Базисы тождеств некоторых простых неассоциативных алгебр над бесконечным полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

академия и а у к ссср

сибирское отделима

Специализировадаий совет Д 002,23.01 при Институте математики

На праа« рукописи

ЙЛСШЮВСШШ Сергей Ыйешч

базисы тождеств некоторых простых. шссщотшцк ш'ебр над веско нёч1ш полем

01.01,06 - математическая логике, алгебра и теория чисел

Ав«орафере? диссертации на соиикание ученой сты«» каядидата фязюю-ыатематических наук

Швасибирс« -

1'пбо'ти бк*"Ш1У1а в Новосибирском ордена Трудового Красного Зчи-'гь"' государственном университете им .Ленинского комсомода.

Нг^оп-'.ыр рукоюдйтель - доктор физико-математических наук» .

профессор И.П.Шэстакое

0.ьи1,им!мше оппоненты: доктор физико-математических наук,

про^есчр ¡З.А.Бахтурин, кандидат физико-математических Наук, доцент И.М.Исаев

В-эдупяг организация - Институт математики с ВЦ АН НССР .

«:алпгл лнссертации сосдаится 1990 г.

¡: I Т~ мер г: на заседании Специализированного совета Д 002.23.01 при Институте математики 00 АН СССР по адресу: 6300)0, Новосибирск, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно оенакомиться в библиотеке Института }ш.ей»ти'й СО АН СССР.

Ав'гср'.?фераТ ¿епо&лпи 1990 р.

УченыР секретарь ~___

Спешилизирэваниого тонетп у

доктор „мзию-маяематичссии}.

наук Е.А.ПйЯитин

дот-лм хпйхтопость некоторых классов ассоциативных H':Mimw ппд прои^лоль ним полем. Однако, над люби» полем про сто Г; Характеристики известны примеры алгебр Ли, не имегсних конечного башсч тождеств ;

Ч проблетоР конечной базируемое*'.« тесю спягана проблема mwoint'jiiV'H в явном виде конечной базиса тождеств данного ино~ гсобрнруя. Известные результаты я а эту тему очень немногочисленны, При ri том основная их часть получена для алгебр над конечны» полем или полем характеристики нуль, а в почти неизученно*? случае бесконечного поля проем л характеристики до сих tivf оставался открытым вопрос о нахоздении базисов тождеств проста/. и, в первую очередь, классических простых алгебр. Б предлагаемой диссертации этот вопрос рея:пется для одной лиевой и цело Р. серии рордановыл простых алгебр. Отметим, что для устэммпа'Я простых елгебр няд бескон-зчным полем простой характеристики вю eue остается открыто Г! даже проблема конечной баяисуомостн их то где с тп.

Цель работы. НаРти базисы Юкдеатв йорденовой алгебры ôvwunehioP: (ормы и связанной с неР лиейоЯ троРной системы над бгекгжечнкм полем. Обобщить известный результат Раэмнсло-ва-Филиппова о базисе тождеств трехмерной простой алгебру Ли над почем характеристики нуль на случай бесконечного поля*

Научная новизна. Все, основная результаты диссертации являются повьет.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могу* бить использованы в йаучг-ю-исследоватзльской работе по алгебре, а также при чтении специальных Курсов и проведении спецсеминаров.

Апробация. Результаты диссертации докладывались- на Mes- .

•ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСШМ. РЛБО'Ш

Актуальность теми. Теория иногообр~зий алгебр лшшы'сд йу$&о развиваюдимся направлением современной теории колец, Ее-г-л« раньше основиши объектами ее исследований били ассоциа * дивные кольца е тоь<дественныш соотношениями, то в настоящее время в рамках этой теории интенсивно изучаются также многообразия неассоциативкцх колец, и ь первую очередь сгчьдие классическими альтернативные, ливьы н Йорданов« алгебры.

•Для любого класса колец, заданного некоторый набором ддеежв,, вопрос о его конечной базируемости являемся вавдайшим, ¡ítoQMUiw^ -что многообразие алгебр называется шпехтовым (сооч'в, унштщш-шпех 1'овш), если каждое его подано гообразиэ (соота, ;ущиари.ое подмногообразие) будет конечнобазируеьша, В^лаа ¡гршщеди последних лет изучение конечной базируемости со дао -иш .стимулировалось так называемой проблемой Ыпез:?а: яалнецся я и данное многообразие ыпехтс.ш? Причем классический павиан? üKüíi ¡проблемы, с$орыулировенный Шпехюм для многообразия ассоциативных алгебр над полеы характеристики нуль, линь сов -яедаздо бцл положительно решен А.РДеыером ] , Большой ¡ВКЛАД s ..изучение многообразий ассоциативных алгебр был сделан ■matóte да работах Ю,Ц.Разкыслова, В.Н,Латаева и др, Ряд поло»-/ жизгелшьк ¡результатов о шпехтовоети в других многообразиях алгебр ляд полем нулевой характеристики получен Д.Я.Вайсоц и |;„И,;&едкма,1"Р£ьы [ S *], А.В.Илылкавьш ( [з], f4]), А.Н.Кра -■анлышгавим ^ б ] и др. Установлена конечная базируемость ион^т адщх колец s яласеичееких то го абразиях. Вместе с тек постро-ши примеры конечные колец, не иыеешкх конечного базиап ток-~ jjfi | . Л.Я.Яоновш [is] , А.Н.Красильищовш и др,

дутродшй' конференции по алгебре, посвященной памяти А. И,Мальцева (Новосибирск - 1989), на XIX Всзсоюс юй алгеи'рлишееггоП конференции (Львов - 1987), на у Сибирской школе по жогообра-З-мш алгебраических систем (Барнаул - 1988), на П. Конференции иояадйос' ученых Сибири и Дальнейго Востока (Новосибирск - 1368), ш еевтйарах "Алгебра и логика" и "Теория колец" в ИГУ и ИМ Й)- АН' СССР, на семинаре "Алгебра" Оксфордского университета, публикации. Основные результата диссертации опубликование н> работах [17-21 .

бФруктура и объем работы. Работа состоит из введения и Лпай',- содержит. 121 страницу, в списке литературы $3 наименования.

СОДЕКШИЕ РАБОТЫ

в;диссертации две главы. в первой главе изучаются поди-нодаальнда тождества и тождества со следом центральны* проси« алгебр степени 2 над бесконечным полем характеристики ^ 2.

ч'. I :

Пусть - И -мерное векторное пространство над полем характеристики ^ 2 с невырожденной симметрической билинейной формой < ос) и > ^ 2 3 ел . На пространства Ь (., " К + \'\1 ^ определим умножение о по правилу

{¿пО*ц) - С^р V < с) ,

где ^ ^ 6 И . Ы, О"

6 Ц,. Полученная алгебра называется алгеброй билинейной формы и является центральной простой йордановой алгеброй степени 2.

Основной результат первой главы диссертации состог- в нахождении в явном виде конечных базисов полино/<ивЦоНЫХтовдестд

б

серкч 3>орцямовык алгебр Ьп , л - . _ :цад

бэсконечкк» полем харй!сгерист5аси 4 2. Списки тождеств, сСф&ау-

такие базисы, получены в § 1.2 (-теоремы 1.2Л к 1.2.•2')-, Для 1?а.чо:?данз»я зтю: базисов используются методы, берудае ••начало в работах Ю.П.Раэ?,щс.~ова и ¡затем раывктые Л.В.Ильтчковш в ' 3 ( . Гл;изнсШ трудность здесь состоит в том, что если над гюлс;< характеристики нуль ис:то сразу ксягть полеткнеРный ба-гглс мгдаьтв, то в случае бесконечного похп простой характеристик;! «г.ряори вожно у?первдат!> лига» существование базиса, со-сгоялега из однородных ток^деств. Однако, привлекая на помощь чдеи работ [ 13j и j 14j , б которых основные результату классической творил инвариантов перекосятся на случай поля произвольной характеристики, нам удается тайти некоторый баз»:с то-«дкетг; яягебри бкгптеГ-нор. ||ср:^ы специального вида. Зтот же летод ус!'«сно работает я ко второй главе диссертации.

В 5 J.3 при несколько белее сильных условиях .на характеристику основного поля, чтобы сделать возможным применение теории г.редсхавленлй симметршеской группы, находятся минима-кьтаз или почти мйникьлыше базкец полиномиальных тоздеств

алгеврн t: , г. •• 2 , ____со . "

"ДОГША 1.3.«. Тогдества

а*>и\га) = оч (0л)

z:) = О ' (0.2)

о

образуют базис тождеств многообразия Еордановьгх алгебр Под } ^ пониклется* Йорданов шюгочпон, соваедаший

с b-siM.

•--'с/- над бескснечнвя г.ол:.м характеристики к( 2,3,5,7. ТЕОША 1.3.9. Тоадесгаа (0.1), (0.2>,

>' ¿.V (':>" „ и, У', , >./ \ ■ ,0 /л т.

' Л

■■ 1И-1 .

чф-пгу. ? бг.эи5 тозд^ств кногог'>. :.:м р*!.да»-?*.юс аягзбр

(--'I , НГ:Д о .;сг.он№нк.; полем хнрглгар^с-

,/ 2 Р 7

А ¿1 К. 5 I С ) I *

Базис тоадестр, укяпяштий б тс-оссг/.-з 1.3.0, жтгален. 3 случ'-е кул. ,:ой хар'чгт^яс'шки тоздестиг, (ОЛ)-(О.З) образуют минимальн*:.'' иэзис тождеств Рорданоаой алгебры В ^ Г> ■< ^

Ввиду результатов других авторов ( ^И | , [ 15 ; 1 из теорем 1.2,2 и 1.3.8 вытекают

СЛЕДСТВИЕ 1.2.9. Сад шлем характеристика нуль многообразие 6унитарно шпехтсво.

СЛВДСТЕЖ 1.3.10. Вешая йорданова алгебра над полем ха-' рактеристнки куль, удовлетворяющая тогэдествэм (0.1) и (0.2), является специальной.

'> § 1.-1 (теоремы 1.4.1 и 1.4.2) приводится саксов «ож-доста. обряп'чпгия над бесконечным полом харекгераешги 2 бязис таждес'1' ■ лиевой тройной системы билинейной формы он

Г. § 1.6 одится базис тождеств со следом йордановоЯ алгебры билинейной ^орны над бесконечны?.! полем. В частно ста,. до!">"> ■{ следующий аналог известной теореми В. П. Рас мыс ло ад > базисе, товдеств со следом полной матричной алгебры:

ТЕОРЕМ 1.5.4. Все тождества со следом йордановой алгебР / «ч рц х^с*, я ад оесконечным полем характеристики Ф к следуют

Из чс%дества Гамгдьтона-1Соли

» *

Ко «Лорой главе диссертации изучаются полиномиальные тождества простой трехмерной алгебры Ли

всех матриц второго порядка с нулевым следом над бесконечным полем . Основным результатом здесь является перенос известного результата Размыслова-йклкппова ( [91, ["12*] ) о базисе тождеств т гебры Ли ¿Р^ ( ^ ) над полем нулевой характеристики т случай бесконечного поля характеристики / 2.

ТЕОРЕ/Л 2.2.1. Над любым бесконечным полем £ характеристики 2 все тождества алгебры Ли ($) следуют из тождества этой алгебры

, -г, 11 +1v, * дг^1 > ^ 1 "

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю И.П.!2еегаиову,"под руководством которого выполнена настоящая диссертация.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахтурнн С.А. Тождества в алгебрах Ли. - М.: Наука,

1905.

2. Вайс А.Я., Зельманов ЕЛ!. Теорема Кемера .для конечно-порожденных йордановых алгебр //Изв. вузов. Математика. -1909. - * 6. - С.42-51.

3. Ильтяков A.B. Шпехтовосгь идеалов тождеств некоторых простых неассоциативных алгебр //Алгебра и логика. - 1985. -Т.24, » 3. - С.327-351.

4. Ильтяков A.B. Конечная базируемое» идеала тоядестэ свободной альтернативной алгебры ранга 3 //Ред. Сиб. мат. jiU - Новосибирск, 1988. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.12. I93Ö

ff- 6793 - Ю8.

5. Кемер A.F. Конечная базируемость тояадеств ассоциативных алгебр //Алгебра и лота, - 198?. - Т.26, J? 5. - C.6Ö?-.641.

6. Красильнкков А.Н. Конечная базируемое«» некоторых »многообразий алгебр Ли //Вестник МГУ. Мат., мех. - 1902. -П 2. - С.34-38.

7. Красильников Л.Н. О тождествах групп, алгебр Ли и ассоциативных алгебр с нильпогеятиым коммутан'л л .//Международная конференция по алгебре, восвяценная памяти А.И.Мальцева. Новосибирск, авг 19В9 г.: Тез. докл. по тсэор. колец, алгебр

и модулей, - Новосибирск, 1989. - С. 72.

8. Полин C.B. О тождествах конечных алгебр //Сиб. мат. а. - 1976. - T.I7, № 6. - C.I355. - 1266.

9. Размыслов С.П. О конечной базируемое« тождеств мат-

ркчной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль //Алгебра и логика. - 1973. Т.12, I? I. - С.83-113.

10. Размыслов Ю.П. Тождества со сдедом полных матричных 'алгебр над полем характеристики нуль //Изв. Ail СССР, сер. мат. - 1974. - Т.38, П 4. - С.723-756.

II.. Сверчков С.Р. Специальные многообразия йордановых алгебр. - Новосибирск, 1983. - 30 С. - (Препринт/А;! СССР. Смб. отд.-кие. Ин-т математики; К 34).

12. йилилпов В.Т. 0 многообразии алгебр Мальцева //Алгебра и логика. - 1931. - Т.20, № 3. - С. 300-314.

13. ТжСопс.:»; С.s Proche С. A ch^aûrrdcc

аррг-рлсЬ i- cWJVi^cry !/ A Av. v. 21,- P.zio-ZM. _

14. Ъс^-ktd PRda J. o* tu ^OWMi/aTtOHi i>f {Uor% : (X-(ivïuîorCa£ foeibods ш ¿uyv&^rCuni И^огч //

UU. otft M U.-im^V.tt.- P. M?

15. P.' M^ué CcLbh'ÛÙ fr

o/scw/e Jbro/ли //Сожмs,

16. Po^m' /4.Р- Т^^Цг ^^

/ /"' л "1л r~ '1 N — !$-/-!

e't-ieA o-f rcnt^i // 'Jjovlj* Kiw-i . rrii .

— т. ¿>Z,J°.1.~C. /ГГ- -

РАБОТЫ АВТОРА ПО Т&Ш ДОССОТ иЩ

17. Васнловский С.Ю. Базис тождеств Сордановой алгебры билинейной формы над полем нулевой характеристики /А IX Всесоюзная алгебраическая конференция. Львов, сон?. 19Б7 г.: Тез. сооба. - Часть Z. - Львов, 19о7. - С.49-50.

18. Васклосский С.Ю. Тождества со следом и слабые товде-ства йорданоюй алгебры билинейной формы кпд бесконечным полем //Тезисы П конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока. Новосибирск, септ. 1988. - Н овосибирек, 1980. - С.43->14.

19. Василовский С.Ю. Базис тождеств алгебры Ли о над боскокочнм,! полем //Ме;эднародная конференция ю алгебре, посвященная памяти А.И.Мальцева. Новосибирск, авг. 1989. - Тез. докл. г.о теор. колец, алгебр и модулей. - Новосибирск, 1989. -С.29.

20. Василовский С.Ю. Базис тоадеств трехмерной простой алгебры Ли над бесконечным полем //Алгебра и логика. - 1989. -Т.28, J? 5. - С.524-554.

21. Ваеиловсгсий С.Ю. Базис тождеств йордановой алгебры билинейной формы над бесконечным полем //исследования по теории колец и алгебр. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд.-нно, 1989. - (Тр./АН СССР. Скб. отд.-нио. !1к-т математики; ?.16). - С. 5-37.