Асимптотика акустических полей в волноводах с локальными сингулярными возмущениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОСТОВСККИ ОРДЕНА ТРУЛОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВШШ ЭТШЙРС1ГСЕТ

' Стциалиаировашшй Сок«т К ОбЭ.бЙЛЗ

• но {изико-мвтвиатнческш цаукш

НА ПРАВАХ Г'УКОЯМГ»

íilíXAJflCOIîii1 Ï Станислав Стшшславсшч

АСИМПТОТИКА АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕЙ В ВОЛНОВОДАХ С ЛОКАЛЬНЫМИ ШГУЛЯРНЫМИ ВОЗМУ1Ц£НИ»44

01.01.02 ~ дадеирвтдеалыша уравшишя

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискянав ученой ствпаиш кандидата ^изико-иатвмагкчвсках наук

1х1а'гон-нн~Дону 1933

Работа выполнено в Ростовском государственном университете .

№учпый руководитель - доктор физико-математическая наук,

инициальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

доцент М.Г.Селезнев; кандидат Физико-математических наук, доцент Л.И.Сезонов

Ведущая организация - Институт прикладной физики РАН

суждению ученой степени кандидата физико-математических наук ь Ростовском государственном университете по адресу:

044104, г.Ростов-на-Дону, ул. Зорге, б, РТУ, механико-математический факультет.

С диссертацией мокко ознакомиться в нвучной библиотеке Ростовского государственного университета но адресу: г.Ростов-на-Дону, ул.Пушкинская, 148.

Автореферат разослан _^ _19Э?(*г.

профессор й.Б.Симоненко

(г.Нижний Новгород)

'¿Г"

Секретарь

специализированного Совета К 063.52.13, доцент

/

В.Д.Кряквин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Эллиптические краевые задачи при малых сингулярных возмущениях области изучались шгаи авторами (А.М.Ильин, В.Г.Мэзья, С.А.Назаров. Б.А.ИламеневскиЙ. В.М.Бабич, В.О.Готлнб и другие). Одно из их нэпосредстшош. физических приложений - задачи дифракции на ма.шк (по сравнению с длиной волны) рэссеивателях - возникают во многих разделах физики (акустика, оптик», радиофизика, теория упруго ста) .

Распространено мнение, что при численном решении этих задач достаточно ограничиться главним я, возможно, однш--двуми старшими членгми асимптотики. Видимо, поэтому анализу полной асиьягготики ке уделяется достаточного вншания.

В настоящей диссертационной работе показано, что асимптотика дальнего поля представляет собой сходящийся ряд (что, насколько известно автору, ранее нигде не отмечалось}. Это позволяет веста вычисления и в случае» когда характерный размер рассеиватедя сравним с длиной волны. Численяне расчета в этом случае требуют, однако, суммирования большого количества членов ряда.

Настоящая работа призвана создать эффективный алгоритм построения полной асимптотики. Такой алгоритм должен бить текке универсальным в следующем смысле: получаемые на его основе формулы для главного и старших членов асимптотики должны явно включать группу коэффициентов, характеризующих данный рассеиввтель при отсутствии волновода, группу ко&Ф£и-циентов, описывающих невозмущенный волновод, а также коэффициенты, определяющие возмущаемое ноле. Таким образом, например, при помещении в дашшй волновод различных расссиватзлей г'уд"? требоваться лишь перерасчет коэффициентов, характеризующих рассеиватель.

Отдельные части проведенных исследований, кроме того, могут представлять интерес как при обосновании корректности задач дифракции в волноводах, так н при расчета1; на ЭВМ функции влияния некоторых модельных волноводов и ее нроиакодш.'х вблизи от исгочянка.

Цель работы. Создание &ффективного и угашерсального алгоритма построения полной еснмптотихи дальнего поля; анализ численных аспектов возникающих при этом задач; доказательство сходимости асимптотического разложения для дальнего поля; исследование корректности задач дифракции в волноводах на малых рассеивателях различных типов.

Методика исследования. В диссертации используются метода теории волноводов, асимптотические метода, теория потенциала и теория обобщенных решение эллиптически краевых задач в пространствах Соболева.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. № ш можно выделить:

- алгоритм построения универсальных формул для коэффициентов асимптотики дальнего поля;

- доказательство сходимости асимптотического разложения дальнего поля;

- модово - лучевой метод расчета ф/нкции Грина однородного волноводе с прямоугольным сечением;

- доказательство корректности задач дифракции на малом негладком рассвивателе в локально однородном волноводе.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные универсальные формулы для асимптотики дальнего поля могут использоваться прь расчете акустических полей в волноводах с малыми включениями различных типов. При это« коэффициенты, связанные с малым рассеи-вателеы, могут быть получены с пошаыо экспериментов в других, более простых с точки зрения постановки эксперимента волноводах (в т.ч. ив однородном пространстве).

Результаты, касьвдиеся Я-шаровых функций и свойств коэффициентов разложения по этим Функциям, могут быть использованы при решении на ЭВМ задач, описываемых уравнением Гельмтльца.

Апробация работа. Результаты диссертация докладывались ав научном семинаре кафедры алгебры и дискретной математики Ростовского университета (руководитель - И.Б.Симоненко), на 2-8 конференции "Числешшо методы в современник волновых задачах акустики" (Москва,1988 г.), на 4-й Региональной школе-

-семинаре "Математические мегоди прикладной екустша!" (Одессе, 1989 г.).

Публикации. По теме .диссертации опубллковага 4 работы, список которых приводится в конце автореферата. Результаты совместных публикация принадлежат авторам в pfimroft степени.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введетая, четырех глав, приложения и списка литература из 32 наименований. Объем диссертации - 107 страниц меиино-писного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагаются основные результаты диссертации н проводится их сравнение с известными ранее результатами. В главе 1 строится модель локально однородного волновода с негладким рассеивателем. Главы 2 и 3 шсзянепа исследованию' асимптотика задачи дифракции на калом рассеквэтелс в однородном пространстве и в локально оиюродчом ролю золе соот-ветствешго. В главе 4 рассматриваются численные аспекта рз-ализации полученных асимтгготкч е сккг формул.

Параграф 1 главы 1 посвящен доказательству корректности внешних краевых задач с негладкой границей для уравнения Гельмгольца в пространствах Соболева. Здесь se вводятся необходимые определения и обозначения.

Через Sr(x) обозначается открытый ¡sap из Ш3 радиуса г>0 с центром в точке х; Sr=Sr(0); все функции предполагаются комплекснозкБЧшгш; под (•,•) иоиимззтся скалярное произведение в С3, под ?uv<p - величина (wu.vcp).

Определение. Будем говорить, что функция и принаддеетт классу Wk, кг0, если ь окрестности К3-бесконечности и определена, непрерывно дифференцируема и имеют место оценки

- и(х) = 0(1/г); = 3(1/г), г=|я|»1.

Основные пространства, используемые в работа:

0*4(2), открытое, гг>0. па2, - пространство п раз

непрерывно дайЕеренвдруемых в Q функций;

- банахово пространство ^./шпшй tkCn(RJ) с ограниченной HOl'MOK

* 1НТ2П

дШ1

гд& а - (а ,аР,а.ч) - мультшвдекс, 1Ри =

и

2*3

|а| -- а^а^а^;

банахово пространство функций и, определенных на Р и продолжимых до функций , с нормой

С£(?,Г), ГсР - пространство функций из с компакт-

нш носителем, обращающихся в нуль в некоторой окрестности Г; С/£(Т)=С°(Т,вР)\

Ир^ШшУ), ВД - пополнение пространство 0^(0,Р) по норме пространства Я^Ш);

Значок ~ над пространством функций означает, что рассматривается соответствующее подпространство функций с ограниченным носителем; значок ~ означает, что рассматривается пространство функций ц таких, что для любой функция

Хи принадлежит исходному пространству.

Далее формулируются обобщенные постановки четырех внешних краевых задач для уравнения Гельмгольца, (физически отве-чавдих абсолютно мягкому (задача 1), абсолютно жесткому (задача 2), ишодшсному (задача 3), и кидному (задача 4) рас-сеивателям. Ладил вначале соответствующие классические постановки.

Пусть £¿0; П - неограниченная область с непустой компактной бесконечно гладкой границей, моделирушая внешность раосеивателя; /*С£(П); п - ноле единичных нормалей на 60, внутреннее по отношении к 0. Требуется найти функцию удовла творящую уравнению Гельмголыш

и|р=и

Аи + кги - /

и некоторым условиям ль дО:

для задачи 1 - "¡^ для задачи 2 -

г О;

для задачи 3 - |5а= О, где о(х)е(^(еП) -

вещественнознэчшя фушсния.

В задаче 4 требуется найти функцию и<С(К3)ПС^Ш)П ПС^(В53\0)Г!5У*, удовлетворяющую условиям:

Ди + Кги = /, х<П;

Здесь и далее Шт, где Г - С1-гладкая поверхность, означает скачок функции ю на Г. определяемый как разность внутреннего и внешнего предельных значений V) на Г; р|п=1, р(дг)&р0>0; й0'.х)еС^(К3\П) - ведественнозначная функция.

В соответствующих обобщенных постановках задач 1-4 требования к гладкости существенно-ослаблены.

Длят унификации последующего изложения вводятся и-шссн mJ Ц=1,~,4> областей ОсГ3:

П^ВО,, если С - неограниченная область с непустой компактной границей;

0€Шг, если 0£ВП1 и для достаточно больших г вложение ¡Гд(ПП5г )<=£,, (ПГ^) вполне непрерывно;

если АсЮ, и 30 - липтщева;

0<Б0Л, если ПсШ, и Ш3\Г) непусто.

Вводятся также области Г^Г^Ш), П£ВП1? и пространства ^ равенствами

а таете пространства 0((7,Р), РсС, полученные пополнением множества функций и€^(0), обращающихся в нуль в некоторой окрестности множества Р. по корме пространства

га и) 1- Л%(х)и = 0, .тсО;

г1 .о

- Q -

Наконец, вводятся полуторалинейиие по двум последним аргументам формы bJ(G,u,tp) (J=l,-..4), где fcl^iQ), íUBfl^, uíWg«?), <p€$g(G). следуюцим образом:

b, (G,u,(p)= Г (<mv<j> - кгщ)<ЗУ:

1 Ja

be{G,u,(p)= J" (»"vy -

b, (G,u,<p)= Г (vuví» - + i оиф dS;

3 Jo Jaono

Ь4(0.и,ф)= | p(a)-(vuvip - к?0(х)щ\йЧ.

Здесь кг0, afjrJeLJóQ) - вещественнозначная функция; p(jc), h0(x) - онределешшв в Ш3 ограниченные вещественнозна-чныв функции; Р|0=1. р|жзЧд«С^(Шэ\п), p(x)*po>0; fc0|0=fe;

С помощь» введенных обозначений задачи 1-4 в обобщенной постановке формулируются единообразно:

Задача / (J-1.~.4). Пусть кг0. íKBfi,. filJD>l - функция с ограниченным носителем. Найти функцию li^tffjd^ífW* такую, что для любой <рей^<1>') выполняется равенство

fijO^,uJ,q>) - - | /ф cW.

¡r1

Дсиев индекс J используется иснлтительно Ом* ааОсошя типа рлосеиватгля; J-1,~,4.

Следующая лемма содержи? основной результат $1.

Лемма 1.7*^ Задача J (J=1,~,4) разрешима единственным образом. Причем, если F^lS- ограниченное измеримое множество, ÍY - открытое множество, íVcí), г>0 таково, что 6QpSr, то оператор„ сопоставляющий функции / о носителем, вложенным в Í, функцию uJ, действует как ограниченный из в 0^(0")

и из LJF) в ft'gíD^flS^). Норми а тих операторов равномерно ограничены по параметрам fceío.ft,), k0(x): 1&0IL

l°l¿ (da)50«-

<•) В автореферате сохранена нумерация теорем. лемм и утверждений, используемая в диссертационной работе.

В §2 строится абстрактная математическая модель произвольного локально однородного волновода.

Пусть Я,Я,- линейные пространства, xqíR3, О<rt<r0<«e,

(xj, S1=S ixn), Ы., Р'Я-<с\ (S0^1) - линейше го Р1

итераторы, ao=Ker F - банахово, Pjg - непрерывный; :

f2€lM(S0). Требуется найти перу (и,и), где- uíü, ü€C^(S°)fl

для любого pzl и выполняются следующие условия:

( fU = /., Ди + &ги = /_, ] 1 2 (1) I ÍU = TJjso4g^

Тредполагается, что данная задвча однозначна разрешила а сорректна в смысле выполнения оценки

C'l/alíjs0)'

да и ~ решение задачи (Í) с /,=0.

Задача (1) является абстрактной модель» волновода, эбладавдего лкаь тем свойством, что часть пространства S0 шполнена однородной: кидкостью (далее в 5° будут помещаться различные рассеиватели). В остальном волновод ножег быть фоизвольннм. Он может быть, например, заполнен частично гадкой, частично упругой средами. В соответствии с этим поле южет описываться в некоторых областях векторной, в некото->ых - скалярной функциями. Элементы пространства & и призва-ш описывать поля вне области S1, оператор Р согласует это юле с полем в S0.

Затем для задачи (1) вводится аналог функции влияния.

Лемма 1.9. Для каждого j/íS1 существует единственная tapa (G,(y).ff2(r.y)). (?,({/)€<32(^,£/)eGг<S0Ч{í/>>П^(S0\5,) :акая, что

Г (*»!/) + k\{x,y) = 0;

. Gz(x,y) - G(x,y,k) ограничена по .г вблизи у.

Здесь и далее G{x,y,k) = —- - функция влияния

даородного пространства. Вводится также функция

Далее формулируется некоторая задача о скачке, которая является основным инструментом как для доказательства корректности задачи о рассеивателе в волноводе, так и для сшивания асимптотик дальнего и ближнего поля.

Лемме 1.12. Пусть ГсЬ'1 - С3-гладкая компактная поверхность, /■о,/1€0*(Г), а - внешнее поле единичных нормалей на Г. Тогда существует единственная пара (и,ь), и€&0, ví02{S0\V), усС^ ) для любой компоненты связности О* множества 3°\Г, удовлетворящая следующим условиям:

Ти - и] » ¿и + й2и - О,

В §3 главы 1 формулируется задача о рассеянном поле £ локально однородном волноводе с рас:, ¡тивагелем типа пру заданном феС2(К3), моделирующем возмущаемое поле, найти пар^ 4 (и3>и>). у^йу^П?0). удо-

влетворяющую условиям:

для любой .(О^Л^.дй0)

Нетрудно видеть, что интегральное равенство в задаче (2) зависит лишь от поведения Функции ф в окрестности множеств!

Далее в §3 поквзиьается, что для (2) справедлив следу юащй аналог альтернативы Фредголъма.

?еореш 1.1. Если задача (2) имеет при ф-0 лишь три виаяьное решение, то она однозначно разрешала при любом ф.

В 51 глава 2 рассматривается задача для уравнен;! Гельмгольца с малым коэффициентом. Результаты этого парагра фа иызют £спож>гательный характер.

Параграф 2 глави 2 посвящен построению асимптотик решений задач дафракшго на малом ресойивйгеле /-того ша

(2

4) и ОДКО|ЮД!|ОН пр^стрнистве-

Вначале длн лябых «>0, Г;?К), ваояятси:

иноявство О -{.г: -.£,), {ей), кододадоицвв

с. 1-0 о о

внешность малого рйоегмнг.'ге ля,- я такие- мшкеспю

С . X г. # X

п а

функции л,р,£0 спяяанннв о о,р,Р.С) соотношешаш! о (.г) - о(т0^;(.т-гГ1))г р(д-) = рцо4ичг0));

Ч^рез Б е обозначаются фо|«ы Ь .. отпечаоцив области (1

взамен 0 а функциям 3»р,Ь() к»,-л<о;н а,р,к}.

Затем формулируется задача рассеянна на малом включении /-того типа в однородном пространства: ¡три ааданиих ОеШ., ФеСя(Кэ), нийти- функцию ч{, опрадвданнуп ь О* ,

а

ПС" (С!, .. ), и/-4'<^,(Г>> ^ ), такую, что для шхЮЙ щ*.(1>! ю )

о

Ь. (1>* х = Г (Аф * М- О)

./.г с

е , л

о

Теорема 2.2. Пусть 11,6/31,, 60 - (Т-глпдиа!!, х,"

опиратор, сопоигашжщцД Фуишош и, оираделонмоЗ и йЛЙ,»

Функции и - ( ' . . ; К. (ен)) • оператор, сопссшм\-

I и(х), .г<2)^40, е

эдкй Функщш щС^Ш, )ПЯГ°, Аи-О, фу'шщш И, опред,>;мииуп 8

/>^4(30, елвдумцкм образом:

О, «/Лп,.

Г [Ы(11) ^Ц^Ш- . ^-оа-.у./из))«^ , Х<п,.

йа ,* у у '

где гг - поло единичны! нормалей к , аюшбв к О,. 1'огда существуют «дннотяешша пасдадоаатв-шюсги функшМ и^ •:, (>-'•'", аишдаленннх. соответственно а О, и ]>Чй. и удовлетьо-

^ ' 1 I

ряыда условиям

>ГК?(1» для любого ItefKÖ,. öZXldfi=0. такие что для функции ir(x) - и* (х0+е(х~х0) ) с1фаведливо асимптотическое разложение:

оо

^ п-о

понимаемое в следуадам смысле: для любых е0>0 , целшс неотрицательных в,1, любого множества D<=040,, 9DPöQ=0, существует такое сгО, что для всех е<[0,е0) имеют место оценки

Kti-fe^l^l-^jso.^'s

Л-О 1

и

fi-o

* 1

В 93 главы 2 исследуется асимптотика дальнего поля в однородном пространстве. Здесь и далее широко используются факты и свойства, связанные с ^-шаровыми функциями üj)'^» введенными в приложении следующим образом:

ü^'^U) (fcO; n=0,i,-; m=-nf-,n)- функции, определенные на R3 равенствами

iT'iiO) = m УМ<х). Й>О:

П,А . ¡г-Ю.ггО rt,Ä • Jr»0 n,A

(teO; n=0,1n=-n..~,n)- функции, определенные на R^NtO) равенствами

У^(^) - сферические функции, распространенные с Sx на

Кэ\(0> по формуле

Как показано в приложении, любая функция и. удовлетворяющая в окрестности 5 (г>О) уравнению Гелшгольца АтНги-=0, разлагается в в ряд

и = 1 <4> п=0 то=-п

сходящийся равномерно в для любого г' <г;

любая функция и, удовлетворяющая в К3\§г (г>0) уравнению Гельмгольца Ш+кги-0, разлагается в К3\5 в ряд

= 11

Си?* :<х), (5>

п п. я П=0 *1=-П

сходящийся равномерно в К3\5г> для любого г">г. Введем следующие обозначения:

я - оператор, сопоставлящий бесконечно дифференцируемой в окрестности точки з^еК3 функции, часть ее ряде Тейлора в точке х0, состоящую из полиномов степени ко выше Я; 4.» С{{ №•-»».-,п где С -

линейная оболочка;

П* я оператор, сопоставляший бесконечно дифференцируемой в окрестности точки диеК3 функции и частичную сумму

n п и

XI X Разложения (4).

п-0 п=-п

Основным результатом §3 является

Теорема 2.3. Существуют такие функции Ф^сЕ", , что

- * о *

для каждого множества такого, что х^д, справедлив«

асимптотические при е-»0 разложения

со

1—0

uU ~ ег У el4-{| , J=2,4, 0 ui D шаиыаекц;) в смысла иорш пространства G0(D).

Оператор а\, сопоставляющий функции функций

удовлетворяет условиям

f 4 -

1 (Ai - ^V*^-«.^.*5 »-ой — I.

Если функция Ф в некоторой окрестности точки х0 удонла-гноркаг .ураицсаиу Гельктолща ¿ф^ф-'-О, то

b §§4.6 главц 2 подробно наследуются главные члены асшитотши д&шюго поля в. однородном пространстве. Полу-чбыше формулы полностью аналогичны приведенным далей с тек-l'.'î« формулам ддй гламви членов асжштотшш дальнего пси.й и волноводе. . • .

Ттмоа й цосвящзиа коследонемиа малого включения в локально cjuuopoutioa ьо^кшода.

!s §i нокезуно, что при помещении в "корректный" ьолно-вод достаточно малого рассеивателя корректность зядсчи со • хранится.

Теорема П.i. Пусть Deiii^, ôikS'. Тогда существует такое iiot(0.l 1. чао гит всех й€(0,ео] и ф£Сг(К3) существует адин-ствзшая пара <и;',vJ')t vhtiUbï .. fis^nohs0^1 ),

t- С b U С С. С , «at °

iт П50)» удоачвтворящая следувдим уояоаияа:

два ¿йй5о£ «»if, Ад* Г6'0,05°)

б, п^.и^нм» « f „(¿ф + к*ф)ф да; (6)

•;'е е Jn ГШ

с , к

Б §2 главы 3 строится полная асшгготнка решений задачи (6). Вначале вводятся следукамо оСЗоз'.шч^шч:

s2=5r (X0), S3--Sr (Х0), где 0<r3<n,cr?f CQcS3;

в - баиаюео пространство функция uiC, Пй'*. удовлетворяли?. a ffP\S3 уравнению Гелздголъцп ¿.Utj/'u-O, с нормой

Я3- оанахово пространство функций wfl^jrhnc^fS3), удовлетворяющих a S3 уравнению Гельмгольца с кормой

3«!аз = luSCa,g3)i

Я, ,Кг- ллнейние операторы, сопоставдящие функшш /с® элемент и и Функции о соответственно, где сншделенн условиями ле?Аш 1.12, в которой T~dS2t f.-Д ... /,"• i о6

" (за- ' vn jdsv

n - поле единичных нормалей на as2, mcwse к S2;

Xj - оператор умновения на херактеристичаскуа фуякш®

мпокествя иУ ;

. «.«о

Лд - семейство линейны?, ошфчтеров, сопоставляйте

Функции' решение задачи рассеяния а о/а-ородасм пространства {3);

к{ . К* - семейства штШшж cwmтяров,

J. С J 4 С, К '

определяемых равелсгазыи

Из теоремы 3.4 следует, что яеего 8скш?0тячес!ш в смысле соответствующих оператор'«* яорк реажошм

ДО «я

Здесь и далее j.i3-2,

Затем редкие задачи (6) мщет«я ">» »идо

<

<эоч0зг)П1>/ 5 <а°\3зг

е ,*.

+ (7)

е, г

о о

' о

где такова, что фушпкя к и ее нормальная производная не претерпевают скачков на 03г. Реализация последнего условия дает следующие утверждения:

Леша З.Б. Пусть <|4>(сВ)= Тогда /•>= раз-

лагается в асимптотический в смысле сходимости по норме пространства В ряд

где ^ •' находятся из следуицих рекуррентных соотношений:

причем, сумма в (8) отсутствует, если ее верхний предел меньше нижнего.

Теорема 3.3. Имеет место асимптотическое по норме пространства ®0 разложение

Ой

и{ ~ £ (9)

где = К,^-^'. * ^

В §3 главы 3.приведены главные члены асимптотики дальнего рассеянного ноля в локально однородном волноводе. Теорема 3.4. Имеют место равенства

и^ - 4ке.ф(.т0) •сар(К3\П)>С1 (г0) + 0(ег)';

■2 _ _ оЗ,ь2т/лрЗ

ие =

+ М'*'««'^).^^)!^ ) + С(е4);

в " ег-фЦ,>"| обЗ-С^) + С(еэ);

ап

и£4 с е3-{- ЬгУ<К3\П> +• Г р^17} ф(.г0)-0,(х0) ♦ •

ог3\а__

» м<яг><о.р>.»ф<х0>.^г,су>|в,ж > +

Здесь Л<г>(0,р> - веществешше сииметрпческиэ

3x3 матрицы тензорного тина, зависящие лзпвь от области Оно? декартовой система координат сг в К3. сар(Ж3\П) - гармоническая емкость множества К3\П; У(К3\0) - объем мноаестпа КЭ\П,

Нетрудно видеть, что главный член асимптотики дальнего поля в случае абсолютно мягкого и импедансного включение создается монополем. а в случае абсолютно жесткого и жидкого включений - линейной комбинацией моноиоля и диполя. При 8том коэффициент при монополе пропорционален некоторой фундаментальной константа. Для абсолютно мягкого вклшения это - емкость рассеивателя, для абсолютно жесткого и падкого однородного включений - его объем, для включения с постоянным импедансом - площадь поверхности рассеивателя. Отметим такие, что квадратичная форма, отвечающая матрице ¿'"Ш), известна под названием диполыюа форм», ассоциированной с виртуальной массой.

В $4 глини 3 показано, что асимптотический ряд (9) для сходится (гри достаточно ы:шх е по норме пространства Й0. и главе 4 рассматриваются вычислите лыше аспекта реализации Формулы (9). Центральным в этой главе является §1, в котором онисивеотся алгоритм построения старших членов асимптотики дальнего поля задачи (6).

Определение. Будем навивать мщ*ирй опрожекия (кмнодо-да в точке .г0 группу коэффициентов (пгО, к^-и.-.п, •цгО, (1=-т},~,т)) разложения

£ ¡Г «0>

Определенно. Будем мазииать мтра&й [юссешим на миом вилтемш /-того тип« в однородном пространстве группу коеф-

фИНИННГОВ С*'^'] П'-0.....1-1, №--И.....П,

.....т)) ра:*ло*.!Ш);1

г111'п>Л

, п-1 ) ц-О

нмещего место согласно теореме 2.3.

Здесь г Л 1.п) = (

3 (п1па-г. ы-ю, /=2,з,4.

Теорема 4.1. Имеет место следующая формула для

коэффициентов и-' *' разложения (9):

т]=0 р. - -т) а€4ч

где

£ а=(а, ,а£,а3): а-мультиивдекс, <^=0,1; |а| имеет ту ке четность, что и т] | ;

3 I 1-1, /=2,3,4

(-1 )-п*',2з/гсй.а . коэф&шнентн разложения

= У ^'"^¡(х), (13)

справедливость которого показана в приложении;

коэффициенты Р^') удовлетворяют следующей рекуррентной системе:

' Ч:} ■ - %:)•ад,..

т^,<1-ц,+1 ),-,<? (I);

. Ч:} - - +

ПйО

<т> п

7=0 п=0 тп=-п

- IСа I t « -С':} Ь

agji^ р-0 q=-p т)-0 й—Ч

МО IV

lAJ> - коэффициенты разложения ^ (Ьыф)-Ут'1(г-тГ1);

n=0 14--Л

gn.» и c«.n.i _ ко5ф1н1шенти разложений (10) и (11) г,о ответственно;

♦ СО).

ü §2 глапи 4 для всех групп коэффициентов формулы (12) приведены расчетное формулы, а также сформулирован ряд свойств, поз велящих при расчета* на ЭПМ примерно на порядок уменьшить затрнти оперативной памяти и время вычислений. /¡¿я иллюстрации приведем одно из утверждений, касавдеесл свойств наиболее слозшо реализуемой группи коаффмциентон разложения (Iii).

Утверждение 4.7. Коэ^фщиенш ■ра;шлмния U.1) обладают плодущими свойствами:

1. с-*'" - (-1 )'л1с"1,р;

п ' п '

2. с",р - 0 при нечетном |т|ф,ф?;

3. с™,р вещественные при нечетном р;1 и чисто ühkwi.» при четном р?.

4. - (-1) ;

5. = 0 при р,чрг>|п|.

Отметим танке, что отдельный интерес здесь можат прад-

стввлять алгоритм расчета производши U I j, гда и-мультииндекс, вплоть до некоторого порядка пклкчит«лыю,

В S3 главы 4 приведены расчетные формулы ентов матрицы рассешгия пи малом абсолютно шгком шаровой включении. Показано тпкжв. что п отом случав в форму/.о (12) при 'Р[-jrr]. 1'Лв 1-1 — целая часть числа.

{4 посвящен описанию модово-лучепого алгоритма расчет» функции Грипп однородного волновода с прямоугодыпш ПЛЧЙПИОМ и жесткими стенками. Coiviacuo этому алгоритму >здпл,1 от Hi* тычинка Функция влиянии нычиоляотся но мг.дгямму ря:имжопи>»;

вблизи о? источника шачала внчисляется регуляризованнэя (за счет вычитания вклада основного и нескольких ближайших ит-ки. источннхоа) функция влияния с помощью интерполяции по рзввооустожш узла«, располокенным на луче, содеркащем при-ешшк к параллельном сгениам волновода; в каждом у зле для ее расчета используется кодовое раэлокение; затем к полученному результату добавляется вклад тех источников, которые вычиталась ранее. Данный алгоритм позволяет также вычислять вели-чянн , необходимые для расчета матри-

* д! ^ | О

из отражения волновода

Результаты расчетов ке (£?г{х0,х0) при й=1 для волновода с сечеш'.ек 6<7 лгр-л-едепы в таблицах 1 к 2. Здесь 5 - абсолютная погрешность вычислений, Б - число учитываемых мнимых источников, И - оптимальный (максимально возможный) для данного £' шаг интсрполящн, Г - время расчета в секундах. Программа, реализующая данные расчеты, была написана на языке Турбо Паскаль 5.5 и выполнялась на компьютере 1ВН ГС А? 236 (тактовая частота 12 МГц) с сопроцессором.

Таблица 1. 6=10"'г0=<0.0,3.1,3.6).

Ней Н Б Т

-2.1423752153Е-02 0.65 0 15.43

-1.1423752185Е-02 1.00 8 8.24

-2.1423752271Е-02 1.10 16 7.36

-2.1423752247Е -02 1 .40 24 7.14

-2.1423752196Е-С2 1.55 44 8.84

-2.14237522003-02 1.60 80 12.86

Таблице 2. в=1СГ!0, г0=(О.О.О.1,0.1).

Р.еС Н 5 Т

„■ п „ 0 «0

-1,13740712601^00 ' .¿ь з 6.38

-1.1374071261Е-» 01 1 .20 15 7.47

-1.1374071260Е100 1.35 24 9.05

Результаты расчетов свидетельствуя? о том, что метод наиболее аффективен в случае, когда источник близок к границе волновода (таблица 2); оптимальное число учптпваемих мнимых источников при этом равно 3. Если ко источник близок к центру волновода (таблица 1), то оятнум по времени достигается при учете 24 мнимых источников.

В 35 главы 4 приведены контрольные расчеты по формулам (9),(12) для малого абсолютно мягкого шарового включения радиуса е. помещенного в точку х0-(0.0,3.1,3.6) волновода с прямоугольным сечением и жесткими стенками с параметрами И=6, Ь=7, й=1; не возмущенное поле моделировалось при этом функцией влияшш этого волновода с источником, псмеазгашм в точку хв=(-10.0,3.5,3.5). Результаты расчетов, приведенные в тексте диссертации, свидетельствуют о том, что при учете семи членов ряда (9) абсолютная погрешность вычисления дальнего поля и£ в точке х=(100.0,3.1.3.6) составляет примерно 10"9 при е=0.1 а 10~7 при еМ3.2.

Стметим в заключение основные результата работы. Это формулы (12) для коэффициентов асимптотики дальнего рассеянного поля, формула для главных членов асимптотики (теорема 3.4), доказательство сходимости асимптотического разложения дальнего поля (5.1 главы 3), математическая модель локально однородного волновода (1) и доказательство корректности задач дифракции на малых рассеивателях в локально однородном волноводе (теорема 3.1), а такке численная реализация формул (12) (982-5 главы 4), в том числе модово-луче вой метод расчета функции Грина волновода с прямоугольным сечением (94 главы 3).

Автор глубоко благодарен своему научжшу руководителе Игорю Борисовичу Сиионакхо за постановку задач в постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Нозак A.B., Михалкович C.Ö., Снмоненко И.Б., Яновер В.Г. Q методах расчета волноводов с резкими неоднородности® // Материалы 2-й конференции "Численные метода в совре-мекных волновых-задачах акустики". - Москва, 1988 г.

2. Снмоненко И.В,, Михалкович С.С. Асимптотика акустического кола в волноводе с абсолютно жестким малш включением.

- ДСП. в ВИНИТИ 1.11.89, N 6617-В89, - 79 с.

3. №!Х8лкобйч С.С., Сшокенко К.Б. Асимптотика акустических нолей в волноводах с малыми включениями различных типов. ~ Леи. в ВКШИ 19.07.90, К 4Q71-B90, - 46 с.

4. ?&халкович С,С. Сходимость асимптотического разлоаения пая дальнего рассеяшюго поля в волноводе с малым абсолютно жестким включением. - Деа. в ВИНИТИ 28.10.92,

II 3123-892* - 8 с.