Большие упругопластические деформации в технологических задачах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

. ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РАН

щ—м-

На правах рукописи

ИВАНОВ Борис Петрович

БОЛЬШИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Специальность 01.02.04.—Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь — 1993

Работа выполнена в Институте ивхаяики сплошных сред Уральского отделения Российской Академии Наух.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, старше научный сотрудник Роговой A.A.

Официальною оппоненты: доктор физихо-математических наук, профессор Трусов П. 6. доктор технических наук, профессор Лебедев Н.Ф.

Ведукдя организация - Санкт-Петербургский государственный унхверситет.

Защита диссертации состоится " 23 " СвНТЯБРЯ 1993 г# в " Ю " час. на заседании специализированного совета К 003.60.01 по присуждение ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН по адресу: 614061, г.Пермь, ул. Академика Королева, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ШСС УрО РАН.

Автореферат разослан "_"_ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук

ОБЦАЯ ХАРАПЕРИСГОКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Технический прогресс невозможен без постоянного развития техники и технологий. Побуждением этому служат повышаювдеся требования к качеству продукции, совершенствовали! суиествуюдих и разработке новых технологических процессов. С точки зрения механики деформируемого тела это ставит задачу создания и усовершенствования математических моделей материалов и процессов, позволясаих учитывать разнообразные факторы при изготовлении и эксплуатации изделий, например, особенности контактного взаимодействия деформируемых тел и большие деформации. При этом для контактных задач заранее не известны как области фактической поверхности контакта, так и распределение контактного давления, зон прилипания и скольжения. При разработке новых и проектировании существувщих технологических процессов обработки давлением часто бывает необходимо знать распределение напряжений на поверхностях контакта инструмента и элементов технологического оборудования с деформируемой заготовкой, которые могут принадлежать упругой области. Целесообразно поэтому развивать теоретический и расчетный аппарат для определения напряженно-деформированного' состояния в заготовке в процессе технологических операций обработки давлением.

Большинство известии математических моделей не учитывает большие упругопластические деформации и контактное взаимодействие заготовки с элементами технологического оборудования с учетом трения. Поэтому, актуальной остается задача построения математических моделей технологических процессов, максимально приближенных к реальности и создание эффективных алгоритмов и программ численного решения контактных задач с большими деформациями.

Паль диссертации :

- разработка и реализация методов, алгоритмов и программ для ЭВМ, позволявших учитывать нелинейности материала и процесса С физическую, геометрическую и в граничных условиях 3,

- решение прикладных задач обработки металлов давлением по определение напряженно-деформированного состояния материала в процессе деформирования.

Научная возизиа.

1. На основе модифицированного лагранжевого подхода осуществлена вариационная постановка в приращениях упругопластическкх контактных задач при больших деформациях.

2. Получена разрешавшая система уравнений метода конечного элемента для осесшшетричной задачи.

3. Разработаны алгоритма решения контактных задач упругоплгс-тичности без учета трения и с трением, при этом матрица жесткости МКЭ остается симкетричнсЗ. Незначительное число итераций, затрачиваемое для вычисления на шаге, и достаточно малое время счета задачи показывают эффективность разработанных алгоритмов.

4. Fouieaii задачи^ контактного типа с большими упругопластичес-5сиш деформациями по определение напряженно-деформированного состояния, 3çh пластичности и контакта в процессах изготовления труб на оправке, как без учета, так и с учетом контактного трения.

Пмистичегаса» чинность. Разработанные алгоритмы и программы рехекия упругопластичвских контактных задач с большими деформациями с учетом и бзз учета трения могут быть использованы при решении практических задач, в которых существенную роль играет нелинейности : §аззгчгсзсие, геометрические и контактного тип?,.

AnpoSeim« работы. Основные результаты по теме работы докладывались на : Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и технике" С Пермь, 1986 3; Bceccraaof. школе молодых учоных и специалистов "Вычислительные методы и математическое шделирование" ( Цуиенсхое, 1S8S Э ; 7 Зимней школе по механике сплошных сред С Пермь, 1S87 3; Научно-технической конференции "Катекатическаз моделирование технологических процессов обработки металлов" С Перкь, 1987 3; 12 Научной конференция молодых ученых Института шканихи АН УССР ( Киев, 1987 3 ; Уральской научно-технической конкуренции 'Теоьх'трическое моделирование и начертательная геометрия" ( Пермь, 19G7 3 ; 4 Всесогакой конференции "Смешанные задачи мехакшш деформируемого твердого тела" С Одесса, 1989 3; 6 Национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике С Варна, 1989 3; 12 Всесоюзной конференции по численным методам реаэивя задач упругости и пластичности С Тверь, 1991 3.

Пу&тахацки. Результаты работы опубликованы в 4 статьях, 6 тезисах докладов, 2 отчетах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из ззедения, Четырех глав, заключения и изложена на 120 страницах юаанопвснсга текста, вхлючая 26 рисунков. Библиография насчитывает 152 ЕаккэноЕаная С 82 русских и 70 иностранных источников 3.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проблемы, сформулированы цель и задачи исследования, излагается круг вопросов, рассматриваемых ь диссертации и выносящихся на защиту.

В первой главе осуществлен обзор работ отечественных и зарубежных авторов , пссвяденных подходам, 1«тодам, алгоритмам чес лепного решения упругих и упругопластических контактных задач с большими деформациями.

В первом разделе проведен анализ работ по решении задач, учитывавшие геометрические нелинейности и нелинейности от граничных условий. Указаны преимущества и недостатки, области првменя-мости рассмотренных методов я подходов, способы линеаризации геометрически нелинейных задач.

Во втором разделе рассматриваются общие вопросы построения определяющих соотношений, разделении полной деформации на упругую и пластическую, методы линеаризации физически веиснввныж задач. Обсуждаются формулировки для описания поведения материала лря больших деформациях. Отмечено, что применввке в исследованиях модифицированной лагракжевой формулировки сникает вопроси о выборе коротационной производной в определяющих соотношениях и о неединственности разгруженной конфигурации, так как при такой описании правая и левая конвективные, Яумана ий- коротационныэ производные, с точностью до первого порядка малости, совпадают, а отсчет-ной выбирается конфигурация на начало сага.

В заключение главы, на основе анализа работ, кратко описан подход к решению упругопластических контактных задач с больпикз деформациями, представленный в диссертации.

Во второй главе. . основываясь на модифицированном лагранжавом подходе, осуществлена вариационная постановка в приращениях упругопластических контактных задач с большими деформациями без учета контактного трения.

Определяя положение точек деформируемого материала в начальной и в текущей конфигурации радиус-векторами г и Е : СК = г + иЗ. отнеся вектор перемещений и к основному базису г1 , принцип виртуальных перемещений в начальной конфигурации формулируется в виде : / р0'5ч сБ0 + / р0к-би 6У0 - ; т8"<58 6УС = 0 . СП

л 3о уо уо °

Здесь Тх - тензор напряжений Пиолы-Кирхгоффа II рода ,

- б -

Ро = с •■в8"'' п ) ,/а Р ,

п - внешняя единичная нормаль к поверхности ,

ё*"1- тензор, обратный тензору меры деформаций Коши-Грина

б* = гЗ ♦ з ,

6 - тензор деформаций Коши-Грина ,

р0~ поверхностные и К - массовые силы, действуйте на деформируем^ материал с плотностью рд, занимающий объем Чо и ограниченный поверхностью в начальной конфигурации.

Рассматривая малые перемещения си относительно конфигурации к и вводя тензор-градиент смещений: сН = сСу^и)7. где оператор ух отнесен к конфигурации * , а индекс "т" означает транспонирование, и обозначая / = (у„К)т, имеем :

Л Л Л'л Л . /V л Л . А Л. А. А_ А

/ = д + сН . Г1 = д - ¿Н . /"т = д - еН7. т)а = .

Разлагая выражение для относительного изменения объема в текущей и х конфигурациях в ряд по малому параметру е , ограничиваясь линейными относительно с членами, получаем :

л J = йЧ/<Мх= (13Сч2)) 1/3 = 1 + е1гЕ .

где 13(т)а) - третий инвариант тензора меры деформаций Коши-Грина .

Определяя тезор напряжений Пиолы-Кирхгоффа II рода в конфигурации * : Тж= J -Т-Гт. где Т = Т1^^ (2) - тензор истинных напряжений, получаем :

* А А А А А А А

т» = т - Е'Т - Т -Е + , СЗЭ

л x о о о зс

где То- начальные напряжения в конфигурации х ,

- функция отклика материала на деформацию Е относительно конфигурации х Здесь учтено, что в тензоре Е малы перемещения и их производные. Также отброшен член Т01гЕ , который, как отмечается в ряде работ, слабо влияет на решение задач о больших упругопластических деформациях в металлах и приводит к несимметричной матрице жесткости в разрешающих уравнениях метода конечных элементов.

Тогда можно записать принцип виртуальных перемещений (1). помимо начальной конфигурации *о , также и в конфигурации « , относительно которой осуществляются малые^перемещения.

Представляя в выражении С3)^тензор Ь, в виде суммы упругой и пластической частей: 1Х = £а+ у1р, получаем вариационное уравнение теории пластического течения для п-го шага :

Лу<*и ^ + /р/,(5и /СТо-Е-То-Т;Е = 0 , (4)

5 v v

* * *

Здесь рх - плотность деформируемого материала, занимающего объем V. и ограниченного поверхностью ,

* Л А 1 Л- Л «Л 4 Л Лм

= Е + ¿С Нт- Н ) , Е = ¿С Н + Нт ) , (5)

ра = (1+ 1гЕЗ(гу п,) ,/а р ,

где п^ - внешняя единичная нормаль к поверхности . По теории пластического течения :

е Л

А Л А А А А - Л?

1а = Х^СЕЭд + 26Е , Ьр = -20М / 5 - . (6)

А А О А

а J¡CE1g - шаровая часть тензора деформация Е,

X = сХЗи/а-Зи) - параметр Лаю , М = 96/ [2(35 + Ю], (3, V - модуль сдвига, коэффициент^Пуассона , Б - девиатор тензора напряжений Т : § = Т - ^ /,СТ)д , 0х = | 5*'Б - интенсивность напряжений , Г - индикаторная функция :

Г

_ М, если Г = О, (1Г = 0, (й"/35)-*(К > О " 0.

О, если Т = О, 6Г = 0, (дТ/дЗ)"<£ < 0. или Г < О, Г = сг - С У + Н/ с1ср ) - поверхность нагружения,

где У - предел текучести, Н - модуль пластического упрочнения, снимаемый с кривой "истинное напряжение - интенсивность логарифмической пластической деформации" скр - интенсивность приращений пластических деформаций :

бе = Г1 <й •• <£ 11/з

р I л р р

• - • Р >

бер - девиатор тензора^приращениЯ пластических

деформаций: ' йер = сЗЕр -^,СЕр)д = бЕр .

В соответствии с модифицированной лагранжевой формулировкой, разбивая интервал нагружения на ряд достаточно малых шагов, будем, при решении вариационного уравнения (4) на текущем п-си шаге, выбирать в качестве конфигурации * известную конфигурацию тела на п-1 -ом шаге.

Начальное на п-ном шаге напряжение равно результирующему напряжению на п-1 -ом шаге : Г0п) = Г '.

Уравнение С4) замыкается для контактных поверхностей граничными условиями, обеспечивающими условия непроникания точек заготовки в противоположное тело и неположительность нормальных усилий на контактных поверхностях, определяющих область контакта, я условий, обеспечивающих выполнение соотношений по трению на поверхнос-

ти контакта :

Тп < 0 . ип < Д*. Сип- Д*)ТП = 0 . у х € Б, , цт| < з , Ттит < О , (|Тт| - 3 ) ит = О . V X б

где Тг = п-Т-п , Тт = п-ТЧ , ип = п-и , ит = ^и ,

пд - бженяя единичные нормаль и касательная к поверхнос-™ ^ '

Л*- расстояние между контактирующими поверхностями по

нормали п , Ц - функция, определявшая закон трения. Соотношения С7) справедливы для конфигурации, относительно которой рассматривается вектор малых передащений и .

В третьей глзы* получена разрешавшая система уравнений для численного решения осесижетричных задач упругопластичности МКЭ.

При использовании ККЭ с квадратичной аппроксимацией поля перемещений, в начальной конфигурации *о , имеем конечный элемент с прямолинейными сторонами. Но. после деформирования, в конфигурация а , стороны его - криволинейны, и интегрирование по площади такого элемента, а также построение функций формы для следующего шага, становится затруднительным. Поэтому, осуществлен переход от деформированного элемзнта к элементу с прямолинейными сторонами,

используя преобразование = 3 (5^ ), в котором : ^ и Е, - ков в ординаты »йтеризльнкх точек в * и *в конфигурациях, а 3 -

заданная функция.

Вариационное уравнение (43 записывается для конфигурации хд в

виде :

; рй-йи + $ ^ рх К*бц (IV, -

5 в в V в в

- I Л. С Т - Е'Т - Т -Е + £„)••(&, сГО = О . С83

л * о оо X Ж Ж

V в в

"в

где ./ - якобиан преобразования , а

3 \£«Ла,п* >,/а' °*2 = к,).

ее. осе в о е

п, - единичная нормаль к поверхности Б, . Используя преобразование вида : рЧ%х Х^*^ . где рк(Кж ) -

о е

функция форма для к-го узла, (Б-Р,. - значение координат в

к-том узле, замечая, что в цилиндрической системе координат для

осесимметричной задачи ^ = х1г1 . = Xт( , где г1 - базис

&

цилиндрической системы координат , вводя обозначения :

01 х? , ' -3 1 (9)

В, = ¿г К К ' Вз = Х1 ' В, = ^

^ - - . Е* = В/, - В2Г,

где р1 = ер1/ д¥.' , получаем, что = Д = В В - В2Вз .

О л

В обозначениях (93 выражения для , представляются в виде :

= (В2 + В23 г, г, + СВ1 Вз+ В2В4) г1гз+ ((х'З2/ г3) гаг2 +

в+(в[вз+вгв4)гзг1+свзг+в:)гзгэ . Определяя нормаль пй через координатные составляла :

"Г = п* г, + п* гэ .

в о в

получаем следующее выражение для 2Х :

г. -- Д I СБ 2+ в 23(п' З2 + 2СВ в + В В Зп ' п 3 +

х 1 г х 1 з 2 4 зе #

о о .ее

+ (Вг + В23(п3 Зг],/2

3 4 Л

в

Деформации, входящие в вариационное уравнение (83, определяются с помощью вектора перемещений и , заданного относительно конфигурации * , известными соотношениям (53. Алрсксишфуя координатные составляющие вектора и : (и - и1 г> + и3гз) с помощью функций формы р" = рк(Х1 ,Х33 и значений перемещений в узлах и* , с учетом (93, получаек :

7ки = Взр^з)(и' / Д г,г, + и3 / Д г, г,) + (10)

СВ,Р%- В/,)(и' / Д гзг, + и3 / Д гзгз) + рки' / г3 гггг .

'Подставляя выражение (103 в (23,(33,(53,(63 получаем значения компонент тензора деформаций Кога-Грина, тензора напряжения Пиолы-Кирхгоффа II рода, тензора истинных напряжений, компоненты упругой и пластической частей тензора £ .

Величину Е = Е - Е можно найти, зная полную деформацию Е и р ® л

определяя из соотношения (33 ртугуо^де$ср;%(гцкв Едпри заданном Т : Т_ = Т - Е -Т - Т -Е + £ .в

X о е о о в е

В обозначениях (93 выражение для рх имеет вид :

Рж = (1 + 1гЕ) р - [Спр'ВД / Д + (фа1ЗД / Д ♦

+ п^ п3 (Б* и3 + Б* ир / Д ] р ,

где п^ , п3 - координатные составляющее нормали пя . Таким образом, получили все величины, входящие в вариационное

уравнение (8). и, с учетом их. приходим к разрешающей для п-го шага системе линейных алгебраических уравнений ЮСЭ для элемента .

Пробегая по всем элементам и суммируя коэффициенты при одинаковых узловых перемещениях в одном и том же узле, принадлежащему соседним элементам,, получаем общую разрешающую систему. Матрица жесткости системы будет симметричной только при отсутствии поверхностных сил р или же при заданных на поверхности перемещениях.

В последующих разделах третьей главы описаны методики по определению поверхности нагружения, интенсивности пластических деформаций, модуля пластического упрочнения, алгоритм пошаговой численной реализации контактных задач упругопластичности при больших деформациях без учета трения с использованием процедуры переменной матрицы жесткости МКЭ. На основе этого алгоритма разрабатывался алгоритм решения задач упругопластичности с учетом контактного трения, блок-схема которого приведена на рис.1 и описанный в главе 4. Представлены результаты решения прикладных задач по определению напряженно-деформированного состояния в процессе деформирования трубы на оправке С рис.2 3, изменения усилия процесса, картины развития области пластичности, зон контакта трубы с оправкой. С увеличением смещения происходит отрыв трубы от оправки у входа в матрицу. На рис.2.; область 1-3 - контакт трубы с оправкой после 10 шагов, область 2-3 - контакт после 100 шагов по нагрузке.

В четвертой главе представлен алгоритм численной реализации задач упругопластичности с учетом контактного трения и с сохранением симметрии матрицы жесткости разрешающей системы МКЭ. Алгоритм предусматоивает итерации по контакту при отсутствии скольжения и итерации по трению при фиксированном контакте. Проведен анализ влияния трения на результаты решения задачи, представленной в .третьей главе. Показана эффективность предложенного алгоритма, особенно при деформировании материала в пределах упругости и на начальном участке упрочнения.

Предложенный алгоритм решения задач упругопластичности с учетом сил трения следующий :

1. При заданных граничных условиях на поверхностях контакта и напряжениях с предыдущего шага решаем упругую задачу с заданными приращениями внешних воздействий. По полученному полю перемещений определяем средние деформации в узлах от примыкающих элементов, истинные напряжения и поверхность нагружения Г. Если во всех узлах Г < 0 , то переходим к проверке контактных условий. Если Г > 0, то

- и -

решаем упругопластическую задачу : строим дополнение к полученной ранее упругой матрице жесткости, определяем 81 -1, Т1 и переходим к проверке выполнения контактных условий Сп.2 или п.З).

2. Для определения области контакта проверяем условия

Для элементов, в узлах которых граничные условия изменились, корректируем упругую матрицу жесткости и возвращаемся к п.1. Причем, на первой итерации по контакту принимаем на поверхностях контакта отсутствие скольжения : ит= 0. Если область контакта не изменилась, то зону контакта фиксируем и переходим к проверке условий трения.

3. Для узлов, находящихся в контакте, проверяем условие С7д3. вычисляем напряжения трения : тт = ц |ап|, и для узлов, перешедших в пластическое состояние, проверяем условие тт< тв: Ств= Т/ /Т? ). Для узлоз, где это не выполняется, задаем тт =

Получившиеся напряжения трения полагаем постоянными на последующих итерациях по трению при найденной в п.2 зоне контакта.

В тех узлах контактной поверхности, где касательные напряжения т > тт , задаем смещение в тангенциальном направлении, пропорциональное разности этих напряжений : ит = к Ст - тт), корректируем матрицу жесткости элемента и переходим к п.1 при фиксированной в соответствии с п.2 зоне контакта. Затем, уточняем ит и так далее.

Выход из итераций по трению осуществляется, когда перемещения на предыдущей и последующей итерациях при фиксированной, в соответствии с п. 2 , области контакта мало отличаются.

4. Затем уточняем область контакта, то есть переходим к п.2. На этих итерациях по контакту оставляем неизменными ит , получившиеся на последней итерации по трению.

После уточнения области контакта, на новом фиксированном контакте вычисляем новые напряжения трения т = ^ |сг |, то есть переходим к п.З и так далее.

5. Выход из итераций по контакту-трению осуществляем, когда вектор перемещений и в конце итераций по трению на предыдущем и последующем фиксированных контактах с точностью до малого с совпадают. После удовлетворения этих условий, перестраиваем координаты узлов сетки, задаем приращение нагрузке и переходим к п+1 шагу.

При численной реализации алгоритма полагалось, что :

а) если, при скольжении материала по жесткому инструменту, происходит смена знака в задаваемом смещении в тангенциальном

направлении, вызванное изменением знака касательных напряжений, то и!+1= С и!+1+ и*. 3 / 2 .

- 4 4

Здесь, через и^. обозначены компоненты ит на 1-той итерации.

63 упругие элементы, интенсивность напряжений в которых, с точностью до с , близка к напряжению текучести после предыдущего иага по нагрузке, считаются в пластическом состоянии на данном нагрузочном шаге.

Особенность разработанного алгоритма решения контактных задач с трением состоит в том, что удовлетворение условий контактного трения осуществляется путем подбора тангенциальных перемещений Сза счет кинематики 3, и это позволяет сохранить симметричность матрицы жесткости разрешающей системы метода конечного элемента.

Апробация алгоритма проводилась при исследовании процесса вытяжки труб на опраЕке. Исследование проводилось при тех же геометрических размерах и физических постоянных, с тем Ее конечноэле-кзнтным разбиением исследуемой области, как и в случае решения задачи без учета трения. На оправке и на матрице принимался закон трения Кулона с коэффициентом трения ^ = 0.3 .

В результате иохно сделать следующие вызоды. Трение оказывает положительную роль, направленную на снижение деформирующего усилия к работы деформации, а расчет процесса без учета трения ведет к завышению деформирующего усилия С на рис.3 : кривая 1 - без трения, 2-е учетом трения 3. В задаче с учетом трения область пластичности развивается более интенсивно, ко менее равномерно и трение несколько смещает область пластичности в сторону входа в матрицу. Под инструментом наблюдается двухпиковая эпюра нормальных напряжений, причем, учет сил трзния смещает пик напряжений в сторону выхода из матрицы, а на оправке - наоборот, в сторону входа. В работе также представлены картины изменения области контакта трубы с оправкой и развития зон прилипания-скольжения : трение смещает области контакта в сторону выхода из матрицы, а картины изолиний напряжений "выгибает" в сторону входа в матрицу.

В среднем, для расчетов в упругой области затрачивается 3 итерации С на одну итерацию по контакту или трению затрачивается 4-5 минут машинного времени 3 при определении напряженно-деформированного состояния на шаге, что соответствует около 15 мин. машинного времени ЭВМ БЭСМ - 6.

При дальнейшем нагружении происходит отход решения от поверхности пластичности. Хотя для задачи без учета трения, при заданном

саге по нагрузке, были получены хорошие результаты при значительно больших шагах. Для улучшения скорости сходимости, видимо, следует использовать другие методы, в частности, процедуру радиального возврата, при которой снос точек решения на поверхность течения осуществляется по нормали, что ведет к увеличении скорости сходимости итерационной процедуры, или же, используя процедуру переменной матрицы жесткости, решать задачу при шагах нагругения мэнькей величины, что гало эффективно, так как это ведет к увеличения времени, затрачиваемого на вычислительный процесс.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ЕЫВОДН

1. На основе модифицированного лаграняэвого подхода осуществлена вариационная постановка в приращениях упруголластйчзсхих контактных задач при больших деформациях.

2. Получена разрешающая система уравнений метода конечного элемента для осесимметричной задачи.

3. Разработаны алгоритмы решения контактных задач упругопластичности без учета трения и с трением. Причем, в последнем случае матрица жесткости ШСЭ остается симметричной.

4. Решены задачи контактного типа с больший упругопластичэс-кика деформациями по определению напряхэнно-дефорккрозаяиого состояния, зон пластичности и контакта в процессах изготовления труб на справке как без учета, так и с учетом контактного трепля, ка примере которых показана эффективность разработанных в диссертации алгоритмов и программ.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах :

1. Алгоритмы решения контаэткых задач с трением. Отчет о НКР (заключит.) / Институт механнхи сплошных сред УрО АН СССР; руков. А.А.Роговой; й ГР 01.86.0002922; 1!яв.№ 02.9.10.039280.- Пермь. 1991. - 55с (с В.Е.Калининым).

2. Алгоритм решения контактных задач с трением при больетх упругопластических деформациях // Численное моделирование статического и динамического деформирования конструкций. - Сеердлоэск, УрО АН СССР, 1990, с.70-75.

3. Большие упругспластические деформации- в металлах // б Национ. Конгресс по теоретич. и прихл. механике - Варна, Болгария, 1989. Труды - с.82-85. Тез. докл. - П.42 (с А.А.Роговым).

4. Большие упругопластические деформации в технологической задаче изготовления труб на оправке // Тр. 12 Науч. конф. мол. ученых Ин-та мех. АН УССР. Киев. 27-29 мая, 19S7. - Киев, 1987, с.514-518. - Деп. в ВИНИТИ 29.7.87, № 5389-В87.

5. Контактные задачи упругости и упругопластичности. Отчет о НИР (заключит.) Т.3 / Институт механики сполшиых сред УНЦ АН СССР; руков. А.А.Поздеев: й ГР 81008294; Инв.» 0286.0015995. -Пермь, 1985. - 94с Сс А.А.Роговым).

6. Модель процесса вытяжки трубы на оправке в рамках контактной задачи // Тез. Всесоюзн. шк. мол. уч. и спец. "Вычислительные методы и математическое моделирование". Шушенское, 1S86, с.З.

7. Определение напряженно-деформированного состояния в очаге деформация б задаче вытяжки цилиндрической трубы // Модели и методы исследования упругого и неупругого поведения материалов и конструкций. - Свердловск, УНЦ АН СССР, 1987, с.39-43.

8. Определение напряженно-деформированного состояния в задаче о вытяжке цилиндрической трубы. Результаты решения // Моделирование процессов течения неклассических жидкостей. - Свердловск, УрО АН СССР, 1990, с.67-70.

9. Осесимкетричная контактная задача вытяжки трубы на оправке при больших упруго-пластичеаких деформациях // Тез. Всесосзн. школы-семинара "Математическое моделирование в науке и технике". Пермь, 1986, с.149.

10. Расчет напряженно-деформированного состояния трубы, вытягиваемой на оправке // Тез. науч.-техн. конф. "Математическое моделирование технологических процессов обработки металлов". Пермь, 1987, с. 72.

11. Решение контактных задач с трением при больших упруго-пластических деформациях // Тез. 4 Всесоюзн. конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Одесса, 1989, ч. 1, с.145.

12. Численное исследование процесса изготовления труб на оправке по схемам вытяжки и прессования // Тез. Уральск, науч.-техн. конф. "Геометрическое моделирование и начертательная геометрия". Пермь, 1987, с.50.

Рис.1.

Рис.2.