Аттракторы уравнения Гинзбурга-Ландау и его конечномерного аналога тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КУЛИКОВ ДМИТРИЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

АТТРАКТОРЫ УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА - ЛАНДАУ И ЕГО КОНЕЧНОМЕРНОГО АНАЛОГА

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Ярославль 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных Ярославского государственного университета им. 11.Г. Демидова

Научный руководитель

доктор физико - математических наук, профессор Колесов Андрей Юрьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор Розов Николай Христович

доктор физико - математических наук, профессор Кубышкин Евгений Павлович

Ведущая организация

Самарский государственный университет

Защита состоится декабря 2006 г. в 16 час. на заседании диссертационного совета К 212.002.02 в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, 14

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

Автореферат разослан 'ноября 2006 г.

Ученый секретарь .

диссертационного совета ' Иродова И.П.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Современные методы качественного анализа дифференциальных уравнений берут свое начало в работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Г.Д. Биркгофа, A.A. Андронова. Эти методы стали актуальными, когда во многих разделах физики и в других естественных науках стало понятным, что линейный подход не может дать полновестиого описания большого числа явлений, а линеаризация дает слишком грубое приближение. В радиофизике важность нелинейного подхода была воспринята начиная с работ A.A. Андронова, Ван дер Поля. Нелинейный подход к физико - химическим и биологическим системам, начатый в работах И. Пригожина и А. Тьюринга привел к созданию нового направления в пауке - синергетике.

Начиная с работ Ван дер Поля, Дуффинга, неоднократно отмечалось, что наряду с изучением общей закономерности нелинейной динамики полезно рассмотрение некоторого количества конкретных динамических систем. Их анализ часто позволял с одной стороны проиллюстрировать накопленные методы качественной теории динамических систем, а с другой стороны часто подталкивал к созданию новых приемов и методик. Для этого достаточно вспомнить уравнение Ван дер Поля, систему уравнений Лоренца, исследованию которых посвящено большое число публикаций. Особенно убедительно при этом упоминание системы уравнений Лоренца и ее обобщений, изучение которой подтолкнуло к созданию нового направления качественной теории дифференциальных уравнений - хаотической динамики.

В работе рассматривается одно нелинейное уравнение в частных производных, которое являлось и является объектом большого числа исследований. Даже краткий обзор таковых в рамках автореферата практически невозможен. Достаточно подробную библиографию можно найти, например, в монографиях и работах Е.Ф, Мищенко, В.А. Садовничего, А.Ю. Колесова, Ю.С. Колесова, Н.Х. Розова, Г.Г. Малинецкого, A.B. Потапова и других авторов.

В диссертационной работе для этого уравнения использовано название уравнение Гинзбурга - Ландау. Часто это уравнение именуют уравнением Курамото - Цузуки. Это же уравнение часто возникает при анализе параболических систем. Частный его случай встречается при рассмотрении и гиперболических краевых задач. Поэтому для этого уравнения оправданно употребление термина "квазннор-мальиая форма."Выбор первого названия продиктован частотой его

исследования в литературе как отечественной, так и иностранной. Данное уравнение встречается во миогих физических приложениях: теории сверхпроводимости, нелинейной оптике, гидродинамике и т.д.

В работе для уравнения Гинзбурга - Ландау рассмотрены две задачи. В первой главе рассмотрено малоразмерное его приближение, которое можно трактовать как простейшую разностную аппроксимацию двух краевых задач для этого уравнения. Изучению малоразмерных приближений традиционно уделялось большое внимание, например, при численпом анализе динамики. Численному анализу малоразмерных приближений было посвящено большое число исследований. В случае, когда соответствующая система была получена с помощью галеркииских приближений, она численно исследовалась в цикле работ A.A. Самарского, С.П. Курдюмова, Г.Г. Малинецкого, Т.С. Ахромсевой, H.A. Магницкого, C.B. Сидорова. В случае разностной аппроксимации здесь можно отметить работы С,Д. Глызи-на, С.П. Кузнецова, А.П. Кузнецова и их учеников, Д. Аронсона, Г.Эрметроу, Н. Копелля, М. Поляшенко. Часть результатов этих работ была получена аналитически.

В диссертационной работе была поставлена задача найти все автомодельные периодические решения и изучить их локальные бифуркации, что весьма полезно для дальнейших исследований уже и хаотической динамики.

Во второй главе изучается уравнение в частных производных, которое можно рассматривать как частный случай уравнения Гинзбурга - Ландау. К нему можно прийти от широко известного нелинейного уравнения Шредингера, если учесть слабую диссипацию. Такие варианты уравнения Гинзбурга - Ландау (обобщенного уравнения Шредингера) встречаются в нелинейной оптике.

Изучению динамики решений различных краевых задач, для данного уравнения (самого уравнения Гинзбурга Ландау и его модификаций) посвящено большое число исследований, но среди них преобладают варианты, когда пространственная переменная одна. В плоских областях данное уравнение рассматривалось уже гораздо реже.

В диссертации рассмотрен случай цилиндрической области, где изучена задача о бифуркациях плоских бегущих волн. Эта задача ранее не рассматривалась.

Цели я задачи диссертации. Целью исследований диссертационной работы состояла в аналитическом исследовании существования простейших аттракторов, а также их свойств. Так для малоразмерной аппроксимации уравнения Гинзбурга Ландау предполагалось найти все автомодельные периодические решения. Второй

целью было изучение структуры их окрестности, т.е. вопросов связанных с их устойчивостью и локальными бифуркациями.

Во многом аналогичная цель преследовалась и для уравнения с частными производными - нелинейного обобщенного кубического уравнения Шредннгера. Для краевой задачи в цилиндрической области простейшими инвариантными множествами можно считать плоские бегущие волны. Объектом исследований было изучение структуры окрестности этих решений, т.е. задача во многом аналогична той, которая ставится и в первой главе диссертации.

Научная новизна. Для конечномерного аналога уравнения Гинзбурга - Ландау аналитически найдены все автомодельные периодические решения. Понятно, что тривиальные случаи (синхронный и противофазный циклы) отмечались и ранее. Новый набор автомодельных решений составили асимметричные циклы. Явные аналитические формулы для них, в частности, позволили изучить их устойчивость, а также локальные бифуркации от них.

Задача из второй главы диссертации ранее не изучалась.

Положения, выносимые на защиту.

1. Аналитически найденные автомодельные периодические решения - асимметричные решения.

2. Устойчивость и локальные бифуркации автомодельных периодических решений.

3. Существование! устойчивость и локальные бифуркации плоских бегущих волн у нелинейного обобщенного уравнения Шредингера (слабо дисснпативный вариант уравнения Гинзбурга - Ландау) в цилиндрической области.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты первой главы в значительной мере могут служить базой для дальнейшего изучения сложной и хаотической динамики рассмотренного уравнения. Они позволили с новых позиций рассмотреть известную задачу о взаимодействии двух слабосвязанных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга.

Результаты второй главы находятся в общем русле изучения нелинейной динамики волновых процессов, где эта динамика существенным образом зависит от рассматриваемой области. Для исследования этой задачи применены современные методы качественной теории дифференциальных уравнений с бесконечномерным фазовым пространством.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (руководители про-

фессор С.А. Кащенко н доцент С.Д. Глызин), на Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений, посвященной 100 - летию со дня рождения заслуженного деятеля науки РФ, профессора И.П. Макарова (Рязань, 9-13 октября, 2006 г.), на конференции молодых ученых "Нелинейные волновые процессы"^. — Новгород, 1 — 7 марта, 2006 г.). Доклад на конференции в Н. - Новгороде на тему "Автомодельиые периодические решения двухточечной разностной аппроксимации уравнения Гинзбурга -Ландау "был отмечен премией оргкомитета (председатель оргкомитета конференции, действительный член РАН A.B. Галопов Грехов).

Публикации- Основные результаты отражены в 8 публикациях, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1 - 3] опубликованы в изданиях, включенных в перечень ВАКа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы и двух приложений. Общий объем диссертационной работы 115 страниц.

Первая глава разделена на 7 параграфов и содержит 7 рисунков и 4 таблицы. Вторая глава разделена на 4 параграфа.

Два приложения относятся к главе I и содержат текст программ, лаписангшх на языке Pascal в среде Delphi 5.0.

Список литературы содержит 69 наименований.

Содержание работы. Во введении отражается актуальность темы диссертации. Приведен обзор литературы, непосредственно относящийся к тематике диссертации. Значительную часть цитированной литературы составляют фундаментальные монографии, вышедшие в последние годы. Дано краткое, а затем развернутое описание основных результатов.

В §1.1 (в первом параграфе первой главы) вводится то уравнение, которое является объектом исследования первой части диссертации:

« = dexpHa)£>£ + i - (1 + ic)№2- (1)

Здесь de Я+ (d e R,d> 0), c6fl,ae [-тг/2; jt/2] ;

а ~ комплекснозначные функции.

В §1.1 приведена мотивация рассмотрения уравнения (1). Отмечен ряд общих свойств его решения (папример, диссипативность). Введен класс тех решений, которые изучаются в первую очередь:

£(f) = ¡/exp(iert) (у € С2, а е R). (2)

В §1.2 рассмотрено самое простое из возможных автомодельных периодических решений. Это полностью синхронизированный цикл (цикл Андронова - Хопфа), Он задается формулой

Рассмотрен вопрос об его устойчивости и локальных бифуркациях. Результаты относящиеся к устойчивости этого цикла: безусловно, отмечались многими авторами и приведены для удобства изложения других результатов, в том числе результатов следующих параграфов (при d> d\ - цикл Андронова - Хопфа устойчив, при d < di -неустойчив, di — с sin а — cosa).

Исследование бифуркационной задачи основано на применении метода нормальных форм Пуанкаре - Дюлака, адаптированного к данной задаче, и приводит к анализу вспомогательного уравнения

Здесь р — р{{) € М, >г - положительная постоянная. Поэтому характер бифуркаций определяет знак постоянной Ь (ляпуновской величины). Приведена формула для Ь, а также анализ знака этой постоянной.

Основной результат §1.2 сформулирован в теореме 1.1.

Теорема 1Л.При й = — е (|г| < £о) "т цикла Андронова -Хопфа бифурцируют два цикла, если

В первом случае оба бифурцирующш чикла устойчив« и они оба неустойчивы во втора«.

Приведено разбиение плоскости параметров на области знакопо-стоянства постоянной Ь.

(3)

р = ехр + Ьр3.

l)s > О, Ь< 0 и 2)е < О, b > 0.

с

Рис 1.1

На рис. 1 в области III справедливо неравенство Ь < 0, в области II - Ь > 0. Область I выделяет те а и с, для которых d\ < 0, т.е. цикл Андропова - Хопфа не может терять устойчивость.

В §1.3 рассматривается бифуркационная задача для противофазного цикла

где рд = 1 — 2<fcosa, <га = 2dsina — (?ас. Он существует, если 1 — 2dcosa > 0. Замена

сводит вопрос об его устойчивости, а затем и его бифуркациях к аналогичным вопросам для нулевого решения уравнения

v = -е£ехр(-га)£>и - (1.+ к)рЦи + 5 + 2т; + v2 + у|г)|2), (5)

В формулах (4), (5) умножение векторов покоординатное.

При предположении о неотрицательности потеря устойчивости нулевого решения происходит колебательным образом при <1 = ¿2 = 1 /4соза (при Айсора < 1 противофазный цикл устойчив и од неустойчив, если 4о(соза > 1).

Положив в уравнении (5) <1 = ¿2 + е приходим к бифуркационной задаче, решение которой сводится в конечном итоге к применению классической теоремы Андронова Хопфа. От кулевого состояния равновесия бифурцирует цикл с амплитудой порядка е, а характер бифуркаций (жесткое или мягкое возбуждение колебаний) определяется знаком ляпуновской величины. Для рассматриваемого уравнения (1) последнее означает наличие жесткой или мягкой бифуркации двумерных инвариантных торов (теорема 1.2 из §1.3 диссертации). На рис. 2(см. с. 10) в области В^а, с) мягко бифурцируют инвариантные торы, в области Сг жестко бифурцируют инвариатные торы. Наконец, область - это область тех значений параметров, для которых не реализуется колебательная потеря устойчивости.

В §1.4 изложен один из основных результатов первой главы диссертации. Речь идет о существовании автомодельных циклов, отличных от цикла Андронова - Хопфа и противофазного. Их достаточно часто именуют асимметричными.

Положим

Vi - pjexpOVjXj = 1,2),^ = <рг Л = рг/р1,р1 = R/Kß = ЯЛ.

€(0 = pQ(i) ехр(гста£) [ff! + gxv]

(4)

Выбрав у\,у2 таким образом, подставим решение вида (2) в дифференциальное уравнение (1). В итоге получим систему двух комплексных уравнений

га = eiexp(-m}(-l + Лехр(х^)) + 1 - (1-Нс)Я/Л, ia = dexp(-m)(-l + ехр(—iip)/X) + 1 — (1 4-гс)ЯА.

Считая, что Л ф 1 (при А = 1 получаем ранее найденные циклы), после серии преобразований и замен вопрос о сосуществовании асимметричных циклов оказывается может быть сведен к исследованию корней квадратного уравнения

rf + {Ар - 92(1 + A2))tî + 4{р2 - ç2) = О,

где р = 1 + cos2а — csinacosa,q = di(l — dcosa)/d,h = bi/di, di = csina — cosa,bi = с cos a + sina, A + 1/A = V? + 4.

Основной результат §1.4 сформулирован ниже.

Теорема 1.3.Каждому положительному корню определяющего квадратного уравнения, для которого дополнительно выполнено неравенство

{t} + 2p)q > О,

соответствуют два асимметричных автомодельных решения.

В §1.4 приведены формулы восстанавливающие параметры этих циклов.

В данном параграфе показано, что при ci € (0; di) определяющее квадратное уравнение может иметь лишь один подходящий корень, а, следовательно, уравнение (1) - два асимметричных цикла. При d > di может быть их четыре.

Полезно добавить, что, если ляпуновская величина Ь для однородного цикла (см. §1.2) меньше нуля, то при ci = d\ — е от этого цикла бифурцируют как раз два асимметричных цикла. Интересно отметить также, что при d = di один из корней определяющего квадратного уравнения равен нулю, а = pb/d\, где Ь и есть ляпуновская величина из §1.2.

В §1.5 рассмотрен вопрос об устойчивости и бифуркациях от асимметричных циклов. Как и в §§1.2 - 1.3 для циклов Андронова - Хоп-фа и противофазного вопрос об устойчив ости асимметричных циклов удается свести к исследованию устойчивости состояния равновесия вспомогательной системы. В свою очередь, исследование устойчивости такого состояния равновесия стандартным образом сводится к

анализу расположения корней характеристического уравнения. В конечном итоге, все свелось к применению критерия Рауса - Гурвица, а, следовательно, к анализу четырех неравенств- Их исследование показало, что существует такое <2 = ¿3(а,с), что при с1 € (0; с)) эти решения неустойчивы, а при <1 > ¿э(а, с) устойчивы. При 4 = (¿з{а, с) происходит смепа устойчивости у асимметричного цикла и у соответствующего ему состояния равновесия вспомогательной системы. При этом эта потеря устойчивости состояния равновесия происходит колебательным образом, т.е. при й = ¿з(а, с) спектру устойчивости этого состояния равновесия принадлежит пара чисто мнимых собственных значений ±№ (у > 0), а третье - действительно и лежит в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Пусть теперь й = с(з(а,с) — £ (|е| << 1). В этом случае, используя аппарат теории нормальных форм, показано, что от асимметричного цикла бифурцирует двумерный инвариантный тор. В §1.5 приведено разбиение плоскости параметров а, с на области, где инвариантный тор бифурцирует мягко (при г > 0 и он устойчив) или жестко (при

Область А2 образуют те пары (а, с), для которых невозможна колебательная потеря устойчивости. При (а, с) е В2 мягко бифурци-руют инвариантные торы, а при (а, с) € Съ - жестко.

В §1.0 рассмотрены два особых случая: а = 0, а = 7г/2, Второй случай часто именуют волновым, так как такой вид приобретает уравнение (1), если к нему приходим от рассмотрения краевых задач для уравнений гиперболического типа. При таком выборе а цикл Андронова - Хопфа устойчив, если > с и неустойчив, если <1 < с. Противофазный цикл существует и устойчив при любом выборе с и Вопрос об асимметричных циклах также сводится к рассмотрению квадратного уравнения. Результаты его анализа приведены на рис.4.

На рис. 4 выделены области параметров (c,<i), где имеются два цикла - Вз, четыре Аз и где их нет вовсе - С3.

Как и в общем случае, удалось показать для каждого асимметричного цикла существование такой положительной постоянной d = <¿3 (с), что при d е (0; ¿¿з) этот цикл неустойчив, а при d > <¿3 он уже устойчив. Положив далее d = dz — е (|г( << 1), приходим к бифуркационной задаче. Оказалось, что при е > 0 от соответствующего асимметричного цикла бифурцирует асимптотически устойчивый двумерный тор.

Пусть а = 0. В этом случае асимметричные циклы могут существовать лишь при а € (0; 1), при d € (0; 1/3) их два, а при d € (1/3; 1) их может быть и четыре, если с > 0, a d € (1/3; (1 + с3)/(с2 + 4с +1)). Интересно отметить, что при а = 0 асимметричные циклы всегда пеустойчивы. В одной из работ Д. Аронсона, Г. Эрметроу, Н. Копел-ля рассмотрен только этот частный случай. Иным способом получен аналогичный результат.

Следующий и последний параграф первой главы диссертации посвящен рассмотрению широко известной задачи о взаимодействии двух идентичных слабосвязанных осцилляторов Ван дер Поля Дуф-фиига.

Итак, в ней рассматривается система двух дифференциальных уравнений второго порядка

xi - 2cxi 4- xi 4- x?±i + kr? + e7(xi - X2) 4- eß(±i — ¿2) = 0,

(6)

'±1 — 2c i 2 + + + bx 2 + £7(^2 — ^i) +■ £j3(±a — il) = 0.

Здесь b, 7 € M, ß = const > 0, a s - малый положительный параметр. При 7 = ß = 0 система (6) представляет собой два полиостью идентичных осциллятора Ван дер Поля - Дуффипга. Два последних слагаемых отвечают за наличие связи между осцилляторами.

В §1.7 показано, что в достаточно малой окрестности нулевого решения системы (6) и при е € (0; га) ее динамика определяется уравнением (1), которое для системы (б) оказывается ее нормальной формой. Поэтому основные результаты §§1.2 - 1.6 практически дословно переносятся на систему (6).

Глава II посвящена изучению краевой задачи уравнения Гинзбурга - Ландау в частном случае. Такой вариант этого уравпения часто называют обобщенным кубическим уравнением Шредингера.

В §2.1 приведена постановка задачи, рассмотренной во второй главе. В ней рассматривается следующая краевая задача

ut = и — (1 + ic)u|u|2 - idAu,

(7)

u(t, X + 2тг, Z) — u(t,X,z),Uа|г=о = U2|I=i = 0.

Здесь и = u(i, х, z) комплекснозначн&я функция трех действительных переменных, t > 0,-а пространственные переменные (x,z) таковы, что х € [0;27r](mcxi27r), г € [0;i). Наконец, Аи - оператор Лапласа. с, d € К.

После перенормировки — irzfl краевая задача заменяется па следующую

ut = и — (1 + ic)uju|3 — idLu,

(8)

u(t, X + 27Г, z) = u(t, X, z), иг|2=о = «г|г=» = 0.

Здесь Lu = «и 4- аоигг, oq = -к/1. Индекс у переменной г опущен как в записи краевой задачи (8), так и далее.

Отметим, что краевая задача (8) имеет решения в виде плоских бегущих волн

Unfy, х, z) = exp(i(Tni + inx), (n € Z, era = dn2 — c). (9)

В этом параграфе достаточно традиционным способом показано, что вопрос об устойчивости плоских бегущих волн сводится к анализу следующего характеристического уравнения

ц2 + 2fi + q ~ 0, (10)

где q = qm,k — сl(m2 4- a1k2)[d{m2 + a£k2) — 2с]. Поэтому смена устойчивости любой волны происходит при смене знака коэффициента q. При выполнении неравенства с < (d/2)min(i,a^) бегущая волна (9) устойчива и теряет устойчивость, если с > (d/2)mm(l, о^).

При с = (d/2)mm(ltOo) реализуется критический случай в задаче об устойчивости этих волн.

Исследование окрестности бегущих волн существенно облегчает принцип самоподобия. Положим

u(i, х, z) = v(t,x + 2<ini,2)exp(i(cin2 + nx)).

Тогда для функции v(tty,z) приходим к той же краевой задаче (8), если положить у = х + 2dnt. Последнее означает, что для рассмотрения устойчивости и бифуркации достаточно рассмотреть лишь решение «о(£, x,z) ~ ехр(—îcî). Пусть ао = 1, тогда спектру устойчивости этого решения принадлежит четырехкратное пулевое собственное значение. Именно этот случай и будет рассмотрел в первой части второй главы. Вторая часть этой главы посвящена случаю близкому к случаю максимального вырождения: |оо — 1| << 1.

В §2.2 рассматривается базисный случай oq = 1. При этом показано, что использование принципа самоподобия позволяет свести поставленную задачу к исследованию структуры окрестности решения v = 1 вспомогательной краевой задачи

vt = (1 + гс)(1 - |г)|г)и - idAv,

(И)

u(t, у + 2jt, z) = v(t, y, г), = = 0.

Использование метода нормальных форм в сочетании с методом инвариантных многообразий сводит последнюю задачу к исследованию системы трех дифференциальных уравнений - нормальной форме краевой задачи (11).

JJi = T)i(sai + guVÎ + Si 2V2) + • • •.

7)2 = + 92\Vi + 922V2) + . ■ ■, (12)

Ф = faift + ihnl + - ■ •,

где точками обозначены слагаемые имеющие более высокий порядок малости по сравнению с ранее выписанными. A = ft = с(с2 + +l),Sn =Si2 = ~au3i2 = 921 = -bj.oi = (30c4 - 9c3 + 1)/G A = = 4c»( 1-е1).

В §2.3 проанализирована нормальная форма (системы (12)). Показало, что ее следует сначала заменить на систему

Pi ~ Pi — Pi(«iPi + bipî), h = Р2 - Pa(biPi + oipa). (13)

При с2 / (33 ± т/873)/108 система дифференциальных уравнений (13) имеет три непулевых изолированных состояния равновесия (ai +&i > 0 при всех с);

Ei : pi = 1/аир2 — 0; Е2 : pi = = 1/<ц; Еэ : рг = рг = l/(ai + &i)-Состояния равновесия £\, Еч асимптотически устойчивы, если

oí < bi (14)

и неустойчивы, если

Oí > (15)

Наконец, состояние равновесия Е$ асимптотически устойчиво, если выполнено неравенство (15) и неустойчиво при выполнении неравенства (14).

Эти результаты, а также построения §2.2 позволили доказать три основные утверждения этой главы, которые получаются, в частности, как следствия теорем, относящихся к вспомогательной краевой задаче (11). Ниже ео достаточно малая положительная постоянная.

Следствие 2.1. Пусть е € (0; со) и d — 2с — е. Тогда состоянию равновесия Е\ системы (13) соответствует счетное семейство двумерных инвариантных торов краевой задачи (7), которые асимптотически устойчивы, если выполнено неравенство (14) и они неустойчивы, если имеет место неравенство (15). На каждом из них решения допускают асимптотическое представление

un(t,x,z; е) = exp(iant+inx)[l+л/гу/у(—с+г) eos (х+4cnf+) I+О (г),

где постоянные -у — с/ai, е IR произвольная постоянная.

Следствие 2.2.При г € (0; £о) и d = 2с—£ состоянию равновесия Е2 системы (13) соответствует счетное число циклов краевой задачи (7), каждый из которых орбиталъно асимптотически устойчив, если выполнено неравенство (Ц) и эти циклы неустойчивы, если имеет место неравенство (15). Для этих циклов справедливо а с им птотическое представление

Un(t, x,z; с) = exp(i<7ní + iruc)[l ± + í) eos.?] 4- O(e).

Следствие 2.3.При с 6 (0; £0), d = 2c — с состоянию равновесия Еъ системы (13) соответствует счетное число двумерных инвариантных торов краевой задачи (7), которые асимптотически

устойчивы при выполнении неравенства (15) и они неустойчивы, если справедливо неравенство (14)- Для решений на каждом из них имеет место асимптотическая формула

un(tfx, г; г) = exp(i<7nt + гтгж)[1 + у/есб cos(x + 4cni -f "фп)

где R - произвольная постоянная, а Ö = (—с + i)j\fa\ + b\.

Последние три асимптотические формулы с большей точностью приведены в §2.3 диссертации.

Последний параграф второй главы обращен к краевой задаче (7) в несимметричном случае, т.е. когда во ф 1, но |ао—1| « 1- Положим тогда Oq = 1 — re, a d = 2с — 5.

Построения этого параграфа в основных чертах повторяют построения §§2.2 - 2,3 и сводят вопрос об исследовании структуры плоских бегущих волн (9) к исследованию системы из двух дифференциальных уравнений

Pi = - (агрг + hp2% p2 = pi\9- {biPi + а^)). (16)

Система (16) весьма схожа с системой (13). Она может иметь ненулевые состояния равновесия

Е\я : Pi = 1/аир2 = 0; E2a : pi = 0,рг = g/au

Е3з : Л = (аг ~ big)/(ai - &J), р2 = (а1в - h)/(a\ ~ bj).

Состояние равновесия Е2д существует, если g > 0, а состояние равновесия Е$а существует, если определяющие его координаты положительны.

Нетрудно вывести условия устойчивости этих состояний равновесия. Как и в базисном случае состояниям равновесия Eis, соответствует счетное семейство двумерных инвариантных торов. Состоянию равновесия Е2д соответствует счетное число циклов. Условия устойчивости найденных инвариантных многообразий совпадают с условиями устойчивости соответствующих им состояний равновесия.

В приложениях 1,2 приведены программы, написанные па языке Pascal в среде Delphi 5.0. Первая программа содержит рекуррентную последовательность формул для вычисления ляпуновской величины для нормальной формы из §1.3. Программа из приложения 2 анализирует условия устойчивости асимметричных циклов, а также определяет знак ляпуновской величины для нормальной формы из §1.5.

Опубликованные работы по теме диссертации

Статьи в научных журналах, включенных в перечень

ВАКа:

1. Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения и бифуркации от них в задаче о взаимодействии двух слабосвязанных осцилляторов // Изв. вузов. Прикладная нелннейпая динамика. - 2006. - Т. 14. - №5. - С. 120 - 132.

2. Куликов Д.А. Структура окрестности бегущих волн обобщенного кубического уравнения Шредиигера в цилиндрической области // Известия РАЕН. Дифференц. уравн. Рязань. - 2006. -№11. - С. 135" 137.

3. Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения в задаче о динамике двух слабосвязанных осцилляторов: полный анализ // Вестник Поморского ун - та. Серия "Естественные и точные науки" - 2006. - №3. - С. 152 - 156.

Другие публикации:

4. Куликов Д.А. Циклы билокальиой модели волнового уравнения: полный анализ // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. - 2001. - В. 4. - С. 93 - 96.

5. Куликов Д.А, Исследование динамики билокальной модели нелинейных волновых уравнений // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. - 2002. - В. 5. - С. 46 -52.

6. Куликов Д.А. Знак ляпуновской величины в задаче о бифуркациях от однородного цикла // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. - 2005. — В.7. - С.78 - 81.

7. Куликов Д.А. Бифуркация плоских волн обобщенного кубического уравнения Шредингера в цилиндрической области // Моделирование и анализ информ. систем. Ярославль. - 2006. - Т. 13, №1. - С. 20-26.

8. Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения двухточечной разностной аппроксимации уравнения Гинзбурга Ландау // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Нелинейные волновые процессы."1 — 7 марта 2006. Н. - Новгород. -2006. - С. 91.

Оригинал - макет подготовлен в редакционно - издательском отделе ЯрГУ

Отпечатано на ризографе

Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Исследование билокальпой модели уравнения

Гинзбурга - Ландау (Курамото - Цузуки).

§1.1. Описание рассматриваемого класса дифференциальных уравнений.

§1.2. Простейшие автомодельные циклы.1G

§1.3. Противофазный цикл.

§1.4. Асимметричные циклы.

§1.5. Устойчивость и бифуркации асимметричных циклов.

§1.6. Два особых случая.

§1.7. Периодические решения двух слабосвязанных осцилляторов.

ГЛАВА II. Бифуркация автоволн обобщенного кубического уравнения Шредингера в цилиндрической области.

§2.1. Постановка задачи. Бегущие волны.

§2.2. Нормальная форма в базисном случае.

§2.3. Анализ нормальной формы и основные результаты в базисном случае.

§2.4. Бифуркации бегущих волн в "несимметричиом"случае.

Диссертационная работа посвящена исследованию двух задач, возникающих при рассмотрении широко известного уравнения Гинзбурга -Ландау, которое часто называют иначе: уравнением Курамото - Цузу-ки. Данное нелинейное уравнение, впервые было получено в работах B.JI. Гинзбурга и Л.Д. Ландау, а также Л.А. Абрикосова (см., например, [39 -- 41]) как одна из математических моделей в теории сверхпроводимости. Это уравнение возникло при моделировании различных физических процессов, возникающих при изучении плазмы, турбулентных режимов в гидродинамике, нелинейной оптике и т.д. (см.,например, [2,21—23,27,29]).

Второй вариант названия (уравнение Курамото - Цузуки) появился после работ японских физиков И. Курамото, Т. Цузуки [42 - 44], которые на физическом уровне строгости получили его при рассмотрении систем химической кинетики с учетом диффузии. Строгий математический вывод этого уравнения возможен при рассмотрении систем уравнений с частными производными типа реакция - диффузия, но лишь в том случае, когда коэффициенты диффузии пропорциональны малому параметру (см.,например, [1], а также библиографию, которая приведена в данной монографии).

Исследованию динамики решений различных краевых задач для уравнения Гинзбурга - Ландау посвящено достаточно большое число работ. Их обзор и библиографию можно найти в монографиях [1,2]. Следует отметить, что во введении и далее используется сокращенное название этого уравнения. Во многих источниках уравнение Гинзбурга - Ландау называют "временно зависимое уравнение Гинзбурга - Ландау"(quintic time -dependent Ginzburg - Landau equation). Далее везде будем пользоваться укороченным вариантом названия этого уравнения, тем более, что оно стало уже общепринятым.

В физических приложениях системы уравнений и, следовательно, уравнение Гинзбурга - Ландау изучаются очень часто сведением задачи к конечномерной с помощью разностных аппроксимаций или галеркинских приближений (см.,например, работы А.В. Гапонова - Грехова, М.И. Га-биновича [45,46] и Т.С. Ахромсевой, Г.Г. Малинецкого [47 - 49]), а также И.А. Магницкого и С.В. Сидорова [59]. Естественно, что выводы после анализа таких конечномерных систем имеют феноменологический характер, тем более, как правило, рассматриваются малоразмерные приближения. Но традиции, физические соображения позволяют считать такой подход достаточно убедительным или, по крайней мере, достаточно при-смлимым.

Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию би-локальной модели уравнения Гинзбурга - Ландау, если это уравнение рассматривается вместе с краевыми условиями непроницаемости (однородными условиями Неймана) или периодическими краевыми условиями. Это означает, что каждая из краевых задач ди . . . д2и . . |2 , . = (ai + + и + (a3 + га.1)и\и\ (0.1) ди, ди. . =0 (а2) или ч , ,, Зи, ди. u(t,0) = u(t,l), -\х=() = -\х=1 (0.3) заменяется на систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений = dexp(-i<*)Dt + е - (1 + (0-4)

7Г 7Г

Здесь ai,a2,a3,a4,c G Ш, а\ > 0,аз < 0,d > 0, а 6 [——;—],« — u{t,x)

Jj Zi комплекснозначная функция двух переменных t и х £ [0;/] (/ > 0). Наконец, а 2(f) ~ комплекснозначные функции. При этом £1 (t) = u(t,x 1),

2(t) = u(t,x2), a xi,x2 G (0;/). (Более детально см. §1.1.)

Для системы (0.4) в главе I рассматривается круг вопросов связанных с существованием и исследованием устойчивости простейших аттракторов : циклов и двумерных торов. Их существование выявлено аналитическими методами, а при исследовании их характеристик и свойств иногда применялся компьютерный анализ, но он сведен до возможного минимума. В данной диссертационной работе не рассматриваются вопросы связанные с компьютерным анализом системы (0.4) для определения таких характеристик как ляпуновская и фрактальная размерность аттракторов этой системы. Этому вопросу посвящено достаточно большое число исследований (см., например, [7,11,50 - 52,59j и другие). Особо следует отметить работы, посвященные тому же кругу вопросов, но, где конечномерный аналог уравнения Гинзбурга - Ландау выписывался с помощью метода Галеркина [47 - 49,52,59].

Перейдем к более детальному обзору содержания главы I. В §1.1 дано подробное описание рассматриваемого класса дифференциальных уравнений, а также постановка задачи, которая рассматривается в этой главе.

В §1.2 исследован вопрос об устойчивости и локальных бифуркациях простейшего автомодельного цикла, т.е. периодического решения уравнения (0.4) вида f = ф ехр(—гс£).

Этот цикл принято называть однородным [1,2,7], синхронным ([3 - 6]). В дайной работе этот цикл будем называть циклом Андронова - Хопфа. В этом параграфе показано, что вопрос об устойчивости этого решения сводится к проверке неравенств. Пусть коэффициенты си и с таковы, что d\ = csina;—cosa > 0. Тогда при d > d\ этот цикл орбитально асимптотически устойчив и он неустойчив при d < d\. В случае, когда оказывается, что величина d\ < 0, то цикл Андронова - Хопфа устойчив ири любом выборе параметров задачи. Впрочем этот результат хорошо известен (см., например, [1,7]) и он приведен для полноты изложения. Можно назвать и другие работы, где этот факт упоминается. Недавно появилась статья [60], где этот результат отмечался еще раз. Основной результат этого параграфа относится к задаче о локальных бифуркациях от данного цикла. Положим d =■ d\ — е, где е - малый параметр. Используя широко известную технику построения нормальных форм в сочетании с приемами, использующими специфику уравнения (0.4), показано, что вопрос о бифуркациях от цикла Андронова - Хопфа сводится к нахождению состояний равновесия скалярного уравнения р = еХр + Ьр\ (0.5) где р = p(t) 6 К, х, b - действительные постоянные. При исследовании уравнения (0.5) центральную роль играет величина Ъ (в первую очередь знак этого коэффициента). В §1.2 приведена формула, выражающая Ь через оставшиеся свободными параметры задачи, т.е. b = b(a,c). Ввиду громоздкости этих формул приведены рисунки, дающие разбиения области параметров (а, с) на области сохранения знака b = b(a,c). Учитывая, что в нашем случае х > 0, в силу способа выбора бифуркационного параметра е попятно, что уравнение (0.5) может иметь два нетривиальных состояния равновесия, если 6 и £ имеют разные знаки. Каждому состоянию равновесия соответствует цикл исходного уравнения (0.4). Точная формулировка результата содержится в теореме 1.1.

В §1.3 рассматривается аналогичный круг вопросов для цикла, который естественно называть противофазным:

Z = pa ехР(icrat), где pl= 1 — 2d cos a, a cra = 2d sin а + 2cd cos а —с. Этот цикл существует

7 1 , . . 7Г. 1 при а <-(а Ф ±—). Он устойчив при а < --и неустойчив при cos а 2 4 cos а d > --. Как и в предыдущем параграфе вопрос об устойчивости и

4 cos а бифуркациях от этого цикла сводится к исследованию тех же вопросов, но нулевого решения вспомогательного уравнения в С2. При этом показано, что если d\ > 0, то потеря устойчивости может происходить лишь колебательным образом. Следовательно, вопрос о бифуркациях от этого цикла сводится к вопросу о бифуркациях от нулевого состояния равновесия в случае близком к критическому пары чисто мнимых собственных значений, т.е. в итоге к применению классической теоремы Андропова -Хопфа. Для исходной системы (0.4) это означает, что от противофазного цикла бифурцирует двумерный инвариантный тор. В диссертационной работе (§1.3) приведены рисунки областей сохранения знака ляпуновской величины в плоскости параметров (а, с), которая и в теореме Андронова - Хопфа и, естественно, здесь играет центральную роль. Явная аналитическая формула для ляпуновской величины в тексте §1.3 не приводится в виду ее громоздкости. По этой же причине затруднен анализ ее знаков. Выводы и рисунки сделаны с помощью численного анализа соответствующей формулы. В приложении 1 приведена программа па языке Pascal в среде Delphi 5.0, вычисляющая эту величину в зависимости от выбора параметров а и с. Тело программы содержит явный вид самой формулы для ляпуновской величины.

Центральную роль в главе I играет §1.4. В нем рассмотрен вопрос о существовании иных, отличных от цикла Андронова - Хопфа и противофазного цикла, автомодельных периодических решений. Напомним, что автомодельными периодическими решениями здесь и ниже называются решения, которые нредставимы в виде = r)Qxp{iat), Tie С2. (0.6)

При 771 = г}2 получаем цикл Андронова - Хопфа. При щ = —щ - понятно противофазный. В §1.4 рассматривается вопрос о существовании решений (0.6), для которых

Ы Ф М

Такие циклы принято в физике называть асимметричными [3 - 6,54]. Первая попытка найти решения такого вида была предпринята в фундаментальной работе [4]. Там была отмечена важность этой задачи и предложен вариант ее решения в частном случае, когда а = 0. При этом окончательный ответ следует из анализа трапцендентного уравнения, которое весьма сложно для исследования. В диссертационной работе (см. §1.4) эта задача решена при всех возможных а и вопрос о существовании асимметричных решений сведен к анализу квадратного уравнения. Последнее обстоятельство делает возможным по крайней мере точно ответить на вопрос о количестве автомодельных периодических решений. При этом все параметры таких решений достаточно легко восстанавливаются по формулам из §1.4.

В конце данного параграфа указана связь между асимметричными решениями и теми периодическими решениями, которые бифурцируют из однородного цикла (см. §1.2).

В §1.5 сначала исследуются асимметричные решения на устойчивость. Используя нелинейные замены, вопрос об их устойчивости, как и обычно, удается свести к вопросу об устойчивости состояний равновесия вспомогательной системы из трех действительных уравнений. В свою очередь, при анализе устойчивости этих состояний равновесия на основе критерия Рауса - Гурвица (см. приложение 2) с использованием компьютерной программы на языке Pascal в среде Delphi 5.0 удалось показать существование такой постоянной d3 = ds(a, с) > 0, что при d > d^ эти циклы устойчивы. При d < d% они становятся неустойчивыми и потеря их устойчивости происходит колебательным образом. Последнее означает, что при d = g?3 спектру устойчивости рассматриваемого состояния равновесия принадлежит пара собственных значений ±г> (и = > 0), а третье собственное число отрицательно. Отметим дополнительно, что компьютерный анализ из приложения 2 сводится к проверке четырех громоздких неравенств. Последнее обстоятельство, к сожалению, не дало возможности сделать этот анализ традиционным аналитическим способом. Результаты вычислений проиллюстрированы таблицами.

Пусть теперь d = — s, где е - малый параметр. Понятно, что вопрос о бифуркациях от асимметричных решений сводится к вопросу о бифуркациях от соответствующего состояния равновесия в случае, когда применима классическая теорема Андронова - Хонфа и ответ зависит от коэффициентов (главную роль при формулировке ответа играет их знак) нормальной формы. Для этих коэффициентов нормальной формы получены рекуррентные формулы, которые приведены в теле программы из приложения 2. Результаты вычислений приведены в виде рисунков, где, как и ранее, при исследовании аналогичных вопросов, дано разбиение плоскости параметров (а, с) на области сохранения знаков соответствующей ляпуновской величины. Все это вместе (замены и анализ вспомогательной системы) означает, что от асимметричных циклов бифурцируют двумерные инвариантные торы, устойчивые или дихотомичные, в зависимости от выбора параметров а, с и е.

Следующий параграф, т.е. §1.0, посвящен анализу двух частных, а

7Г можно сказать и особых случая, когда а = — и а = 0. 2

7Г

Пусть а = —. Этот случай часто называют волновым, так как уравнение (0.4) имеет такой вид, если уравнение (0.1) рассматривается при а\ = 0. Т.е. уравнение (0.4) является билокальпой моделью обобщенного нелинейного уравнения Шредингера. В свою очередь, нелинейное уравнение Шредингера служит квазинормальной формой при исследовании ряда краевых задач для нелинейного волнового уравнения [24,25]. Рассмотрение этого частного случая во многом повторяет построения ранее рассмотренных вариантов выбора а. Вместе с тем имеются и отличия, и упрощения. Именно на отличиях и делается акцент при разборе этого i частного случая (а = —).

В значительной мере, только что сделанные замечания, относятся и к другому особому частному случаю (а = 0). Именно анализу этого случая в значительной мере и посвящена работа [4]. Сразу отметим, что при а = 0 все асимметричные циклы заведомо неустойчивы, что означает их физическую нереализуемость. Видимо поэтому авторы работы [4] не придали большого значения наличию асимметричных циклов. Возвращаясь к общему случаю (т.е. а ф 0) можно заметить, что вывод о неустойчивости асимметричных циклов не является обязательным и возможны наоборот варианты выбора параметров задачи, когда они устойчивы (см. §1.6).

7Г

Возвратимся к особому случаю, когда а = —. Оп более содержателен.

В §1.6 приведен рисунок, где плоскость параметров (с, d) разбита на области, где асимметричных цикла два (d2 < с2) и соответственно четыре, или они вообще отсутствуют.

Детально рассмотрен лишь случай d2 < с2 и с > 0. При таком выборе параметров, показано, что существует такая положительная постоянная с?з(с) < с, что при d (Е (dz(c),c) оба асимметричных цикла устойчивы, а при d G (0;</з(с)) они оба неустойчивы. Потеря устойчивости происходит колебательным образом и при d < d$(c) (|d — d^(c)\ « 1) от каждого асимметричного цикла бифурцирует двумерный асимптотически устойчивый инвариантный тор. Точные формулировки соответствующих утверждений приведены в теореме 1.6.

Особое место в главе I занимает последний ее параграф. В §1.7 рассмотрена задача о динамике двух слабосвязапных идентичных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга. Эта задача достаточно хорошо известна и рассматривалась в различных постановках. Например, когда рассматривались два слабосвязанных и близких к идентичным осциллятора. Различные постановки задачи можно найти в работах [3 - 6,21,28]. Тот вариант постановки, который будет рассмотрен в этом параграфе часто (см. [3 - 6]) называют симметричным. При этом следуя работам [3 - 6,54] будем предполагать наличие как диссипативной (диффузионной), так и инерционной связей. То что связь слабая проявляется в том, что ряд коэффициентов пропорционален малому параметру е. В §1.7 рассматривается следующая система: х\ — 2ех\ + х\ + х\х\ + bx\ + £7(2:1 - £2) + £(3{ii — £2) = О,

0.7)

Х2 - 2ех2 + х2 + х\х2 + Ьх\ + £7(22 - х\) + е(3(х2 - £1) = 0.

Здесь 6,7 - произвольные действительные постоянные, (3 > 0, £ 6 (0;ео)> а £о - достаточно малая положительная постоянная. При 7 = 0 = 0 система (0.7) представляет собой два идентичных генератора Ван дер Поля -Дуффинга, каждый из которых генерирует устойчивый цикл с амплитудой пропорциональной y/s (см.,например, [55,58]). Симметричность здесь проявляется в том, что замены х\ Х2, £2 —> х\ не меняют систему.

Применяя метод нормальных форм, исследование структуры нулевого решения сводится к исследованию системы (0.4). Поэтому все грубые аттракторы, отмеченные у (0.4), имеют аналоги и у системы (0.7). Точные формулировки соответствующих утверждений можно найти в тексте §1.7. В частности, утверждения о наличие однородного, противофазного и асимметричных циклов. Попятно, что рассмотрен вопрос о бифуркациях от этих циклов. От противофазного и асимметричных циклов бифурци-руют, как правило, двумерные инвариантные торы. Отметим, что в иной постановке задача рассматривалась в работе [56].

Перейдем к содержанию главы II. В этой главе рассмотрено обобщенное кубическое уравнение Шредингера ut = и- (I + ic)u\u\2 - id/\u. (0.8)

Здесь с, d Е Ж (d > 0), и = u(t,x,z) - комплекснозначная функция переменных t,x,z. Уравнение (0.8) является частным случаем уравнения (0.1), если в уравнении положить aj = 0. Это уравнение возникает во многих физических приложениях (см.,например, [21 - 23,29]). С точки зрения приложений это уравнение Гинзбурга - Ландау, в котором учтена дифракция, но отсутствует диффузионный член. Такая ситуация типична для лазерных резонаторов и других нелинейных оптических сред, поскольку световые лучи обладают поперечной дифракцией, но не диффузией. Само же уравнение описывает в этом случае пространственную эволюцию электромагнитного пакета в указанных средах.

В диссертационной работе рассматривается тот случай, когда пространственные переменные (х, z) принадлежат цилиндрической области, т.е. х G [0; 2n]mod(27r), z G [0;/]. При этом уравнение (0.8) рассматривается вместе с краевыми условиями u(t,x + 2тс, z) = u(t,x,z), (0.9)

Uz\z=Q = Uz\z=l = 0. (0.10)

Данная краевая задача ранее не рассматривалась. Уравнение (0.8), безусловно, уже изучалось в других областях и с другими краевыми условиями. Достаточно подробный обзор этих работ и библиографию можно найти в монографиях [1,10,10,25], а также работах [24,34,37,38,01].

7xz

Замена z\ — — сводит краевую задачу (0.8), (0.9), (0.10) к вспомогательной задаче ut = и — (1 + ic)u\u\2 — idLu, (0-И) u(t,x+ 2ж, z) = u(t,x, z), (0-12)

Uz\z=0 = Uz\z=i: = 0. (0.13) Здесь индекс "l"y переменной z опускаем,

Lu = — + ' 0 < ж < 27г(то<Й7г), 0 < z <тг.

В диссертационной работе рассматривалась задача (0.11), (0.12), (0.13), что немного удобнее с технической точки зрения. Эта краевая задача имеет решения в виде плоских периодических воли: un(t, х, z) = exp{iant + inx), где n€Z (множеству целых чисел), crn = dn2 — с.

Во второй части §2.1 рассмотрен вопрос об их устойчивости в норме фазового пространства решений краевой задачи (0.11), (0.12), (0.13).

При этом на основе принципа самоподобия [33 - 34] и связанных с ним замен задача сводится к исследованию устойчивости нулевого решения вспомогательной краевой задачи

Wt = -idLw - (1 + ic)(w + w) — (1 + ic) (2ww + w2 -f w2w), где комплекснозначная функция w(t, х, z) удовлетворяет тем же краевым условиям, что и функция u(t,x,z).

Достаточно стандартный анализ вспомогательной краевой задачи показал, что при с > - min(l, ад) ее нуле!юе решение теряет устойчивость (как, естественно, и решение un(t,x,z) исходной краевой задачи).

При с = -min(l,ao) реализуется критический случай в задаче об 2 устойчивости пулевого решения вспомогательной краевой задачи. Отметим, что при ao = 1 спектру устойчивости этой задачи принадлежит нулевое собственное значение кратности четыре, которому отвечают четыре линейно независимых собственных функции.

Далее в работе рассматривался именно этот случай: ад = 1, а также случай, когда ao ~ 1- Первый из них (базисный) рассмотрен в §2.2 и §2.3. Изучение второго, когда |ао — 1| << 1, во многом повторяют построения применяемые при изучении базисного случая, хотя результаты, естественно, несколько разнятся.

В §2.2, §2.3 на основе применения принципа самоподобия и метода нормальных форм при d = 2с — е построена система двух обыкновенных дифференциальных (амплитудных) уравнений, динамика которых в грубых случаях индуцирует динамику исходной краевой задачи. После перенормировок она приобретает вид

Pi = Р 1 ~ PifaiPi + bito),

0.14) р'2 = Р2 - P2{bm + aip2), где pi — р\{т) > 0, р2 = Р2{т) >0, т - медленное время, а штрихом обозначена производная по т. Наконец,

30с1 - 9с2 +1 2 2 ai =--, bi = 4с2 1 - с2). о

Понятно, что а\ > 0, а\ + Ъ\ >0 при всех рассматриваемых значениях коэффициента с.

Система (0.14) имеет три нетривиальных состояния равновесия: 1

Е\: р\ = —, р2 = 0; Е2: р\ = 0, р2 = —; ai а\

Еъ ■ Pi = Р2 = ——г CL\ + Ь\ т / 9 / 33±v^73,

Состояние равновесия Ез изолировано, если а\ ф b 1 (с ф -—-).

108

Именно этот случай рассматривается в работе. При этом состояния равновесия Е\,Е2 асимптотически устойчивы, если выполнено неравенство а\ < Ъх (0.15) и неустойчивы, если ai > h. (0.16)

Состояние равновесия асимп тотически устойчиво, если выполнено неравенство (0.16) и неустойчиво при выполнении неравенства (0.15). Напомним, что d > 0, а следовательно, в критическом случае и с > 0. Откуда элементарно проверяется, что неравенство (0.15) выполнено, если с € (ci;c2), а неравенство (0.16) выполнено, если с G (0; ci) U (с2;оо),

33-у/т 33 +л/Ш где С\ = \ ---и 0.179, с2 = \ ---« 0.761.

V 108 ' V 108

В заключительной части §2.3 показано, что состоянию равновесия Е2 соответствует счетное число циклов, а состояниям равновесия соответствует уже счетное число двумерных инвариантных торов исходной краевой задачи. Построенные циклы и торы наследуют устойчивость (неустойчивость) соответствующих состояний равновесия. Развернутые, математически более строгие утверждения сформулированы в виде теорем 2.2 - 2.4 и следствий из них.

Последний параграф посвящен тому случаю, когда \clq — 1| << 1. В §2.4 исходная краевая задача рассматривается, когда fitg = 1 — re, d = 2с — 5.

Построения, в которых основные моменты повторяют построения двух предыдущих параграфов, приводят как и там, задачу о бифуркации плоских воли к исследованию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений, подобной системе (0.14),

Pi = Pi- Pi{aiPi + bip2),

0.17)

Р2 = др2 - Р2(Ь\Р1 + aip2), где д = 1 + 2сг. При I = 7г (ао = 1) получаем, что д = 1 (г = 0).

Эта система может иметь нетривиальные состояния равновесия трех типов

Е\д : pi = —, Р2 = 0; Е2д : р\ = 0, р2 = —, если р > 0; а\ ai ai - big а\д -Ь\ a\- hg aig-bi

Ец • pl = —-7T, p2 = —о-ССЛИ -— > 0, -— > 0. a\ — b\ a{ — of a i — b\ a\ — b\

В §2.4 выведены условия их устойчивости и показано, что состоянию равновесия Е2д соответствует счетное число циклов, а состояниям равновесия Eig, Е?,д - двумерные инвариантные торы. Как и раньше в §2.3 свойства устойчивости наследуются.

Наконец, диссертация содержит два приложения. Каждое из них содержит компьютерную программу на языке Pascal в среде Delphi 5.0 [57]. Первое из них относится к §1.3 и программа предназначена для вычисления ляпуповских величин для нормальной формы при исследовании бифуркационной задачи этого параграфа. В §1.3 не приводится явный вид формул для подсчета этих величин, так как они слишком громоздки и вдобавок не поддаются аналитическому исследованию даже на знак. Это сделано численно, в циклах по а и с. Сами формулы в виду громоздкости записаны рекуррентно и имеются в теле программы. Здесь автор следует традиции вычислений ляпуновской величины (см. приложение 5, стр. 346 - 349 из монографии [14]).

В приложении 2 приведена программа для численного анализа условий устойчивости асимметричных циклов, а также подсчета и, в частности, определения ляпуповских величин. Схематически структура этого приложения примерно такая же как и приложения 1.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре для аспирантов на кафедре математического моделирования; па Всероссийской конференции посвященной 200 - летию образования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (2003 г.); на международной конференции молодых ученых "Нелинейные волновые процессы"(Н. - Новгород, 2006 г.); на Всероссийской конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения", посвященная 100 -летию со дня рождения заслуженного деятеля науки РСФСР, профессора И.П.Макарова (Рязань, 2006 г.).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 8 работах [62 - 69].

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю, профессору А.Ю. Колесову за руководство работой и помощь.

1. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. - М.: Физ-матлит, 2005. - 432 с.

2. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 33G с.

3. Пиковский А., Розенблюм М.; Куртц Ю. Синхронизация. Фундаментальное явление. М.: Техносфера, 2003. - 431 с.

4. Aronson D.G.,Ermentrout G.B., Kopell N. Amplitude Response of Coupled Oscillators // Phisika D. 1990. - Vol. 41. - P. 403 - 449.

5. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Hysteresis of syncronous -asynchronous regimes in a system of two coupled oscillators // Phys.Rev. A. 1991. - Vol. 49. - P.5G38 - 5641.

6. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. О динамике двух слабосвязанных осцилляторов Ban дер Поля Дуффинга с диссипативпой связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2003. - Т. 11, М. - С.48 - 63.

7. Глызин С.Д. Динамические свойства простейших конечноразност-ных аппроксимаций краевой задачи "реакция диффузия"// Дифферент уравн. - 1997. - Т. 33, №6. - С. 805 - 811.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967. 472 с.

9. Колесов А.Ю., Куликов А.Н. Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений / Учебное пособие. Ярославль: Изд. - во Ярославского гос. уп - та, 2003. - 107 с.

10. Колесов АЛО., Розов Н.Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004. 408 с.

11. Kolesov Yu. S, Smirnov A.V. A simple explanation of one of two basic problems of theoretical ecology // Fuctional differentional equations. -1997. V. 4, № - 4. - P. 271 - 278.

12. Куликов Д.А. Десипхронизация однородного цикла разностной модели динамики изменения численности вида за счет миграционного фактора // Современные проблемы математики и информати-ки.Ярославль. 2004. - В. б. - С. 31 - 38.

13. Марсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. - 368 с.

14. Гукенхеймер Дж., Холмс. Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных нолей. Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 5G0 с.

15. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колосов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995. 336 с.

16. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физ-матгиз, 1959. 915 с.

17. Баутин Н.Н. О рождении предельного цикла из состояния равновесия // ЖЭТФ. 1938. - Т. 8. - В. 6.

18. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

19. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

20. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. 496 с.

21. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Советское радио, 1997. 368 с.

22. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1997. 624 с.

23. Колесов АЛО., Колесов Ю.С. Бифуркация автоколебаний сингулярно возмущенного волнового уравнения // ДАН СССР. 1990. - Т. 313, М. - С. 281 - 283.

24. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений //Тр.МИАН им. В.А. Стеклова. 1998. - Т. 222. - 192 с.

25. Olemskoi A.I., Koplyk I.V. Theory of time spatial evolution of a nonequilibrium thermodynamics system // Phys - Uspekhi. - 1995. -V. 10. - P. 1061 - 1097.

26. Haken H. Synergetics. Berlin: Springer Verlag, 1978.

27. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 400 с.

28. Scheuer J., Малотес1 В.А. Stable and chaotic solutions of the Ginzburg- Landau equation with periodic bondary conditions // Physika D. -2002. V.161. - P. 102-115.

29. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

30. Якубов С.Я. Разрешимость задачи Коши для абстрактных квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения // Тр. ММО. 1970. - Т. 23. - С. 37 - 59.

31. Калмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.

32. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. // ТМФ. 2003. - Т. 143. - №3. - С. 353- 373.

33. Колесов А.10., Куликов А.Н., Розов Н.Х. Цилиндрические бегущие волны обобщенного кубического уравнения Шредингера // Доклады РАН. 2006. - В. 73. - М. - С. 125 - 129.

34. Колесов А.Ю. Структура окрестности однородного цикла в среде с диффузией // Известия Академии Наук СССР. Серия математическая. 1989. - Т. 53. - М. - С. 345 - 346.

35. Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Установившиеся режимы уравнения Хатчинсона с малой диффузией // Качественные методы исследования операторных уравнений. Ярославль. 1988. - С. 44 - 54.

36. Куликов А.Н. Бифуркация автоколебаний в сингулярно возмущенных периодических краевых задачах // Математика в ЯрГУ: сборник статей к 25 летию математического факультета. Ярославль. -2001. - С. 183 - 193.

37. Куликов А.Н. К вопросу о бифуркации автоколебаний для сингулярно возмущенной нелинейной краевой задачи гиперрболического типа // Известия РАЕН. Дифференц. уравн. Рязань. 2001. - №5.- С. 74 75.

38. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. // ЖЭТФ. 1950. - Т.20. - С. 1064.

39. Абрикосов А.А. // ЖЭТФ. 1957. - Т. 32. - С. 1442

40. Одех. Ф. Задача о бифуркации в теории сверхпроводимости // Сб. статей под редакцией Келлера Дж.Б. и Айтмапа С. М.: Мир. 1974.- С. 63 70.

41. Kuramoto Y., Tsuzuki Т. Reductive perturbation approach to chemical instabilities // Progr. Theor. Phys. 1974. - V. 52. - P. 1399 - 1401.

42. Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction diffusion systems // Progr. Theor. Phys. - 1975. - V. 54. -P. 687 - 699.

43. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence // Berlin. Springer, 1984. 156 p.

44. Талонов Грехов A.B., Рабинович М.И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей // Нелинейные волны. Структуры и бифуркация. М.: Наука. - 1987. - С. 7 - 44.

45. Ахромеева T.C., Малинецкий Г.Г. Двухкомпактные системы в окрестности точки бифуркации. Поведение решений в малых областях // Препринт ИПМ им. Келдыша М.В. АН ССР. 1983. - №29. 28 с.

46. Ахромеева Т.С., Малинецкий Г.Г. О новых свойствах нелинейных диссипативных систем // Препринт ИПМ им. Келдыша М.В. АН ССР.- 1983.-№118. 28 с.

47. Ахромеева Т.С., Малинецкий Г.Г. О диффузионном хаосе // Препринт ИПМ им. Келдыша М.В. АН ССР. 1983. - №140. 28 с.

48. Глызин С.Д. Динамические свойства решений одного класса экологических уравнений // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ. мат. наук.Ярославль. - 1990. - 150 с.

49. Глызин Д.С., Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляиунов-ского показателя хаотического аттрактора // Диффереиц. уравн. -2005. Т. 41, №2. - С. 2G8 - 273.

50. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малииецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестациопраные структуры и диффузионный хаос // М.: Наука, 1992. 544 с.

51. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Хаотическая буферность в цепочках связанных осцилляторов // Дифференц. уравн. 2005. -Т. 41, М. - С. 41 - 49.

52. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Особенности устройства пространства параметров двух иеидептичиых связанных осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2005. - Т. 13, Ш. - С.З - 19.

53. Малкин И.Г. Некоторые задачи нелинейных колебаний // М.: Гос. из во технической лит - ры, 1956. - 491 с.

54. Колесов Ю.С. Динамические эффекты, возникающие при сильном взаимодействии резонансных автоколебательных систем // Исследование по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1980. -С. 136 - 142.

55. Бобровский С. Delphi 5.0: Учебный курс //Спб:Питср, 2001. 640 с.

56. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики // М.: Наука, 1981. 500с.

57. Магницкий И.А., Сидоров С.В. О переходе к диффузионному хаосу через субгармонический каскад двумерных торов: численный анализ // Диффереиц. уравн. 2005. - Т. 41, №11. - С. 1550 - 1559.

58. Колесов Ю.С, Харьков А.Е. Динамика популяций при их простейшем миграционном воздействии // Доклады РАН. 2006. - Т.409, т. - С. 594 - 597.

59. Колесов Ю.С, Харьков А.Е. Сходство и различия динамики плоских и трехмерных нелинейных волн // Матем.сборник. 2005. - Т.196, №2. С. 57 - 84.

60. Куликов Д. А. Циклы билокальиой модели волнового уравнения: полный анализ // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. 2001. - В. 4. - С. 93 - 96.

61. Куликов Д.А. Исследование динамики билокальиой модели нелинейных волновых уравнений // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. 2002. - В. 5. - С. 46 - 52.

62. Куликов Д.А. Знак ляпуновской величины в задаче о бифуркациях от однородного цикла // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. 2005. В. 7. - С. 78 - 81.

63. Куликов Д.А. Бифуркация плоских волн обобщенного кубического уравнения Шредиигера в цилиндрической области // Моделирование и анализ информ. систем. Ярославль. 2006. - Т. 13, №1. - С. 20 - 26.

64. Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения в задаче о динамике двух слабосвязанных осцилляторов: полный анализ // Вестник Поморского ун та. Серия "Естественные и точные науки" -2006. - т. - С. 152 - 156.

65. Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения двухточечной разностной аппроксимации уравнения Гинзбурга Ландау // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Нелинейные волновые процессы."1 - 7 марта 2006. Н. - Новгород. - 2006. - С. 91.

66. Куликов Д.А. Структура окрестности бегущих волн обобщенного кубического уравнения Шредиигера в цилиндрической области // Известия РАЕН.Диффереиц. уравн. Рязань. 2006. - №11. - С. 135 - 137.

67. Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения и бифуркации от иих в задаче о взаимодействии двух слабосвязанных осцилляторов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. -Т. 14. - №5.- С. 120 - 132.