Асимптотичные методы и теории подкрепленных пластин (Влияние граничных условий) тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

л

ч

Дн1пропвтровський державний ун!верситет

На правах рукопису

Маневич Ел1на Леон1д1вна

Асимптотичн! метода у теорИ п1дкр1плэши плаотаа (вшшв граничит умов).

01.02.04 - механ!ка двформ!впого твердого т!ла

Автореферат дисвртацП на здобуття наукового ступэня кандидата ф1зико-матвматични1: наук.

Дн1проттровськ 1994

Дисертац1ею с рукогшс.

Робота виконана у В1дд1ленн1 ф1зико-твхн1чних проблем транспорту иа н8дпров1даих магн1тах 1нстнтуту геотехн!чноХ мыан1ки АН Ук-ра!нн.

Науковий коровник - академ!к АН УкраКни, доктор ф!зико-матема-тичних наук, нрофесор Мосаковський B.I.

0ф1ц1йн1 опоненти: професор,

доктор техн1чних наук Заруцький В.О.

доктор ф1зико-математичних наук, нрофесор Павленко A.B.

Пров1даа орган1зад1я - Запор1зький дэржавний ун!вэрситот.

Бахист в1дбудеться "

18 - ¿ереанбЬ 1994р. на зас1данн1 снед1ал1зовано1 вчено! ради Д 053 24.05 при Дн1пропетровському державному ун1верситет1 (м.ДШпропетровськ, пр.К.Маркса, 35, ДЦУ, корпус 3).

3 дасертац1ею можна ознайомитнся у 01бл1отец1 Дн1пропетровського державного ун1верситету (м.Дн1пропатровсыс, вул.Казакова, 8)

Автореферат розЮланий i.ÜJb\^DtTiXfLD

№чр.

Вчоннй сакретар . //

спец1ел1зова!го1 вчвно! рада, ^//

кандидат техн!чних наук, доцонт /ufjOoКостирко В.В.

ЗАГМЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Акт.узльн1сть теми.

Пластинчат! конструкцП, шс! Шдкрешен! ребрами жорсткост!, знайши шроке застосування у р!знжх галузях техн!ки машинобудуванн!, <3уд1вшщтв1 та 1н.

Основи теорП розрахунку п1дар1ш1ених тонкост1нпшс конструк-Щй було закладено у роботах С.П.Т1мошенка, Ф.Блвйха, Флюгге, В.З.Власова. Досягнвння сучасно! теорП ст1йкост! п1дкр1плених пластинчата* конструкЩй зв'язан! з досл1дяевняш С.А.Амбарцумя-на, Д.В.ВаЙнберга, В.О.Зарудького, В.В.Кабанова, В.Т.Койтера, А.Нейта та 1н.

Проте практично уб! робота, присвячен! досл1дташю стШсост! пер!одично П1дкр1плених пластин з урахуваннлм дискрэтност! розм!-щення ребер жорсткост!, в!дносяться до випздку шарн!рного ошран-ня навантажених к!нц!в. Не викликаго нэ гам, що так 1 гранича! умови найб!лын часто зустр!чатться на практшЦ. Як правило, ро-альн! конструкцП знаходяться в умовах, б!льш близьких- до защ!м-лення. Але граничн! умови шарн!рного опирання р!зко вид1ляються свосл простотою, оск!лыст у цьому випадку к1пцопу пластину мота розглядати як частину госк1нченио до его! та фактично замИшти гранта! умови умсвями пэрЮдичност!. При зм!н1 граничних „ мов проблема стае суттево крайовоа. ) :

Тому виявляеться необх1дпим апаЛ1з вшшву граничних умов, в1дпов!дних до навантажених к!вц1в, на ст!йк1сть перЮдично п!д-кр1плених пластин. Однак при цьому, як показали досл!дкэння шар-н!рно опвртих пластин, нвобх!дний комплексний обл!к дискретност! розм!щення ребер та 1х ексцентрис!тету в!дносно обшивки. При такому розташуванн! ребер поряд з деформацию вигину ваникае додат-кова мембранна дёформаЩя , неврахування яко! можэ привести до значних похибок.

€ ¡цэ один вааишвий аспект проблеми. У багатьох випэдках н1йна теор!я коже виявитися недостатньою. Як показали теоретичн! та експеримантальн! досл!дження, для конструкц!й, у яких критичн! зусилля р!зшйс форм вжшнання близьк1 м1з собою, суттево проявляется взаемод!я таких форм у закритичн!й стадП, що може як!сно зм!нити повед!пку конструкцП.

Ця проблема була объектом досл1джень у останн! роки, однак

зп 1х рамками залишилось вивчення грьничних умов, в!дм1шшх в!д шарн!рного опирання.

Таким чином, аявл1з вшшву граничних умов ня к^итичн! зусил-ля, форми втрати ст1йкост! те граничн! навантаження реалышх дискретно п!дкр!шюних одаосторонн!ми ребрами пластин с актуальною проблемою.

Мата робота.

- розробка схеми методу збурення граничних' умов, який використонус у рол! малого параметра жорстк!сть пружвого за1ф!плення границ! 1 його застосування до л!н!йно1 та нелШйно! задач ст!йкос-т! при пружиому зокришнн! навантажених к!нц!в пластини,

- анализ вшшву граничних умов при к1нцевих перем!щеннях на граничн! нсваатаження та р!вноважн! в!тки зв*язано! форми втрати ст1йкост1,

- розробка схеми асимптотичного методу з використанням малих параметр^, в!дбивагочих характерн! для реальних конструкд!й геомет-рико-нюрс.ткостн1 сп1вв1дношош!я,

- одержалня на ц!й п!дстл>! шал!тичних р1шень, як! визначають критичн! навантаження та форми втрати ст!йкост! при основних типах граничних умов,

- розробка схеми методу збурення граничних ,умов щодо плоских задач теорП пружност!, який використовуе у рол! нульового набли-ження р1шення в1дгюв1дно1 задач! теорП потвнЩалу, та його засто-суьання до задач! про передачу навантаження в!д нап!внеск!нченно-го стрингера, який.розтягноний, до пружно! п!вплощини при пружному закр!пленн1 границ!.'

Практична ц1нн!сть робота визначаеться можливюто оц!нити на И основ1 вплив граничних умов для дискретно шссцентр!чно п!дкр!-плених пластин, що широко використовуяться у р!зних галуаях тех-н!ки, у л!н!йн!й та нел1н!йа!й постановках.

Лостов!рн1сть результат!в п1дгверджуБться коректн!стю постановки задач!, сувор!стю математичного апарату, а також:

- досл!дженням можливих граничних випадк1в,

- пор1внянням результат!в, одержанное у рамках р!зних асимптотич-них метод!в,

- пор!внянням з результатам !шшх автор!в,

- апробаЩею методик. на задачах, точн© р!шення яких може бути одержана, та анал!эом дахибок отриманих результат!в.

Методика досл1джвшгя.

Досл!дження вшшву граничних умов зд1йснуеться за допомогою двох асимптотичних мвтод!в. Перший матод - збуренпя граничных умов - використовуе у рол! малого параметра жорсъсЮть иру&иого закр!плення навантазкеши к!нц1в пластина таким чином, що шарн1рне опяраяня та защ!млення виявляються граничнти випадаами, як! в!д-пов1даить м1н!м8льному та максимальному значениям кооф1ц1онта пружного закрИыення граыиць. У плоских задачах такими грапичними випадками с в1дсутн1сть на границ! поперечних зм!щинъ та в1дсут-н!сть дотичних напрут.

Другий п!дх1д у рол! малого параметра використовуе в!дношвн-ня в!дстан! м!ж ребрами до характерного роЭм!ру пластини. (та обо-рнену величину) з урахуванням реального в1дногаешгя 1ншпх геомет-рико-яюрсткостних пара:лэтр1в. Навантажэн! к!нц! припускаються шарн!рно опертими або жрстко затиснепзми.

Наукова новизна.

Стосовно до загально! та Шсцево! форм втрати ст!йкост! стис-нутих пер!одично п1д!ф1пл0них у. напрямку навантаження пластин розвинуто схему методу збурення граничних умов, який дозволяг. одерката р!шбшя задач! ст!йкост! при пружному закр!плеет! наван-тагэних к!нц1п. Застосування апроксимацП Паде до одержаного в!д~ р!зку асимшготичного ряду дозволило розширити область Яого застосування аж до нескЮТенно! жорсткост! дружного- закрШлешя.

На п!дстав! дього проведено анал!з вшшву граничних умов на граничн! навантаження та р!вноважн! в!ткп зв'язано! форг.ш втрати ст!йкост! у пбршому асимптотичному наближенн! за методом В.Т.Кой-тера.

Розроблено схему- асимптотичного методу, який використовуе хврактерн! для реальних конструкЩй мал! парамэтри, та одержано анал!тичне р!шення задач! ст!йкост! стиснуто! п!дкр1плэно! пластини. при шарн!рному опиранн1 то защ!мленн! навантажених к!шЦв без р!шення в1дпов1дних характеристичних р!внянь.

Стосовно до плоских задач теорП пружност! розроблош схему методу збурення грашгагах умов, яка використуе за незбурене решения в!дпов!Дго1 задач! теорП потенц!алу, та одержано анал1тич-не р1ше1шя задач! про передачу павантажешт в!д нал!вшск!нчошю-го стрингера, який розтягнений. до пружио! Швтклцши.

Основн! положения, що подвиться до захисту.

- анал!тичнв рХшення задач! ст!йкост! стиснуто! перЮдично п!дк-р1плено! пластини при пружному 38кр1шюшЦ наванта;,:оних к1нц!в з використанням методу збуроння граничних умов,

- асимптотичне р!шення задач! ст!йкост! стиснуто! перЮдично п!д-кр!плено! пластини з урахувашям малост! гэометрико-жорсткостних паромвтр!в пластини при основних типах граничних умов без р!шення в!даов!дних характеристичных р!внянь,

- розв'язання задач! про зв'язану втрату ст1йкост! у першому аси-мптотичному наближенн! при к!нцевих перемИценнях з урахуванням одн!е! загально! та одн1с! м1сдево! форм втрати ст1йкост! за методом В.Т.КоЙтора при пружному закрЮшнн! навантажених к!нц!в пластини,

- анал!тичне р!шення задач! про взаемод!га нап!вн0ск!нченного стрингера, який розтягнений, з пружнога п!вшющшою з використанням у рол! нульового наближення р!шення в!дпов!дно1 задач! теорП потенЩалу.

Апробац!я робота Основн! результата дисертацП викладен! у 4 друкованих роботах та допов!дались на сем!нарах п!д кер!вн!дт-вом акад.АН Укра!ни В. I. Мосаковського (Дн1пропетровськ, 1990, 199D, на 1 УкраХвсько-Польському сем!нар! по мвхан!ц! матер!ал!в та конструкц!» <Дн1проготрозськ, 1993), на сем!нар! кафедри обчи-слювально! механ!ки та м!цност! конструкц!й Лн!пропетровського доржун1ьерсите ту (1993), на свм1нар! в!дд!лу буд1вельно! мохан!-ки тонкост !нних конструкций п!д кэр!внидтвом д. т. н. Заруцького В. 0. сКи!в, 1нститут механ!ки АН Укра!ни, 1993), на v конференцП "Оболонков! конструкцИ: теор1я та додатки" (Яновице, 1992)

Структ.ура та обсяг роботи. Дисертац!я складаеться з встуду, 6 глав, висновк!в, списку л!тератури 1 додатку. Загальнкй обсяг робота 197 стор.,' у тому склад! 15 стор. списку л!тератур!, 12 стор. додатку, 34 стор. рисунк!в та 10 таблиць.

. 3MICT РОБОТИ. • ■

У вступ! наведено огляд досл!джень С.П.Тимошенка, Ф. Блейха, I.Ф.Образцова, С. А. Амбарцумяна, Д. В. Ваянберга, В.Ъ. Заруцького та !н. , присвячених ст!йкост! п1дкр!плених пластин та застосуваннго асимптотичних метод!в. Показано актуальн!сть та практичиу ц!н-

Шсть о бра но! теми. Дано опис метод!в, як! використан! при досл!-дженн! впливу граничних умов на ст!йк!сть стиснутих перЮдично п!.гчр1плеш[х пластин у л!н!йн!й та нел!н!йн!й постановках. "Сфор-мульовано мету робота.

Шршу главу присвячено розробц! схеми методу збурення гра-шгших умов стосовно до плоских задач тоорП пружност!. Оск!лыш клас задач теорП потенц!алу, як! точно вирГлуютъсл, суттсво ширший, занропоновано за незбурене обирзти р!шення в1дно-о}дно* задач! теорП потешЦалу. Так! задач! можна одержат« у тих випадках, коли вдаеться сформулювати нозалежн! граничн! умови для функц!й ©= + — та п= — . Цо мае м!сце для двох тип!в

ду <9у дх

граничних умов (при у=0):

1. с22 = ^(Х), и = Г2(х)

2. <г12 = Г^к), V = Г2(х)

(13

Найб!льш же часто на границ! пружио! Швшгощипи задаються умови:

Розглядаючи узагальнен! граничн! умови

агг ' Vх5

н1(1-е)и + = Г2(х), (3)

да □ < с < 1, при маемо граничн! умови задач!, яка можэ бути зведена до задач! тоорП нотенд1алу. Якщо *=1, одержуемо задан! гр-ничн! умови. Випадок 0 < т < 1 в!дпов!дас пружному закртлепяю границ! у поперечному няпрямку. Розглядаючи величину с як ма.тай параметр, будуемо в!дпов!дн1 асимптотичн! розкладання.

Ддя Шкзтраци ефективност! методу розглянуто найпрост!ший випадок першо! основно? задач! теорП пружност!, який припускав точно р!шння - задача про д!и гармон!чного навантаження на пруж-ну н!вшющииу. Показано, що розкладання точного р!шення в ряд по параметру с сп!впадае з асимнтотичним р!шенням.

3 використашшм методу збурешя граничних умов розв'язано задачу про передачу навантаження в!д нзп!вн0ск!ячешгого стрингера, який розтягнений, до пружно! п!вплощшт. Надано огляд досл!д-жень Попова Г. Я. , Арутюняна М. X, Абрамяна Б.Л., Тихоненко Л.Я., Р.Муки, е.Сторнберга та !н., присвячених дан!й тем!. У граничному випадку Л1Ш1Л01ДШИ, навантажено! зосоредженою силою, асимптотичне р!шешш, одержала з урахуванням перших трьох наближень, добро

узгоджуеться з точним. Досл!джено характер особливост! контактних напружеяь. В!н не заложить в!д жорсткост! закр!плення границ! при к!нцев!й II величин! та в!диов!дае випадку границ!, в!льно! в!д напруги.

Друга глава присвячена застосуванню методу збурення гранич-1шх умов до задач! ст!йкост! перЮдично п!дкр!плено1 повздовжними ребрами стиснуто! пластини (мал.1). У зв'язку з пер!одичн!стю и!дкр!плення розглядаеться д!лянка пластини м!ж ребрами. На на-вантажених к!нцях прийнят! сл1душ! граничн! умови:

\т=0

(4)

-хх = - с /Ь * 'х • де знак " +и в1дпов!дае верхньому, "-" - нижньому к1нцю. Тод! при <--=0 одержуг.мо задачу ст!йкост! при шарн!рному опиранн! навантажених к1нц!в (яка служить нульовим наближенням), £=1 - при 1х заяЦмленн!. Випадок 0 < с < 1 в1дпов!дае пружному закр!пленни границь.

В дан!й глав! у л1н!йн!й постановц! розглянуто загальну форму втрэти ст1йкост!, яка характеризуется симетр!ею пропш!в пластини в!дносно кожного з ребер жорсткост!, причому ребра випина-гаться у сво!й Ш1ощнн1. При так!й постановц! описусться деформац!я пластини м!ж ребрами.

При ексцентричному розм!щенн! ребер необх!дним с урахування мембранно! деформацИ, тому р!вняння ст!йкост! мають вигляд:

1 \

и.,« + - и,__♦--= О

« 2 ■ т 2 -Кг,

(5)

1+1> 1-и

--+-1 V, + V,__= О

2 2 ^

т

+ "'ют -¿Г <«>

дэ и,у,к - шрем!щення точок середанно! гиощини обшивки у напрямках в!сей х.у.г, т=т°/еь, т - докригичне повздовжне зусил-ля, додатне при стисненн1, е - модуль пружност!. и-козфф!ц!ент поперечно! деформацИ. ь-тощина пластини. ь- ширина д!лышц! м!» ребрами. сг=у?/<. 12Ь2(1-1>2>>, п -безрозм!рн1 координата: ?=х/ь, п=у/Ь- Зв'язок м!ж р!вняннями (5), як! описують мембранну даформац!ю, 1 р!внянням (6), яке отшсуе дефэрмац!ш вигину,

X

~1Г~и—Iг

загальна форма,

ейлерова Дота м!сцева форма

Мал.1. Загальна та м!сцвва форми втрати стШсост!.

проивлпеться через р!вняння ст1йкос.т! ребра (тобто умови сполучення).

Б1доов!дно до схеми методу збурення по параметру ус! юлмиш подан! в вигляд! ряд!в по параметру е типу:

СО .

. » V = ]> С (7)

1=0

Шдстовляючи двй розклад у р!вняння р!вноваги, граничн! умови та умови сполучвння, та групуючи додатки при однакових ступИшх е, формулюсмо задач! у кожному наблияюнн!.

У нульовому наближонн! одержано задачу ст!йкост! пластини при шарн!рному опирали! наваптажоних к!нц1в, р!шення яко! (для критичного зусилля) зводиться до р!шення трансцендентного р!внян-ня. '

У нодальших наближеннях прогини визначаються неоднорхдними длференц!ольними р!вняннями у частинних шх!дшях, для р!шення котрих застосовуеться метод !нтегральних перетворень Фурье з к!н-Ц0В1МИ границями. Для визначення поправок до критичного зусилля одержан! алгебраХчн! р!вняння.

Таким чином, визначен! форма втрати ст!йкост! та критична зусилля у вигляд! ряд!вйпо параметру При ¿=1 це р!шення в!дпо-в!дае запЦмленню навантажених к!нц!в пластали.

Однак суттсвим недол!ком методу збурення граничних умов е локальн!сть асимптотичних розкладень. 1накше кажучи, в!др!зок асимптотичпого ряду дае певну !пформац!ю при малих значениях Як показали досл!дження, одним з метод!в, як! дозволяють подолати локальн!сть есимптотичзгах розкладень та розширити область.засто-сування в!др!зку асимптотичного ряду е дробно-рац!ональне перет-вореыня Паде, яке дозволяе в!дбудувати функц!в по в!др!зку 1! розкладання у ступеневий ряд.

Др1бно-рац1скзльне перетвороння Паде застосовано до в!др!з-к1п ряд!в збурення для отрлмання певних результата аж до значения <==1. Проведено анал!з в!дносно1 рол! дискретност! та икоцвптрис!тету роьташування ребер для р!зних вар!аят!в коиф!гу-рацП пластини. Показано, що вплив дискретност!_ при затиснутих навннтажшгах к!нцях може бути 01дьш Ictothhm, н!ж при шарн!рному опиранн!.

lipa зб!льштш! в1даосноХ ширини пластини ъ/L валив гранвчних ум:>в пмоншусться, причому цеЯ ефокт тим суттев!ший, чим "сильн!-

ш!" ребра (мал.2). Пор!вняння 'одержанное результат1в з результатами, що в!днов1дають конструктивно-ортотропн1й Teopiï ( мал. 3) показали, що остання може завшцувати критична зусилля на 1 б!лыие.

0ск1льки результата, одержан! п!сля використання др!бно- -род!опального перетворення Паде для випадау затиснутих павантаже-них к!нц!в суттево в!др!зняються в!д результат1в, одержаних п!д-сумовуванням в!др1зку асимптотичного ряду, виникае необх!дн!сть п!дтвердження ïx в!рог!дност!. 0

ШвнЮть одержаних результата п!дтверджусться зр!внянням з точпими ршеннями у граничите випадках та висока точн!сть влко-нання гранвчних умов затиснешя (кут повороту дор!внвс пулю) (мал. 4). Приведен! значения критичного зусилля при пружному зак-plrnieiffli навантажених к!нц!в (мал. 5) показують, що застосуванпя апроксимац!! Пада необх!днэ при значениях £ > 0,5. (при < 0,5 в!др!зок ряду збурення дас пэвну !нформац!ю).

У трет!й глав! за допомогою методу збурення граничних умов у л!н!йн!й постанови! розглянуто м!сцеву форму втрати ст!йкост! пластини. Ця форма припускае в1дсутн!сть нормального пером 1щвшш л!н!1 з'еднання ребра з пластиною. У цьому випадку мембрана! зусилля та перем1щ9шш в!дсутн!.

Р1ВНЯШЯ ст!йкост! ребра з урахуванням його одноб!чного роз-ташування записано у вигляд!:

m Ь4

+--- =0 , (8)

Е

до 1к,г^- момент 1нзрц11 на С1фучування та голярний рад1ус !нерц!1 ребра, & -кут повороту л!нН з'еднання ребра з обшивкою, шк - погоннии момент взаемодП ребра з обшивкою, 1у - момент 1верц11 ребра в!дносно в!с! у , Г"р ■ - гиоща поперечного пврер!зу робра.

Як 1 у друПй глав!, фушш.11 « 1т тодаються у вигляд! ряд!в по параметру я. Сформульован! задач! у кожному наближопн!.

У нульовому пэближепн! для визпачення критичного зусилля одержано трэпецепдентно р!вгошня, в!дпов!дне до втрати ст1йкост! иорШрпо оперто! пластини. Алгоритм зпаходження поправок до критичного зусилля 1 прогину пульового наближення той жз, що 1 для

Мал.2. В1ДШШ8ННЯ критичшк зусиль при зяиЦмжшга . та шарн!рно ошртих навантажених к!нцлх.

Мил.5. ПорШшшл з результатами, одоржанимл зг1дно з конструктивно-ортотрошюи теор!ею (крив! 1,3). (а1=О.ОВ, £1г=0,2. а3=0,12.)

Нал.5. Критичн! зусшшя при р1зпих коэфПЦептах пружного закр1пления границь. Крива 1 в1дпов!дае в!др1зку ряду збурення, крива 2 - зусиллю, перэбудованому по Паде.

загально! форми втрати ст1йкост!. Отриман! критичн! зусилля 1 форма втрати ст!йкост! у трьох паближеннях. Приведен! результата к!льк!сного розрахунку для ряду вар!ант!в.

Вплив граничних умов при м!сцев!Я форм1 втрати ст!йкост! менше, н!ж при загальн!й, що поясшоеться утворенлям велико! к!ль-кост! наШвхвиль по довжин! пластини.

У даному випадку розультати, одержан! з застосуванням апрок-симацП Паде, для достатпьо малих ь/ь практично зб!гаються з результатами, одержаними Шдсумовуванням в!др!зку ряду збурення. Використа1шя апроксимацП Паде необх!дно при ь/ь>0,2.

Анал1з результатов при пружному закр!пленн! навантажених к!нц!в показав, що враховувати граничн! умови защ1млення необх1д-но при ь/ь >0,25 (мал. 6).

У четЕорт!» глав! стосовно до загально! форми втрати стШшст! розроблона схема асимптотичного методу, який використо-вуе природа! для п!дкр!плених конструкц!й мал! параметри. За гео-метричнов конф!гурац!ею вид!лено два класи пластин:

а), пластини, для яких мала в!дносна ширина д!льниц! пластшш м1ж ребрами ь/ь,

б), пластини, для яких мало в!дношоння ь/ь.

За малий параметр править в!дношош1я ь/ь. Обрано наступи!

0Ц!ШШ:

--1 , -* г (9)

ьь ьъ3

Для зазначених двох клас!в пластан розглянуто випадки шарн!рного

шгарнпня та зага!млэ1шя нчвантажших к1нц1в.

При розгляд! другого класу пластин виникае сингулярна проблема, у як1й малий параметр с сто!ть при старш!й пох!дн!й. Тут для компонсацП нав'язки у гранич1шх умовах добудовано р!ше:шя типу пограничного шару.

Таким чином, одержано анал!тичне р1шення задач! у вигляд1 ряд!в по "природному" малому параметру. Застосований метод дозволив д!стати результати без р!шення в1доов1дних трансцондонтних р!внянь, що до сих п!р не вдавалось зробити нав!ть у випадку шар-н1рного опирання навантажених к!нц!в пластини. При цьому у десятки раз!в скорочуеться використання часу ЕОМ, що стае дужо сутте-вим,. нлприклад, на етап! оптим!зэц!йного проектування, де потр1б-по багаторазово повторения р!шень трансцондонтних р!внянь. Нема-

ловажним фактором явилась взаемодоповненЛсть використаних метода, оск!льки асимптотика по "природному" малому параметру дозволила одержати р!шення . трансцендентного р1вняння для достагньо широких пластин, в той час як р!шення трансцендентного р!вняння у ц1й облает! недостов!рно у зв'язку з зростанням г1пербол1чних функц!й. 3 1ншого боку, асимптотика по "природному" параметру може бути використзна лише для достатньо малих або достатньо ве-лшеих значень ь/ь, а метод збурення граничних умов не мае таких обмежень. Кр1м того, асимптотика по природному малому параметру застосовуеться при граничних умовах шарн!рного опирання або защ1-млешя, в той час коли метод збурення граничних умов дав можли-в!сть досл1дити загалышй випадок пружного закр1штення павантаже-них к!нц1в пластдаш.

Фактичний зб!г р1шепня для шарн!рно оперто! пластина з р!-швншш в!дпов!дного трансцендентного р1вняння доводить в!рог!д-н!сть матоду, який використовус розкладання по "природному" малому параметру.

Проведено пор1вняння розультат!в, як! одержан! двома засто-сованими методами. Зб1г результата для затиснутих навантажених к!нц1в н!дтверджуе в1рог!дн1сть результат!в, одержаних з викорис-танням апроксимацН Паде.

П'ята глава присвячена асимптотичному досл!дженню м1сцево! Форш втрати ст1йкост1 пластини з вякористанпям розкладень по "природному" малому параметру. Розглянут! випадки шарн!рного опи-решга та запЦмлення навантажених к!нц1в. У другое випадау, у зв' язку з утворенням велико! к!лькост1 н;.п1вхвиль по довжин! пла-стшш, вплив гра1шчних умов опиняеться суттевим лише поблизу к!н-ц!в. У зв' язку з цт< для урахування граничних умов запЦмлення застосовано метод двох масштаб!в. Обрано малий параметр , який характеризуе в1дхшг9ння критичного зуси.тшя в!д зусилля для шарн1-рно оперто! пластини:

^=т -т* (10)

Уведено "шввдку" та "пов!льну" перем!нн1:

3/2

Ф = ч («1)? . Ч = 1 + ех + 02 е*'

х=£11/2? (11)

Така зам!на дае можишЮть задоволышти граничним умовам заицмле -ння на няваптажешгх к!нцях. У нових перем!1ших сформульовано р!в-

няння р!вноваги та гранича! умови. Одержан! форма втрати ст!йкос-т! та критична эусилля у вигляд! ряд1в по параметру Проведано пор!вняння критичних зусиль, отриманих з винористанням двох ви-кладених метод!в, яке св!дчить про в!рог!дн1сть одержаних результат^. .»

У шоот1й глав!, проведено анал!з впливу граничите умов у нел!н!йн!й проблем! з урахувгнням ефект!в взаемовпливу форм втрати ст!йкост!. Анал!з "зв'язано!" форми втрати ст!йкост! базуеться на загальн!й асимптотсгаИй теорП ст!йкост!, розроблен!й В. Т. Койтером, та опираеться на енергетичний критер!й ст!йкост! з використанням розкладень потенц1йно1 енергИ у ряд по ампл!тудам л!н!йних форм вшшнання поблизу точки б!фуркац!1.

У першому нел!н!йному наближенн! (тобто при урахуванн! чле-н!в до трзтього порядку у виразу для потенц!йно1 еноргП) 1 урахуванн! взаемодП двох фор« втрати ст!йкост! - одн!е! загаль-но.1 та одн!с! м!сцево1 - система р!внянь р!вноваги мае вигляд:

. " - +ЛС1 + "X"7!

1 1 (12)

2 1 да , х2 - критичн! значения параметра навантаження х для зага-льно! 1 Шсцево! фор* в!дпов!дно ( х=т ю3),с1,С2- ампл1туди

теремИцень, С1 С2~ ашШтуда початкових недосконалостей,

3 ат а122 . ■ а122 а, ■ - . а,, = -, а, » -,

2«! • 2 а1 * X X < *ча>'2 ^ \ I Х< урЧа>>г<Б

2 2 V' X Х< /2>) ^ + 4 Х1 X Х< "рЧ^ ^р

Б

[гп (1/ VII 111

р

(1) 2 С1> (1) 2 (1) (1) (1)т

(1> (I)2

Ч//Тр< V? } ^

р v? 5р

05 0.1 - «П~ ' 05 " ь

Мал.6. Заложи!сть критичного зусилля в!д ь/1*.

(м!сцева форма).

Сх= 0,5

0.15 »ЗГ 55Г сйГ ' ъ

Чал.7. ЗалежнЮть грэничних навантаягеть в!д ь/.\

Г м> (2) 2 (1) (2) 2 (1) (2) С 2)-|

а122 = Ь//1 Т1 <">? > + Т2 > +25г "'г,

5

(1) г .2 2 С 2> 2 -|

+ Ч -Г / ТР [( V? 5 +ГР ( V? 1 ] а5Р

5Р

Тут 1ндокс 1 в!дпов!дае загальн!й, !ндзкс 2 - м1сцев!й формам

втрати ст!йкост1, , у - гором!щення зогалыго! та м1сцево! форм

< 1) ии

втрати ст!коот1, одержан! по л!н!йн1й теорИ, Т =>-2—, Т.,

р а? 1

т2, б2- мембранн! зусшшя. Перш! !нтеграли у (12) боруться по поверхн! д1лянзси обиргоки м!ж ребрами, друг! - по ребру.

Виклычивши з систоми (12) с2, одоржусмо куб!чне р!вняння в1дяосно х, яке дозволяс будувати р!вноважн! в!тки та вкзначати значения граничного навантаження (воно в!дпов!дае максимуму на р!вноважн!й в1тц!).

Проведений анал!з р!выоважних в!ток те граничних наваптажонъ показав, що завцмлення кИщ!в суттево впливае на характер р!вно-важао! в!тки. При одн1й I т!й же в!дносн1й довжин! пластини при запЦмленн! навантажених к!нц!в граничив зусилля досягяеться при менших ампл1тудах загалъно! втрати сПйкост! с1-

Нел!н!йниа ефект взасмодИ загально! та м!сцево! форм приводить до зближення граничних наваптажень при шарн!рному опиранн! та защ1мленн! навантажених к!нц!в, причому вплшз граничних умов зменшуеться з зб1льшопняч в!дносно1 ширини д!льнид! пластини м!ж ребрами (мал. 7). Так, при ь/ь=0,05 в!дношення гранич1шх наванта-жань при защ!млених та шарн!рно оюртих навантажених к!нцях ста-новить 2,7 (у -л1н1йпому розрахунку 4), при зб!льшенн! в1дносно! ширини пластини вплив граничних умов знижуеться, р!зниця М1ж кри-тичними наванта-кеннями стаповить

висновки

1. Одержано анал!тичне р1шення задач! про взасмод!ю стрингера, який розтягнутий, з пружною п!вплощинои на п!дстов! методу збурення граничних умов з використанням у рол! нульового яабли-жепня- в!дпов!дно! задач! теорИ потещЦалу. Показано, що характер ос.обливост! коцтактних напружень не зеленить в!д ¡горсткост! ззкр!-

плення границ!, яка впливае т!лъки на коеф!ц!ент при особливост!. В!дм!чено добре узгодження одаржаного р!шення з результатами, як! е ,,ля р!зншс граничних випадк!в. ' •

2. Побудовано анал!тичне р1шення задач! ст!йкост! стиснуто! пер!одично п!дкр!плено1 у напрямку навантаження пластини при пру-жному закр!пленн! навантажаних к!нц!в з використаняям методу збу-решл граничних умов. Досл!джено звгальну та н!сцеву форми втрати ст1йкост1.

3. Одержано асимптотичне р!шення звдач! ст!йкост! для загально! та м!сцево1 форм у вигляд! розкладу по гвометрико-жорсткостним малим параметрам. Досл!джано граничн! умови шарн!р-ного опирання та запцшгоння без побудови характерйстичних р!в-нянь.

4. Проведений анал!з показав, що вшита граничних умов с 1с-тотним для загально! форми втрати ст!йкост1 та менш 1стотним для м!сцево! форми втрати -ст!йкост!. Так, у розглянутих вар!антах максимальний коеф!ц1ент Шдсилення а (в!дясшення критичного зу-силля, в1дпов1дногс до защ!млення нввантажених кромок, до критичного зусилля при шарн!рному оотрвннГнавантажэних кромок) дор!в-нюе 4 для загально! та 1,28 для м1сцево! форми втрати ст!йкост!.

3 зростэнням 81даосно! ширини д1льнщ! пластини м!ж ребрами ь/ь вшшв граничних умов зменшуеться для загально! та зростас для мюцево! форми втрати ст!йкост! (у другому випадау при ь/ьсО.З вп-гив граничних умов защ!млення е не!стотним).

"При защ!млени! нввантажених к!нц1в пластини сильн!ш виявля-еться ефект дискретност! розм!щення ребер. Так, р!зниця у перем!-щеннях точок м!ж ребрами тга'точок ребра огшнясться при звпЦмлепн! навантажених кромок у дек!лька раз1в вице, н!ж при !х шарн!рному опиранн!.

У випадку загально! форми втрати ст!йкост! а досягае максимального значения при достатнъо малих та достатньо великих значениях ъ/ь, а у ЮТврвал! 0,3 < ь/ь <5 моя:© знижуватися на 40-50--. та б!лыив.

5. Одержан1 результата св!дчать про те, що застосування ап-рохсимаЩ! Паде дозволяв суттево п!двщити точн!сть одержаних результата при ^>0,5, особливо для загально! форми втрати ст!й-кост!, та обмежитися трьома членами ряду збурення для одержання в!рог!дних результата. -

6, Отримано р!шення задач! про зв'язану форму втрати ст!й-кост! у парному пел!н!йному наближенн! з урахуванням ода!е! за-гальноХ та одн!еХ м1сц8во! форм при пружному за1ф!шюнн1 навантажених к!нц!в дластшш.

7. Нел1н!йний ефект взаемодП загально! та м!сцевоХ форм втрати ст!йкост! веде до зближення граничил* навантажепь при шзрн!рпому опиранн! та защ!млввн! навантажених к!нц!в - коефИЦ-ент а знижуеться з 4 до 2,7. Р1згощя м!ж критичним навантаженпям, оде ржа ним у лШйному розрахунку, та граничним навантаженням при зааЦшенн1 навантажених к!нц1в значно вище, н!ж при Хх шарн!рному опиранн!, та досягае у розглянутих вар!антах 40я.

Основнии зм!ст дисертацЛ опубл!ковано у роботах:

1. Маневич Э. Л. Влияние граничных условия на устойчивость подкрепленной бесконечной полосы. //В сб. Математические метода в задачах расчета и проектирования сложных механических систем. Киев,Ин-т кибернетики им. В М. Глушкова,1992,с. 29-33.

2. Маневич Э. Л Асимптотическое исследование местной формы потери устойчивости сжатой подкрепленной пластины. />Деп в ГНТБ Украины N 1291-Ук 93,18с.

Я Маневич Э. Л. Анализ влияния граничных условий для общей формы потери устойчивости сжатой подкрепленной пластины. //Дел в ГНТБ Украины N 1292-Ук 93,20 С.

4. Manevitch Е. L. Method of the boundary conditions perturbation in the? compressed stiffened place buckling' problem. //In; Theoretical Foundations in Civil Engineering. Warsaw, Proc.of Ukraini-an-Pol-sh Seminar.ieS3,p. SS-еЗ.