Асимптотика временной температурной корреляционной функции непроницаемого бозе-газа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный Университет

РГ6 од

на правах рукописи

Варзуган Геннадий Геннадьевич

Асимптотика временной температурной корреляционной функции непроницаемого йоэе-газа

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1993

Рабат выполнена в Санкт-Петербургской Академии аэро-коомяческоге приборостроения, кафедра высшей математик/.

Научны® руководители: ^

д.ф.-м.н., проф. А.Г.Изергин д.ф„-и.н„, проф. А.Г.Итс

Официальные оппонентыг

д.ф.-м.н., проф. В.Б.Штвеев к.ф.-и.н„0 Б.В.Суханов

Ведущая организация: Математический институт

иы.В.А.Стерто ва РАН /г.Москва/

Защита состоится " » в (1Г "чао,

на заседании специализированного совета К 033.57.17 по присуждению ученой отепеиа кандидата физико-математических наук б Санкт-Петербургском Университете по адресу.' 1&У034, Сшия-П^тербурГс Университетская набережная* 7/9.

С ядосертацаей.ийЕВо ознакомиться в библиотеке км.Горького.

Учений секретарь

специалЕэированцого

полета

С.Н.Манвда

Общая характеристика работы.

Актуальность теь-ц. Теория точно решаемых мололо!! статистической механики за последние десятилетия превратилась в самостоятельную область, богатую как конкретными результатами, так I: интересными нерешенным;? проблемами. Сегодня она продолжает активно развиваться. По-видимому, наибелаз значимым результатом в этой области является создание кзлнтового метода обратной задачи, с помощью которого удалось построить и решить большее количество двумерных моделей квантовой теории поля и статистической физики.

Эта работа посвяяэна модели непронииаемкх одномерных бозонов. Впер?не она была введена Жирардо в 1960 г. и обобщена Либом и Линигером, которые построили и решили модель одномерных бозонов с точечном взаимодействием.

Модель одномерных бозонов.принадлежит к широкому классу моделей в двумерном пространстве-времени, которые решаются методом анэатпа-Бетэ. Этот метод бил применен Г.Бета к изотропному варианту-магнетика Гвйаенберга а 1931г. Особенно интенсивно он развивался в шостидесятые-семидесятые, годы в работах Янгов, Либа, Сазерленда, Бакстера, Годика и друг*« исследователей.

Нредлотанний Бете явный вид собственных функция подзолист подробно изучить спектральные свойства моделей и провести аккуратный переход к термодинамическому пределу, а котором удается вычислить такие важные величины, пая энергия основного состояния, скорость звука и т.п. В частности, термодинамика модели одномерных бозоноц была построена Лигами в 1959 Р.

В данной работе щучена более сложная проблема - поведонне временной температурной корреляционной функции непроницаемых бозонов при больших временах и расстояниях. Возможность

■ - 4- .

такого исследования связана с недавно полученным результатом. Изергин, Итс, Корепин, Славнов показали, что коррелятор квантовой интегрируемой системы описывается классической интегрируемой системой. Эта связь осуществляется через явное представление корреляционной функиии как минора некоторого интегрального оператора. По существу, аналогичные представления известны давно. В 1965г. Лекаря назад формулу для одновременного коррелятора иепронинаещх бозонов, которую недавно обобщили Корепин и Славнов на случай зависящего от времени коррелятора. Важно заметить, что формулы Ленарда в полном объеме бйди испольээвшы только после создания метода обратной задач;? рассеяния. Так, Изергкн, Итс, Корепин на базо этих формул получили асимптотику одновременного коррелятора при конз-гнэг, температуре.

Отметь так&э результат Ддабо» Лива, Мори, Сато, который в какой-то степени показывает слокность проблемы изучения кор-.реляционных функций. В 1980 году они показали, что одновременной коррелятор непроницаемых бозонов при нулевой температура связал с реаением Пятого уравнения Пенлеве.

Цель работы. Упомянутые вьгое представления для корреляционных функций являются точными и позволяет изучать их поведение в любой области изменения параметров, от которых снм зависят С разность расстояний, разность времен, химический потенциал, температура). В данной работе определяется аскштотичо-сков поведение коррелятора при больпой разности времен и расстояний при уело.»«», что отношение последних остается конечным, иными словами, асимптотика коррелятора н«. лучах в двумерном пространстве-вре<ени„

Общая методика исследование, Главное значение представления коррелятора через ничар интегрального оператора состоит в том, что оно позволяет свести проблему исследования корре-

л'ягора к нроблеме исследования некоторой системы вполне интегрируемых нелинейных уравнений * В случае непроницаемых бозонов это нелинейное уравнение Шредингера / расщепленное/. Теория

таких систем хорошо разработана С помощью метода обратной задача рассеяния / МОЗР /. Это дает возможность применять пра изучении корректоров весь арсенал средатв, накопленный. в МОЗР. Ключевым эвеном в методе обратной задачи является матричная задача Рнмана. В итоге проблема построения асимптотики' корреляционной функции вводится к ас и мл тот и че с кому анализу некоторой матричной задачи Гимана. Лмя такого вналлэа наиболее приспособленной оказывается схема, предложенная Итзоы для решения проблемы построения асимптотики радения задача Коша вполне интегрируемкх уравнений.

Научная новизна. Теоретическая и практическая значимость работы. Корреляционные функции являются важными объектами в теоретической физике. В то же время возможность получения точных результатов по их поведению ограничена уже самой природой корреляционных функций. Поэтому представляется интересным решить эту проблему хотя бы для простых моделей.Полученный в зтой работе результат для температурной временной коррелята юй фуниши непроницаемых бозонов / речь идет о. корреляционной функции в реальном времени, а не о мацубаровской/•является лднкм из первых точных -результатов в этой области.

Как уке отмечалось,, это исследование базируетоя на том акте, что для коррелятора рассматриваемой модели, имеется •очное представление, которое позволяет свести исходную задачу ; анализу некоторой матричной задачи Римана. Аналогичные пред-тавления имеют место и для некоторых других моделей. При отом уть от представления до ответа., скорее всего» во многом схож представленным в этой работе.

Работа имеет теоретическое значение.

и ргб-мшив»

Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по геометрическим методам в математической фкзмка в Международном математическом институте имени Эддера / Санкт-Яетербург, ноябрь 19У2 г./. Результата работы опубликованы в двух статьях / 1/. / 2/.

Структура и объем са^отц.Диссертация разбита на девять параграфов. Общий объем работы 98 машинописных страниц. Список литературы содержит 31 работу.

Первый параграф представляет собой введение. Здесь кратко опиоана модель одномерных бозонов и предварительные результ ты. необходимые в дальнейшем.

В представления вторичного квантования гамилътониел этой модели

Содетданва работе.

Лапее рассматривается модель "непроницаемых бозонов". соответствующая бесконечно большой конст&итз с вяз**

Рассматриваемый в работе коррелятор определяется так:

Т - температура. Оказывается, он зависит существенным образов только от переменных: Х= ^О^Т' . ,

Для функции справедливо представление:

)

Определитель справа - определитель Фредгольма интегрального оператора, действующего на вещественной осн. Ядро этого оператора:

где (X) - известные функции, аависппше также и от X , Ъ "Потенциал" является одним из решений нелинейного уравнения Шредингера.

Основная задача построения аспштотики ^ ) при

^ > X с*э , и условии X/0(1-) во втором

параграфе сведена к асимптотическому анализу следующей аадачи Римана.

Х»=Х»С-(х)

(г)

СгСх) - матрица сопряжения задачи Римана.

1 / ч Л

/

При этом

Основная трудность асимптотического анализа задачи" Римана (2) при X. 4X5 и условии 0(1} » хорошо

известна в теории вполне интегрируемых систем. Она состоит с том, что фаза 9СХ,Ь,\) , 0(хД,Х) = iX;ЧxA имеет точку стационарной фазы Хс = - X/2А. иа вещественной оси. Аналогичная проблема возникает при асимптотическом анализе решений задачи Коши вполне интегрируемых систем. В основном она была преодолена Захаровым и Манаковым. Затем схема была существенно развита и приняла строгую форцу в работах Абловица, Сигура, Буслаева, Суханова, Новокшенова, Итса и других авторов. Для данной работы наиболее приспособлена схо-ма, предложенная А.Р.Итсом.

© питуаияи, когда химический потенциал положителен > О зидвц* икгет дополнительные особые точки —- нули функции Х'^Х^) н» вещественной оси.

а «• = о

Этот сдучай в терминах решения нелинейного уравнения Шредингера ( ) характеризуется наличием у него особенностей, при

этом определитель интегрального оператора имеет нули. Особенности и нули определителя взаимно сокращаются

® V*, к

В параграфе три ситуация стрэдя особыми точками: Х0= - X/> t сведена к обычной ситуации, то

есть, когда имеется только одна особая точка \0 . Эта процедура подобна процедуре "одевания4 солитонов, но зависит от параметров X ,

Окончательно, при исследовании задачи рииана <2) следует выделять три различные области:

1. Область отрицательного химического потенциала < О ).

2. Положительный химический потенциал, "пространствекно-подобная"область

3. Положительный химический потенциал, "времени-подобная" область

£>о 0 • Т

В последутоих параграфах выделенные три области рассматриваются по-отдольности. Важно отметить, что рассуждения для "пространственно-подобной" и "врэмени-подобной,> области существенно различны, но а окончательном ответе для асимптотики ^ ' это различие иэчезает и формулы а обеих областях формально устроены практически идентично.

Полученные формулы становятся неверными на лучэ X*

Результаты работы собраны в заключительном параграф«. Приведем главные из них:

При положительном химическом потенциале в "пространственно-подобной" и "времени-подобной" области имаем:

Ь^) = С С Х„,$) (41) ^^¡ЦЦ '

Нч^ - -^^К«*? + 1)ЛехР(х^) -1)1

функции .

зависят только от Х0 » ^ и вычислены явно. Функция

) Xо) определена с точностью до умножения на произвольную константу, не зависящую от X , ^ , , но которая может зависеть от того, какая область рассматривается - "пространственно-подобная" или "врвиени-подобная".

Для отрицательного химического потенциала имеем:

л , / '^У*- -О

Функции , ^^ те же, что и выше. В

отличив от предыдущего случая, фактор Со^Ч.^ едесь удается вычислить полностью. Явная форму.*« представлена в работе.

Полученные асимптотические формулы справедливы при условии, что ^ , "Ь являются положительными. На произвольные X , "Ь они переносятся по симметрии. Инвариантность гамильтониана относительно отражений дает;

Инвариантность относительно обращения времени приводит к формуле: __

Технические детали рассмотрены в параграфах 4-8. Ключевым здесь является явно заданная кусочно-аналитическая матрица, которая приближенно ретаот задачу Римана ( 2 ) при

^ < о или эквивалентную С 2 ) регуляризоваиную

задачу Римана при ф > о _ модифицированный анзатц Нанакова. Структура анзатца позволяет понять и способ регуляризации из параграфа 3. Самого го себе анэатша Манокбва еле недостаточно для вычисления коррелятора. Улучпенноз приближение построено в параграфах 7-8.

Все необходимые оценки доказаны в полном объеме и подробно пзяояены в диссертации.

Результаты диссертации опубликованы в гаурналах:

1. Варзугин Г.Г., йтс А.Р., Вестник ЛГУ, с.4, в.2, 1991.

2. 1Ь ЛД.Дг^^.^Ко^УГ., У/ад-аи^ Сг.О-.

54 стр.351-395, 1992.