной модели.

4.3 Выбор «функций формы».

4.4 Вариационная постановка.

4.5 Матрица жесткости.

4.6 Учет распределенных нагрузок.

4.7 Модификация вариационной постановки для учета температурных воздействий.

5 Погранслой вблизи торца стержня

5.1 Постановка задачи с малым параметром.

5.2 Экспоненциальные решения для бесконечного цилиндра

5.2.1 Вариационная постановка.

5.2.2 Осесимметричный случай.

5.2.3 КЭ постановка в осесимметричном случае.

5.3 О решении алгебраической проблемы собственных значений

5.4 Численные эксперименты.

5.4.1 Круговой цилиндр из однородного материала

5.4.2 Полый цилиндр квадратного сечения.

Наиболее слабо затухающее решение.

5.4.3 Неоднородное сечение с мягким слоем.

5.4.4 Влияние анизотропии на скорость убывания однородных решений.

5.4.5 Пример неоднородного сечения сложной формы

6 Модель сращивания одномерного и трехмерного упругих тел

6.1 Формулировка условий сопряжения.

6.2 КЭ процедура при наличии связей.

6.2.1 Исключение зависимых переменных.

6.2.2 Алгоритм формирования матрицы и правой части системы.

6.3 Численные эксперименты.

7 Некоторые прикладные задачи

7.1 Напряжения поперечного сдвига в стержне.

7.1.1 Задача Сен-Венана о кручении и изгибе силой

7.1.2 Кручение и изгиб кругового цилиндра.

7.1.3 Напряжения поперечного сдвига в П-образной раме

7.2 Нагрев биметаллической пластины.

7.3 Изгиб круглого цилиндра из двух материалов.

8 Расчет корректирующей катушки термоядерного реактора ITER

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в работе.

Рассмотрена процедура асимптотического расщепления в прямом стержне. В отличие от общего случая криволинейного стержня, для прямого стержня получена одномерная модель с растяжением. При учете температурных воздействий одномерная модель, в частности, корректно описывает температурное расширение вдоль оси.

Предложена и реализована одномерная конечно-элементная модель, в которой роль функций формы играют точные решения при сосредоточенных нагрузках. В целях регуляризации в одномерную модель введено растяжение. Для учета температурного воздействия предложено к «функциям формы» добавлять неоднородные слагаемые, являющиеся точными решениями при заданной температуре; описана соответствующая вариационная постановка, допускающая простую численную реализацию.

Показано, что при малой толщине стержня главный член погранслой-ного решения вблизи торца является линейной комбинацией однородных экспоненциальных решений для полубесконечного цилиндра. Приведена вариационная постановка спектральной задачи для определения этих однородных решений. Отдельно рассмотрен случай осесимметричного сечения, аналитически получены сдвиговые осесимметричные решения. Проведена серия численных экспериментов, выявляющих зависимость скорости убывания погранслоя от различных факторов (геометрии, неоднородности, анизотропии).

Предложена и реализована методика сращивания одномерной и трехмерной моделей (в месте, где стержень соединяется с массивным телом, или в месте сопряжения стержней). Рассмотрено несколько формулировок процедуры сращивания. Поставлены численные эксперименты, давшие возможность сравнить результаты трех вариантов процедуры сращивания с решением задачи в трехмерной постановке. Подтверждена работоспособность предложенных процедур.

Рассмотрена задача о корректирующей катушке термоядерного реактора ITER, подверженной тепловым и механическим нагрузкам. Сравнение решений задачи в различных постановках еще раз подтвердило высокую эффективность методики асимптотического расщепления, применяемой совместно с методикой сращивания. Об этом также свидетельствуют приведенные временные показатели расчета задачи в трех постановках.

1. Алексеев А. Е. Изгиб трехслойной ортотропной балки. // Прикл. мех. и техн. физ. 1995. - 36, КЛ 3. - С. 158-166.

2. Алексеев Н. В. Задача для упругого естественно закрученного стержня. // Конф. "Расчет, методы МДТТ". — Новосибирск, 11-14 сент., 1995: Тез. докл., — Новосибирск, 1995. — С. 8.

3. Бахвалов Н. С, Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. // М.: Наука, 1984. — 352 с.

4. Бердичевский В. Л., Старосельский Л. А. К теории криволинейных стержней типа Тимошенко. // ПММ. — 1983. 47, № 6. — С. 10151024.

5. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. // М.: Наука, 1983. — 448 с.

6. Бутузов В. Ф., Уразгильдина Т. А. Асимптотическое решение квазистатической задачи термоупругости для тонкого стержня. // ПММ. 1987. - 51, № 6. - С. 989-999.

7. Василенко А. Т. Решение задачи об изгибе неоднородной криволинейной балки. // Пробл. прочн. — 1999. № 5. - С. 103-108, 133.

8. Власова Т. Е., Неполон Ю. Г. Локинг-эффект в конечно-элементных моделях балок, пластин и оболочек, учитываюш;их деформации сдвига. // Механика и процессы управления. Сборник научных трудов. Труды СПбГТУ. 1994. - № 448. - С. 108-121.

9. Галактионов Е. В., Тропп Э. А. Асимптотический метод расчета термоупругих напряжений в тонком стержне. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1976. - 40, № 7. - С. 1399-1406.

10. Реращенко П. А., Денисова Л. М. Метод фиктивных нагрузок в расчетах стержневых систем при температурных воздействиях. // Вести. Астрах, гос. техн. ун.-та. — 1994. — № 1. — С. 244-247.

11. Горик А. В., Пискунов В. Р., Серов М. И. Аналитическое решение задачи изгиба композитного бруса на основе уточненной модели деформирования. // Пробл. прочн. 1999. — № 1. С. 116-131, 150. -Укр.

12. Рорик А. В., Пискунов В. Г., Передников В. П. Моделирование напряженно-деформированного состояния композитных брусьев при изгибе в двух плоскостях. Сообп];ение 1. Вывод соотношений неклассической модели. // Пробл. прочн. — 1999. — № 2, С. 115-125.

13. Рригоренко Я. М., Крюков Н. Н. Исследование несимметричного напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропных цилиндров при различных граничных условиях на торцах. // Прикл. мех. (Киев). 1998. - 34, № 7. - С. 3-10.

14. Гутман С. Г. 06ni,ee решение задачи теории упругости в обобщенных цилиндрических координатах. // Изв. ВНИИ гидротехн. — 1997. — 232, т 2. С. 26-48.

15. Друзь А. П., Поляков Н. А., Устинов Ю. А. Однородные решения и задача Сен-Венана для естественно закрученного стержня. // ПММ. 1996. - 60, № 4. - С. 660-668.

16. Друзь А. Н., Устинов Ю. А. Решение задачи Сен-Венана естественно закрученного стержня при малых значениях "крутки". // Соврем, пробл. мех. сплош. среды. — Тр. 5-й междунар. конф., Ростов-на-Дону, 12-14 OKT., 1999. Т. 1. Ростов н/Д. 2000. С. 62-67.

17. Елисеев В. В., Орлов С. Г. Асимптотическое расш,епление в пространственной задаче линейной упругости для удлиненных тел со структурой. // ПММ. 1999. - 63, № 1. - С. 93-101.

18. Елисеев В. В. Задача Сен-Венана и упругие модули для стержней с кривизной и кручением. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1991. № 2. - С. 167-176.

19. Елисеев В. В. К нелинейной динамике упругих стержней. // ПММ.- 1998. 52, № 4. - С. 635-641.

20. Елисеев В. В. Механика упругих стержней. // СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1994. 84 с.

21. Елисеев В. В. Механика упругих тел. // СПб.: Изд-во СПбРТУ, 1999.- 341 с.

22. Елисеев В. В. Одномерные и трехмерные модели в механике упругих стержней. // Дне. . д-ра физ.-мат. наук. ЛРТУ, 1991. — 300 с.

23. Елисеев В. В. Одномерные и трехмерные модели упругих стержней. // Механика и процессы управления. Сборник научных трудов. Труды СПбРТУ. 1993. - № 446. -- С. 29-52.

24. Жилякова Н. Ю., Панасенко П. П., Дудченко А. Н. Математическая модель стержневого конечного элемента с упругоподатливыми связями. // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион, техн. и. — 1999. — № 1. — С. 45-53.

25. Завьялов Ю. С, Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. // М.: Наука, 1980. 352 с.

26. Зайцев С. Н. Криволинейный балочный конечный элемент, учитывающий геометрически нелинейные деформации. // Учен. зап. / ЦА-ГИ. 1991. - 22, № 5. - С. 102-117, 145.

27. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. // М.: Мир, 1975. 542 с.

28. Ивченко Н. К. Краевые эффекты в цилиндре конечной длины. Моск. гос. акад. нриборостр. и информат. — М., 1998. — 19 с: ил. — Библиогр.: 8 назв. Рус. - Деп. в ВИНИТИ 16.11.98, № 3354-В98.

29. Илюхин А. А. О построении соотношений теории упругих стержней. // Механика твердого тела (Киев). — 1990. — № 22. С. 82-92.

30. Илюхин А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. // Киев: Наук, думка, 1979. — 216 с.

31. К. де Бор Практическое руководство по сплайнам: пер. с англ. // М.: Радио и связь, 1985. — 304 с.

32. Каргин Д. П., Курбатова Н. В., Устинов Ю. А. Однородные решения и задача Сен-Венана для винтовой пружины. // ПММ. — 1998. — 62, № 4. С. 690-698.

33. Касумов А. К. Вариационная постановка задачи расчета пространственного криволинейного стержня. // Спектр, теория операторов и ее прил. 1998. - № 8. - С. 242-245.

34. Касумов А. К. О матрице жесткости стержневых конструкций при температурном воздействии. // Изв. АН Азербайджана. Сер. физ.-техн. и мат. п. 1997 - № 4-5. - С. 208-215.

35. Кирхгоф Г. Механика. // М.: Изд-во АН СССР, 1962. 402 с.

36. Коваленко М. Д., Шибирин С. В. Стьж двух полуполос. // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1997. — № 1. — С. 56-63.

37. Колпаков А. Р. Асимптотическая задача термоупругих балок. // Прикл. мех. и техн. физ. 1995. — 36, № 5. - С. 135-144.

38. Колпаков А. Г. Жесткости упругих цилиндрических балок. // ПММ. 1994. - 58, № 2. - С. 102-109.

39. Колпаков А. Р. Определяющие уравнения тонкой напряженной балки периодической структуры. // ПММ. — 1999. — 63, ^ 3. — с. 513-523.

40. Коновалов А. Н. Численнью методы в статических задачах теории упругости. // Сиб. мат. ж. 1995. - 36, № 3. С. 573-589

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. // М.: Наука, 1973. — 832 с.

42. Космодамианский А. С. О решении задач теории упругости методом малого параметра. // Теор. и прикл. мех. (Киев). — 1996. — № 26. — С. 147-151.

43. Литовченко С. И., Прокопов В. К. Соотношение обобщенной орто-тональности в задаче о равновесии упругого цилиндра. // ПММ. — 1973. 37, № 2. - С. 285-290.

44. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. // М.: Го-стехиздат, 1955. — 492 с.

45. Лурье А. И. Теория упругости. // М.: Наука, 1970. — 939 с.

46. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. // М.: Наука, 1974. — 344 с.

47. Мехтаев М. Ф., Сардарова Н. А. Построение однородных решений задачи теории упругости для трансверсально-изотропного усеченного полого конуса переменной толщины. // Спектр, теория операторов и ее прил. — 1997. -- № 6. С. 239-244.

48. Найфэ А. Методы возмущений. // М.: Мир, 1976. — 456 с.

49. Панасенко Н. П., Дудченко А. Н. Математическая модель абсолютно жесткого пространственного конечного элемента. // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион, техн. п. 1994. - № 3-4. - С. 214-227.

50. Понятовский В. В. Применение асимптотического метода интегрирования к задаче равновесия тонкого бруса, произвольно нагруженного по боковой поверхности. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1968. - КЛ 5. - С. 139-143.

51. Постнов В. А., Тарануха Н. А. Метод модуль-элементов в расчетах судовых конструкций. //Л.: Судостроение, 1990. — 320 с.

52. Ностнов В. А., Хархурин И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. // Л.: Судостроение, 1974. — 342 с.

53. Потудин О. В. Осесимметричная задача теории упругости разномо-дульных материалов для цилиндра конечных размеров. // Пробл. прочн. матер, и сооруж. на трансп.: Тез. докл. — 3 Междунар. конф., Санкт-Петербург, янв. 1995. СПб, 1995. - С. 138-139.

54. Прокопов В. К. О равновесии полого цилиндра конечной длины, нагруженного осесимметричной нагрузкой. // Труды Л ПИ им. М. И. Калинина. 1958. - № 192. - С. 43-58.

55. Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. // М.: Стройиздат, 1977. — 129 с.

56. Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов.

57. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 232 с.

58. Сорокин Ф. Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемеш,ений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота. // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1994. — № 1. — С. 164-168.

59. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. // М.: Физматгиз, 1960. Т 1. - 379 с.

60. Тихомиров В. В. К расчету коробчатой оболочки прямоугольного профиля. // Прикл. мех. (Киев). 1981. - XVII, КЛ 8. - С. 48-55.

61. Устинов Ю. А. Задачи Сен-Венана для пружины. // Докл. АН (Россия). 1995. - 345, № 5. - С. 621-623.

62. Федоров Ю. А. О температурных касательных напряжениях и напряжениях отрыва слоев в многослойных стержнях. // Изв. Иван, отд-ния Петр. Акад. наук и искусств. — 1996. — *)\Л 2. С. 136-140.

63. Шабров Н. П. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. // Ленинград: Машиностроение, 1983. — 212 с.

64. Шамина В. А. О построении нелинейной теории тонких стержней.

65. Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. - № 3. - С. 128-138.

66. Шарапин И. А. О напряжениях в кривом брусе. // Исслед. по мех. строит, конструкций и матер. / СПб инж.-строит. ин-т. — СПб. — 1993. С. 113-120.

67. Шульга В. М. О решении уравнений теории упругости в цилиндрических координатах. // Доп. Нац. АН Укра1ни. — 1998. — JY^ 6. — С. 80-82. Укр.

68. Щепин П. П., Илюхин А. А. Построение асимптотической теории упругих стержней с переменным поперечным сечением. //Тр. Меж-дунар. конф. "Математика в индустрии". — Таганрог, 29 июня 3 июля, 1998: 1С1М-98 - Таганрог, 1998. - С. 337-338.

69. Alvarez-Vazquez L. J., Viano J. M. Asymptotic modeling of a nonsymetric beam. / / J . Comput. Appl. Math. — 2000. — 126. — C. 433-447.

70. Aminpour Mohammad A., Ransom Jonathan В., McCleary Susan L. A coupled analysis method for structures with independently modeled finite element subdomains. // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1995. — 38, KA 21. C. 3695-3718.

71. Antman S. S. The theory of rods. // Handbuch Physik, Springer. — 1972. B. 6a/2. S. 641-703.

72. Bagci C. A new unified strength of materials solution for stresses in curved beams and rings. // Trans. ASME J. Mech. Des. — 1992. — 114, JV? 2. C. 231-237.

73. Borri Marco, Bottasso Carlo An intrinsic beam model based on a hehcoidal approximation. Pt. I. Formulation. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. - 37, № 13. - C. 2267-2289.

74. Borri Marco, Bottasso Carlo An intrinsic beam model based on a helicoidal approximation. Pt. II. Linearization and finite element implementation. // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1994. — 37, № 13. C. 2291-2309.

75. Chu Wen-Hwa, Mehregang Mehran, Mullen Robert L. Analysis of tip deflection and force of a bimetallic cantilever microactuator. // J. Micromech. and Microeng. — 1993. — 3, № 1. C. 4-7.

76. Crisfield M. A., Gelenic Gordan Objectivity of strain measures in the geometrically exact three-dimensional beam theory and its finite-element implementation. // Proc. Roy. Soc. London. A. 1999. — 455, KA 1983.- C. 1125-1147.

77. Crisfield M. A. Geometrically exact 3D beam theory: implementation of a strain-invariant finite element for statics and dynamics. // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1999. - 171, № 1-2. - C. 141-171.

78. Davi G., Milazzo A. Bending stress fields in composite laminate beams by a boundary integral formulation. // Comput. And Struct. — 1999. — 71, № 3. C. 267-276.

79. Dell 'Isda Francesco, Ruta Giuseppe C. Generalizing Jouravski formulas by techniques from differential geometry. // Math, and Mech. Solids. — 1997. 2, № 3. - C. 307-319.

80. Desmorat R., Leckie F. A. Singularities in bi-materials: parametric study of an isotropic/anisotropic joint. // Eur. J. Mech. A. — 1998. — 17, № 1.- C. 33-52.

81. Everstine G. C, Pipkin A. C. Stress channelhng in transversely isotropic elastic composites. // Z. angew. Math. Phys. — 1971. — 22. — C. 825834.

82. Fett T. Determination of stresses in a plane strip of bonded dissimilar materials. // Eng. Fract. Mech. 1994. - 47, № 4. - C. 547-557.

83. Friedman Z., Kosmatka J. B. An accurate two-node finite element for shear deformable curved beams. // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1998.- 41, № 3. C. 473 - 498.

84. Ganapathi M., Patel B. P., Saravanan J., Touratier M. Shear flexible curved spline beam element for static analysis. // Finite Elem. Anal, and Des. 1999. - 32, № 3. C. 181-202.

85. George A., Liu J. Computer Solution of Large Sparse Positive Definite Systems. // Prentice-Hall, 1981.

86. Haktanir Vebil The complementary functions method for the element stiffness matrix of arbitrary spatial bars of helicoidal axes. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1995. - 38, № 6. - C. 1031-1056.

87. Hauptmann R., Schweizerhof K. A systematic development of 'solid-shell' element formulations for linear and non-linear analyses employing only displacement degrees of freedom. // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1998. 42, 1. - C. 49-69.

88. Horgan C. O., Knowles J. K. Recent Developments Concerning Saint-Venant's Principle. // Adv. Appl. Mech. 1983. - 23. - C. 179-269.

89. Kim Jin Con, Kim Yoon Young A new higher-order hybrid-mixed curved beam element. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1998. - 43, № 5. - C. 925-940.

90. Kim Yoon Young, Steele Charles R. Static axisymmetric end problems in semi-infinite and finite solid cyHnders. // Trans. AS ME J. Appl. Mech. 1992. - 59, № 1. - C. 68-76.

91. Knops R. J., Villaggio P. Transverse decay of solutions in an elastic cylinder. // Meccanica. 1998. - 33, № 6. - C. 577-585.

92. Ladeveze Pierre, Simmonds James New concepts for linear beam theory with arbitrary geometry and loading. // Eur. J. Mech. A. — 1998. — 17, m 3. с. 377-402.

93. Lefik M., Schrefler В. A. 3-D finite element analysis of composite beams with parallel fibres, based on homogenization theory. // Comput. Mech.- 1994. 14, № 1. - C. 2-15.

94. Mentrasti Lando Shear-torsion of large curvature beams. Pt. I. General theory. // Int. J. Mech. Sci. 1996. - 38, N- 7. - C. 709-722.

95. O'Relly 0. M. On constitutive relations for elastic rods. // Int. J. Solids and Struct. 1998. - 35, № 11. C. 1009 - 1024.

96. Panasenko G. P., Paulin J. Saint Jean An asymptotic analysis of junctions of non-homogeneous elastic rods: boundary layers and asymptotic expansions. // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1993. — 33, JA И. с. 1693-1721.

97. Pregl M. Shear stresses in beams of arbitrary cross-section. // Z. angew. Math, und Mech. 1995. - 75, Suppl. nl. - G. 273-274.

98. Sanchez-Hubert Jacqueline, Palencia Evarisre Sanchez Statics of curved rods on account of torsion and flexion. // Eur. J. Mech. A. — 1999. 18, № 3. - C. 365-390.

99. Savoia Marco, Tullini Nerio Beam theory for strongly orthotropic materials. // Int. J. Solids and Struct. 1996. - 33, № 17. - C. 24592484.

100. Savoia Marco On the accuracy of one-dimensional models for multilayered composite beams. // Int. J. Sohds and Struct. — 1996.- 33, № 4. C. 521-544.

101. Ting T. C. T. New solutions to pressuring, shearing, torsion and extension of a cylindrically anisotropic elastic circular tube or bar. // Proc. Roy. Soc. London. A. 1999. - 455. № 1989. - C. 3527-3542.

102. Toupin R. A. Saint-Venant's principle. // Arch. Ration. Mech. Anal.- 1965. 18, КЛ 2. - C. 83-96.

103. Tutuncu N. Plane stress analysis of end-loaded orthotropic curved beams of constant thickness with applications to full rings. // Trans. ASME J. Mech. Des. 1998. - 120, № 2. - C. 368-374.

104. Wishniewski K., Schrefler B. A. On recovery of stresses for a multi-layered beam element. // Eng. Comput. — 1993. — 10, № 6. — C. 563569.

105. Wisnom Michael R. 3-D finite element analysis of curved beams in bending. // J. Compos. Mater. 1996. - 30, № 11. - C. 1178-1190.

106. Yamakawa Junya, Murakami Hidenori, Watanabe Keij i Assessment of approximate solutions for the plane deformation anisotropic cantilever beams. // Mem. Nat. Def. Acad. 1995. - 35, № 2. - C. 1-18.

107. Yu Aiming, Li Xiangrong Exphcit analytical solutions for the shearing and radial stresses in curved beams. // Commun. Nonlinear Sci. and Numer. Simul. 1999. - 4, ^ 2. - C. 151-156.

108. Zheng Shiying, Jin Yao Exact solution of sandwich beams. // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 1995. - 16, № 6. - C. 539-548.