Базисы тождеств некоторых простых неассоциативных алгебр над бесконечным полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

СИБИРСКОЕ отдашдо

Специализированный совет Д 002,23.01 при Институте математики

lía правах рукописи

ВАШОВОШЙ СьрГтй Юрьзьич

RAbHOU ТОЖДЕСТВ НЕКОТОРЫХ 1Р0СШХ ДОАССОЦПА'ШИЩ АЛГЕБР ЛАД ВЕСКО НЕЧ!Ш ПОЯШ

01,01,06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат дии-бргацни на соискание ученой стык-ип кандидата ф1зшк0-ыатеыатических наук

¡ювоспбирск - )20

Робота вгчлнона я Новосибирском ордена Трудового Красного Зч?уг:и.» гтгсуд.чосп'оином университете им.Ленинского комсомоле.

Нгуът.кР /укоиодитйль - доктор фнэико-математических Наук,

профессор И.П.ШестакоЕ

О&ициелише оппоненты: доктор фиаико-математических наук,

бЗОО'ЭО, Новосибирск, Университэтский проспект, 4.

С диссертацией кожно опнакомиться в библиотеке Института va. еми№и СО ДН СССР.

професор Ю.Л.Бахтурин,

кандидат физико-математических наук,

доцент И.М.Исаев

Вадуым организация - Институт математики с ВЦ М МССР

ГпдИтп /чссартации состоится* , 1990 г.

с_,_часов га заседании Специализированного совета

Д 002.23.01 при Институте математики 00 АН СССР по одресу:

1990 г»

Автореферат ¿епоелан

1990 г.

Ученый секретарь Специализированного -совета

доктор уиоико-нятекатичсски} ньул

Е»А.Палптин

■ОБЩАЯ XAFAKTERICTHICA РАБОШ

Актуальность теми. Теория многообразий алгебр ниц нетал бурно развивающимся направлением современной теории колец, Eq-r m раньше основными объектами ее исследований oivm ¿ссоциа -тиеные кольца с тождественными соотношениями, то в настоящее время в рамках этой теории интенсивно изучаются также многообразия неассоциативных колец, и в первую очередь стчь.иио ухе классическими альтернативные, лиеьы и Рордшювы алгебры.

•Для любого класса колец, веданного некоторый набором тождеств, вопрос о его конечной базируемое?« является важнейшим, ¡Напомним,, что многообразие алгебр называется шпехтовым CcoPfS. уииг^рно-шпехтовш), если каждое его подмногообразие (coots, ;Уши.йрное подмногообразие) будет конечиобазируемш, Взлео .тридцати последних лет изучение конечной базируемости во who» ¡тем стимулировалось так называемой проблемой LInej;ia: яаякется ли данное многообразие ыпехте. ым? Причем классический вариант .проблемы, сформулированный Шлехтом для многообразия ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль, липь сов -$т недавно был положительно решен А.Р.Кемером [б] » Большой ®клдд .в изучение многообразий ассоциативных алгебр был сделай ядкде .в .работах Ю.П.Разкислова, В.Н.Латшева и др. Ряд подо-кигелцщх результатов о шпехтовости в других многообразиях алгебр над л о л ем нулевой характеристики получен А.Я.райсом и БЛ1.:Бе.л.ь:м»адш [ Z ] , А.В.Ильтяковш ( [з] , [4]), А.Н.Кра ~ Физь.шиюш1)[ б ] и др. Установлена конечная базируеыость коиа-шнле колец а классических гаогообразиях. Вместе с тек построчу примеры конечных колец, не ииещих конечного базиоч тож-дфк'да | . А.Д.Яоиоеш [l6 j , А,Н,Красильниковш £7] и др. -

.uottfv.nm ;':пйхтопость некоторых классов ассоциативных' И' Лйшяж п~гебр и яд про парольным полем. Однако, над любым полем простой характеристики известны примеры алгебр Ли, не иметих конечного базиса тождеств [ .

С проблемой конечно Г; базируемости тесно связана проблема нпхок'дпгН'Я в явном виде конечной базиса тождеств данного' ино-ггобриг*ия. Известные результаты на эту тему очень немногочисленны, При атом основная их часть получена для алгебр над конечным полем или полем характеристики нуль, а в почти неизученном случае бесконечного поля просгой характеристики до сих hop оставался открытым вопрос о нахождении базисов тождеств п;остж и, в первую очередь, классических простых алгебр. В предлагаемой диссертации ¡этот копрои решается для одной лиевой и цело Г. серии Йордановыл простых алгебр. Отметим, что для оставшихся простых алгебр над бесконачньм полем простой характеристики все еще остается открытой даже проблема конечной базируемости тс тогдег-тй.

Цель, работы. Найти базисы тождеств йордановой алгебры билинейной ^ормы и связанной с ней лиевой тройной системы над бесконечным полем. Обобщить известный результат Размысло-ва-Филиппова о базисе тождеств трехмерной простой алгебры Ли над полем характеристики нуль На случай бесконечного поля.

Научнея новизна. Все. основные результаты диссертации являются но вши.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могу* бить использованы в Hаучно-исследовательской работе по алгебре, а также при чтении специальных Курсов « проведений спецсеминаров.

Апробация. Результаты диссертации докладывались- на Мек- .

дувародшй' конференции по алгебре, посвященной памяти А.И,Мальцева (Новосибирск - 1959), на XIX Всесовс той алгебраической конференции (Львов - 1987), на У Сибирской школе по мкогообра-.1-иаи алгебраических систем (Барнаул - 1988), на П Конференции йшдви' ученых Сибири и Дальнейго Востока (Новосибирск - 1988), ш сеиимарах "Алгебра и логика" и "Теория колец" в НГУ и ИМ ЙЙ< АН' СССР, на семинаре "Алгебра" Оксфордского университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опублихопа-пы> в работах \_V7-Z1 [ .

8:!Рруктура и объем работы. Работа состоит из введения и дй^ Ллав; содержит. 121 страницу, в списке литературы 53 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В;диссертации две главы. В первой главе изучаются полиномиальные тождества и тождества со следом центральных простых алгебр степени 2 над бесконечным полем характеристики 4 2.

Пусть - И -мерное векторное пространство над полей

характеристики ^ 2 с невырожденной симметрической билинейной формой <сг ч> _ о ? . На пространства

Р } Г ; ' -*1''3

Ь и к \А/ ^ определим умножение о по правилу

^ fw) - < £ и>) (о1и + & 0 ) ,

где ^^ € И . Ы; а !д/. Полученная алгебра называется алгеброй билинейной формы и является центральной простой йордашвой алгеброй степени 2.

Основной результат первой главы диссертации состо!"п в нахождении в явном виде конечных базисов полиномиальныхтоядесто

5

сеукч ?орд?.кокьк алгебр Ьп , h ■■■ ■■'J '\>. _ сг> ;цйД

бзекон^чни! полом характеристики ^ 2. Списки тожеств, о'браау-~oik;c -гакко базисы, получены з § 1.2 (теоремы 1.2Л к 1.2-.'-2)-. Дли калолдения отих базисов используются методы, берущие начало в работах Ю.П.Размнслова и затем развитые А.В.Ильтчковьм

i 7 •

в ; 3j . Главная трудность здесь состоит в том, что если над

полем характеристики нуль ucw.o сразу искать полклкнеГный ба-яис тогдаств, то в случао бесконечного поля простой характеристик;; еприори uoTüio утверждать яигсь существование базиса, состоящего из однородных тождеств. Однако, привлекая на помощь идеи работ [13 ] и j 14 J , в которых основные результата клас-екиеског- теории инвариантов перекосятся на случай поля произвольной характеристики, нам удается ааПти некоторый базис то-зд«стп алгебры бклкнеРноР. формы специального вида. Этот z;e лйтод уоургзо работает и во второй главе диссертации.

5 J.3 при насколько более сильных условиях на характеристику основного поля, чтобы сделать возможным применение теории представлений симметрической группы, находятся минима-лькыз или почти минимальные базису полиномиальных тождеств СЯ Г': бри . П 2 , . СО .

TäGFSA 1,3.и. Тождества

(ол)

, Z-(-3i). ЭгЛ - О (0.2)

S:

о

образуют базис тождеств шо го образ ид Еордановкх алгебр

^ Под I-^jJ'" понимается" Рордалов многочлен, совпедатаий с в [X.J „

'г '''"с-- под бесконечным гелем хоро*гер'/.стики / 2,3,5,7. ТЕОРЕМА 1.3.9. Тождества (0.1), (0.2),

^ л- /.">,. I v/ л*.-,,, '/, ,- л/.л /;/ - у n - /">

об''п;;у"" базис тогд'гств много- •*. V ягами г.ьк алгебр

, ,, ^ с-- , нгд ь:спаке<мки полем характаряс-

кки / 2,3,5,7.

Ваз к с- гождеств, ¿к.паннуЯ б теорс-:/е 1.3.8, уинюозлеы. Я случс-е нул. :;ой хар?.ктц:"стики тогдоства (ОЛ)-(О.З) обряпувг минчк-тльнгГ базис тождеств йордановой алгебры & г1 ^ И<! с3,

Ввиду результатов других авторов ( ^П ] , | 15 | ) из теорем 1.2.2 и 1.3.8 вытекли?

СЛЕДСТВИЕ 1.2.9. Няд иолом характеристики нуль тютобре,-з:ю 0унитарно ипехтово.

СЛЕДСТВИЕ 1.3.10. Всякая йордаиова алгебра над полом характеристики куль, удовлетворягаая тождествам (0.11 и (0.2); является специальной.

':> § 1.4 (теоремы 1.4.1 и 1.4.2) приводится снксок ■»*-десп, обра ¡у. ¡!цих над боеконзташ полем здректеодс-пьси Ф 2 бчяиз юхаессъ лиевой гшргюй системы биятвГ-лоИ озрыи ¿х , ¡л - , 3 ,

С § 1.о одится батис то. деств со следом ГюрдановоЯ алгебры бишмейюй формы над бесконечным полеу. Б часгиости, д-п -л I следующий аналог известной теоремы Ю.П.Раамысло^а о базисе, тождеств со следом полной матричной алгебры:

'1Е0РЕМЛ .1.5.4. Все тождества со следом йордановой алгебР / „ ри над бесконечным полем характеристики Ф 2 следуют

из тг.-едсстьа Гамкльтона-Коли

Ты-^г - С ТгГх)"- Тг(*гЪ - О.

( I

Го ьторой глава диссертации изучаются полиномиальные то-ГуДестна простой трехмерной алгебры Ли всех мат-

риц второго порядка с нулевым следом над бесконечным полем Осмоинш результатом здесь является перенос известного р&гультата ?азмислова-4илиппова ( [эЦ, [к*] ) о базисе тождеств елгебры Ли ( {>) над полем нулевой характеристики на случай бесконечного поля характеристики / 2.

ТЕОРЕМА 2.2.1. Иод любым бесконечным полем Ь характеристики р 2 все тождества алгебры Ли .$€а ( $) следуют из тождества этой алгебри

I у, ?, 11 * 4 V, * > 1 >{1 в

Автор глубоко благодарен своему научному руководители И.П.Шестахову, под руководством которого выполнена настоящая диссертация.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахтурин С.А. Тождества в алгебрах Ли. - М.: Наука,

1905.

2. Вайс А.Я., Зельманов Е.И. Теорема Кемера для конечно-порожденных йордановых алгебр //Изв. вузов. Математика. -1989. - * 6. - С.42-51.

3. Ильтяков A.B. Шпехтовость идеалов тождеств некоторых простых неассоциативных алгебр //Алгебра и логика. - 1985. -Т.24, » 3. - С.327-351.

4. Ильтяков A.B. Конечная базируемость идеала тождеств свободной альтернативной алгебры ранга 3 //Ред. Сиб. мат.

- Новосибирск, 1980. - 15 с. - Деп. в ВИШИ 15.12. 1988 П 8793 - В88.

5. Кемер A.F. Конечная базируемость кнцаеств ассоциативных алгебр //Алгебра и логика. - 1987. - Т.26, 3? 5. - С.697-.641.

6. Красильников А.Н. Конечная базируемое«» некоторых многообразий алгебр Ли //Вестник МГУ. Мат., мех. - 1902» -П 2. - С.34-38.

7. Красильников А.Н. О тождествах групп, алгебр Ли и ассоциативных алгебр с нильпотентным коммутанта //Международная конференция по алгебре, tto св/гценняя памяти Л.И.Мальцева. Новосибирск, авг I9S9 г.: Тез. докл. по теор. колец, алгебр

и модулей, - Новосибирск, 1989. - С. 72.

8. Полин C.B. О тождествах конечных алгебр //Сиб. мат. ж. - 1976. - Т.17, № б. - С.1355. - 1266.

9. Размыслов Ю.П. О конечной базируемоûïm тоядестн ,\:ат-

ричной алгебры второго порддка над полем характеристики нуль //Алгебра и логшса. - IS73. Т. 12, J? I. - С.83-113.

10. Размыслов Ю.П. Тождества со следом полных матричных ' алгебр над полегл характеристики нуль //Изв. Ail СССР, сер.

мат. - 1974. - Т.38, }} 4. - С.723-756.

11. Сверчков С.Р. Специальные многообразия йордановых алгебр. - Новосибирск, 1983. - 30 С. - (Препринт/АН СССР. Сиб. отд.-кие. Ин-т математики; Ь* 34).

12. Филиппов В.Т. 0 многообразии алгебр кальцова //Алгебра и логика. - 1981. - Т.20, Ji 3. - С. 300-314.

13. ЪгСот-.^С С., Ргос^с С. A cl^vM-rcdic

CwSv^La/svi t^or^ (f Adv. мч-Й?.

~ i9U.~V.2i.- P.^O-ZW. _

14.J>ouktd P., ZoU J. 0 И tu

i '¿j с <У1И if<.W? io t-icxl ■ {Lecru : ! X -iiv>u~Loria£ faethedi и* fyeortf H

Hul ** U. - ¿9 ? К - V. & . - P. i8Г - 21Ь .

15. ZodlAov P. PU^o^ CoLUcttefir ^jb/W' Ыаи uCjJcQ //Con»,«**, dpi™. -19SS.-- VЛ6,^ 7. - P. i32r- ii?i.

16. A. P. ^^ Ju-ri-

- r. 32 , Jz 7. ~ С . П'Г- .

РАБОТЫ'АВТОРА ПО ТШ ДОССЕНПЦИ'л

17. Басило вский С.Ю. Базис тождеств йордановой алгебры билинейной формы над полем нулевой характеристики //XГл Бессоюзная алгебраическая конференция. Львов, сект. 1987 г.: Тел. сообщ. - Часть 2. - Львов, 1987. - С.49-50.

13. Вас/лоЕский С.Ю. Тождества со следом и слабые тождества йордановой алгебры билинейной формы над бесконечны.! полем //Тезисы П конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока. Новосибирск, септ. 1988. - Н ошсибирск, 1988. - С.43-44.

19. Василовский С.Ю. Базис тождеств алгебры Ли -St^ над бесконечным полек //Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И.Мальцева. Новосибирск, aar. 1989. - Тез. докл. по теор. колец, алгебр и модулей. - Новосибирск, 1989. -С. 29.

20. Василовский С.Ю. Базис тождеств трехмерной простой алгебры Ли над бесконечным полем //Алгебра к логика. - 1989. -Т.2В, J? 5. - С.534-554.

21. Василовский С.Ю. Базис тождеств йордяковой алгебры билинейной формы над бесконечным полем //Исследования по теории колец и алгебр. - Новосибирск: Наука. Сяб. отд.-ние, 1989. - (Тр./АН СССР. Сиб. стд.-ние. Кн-т математики; ?.16). - С. 5-37.