Бистохастические квадратичные операторы и квадратичные гомеоморфизмы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В.И. РОМАНОВСКОГО

1 4 ДЕК 1998

На правах рукописи

КАРИМОВ Акрамжон Зайнобидинович

БИСТОХАСТИЧЕСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ГОМЕОМОРФИЗМЫ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Ташкент - 1998

Работа выполнена на кафедре функционального анализа Ташкентского государственного университета

имени Мирзо Улугбека и в Институте высшей педагогики при ТашГУ

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Р.Н. Ганиходжаев

Официальные оппоненты: - член-корреспондент АН Р Уз, доктор

физико-математических наук, профессор Дж.Х. Хаджиев

- кандидат физико-математических наук, доцент A.A. Рахимов

Ведущая организация - Институт теоретической и прикладной

математики МН-АН Республики Казахстан

Защита диссертации состоится ^¿а^у} 998 г. в м. на

заседании объединенного специализированного совета Д 015.17.01 в Институте математики имени В.И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.И. Романовского АН Республики Узбекистан

Автореферат разослан /f^^^fy «€,

1998 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

Ж.О. Тахиров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория динамических систем с дискретным временем (теория д.д.с.) является актуальной и интенсивно развивающейся областью математики. Д.д.с. особо проявляют себя в анализе нелинейных явлений. Нелинейные операторы и уравнения находят своё применение во многих науках с прикладной направленностью, таких как математическая экономика, синергетика, популяционная генетика, биофизика и т.д. К примеру можно указать модели социально- экономической динамики (см. [1]), проблему турбулентности (в синергетике, см. [2]), задачи отбора в локусах (в генетике, см. [3]), из биофизики - модели молекулярной эволюции, одна из которых называется гиперциклами П. Шустера (см. [4]). Все эти модели в значительной мере основываются на качественно-топологические методы теории динамических систем в целом. В свою очередь, прикладные задачи, возникающие в различных отраслях естествознания, всё чаще становятся источником развития математических теорий. Например, предмет многих исследований синергетики, появившейся на стыке ряда, в основном, естественных наук, математически формализуется как теория нелинейных динамических систем; а особенности изменения генетической структуры в органических популяциях снабжают нас задачами, где также приходится изучать нелинейные (в основном, квадратичные) преобразования и их траектории. В этом направлении нельзя не упоминать о так называемом законе Харди- Вайнберга, основанном на известной модели Менделя (см. [3], стр. 28). Также следует отметить послужившие толчком многим начинаниям труды Дж. Б. Холдейна, Р. Фишера, С. Райта и С.Н. Бернштейна (см. [3], сгр. 286). На сегодняшний день квадратичные преобразования уже составляют сложившуюся «нелинейную» теорию. В настоящей диссертационной работе также рассматриваются некоторые вопросы теории квадратичных отображений, относящиеся к изучению структуры отдельных классов и поведения траекторий этих отображений.

Одной из основных задач теории квадратичных стохастических операторов (к.с.о.) считают проблему С. Улама ([5], стр. 105) о полной топологической классификации к.с.о. базисного симплекса в смысле траекторной теории, которая несмотря на усилия многих, попытавших её решать, остается всё ещё нерешенной (даже при /и=3) и не утратила своей актуальности. Поэтому представляется естественным выделение классов к.с.о. в целях последовательного приближения к решению этой проблемы.

Сравнительно хорошо изученными среди к.с.о. являются так называемые вольтерровы отображения, введенные и разработанные в работах Р.Н. Гани-ходжаева на основе сформулированной задачи С. Улама. Эти отображения, в свою очередь, являются представителями квадратичных гомеоморфизмов (к.г.) базисного симплекса на себя. Тот факт, что эволюция реальной биологической системы обладает свойством обратимости во времени, - достаточный аргумент актуальности задачи описания и изучения топологических автоморфизмов среди к.с.о.

Интерес к изучению предельного поведения траекторий квадратичных отображений двумерного симплекса и их обобщениям возрос с появлением в свет сообщений о результатах численных экспериментов, начатых Э. Ферми, С. Уламом, Дж. Пастой и в дальнейшем продолженных М. Менделем, Дж. фон Нейманом и др. (см. [6]). На этом пути в теоретическом плане наиболее содержательные и полезные результаты получены в работах Г. Кестена, Ю.И. Лю-бича, С.С. Валландера, М.И. Захаревича, Н.П. Зимакова, H.H. Ганиходжаева и др. Тем не менее, попытка классифицировать все к.г. двумерного симплекса в целом относительно поведения их траекторий ещё не была предпринята, по крайней мере, до начала настоящих исследований.

Другой класс к.с.о. - совокупность всех бистохастических квадратичных операторов (б.к.о.) введен (1993, УМН, т. 48, № 4) по аналогии с определением линейного двояко-стохастического оператора посредством мажоризации Харди-Литтльвуда-Шура. Проникновение мажорирования во многие теории, в частности и в теорию к.с.о., придает особый акцент актуальности его применения. Следовательно, изучение класса б.к.о. также становится актуальной как в планах траекторной теории и теории многомерных матриц, так и с точки зрения теории мажоризации.

Цель работы:

- построить квадратичный аналог теоремы Г. Биркгофа [7], т.е. найти необходимые и достаточные условия того, чтобы квадратичное отображение, сохраняющее от-1-мерный симплекс, являлось крайней точкой множества всех б.к.о.;

- изучить геометрическую структуру множества всех квадратичных гомеоморфизмов т-\-мерного симплекса на себя и

- исследовать предельное поведение их траекторий в двумерном случае.

Методика исследования. В первой главе работы, в основном, применяются методы матричного и выпуклого анализа, используются сведения из теории

пространственных матриц и перечислительной математики. Во второй главе, помимо элементов анализа, применялись методы качественной теории д.д.с.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. В качестве главных результатов работы отмечаются:

в 1-й главе - квадратичный аналог теоремы Г. Биркгофа об экстремальности б.к.о.;

во 2-й главе - описание геометрической структуры множества всех квадратичных гомеоморфизмов (к.г.) конечномерного симплекса на себя. Кроме того в диссертации

- описано множество всех компонент всех б.к.о., получены несколько критериев экстремальности точек множества компонент б.к.о.; получен результат о неуменьшаемости числа крайних точек, участвующих в выпуклом представлении;

- введены понятия атомарной матрицы, тривиального атома, обобщенного шварциана и трансверсального квадрата; на основе последнего

- предложен подход для решения перечислительной задачи над кубическими матрицами, соответствующими экстремальным б.к.о.;

- охарактеризованы действия к.г. на гранях симплекса, доказаны теоремы о сужениях к.г. и о ранге их производной - матрицы Якоби во внутренних точках граней;

- установлена связь между некоторой степенью к.г. и вольтерровыми к.с.о. в виде композиции последних;

- исследованы локальные поведения д.д.с., порождаемых к.г. конечномерного симплекса в окрестностях неподвижных и периодических точек; а также установлено предельное поведение траекторий для отдельных классов к.г. в двумерном случае.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и её результаты могут быть использованы в целях дальнейшего развития теории квадратичных отображений. Практическая значимость состоит в возможности применения этих результатов к перечислительным задачам над пространственными матрицами, к моделям социально-экономической динамики и популяционной генетики.

Апробация работы. По теме диссертации автор выступал на Международной научной конференции, проведенной в ИМ АН РУз 23-25 ноября 1993 г., на Республиканской научно-методической конференции, проведенной в ИБП при ТашГУ 5 декабря 1993 г., на 1-й Республиканской научной конференции молодых ученых физиков и математиков, проведенной в ТашГУ 19-20

мая 1995 г., на Международной научной конференции аспирантов и студентов, проведенной в МГУ 12-14 апреля 1996 г., на Н-й Республиканской научной конференции молодых ученых, проведенной в ТашГУ 25-27 апреля 1996 г.

Результаты диссертации докладывались на семинарах под руководством | акад. Сарымсакова Т.Х] (ТашГУ, 1994-1995), акад. Аюпова Ш.А. (ИМ АН РУз, 1994-1998), чл.-корр. АН РУз Хаджиева Дж.Х. (ТашГУ, 1995, 1998), проф. Ганиходжаева H.H. (ИМ АН РУз, 1996-1998), проф. Чилина В.И. (ТашГУ, 1996-1998), проф. Худайберганова Г. (ТашГУ, 1998) и Ганиходжаева Р.Н. (ИБП при ТашГУ, регулярно с 1993 г. по 1998 г.).

Публикации. По тематике диссертационной работы автор имеет 9 публикаций (материалы последней статьи остались за рамками диссертации). Имеется одна совместная работа, в ней общая постановка задачи и критерий гомеоморфизмов на множестве квадратичных отображений симплекса принадлежит соавтору, а также им высказано предположение о возможности представления некоторой степени к.г. в виде композиции вольтерровых к.с.о.; все остальные результаты, в том числе, подтверждение и уточнение вышесказанного предположения соавтора получены соискателем.

Структура и объем работы. Диссертация разделена на введение, основную часть и список литературы. Введение помимо предварительных сведений и постановки задач, включает в себя краткое изложение основной части. Основная часть диссертации состоит из двух глав, разбитых на двенадцать (каждая на шесть) параграфов. Общий объем диссертации 126 страниц, набранных на текстовом редакторе WORD - 7.0. Библиография, занимает 6 страниц, состоит из 89 наименований использованной и обзорной литературы, включая 9 авторских публикаций.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Квадратичный стохастический оператор V: R" —> itv задаётся ку-

бической матрицей

Чи

_ с элементами, удовлетворяющими условиям:

i,j,k-\,m

Ям - %к = Ья > % +• ■■ ■■+Яцт =1 • Эти соотношения обеспечивают инвариантность стандартного ( базисного) симплекса в К.т, который обозначим символом Лт_]:

Дт-1:= {* = (*!.—X, + — + Хт =1}.

Симплекс рассматривают как пространство распределений вероятностей (стохастическое пространство), поэтому оператор V, переводящий Ат_, в себя, называют квадратичным стохастическим оператором (к.с.о).

Понятие бистохастического квадратичного оператора (б.к.о.) определено в статье [8] сохранением термина бистохастичность за произвольным непрерывным (нелинейным) оператором V: —> Аш_,, удовлетворяющим условию Ух -< х, V л: е Ат_,.

В первой главе, называемой «Бистохастические квадратичные операторы: квадратичный аналог проблемы Г. Биркгофа», приведены результаты соискателя по изучению б.к.о. В начальном параграфе 1-й главы даются необходимые предложения и обозначения. Здесь же приводятся факты, что в силу определения бистохастичности, оператор, получающийся перестановкой компонент б.к.о. также бистохастичен (предл. 4°), и совокупность всех б.к.о. образует выпуклый многогранник (предо. 3°).

В §§ 1.1-1.3 дано решение задачи описания вершин (крайних точек) многогранника б.к.о. В § 1.1 описано множество компонент б.к.о. Получены необходимые и достаточные условия экстремальности точек множества компонент б.к.о. (теор. 1.1.3 и 1.1.5). Рассмотрено разбиение прообраза множества компонент б.к.о., т.е. многогранника всех стохастических матриц, относительно свойства стохастичности транспонированных матриц. С помощью этого разбиения определены классы склеивающихся образов (опр. 1.1), на языке которых сформулирован один из критериев экстремальности - теорема 1.1.5. Введены понятия атомарной матрицы (опр. 1.2 и 1.3), тривиального и крайнего атома, а также приведено условие, эквивалентное атомарности (утв. 1.1.4). В § 1.2 изучены свойства функции, построенной по заданной матрице из множества прообразов компонент б.к.о. (утв. 1.2.1), посредством чего получена теорема 1.2.2 -легко проверяемый вариант критерия экстремальности точек множества компонент б.к.о. А в третьем параграфе этой главы выявлены и доказаны необходимые и достаточные условия экстремальности самих б.к.о.

Итак, рассматривается Зт - множество всех стохастических матриц т-го порядка и на нём оператор (р вида Т ь-> ( Т + Т' )/2. Если обозначать через множество всех ГПУ. Ш -матриц, выступающих в качестве компонент

б.к.о., то = <р 3,и. В § 1.1 множество компонент б.к.о. изучается как специальный класс неотрицательных симметрических матриц. Для описания

множества крайних точек £х/]В>т совокупности всех б.к.о. 1В) т необходимо исследовать связь между вершинами и Ит .

Заметим, что при симметризации (р не все крайние точки переходят в крайние точки Ит , т.к.

Теорема 1. Если Тк е (к = 1,2) Тх ^ Т2 и (рТх = <рТ2 — А, то-

гда А <£ £х№т (утв. 1.1.1).

Следствие. Матрица А из "Нт является крайней точкой в Ит тогда и только тогда, когда полный прообраз А (при симметризации (р ) состоит из единственной крайней точки множества (теор. 1.1.3).

Необходимы следующие определения

(1) Множества = {А = <рТ: Т,Т' еТ' Ф Т) при всех /с = 3, Ш назовём классами склеивающихся образов (опр. 1.1).

(2) Матрицу А из 'Нт назовём атомарной в , если А не содержит подматрицу М , где 2 < к < т (опр. 1.2).

(3) Подматрицу М матрицы А из Ит назовём атомарной в Ит, если М , где 2 < к < т ив М не имеется подматрица Му , где 2 < I < к (опр. 1.з).

Матрица | С1-1 е 7Ст, 171 > 2, является атомарной в 71 т тогда и только тогда, когда ^¿(О ^О) Чу < у >где С =1™ =У, 2 <У<Ш (утв. 1.1.4).

Теорема 2. Для того, чтобы матрица А была крайней точкой в %т необходимо и достаточно, чтобы А являлась ф -образом (0,1)- стохастической матрицы и не имела подматриц из классов склеивающихся образов (теор. 1.1.5).

Следствие. Матрицы 11 т, при Ж > 2, не могут быть одновременно крайними точками и атомарными матрицами в Ит (сл. 2).

Более приемлемый рецепт для проверки принадлежности матрицы к £х1'Мт даёт следующий результат:

Теорема 3. Пусть ак ={ак1,...,акт^—к-я строка матрицы (рТ, где

Т е £т/Зт, Г = ||г;;/| , и т{(рт) = { О,,..., <Ят }. Пусть функция

/: %(<рТ) -^>Ъ[(рТ) такая, что /{ак) = а;., если (р'Хаы = 1 (т.е. =1). Тогда, чтобы матрица А = (рТ была крайней точкой множества Ит необходимо и достаточно, чтобы У/ — 1с1 для всех классов 7^к разбиения

2'{А)\Ъ0{А)= и Ък (теор. 1.2.2).

Мкйт

(Здесь к - есть классы транзитивности разбиения , а 20

1 <к<,т

Z, что в нём / V ^ 1(2 ни при каких Н € ).

такое под-

множество

В работе подматрицы А/, =

V.

и мг =

порядка / х /, со-

держащиеся в матрицах компонент квадратичного оператора, названы соответственно-равными,, если /гу-1 = /г;у 2, V г б I,, V у е (опр. 1.4).

Следующие определения также необходимы:

(4) Будем говорить о симметрической паре 1/2-ых матрицы

, если

Я,-- = а а = 1/2 при г Ф у. Четыре попарно несовпадающих ( относительно

расположения ) элемента матрицы

, равных 1/2, назовём симметрической

четвёркой \ 12-ых (с.ч. 1/2-ых), если йы = а!к = аул = а^, = 1/2 (опр. 1.5).

(5) Матрицу М класса , содержащую с.ч. 1/2-ых назовём оболочкой , если в Л/ не имеется подматрица из класса Ик , где к <т, также содержащая 5.

Теорема 4. Если V из В' т - экстремальный оператор, то он не имеет соответственно-равных симметрических четвёрок 112-ых, содержащихся в наи-

меньших неэкстремальных подматрицах классов И1, 3 < / < Ш (теор. 1.3.5).

Следствие. В множестве В>3 б.к. о. V экстремален, тогда и только тогда, когда все компоненты V различны и являются (р -образами (0,1)- стохастических матриц.

Центральным результатом первой главы является следующая теорема, в которой сформулировано решение квадратичного аналога проблемы Г. Бирк-гофа об экстремальности б.к.о.

Теорема 5. Для того, чтобы б.к.о. V был экстремальным в Вт необходимо и достаточно, чтобы все компоненты являлись (р -образами (0,1)- стохастических матриц и не имели симметрических четвёрок 1/2-ых с неэкстремальными оболочками из классов И1 таких, что каждой симметрической паре этих четвёрок соответствовали бы соответственно-равные пары также содержащиеся в наименьших, причем неэкстремальных подматрицах классов

(3 < Г,?,. < т, I = 1, 2) (теор. 1.3.6).

Все критерии экстремальности, полученные в первой главе, легко транслируются на язык коэффициентов.

Вокруг классической теоремы Г. Биркгофа существуют немало результатов, естественно напрашивающихся к обобщению. Таковым является результат Фарагата-Мирского (Ф.-М.), называемый в некоторых источниках (см. [9], стр. 47) усилением теоремы Г. Биркгофа. Получение аналога теоремы Ф.-М. в квадратичном случае так же примыкает к основным исследованиям 1-й главы. В § 1.4 получен результат о неуменьшаемости числа крайних точек, участвующих в выпуклом представлении произвольной точки выпуклых многогранников. Вследствие этого результата (лемма 1.4.3) теоремы Ф.-М. о выпуклом представлении стохастических и бистохастических матриц, и квадратичные аналоги теорем Ф.-М. становятся частными случаями.

Глава заканчивается (§ 1.5) рассмотрением перечислительной задачи над кубическими матрицами, соответствующими б.к.о., удовлетворяющим первому необходимому условию экстремальности (в теор. 1.3.6). Для решения этой задачи предлагается подход, основанный на понятии трансверсального квадрата (опр. 1.5), являющегося одним из вариантов обобщения понятия латинского квадрата. Решение данной задачи посредством нового понятия иллюстрируется в случаях малых размерностей. Установлена

Теорема6. £х{& -четное число (утв. 1.5.1),

в частности, <£х/!В>3 = 222 (теор. 1.5.3).

Перед этими результатами для сопоставления с основной задачей параграфа, и в качестве родственной ей перечислительной задачи, даны (с доказательствами) полное описание и точное значение количества крайних точек множества Хт - совокупности всех к.с.о. Лт_,:

a) К.с.0. V —1| || е £х1Хт « ф,1} е!т;

b) £х<Х ~т = тт(п+Х)П (пример 7).

Вторая глава «Квадратичные гомеоморфизмы: характеризация, геометрическая структура и о предельном поведении траекторий» посвящена изучению квадратичных гомеоморфизмов (к.г.) конечномерного симплекса.

В § 2.0 даются обозначения, термины и предварительные факты, используемые на протяжении второй главы, где основным объектом изучения будут квадратичные отображения ]¥, представимые в виде (*):

^ = ЖДх) = (*;,..„О

(*)

Хк ~ Хл(к)

к = 1, т,

1=]

где йу = —а^, — 1 < йу < 1, /,у = 1, т, л-перестановка чисел 1 ,...,т.

К.с.о. представимо в виде (*) тогда и только тогда, когда имеет место одно из следующих эквивалентных соотношений (г) Цук =0 при Л (к) £ {/, _/},

(И) Чж(гЫг11к =0 при к £{/,??} (утв.2.1.1).

В § 2.1 рассматриваются «действия» к.г. на произвольных гранях симплекса, которые отражены в следующих утверждениях:

Теорема 7. (1) При последовательном действии отображения \УЛ на границе симплекса образуются циклы к -граней, периоды которых есть делители п(— ОТ(¿71) . Причем если жДг^) сГ^.то [5 = ж'Х{(Х), также

всех

ЖДГ*) с Г* для с /М^ и е) (утв. 2.1.2).

(1)ТГя(гЬГЦ)сгЬГ*Лв) д™ УГ« " Улг 21-3>-

(3) Шя(пТна) с лГ* 1(в) для УГ£ « Ул: (утв. 2.1.4).

Теорема 8. гапкгТц, / =Л + 1 при всех а таких, что СС > 1 (теор.

7«г»

2.1.5). (Здесь \¥к! — сужение на // -мерную грянь Га отображения из класса к.г.

/г*

с фиксированной перестановкой /Г в (*)-представлении.)

Теорема9. Ш/ ^ еЛи*®(г.\ Г*1(а)) « Ж// ^ еЛи/^

Я" ы Т^. В частности, если Я" разлагается на циклы и

= на Г^,, тогда г* к = й (теор.

2.1.6).

Эта теорема, в частности, утверждает, что представимые в виде (*) отображения являются к.г. симплекса. В силу результата Р.Н. Ганиходжаева, опубликованного в совместной работе с соискателем, следует, что « совокупность всех к.г. симплекса исчерпывается отображениями вида (*) ».

В изучении траекторий к.г. \\гп естественный интерес представляет вид

его натуральных степеней. Особое значение имеет канонический вид -

П -ой степени , когда П совпадает с порядком л. Следующая теорема является одним из основных результатов 2-й главы.

Теорема 10. Для отображения из Аи1яАт_1 справедливо одно-

значное представление вида 1¥^(рс) = ■ ■ (^лС*-))- • •)) на ^а при всех

а и Ж, где П = огйп, V/ еАШ® Г*, Г = \, П. При этом, если ах({)1

/

- коэффициенты IV^, то отображение Уг имеет коэффициенты ,

где I,} -\,т (теор. 2.1.7).

К утверждениям § 2.1 по возможности, где это имеет смысл, прилагается их биологическая интерпретация.

Утверждения § 2.2, дающие исчерпывающий ответ о геометрической структуре классов Аи^ Ат_^ и их объединения, собраны в теорему 11:

Теорема 11. Аи1(^А- правильный многогранник размерности т(т — 1) /2, центр симметрии которого есть образ тождественного отображения при перестановке ТС, т.е. Дт: X—> хя, и множество вершин которого состоит из штук отображений вида (*) с коэффициентами Ну равными лишь 1 и-1 при любом / Ф у. (Одним словом, Аи^ Ат_х - стандартный т(т — 1) / 2 -мерный куб. Тем самим, совокупность всех к.г. симплекса

Дт_, на себя представляется в виде разбиения на эти «симметрично расположенные» кубы, количество которых относительно перестановок Я составляет т\) (утв. 2.2.1-2.2.4).

В третьем параграфе 2-й главы приводятся «локальные» теоремы, дающие необходимые сведения о количестве и топологических характеристиках неподвижных и периодических точек к.г. Вводится понятие отображения, имеющего вольтерров тип (опр. 2.4). Для таких отображений приводится утверждение (утв. 2.3.1) аналогичное известной топологической лемме Шпернера о триангуляции симплекса. Оцениваются (снизу) количества неподвижных и периодических точек произвольных к.г. (теор. 2.3.2):

Теорема 12. Если перестановка Я, соответствующая к.г. , разложена на циклы ЯУ,...,ЯГ с Огйяк > 2, тогда имеет не менее чем Г неподвижных точек, также \¥л имеет не менее чем 1\ периодических точек с

периодом для всех к , где Ьк = Огйпк, 71 к е ,..., ЯТ }.

В § 2.3 также затрагивается вопрос о типичности к.г. конечномерного симплекса. Даётся его анализ в классе вольтерровых к.г. и приводится следующее определение, являющееся общим для всех классов к.г.

Определение (6) К.г. из АШ^Ат_х назовём типичным, если все его неподвижные и периодические точки являются гиперболическими. IVя назо-

вём исключительным, если он не типичен.

Теорема 13. Если к.г. \¥п типичен, и К разлагается на циклы с

Огйпк >2 {к = 1, Г), то им порожденная д.д.с. не может иметь источников

с периодами равными 0Т(1жк в вершинах, соответствующих циклам ТСк (теор. 2.3.3).

А теорема 2.3.4, указывая точное количество периодических точек и единственность неподвижной точки, даёт достаточную информацию для представления локальной картины поведения траекторий типичных д.д.с., порождаемых циклической перестановкой компонент вольтерровых к.г. двумерного симплекса.

Теоремы 11 и 13 входят в число основных результатов второй главы.

Вторая глава включает и изучение предельного поведения траекторий к.г., результаты о котором собраны в § 2.5. Этот параграф начинается с рассмотрения множества АШяАх,л: е, т.е. степеней к.г. симплекса А, вида

У(х, у) = ( у(1 - ох), х(1 + а у)), где -1 < а < 1, как иллюстрация биологического истолкования квадратичных топологических автоморфизмов симплекса. Основной целью параграфа является обобщение результатов о поведении траекторий вольтерровых к.с.о. двумерного симплекса, полученных С. Уламом, С.С. Валландером, М.И. Захаревичем, Р.Н. Ганиходжаевым, А.Т.

Сарымсаковым и др., на остальные классы к.г. симплекса Д2.

Относительно перестановок компонент операторов следующие три случая по представлению (*) охватывают всю совокупность топологических автоморфизмов среди всех квадратичных отображений симплекса Д2 в себя: первый - это случай тождественной перестановки е; второй - случай, когда ТС — (1)(23) и третий - случай «полного цикла».

Все ситуации о поведении траекторий в первом случае (в классе Аи^'}А2) были разобраны достаточно полно и получили своё завершение, в основном, в работах А.Т. Сарымсакова [10].

В данной работе ограничивались рассмотрением второго случая, т.е. траекторий к.г. 1¥а, задаваемых (^-представлением, соответствующим перестановке <7 = (1)(23) . Полагая й|2 = а, а31 —Ь, а^ — с, имеем:

№а(х) = (х](1 + ах2 - ¿л3),х3(1 + Ьхх - сх2),х2(\ - ах1 + сх3)). Множество коэффициентов а, Ь и с разобьем на следующие классы:

(A) а<0, Ь>0, с* О и а = 0, Ь>0, с*0; (С) а = 6*0, с

(B) а>0, Ь<0, с^0ий>0, Ь = 0, сфО; ф) а = Ь = 0 и,или, с = 0;

(Е) 5§пя = sgn¿>, а ф Ь, с ф 0.

Все основные утверждения § 2.5 дадим в следующей теореме:

Теорема 14. (1) Отображения удовлетворяющие условиям (А), (В) и

(C), находятся в общем положении.

(2) Отображения с коэффициентами из (О) являются исключительными. (утв. 2.4.5).

(3) В классе (А) последовательность | (х°) | всегда сходится к неподвижной либо к периодической точке, находящейся на границе симплекса Л2 (теор. 2.4.1). (х" - начальная точка траектории)

(4) В классе (В) последовательность (х°)| всегда сходится к одной из вершин. Область Л2 \ Г^ р | является устойчивым многообразием неподвижной точки ех (теор. 2.4.2).

(5) Функция (р{хх, Х2,Х3) = Х^"*'Х^'*'х\"с является функцией Ляпунова для системы УУ^ при условиях (С) (утв. 2.4.3).

(6) В классе (С) последовательность всегда сходится к неподвижной либо к периодической точке отображения IV ■ При этом, устойчивые многообразия неподвижных и периодических точек внутри граней являются кривыми, соединяющими их между собой (когда й- С < 0) или с внутренней неподвижной точкой (при а- С> 0). Эти точка и кривые делят симплекс на три

-инвариантных и открытых в симплексе множества, являющихся устойчивыми многообразиями неподвижной и периодических точек \Уа в вершинах (теор. 2.4.4).

Из теоремы 14 следует, что д.д.с., порожденные отображениями из классов (А), (В) и (С) имеют 4 топологически (качественно) различные картины глобального поведения траекторий, которых нетрудно представить в силу этой же теоремы.

В конце второй главы, в § 2.5, на основе классического понятия производной Шварца (шварциана) сформулировано новое понятие - обобщенный шварциан. Производная Шварца определяется выражением

Sf = f'"If -3(/"//')2Д. где / €С3([я, Ь]).

Пусть V - произвольное непрерывное отображение Rw в себя, , где /к, к = 1, m, имеют частные производные 3-го порядка по всем координатам точки X.

Определение (7) Обобщенным шварцианом отображения V будем называть определитель Sv = det S ¡/Л _, где S ¡f? - производная Шварца

J II _/', i'=l, т J

от функции /¡(х) по переменной Xj (опр. 2.5).

К определению обобщенного шварциана прилагаются его некоторые свойства относительно к.г. ••>/„). имеющих ненулевые частные

производные ßfkjdxi при всех i Ф к(к) (теор. 2.5.1).

Теорема 15. Пусть отображения Wn и Ал из Aut^Дт_, с 0Гс1я = П

такие, что А"я(х) = X и W" I ФAeJ для любой Г^. Тогда если сущест-

/ г' /П

вует неподвижная точка X* для на пТ^, то X* глобально отталкивающая на всей пТд, т.е. X* единственна на пТ^ и является источником относительно пТ1а (теор. 2.5.2).

Следствие. Wx из Aut^Am_, не имеет периодических орбит с периодом

больше чем ordn на одномерных гранях Дт_[.

В заключении, к примеру, приведем биологические интерпретации двух утверждений

в каждом поколении индивид может унаследовать только лишь ту разновидность, которой обладает один из его «прародителей» (к утв. 2.1.1).

разновидности, присутствующие в начальном состоянии популяции, могут и не появляться в некоторых последующих состояниях популяции (к утв. 2.1.2).

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю Р.Н. Ганиходжаеву за постоянное внимание, проявленное во время работы над диссертацией.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Захаревич М.И. Эргодические свойства нелинейных отображений, связанных с моделями экономической динамики И Доклады АН СССР, 1981, т.260, № 6, с. 12981301.

[2] Шарковский А.Н., Майстренко Ю.А., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. - Киев: Наук, думка, 1986.280 с.

[3] Любич Ю.И. Математические структуры в популяционной генетике. - Киев, Нау-кова Думка, 1983. - 296 с.

[4] Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990. - 272 с.

[5] Улам С. Нерешенные математические задачи. - М.: Наука, 1964. - 168 с.

[6] Ферми Э. Научные труды. - М.: Наука, 1972. - Т. 2. - С. 645-656.

[7] Birkhof? G. Tres observaciones sobre el algebra lineal // Univ. Nac. Tucuman. Rev. Ser. A5, 1946, p. 147-151 [MR 8 (1947) 561; Zbl. 60 (1957) 79].

[8] Ганиходжаев P.H. К определению квадратичных бистохастических операторов // Успехи матем. наук, 1993, т. 48, № 4, с. 231-232.

[9] Маршалл А., Олкнн И. Неравенства: Теория мажоризации и ее приложения: Пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - 576 е., ил.

[10] Сарымсаков А.Т. О траекториях некоторых квадратичных преобразований двумерного симплекса // Изв. АН Уз ССР, сер. ф. -м. наук, 1981, № 1, с. 34-37.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Каримов А.З. Решение проблемы Г. Биркгофа для бистохастических квадратичных операторов //Доклады АН Р Уз, № 10,1994, с. 8-11.

2. Каримов А.З. О выпуклом многограннике бистохастических квадратичных операторов и описание множества его вершин // Узб. матем. журн., № 4, 1995, с. 42-52.

3. Каримов А.З. Атомарность и экстремальность в специальном классе неотрицательно симметрических матриц // Материалы 1-ой Респуб. научн. конф. молодых физиков и математиков, Т.: ТашГУ, 1995, с. 122.

4. Каримов А.З. Асимптотическое поведение траекторий квадратичных гомеоморфизмов симплекса // Сборник статьей участников Международной научной конференции «Ломоносов», М.: МГУ, 1998, с. 160-161.

5. Каримов А.З. Обобщение понятия производной Шварца для векторнозначных отображений // Сборник тезисов П-ой Респуб. научн. конф. молодых ученых, Т.: ТашГУ, 1996, с. 49.

6. Ганиходжаев Р.Н., Каримов А.З. Характеризация квадратичных гомеоморфизмов в множестве квадратичных операторов // Депонированная рукопись, ГФ НТИ при ГКНТ Р Уз, № 2664-Уз97,16 с.

7. Каримов А.З. Квадратичные гомеоморфизмы: геометрическая структура, типичность и поведение траекторий //Депонированная рукопись, ГФ НТИ при ГКНТ Р Уз, № 2676-Уз97,40 с.

8. Каримов А.З. Поведение траекторий в некоторых классах квадратичных гомеоморфизмов симплекса //Вестник ТашГУ, № 1,1998, с. 19-27.

9. Каримов А.З. Общность положения на множестве всех квадратичных топологических автоморфизмов конечномерного симплекса // Узб. матем. журн., № 2,1998, с. 39-43.

Бистохастик квадратик операторлар ва квадратик гомеоморфизмлар

Аннотация

Мазкур диссертацияда квадратик акслантиришлар назариясининг айрим масалалари, яъни бу акслантиришлар траекторияларининг з^олати ва алозрида синфларининг тузилишини урганишга оид масалалар курилади.

1—бобда М.тдаги Дш_, базис симплексининг бистохастик квадратик операторлари (б.к.о.) урганилади. Бобнинг бош натижаси Г. Биркгоф теорема— сининг квадратик аналогидир, у б.к.о.ларнинг экстремаллик критерийсини баён этади. Бунга ^адар бобда барча б.к.о.ларнинг барча компоненталари туплами тавсифланган. Мазкур туплам элементлари учун атомар матрица, тривиал ва четки атом тушунчалари киритилган. Янги тушунчалар воситасида б.к.о.лар компоненталари тупламида экстремалликнинг бир нечта узаро тенг кучли кри — терийлари олинган. Натижада б.к.о. экстремаллмгининг зарурий ва етарли шартлари аши^ланган ва исботланган. Ихтиёрий ^абари^ купё^ ну^тасининг четки ну^талар ор^али ^абари^ комбинациясидаги ^аддар сонини камайтириб булмаслик з^а^ида натижа олинган. Экстремалликнинг зарурий шартини Каноатлантирувчи б.к.о.ларга мое келадиган кубик матрицалар устида санашга оид масала ^аралади. Уни ечиш учун трансверсал квадрат тушунчасига асос — ланган ёндошув таклиф этилган. Бобнинг якунида киритилган трансверсал квадрат тушунчаси яхши таниш булган лотин квадрата тушунчасининг яна бир умумлашмаси э^исобланади.

2 —бобда чекли улчамли симплексни узига утказувчи квадратик гомеоморфизмлар (к.г.) мажмуининг геометрик—топологик тузилиши урганилади ва бу акслантиришлар траекторияларининг лимит зрлати тадциц этилади. Бунда к.г.ларнинг симплекснинг ё^аридаги «з^аракатлари» ^аралади, к.г. торайтмалари звдида ва уларнинг ^осиласи — Якоби матрицасининг öiyiap ички нукталаридаги ранги ханида теоремалар исбот этилади. К.г.нинг тайин даражаси билан воль — терра квадратик стохастик оператори (к.с.о.) деб аталувчи акслантиришлар ора— сида кейингиларнинг композицияси куринишида ифодаланадиган, бутун боб давомида куп маротаба ^улланилувчи, богланиш урнатилган. т -1— улчамли симплексни узига утказувчи барча к.г.лар туплами улчами т(т - 1) / 2 булган узаро кесишмайдиган ва узаро симметрик жойлашган т! та кубнинг бирлаш — маси (U„sG Aut'^Am l) куринишида геометрик тасвирланиши исботланган ва бу

кублар учларининг тулик тавсифи берилган. Вольтерра к.с.о. синфида типиклик з^олати (умумий зрлат ну^таи назари билан топологик тузилиш) ани^лаштирилган. Бобда к.г.лар билан берилувчи каскадларнинг кузгалмас ва даврий нукталар атрофидаги локал з^лати тад^и^ этилади. К.г.лар траекторияларининг лимит з^олати т = 2,3 да урганилади. Боб ни^оясида операторларнинг умумлашган шварциани тушунчаси таклиф этилади, укинг чекли улчамли симплекс к.г.лари учун баъзи хоссалари келтирилади.

The bistochastical quadratic operators and quadratic homeomorphisms

The summary

At present dissertation work some questions of the theory of quadratic maps concerning study structures of separate classes and behaviour of trajectories of these maps are considered.

In chapter 1 the bistochastical quadratic operators (b.q.o.) are studied on a basic simplex Am_, in Rm. The main result of the chapter is the quadratic analogue of the G.

BirkhofFs theorem about extremeness b.q.o. For it the set of all the components of all b.q.o. are described, the concepts of an atomic matrix, trivial and extreme atom are entered in it, and also the condition equivalent atmarity is given. By means of new concepts some equivalent among themselves criteria of extremeness of points of set of components of all b.q.o. are received. The necessary and sufficient conditions of extremeness of b.q.o. are revealed and proved. The result about discrease of a number of extreme points participating in convex representation is received. The calculuative task mentioned above about cubic matrixes appropriate b.q.o. is considered satisfying to a necessary condition of extremeness. The term transversal square is entered on the basis of which the approach is offered for the decision by this calculuative task. The transversal square is one generalization of known concept of a latin square.

In chapter 2 the geometric-topological structure of set of all quadratic homeomorphisms (q.h.) of finite dimensional simplex per itself is studied and limiting behaviour of their trajectories is also investigated. Thus, "actions" q.h. are considered on the verge of a simplex, the theorems of narrowings q.h. and about a rank by their derivative - matrix Yackoby are proved in internal points of hedrons. The communication used during the chapter, between some degree q.h. frequently and so-called by the Vol-terra's quadratic stochastic operators (q.s.o.) as a composition of last is established. The set of all q.h. is proved, that m-1-degree of a simplex per itself vectorially represents association m\ pieces not crossed cubes of dimension m(m-1)/2 the complete description of tops these cubes also is given. The situation of typicalness (topological structure in sense of a generality of a rule) in a class Volterra's q.s.o. is explained. The term of the operator having Volterra's type per itself is entered, which representatives are the appropriate compositions q.h. and, in particular, Volterra's q.s.o. The motionless and periodic points, i.e. sources, drains, saddle set of same homeomorphisms, cascades are investigated. Limiting behaviour of trajectories q.h. is investigated in m=2,3. At the end of the chapter the concept of generalized Schwarzian operators is offered, some its properties for q.h. finite dimensional simplex are resulted.

rio;inncano k neqaTH 12.11.98. THpaHc 100 3k3.

OrnenaTaHO b THn. Villi «3n£». 3aica3 № 7.