Автономные краевые задачи в критических случаях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од АКАДЕМ ТЯ НАУК УКРА11Ш , ,ллл 1ПОШУТ МАТЕМАТИКИ

1 9 АПР 1393

Из правах рукттасу

ЧУШСО Серг1Я Михайлов!«

АВТОНОМИГ КРАНОВ I ЗАДАЧ1 В КРИШ'ШИХ ВМ1АДКАХ

Спец1альн1сть 01.01.02.-дифоуютпальн: рШштя

Автореферат дисертац11 на здобутгя вченого ступеня кандидата ф1зико-мзгемагичних наук

Ки1в - 1983

Гобша ыи'онана ь !иститут! геоф!зшш 1м. С.I.Суббот 1на ЛЯ Укра1ни.

Нпукопий KopiiiiuvK : дотпр ф1аико - магемашчних наук О.А.Бойчук.

0ф1цШи! 0И01Ю1ГГИ : доктор ф5зш;о - математичних наук, профосор 10.0. Рябов, кандидат Ф1;?шш-матемагачних наук, старший паукопий cnlnpofij шик В.Г.Колом1ець.

Прошдча устаоова : Ки1в<:ышй державний ун:ворсшот 1м. Тараса Шовчшка.

аахист 1пд5уд'лы:я " " А JL. 1993 р.

_ па засуши! споцгалхзовани! Ради Д Ш6.Б0.02.

о lucTHTyTi матомагшщ АН .УкраТни за а,ц]осою : н. Шив, вул. 1'орощп1к1вська, 3.

3 дисортахЦею можпа ознайпмигись в б!бл!отоЩ In статуту

математики АН УкраЧии.

Ав'ПЦЮ'^рат рсз!сланий /УО^Г^.____1993 р.

Вчонпй сок^отар сиоц!-ал!зовано! Ради

А. Ю. Лучка

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АктуалънЮть теми. Математичкий опис багатьох задач природознав-ства знодиться до крайових задач для функционально - диференщалышх автономних р!вняпь, порядок п яких в загальному випадку не ств-падае з к1лыс1стю т крайових умов.

Автономн1 крайов1 задач1 вивчались ранЗш в припущешп т = п ( А.Пуанкаре, О.М.Ляпунов, Ван-дер-Поль, Т.Г.МалкШ, Ю.О.Рябов, А.М.Самойленко, М.О.Перестюк, М.Й.Ронто, Г.Каудерер, Д.Векслвр, Д.Хвйл.Т.Хаяс! ), причому найб1лъш порно досл1джен1 пер1одичн1,дво-точков1 задачг ( О.Вейвода ) для звичайних диференц1альних р1внянь, а також аналог1чп1 крайов1 задач1 з затзненпям ( Ю.О.Митропольський ДЛ.Марпшюк ).

Нами розглядакггься найб!льш загалый,маловивчен1 пе.цовизначен1 та пвревизначен1 аптономн! крайов! задачг, в яких крайов! умови задашься линШшм, або слабонелппйпим ввкторним функцЮналом, число ш компонент якого, в загальному випадку но сп!впадае з порядком п диферепц1ально1 системи.

Мета дисертащйно! робота - знаходаення необ11дних 1 достатн1х умов 1спування розв'язк^в лШйних 1 слабонел1н1йних автономних крайових задач для систем звичарих дифорешдальних р1внянь. По-будова зб1жних 1геращйпих алгоритм!в для знаходаення розв'язк1в таких задач.

Загальн! метода вивчення. В дисертащшпй робот1 використан! ефоктивн1 методи теорИ збурень- метод малого параметра Ляпунова-Пуанкаре, розвиненийв роботах 1.Г.Малк1на 1 Ю.О.Рябова, асимптотичп!

метода нел1н1йно1 механ1ки, розроблен! в прудах М.М.Прилова, М. М. Боголюбова, Ю. 0. Митропольського та А. М. Самойленка, апарат узагалышно-оборнених матриць i ироектор1в, та узагальнених оператор!в Гр1на ( Р.Пепроуз, А.А.Бойчук ).

Наукова новизна. На захист виносяться сл1дуюч! основп! положення, niel визначають наукову новизну результат1в дисертацИЛшо! робота :

- показано, що основн! результата теорИ автономних nepi-одичних крайових задач справедлив! з в1дпов1даими уточненями 1 доповненями для автономних слабозбурених крайових задач загаль-ного вигляду ;

- побудована загальна теор1я таких задач í проведена кла-сиф1каЩя некритичних та кригичних випадагв;

- одер«ан1 конс1руктивн1 умови Юнування i зб1жн1 1тера-Ц1йп1 алгоритми побудови розв*язк1в слабонел!н1йних крайових задач дяя систем звичэйних диференцхальних р1внянь, та р1внянь з зап1зненням, порядок диференц!ально1 системи яких не сп!впадае з к!льк1стю крайових умов.

Теоретична 1 практична ц1нн!сть. Робота носить теоретич-ний характер, узагальнюе i поглиблюе ран!ш в1дом! результата по л1-н1йним i слабонел!н1йним автономним пер1одичним крайовим задачам на загальний випадок, коли крайов! умови задашься слабонел1л1Еним век-торним функц1оналом, а к1льк!сть крайових умов не сп!впадае з порядком диференц1ально1 системи.Практична ц1нн!сть робота обумовлена там, що питания 1снувапня i побудови розв'язк1в автономних . крайових задач займакггь одно з центральних й принципово важливих м!сць у як!сн1й теорП диференщальних р1внянь, широким застосуванням

теорИ автономии! крайових задач в р1зноман!тних областях знань- ра-д1отехниц!. акустиц1, 61олоП1, геоф!зиц1, що проиигостровано на прикладах р1внянь Ван-дер-Поля, Дюфф1нга, Лотка-Вольтерра.

Апробац1я робота. Ь'езу.яьтати дисергацП допов!дались на :

- V М1жнародн1Я конференпП го чисельним методам ( М1школьц, Угорвдша, сврпень 1990 );

- II Шжнародному колоквхум! по диференц1альннм р1внянням ( Пловд1в, Болгария, серпень 1991 );

- XVII Надюнальнзй л!тн1й школ! "Застосування математики в техншЦ" < Варна, Болгар1я, вересень 1991 );

- Пермському розширеному семХнарх ,,Як1сна теор1я функц1онально-дифе-■ ренц1альних р1внянь"( Гйрмь, лютий 1990 );

- Школ! - семШар! , .Модалювання 1 дослцдаення стИкост! ф!зичних процзс1в" ( Ки1в, травень 1990 );

- XV школ! по теорИ ошратор1а у функц!ональних просторах ( Ульян!вськ, вересень 1990 );

- КонференцП , .Фрактальвий анал!з в математиц!,. б!олог!1 ! мвдищ-» ■

н! ( Слов'янськ, кв1твнь 1991 );

- II научно - техн!чному сем1нар! ,.Моделывання ! дослддшння

»*

ст1йкост1 ф!зичних лродосзп ( Ки1в, травеиь 1991 );

- Трет1й П!вн1чно - Кавказьк1й рег!ональн!й конференцИ по функционально -. дифоренщальним р!внянням ( Махачкала, вересень 1991 );

- КонференцГ! ,,Модалювання 1 дослвдкення ст!йкост! процес!в " ( Ки!в, травень 1992 );

- Конференц!! "Нел1н1йн1 проблеми даференц!альних р!внянь ! матема-

тично! ф!аики- Друга Боголюбовеьк! чигання"( Душанбе, всресень 1992);

- сем1нар1 в!д«1лу математично! ф1зшш 1 теорИ нелШйних коливань акадок!ка М.О.Митропольського ( Ки'1в, с1чень 1993 р. );

- сеШнар! нрофосора К). 0. Рябова ( Московсысий автомоб!льно-<5уд!вельний !нститут ).

Структура та об'ем робота. Дисе[пац1я, об'ем лко! 139 стор!нок машинопису, складаеться з вступу, трьох глав, висновку 1 списку лггератури. Шбл!о1рзф1я складаеться з 93 вайменувань. По тени дисертацП надруковано 14 робот I 1-14 ]. 3 публикахцй, виконаних в сп1ваторств!,в автореферат 1 дисергац!ю включен! результата, отриман! автором самост!Яло.

ОСНОВ! 1№ ЗМ1СТ Г0Б01И

В иершому розд1л! розглядаеться задача про знаходаеннл кпнетруктавних. умов !снування та иобудову пер!одичних розв'язк!в 7. ( . , с ) е. с* { X, ], г ( . ) е с I е ] слабонел1н!йно! автономно! системи диф01юпц1альних р!внянь

й'г/йХ = кг1гг{г, *), 1 >

як! при с = О обертаються в трЮдичний розв'язок породауючо! сис-

тема

[|7,„ / С1 Ь = А . ( 2 )

Досл1даено критичний випадок, ко.яи п х п - вим1рна матриця А мае власн! числа вигляду 2 я 1 к / I, г = -/-1 , к = О, * 1, * 2 ,... ; п - вимЭрна векторна фуикШя I ( г, £ ) нетерервно-дифе-решЦйовна пп> г в окол1 породауючого розв'язку ! неперервна по е е [ О, со ] в окол1 нуля. Нод1бн1 ноавтонокн1 пер1одичп! задач! вивчали раШш А.Пуанкаре, О.А.Ляпунов, Ю.О.Митропольсышй, 1.Г.Малк!н, А.М.Самойленко, Ю.О.Рябов, М.й.Ронто, О.Н.Шиманов, О.П.Проскуряков,

Д.Хейл, О.А.Бойчук.

Як вХдомо4*, задача про знаходження перюдичних розв'язкгв

автономиях систем 1стотньо вщпзняеться в1д аналог1чних задач дли

неавтономних систем, перш за все тим, що на в1дмшу в!д останн ix

пер!од шукапого роз'вязку системи ( I ) нев1домий i заложить в!д ма-

. лого параметра е.

Умову 1снування шуканого Т^ с ) - шр1одичного розв'язку

системи ( I ) визпачае слХдуюча «tt

ТЕОРЕМА 1.2. ( Достатня умова ) Нехай перТодична задача ( 1 ) задов1льняе зазначеним вище вимогам. Тод1 для кожного простого

det Во ¿ О, В0 = a F ( с* ) / a с кореня с* = col ( сД . ft* ), fi*= Р( 0 ) р1вняпня

F ( сж ) = Г т Н*( s ) f í s, с* ) d з = О, О г °

f0 ( S. Сж ) = ож А го ( з. сД ) + Z ( zo ( з. сД ), О ) ,

для ' породжуючих амал 1туд пер!одична задача ( 1 ) мае сдиний Tl(«)=T(1+eíJ(e)) - Шр10ДИЧНИЙ розв'язок Z ( . , я ) -еС' I t 1, z ( t, , ) « С ( « I , який при с = О обвртаеться в по-

родауючий zo( t, сД ) = Xr i( t ) сД.

tt / Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.-

Гостехиздат, 1956.-491 с. Ш / Нуморащя тверджень в1дпов1дас дисертащь

М.

ЦиЯ розп'яаон.а такой поправку /?( . ) s CÍ £ ] на floro пер!од ^ ) можпа ризлачпги за доиомогою з01и(ного 1терац1йного продосу í М.

Туг II ( t ) - п х г - магриця Т- шр!одачних розв'язк1в системи, спряжзно! до ( 2 ), Xr i( t ) - II х ( г - 1 ) - матрицл г Т -шр1одичиих розв'язк1в системи ( 2 )- блок матриШ. Xr( t ).

Тснування цього розв'язку було paiiira доведено 1Л'.Малк1ним, ало в дисергацП досл1джено критичний випадок но т1лыси першого, ало й другого порядку, характерный там, що для вШюв1д1 на питания про 1енуваш1л шуканого розв'язку системи ( I ) необх1дно й дос-тагньо дослгджошш системи другого лаближення.

Для прикладу, який .хлюсгрус заиропоновану схему анал!зу а побудит?« поркщичних розв'язк1в систем вигляцу ( I ), розглянуто' пор1одичну задачу для вхдомого рХвшшня Ван-дер-Поля. У другому розд1л1 дисертацП розгляпуто задачу про знаходжепня умов 1снуванпя й побудову розв'язку z ( . , « ) ® С*[ t J, t е e [ о, 1) ( í )], z ( t, . ) б С [ г ], я е [ О, ¿о ) слабонел1н1й-Hü'i OEiTQHOKUo'i системи диферешиальних [liBHfflib

dz / d t = A.z Ш í Z (z, с ), (3)

який задовольняе крайов1й умов!

lZ(.,<r)=" + sJ(Z(.,e), е), (4)

та при с = и сбертасться в розв'язок z0( . ) е c'lti, tela, b*l,

породкуючо! ítpatloBoi задач1 ( b ( 0 ) = b* )

d z / d t = Л z , (5)

O O '

í го( . ) = «, < 6 )

до введен! иозначення : 1 та J - в1щюв1дао л1н1йний i нелИпй-

ний по z векторШ фушсщопали, п - вектор - фушсщн Z { z, £ ) неперервно - диференц!йовна по z в окол1 породжуючого розв'язку i неперерппа по е е [ о, 1 в окояг нули, п -вим1рний вектор - функщопал J ( z ( ., с ), с ) гопероршю- дафе-ронщйовний по z ( у розум1нн1 Фреда ) в окол! породауючого розв'язку 1 неперервний ПО С е [ О, £Q ] В ОКОЛ1 нуля. Стал1 вектор-СТОВПЦ! О, í е К",

Досл1даено критичнмй вшадок, коли однородна ( с. = о, í = О ) породшуюча задача мае нетршз!алып розв'язки. Знаадегго достаток) умову 1снуваппя розв'язку породауючо! крайово! задача ( Б ), ( 6 ), a також необх!дн! й достатн! умови Юнування i sdim-hí iTopaniflui алгоритми побудови единого розв'язку задач! ( 3 ), ( 4 ) у випадку, коли вопа мае властив!сть ,,р", якувпровадго 0. Ввйвода ( тобто, коли крайова задача < 3 ), ( 4 ) мае роз-в'язок z ( 11 с ) на В1др1зку [ a. h ( « ) 1 одночасно з роз-в'язком Z ( t + ll, £ ) для КОЖНОГО 11 е для якого функц!я z ( t + h, £ ) мае значения ). Окремим випадком задач з власти-Bicno ,,р" е пер!одичн! крзйов1 задач! для систем вигли.цу (Т).

Достатн i умови !снувацня та збзжний 1терэ1ийний алгоритм побудови единого розв'язку задач! ( 3 ),( 4 ) у випадку, коли вона мае властивзсть ,,р" визначав наступяа

1Е0РИДА 2.2. Для кожного розв'язку с* = col ( c*i ,рж ), р*= 0( 0 ) р!вняння для породжуючих ампл1туд

F ( сн )' = í J ( zo ( c*_t ), U ) -

Г I

- 1 Г Ь* К ( ., з ) ro ( з, с* ) ds | =0,

io< S, С* ) = p* [ A zo< 3, C*_t) + I ] 4 Z ( zo ( 3, c*.,), 0 ),

при yMOBi новиродаеност! матриц! BD = а л ( с* ) / а с ,

крайова задача ( 2.1 ),( 2.2 ) мае едииий розв'язок z( ., с ) е е С* [ t ], Z ( t, . ) « С [ £ ], Z ( t, 0 ) = Z ( t, СЖ ),

о г -1

ятсий можо бута зпайдено за доиомогою зй1жно"1 на в1др1зку I О, ] 1тер;щ1Шю'1 прсщедури [43.

Тут Q = IX(. )-ш х II- матриц«; г х п -матриця PQ* - будуеться

з повно! системи г лИпйно- гозалежних рядов ортгафоектора PQ* : кп -» N < Q*), К ( t, з ) - матриця Коши.

Умови кжуяакня розв'язку двоточково! задач! ( 3 ), ( 4 ), яка мае 1ш-эспш1сть ,,р", у кртичному вкладку першого порядку ран!ш були одержанi О.Войводою^ . -

Дал! дослЗдиюна задача про знаходженяя пер.шдичних розв'язгпв сис-томи ,1tt

dz/dt=Az ( t ) + В z ( t - д ) +

eZ(Z(t),Z(t-A), с ) , (7)

fiici гфи £ = 0 обергаються в розв'язок тгороджуючо! системи

d 7.0 / (1 t = A Zn( t ) ч В zo( t - Д ), ( 8 )

# / Vejvoda О. On perturbed nonlinear boundary value problems //

Cliec. Mnth. J. - 1961.- 11. - P. 323 - 364. il« / Митрогюл'ьский Ю.Л., Маршнкж Д.И. Периодические и квазиперио-дическио колебания систем с запаздыванием. -- Киев : Вида шк., 1979.- 240 с.

да А 1 В - стал! п х п - матриц!, д- стала затзпопня. Досл!дж9-но кригичний випадок, коли иороджуюча система мае петрив: а лып шр1одичн! розв'яэки. Знайден! необх!дн1 ! достатп! умови 1сну-вання та зб!жп! !торац!йп! алгоритми побудови шр!одичних роз-в'пзк!в, як! узагальнюхггь в!дон1 результата про !снування пер1-одичпих розв'язк!в системи ( 7 ) (у критичному виплдку первого порядку ) на критичний випадок другого порядку.

ТЕОРЕМА 2.5. Для кожного розв'язку С* е кг р1вняшш

г < с* ) = | т н*< з ) 1о ( н, сж ) ая = о .

Л О Г

Р* [ А га( а, сД) + В го( а - д. сД ) ] +

+ г ( го( в, сД). г ( б - д, сД). * ) = Го( 3, с* ),

для породжуючих ампл1туд при умов! невиродженост1 г х г - матриц!

Во = а с* )/ а с , автономна система ( 7 ) мае сдиний Т±( с )- горшдичпий розв'язок

г ( ^ ) ^ с1 с г ], г 6 [ о, т4 < * н, г < г, . ) е с ( « ],

який при с - 0 обертзеться в породауючий

*„< СД > = Хг-,< 1 >

Цей розв'язок,а також поправку р( . ) « С1 < I па його пэр!од Т{ с ) можпа визначигги за .допомогою зб!жного !теращйного проносу 12). Тут Нг( г ) - п х г - матриця Т- перюдичних розв'язк1в системи, спряжено! до ( 8 ), Хг_,( г ) - п х ( г - 1 ) - матриця Т -

- 10 -

ШрШДИЧНИХ рОЗВ'ЯЗК!!! СИСТ6МИ ( 0 ).

Для 1люстрацГ:1 розглянуто порЮдичну задачу для рхвняння Ван-х*;р-Полл з зап1знонням. Результата для utoro pjвняшгя, як 1 для загально! дар!одично! задач! з зашзненпям ( 7 ), при д = О перотворюиться у ь1дпов!дн1 результата дяя шр!одично'1 задач! ( I ) без зал!знення.

Трет1й розд!л дасергацП присв'ячений досл1даенню задач! про зпаход-шннн конструктивних умов !снування " й побудову розв'язк1в край-ово! задач! ( 3 ),( 4 ), як! при с = О обертаклъся в розв'язок по-родауючо! задач! { б ), ( 6 ), в загалыюму вшю.цку, коли розм1рно-cri п дифорошдально! системи ( 3 ) i m крайово! умови ( 4 ) не иШшацаютсА

Доелхдаано критичний випадок .коли однородна ( а = о, Г = 0 ) гюродауюча задача мае погрив1альн1 розв'язки. Знайдано достатн! умови icnyaaHHii розв'язк1в шродауючо! крайово! задач! ( 5 ), ( 0 ), а також необх!дн1 й достатн! умови !снувапня 1 зб1ж-н!. J iepauiйн! алгоритмы побудози шуканого розв'язну задач! ( 3 >, ( 4 ) у кригичних випадках першого й тугого порядку, що дозволило сфсрмулювати яагальну схему дослЦдеешш автономиях край-ових задач вигляду ( 3 ), ( 4 ).

Для ц1е! задач! впарее шбудовано р1вняння для породауючих амшй-туд ( 10 ), яке узагалышс паводан! вида р1впяння для породауючих

« /■ Самойлонко A.M., Ронто II.И. Численно-аналитические метода исследования решений краевых задач.- Киев: Наук, думка, 1988,- 224 с. Гребеников Е.А., Рябов К).А. Конструктивные метода анализа нелинейных систем.- м.: Наука, 1979.- 431 с.

змгШтуд для поршдичттих задач вигляду (1)1 задач пигляду ( 3 ),

( 4 ), як1 иакггь властив!сть "Р". 1спуванпя дШсного розв'язку ч

п с к цього р1Бияпня необидно для !снування иукапого розв'язку задач! ( 3 ), ( 4 ). Розв'язок цього р1вштаня шгакачче амгШтуду породжуючого розв'язку тому мо:та в1дпов1длги стуканий розв'язок останпьо! задач1 та початкову поправку пч дев-жину В1др1зку. на якому будуеться ней рсзв'яэск. Вс1^новлопо таком зв'язок мик простотою розв*язк!в цього ршпшня ( критичний вип.ч-док горного порядку ) й уновою юнувглшя гауканого розв'язку автономно! задан ( 3 ), ( 4 ). Зчпропоновано зам1ну

Ь ( £ ) = Ь* + £ ( ь* - а ) !?( е ), О ) = п*.

г = а+ (т~В)(1+£^(,:)), ( у )

незалеишо! зм1пно1, необххдну ■ для побудови зб1жних ПерэцШтх схем для знаходження розв'язку ц1е'х задач!,яка узагаль гласе ведому ( I ] зам!ну для автономно! пор1одичпо1 крайово! задач! ( I ).

Зг1дно методу4 досл!дн:е1шя неавтонсмяих задач типу (3 ), ( 4 ), використовуюти ноперервну ди*{еренц1йовн1сть вектор-функпП т., е ) й векторного функцЮналу .1 ( г ( ., е ), е ) по г в окол! породкуючого розв'язку 2о ( т, с* ) та IX пеперервШсгь по ^ в окол! точки с = 0, вид!ляемо у вектор-ФункцИ I ( го + х, с ) Я векторного ФункцЮналу «Т ( ?,о х, е ) л!н1йну частгау по х та члени пульового порядку по ^

г ( гп ( т, сж ) + х ( т, я ), с ) = г (г < т, с* ). О )

'V Бойчук A.A. Конструктивные метода анализа краевых задач.- К. Наук, думка, 1990.- 90 с.

+ А, ( Г ) X + ( X, í ),

ДО

А, ( т ) =Д- Z (Z,0) |Z = Z0 (г, с* ), pí ( О, О > = О, о pt ( 0, 0 ) / í I = О . ' J ( Zc ( С* ) + X ( * ), * ) = J ( zo ( с* >, О ) +

+ 14х( . , х )+J4 (Х( - , * ).

причому х ( ., £ ) - лШйна, a J,( х (.,«)> f ) - нелйШ-на го х частина векторного фунгаЦонала J ( zo ( ., с* ) + + X ( . ,£).<=).

Умови 1снування та 1терац1йний алгоритм иойудови шуканого розв'язку задач! ( 3 ),'( 4 ) визначае

ТЕОРЕМА 3.3. Для кожного розв*язку с* = со! ( с* , fl* ) е к"1

р1впяння для породауючих ампл!туд

' F ( с* ) = Pq* í J ( zo ( ., с* ), О ) -d '

- 1 J Ъ* К ( ., s ) f ( s, с* ) (1з } =0, ( 10 )

а '

f0( s, с* ) = fi* Г A zo< а, с* ) + f ] + г ( zo ( а, с* ), О ), при. умов! иовноти рангу d х ( г + 1 ) - матриц! В :

ж

Во = р(£ ( К хг< ~ ) 1 J I К ( з ) А, < s)cls} . (• 1 у виладису m > п , при умов! Рц* PQ* = 0 )

- 13 -

крайова задача ( 3 ), ( 4 ) мае р- параметричпв

О, га > п.

(О, га > п,

n - m + 1, га < п ,

р = rank Гп

- ■ » ш

CiMOfiCTBO p03B'fl3KiB Z( . , £ ) е С* [ t ], Z ( t, . ) <s С Г e 1, nici при с = О обортагтгьсл в породауючий розв'язок однор1дно1 задачi

( Б ),< 6 > z(t,0) = zo(t, с*), zo( t, с* ) = Xr( t ) с* ,

да п я г - мзтриця Хг { t ) составлена з г- лшпйно-нвзалежних сто виц j в. матриц X ( t ) Pq . Цей розв'язок можна визначити за допомогсю зам1ни ( 9 ) та наступно! 1терац1йяо'1 процэдури, зб1ж-по'1 при « е [ 0, * ]

Zlc*.< Т' * > = Z0< Т' Сг > + Т' * >■

т. * ) = X ( г ) I, ct ).

Ск = ~ BI PQ* { К Х'Г< ■• £ > + J, < ХТ< •• £ >• * > ~

* 1 - 1 X ^ К ( .. з ){ [ р* А + А,( s )] R ( х'£\ * ) | ds 1 +

+ Рр ср • < 11 >

<:;<',«)='!!(' ) Q+ J ( zo + х';*. * ) + G { fo< з, с* ) .+ + A,( з > Ck+ [ P* A + A4( s ) 1 х'*'( з, £ ) + R ( x'^. « )}( т ), x„( т, * ) = x'"( -г, * ) = 0. k = 0. 1. z', ... .

Д0В1ЛЬНИЙ вектор ср< . ) е с [ £ ], ср е кр .ПрИЧОМУ Ср( О ) = 0.

При цьому г + 1 - а компонента р = р(*)=р(*)-р* векторно! константа с = с ( е ) е к"1 являе собою поправку на довжину пром!жку, на якому побудовано шуканий розв'язок z( t., с ) задачi ( 3 ), ( 4 ).

Тут ( G f )( t ) - узагальнений оператор Гр1на**, д1ючий на дов1льну 1нтегровну функц!ю vit) таким чином :

h*

( G V ) ( t ) = J К ( t, s ) v ( s ) ds -a

-X(t)Q+lJb*K(.fs)v(s)d3. a

KpiM того використан! сл!дуюч1 позначвння :

S, ( т ) = { [ p* A + A, ( t ) ] Xr< t ), A zo( t, c* ) +i } -

П X { Г + 1 ) - MipHa матриця, С = COl( Cr , P ) e Rr + t, С (. ) e

еС[е},р = р-р*<*т', rank Q = , d = m-ni,r = n-nl,

R ( X, С ) =pkx+£pz ( ZD + X, e ) + pt ( X, С ) . Дал1 Pg* - dx d - матриця- оргопроектор : Rd N ( В* ), аналог1ч-

а

но Рв -( г + 1 ) х ( г + 1 ) -матриця-ортопроектор: к"1-* N (Во),

о

I = [ I , 0 ] - стала г х < г -t 1 ) - матриця, Pq* - d х m .

d

У' випадку m = п, найбхльш розповсвдненому в теор!3 коливань, 1з Рв =0 випливае Р^к =01 умова PR* Pq* = 0 виконуеться.

О . О D d

«/.Див.: зноскэ на стор. II.

£

У виггадку жр!одич1шх крэйових задач ш = п, J < z ( « ),

) =0, о = 0, f = 0, 1 z ( .. ' ) = z ( о, i ) - Z (!,( е ). Oi

з урахуванням того, що остання компонента вектора сг в представлен! z( t, ^ ) належяим зсувои незалэжпо1 зм!няо! t може бути проблона нульовою, теорема 3.3 перетворюеться в теорему 1.2.

Зг!дно традиц1йно1# класиф!кац!1 пер!одичних крайових задач вшадок ловноти рангу матриц! Во нэлежить до критичного ви-падку першого порядку. В!н характеризуемся там, що е iлиовадь па питания - про 1снування шуканого розв'язку задач! ( 3 ), ( 4 ) даеться п!сля анал!зу системи першого наближення.

Як модельний приклад розглянуто двоточкову задачу для р!вняння Ван-дер-Поля.

Особлива Micue серед автономиях крайових задач вигляду (3 ),( 4 ) займають задач!, нел!п1йност! 1 ( z, ) i J ■( z, * ) яких явно не залежать в!д малого параметра с ; ц! задач! характерн! там, що для в!дпов1д! на питания про !снування ! структуру шуканого розв'язку достатньо досл!даення системи першого наближення. Як приклади анал1зу таких задач досл!джен! шр!одичн1 задач! для р!внянь Доф!нга та Лотка - Вольтера ( ,,хижак - жертва' ).

# / Див. зноски на стор. 10, II.

- le -

2м iст дисергтацИ в!дЗито в сладуючих публйшщях :

1. Бойчук A.A., Журавлев В.Ф., Чуйко С.М. Периодические решения нелинейных автономних систем в критических случаях //Укр.мат.шурн. 1990.- 42, * 9.- С. И80-Н87.

2. Бойчук A.A., Чуйко С.М. Периодические решения нелинейных автономних систем с запаздыванием в критических случаях // Докл. АН Украины.-' 1991,- Ii 9.- С. 9-13.

3. Бойчук A.A., Чуйко С.М. Критические краевые задачи для динамических систем // III Северо-Кавказская регион, конф., Махачкала, 10-15 септ. 1991 г. : Тез докл.- Махачкала, 1991.- С. 26.

4. Бойчук A.A., Чуйко С.М. Автономные краевые задачи в критических случаях- I, Автономные периодические краевые задачи в критических случаях.-Киев, I99I.-50 е.- ( Препр./ АН Украины. Ин-т геофизики ).

5. Бойчук A.A., Чуйко С.М. Автономные краевые задачи в критических случаях- II.-Киев, 1992.-52 е.- ( Препр./ АН Украины. Ия-т геофизики ).

•в. Бойчук A.A., Чуйко С.М. Автономные слабонелинейные краевые задачи // Диффвренц. уравнения.- 1992.-28, N ° 10.- С.

7. Чуйко С.М. Слабовозмутцоиные автономные периодические задачи //

Школа-семинар,, Моделирование и исследование устойчивости физич. »»

процессов , Киев, 22-24 мая 1990 г.: Тез. докл.- Киев, 1990.-

• с. ев.

Í

8. Чуйко С.М., Чуйко E.D. Слабонелинейные автономные краевые задачи критических случаях // Семинар ,, Фрактальные объекты в математике, физике и биологии "славянок, 25-27 апр. 1891 г.: Тез. докл.-

Кшв, 1991.- С. 24-25.

9. Чуйко С.Н., Чуйко Е.В. НелинеЯпыо автономные краевые задачи в критических случаях // Школа-семинар,, Моделирование и исследование устойчивости физич. процессов 'Киев, 20-30 мая 1891 г.: Тез. докл.- Киев, 1991.- С. 66.

10. Чуйко С.М., Чуйко Е.В. О решениях автономных крсевых задач в критических случаях // Конференция ,, Моделирование и исследование устойчивости процессов", Киев, 26-28 мая 1992 г.:. Тез. докл.-Киев, 1992.- 0. 65 - 60.

11. Чуйко С.М. Слабонелинэйныо динамические краевые задачи // Конференция " Нелинейные проблемы диф. уравнений и мат. физики - Вторю Боголюбовские чтения", Душанбе 14- 18 септ. 1992 г.: Тез. докл.- Киев, 1992.- С. 174.

12. Bojchuk A., Chuiko S. Autonomic Periodic Boundary Value Problems In Crucial Cases// 5-th Conference of Nmerclnl Methods,Miscolc, 20-25 August 1990 y. Abstracts.- Miscolc, 1990.- P. 10.

13. Bojchuk A., Chuiko S. Autonomic Nonlinear Boundary Value Problems In Crucial Cases // Second Internationa) Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, 19-24 ЛидиЩ 1991 у. Abstracts.- Plovdiv, 1991.- P. 43.

14. Bojchuk A., Chuiko S. Nonlinear Autonomous Boundary Value Prob-

• lems in Critical Cases // XVII Национальная летняя школа "Приложения математики в технике", Варпа, 30 авг.- 8 сент. 1991 г.: Сборпик докладов и научных сообщений.- София, 1992.- С. 6-9.