Асимптотико-групповой анализ дифференциальныхуравнений теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ДНШРОПЕТРОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРС1ТЕТ

Р Г Б ОД

О Р 1С: "7 на правах рукопису

ШАМРОВСЪКИЙ ОЛЕКСАНДР ДМИТРОВИЧ

АСИМПТОТИКО-ГРУПОВИЙ АНАЛ13 ДИФЕРЕНЩАЛЬНИХ ИВНЯНЬ ТЕОРН ПРУЖНОСТ1

01.02.04 - Мехашка дефор!,йвного твердого Т1ла

АВТОРЕФЕРАТ дисертац1*1 на здобуття наукового ступени доктора ф13ико-математичних наук

20.0 9. 9%.

ДНШРОПЕТРОВЬСК-1997

Дисерташя е рукопис.

Робота виконана на кафедр! програмного забезпечення та математичного модегаовання Запор1зько1 державно! ¡нженерно1 академи.

Офщшш опоненти - доктор фЬико-математичних наук.

професор Анщйанов 1.В. доктор фпико-математичних наук,

професор Селезов 1.Т. доктор фгзихо-математичних наук, професор Слйрнов С.О.

Провщна оргашзацщ - Харкшськин полгсехтчннй ушверсигет.

Захист вщбудеться 26 червня 1997р. о 10 год. на засщанш спещатзованоУ вчено1 ради Д 03.01.14 по захиспу дисертащй на здобупя наукового схупеня доктора фiзикo-математичних наук при Днтропетровському державному университет! за адресою: 320050, м.Дншропетровсьх, пров. Науковий, 13, корп. 5, ауд. 57.

3 дисертац1ао можна ознайомитися у б1блютещ Днтропетровського державного ушверситету.

Автореферат розкланий 25 травня 1997р.

Вчений секретар

спец1ашзованоТ вчено! ради

кандидат техшчних наук, доцент

Костирко В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалыисть проблеми. В теори диференщальних р!внянь - як звичайних, так I у часткових похщних - значну роль вдаграють два пвдходн. Один, що базуеться на застосуванш яких-небудь мфкувань си-метри 1 мзтематично пов'язаний з використанням апарату теори груп; шший, побудований на спрощенш розглядаемих р^внянь 5 вщомий як асимптотичний анализ. Кожен з цих шдхощв мае сво\' достоТнства та не-дол1ки, демонструючи нагёбшыш можливосп у сполученш. Предметом досл(дження дисертацшноУ роботи е створення синтетичного методу, сполучаючого методи теори груп I асимптотичного анализу. Объектом, на якому демонструються можливост! методу, що пропонуеться, е р1зш вар!анти диференщальних р1внянь теорп пружностк

Поява теори груп пов'язана з проблемою пошуку у радикалах рЬ шень алгебраТчних р!внянь степеш, бшьшо'/ шж четверта. Однак результата, як! одержан!, у першу чергу, Е.Галуа, можна, з деяко'{ точки зору, вважати негативними. Теор'ж груп вказала т1 частков! випадки, коли виршення р!внянь у радикалах е можливим; для ус1х жших випадив була доведена неможливкть такого виршення.

Подальший розвиток теори груп пов'язаний з ш'ям С.Л1, котрий розглядав проблему застосування ц5еТ теорн до виршення звичайних диференщальних ртнянь. I в цьому випадку були досягнут¡, у першу чергу, важлив! теоретичш результата ¡з портняно малими практичними результатами.

Сучасш дослщження у сфер! застосування теори груп до виршення р]внянь математично! физики пов'язаш, у першу чергу, з ¡м'ям Л.В.Ов-сяшкова. Однак знову були одержан!, перш за все, теоретичш, а не практичш результати.

Обмежешсть практичних застосувань теорп груп пов'язана, най-частше, ¡з вщносною «бщшстю» групи перетворювань, яка допускаеться

ртняннями, що розглядаються. Чим ширше група перетворювань, яка допускаеться, тим б1лыш можливосп застосування теорй' груп до вирЬ шення якихось задач. У зв'язку з цим Л.В.Овсяшковим було псшчено, що спрощеш р^вняння, одержан! завдяки застосуванню засоб!в асимптотичного анал1зу, допускають, звичайно, бкяьш широку групу перетворювань, шж вихщш, неспрощеш, р^вняння. Це показуе, що сполучення ме-тод!в теорк груп та асимптотичного анал1зу може дати кращ] результати, Н1Ж окреме застосування цих метод1в.

Л.¡.Маневич запропонував вважати розширення групи перетворювань, що допускаеться, критер!ем ¡стиного спрощення, яке одержуеться при асимптотичному анал!з1. Бльш того, вш запропонував вважати метою асимптотичного анал1зу саме розщирення групи перетворювань, оскшьки де створюе нов1" можливост! для виргшення задач за допомогою спрощених р1внянь.

Одшею з найбшьш важливих сфер застосування метод1в асимптотичного анализу £ теор1я пластин та оболонок. Методи асимптотичного анал]зу застосовувались тут, спочатку, при виршенш вщповщних р1в-нянь. У останш десятир1ччя заявилось багато дослщжень з метою обгрун-товування, за допомогою тривиг.«рних р1'внянь теорп пружносп, вщомих р1внянь теорп пластин та оболонок, а також отримання якихось нових, бшьш точних, ршнянь.

Треба особливо видшити галузь вир^шення динам^чних задач теорп пластин та оболонок, зокрема, задач про розповсюдження нестацюнар-них хвильових процеав. У щй галуз1 широке застосування знайшли, кр1м класичних р1внянь, р1вняння типу Тимошенко. Головною особливь стю цих р1внянь е 1х гшербол1чшсть, що вщповщае сюнченим швидко-стям розповсюдження фронт1В збурень ус1х вид'щ. Вщомо, що на вщмшу вщ цього, класичш р1'вняння мають парабол1чний тип { задають нескш-чену швидюсть розповсюдження збурень.

При аналггичному виршенш нестащонарних хвильових задач за допомогою р1внянь типу Тимошенко, як правило, застосовуються штеграль-

Hi перетворювання. Однак, завдяки складност1 задач, тут виникають велик!' перешкоди, особливо при перехода вщ одновтпрних до двовим1рних задач.

Використання щей ЛЛ.Маневича щодо сум1сного застосування ме-тод1в теори групп та асимптотичного анал1зу дозволило створити ефек-тивну методику вирппення нестащонарних хвильових задач у рамках теорй типу Тимошенко з демонстращею можливостей методики при вирь шенш двовим1рних задач, яю не поддавались внр1'шенню ¡ншими методами {15-18}.

Подалыиий розвиток методики cyMicHoro застосування Teopii труп та асимптотичного анал!зу вимагав, по-перше, додаткового теоретичного обгрунтування, i по-друге, розробки технологи iT застосування для менш очевидних випадшв, шж дослщження прифронтових зон.

KpiM того, осюльки для р1"внянь типу Тимошенко вщсутш докази ix асимптотичноТ обгрунтованост), лриродним було використання ново!" теори, для демонстрац!1 а можливостей, до проблем« одержання асимпто-тично обгрунтованих динам1чних р1внянь Teopii' пластин та оболонок на баз'1 р'шнянь Teopii пружност!.

Мета диссртащйноТ роботи складае наступив:

- побудова синтетичного методу, який об'еднуе методи Teopii труп та асимптотичного анализу ¡з демонстращею можливостей цього методу на прикладах виршення задач про випромшювання нестащонарних пружних хвиль.

Осяовними задачами наукового дослшження е:

- побудова теоретично"! бази для об'еднання метода Teopii груп та асимптотичного анал1зу;

- отримання, за допомогою запропонованого методу, асимптотично обгрунтованих вар)"ант!'в динам1чних р{внянь теорп пластин та оболонок на базх тривим!рних р!внянь теорп пружносп;

- виршення конкретних задач про випромшювання нестацюнарних пружних хвиль у пластинках та оболонках ¡з застосуванням як вщомих, так 1 знов запропонованих ршнянь та пор1'вняння результатов, як! одержан! згщно р1зних теорш.

Загальна методолог!я досд»дження грунтуеться на вилученн! основоположних понять теори труп та асимптотичного анализу, що й дозволяв знайти точки стикання цих двох теорш.

Суттевим елементом дослщження е широке використання шформа-щйних комп'ютерних технологий для виршення аналггичних задач. Най-бшьш важливою, у цьому смиан, е методика формального пошуку па-раметр1в асимптотичного ¡нтегрувания у багатовимфних випадках, засто-сування якоТ можливо тшьки при ор1ентацп на компьютер 1 дозволяв по-долати комбшаторш проблеми, типов! для багатовим[рних випадмв.

Аналптичне виршення розглянутих конкретних задач ¡з застосуванням ряд1в р!зних тишв також ор^ентоване на ком~пютери ¡з метою кшеч-но"( чисельно')' та графично! реал1заци.

Наукова новизна роботы полягае у наступному:

- побудований синтетичний метод, який сполучае основш щеТ теори груп та асимптотичного анал1зу 1 дозволяв пщвищити стушнь практичного эастосування теори груп та теоретично! обгрунтованосп асимптотичного анал1зу;

- за допомогою запропонованого методу побудоваш бшьш точш вар1анти двовим1рних динаклчних р1внянь теори пластин та оболонок, яю вщр1зняютьс.я в!Д вщомих тим, що швидкост! розповсюдження фротчв хвиль усхх видш, зпдно з цими р1вняннями, е такими ж, як I зпдно з тривим!рними р^вняннями теори пружност!;

- послщовне застосування асимптотико-групового анал1зу дозволило вир^шити ряд нестащонарних задач про випромшювання пружних хвиль як на баз! вщомих, так \ знову запропонованих р1внянь;

- проведений пор]вняльний анализ огриианих ршень; показано, що р1шення на ochobí запропонованих б1льш точних р1внянь демонструють ряд ягасних ефект!в, як1 не фжсуються вщомими р!'вняннями та дозволя-ють б1льш глибоко вивчити картину розповсюдження несташонарних хвильових процес'ш у тонкому inapi.

Наукова та практича шншсть. Головним результатом роботы б побудова методу асимптотико-групового анал(зу, який може знайти ви-користання до виршення р1зномаштних задач, у яких застосовуються алгебршчш та дИфференщальш р1вняння, щонайменьше, ycix, у яких застосовуються bíaomí рашш методы асимптотичного анал1зу.

Завдяки сполученню з Teopiero груп запропонований метод значно полегшуе розвчязання ряду принципових питань асимптотичного анал1зу: пошук параметрЬ асимптотичного штегрування; визначення асимпто-тично обгрунтованих границь застосування спрощених р1внянь, що одержуються; побудова рпиень спрощених р!внянь; переш'рка додер-жання ycix асимгстотичних ощнок для побудованих ршень.

Побудоваш бшьш tohhí динам^чш р)вняння пластин та оболонок можуть знайти застосування до розв'язання як теоретичних, так i прак-тичних задач.

Був проведений асимптотичний анал1з не тшьки новозапропонова-них, але й вщомих р^внянь теорп пластин та оболонок, що дозволило уточнити сфери обгрунтованого застосування uix р!внянь.

BiporiflHicTb результат!в та bhchobkib забезпечуеться точшстю математичних методш, яю використуються для анал!зу, коректшстю постановок задач, узгоджешстю м!ж отриманими результатами та вщомими результатами шших aBTopie.

Апробащя роботы. Ochobhí результати дисертацшноТ роботы до-повщались та дискутувались на III Всесоюзному з'Тзд! по теоретичнш та прикладной мехашш (1968р., Москва), на VII Всесоюзной конференци по теорп оболонок та пластинок (1969р., Дншропетровськ), на 1-у Укра-Тнско-польскому науковому ceMÍHapi по мехашщ матер1алш та конструк-

щй (1993р., Дшлропетровск), на м^жнароднш науково-практичнш конфе-ренцп «Сучасщ ироблеми геометричного моделювання» (1995р. Мелко-поль), на шському семтар'1 по мехашщ м. Талл1нна шд кер!вництвом проф. Нагула У.К., на ceMiHapi Гнституту проблем мехашки АН СРСР пщ кер!'вництвом проф. Гольденвейзера O.JI., на семшар! Московського державного ушверситету шд кер1вництвом акад. Работнова Ю.Н., на семша-pi Обчислювального Центру АН СРСР шд кер1вництвом акад. Моюеева М.М., на ceMiHapi Московського ¡нституту стал! та сплав!'в пщ кер1внид-твом проф. Треног1на В.О., на ceMiHapi Лешнградського державного уш-верситету шд кер1'вництвом проф. Товстика П.Е., на ceMiHapi Лешнградського державного ушверситету пщ кер1вництвом проф. Баренцева Р.Г., на ceMiHapi Лешнградського педагогичного шституту пщ кертництвом проф. Матвеева М.М., на ceMiHapi 1нституту Пдродинамши СВ АН СРСР пщ ке pi вн и цт в о м проф. 1брагимова Н.Х., на ceMiHapi 1нституту Гщроди-нам1ки СВ АН СРСР пщ кер^вництвом проф. AHiHa Б.Д. У шлому дисер-тащя допавщалась на наукових семшарах кафедр: програмного забезпе-чення та математичного моделювання Запор1зько!" державно!" шженерно!" академй (1996р.), теоретично!' мехашки Днтропетровського державного ушверситету (1996р.), на ceMiHapi Днтропетровського державного ушверситету пщ кер!вництвом акад. Мосаковського B.I. (1996р.); на ceMiHapi 1нституту гщромехашки HAH УкраТни пщ кер1вництвом проф. Селезова I.T. (1997р.), на ceMiHapi Кшвського державного ун{верситету пщ Kepiвництвом член-кор. HAH Укра'ши Уштки О.Ф., на ceMiHapi Харювського полЬехшчного ушверситету гид кер!вництивом акад. Рвачова В.Л.

Публ1каип. По результатах виконаних дослщжень опубликована 21 робота, у котрих вщображений основний змют диссертащ!'.

Структура й обсяг дисертаци. Робота складаеться ¡з вступу, ceMi глав та заключения, метить 400 сторшок, 3 таблищ, 55 рисушав, список використовано!" Л1тератури (116 найменувань).

ЗМ1СТ ДИСЕРТАЦН

У встут даеться стислий огляд розвитку методав теори труп та асимптотичного анал!зу стосовно до проблемы виршень алгебраТчних та дифференщ'альних р»внянь, обгрунтовуеться необхщшсть сум1сного застосування ц!х теорш. Розглядаються актуальн! динам1чш задачи теора пластин та оболонок. Формулюеться мета дослщження та зазначаються перешкоди, з ягами довелось зустр1тись на шляху до щеУ мети. Дано стислий перелш одержаних у дисертаци результата.

У перппй глав! метод асимптотико-групового анал1зу демонстру-ется на приклад! дифференщ'альних ршнянь плоскоТ задачи теорн пружност1 для ортотропного середовища:

В,^и + 0^и + (В,Й2 + 0)ЭхЭуу = 0 (1.1)

В2Щ\ + + (В2Р1 + 0)5хауи = о

Тут х,у - декартови координатй; дх=д/8х, ду=д/ду; и,\ - компонента вектора перемпцень; В1( Вг - жорсткоеп на розтягнення-стис-нення, й - жорстгасть на зсув; р), р2 - коефЩенти Пуасона; В^г^Вгй!-Ваги ус!х величин, яы М1стяться у р!вняннях (1.1), - постшних ко-ефщетчв, шуканих функцш та диференцшних оператор!в - ощнюються однаковим способом - за допомогою перетворювань:

и = 8^'и*, V = V*, дх = 8Р*В; (1.2)

В2 = б0« В;, в = в*, В^ + в = В2щ + в = (В,ц2 + в) *, що приводить до сшввщношень:

-1,0* ~1,в;~1,в2 ~ и в* ~ 1, (В1ц2+о* ~ 1 (1.з)

Перетворення (1.2) - це звичайш перетворення розтягнення, яга вщом! у теори груп. У них застосуеться, як основа, формально введений малый параметр 8<1. Величина цього параметру не вадграе шяко! роли

В1'н використовуеться ¡з службовою метою, так само, як основа логариф-м!в, для переходу в!д мультипликативных величин, яш входять у р1'внян-ня (1.1), до адитивних величин р1,...,р8. I так само, як при використанш логарифм1в результат обчислень не залежить вщ вибрано!" основи, тут формальний параметр, як буде видно дали не входить у кшечш результата.

Саме використання формального малого параметру дозволяе не-гайно зв'язати методи те ори груп ¡з методами асимптотичного анализу. 3 одного боку, перетворення (1.2) - це теоретико-групов! перетворення, з шшого боку, ¡з узгодженням з (1.3), - вони дозволяють виконати основ-ну задачу асимптотичного анал!зу - оцшку ваг величин, що входять у р^вняння (1.1).

У першу чергу розглядаеться типова для теорн груп задача -пошук тих випадюв, коли р!вняння (1.1) швар1'антш вщносно перетворень (1.2). Дя задача виршуеться тут елементарними алгеб-раГчними методами шляхом прир1внювання м!ж собою показниюв степей! 8, що в!дпов!дають р13ним доданкам кожного ¡з р1внянь (1.1). У результат! виявляеться, що щ р!вняння допускають чотирипараметричну групу !з перетвореннями:

и = 8г'и*, у = 8у'у*,Эх =д*,ду = 5*,Вх = В*,В2 = В2, в = в* (1.4) В,ц2 + й = (В]Ц2

и = и*,у = у*,дх=:8Ъд*,ду =5уЦ,В1=В*,В2 -В^в^С* В^з+СЦВ^а+О*;

и ^ и*, V = V*, дх = а*, ду = бу, В! = 8УзВ1, В2 = 5»зв2 в = В,^ + в = 8Гз (В,ц2 + в) *;

В2 = 521,"В2, в = в*, В^ + О = (В]Й2 + в)!*.

Звщси видно, що будь-яке ршення р!внянь (1.1), що вщповщае яким-небудь вщносним вагам члешв щх р!внянь, породжуе чотирипара-

метричне амейство ршенъ, яю одержуються ¡з вихщного за допомогою перетворювань (1.4) та дають т! ж сам1 вщносш ваги доданмв.

Вилучаюч1 у!.....у4, переходимо до ¡нваршмчв:

1{ =6а'1|*;. I,' ~1 0 = 1,...,4), (1.5)

де:

I, Ж 13 в О ! = В^ + С (

Таким чином, фактично при асимптотичному анализ! треба ощню-вати не вихщш величины, що входить у р^вняння, а швар^анти групы пе-ретворювайь, яка допускаеться р!'вняннями. При иьому, юльюсть величин, що ощнюються, зменьшуеться на юльшсть допускаемих однопара-метричних шдгруп розтягувань. У даному випадку замють восьми вихщ-них величин ощнюються чотири ¡нвар!анти (1.6).

Осшльки частина ¡з ¡нвар1ант1в ^....Ц мктить змшш величины, зручнше перетворення (1.5) замшити на перетворення:

и = = = Эу,В, = В|, В2 =Вг (1.7)

в = в*, В,ц2 + в = 8аЧВ 1 \12 + *

Перетворення (1.7) екв1валентн1 перетворюванням (1.5), однак перетворюються вже не ¡нваршнти, а частина вихщних величин. Величины v, ду, В} и Вг не перетворюються, I е еталонами для тих величин, що перетворюються. При цьому сшввщношення I* ~1 (¡ = 1,...,4) ¡з (1.5) зручнше подати у вигляд'г.

(1.8)

у В( 11

Знайдеш швар1анти (1.4) групи розтягнень, що допускаеться, до-зволяють виршити допом1жну задачу - перехщ вщ ртнянь (1.1) до дру-гоТ IX форми, яка мостить найменш можливу шльюсть параметр1в-кое-фищ'енгпв. Ця задача виршуеться за допомогою замш:

(1.9)

яю приводить до р1внянь:

а^и+-аа^и+ЬЗхауУ = 0; 5^У+а5^У+ЬЗхЭуи = 0 (1.10)

Для р1внянь (1.10) перетворення (1.7) приймають вид:

и = б"1 и*, V = V*, 5Х = Ьа2д*х, ду = ду, а = 8а*а*, Ь = 6а'Ь* (1.11)

Завдяки цим перетворенням повинш виконуватись стввщношення:

Пошук параметр!в асимптотичного штегрування звичайно провалиться в узгодженш з Тх ф!зичним зм{стом. Тут, заьпсть цього, пропону-еться формальный метод, який дозволяе знаходити значения параметр!в, на основ1 кр!тер1ю мишмального спрощення, без попередшх припущень щодо властивостей ранения.

Розглянемо спочатку комбшований вар1ант. Нехай вщомо, що а~Ь<1. Задаючи, при цьому, «з=а4=1 будемо розшукувати тшьки с^ та а.2- У результат! перетворень (1.11) уел члени ршнянь (1.10) одержать множники у вигляд1 степешв 8, котр1, в узгодженш з (1.12), повшетю оцшюють ваги цих членов. Не виписуючи перетворених р1внянь, випи-шемо тшьки вщповщш показники степеш, розмщуючи Тх у тому ж порядку, що й члени р1внянь:

СЦ+2СХ2, ^+1, а2+1; 0, 2а2+1, а!+а2+1 (1.13)

Чим меньший показник степень тим бшьший (при 5<1) вщповцший член. Сшввщношенням а1+2а2=а1+1<а2+1 вщповщае р!вшсть ваг перших двох члеш'в першого з р!внянь (1.11) 13 переважанням над третям. Аналопчно, сшввщношення а ]+2а,2=а2+1 <а 1+1 вщповщають переважан-ню першого та третього члешв, а стввщношення а|+1=а2+1< <а)+2а2 -переважанню другого та третього члешв. Вказаним трьом сшввщношен-ням вщповщае веер ¡з трьох промешв на площиш оц, зображений на рис. 1.

и*~У*, Эх~Эу, а*~1, Ь*~1

(1-12)

Аналопчно, pÍ3HÍ вар1анти ваг другого з р1внянь (1.10) зображеш граф1чно другим веером на рис. 1. Особливу роль на цьому рисунку вщграють точки I и II, яга вщповщають випадкам, коли у кожному з р1'внянь (1.10) залишаеться, теля вщкидання другорядних доданюв, по два члени.

Випадок I. ai=-l .5, а2=0.5; спрощеш р1вняння:

а&и+аз$и=а a|v+baxeYu = o (1.14)

Випадок II. ai=l.5, а2=-0.5; спрощеш р1вняння:

5х U + bdxdYV = 0, S^V + a3|V = 0 (1.15)

Р)'вняння виду (1.14) и (1.15) неодноразово застосовувались до вир1шення досить складних контактних задач. Однак ochobhí результати у щй галуз1 одержан! без учасп автора i тому тут не приводяться.

Описаний cnoci6 пошуку параметр1в асимптотичного интегрування може бути корисним при вир^шенш конкретних задач, але bíh не пов'я-заний, прямо, 3 Груповими властивостями piBHHHb (1.1). PÍ4 тут у тому, що при фшсованих значениях параметр1в oci,...,ot4 перетворення виду (1.11) дозволяють дати вщповщга асимптотичш ощнки, але не ство-рюють групу перетворень, осюльки, фактично, вони задають тшьки одне перетворення. Це повязано з тим, що, по cyri, був використаний вже не формальний малий параметр 8, а природний малый параметр с=а~Ь<1.

Тшьки послщовне використання формального малого параметра приводить до сполучення асимптотичного анализу та теорп труп, що дозволяв, до того ж, одержати бшыц широке коло результатов, hkí мютять, як частков1 випадки, i tí, що одержутоться при використанш природного малого параметру.

Повертаючись до перетворювань (1.11) при довишних значениях параметрш ai,...,a4, одержуемо, замклъ (1.13):

ai+2a2, <Х|+а3, а2+а4; 0, 2а2+ссз, ai+a2+a4 (1.16)

Подалышй розгляд провалиться таким же чином, як у випадку природного малого параметру, але ¡з деякими вщмшами. По-перше, промеш проходять вже не у двовим1рному простор! оц, а у чотиривим1рному npocTopi а^.-.сц. По-друге, yci промен! виходять тепер iз початку координат. Чотири параметра розшукуються ¡з трьох однорцщих р^внянь Í3 точнютю до загального невщ емного множника. Вщпов'щн! три р^вняння будуються шляхом прир1внювання м!ж собою показнишв CTeneHi, що входять у таблицю (1.16). Два ршняння одержуються як наел ¡док píbho-ct¡ М1ж собою ycix трьох показниив, вщповщаючих одному з р!внянь (1.10), трете - як наовдок píbhoctí м!ж собою двох показнишв, що вщ-повщають другому р!внянню (1.10). Це трете р1вняння супроводжуеться

нер!вн!стю, яка означае, що вибраш р1'вними два показники не е большими, шж третй, що вщповщае б!лышй ваз1 двох члешв р!внянь у пор;'в-нянт з трет!м. Усього, таким чином, одержуються ипсть р1зних проме-шв, як) виходять ¡3 початку координат у чогиривим1'рному простор!

<*1.....«4.

Ус! параметри, Ыдповщаюч! якомусь променю, визначеш ¡з точш-стю до довшьного загального множника. В наел ¡док цього перетворюван-ня (1.11) створюють однопараметричну пщгрупу перетворювань. Спроще-н! р1вняння, що одержутОться, швар!антн'1 вщносно тако! пщгрупи, оск'шь-ки у них залишаються титьки п' доданки, як! одержують, внаслщок перетворювань (1.11) ¡з значениями а],..., а4, що розглядаються, однаков1 Множники. Таким чином, процедура побудови спрощених р!внянь на грунт1' критерш мин!мального спрощення автоматично приводить до того, що спрощеш р1вняння допускають як 1\ перетворення, вщносно котрих були швар'щнтш вихщш р^вняння (1.10), так и додаткову однопараметричну пщгрупу розтягнень виду (1.11).

Наявшсть додатковоТ пщгрупи рбзтягнень е критер!ем дшеного спрощення р1внянь. Наявшсть тако'{ пщгрупи дозволяе значно спростити переварку тих асимптотичних ощнок, завдяки яким одержан! спрощенш

р1вняння.

Одшею з особливостей пщходу, що пропонуеться, е та, що даються ощнки не т!льки шуканим величинам, але й коефищентам р!внянь, тоб-то вщомим величинам. При цьому може виявитись, що жоден ¡з знайде-них випадшв минимального спрощення не вщповщае задании значениям коефищешчв. У такому раз1 можна скористуватись тим, що знайдеш промен! створюють базис, за допомогою якого можливо побудувати будь як1 !шш вар!анти. Слщ тшьки враховувати, що лшшш комбшаци промешв можна брати т!льки з невщ'емними множниками, тому кльшеть базисних промен!в повинна перевершувати розм!ршсть простору, як м!н!мум, на один. У даному випадку для чотиривим^рного простору параметр!в а1,...,а4 одержано плеть промешв.

(2.1)

У другШ глав« розглядяеться р^вняння Клейна-Гордона:

де 8К = д/дх., = 9/31.

Це р1вняння може описувати р!зн) ф!зичш процеси. Будемо тут розглядати його як р^вняння коливань струни, яка лежить на пружшй основ!. Тод1 змшна х задае просгорову координату, I - час та и - прогин струны. Ус1 коефоденти у (2.1.1) прийняти р1вними одинищ, чого легко добитися замшами змшшх.

Враховуючи, то р1вняння (2.1) швариантне вщносно розтягань шу-каноТ функцп и, будемо пщдавати розтягненню тшьки диференщйш опе-ратори:

дх=6а1д*, 3, = 8°2 3*, (2.2)

вимагаючи виконання сш'ввцшошень:

д\ ~ 1, д* ~ 1 (2.3)

Розглянемо площину аь аг (рис. 2) та побудуемо на нш веер 1з трьох промешв.

Перший пром'шь:

2а,=2а2<0 (2.4)

вадповадае спрошенному р^внянню ¡з вщкину-

«V

2а 1 =0<2аг

2аг =0<2а1

0 «1

'За, =2а2 <0

Другий промшь 2а1=0<2а2 вщповщае спрощенному р1внянню:

Рис 2.

д1и-и = 0

Трет!й промшь: 2сх2=0<2а1 вщповщае спрощенному р1внянню:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

а^и+и=0 (2.9)

Кожен з щх промешв вщповщае додатковш однопараметричнШ груш розтягнень виду (2.2), яка допускаемся вщповщним спрощенним р!в-нянням. Це виходить з того, що у спрощених р1вняннях залишаються тшьки доданки, що одержують, завдяки перетворюванням (2.2), однаков! множники.

На баз!' одержаиих наближених ртнянь побудуемо процедури по-слщовних наближень. Для цього представимо шукану функщю у вигляд! ряду:

и = £и» (2.10)

¡=1

Перетворювання (2.2) та спшвщношення (2.3) замш!мо перетворю-ваннями:

<ЭХ = 8а'с)*,3, =8а2Э|,и; = 8'~1и* (¡ = 1,2,...), (2.11)

що приводять до сшввщношень:

е>* ~ 1, 3*~1, 0 = 1,2,...) (2.12)

У перетворених змшних ряд (2.10) приймае вид:

¡=1

причому, у вщповщносп до (2.12), коефищенти при рЬних степенях 8 цього ряду е величини одного порядку.

Пщставимо (2.10) у (2.1), виконаемо перетворювання (2.11) та роз-щеплення по однакових степенях 8, вщповщаюче деяким задании а,, а2, одержуючи залп'сть (2.1) нескшчену рекурентну систему р!внянь. Ця система буде ¡нвар1антною вщносно перетворювань (2.11), оскшьки процедура розщеплення об'еднуе у кожне з ртнянь системи члени, яю одержують, теля перетворювань (2.11), однаков1 степей! 8. Таким чином, додатков! однопараметричш пщгрупи розтягнень одержують не тшьки спрощенш р)вняння, але й несюнчеш рекурентш системы, яю будуються на баз! таких р1внянь.

Зазначимо, що ¡нваршнтш'сть рекурентноТ системи р!внянь вщносно перетворювань (2.11) дозволяв, не змшюючи вигляду щеТ системи, по-вернутися вщ перетворених до вихщних р!внянь. Таким чином, кшцеве ршення одержуеться у виглящ ряда (2.10), члены якого задовольняють вщповщнш рекурентнш систем! р1'внянь, I при цьому ш ряд, н! р!вняння не М1стять формально введеного малого параметру 5.

Наприклад, вибираючи «¡--0.5, о.2=-0.5, що вщповщае швидким змшам по х ! одержуемо:

Розглянемо розгягнення дифференщальних оператор]в 5Х и <?( як наел ¡док розтягнень аргумента х и ^ що бшьш вщповщае теори швар!ан-тно-групових ршень дифференщальних р!внянь. Р!'зниця мктиться у тому, що розтягнення операторш дае ¡нформащю тшьки про структуру р1внянь, у той час як розтягнення аргумент може дати шформацш 1 про структуру ршення. У той же час треба зазначити, що розтягнення операторш б'шьш вщповщае тому локальному п'щходов!, на якому грун-туеться асимптотичний аналЬ. При розтягненш аргумент ми розтя-гяемо нескшчеш оа, у той час як оцшка ваг оператор!В завжди локальна. Однак у тих випадках, коли розгягнення аргументов асимптотично оправдане (наприклад, при постшних коефишентах р!внянь), воно може допомогти у пошуш ршення р1внянь, що розглядаються.

При а ¡=-0.5, а2--0.5 одержуемо, замкть (2.11), перетворювння:

ят знову приводить до сшввщношень (2.12). Ршення, ¡нвариантш вщ-носно суперпозицп перетворювань (2.15), а також розтягнень шуканоТ функцп и, можна розшукувати у видг.

= (1 = 1,2,...)

(2.14)

х^б^х, = и* = (1 = 1,2,...),

(2.15)

1~1;(Л) (¡=1,2,...),

(2.16)

де

(2.17)

- ¡нвар1анти вказаноТ суперпозищ'У перетворювань. 1з (2.16) та (2.17) для шуканих величин витшае:

и.=х2;+2тг-2г.(1) (¡ = 1Д ) (2.18)

П)'дставляючи (2.18) у (2.14) одержуемо, заметь дифференщальних р|'внянь у часткових похщних, звичайш дифференщальш р!вняння:

(Я -1) 1|'- 2(21-3+ 2у) 11| + (21-2+ 2у)(И- 3+ 2у) = (2.19) 0=1, 2,...)

Таким чином, вдалось знизити розм1ршсть простору аргументов, що 1 е одшею з головних можливостей теори ¡нваро'антно-групових ршзень. Однак реа.шзована ця можлив!сть, у даному випадку, за рахунок вико-ристання асимптотичного анализу. Вихщне р1вняння Клейна-Гордона не допускае застосування подобного пщходу.

Звернемо увагу на те, що тут застосовуеться процедура виршення р1внянь, яка вщповщае теорй' звичайних дифференщальних р!внянь, у в1дпов1'дност1 з якою спочатку розшукуеться загальне р)'шення р1внянь, а пот5м пщбираються значения констант интегрування з метою задово-лення яким-небудь початковим чи граничным умовам. Для задач матема-тичноУ ф!'зики такий пщхщ прийнято називати зворотним.

У даному раз1" ¡3 уах ршень нескшченоУ системи р1внянь (2.19) ви-брано таке, яке вщповщае випромшюванню пружноУ хвил! вщ границ! на-пшнескшченоУ х>0 струни, яка спочатку перебувае у спокоУ. ГНсля по-вернення вщ ¡нвар!ант1в до вихщних змшних воно мае вид:

^¿и^х^-х)38^1 (1=1,2,...) (2.20)

1=1

Вираження виду Ь-х визначеш при х^ та дор1внюють нулю при хИ. Це вщповщае наявносп у збурення, що розповсюджуеться, фронту

Коефвденти сум (2.20) знаходяться з рекурентних сшввщношень, що одержуються шсля подстановки (2.20) у (2.14) та приведения подШ-них по однакових степенях х та 1-х:

щ р = 2'3'- ) (2.21)

1з сшввщношень (2.21) не знаходяться коефпценти виду , котр{

е константами штегрування. Якщо на границ! х=0 струни задано зусил-ля:

Т(х,1) = ~, (2.22)

дк

то розкладаючи вщповщну функщю Т(0д)=К0 у ряд:

Г(г)=|;^1а+И-2 (2.23)

¡=1

(ае=2у-1), одержуемо:

= (1 = 1,2,...) (2.24)

зе+ 21-1

Таким чином, знайдене р'инення вщповщае випром'шюванню хвшп вщ гранищ нашвнескшченоТ струни, на котру у момент часу 1=0 рапто-во прикладене навантаження, яке у подальшому змшюеться по закону (2.23). У форм1 (2.23) можливо представити нескшчено багато р'13них вид1в навантажень. У частковому випадку раптово прикладеного навантаження, яке залишаеться постшним, 1(0=1 буде: зе=0, 1]=1, Г,-=0 (¡>1). На рис. 3 приведений графж зусилля Т як функцп х (жирна лМя).

Отримане ркцення дозволяе, формально, описати усю збурену зону 0<х<г, однак обчислювальш особливост1 степенних pядiв обмежують його застосування тьльки околом фронту х=1 (котрий для досить малих значень 1 може охоплювати усю збурену область).

1з ростом часу поблизу фронту починають переважати доданки з ¡=1. Для таких доданюв побудоваш ряди сшвпадають з вщомими рядами для функцш Беселя. Для часткового випадку раптово прикладеного навантаження маемо:

иМЬх)Л!(г); Т=ЛоЫ; г^^Ы^х)-, (2.25)

(г/2)

де JJz) - функщя Веселя. На рис. 3 вщповщний график для Т зображе-ний маленькими кружками. Видно, що поблизу вщ фронту в!н зближу-еться з основнии граф ¡ком.

Для зони поблизу вщ навантаженноТ границ! при великих значениях часу t необхщно будувати окрему, приграничну, асимптотику. Цш зош в1дпов'1дае спрощене р'тняння (2.7), р1шення котрого, у випадку раптово прикладеного постжного навантаження буде:

(2.26)

Вщповщний графж для Т (бмыш кружки) також зображений на рис. 3. Видна його добра вщповщшсть з повним графшом поблизу гранищ.

Залишилось ще трете спрощене р1вняння (2.9), ршення якого, при нульових граничних умовах, дор1внюе нулю. Воно вщповщае зош, пром1жнш М1Ж границею та фронтом i вказуе, що теля проходження швидкозмшно!" прифронтовоТ зони стан струни в указанш промшнш 30Hi повертаеться у вихщний, що був до прикладення навантаження.

Таким чином, на приклад1 р1вняння Клейна-Гордона показано, що, по-перше, запропонований у першш глав! метод асимптотико-групового анализу може бути застосований не тшьки для одержання спрощених

р1внянь, але й для побудови, на 6a3i uix р!внянь, продедури послщовних наближень, що дозволяе уточнити, до необхщних границь, одержан! у першому наближенш результати.

По-друге, показано, що у тих випадках, коли можливий перехщ вщ розтягнень диференцойних операторов до розтягнень аргументов шуканих функцш, з'являеться можливкть, завдяки розширенню групи розтягнень, що допускаеться, будувати швариантно-групов1 р0шення, яю вщповщають деяким граничним задачам - у даному випадку задачам про випромшю-вання нестацюнарноо пружноо хвош. При цьому досягаеться суттеве спрощення задач!, яка виршзуеться, за рахунок зниження розморносто простору аргумент, тобто, у даному випадку, перехщ вщ дифе-ренщальних ртнянь у часткових походних до звичайних диференщальних р1ВНЯНЬ.

По-трете, показано, що формальний анал1з дозволив виявити три характерно зони нестационарного збурення, що розповсюджуеться, яко принципово вщр!знЯються одна вщ ¡ншоТ: прифронтову, приграничну та пром'ожну.

Конкретш результати, одержан! на приклад! р!вняння Клейна-Гордона, загалом не е принципово новими, але новою е застосована методика ох знаходження, яка дал0 вщо'грае роль еталона, на баз! якого вир!шу-ються íhliií, бшьш складш, задачи.

У третш глав! розглядаються динамочно ровняння теорГо пружносто у декартових координатах:

Siau + 32ст12 + S3a13-рЭ?и, =0; Е9,и, = ст„-v^a^ + o^) (3.1) 8,0¡2 + д2а22 + д3о23 - pd¡u2 - 0; ЕЭ2и2 = о22 - v(an + 033) 5,ст,3 + 32о23 + <Э3а33 - p3t2u3 = 0; ЕЭ3и3 = а33 - v(ct„ + ст22) G(6i42+02"o) = o32; G(ajU3 + 03U,) = o,3; G(d2u3 + d3u2)=o23 Тут д^д/дхи д2=д/дх2, д3=д/дх3, dx=8/8t; хь х2. х3 - декартово координата, t - час; 1нш! позначення загальноприйнят! у Teopi'o пружност!.

Р1вняння (3.1) ¡нвар1антш вадносно чотирипараметричноТ групи роз-тягнень:

д{ = щ = 5г'и*, = 8Г'од, Е = Е», в = С*, р = р*, дх = д\ (3.2)

д1 = 8^,11; ==8~г^стд =ад,Е = Е*, в = в*, р^р'Д 8{ = д\, и; = и*, сгу = 5Гзсг», Е=й^С*, р=8Уз р*, 3, = д* 3; = 8-, ^ = и*, ау = о*-, Е - Е*, О = й*, р = 84 дх = З-05^

(У=1, 2, 3) 1нвар1анти щеТ групи будуть:

= ^ 1г = \ = = 15 = Е^з (3.3)

д3 д} а 23 а23 сг23

, _<*п , _о22 , _о33 _ ст,2 Гр д,

023 С2з 023 023 СТ23 «Е 03

Розглянемо перетворювання:

а, =8а,а,*, з2 = з3 = э5, и, =5ази;, и2=з"4^, и3=8а5и^ (з.4) о,, = 5%^,, СТ22 = 8Р>а'а, сг33 - 012 = 5а'<4, а, з - 8а»с4, ств = сг^ Е = Е*. О = в*, р = р\ дк = 8а» а,*

У вадповадносп до цього у кожному з швар!ант!в (3.3) розтягуеться тшьки одна з величин, а ¡ниш залишаються незмшними. Тому перетворювання (3.4) еквивалентш перетворюванням ¡нвар1антт, але бшьш зру-чш, тому що мають справу безпосередньо з вихщними величинами, що входять у р1вняння (3.1). Результатом перетворювань (3.4) е оцшка ваг ¡нвар1антш, яку у даному випадку зручно представити у в и глядь

^ ~ тЦ а], 1,ш = 1,2,3) (3.5)

Пошук параметр)'в асимптотичного ¡нтегрування виконуеться за до-помогою алгоритма, описаного у першш глав!. Однак у даному випадку одинадцятим1рного простору параметрш а^.-.аи реал1защ'я цього алго-рггму виконана за допомогою ЭОМ. Одержано п'ятдесят с!мь наборов параметр!в, що вщповщають критерго мишмального спрощення.

23

Показано, як на грунт! спрощенних р!внянь будуються процедури послщовних наблнжень за допомогого розкладень шуканих функцш у формалын ряди виду:

= = (i,j = 1,2,3) (3.6)

k=l k=l

Докладному змктовному розгляду п'шдаш чотир1 набори парамет-pie. Перший Ha6ip: «¡=0.5, <Х2=0.5, аз=-1, сц=-1, <Х5=-0.5, ag=-0.5, 04= =-0.5, а8=0.5, ад=-0.5, аю=0, ац=0.5 приводить до наступних р!внянь першого наближення:

a1o{i + 92CT|2 + S3ai3-p5?u} = 0; E3,uj =a{, - va'22 (3.7)

д,а}2 + д2а\2 + д3а\3 - pö2u2 = 0; ES2u2 = al22 - vaj, + 32a23 -+ 53стзз - pdfu] = 0; ESjU, = -(er], +• стЦ

G(Ö,U'+32ui)=a!2; Э:и} = 0; 63^=0 Ршення uix р1'внянь розшукуеться у вид!:

u'r«!,!;«! = И2,ЬСТП =(yn,bCT22 = CTkba12 =ст12,11 (3-8)

a13 = x3°13,li ст23 = х3°23,1> U3 - X3U3,1> °33 = СТ33,1 + а33,2

Тут утриман]' т)'льки Ti константи ¡нтегрування по Х3, KOTpi пород-жують напружено-деформований стан, симетричний вщносно площини х3=0. Ус! функци у правих частинах вираз1в (3.8) залежать тшьки вщ хь Х2, t; залежшеть вщ Х3 виписана явно.

Задаваючи також симетричш граничш умови на лицевих поверхнях шару -h<X3<h:

h2

a}3 = ha]3, = т^ = -тJ; al23 = ha^, = тJ = -tJ; a\3 = у al3Xi + = q+ =q (3.9)

приходимо до вщомих р!внянь узагальненого плоского напруженого стану:

5,Т, + 8гS - Pi^v, = -т,; dtS + д2Т2 - p,S2v2 = -т2 (3.10>

^ = В(д{у1 + у32у2); Т2 = В(52у2 + уо1у1); Э = ^—В^ + Э2у,)

^ = -~(Т,+Т2); ~~(д1Ч + д2х2}, а^Р-увзд (3.11)

Тут v,, у2 - постшш по товщит шару -Ь<хз<Ь перемещения у на-прямках осей х( и Х2; Ть Т2, В - нормалып та дотичне зусилля; та -сумарш по двох лидевих поверхнях шару дотичш напруження у напрямках осей Х1 и р - нормальне напруження, що розтягае або стискуе шар по товщиш; перемвдення V характер^зуе змшу товщини шару, однакову по обидви боки вщ серединно! поверхш х3=0.

Функцй", що знаходяться у (3.11), звичайно не враховуються при вивченш узагальненого плоского напруженого стану; але вони вшгра-ють, у деяких випадках, досить важливу роль 1 у подальшому викори-стовуються для пор1внення класичних результат з уточненими.

Для р^внянь (3.10), (3.11) дШсш асимптотичш ощ'нки:

(ЬБ)2<1; 0 = (3.12)

Другий наб1р параметр!в: а1=0.5. аг=0-5, аз=-1, оц--1, а5=-0.5, а6=-0.5, а7=-0.5, а8=-0.5, ад=-0.5, аю=0, ац= -0.5 приводить до спро-щених р!внянь:

¿Э^п+д2ст{2 + 63ст53 - рс?и! = 0; Ед,и| = а|, - \^ст22 + (3.13)

+ 52022 + бзст^ - р3^и2 = 0; ЕЭ^ = ст22 - л^сг), + 033} +Э2и!)-а}2; ЕЭ3^ - ч^с}, +о122)

Э3а'3 = 0; Э3и] = 0; 53и^ = 0; З,ст]3 + д2а123 + б3с|3 - рбЭД = О

Тут, кр1м усIX р1'внянь першого наближення, утримано також одне р1вняння з другого наближення. Ршення р1внянь (3.13) розшукуеться у видк

и1 = и1,1> и2 = иЬ' °33 = °33,1' = °22 = °22Д' СТ12 ~ СТ12,1 (3-14)

I 11 11 12 (Хч) 2

<Т13 - х3<т,3 сг23 = х3сг23д, и3 = х3и3д, ст33 = - ст33д

При тих же граничних умовах, що й у попередньому випадку, оста-точно одержуемо:

^Т| + 528-р1^у,=-т1; 2ЬЕ<Э1У1 = Т, - у(Т2 + К) (3.15)

518+Э2Т2-р,^2 = -т2; 2ЬЕ32у2 = Т2-У(Т, + К); 2110(3^+ 32у,)=Б

А

2ЬЕУ = К - + Т2); ^ К + р^ V = 5,х, + д2т2 + - р

Новим, у пор^внюванш з (3.10), (3.11), е тут тшьки позначення для зусилля К, що вршноважене вздовж ос! Х3. Р[вняння (3.15) значно вщр!з-няються вщ р1'внянь узагальненого плоского напруженого стану (3.10), (3.11), хоч, як неважко побачити, закони змшу шуканих функцш по тов-щиш шару -п<х3<Ь (по сум! двох наближень) залишились тут поп вредными. Основна р1зниця метиться у тому, що ранш напруження та пе-ремвдення <133 та из, перпендикулярна серединнш площиш шару хз=0, не впливали на инш шукаш функци, знаходячись задшм числом з формул (3.11); тепер же ц] вел!чини образують взаемопов'язану систему р1внянь (3.15).

Головною оеоблив1Стю р!внянь (3.15), у пор^внюванш з р1вняннями (3.10), е те, що вони задають швидкосп розповсюдження фронт пов-здовжних та поперечних хвиль такими ж, як у випадку тривим1рних р1внянь теорп пружност], залишаючись, у той же час, двовиьнрними р^вняннями та збер1гаючи т! ж порядки похщних по просторових координатах, як I р1вняння (3.10), 1 т1 ж види граничних умов на бокових по-верхнях шару.

Асимптотичш оцшки (3.12) збериаються 1 у цьому випадку.

Третш набф параметров: «1=0.5, а2=0.5, аз=-1, а4=-1, «5=-1.5, а6=-0.5, а7=-0.5, а8=0.5, ад=-0.5, аю=0, ац=1. Спрощенш р1вняння першого наближення 1 одне з р!внянь другого наближення будуть:

51су}1 + (5;а!2 + 3?гт113 = 0; E5,u} - va\2 (3.16)

3,cr¡2 + d2aí22 + ^3°23 - ty E92U2 = СХ22 - V(T}[

+ + дзазз ~ P^t u3 - 0; Э3и3 = 0

С(а,и12 + Э2и5) = ст|2; 0,u3 + Э3и] = 0; a2u3 +a3U2 = 0

Ed3uf = -v|ct}, + ar22j

Представимо рщення р1внянь (3.16) у видк

u3 = u31, u} = x3uj j, u2 = x34 ah = x3a}u, cl22 = x3cr22>1 (3.17)

_ „ rJ „1 (Хз) . _ (Хз) „.1 , „I

"12 - X3°12,l> CT13 ~ CT13,1 + CT13,2> "23 ~ 2 Zi'2

1 _ (X3 У I I 2_ (Хз)2 2

6 2

Тут у першому наближенш утримаш тьгськи tí константи штегру-вання по хз, KOTpi породжують напружено-деформований стан, ант5си-метричний вщносно площини х^-О. У вираз! для едино!' функщТ и3 ¡3 другого наближення константа штегрувзння вщкинута.

Доповнимо р1вняння (3.16) граничними умовами, задаваючи при Хз=+И напруження:

1 h^ j ] + _ i Ъ2 i j + t о~1

°13 = уст13,1+013,2 =TI =1tl i °23 = "уСТ23.1 + 023,2 = Ч = Т2 W.1BJ

1 h3 [ i + Озз=—CT33)+hcj332 =q =q 6

У результат! одержуемо:

лиЗр

SM+daH-Q^-m,; = (3.19)

2h3E

5,H + 32M2-Q2 = -m2; -y-52(p2 = M2-vM1

2h3G

(а1ф2 + Э2ф,) = Н; q>] = --a,\v; (p2 = -e2w; a,Q, +32Q2-pa^w = -q

№ = + (3.20)

2Ь Е

Тут М}, М2. Н - згинаюч! та скручуваючий моыенти; С^, С^ - пе-рер1зуюч! сили; Ш1, Шг - розповсюджеш по поверхш пластини моыенти, яш е наслщком дотичних навантажень; Фь Ф2 _ КУТИ повороту нормал!; чу - прогин; ц - сумарне поперечне навантаження на пластину; функщя W задае змшу товщини пластини. Ршняння (3.19) задають класичш р1'в-няння динам!чного вигину пластины. Функщя яка знаходиться з (3.20), у класичнш теори звичайно не враховуеться, одначе вона корисна при пор^внговант класичних р^внянь з наведеними дал! уточненный р!В-няннями.

Асимптотичш оцшки у даному випадку мають вид:

5~(М»2<1; 0 = тах

д^Лд^у

; 3112=тах(51,92) (3.21)

1Е

Четвертий набф параметр!в: а.] =0.5, «2=0.5, аз=0, а4=0, а5=-0.5, ае=0.5, а7=0.5, а8=0.5, ад=0.5, аю=0, ап=0.5. Тут розглядяються ус5 ршняння першого наближення 1 чотир! р1вняння другого наближення: ^¡з = 0; 6^ = 0; д3и} = 0; С^и'з + Э3и}) = а}3 <3.22)

с(э2и3 + д3и2) = ст23; 5,о{3 + д2а\3 + д3а\3 - рд^и\ = О Е^и} = ст1,, - \{а\2 ЕЭ2и1 = а\2 - у(а} 1 + сгЦ; о(г,и!, + Э2и^ = а\г

е,<т}, + 62а\г + д3а2хз - = 0; о^ + д2а\2 + 53ст|3 - рд^и2 = О Е^зиз = <*зз - 1 + а22^; д,а?3 + д2а\3 + д3а]3 - рд?и* = О

Ршення щ'х р1внянь розшукуеться ¡з урахуванням як симетричних, так 1 антисиметричних складових:

°13 = °13,1> С23 = °23,]. и'з = из,1, и} = Хзи1! 1 + и{>2, и2 = хэи2Д + п\ 2 (3.23)

а33 = х3с33, + а33 2, а\, = х3а'1Д + ст{ 12, а22 = х3а22 д + о 22,2 > а12 ~ хзст12Д + °12,2

2 -(Хз) ,„„2 „2 _(Хз)2„2 ,„„2 „2 __ (Хз)2 „2 .„,.2

СТ13 = СТ13,1 + Х3°13,2> ^23= ^-^-Озз , + Х3СТ23 2> Ы3 = 1Д3д + Х3и3 2

Розглядаючи також довольно задан! на лицевих поверхнях шару -Ь<х<Ь дотичш та нормальт напруги приходимо, одночасно, 1 до р1внянь (3.15) для симетричного напружено-деформозаного стану 1 до р1внянь:

а,Н+а2М2-р2-~е^ф2=-т2 (3.24) 5,0,++N _ ^=|(а,тг+а2т2) +=ц+1(01т1+е2т2) = М, - у(М2 + М); а2ф2 = М2 - л<Мг + м)

для антисиметричного стану.

Ртняння (3.24) € динам1чними р1вняннями вигину пластини. При IX вивод1 для кожноТ з шуканих функцт одержаний (по сум1- двох набли-жень) точно такий же закон залежност1 вщ хз, як перед цим при вивод1 класичних динам!чних р1внянь вигину пластини. Вщр^зняеться тшьки порядок знаходження доданив, що складають шукаш функцп; одначе це приводить до принципово нових результатов.

На вщмшу вщ ус(х вщомих динам!чних моделей пластин р1вняння (3.24) задають Т1 ж швидкост! розповсюдження хвильових фронта, як 1 р1вняння теорн пружност!. Вигинаюч! хвил! розповсюджуються ¡з швид-ЮСТЮ ПОВЗДОВЖНИХ ХВИЛЬ, СКручуЮЧ! та Зрушуюч! ХВИЛ1 - ¡3 ШВИДК1СТЮ

поперечних хвиль. Це забезпечуеться врахуванням поперечних, по вщно-шенню до пластики, напруг та перем!щень, яй задан! функшями N и W.

Також, як у теорй типу Тимошенко, враховуеться ¡нерщя повороту нормал1 (доданки з 5(ф1 и с^<р2 У перших двох р!вняннях (3.24)) та зсув в!д перер!зуючих сил. Останне приводить до того, що граничш задач! для р(внянь (3.24) ставляться так, як для р^внянь типу Тимошенко; зокрема, окремо враховуеться згинаючий та скручуючий момента та перер!зуюч1 сили.

Асимптотичш ощнки у цьому випадку сшвпадають з (3.12). Напришнцд третьо'{ глави показано, як можна одержати вщом1 р1в-няння типу Тимошенко з р1внянь (3.24). Одначе такий перехш потребуе асимптотично протир1чних перетворювань.

У четвсрт1Й глав! р1вняння, одержан! у третш глав!, використо-вуються для вир1шення ряду одновидпрних задач про випром!нювання не-стацюнарних пружних хвиль. Це робиться як з метою демонстраци мож-ливостей методу асимптотико-групового анализу, так ! з метою пор1вню-вання рияень на баз! заново одержаних та рашше вщомих р1внянь.

Осшльки виведен! уточнен! р!вняння для симетричного та антиси-метричного напружено-деформованих стан!в кистять доданки з двох на-ближень, вони сам! потребують подальший асимптотико-груповий анал!з. Запишемо р1вняння (3.15) у форм!:

б^ + ^е^ + еа^г + с^У-З^у, =0 (4.1)

д]\'2 + + е3132У1 + сд2У - = 0

8(У + сЗ£у, + с32у2)+3?У = 0

Т, = 3| у[ + с62у2 + сУ; Т2 = Э2у2 + сЗ£у, + сУ;

2 1-2У 1

*• —. ______* гж. —_

2(1-у)' 2(1-у)

7 . V

К = V + со1у1 + с32у2; Б = а${д{\'2 + а2у,); с

1— v

Це р1'вняння у перемщеннях, ш\ записан! у безрозм1ршй форм!. Виконуючи над ними стандартш ди, детально описан! у попередшх главах, одержуемо так\ три варианта спрощених р'тнянь.

Випадок 1:

+ а|а|у, + ед^^ - д2у, = 0 (4.2)

+ + ед^У,-д\\2 = 0; 80(6^ + д2\2) + д2,Х = 0

Т^д^+сдтУг, Тг = д2\2 + К + 52У2); 8 = а?(а1У2 + д2У|)

Вш вщповщае швидким змшам по просторових координатах та часовь

Випадок 2. При повишних змшах по просторових координатах та часов! як спрощеш одержуються класичш р1вняння узагальненого плоского напруженого стану:

+ (4.3)

2 2 а*

2 2 а,

т! = а\(в\^1 + Уд2У2у, Т2 = а?(д2ч2 + уа,у,); 8 = а^с^ + Э2у,)

(1-у)

Величина 0} - це безрозмфна швидюсть розповсюдження кваз!-фронту повздовжних хвиль.

Випадок 3 дае спрощен! р^вняння:

8У + а?У=:0; сЭ,У-5?у,=0; с52У-52у2-0 (4.4)

Т1 = сУ; Т2 = сУ; К = У; Б = 0

Ц{ р1вняння описують поперечн! симетричш коливання шару. Таш самовртноважеш коливання 1 складають, власне кажучи, той головний ефект, який враховують уточнен! р!вняння (4.1) у пор1внянж ¡з звкними р1вняннями (4.3).

Для уах вар1ан,пв спрощених р1внянь будуеться, як { рашш, процедура, послщовяих наближень.

У частковому випадку одном1рно! задач! (52=0) з (4.1) одержуемо: ^у1 + сЭ,У-^,=0; 8(У + еа,у,)+^У = 0 (4.5)

Т^Э^ + сУ; Т2 = с(<Э,у, + V); К = У + сЭ,у,

Ш р!вняння багато у чому нагадують по структур! р!вняння Клейна-Гордона; тому 1х виршення, узявши за основу перший випадок спрощення (4.2), провалиться таким же чином. На рис. 4 приведений графж повздовжного зусилля Т1 для задач! про випромшювання вщ гра-нищ х=0 нашвскшченоУ (х>0) пластини у випадку раптово прикладеного повздовжнього навантаження.

Кр1м основного графжу (жирна лшя), на тому ж рисунку приведений \ график пригранично"! асимптотики (тонка лшя). У цьому випадку використовуються р^вняння (4.3), яю мають у одновим^рному випадку вид:

д?5?у-с?у = 0; Т, = Т2 = а,2у^у, У = -сд,у, К = 0 (4.6)

Тх рппення для випадку раптово прикладеного постшного навантаження буде:

Т,=1, у = -4(с,1-х), Т2 = V, У=-4 (4.7)

а, а,"

ЗвЦси видно, що точщ х=а11:, яка вщповщае, зпдно з ршняннями (4.6), фронту, насправд1 вщповщае кваз1фронт, у райош якого спостерь гаеться швидкий, але не стрибкопод1бний, р!ст зусилля. Це явище було вщоме й ранние, тут важливо те, що кваз^фронт проявляеться при аналь з! ршення уточнених двовим!рних р!внянь.

Таким же чином, як у випадку р^вняння Клейна-Гордона, для при-фронтовоТ зони отримаш замкнеш вирази:

у-(^х)Л,(г); Т1=Ло(г); г = д/нк^ф-х) (4.8)

Вщповщний график для зусилля Т] зображений, маленькими кружками, на рис. 5.

Опис принципово тривим1рно1 прифронтово! зони на основ1 двомфних р!внянь (4.5) потребуй додаткових коментар1в. Описуючи не локальш ефекти, що викликаш вщбиттям основного фронту в1д лицевих поверхнь шару, а ¡нтегральж наслщки них ефегатв, бачимо, що у точках основного фронту х=^ спостеро'гаеться стиснений напружений стан, викликаний раптовим виникненням напружень при в'1дсутност"1

деформаций. При цьому у а три напруження стц, а 22, С33 мають однако-вий порядок. Таким чином тривимфшсть напруженого стану е не п'льки насладком наявносп' додаткових вщбитих фронтш (котр)', у деяких випадках, можуть бути й вщсутними), а об'ективною рисою картини навггь у випадку розповсюдження одновилфноТ хвилк

У зош поблизу фронту х=Ь виникають самовр1вноважеш поперечш коливання шару, що призводять до зменшення поперечного напруження <333. Саме через це й виникае кваз!фронт х-а^, вщповщаючий переваз) напружень стц и <722 над 033.

Аналопчним чином аналЕзуеться й р1внянкя (3.24). При вщсутнос-т1 навантажень на лицьових поверхнях шару щ р!вняння у безрозмгрнш форм! мають вид:

5,М, + 52Н-8<^0,-^ф1=0; Э,Н + д2М2 -8а£(32 - с^ф2 = 0 (4.9)

01(9,0, + д20>2) + N - = 0; N +1+ £ = О

ьа,ф, = М,- \>(М2 + ЬЭ2(р2 = М2-у(М, + И); Ь\У = N -\(М, + М2)

н=о|(а,((>2 +62%); о^е^+ф^р,; о2 = э2\у+(р2=р2

ъ = (1 +у)(1-2У)

1 — V

Розглядаються так! випадки спрощення:

Випадок 1. При швидких змшах по X], х2, I та переваз! ф1, <рз наД спрощеш р!вняння будутъ:

Э,М,+52Н-^ф, = 0; а!Н+а2м2-а;ф2 = о (4.ю)

4(3^ + а2(32) + N - д*Уг = 0; N +1 + ^ %\У = о

ЬЗдо, =М1-у(М2+Н); Ьа2ф2 = М2-у(М, + М); 0 = КГ-у(М,+ М2)

н=а|(а,ф2+а2ф,); д, = а1\у+ф,=р,; сь = а2\у+ф2 = р2

Випадок 2. Перевага, у тому ж випадку, V/ над ф,, ф2 дае:

Э1М! + Э2Н - - = 0; Э,Н Э2М2 - 8а|<32 - Э?ф2 = 0 (4.11)

Ъд&х = - у(М2 + Ы); ьа2ф2 = М2 - \(М, + Ы); Ь\¥ = N - у(М, + М2)

Н = а|(а,ф2 + Э2ф1); <3, = 02 = Э^ = р2

Випадок 3. При повшьнш змш1 по х,, Х2 та ще бшьш повигсьнш змш'1 по I одержуемо спрощенш р1вняння:

а^ + ЭгН-Ва^д^О; дхЯ+д2Ы2 -8а|02 = 0 (4.12)

01(3,0,+ 3202)+N-3^ = 0; N + ¿3^ = 0

Ь3,ф! = М, - уМ2; Ь32ф2 = М2 - уМ,; Ь\У = -у(М, +М2)

Н = а| (3,ф2 + д2<1>1); 0 = + ф^ 0 = 52w + ф2

Це класичн! р^вняння вигину пластини, що записан! у тих же безрозм!рних величинах, що й ршняння (4,9).

Випадок 4 приводить до р1вняння:

3?\У + 24\У = 0, (4.13)

що описуе коливання шару, пов'язаш ¡з змшою його товщини.

Випадок 5 приводить до р1внянь:

+ 8^3, = 0; ^р2 + 8^Э2=0, (4-14)

що описують зсуваюч! коливання шару.

У сукупност1 випадки 4 та 5 доповнюють випадок 3, осшльки вра-ховують саме т1 детал1 напружено-деформованого стану шару, яю не фхк-суються класичними р1вняннями вигину. Урахування коливань, що вщпо-вщають випадкам 4 и 5, I складае головну вщмшу рГвнянь (4.9), що про-понуються, вщ класичних ртнянь.

Ивняння (4.9) у одномерному випадку (до=0) мають вид:

3?Ф, + сЗ, - 8^(3^ + ф,) - 3?ф, = О (4.15)

+ еЗдо, + W - д\\у = 0; + сг,ф, + \+ ^ = 0

Вони описують розповсюдження пружних хвиль з двома фронтами: х=^ - фронт хвиль вигину та х=а^ - фронт хвиль зсуву. У вщповщност1 до цього, процедура пошдовних наближень, що мае опору на спрощенш р!вняння (4.10) та будуеться також, як для р!вняння Клейна-Гордона, приводить до наявност!, у кожному наближенш, двох доданмв, вщповщаючих двом фронтам. Зокрема, для ф[ маемо:

1 1 . . , Ф^ХФ.'^^-х^-' + ХФ^ХН^-Х)^1"1 (4.16)

Н 1=2

У подальшому процедура мае такий же вид, що й рашше, вщр1з-няючись тиьки природною большою гром13дк1стю. Для випадку раптово прикладеного постшного згинаючого моменту та вщсутност! на гранищ х=0 нашвнескшчено!' х>0 пластин! перер1зуючей сили одержуемо результата, як1 для вигинаючого моменту М! граф!"чно зображеш на рис. 6.

Окр'ш основних результатов, що вщпов'щають бшьш точнш теорп (жирна лшя), тут же зображеш результата у в1дповщност1 до теорп типу Тимошенко (тонка лМя), класичноУ теорп (велию кружки) та фор-мули для прифронтовоУ зони (маленью кружки). Остання одержуеться таким же чином, як у попередшх випадках I мае вид:

М^ЛсДг,); г^^бгхО-х); г = 1 + 2с2 (4.17)

Результати по теорп типу Тимошенко одержуються таким же чином, як 1 по уточненш теори, але тут м!сцезнаходження хвильових фрон-т1в буде шшим.

Для отримання результат по класичнш теорГ]' використовуеться одновим!рний вариант р1внянь (4.12). Рппення щх р^внянь розщукуеться, у вщповщност! ¡з загальним пщходом, застосованим у данш роботу як ¡нвар1'антно-групове у вид!:

Ф = ^1ф(1); лу = И„(1); М=1м(1); <2 - 1 = ^ (4.18)

У шдсумку одержуються звичайш диференщальн! р!вняння вщносно ¡нвар1ант!в, р!шення яких отримано, практично, у замкненому виглядк

Пор^вняння результат, отриманих по биьш точней теорп та теори типу Тимошенко показуе, що основна р!зниця спостеркаеться у при-фронтовш зон!, по-перше, через р!зницю у швидкостях руху фронт!в по двох теор!ях, ! по-друге, через р!зницю у частот! осшляшй. Позаду другого фронту (хвиль зсуву) спостер^гаеться добре узгодження б!льш точних результате з результатами по теорп типу Тимошенко; тут же спо-стеркаеться \ добре узгодження з результатами, отриманими по класичнш теорп.

Розглянута також задача про дто на границю х=0 натвнескшченоУ пластини раптово прикладеноТ постшноТ перер!зуючоТ сили. В!дпов!дн! граф!ки для перер!зуючоТ сили С^ зображен! на рис. 7.

Повторюючи тут те ж, що було сказано по вщношенню до графшв, зображених на рис. 6, накреслимо на р1зниц1 у результатах по б'шьш точшй теорп та теорп типу Тимошенко на другому фронт! (хвиль зсуву).

У ц!лому результати, одержан! у четвертш глав!, показують можли-В1'сть практичного застосування отриманих уточнених р!внянь динам!ки пластин до виршення задач про випромшювання нестад!онарних пруж-них хвиль ! дозволяють пор^вняти знов отримаш результати з вщомими

¡з вказанням таких яюсних явищ, яш не фшсувались класичними моделями.

Рис. 7

У п ят1Й глав! розглядаеться вивщ динам!чних р1внянь теорп оболонок 13 динам!чних р1внянь теори пружностк записаних у дов!льнш ортогональнш криволшшнш систем! координат. Головна вщзнака таких ргвнянь В1д ршнянь (3.1) е, по-перше, у тому, що диференщальш опера-тори д[ одержують множники 1/Н„ де Н, - це коефищенти Ляме, а подруге, у появ! додаткових члешв з коефкцентами виду:

(5.1)

1 ян

н,- — ! (и = 1,2,3;

4 Н;Н3 дх}

Коефишенти Ляме ощнюються разом з вшювщними дифе-ренщальними операторами; нов! параметри асимптотичного 1нтегрування потр1бу-ються для ощнки ваг шести коефищент!в (5.1), що задають кри-визни координатних лшш. Знаходження нових параметр1в виконуеться тут з використанням заданих значень попередшх параметр1в. Розгляда-готься т1 параметри, що призвели у четверт1Й глав! одночасно 1 до симет-ричних 1 до антисиметричних уточнених динам1чних р!внянь пластини. Нов! параметри знаходяться, виходячи з критерш мишмального спро-

щення, ¡з додатковою умовою, шоб жоден з нових доданюв не перевер-шував тих, що залишились вщ випадку декартових координат.

По-друге, при побудов! процедури послщовних наближень доводиться розкладати у ряди не тшьки шукаш функил, але й змшш коефи-щенти. При цьому необхщно дотримуватись тих же правил, що й для шуканих функщй. У частковому випадку спещал1зованоТ системи коор-дшат, коли коордшатш лши на серединнш поверхш оболонки е лЫями кривизни, асимптотично обгрунтованими е вирази:

- = 1; Н31 = 0; Н32 = 0 (5.2)

J___1 х3 , 1 1 х3 , 1 =

Н1 * А, А,И1' Н2 " А2 " А2Я2 ' Н3 ' ц ~ П32 *

X X 1 1

Н12 ~А,2-А12~-;Н21 =Л2| - А21——;Н,3 -;Н23 — кг к2 к, к2

Величини А1, Аг, Нь Й2 не залежать шд х3 та е, вщповщно, кое-фищентами першоТ квадратично'1 форми та головними рад!усами кри-В13ни вихщдоТ поверхш.

Остаточно, застосування т1'е' ж методой, яка була використана у третШ глав!, дае таи динаинчш р1вняння теор1У оболонок, записан! у безрозш'рнш форм! для часткового випадку ш'дсутност! навантажень на лицевих поверхнях:

—а,М1 + А21(М, -М2)+~^-д2Н + 2А,2Н-8а|0, -с^ф, = О (5.3)

А] А2

—д,Н + 2А2,Н+—д2М2 + А12(М2 -М,)-8а|02 -<Э2ф2 = О

А, А2

^ (А" 5,(21 + + /Г^2 + А,2д2) + М " ^ = 0

Л. Ъ— к, +к2

«1 1*2

-Цт, + А21(Т, -т2) ++ + + = 0

Л, А2 ЧК, К2У

ь (-~-а,<р, + А12ф2) = М, - у(м2 + К); ь[ ~д2<?2 + А21ф, = М2 - у(М, + И)

1

1

Щ р5вняння об'еднують, для випадку оболонки, ршняння (3.15) та (3.24), яш були незалежними для пластинок. Тому до них стосуеться усе, сказане вище у випадку пластинок.

Розглянутий також випадок довшьно!" криволшшжп ортогонально! системи коордшат. У цьому випадку з'являеться можлив1сть викори-стовувати у якост1 координатноТ отки на серединшй поверхш оболонки не обов'язково лти кривизни. Кр!м того, з'являеться можлив!сть вра-хоЕувати зм!ну товщини оболонки.

У вс!х випадках наведен! повш асимптотичш ощнки отриманих результат. 1з цих ошнок видно, що уточнен! р1вняння, що пропонуються, придатш для оболонок пор!вняно великоТ кривизны та для опису пор1вняно швидкозм1нного напружено-деформованого стану.

У шостш глав1 р1вняння, виведен1" у п'ятш глав1, додатково вив-чаються за допомогою асимптотико-групового анал!зу. При цьому одер-жуються, по-перше, р1зш вар1анти спрощенъ, вщповщаючих прифронто-вим зонам та р!зним комбшащям ваг шуканих функцш. По-друге, розгля-

нут! випадки швидкозмшних напружено-деформованих сташв, коли пере-важаючими е чи моментш, чи безмоментн! ефекти, 1 оболонка, фак-тично, вироджуеться у пластинку.

Найбтьш цшавими е р1'вняння пологих оболонок. Вони вщповща-ють пор1*вняно повигьшй зм1"ш по координатах та ще б!льш повшьшй по часов! напружено-деформованому станв!. При цьому моментий (антиси-метричний) стан б динам!чним, а безмоментний (симетричний) - кваз!-статичним.

Одержан! також динам!чн! р!вняння безмоментних оболонок. При цьому кр!м класичного вар1анту, який вщповщае пор!вняно великш кривизн!, одержаний також ! вар}ант пологих безмоментних оболонок. Цей останшй доповнюе моментш р^вняння; у сукупноеп два одержаних вар!анти динам!чних р'щнянь пологих оболонок дозволяють вир!шувати будь як! граничш задачи для оболонок невелико'1 кривизни.

Для оболонок, близьких до цил!ндр!чних, одержан! квазюднонирш р1вняння, под!бн! до р!внянь балки, яка лежить на пружшй основ!.

У сьомш глав! вир!шено ряд задач про випромшювання нестац!-онарних хвиль вщ торца осесиметричноУ цилшдричноТ оболонки з вико-ристанням отриманих уточнених р!внянь. Дослщження прифронтових зон провадиться таким же чином, як для пластинок; результата для цих швидкозм1Нних зон практично не вщр!знятоться вад вщповщних резуль-тат!в для пластинок.

Принципово нов! результати отримуються для приграничних зон з повшьною зм!ною шуканих величин. Тут виявлений так званий ефект подв)йно1 перебудови.

У випадку повздовжнього навантаження цей ефект зводиться до послщовного виникнення двох кваз!фронт!в. Перший кваз!фронт виникае з тих же причин, що й для пластинки 1 пов'язаний з самовр1"внова-женими коливаннями по товщиш шару, внаслщок чого тривим!рний напружений стан вироджуеться у двовим!рний. Але у випадку осесимет-ричноТ оболонки виникають також самовр^вноважеш кигьцев! коливання,

яга приводить до перетворення двовтпрного напруженого стану вже у одновимфний (з збер1ганням тшьки повздовжнього зусилля 1, вщповщно, до появи ще одного кваз1фронту, що рухаеться ¡з швидшстю розпов-сюдження пружних хвиль у стержш. Граф1чно щ результати для повздовжнього зусилля Ту зображен! на рисунках 8 та 9.

Розглянутий випадок раптово прикладено"/ постшноУ повздовжньоТ сили та пор!вняльно велик! момента часу, при яких поблизу першого фронту х=^ частота осциляцш дуже велика. Але при цьому поблизу ква-з)'фронту х=а^ осциляци тшьки починають формуватися, оскшьки Ух частота значно меньша. П!сля проходження другого кваз1фронту х=а21 осциляцп затухають.

Для випадше ди на торець оболонки раптово прикладених згина-ючого моменту чи перер1зуючо1 сили ефект подвшно! перебудови метиться у тому, що у зон'1 В1д першого до другого фронту оболонка поводить себе, як пластинка, оскшьки для швидкозмшних напружено-деформованих сташ'в кривизна оболонки не вгд^грае пом1Тно1 роли Гйсля проходження другого фронту все ще збер1гаеться досить швидка змша напружено-деформованого стану, 1 оболонка, як 1 до того, поводить себе як пластинка, але вже у вщповщност1' до класичних р)внянь вигину пла-стини. Ближче до границ] починав виявлятися той факт, що для осе-симетрично'1 цилшдр!чноТ оболонки види навантажень, що розгляда-ються, е самовр!вноваженими та встановлюеться статичний пригранич-ний стан. Уа щ ефекти добре видш ра рисунках 10 та 11, на яких, на вщмщу вщ рисунгав 6 та 7, тонкими лшями зображеш статичш результати.

Таким чином, 1 тут демонструються можливост! асимптотико-гру-пового анализу, пов'язаш ¡з знаходженням яюсних ефект1в, яю було б важко виявити ¡ншими засобами.

У заключен»! сформульоваш основы! результати дисертащТ, яю мктяться у наступному:

- розроблений метод сумкного застосування теора груп та асимп-тотичного анализу;

- вказаш можливосп застосування цього методу для виршення задач про випромшювання нестацюнарних пружних хвиль у конструкциях р1зних видш.

- виведеш нов! вар1анти динам!чних р1внянь пластин для симет-ричноТ та антисиметричноУ деформацш, у вщповщност! з якими швидкос-

Т1 розповсюдження хвильових фронтов ус1'х вид!в е такими ж, як зпдно з тривим1'рними р1вняннями теори пружность

- вир1шено ряд задач про випромшювання нестацюнарних пружних хвиль на баз1 як заново запропонованих, так 1 рашш вщомих р!внянь теорп" пластин; проведений пор!'вняльний анал1з одержаних ршень; при цьому показано, що уточнен! ршення краще описують прифронтов! зони, шж рппення на баз! вщомих р!внянь, даваючи, у той же час, добре узгодження з вщомими результатами на вщсташ вщ фронт!в.

- виведений новий вар!ант динам!чних р!внянь теори оболонок, що вщповщае оболонкам велико! кривизни та швидкозмшним напружено-деформованим станам ! вщповщаючий таким же швидкостям розповсюдження хвильових фронт)'в усих видав, як ! згщно до р!'внянь теори дружность

- на баз! знов запропонованих р!внянь проведений розгляд асимп-тотичноТ обгрунтованост! вщомих р!внянь теори оболонок; показано, що найбшьш обгрунтованими е р!вняння пологих оболонок.

- виршений ряд задач про випромшювання пружних хвиль вщ торца нашвнескшчено! цил!ндр!чно1 оболонки; показано, що в уах випадках навантаження збурена зона розд!ляеться на три облает!, як! дуже в!др!з-няються одна вщ шшоТ.

Отримаш результати досягнут! при використанн! найбшьш простих вар!ант!в метод!в теори груп та асимптотичного анал!зу. Це дозволяв над!ятись на досягнення бшьш значних результат!в при використанн! уа'х можливостей даних метод!в.

Конкретний власний вклад автора у розробку результат, що опублтоваш у нижчеперел1'чених роботах.

Розроблений метод сумкного застосування апарат!в теорп груп та асимптотичного анал!зу [2,3,4,5,6,16,211.

Показана технолопя застосування цього методу при виршгенш задач про випромшювання нестащонарних пружних хвиль [1,7,9,10,11,15, 16,17,18].

Розроблений алгоритм та складена програма його реал!зацЯ на ЕОМ для пошуку параметров асимптотичного ¡нтегрування у багато-вим!рному випадку [19,20,21].

Одержан! hobí вар!анти динам1чних р1внянь теори пластин та обо-лонок; на Тх ochobí виконаний асимптотичний анал1з вщомих вар!ант0в Р1внянь [8,12,13,141.

Виршений ряд задач про випромшювання нестащонарних пружних хвиль на 6a3Í як заново запропонованих, так i вщомих ровнянь; проведений пор1вняльний анашз отриманих pioieHb [1,7,8,11,12,13,15, 16,17].

Ochobhí положения дисертацп вщображеш у наступних публь кащ'ях:

1.Жупиев А.Л., Шамровский А.Д. Решение некоторых динамических задач плоской теории упругости. В сб. Гидроаэромеханика и теория упругости, вып. 16. Изд. Днепропетровск, ун-та, 1973. с. 83-89.

2. Маневич Л.И., Павленко A.B., Шамровский А.Д. К решению плоской задачи теории упругости для ортотропной среды. В кн. III Всесоюзный съезд по теоретич. и прикл. механике. Аннотации докладов. М., «Наука», 1968. с 47.

3. Маневич Л.И., Павленко A.B., Шамровский А.Д. К решению плоской задачи теории упругости для ортотропной среды. В кн. Вопросы прочности, надежности и разрушения механических систем. Днепропетровск, 1969. с.15-25.

4. Маневич Л.И., Павленко A.B., Шамровский А.Д. Применение методов теории групп к решению динамических задач для ортотропных пластин. В кн. Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. Днепропетровск, 1969, М., «Наука», 1970. с. 408412.

5. Маневич Л.И., Павленко А.В., Шамровский А.Д. Приближенное решение контактных задач теории упругости для ортотропной полосы, подкрепленной ребрами жесткости. В сб. Гидроаэромеханика и теория упругости, вып 13. Изд. Днепропетровск, ун-та, 1971. с. 102-112.

6. Маневич Л.И., Шамровский А.Д. Групповой анализ динамических уравнений плоской задачи теории упругости. В кн. V Всесоюзный симпозиум по распространению упругих и упруго-пластических волн. Тезисы докладов. Алма-Ата, 1971. с. 37.

7. Пожуев В.И., Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Распространение антиплоской самоуравновешенной упругой волны от границы полупространства. Изв. РАН, МТТ, 1996, N 2. с. 124-133.

8. Пожуев В.И., Шамровский А.Д., Скрыпник И.А. Уточненное исследование распространения плоских волн в упругом слое на основе двумерных уравнений. Изв. вузов. Строительство. 1966, N 7. с. 44—48.

9. Свеженцев А.А., Шамровский А.Д., Пожуев В.И. Исследование прифронтовых зон в задаче о распространении упругих волн от края кругового выреза в случае антиплоской деформации трансверсально-ортотропного тела. В кн. Математическое моделирование физико-математических полей и интенсификация промышленного производства. Запорожье, 1995. с. 10-15.

10. Свеженцев А.А., Шамровский А.Д. Характер волновых фронтов при излучении от края кругового выреза в трансверсально-ортотроп-ной среде. В кн. Математическое моделирование физико-математических полей и интенсификация промышленного производства. Запорожье, 1995. с. 15-21.

11. Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости для случая антиплоских волн. В кн. Theoretical Foundations in Civil Engineering/ Тезисы докладов международной конференции. Dnepropetrovsk. Warsaw, 1993. с. 44-49.

12. Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Двумерное моделирование трехмерных продольных волн в плоском слое. В кн. Математическое моделирование физико-математических полей и интенсификация промышленного производства. Запорожье, 1995. с. 43-50.

13. Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Двумерное моделирование трехмерных поперечных и изгибных волн в плоском слое. В кн. Математическое моделирование физико-математических полей и интенсификация промышленного производства. Запорожье, 1995. с. 51-56.

14. Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Графическое моделирование волновых процессов в пластинах и оболочках. Тез. докл. междун. н.-практ. конф. Мелитополь, 1995. с. 164.

15. Шамровский А.Д. Применение методов теории групп к решению задач теории пластин типа Тимошенко. В сб. Гидроаэромеханика и теория упругости, вып. 14. Днепропетровск, 1972. с. 157-164.

16. Шамровский А.Д. Применение методов теории групп к исследованию волновых процессов в упругих пластинах и оболочках. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Днепропетровск, 1972. с. 127.

17. Шамровский А.Д. Распространение упругих волн от края кругового выреза в цилиндрической оболочке типа Тимошенко. Изв. АН СССР, МТТ, 1974, N 4. с. 69-79.

18. Шамровский А.Д. Исследование прифронтовых зон в задаче о распространении упругих волн от края кругового выреза в цилиндрической оболочке типа Тимошенко. Изв. АН СССР, МТТ, 1976, N 6. с. 59-67.

19. Шамровский А.Д. Алгоритм поиска параметров асимптотического интегрирования в задачах теории пластин. Изв. АН СССР, МТТ, 1978, N 5. с. 194.

20. Шамровский А.Д. Асимптотическое интегрирование статических уравнений теории упругости в декартовых координатах с автоматизи-

рованным поиском параметров интегрирования. ПММ, 1979, том 43, вып. 5. с. 859-868.

21. Шамровский А.Д. Алгоритм поиска упрощенных моделей сложных систем. В кн. Вопросы механики и прикладной математики, вып. 3. Изд. Томского ун-та, 1981. с. 13-26.

Shamrovsky A.D. The asymptotic-group analysis of differential equations of the theory of elasticity.

Dissertation on the degree of doctor of physical-mathematical sciences on speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid body, Dnepropetrovsk state university, Dnepropetrovsk, 1997.

Twenty one scientific works are defended, which contain a method of joint application of the theory of groups and asymptotic analysis and received on his basis specified dynamic equations of the theory of plates and caps, as well as problem about the radiation of non-stationary elastic waves, resolved with application of a offered method on the basis as known, as again received equations with the comparative analysis of results.

Шамровский А.Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Днепропетровский государственный университет, Днепропетровск, 1997.

Защищается 21 научная работа, которые содержат метод совместного применения теории групп и асимптотического анализа и полученные на его основе уточненные динамические уравнения теории пластин и оболочек, а также задачи об излучении нестационарных упругих волн, решенные с применением предлагаемого метода на основе как извест-

ных, так и вновь полученных уравнений со сравнительным анализом ре зультатов.

Ключевые слова: теория групп, асимптотический анализ, теорш упругости, теория пластин, теория оболочек, нестационарные волны волновой фронт, инвариантное решение, тонкий слой, скорость распро странения фронта, прифронтовая асимптотика, приграничная асимпто тика, квазифронт.