Краевые задачи с вырожденным импульсным воздействием в критических случаях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НЛЦЮНАЛЬНА АКАДЕММ НАУК УКРАИШ ШСТИТУХ МАТЕМАТИКИ

РГБ ОД „

На правах рукопису

1 5 ДЕК 1936

ЧУЙКО Олена В1ктор1впп

КРАЙОВ1ЗАДА Я 3 В ИР ОД ЖЕНИМ

1МПУЛБСНИМ ЗБУРБННЯМ У КРИТйЧНЙХ ВИПАДКАХ

01.01.02 — диферепц!алып рттптя

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацп иа одобуття паукопого етупепя капдпдата фюико-математн'гних паук

Кшв

— 1990

Дисертац1сю е р.укопис

Робота вихояана в 1нстатут1 математики HAH Укра1ни

Иаукпв»а кер1в;юк: доктор ф1зико-математичиих наук БОйЧУК О.л.

онлайн! огоненти: доктор фхзико-математмчних наук САКОйЛЕНКО В.Г., кандидат ф1зико-математичних наук, доцент БОРИСЕНКО С.Д.

Ирпв1,циа усгаяава: Кшвський нац!сшальни2 ун1вэрсйгет 1м. Гараса Шэвченка

&шкл вщЗудоться "eSi." tf^yy"^______ 1996 р.

n/S ход. на зас!данн1 спетаЛзовано! Рада д 016.50.02. при 1нстигут1 «тематики HAH УкраЭСни за адресою: и. Ки*в, вул. 1ерещвнк1вська, 3.

3 дисэртаЩею мошна ознайодагась в <31бл1отеЩ 1нотйгуту

Авторе^ рат роз [слано " " о~с<-с с1996 р.

Вчений секретар сшЩаЛзоваво!

рада доктор ф!з.- мат. наук,

професор ЛУЧКА А.Ю.

- 1 -

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТЯ Актуальн1сть теми. Математичрий опис багатьох задач природознав-ства сводиться до крайових задач: з 1нпульсним збуренням у ф!ксован! момента часу, протв до цього часу.- суттево використовувалась кевирод-шен!сть !мцульсного агошву [ М.М.Крилов, М.М.Боголюбов, А.Халанай, Д.Векслер, А.М.Самойленко, М,0.Перестой, О.А.Бойчук1 1.

Наш розглядаеться маловивчений випздок виродавного !мпульсного сбурекпя, для якого panla булн знайдон! тЬяыси уу.ови Хснуванпя роз-в'язк!в P.KoHTl, С.Шваб1к.г

Мата дисертац!йноГ робота - знаходення' необх!дяих t достanilx умов !ск,вання розв'язйв л!н!йних î слабонвл1н1«ших систем звичайних диферентальних п!вяянь, як! задовольняють крайов! умови.що задан! лйМнкм або слабонелйййним взкторним функционалом i в ф!ксовзн! момента часу мають вироджене !мпульснэ збурення, причому порядок дифе-реншально! системи I к!ль :1сть крдйових умов в загзльноау випадку не ствпадагать.

Загальн! метода вивчення. В дисертаЩйн1й робот! викорисган! ефо-ктивн! метода Teopiï збурень - метод малого параметра Ляпунова-Пуанкаре, розвинэний в роботах 1.Г.Малк1на î Ю.О.Р1?бова, ас^гтотичя! метода гол!н1йно1 мехайки, розроблвн! в працях М.И.Крилова, М.М.Боголюбова, Ю.О.Митропольського та А.М.Самойлэнка.апарат узз^альиено-обернених мат риць 1 провктор1в Е.Мура 1 Р.Пенроуза, а такси кояетрукцИ узатально-них ошратор!в Гр1на крайових задач з 1мпульсним вшивом

1 Самойлепко A.M., Перэстюк H.A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием.- Киев : Вила шк., 1987,- 287 с.

* Schwablk S. Differential Equations with Interface Condition// Casopis pro pestovanl natematiky.-1980.-roc. 105.-p. 39t-JD?.

А.М.Самойланка, М.О.Перэстюка I О.А.Бойчука.

Наукова новизна результата дис,ертац1йно1 робота полягае в тому, що

- вперше показано, що основн! результата теорИ крайових задач з Импульсной Д1ею справджуклъся з в1дпов1дними уточнениями та доповнення-ми I у випадку виродаеного Импульсного впливу;

- побудовано норнальну фундаментальну матрицю л!н!йно1 однор!дно1 ди-ференцИальноГ системи з виродаеним йтульсним вшшвом 1 доведено XX Юнування та еданЮть;

- побудовая! нов! конструкцИ узагальвених оперэтор!в Гр1на задач! Кош! ,та загально! лШйно! ноогюр1дао1 крайово! задач!, а такой знай-ган! необх!дн1 й достатн! умови Хх Юнузання;

- запропопован! зб1жн1 1тераЩйн! алгоратш побудови розв'язк!в ела-банел!я!йних крайових задач з виродаеним 1мпульсним збуронням..

Теоретична 1 практична щннгсть. Робота носить теоретичний харак-т р, узагальнгое 1 поглиблюе рап!и в!дом! результата для крайових задач з 1мпульснш збурзнняи. Практична Щнн!сть робота обумовлена тим, мо питания 1снування та побудови розв'язк!в крайових задач з 1мдульс-р.им збуренняи займають вашлт ьйсцв в як!сн!й теорп дафервшйэльта рГвнянь, а також широким застосуванням в теорИ коливэнь, в шхав1ц1 та ф!зиц! високих енерПй.

Апробац1я робота. Результата робота допов!дались на

- КонференнИ "Фрактальний аиэл!з в математищ, бЮ.яоги 1 медицин!" ( Слов'янськ, кв!тень 1991 );

- И науково-техн!чному сем!нар1 " Моделювання I досл!даання ст!й-кост! ф1зичних процейв " < Ки1в, травень 1991 );

- КонфоренШ? " Моделювання.! дослИдаення ст1йкост! процес!в "

( Кггв, травень 1992 );( Юйв> травень 1994 );( Юйв, травень 1995 );

- сем!нар! академиса HAH Укра1ни А.М.Сзнойленка < 1нститут математики, КиХв, с1чвнь 1996 ).

Структура t od "ем podora. ДисзртаЩя, od'ем якоЗС 107 сторхнсн маши-нопису, складаеться з1 вступу, тръох роздШв ! списку лггерэтури. Bid л!ограф1я нал!чуе 107 найменузань. По тем! дисертацп одуйлхковано ? podoT 11-71.3 пуйл!кац!й, виконаних у етйвавторств!, в автореферат I дисертащю включен! результат, отршап! автором самостийно.

0СН0ВШ1Я 3MICT РОБОТИ.

В шршому роздШ розглядаеться задача про знаходаення углов 1с-нування розв'язк!в критично! л1н!йно1 крайово! р^цач!

dz/dt = A(t)z + r(t), t е С а, Ь 1, tM,, (Г) г Z ( • ) = а, ( г )

з виродаешм < rank ( I + S. ) ^ п ) !мдульсним впливом

д г ( Т. ) = S. z < т. - о ) + а , 1=1. ... , р , ( 3 )

дэ 1 < t ) - негорэрвна < ado кусково - негорервна, з розривами пэршого роду ) п - внм!рна вактор-функфя, а. с - стал вектор -CTOBimi: al( oaR", t - лНИйний обметаний векторний функц!онял:

г. с' | t a, b 1 \ { Tt )t j -I. к".

Як в!домо, нормальна ( X < а ) = 1п ) фундаментальна мэтриця иднор!д-ног система <1 ), ( 3 > стае виродаенога за умови виргдайпяя хоча б одн!е1 з "атриць I + S . 1 = 1, ... , р. що унемомливлте пикористпр-ня ран!ш в!домих конструкцИ! опэратора Гр!на задач! (1 ) - ( 3 ),

Укову Юнувзннп ! конструкЩю розв'язкШ задач! Km! для однэрГичч: системи (1 ), < 3 ) визначае наступив лемя.

Л Е М А 1.1. Розв'язок задач! Кош! г. ( а ) = с дли cy^oD'./on г

(I ( t ) = 0, a = 0 ) системи ( 1 ),( 3 ) з виродаении px = rank ( In + s. ) £ n 1мпульсним вшшвий единий; його монша подати у ви-гляд! z(t,c)=X(t)c за допоиогою нормально! фундаментально'! матриШ однор!дно2 системи ( 1 ),( 3 ):

Х0( t ), t « [ а, та[, Уо = Г,

х0< t > Ït, i = г.....р - 1, t « t т., Tttt[,

ï ( H = I v x;*< rt) < In + st> xo< rt > Ï^, < 4 )

xp( t ) = Xo< t ) Yp ,

t с [ r , b ]. p

Уиову 1снування ! конструкцию розв'язк!в задач! Кош! неоднорОДо! системи ( 1 ), < 3 > визначае наступпа лама.

Л Е H А 1.2. Fo33*fi30K задач! Кош! г ( а ) - с для неоднор!дно1 системи ( 1 ), ( 3 ) з виродаеяш 1кпульсним вшшвом единий; 2ого

мота лодате у вигляд! z ( t, с ) = X < t ) с + К ' t î; a. J ( t ),

» v

rte К ( t ) - нормальна . фундаментальна матриця ( 4 ) системи ( 1 ), ( 3 ), К t i; . t ] < t ) - узагальнений оператор Гр!на [ 8 1 задач! Кяш! для системи ( 1 >, ( 3 ): .

хо< г > X х;1« з > г ( з ) а з, г * I а, V,

а 1

К. ( и а, ) - к. Е' X; а ] ( г ), г в [ т., т с,

I 'V ' * 1 р г. ♦ 4 '

К [ 1; а 3 < г >. 1; е Г т , Ь '], р р р

де К^ Х; ^ I ( г ) = Хо< ! ) ~у\ + Хо( г ) / Гв'( 8 ) Г ( а а',

1а

(I

3.> Хо<\> Зс Хо<т1>| ^ С<3> «а)

а

<3я + а

Умову 1снування I конструкцию оператора Гр!на крайово! задач! (1 ) - ( 3 ) в критичному вкладку, коли И однорхдна частина мае ке-трив!альн! розв'язки, визпачав

Т Е О Р Е М Л 1. Крили -з ( гвп!? О = п( < п ) крайова задача ( ! ) - < 3 > розв'язна тод! я т!льки тод!, коли

РЛж

| О - < К [ I; а ](•)]= о,

( 5 >

1 1 г - параметричне с!мэйство розв'язк!в

2 .( г, Сг) = ХГ( г ) сг+ С ( 1; а ] ( I ),

до

( б )

в I V, а М Ь ) = X < г ) а+ [ .« - / К ( ; а 1 < - ) | *

+ к [ х; а. ] ( г ) ■>■

узагальнений оператор Гр!на крайово! задач! (1 ) - ( 3 ) з виродскс»-ним !мцульсиим вшшвом, 0 = г X ( ■ ) - стала тп * п - Maipm.ii, О4"-п « га - вим!ряа матриця,- псевдообернена до 0 за Муром -Пепроузом:3 "Еойчук А.Л.Конструктивные кетоды анализа краевых задач. К., 1090.

Рд*: к" И ( Ч )-шхш - матриця-ортопроектор, Р^* 7 й х т - мат-рицл, складена з (3 = т - п4 лМ^ино-незалежних рядкхв Р,^; п » г -Еим1рна матриця Хг< I ) склздена з г = п - п л!н!йно-Евзалэх;них розв'язк!в однор!дно£ частши задач! (1 ) - ( 3 ).

Леми 1 1'2, а також теорема 1 е узагальненням в!домих результата для л1н1йних систем на випадок виродаеного !млульсного впливу.

У другому роздш досл!дауеться задача знаходаення умов Юнування та побудови розв'язку г ( 1;, * ) слабонелШйно! системи

+ I, с), г ^ т. ( (?)

з виродеоним < гапК < I п+ 5 4) ^ п ) 1мпульсним вплибом

Л 2 ( ) = 5( 2 ( т. - О ) + а + с ^ ( 2 ( Т. - 0 ), £ ), ( 8 )

пкий задоволъняЕ крайову умову

(г ( • , « ) = о+ « J ( г ( • , с ). « ), а« к", т ^ п. ( 9 )

Розв'язок шукаемо в клас! функвдй

г ( • , * ) е с*{ С а, Ъ ] Ч С т4 у% }, гЛ \ , *•) « С [ « ],

« в I 0, ес 3, як! при с = 0 перетвордаться у розв'язок ( 6 ) пород-жуючо! крайово! падач! (1 ) - ( 3 ). Нел!н1йна п - вим!рна вектор -фуикц!я 1 ( г, с ) нешрервно даферонЩйовва по ? в окол! га I нэперервна по г та .1 ( г < • , е ).« ) I г < т. - о, * )-ПР.ЛШ1ЙН! вееторн! функцЮнали, 1Д0 Д1ЮТБ 13 простору С | [ а, Ь ] \

^ { Т1 }х } у Г1РОСТОРИ с?"г' • нешрервно даферешЛйовн! по г < у розум1нн! Фреше ) в окол! г0 1 неперервн! го Така крайова задача у вилздку невиродаейого 1мпульсного впливу ,рая!ш була досл!даеяа О.Л.Гзойчуком.

ТЕОРЕМА г ( Нэобххдна умова ). Якщо слабонел!н!йна крайо-ва задача ( 7 ) -- ( 9 ) з виродаения !мпульсиим впливом мае розв'я-ЗОК 2 ( • , £ ) б с' | ( а, Ь 1 \ < ), || г ( X, • ) «= С [ * ], е <3 [ О, а ), ЯНИЛ при я = О 'ОберТЗЕТЬСЯ в -породауючий розв'язок г0( г, сг) крайово! задач! { 1 > - V 3 ) з константою сг = с* е кг. Тод! векторна стала с* задрвольняе рхвняння для породкуючих амшйтуд:

Г ( с* ) = Рд* •[•Т(2о<-,с*),0)-'ГХ[2{го(з, с*),з,0 );

га( т. - о ), с; ) м • ) } = 0.

ТЕОРЕМА 3 ( Достатяя умова ). Для будь-якого простого ( Рв =0, Р^« Рл* = 0 ) розв'язку сг « о?г р!вняння для породаую

о О <1

чих амшйтуд крайова , задача < 7 ) - ( 9 ) мае единий розв'язок г { X, с ), який визначаеться за дйгэмогою збйшоГ на в!др!зку С 0, ех ] ггерацИно! процздури [ ТО), да Вс = б Г ( с* ) / (1 сг ,-стала' а х г - викйрна натриця, а Р„ , Ро* - II ортопроектори.

Теореми 2 13 узагальнюгать в!дом! результата дм слабонел!н!йних крайових задач з невиргдженим !мпульсним вшивом на випадок виродав-ного !мпульсного збурення.

У третьону розд£л+ досл!даусться задача про знаходаення умов !сну-вання та побудову Т4( с ) - горЮдичного розв'язку

2 ( • , * ) е С'{ [ 0, 14< * )] \ * }, г ( г , • ) в С [ С ),

г е с о, ]. 1< о ) = г* . т4< о ) = т, 1 = V.....Р,

системи звичайних диференЩальних р!вгянь

йг/сИ = Аг + Г + £ 2 (г, г ¡/ 1( * >, ( ш )

з виродаеним ( rank ( I + S ) ^ n ) !мпульсщ:у! вшивом 4 z ( £ ) ) = s г ( f ) - О ) t a +

+ £ J. ( Z ( t. ( С ) - 0 ) , £ ) , (11)

який при £ = О обертаеться в Х- горЮдичний розв'язок zo ( • ) -s е С1 | [ О, Т ] \ { t* У1 j породауючо! краяово! задач!

• d 2г / d t = A zo + I , t И tf , (13)

д г0( tf ) = St z ( tf - О ) + a, ( 13 )

до викоркстан! позна^ення: А - стала n * п - вшйрна матрица, J. ( z ( t.< с )ir 0 ), е ) - нелШйний по z векторний функцЮнал:

С'{ { О, Tt( « ) ] \ { tj * ) \ } - к", sUp= S. .

Нел1н1йна вектор - функц!я Z ( • , г ) б C't Z ), Z ( Z, • ) е е с С с ] в ОКОЛ1 породауючого розв'я"ку. НелЖйний функщонал J ( г ( t.( £ > - О ), <= ) неперервно-диференЩйовний по z ( у ро-зум!нн1 Фреше ) в окол! породауючого розв'язку задач!. Стал! вектор-

стовпц! a, ic«", д z ( t. ( с ), i ) : = z ( t. ( с > + О, « ) -

- ( z ( t.< « ) - 0, e ), s )= tt< i ) + с ), a<p = a,.

Автононн! пер!одичн! задач!, вззгзлг кэжучи, нерозв'язн! на в1др13к.у ф!ксованоХ довжини. Алэ па в!др!зку, довжину якого шукають з умов ix Юнування, перЮдичн! ' розв'язки можуть буги побудован!. Кр1м Того, наявн!сть !мпульсного вггошу 'позбавляп торЮдичну задачу (10) - (И) 1нвар1анткост1 II розп*язк!в в!дносно зсув.у за "асом.

В дисертацй розглянуто як загальний випадок, коли !нвар!знтн1сть в!дсутня, так t частинний випадок збереження 1нвар1антност1,коли матриц! А та S. = S комутуотъ: A S = S A, av = a i в спектрИ матриц! А нанвн! суто уявн! власн!-числа. В останньому випадку показано, ui,o 1 - пер!одичнкй розв'язок ( 6 ) породауючо! системи ( 12 ),( 13 )

о

наданним вибором початку в!дл!ку незалежно! зм!нно! t завжда ноке ¡, бути приведений до вигляду

Z0( t, cr.t) = xr_t< t ) Cr.t+ G [ f; a 1 ( t ), ( 14 )

де X ( t ) - n x г - BiMipua иатриця, исладена з г л1н!31ю - не-залежних Т- перЮдичних розв'язк!в системи ( 12 ),( 13 ), Xr i( t )-п * ( г - 1 ) - матриця, скл_дена з neptinx ( г - 1 ) стовпЩв матриц! ■ X ( t ), G [ f; а ] (t) - узагальнений оператор Гр!на Т - гарЮдич-HOI задач! < 121), ( 13 ).

При розгляд! нел!н1йних перюдичщу крайових задач < 10 ) - ( 11 ) одержано несбх!дну умову 1снувзння íx розв'язк+в.

ТЕОРЕМА 4. Нэхай автономна даферентальв- система ( 10 ) з Нмпульсним вшшвом ( 11 ) мае Tt( е ) - пэрЮдичний розв'язок

Z ( • , С ) бС'| I О, í )] \ ít.( S )), }. z ( t , • ) 6 С [к 1,

який при * = 0 обертаеться у породауючий Т - пер+^цичний розв'язок' zD( t, с* ) з константою е ¡Fr~l. Тод± вектор с* = col < с*_£, рж ) <= кг задовольняе р!вняння дяя породауючих ашийтуд

Г ( с* ) = PQ* К [ í„< з, сж ) ] ( Т ) = 0, ( 15 )

да

|V [AZD( S, С*.,) + l] + z'(40( 3. с*.,), f,)J ;

J ß* [ s. z0( t* - 0, c*_J + а ] + j < zD( t* - о ). с*„). 0 ) J

Вектор c*.t e r1""1 визяачае амшйтуду породауючого розв'язку, яко-ну може в!даов!дати шуканий перЮдичний розв'язок системи ( 10 )-(11 ). Ко. зтанта /з* характеризуе початкову поправку на пергад роз-в'язку.

Теорема 5 ( Достатня умова ). Для кожного кореня с* е е кг рхвняння ( 15 ) для породауючих амшИтуд за умови det В0 Ф t 0 система ( 10 )- < 11 ) мае единий Tt( е ) - порЮдичний розв'язок

Z ( • , i ) ® С | I 0, 1,( ' )] \ (t( i )>, J. z ( t , • ) е С 1 £ },

. якия може бути знайдоний за допомогою зб1жноГ npiij е « t О, ] !те-рац1йпо1 процэдап, аналоПчно! до т!е1, що побудована Ю.О. Рябовим та O.A. Бойчуком.

1люстрац!ею розроблено! в робот! схеми анал!зу автономиях крайових задач з виродаеним !мпульсним збуренням' е досл!дження слабонел!н!йно1 горЮдично! задач! для систем типу Ван- дер- Поля, Дгофф1нга I Лотка -Вс ьтерра ( "хижак-иертва" ). Ц1 приклада демонструють осойливост! постановки автономно! крайово! задач! з виродкеним !мпульсним вшивом, оск!льки !мпульсна перЮдична задача дяя р!вняння типу Вач-дер-Поля на пром!жку ф!ксовано1 довжини ( з ф!кссваним порюдом ) не мае розв'йз-к!в, кр!м трив!альнис.

Ochobhi результата дисзртацл оцубл!козан! в нзступних роботах:

1.. Чуйко С.М., Чуйко Е.В. Слабонелишйныэ автономные краевые задачи в критических случаях // Семинар ,, Фрактальные объекты в математике, фучике и биологии"Славянок, 25-27 kbit. 1991 р.: Тез. доп. JÜ3B, 1991.- С. 24-25. '

2. Чуйко С.М., Чуйко Е.В. Нелинейные автономные краевые задачи в

критических случаях // Школа-семинар,, Моделирование и исслэдова-

» »

низ устойчивости физических процессов ,Ки1в, 28-30 трав. 1991р.: Тез. доп.- KifiB, 1991.- С. 89.

3. Чуйко С.М., Чуйко Е.В. О решениях автономных краевых задач в критических случаях // Конф.,, Моделирование и исследование устойчивости процессов", Ки2в, 26 - 28 трав. 1992 р.: Тез. доп. Ч. IL-KlffB, 1992.- С. 65 66.

4. Чуйко Е.В. Автономные периодические задачи с импульсным воздействием в критических случаях // Укрконф. "Моделирование и исследование устойчивости систем", Кигв, 16-20 трав. 1994 р.: Тез. доп.-КИ1В, 1994.- С. 142 - 143.

5. Чуйко Е.В. Нелинейные краевые задачи с вырожденным импульсным воздействием // Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем", Ки1в, 15-19 трав. 1995 р.: Тез. доп.- Ки1в, 1995.- С.-112.

6. Зойчук A.A., Чуйко Е.В., Чуйко С.М. Периодические решения автономной системы с импульсным воздействием в критических случаях // Укр. мат. «урн. - -1995.- 47, Й 11. - С. 1478 - -1483.

7. Бойчук A.A., Чуйко Е.В., Чуйко С.М. Обобщенный оператор Грина краевой задачи с вырожденным импульсным воздействием // Укр. мат. журн.-!?Э6.- 47, № 5. - С. 588 - 544.

Чуйко Е.В. Краевые задачи с вырожденным импу^усным воздействием в критических случаях.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 01. 02 - дифференциальные уравнения, Ин-т математики HAh'Украины, Киев, 1990.

Защищается диссертация, посвященная изучению краевих задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с вырожденным импульсным воздействием. Нзйдени конструктивные условия существования решений, обобщенные операторы Грина линейной краевой задачи, а также сходящиеся итерационные процедуры доя построения нелинеШп : краевых задач с вырожденным импульсным доздействием в критических случаях.

Ключов! слова: звичайн! даференщальн! р!вняння, !мпульсний вшшв, оператор Гр1на, псевдообернен! матриц!, !терз1дйн! процадури.

Chuiko I. Boundary Value Probiens with Singular Impulsive Perturbations in Critical Cases.

Thesis for tV<? degree of Doctor of Philosophy in Physics and Mathematics, speciality 01.01.02- differential equations. Inst, of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1996.

This thesis is devoted to the investigation of boundary value problems for systetos of ordinary differential equations with the singular 3, pulsive perturbations. The constructive conditions of existence of solutions, generalized Green operators of linear boundary value problem with the singular impulsive perturbation and convergent iterative procedures for construct solutions of nonlinear boundary value ргоЫеш were created and substantiated.

Шдп. до Друку 22.10.96. Формат 60x84/16. Ilaaip друк. Офс. друк. Уи. друк. арк. 0,33. Ум. фарбо-вхдб.^О.ЭЗ. Обл.-вид. арк. 0,6. Тйраз 100 пр. Зам. i<30 . Бвзкоштовно.

BiwpynoBQBo в iHoîirryTi математики НЛН УкраПш 252601 Кз!й 4, ШП, ву.т. Терещзнкхвська, 3