Частично локальные формации и максимальные подгруппы конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины

УДК 51^.54^ од 2 к НОЯ юа?

Аль-Шаро Халед Ахмад Халед

ЧАСТИЧНО ЛОКАЛЬНЫЕ ФОМАЦШ И МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ КОНЕЧНЫХ ГРУШ

01.01.06 -математическая логика, алгебра и теория чисел

; Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Гомель, 1997 г.

Работа выполнена в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины

Научный руководитель -

член-корреспондент НАН Беларуси, доктор физико-математических наук, профессор ШШЕТКОВ Леонид Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ВЕДЕРНИКОВ Виктор Александрович кандидат физико-математических наук, профессор ВОРОБЬЕВ Николай Тимофеевич

Оппонирующая организация - Институт математики НАН

Украины

Защита состоится " А " 1997 года в И*~ часов ь

заседании совета по защите диссертаций Д 02.12.01 в Гомельскс государственном университете имени'Ф.Скорины по адресу: 246699 г Гомель, ул. Советская, 104.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Гомельсюл государственного университета им. Ф. Скорины.

Автореферат разослан " "1997 года.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций, доктор физико-математических наук, ^ профессор /Г В.С.МОНАХОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш диссертации. Формации -это классы конечных гш, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных дарямнх произведений. На первоначальном этапе развития теории фо-эций внимание в основном уделялось исследованию локальных форма-1, т.е. таких непустых формаций что G <е 3 для всякой группы G ?/Ф(<?) € Ъ-

Хорошо известно, что произведение любых двух локальных форма-t является локальной формацией. Обратное верно далеко не всегда, шо, как впервые было замечено Л.А.Шеметковым, если $ = ГО& -{альная формация, то для любого р € тс(3)\яДО) и для любой группы с G/0 (G) П Ф((?) i Jj имеет место Gib, т.е. формация § иокальна для любого р е iu(g)\ic(l). Таким образом, изучение произ-цений локальных формаций с неизбежностью приводит к необходимости следования ш-локальных (т.е. р-локальных для всех ре«) формаций я подходящих множеств простых чисел Впоследствии в работе А. . Скибы и Л. А. Шеметкова [1] было показано, что изучение любых сальных формаций во многих ванных случаях редуцируется к ис-здованию некоторой системы р-локальных формаций. Таким образом, дача изучения р-локальных формаций весьма актуальна.

Активное развитие теории р-локальных формаций началось сравни-льно недавно после выхода работы А. Н. Скибы и Л. А. Шеметкова ]. Имеющиеся в этом направлении публикации (см., например, [2-5]) называют, что предложенный Л. А. Шеметковым принцип частичной ло-яизации является мощным инструментом при исследовании классов вечных групп. Вместе с тем прикладной аспект теории р-локальных рмаций развит сравнительно мало.

Таким образом, общая задача развития методов изучения внутрен-го строения непростых конечных групп с помощью р-локальных форма-$ актуальна и перспективна. В диссертации рассматриваются только нечные группы.

г

Связь работы с крупными.научными программами, темами. Диссе тация выполнена в рамках госбюджетной теш Гомельского госуниве ситета "Структурная теория формаций и других классов алгебр входящей в перечень важнейших научных тем по Республике Беларусь.

Цель и задачи исследования. Основной целью диссертации явл. ется дальнейшее развитие теории «-локальных формаций и применен] ^-локальных (в частности, р-локальных) формаций при исследован внутреннего строения конечных групп. Для достижения такой цели диссертации решены следующие задачи:

- дано новое описание минимального р-локального сателж р-локальных формаций групп;

- развиты новые методы конструирования «-локальных формаций

- найдены критерии р-локальности некоторых классов непусть формаций;

- исследованы пересечения $-абнормальных максимальных подгруг конечных груш - р-локальная формация);

- найден критерий сопряженности д-абнормальных максимальнн подгрупп конечных частично разрешимых групп - р-локальная фор мация).

Научная новизна полученных результатов. Все полученные резуль .таты являются новыми и могут . использоваться в теоретических ис следованиях.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имее теоретический характер. Результаты диссертации могут быть исполь зованы при изучении «-локальных (в частности, локальных) формацк груш, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в тосунивер ситетах и пединститутах.

Основные положения диссертации, выносимые на.защиту.

3.3.5. Теорема. Пусть $ = 1ГогтрШ,где р е %($). И пусть f -минимальный р-локальный сателлит формации Тогда

/(р) = 1от($1 и Хг), где X = (С/Бос(б)|О е 0£ и б - монолитическая группа с нефраттини-

вым монолитом Я s О (G)), $2 = (G| G е Q3f и G - монолитическая руша с таким неабелевым монолитом Я, что р ç %{R)).

4,1.2. Теорема. Пусть $ - собственная р-локальная подформация окальной формащи ¡5, ï = % j M пусть H - максимальный внутрен-ий локальный экран формации a F и X - максимальные внутренние -локальные сателлиты формаций $ и lfornyï) соответственно. Тогда том и только том случае формация # р-локальна, когда выполняются ледующие условия:

1) если S £ Н(р), то Х(р) = § j Р(р); ii) если g £ Н(р), то Н(р) П Ъ = Р(р). 4.1.4. Теорема. Пусть g - локальная формация и к е 7c(g), где f|>l. Тогда в том и только том случае формация & | g р-локальна ;ля всех р € % и да любой локальной формации 5, когда g = в^.

5.1.7. Теорема. Пусть g - р-локальная формация, G - груша с »-разрешимым ^-корадикалом. И пусть M и Я - такие $-абнормальные [аксимальные подгруппы группы G, что

JL П G^ = ff П G^

Cj u

[ p делит нормальные индексы этих подгрупп. Тогда I и H сопряжены ваду собой в G.

5.2.4. Теорема. Пусть р - простое число и g - S -замкнутая )'-локальная формация, содержащая 9îpt. Тогда для любой группы G меет место

А«(С)/0Р(С) £ 3.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации юлучены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры алгебры и геометрии Гомельского государственного университета, на Международной математической конференции, посвященной памяти академика С.А.Чуни-

мша (Гомель, 199Б), на Международной алгебраической конференции посвященной памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997), на Мезд народной алгебраической конференции, посвященной паши Л.М.Глускина (Славянок, 1997).

Опубликованность результатов. Все основные результаты диссе^ тации опубликованы в 2 статьях [9,10], 4 препринтах [5,6,7,8] и в тезисах [1,2,3,4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечв определений и условных обозначений, введения, общей характеристик работы, пяти глав основной части, выводов и списка использовании источников в порядке их цитирования в количестве 49 наименования Объем диссертации - 98 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Нике охарактеризовано содержание диссертации по главам. Вс рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются оп ределения и обозначения, принятые в книгах [6,7,8].

Глава 1 содержит обзор основных результатов диссертации.

В главе 2 собраны некоторые известные результаты, используемы в основном тексте диссертации.

Глава 3 "Общие свойства «-локальных формаций" включает в себ 3 раздела.

В разделе 3.1 изучаются общие свойства ы-локальных формаций Напомним некоторые необходимые определения. Пусть В/К - главный фа ктор группы (?. Тогда "малый централизатор" с (В/К) определяется [3 как подгруппа, порожденная всеми нормальными подгруппами N из О такими, что К £ N и среди композиционных факторов групп М/К и В/. нет изоморфных. Для произвольной совокупности групп $ через Ш обозначают множество всех попарно неизоморфных композиционных фак торов групп из В частности, Е(0) обозначает множество всех по

арно неизоморфных композиционных факторов группы G. Через Е(ЭП бозначают множество всех групп G таких, что K(G) е К(Ж).

Пусть « - некоторое непустое множество простых чисел, / - та-ая функция, сопоставляющая каждой характеристически простой группе формацию f(S), что f(S) = /(S?) всякий раз, когда K(S) = K(Sf). акая функция называется w-локальным сателлитом, если /(Р ) = /(Р2)

ля любых двух характеристически простых pd-rpyim Р и Р2 и для юбого р из При этом мы будем писать /(р) вместо /(Р), если Р --группа. Через LFW(/) обозначают класс всех таких групп G, у кото-ых для каждого главного фактора Н/К выполняется одно из следующих словий:

а) если р делит |ЯД| и р € то G/GQ(ß/K) с /(р);

б) если Н/К - о>--группа, то G/oa(H/K) е ДЯД).

о определению, 1 € (/). Пусть 3 - множество всех простых групп.

огда Supp(/) = (ff i 3| /(Я) t 0}. Если формация $ такова, что $ = Fw(/), то говорят, что / - ш-локальный сателлит этой формации.

ерез liorm ($) обозначают наименьшую «-локальную формацию, содер-

ащую 1.

Во многих местах диссертации используется следующий полученный разделе 3.1 общий результат о «-локальных формациях.

3.1.1. Теорема. Пусть / - произвольный o-локальный сателлит.

огда

ЕFw(/) = E(Supp(/)) П ( П ® ,3\J(p)) П

ZpiSupp(f) р р

(П Е(3\(й))/(й)).

Rittopp (f)^

В этой теореме 3 обозначает класс всех простых d-групп (т.е. таких простых групп А, что %(А) П « ф 0).

3.1.2. Следствие. Если Ъ £ Supp(/) для любого р е со, то

ЬРШ(/) = Е(3ирр(/)) Л ( П Е(3\(Я))/№)).

Ее.Варр(/)

Из теоремы 3.1.1 при « = Р вытекает следующая хорошо известна формула локальной формации:

3.1.3. Следствие. Пусть f ~ произвольный Р-локальный сателлит

Тогда

= Е(Бирр(/)) П ( П &р131/(р)). г еЗирр(/)

Общие свойства «-локальных формаций описывают и следующие лем мы, которые представляют, на наш взгляд, и некоторый самостоятель ный интерес.

3.1.4. Лемма. Пусть $ - "-локальная формация. Тогда $ = Ь?и(/ для некоторого «-локального сателлита /.

3.1.6. Лемма. Пусть / - «-локальный сателлит. И пусть $ Ц?ы(/). Тогда справедливы следующие утверждения:

(а) § - «-локальная формация;

(б) 3 = ии(/ ), где /0 - такой «-локальный сателлит, чт /0(Я) я § для каждой простой группы Н.

Главным результатом раздела 3.1 является следующая теорема 3.1.9. Теорема. Пусть X - непустой класс неединичных групп и ; = Ногюы(Х). Пусть / - минимальный »-локальный сателлит Тогд справедливы следующие утверждения: (1 Шогт($) = ИогтШ;

(2) /(р) - 1огт(С/Рр(С)| С е Зс), если р € « П %(Х);

(3) /(р)= 0, если р € со\тс(ае);

(4) для всякой простой «'-группы й € йирр (/) имеет место

(5) 8ирр(/)\Зый =

(6) если Ь, - произвольный внутренний «-локальный сателлит фор

идеи g, то при всех р <е « п тс<3?> имеет место

/(р) = form(G| G £ h(p) и 0p(G) - 1).

В разделе 3.1 приведены следующие следствия теоремы 3.1.9.

3.1.10. Следствие. Пусть /{ - минимальный ^-локальный сателлит ¡рмации £ = 1, 2. Тогда и только тогда е когда f1 < Д,.

3.1.11. Следствие. «-Локальная формация $ имеет единственный «симальный внутренний и-локальный сателлит F, причем; Е(р) = Р(р) для любого простого р из со и Р(Я) = $.для всех простых -групп R. .

В разделе 3.2 строится серия конкретных примеров «-локальных рмаций и описываются их «-локальные сателлиты.

При изучении локальных формаций большую роль играют так назы-емые минимальные локальные экраны формаций, которые можно оп-делить как пересечение всех локальных экранов данной формации.

Описание минимальных локальных экранов разрешимых локальных рмаций было дано впервые в работе [9]. Позднее в книге [6] была ставлена проблема описания минимальных локальных экранов произ-льных локальных формаций. Решение такого вопроса было дано Н.Скибой в работе [10]. В разделе 3.3 дано новое описание мини-льных локальных экранов формаций, отличное одновременно от опи-ний минимальных локальных экранов, данных в работах-[9,10]. Реше-е такой задачи дается в рамках более общей проблемы нахождения исаний минимальных р-локальных сателлитов р-локальных формаций, новным результатом раздела 3.3 является следующая доказанная эсь теорема.

3.3.5. Теорема. Пусть g = lform (3f), где р е ic(3f). И пусть / -яимальный р-локальный сателлит формации g. Тогда

/(р) = Гогш(Эе? U

з = (G/Soc(G)|G € 036 и G - монолитическая группа с нефраттини-

зм монолитом R е О (G)), 3L = (G| G i Q3f и G - монолитическая р d 1

груша с таким неабелевым монолитом R, что р е

При доказательстве этой теоремы используются следующие леммы

3.3.1. Лемма. Пусть G - примитивная груша третьего типа и I максимальная подгруппа группы G, где MQ = 1. Тогда, если К и R минимальные нормальные подгруппы группы G, то

G/N * G/R * U

- примитивная груша второго типа.

3.3.2. Лемма. Пусть р € tc(G). Тогда в G имеется хотя бы ода нефраттиниев pcî-главный фактор.

3.3.3. Лемма. Пусть G - такая груша, что О (G) Л = 1 Тогда, если Я/И - фраттиниевый pd-главный фактор группы G, то й 0p(G).

3.3.4. Леша. Пусть D = П 0G(H/K) - пересечеше централизм торов всех нефраттиниевых pd-главных факторов группы G. Тогд D = у G).

В главе 4 найдены критерии р-локальности некоторых классс формаций. Все рассматриваемые в этой главе группы и классы rpyi предполагаются входящими в некоторый универсум Ж, относительно ш торого предполагается лишь, что К = К К - локальная наследствен® формация.

Напомним, что ^-проектором группы G называется [8] всякая тг кая ее подгруппа Е, что ЕК/К - максимальная ^-подгруппа в G/K д. всех нормальных в G подгрупп К. Через § j g обозначается класс вс< таких груш G, у которых все ^-проекторы принадлежат классу g.

Хорошо известно, что класс Ь I 3 является формацией, если § локальная формация, a g - произвольная формация. Формация S 1 S Н( обязательно локальна, даже если обе формации g и g локальны. Из; чению условий, при которых формация § J, $ является локальной, бы. посвящены работы [11] и [12]. В главе 4 изучается более общ; ситуация, а именно: при каких условиях класс & J. S являем р-локальной формацией ?

В частности, здесь получены следующие результаты:

у

4.1.2. Теорема. Пусть $ - собственная р-локальная подформация яьной формации 5» Я = 5 I 3- И пусть Н - максимальный внутрен-локальный экран формации 5, а Р и X - максимальные внутренние *альные сателлиты формаций $ и liorm ($) соответственно. Тогда л и только том случае формация X р-локальна, когда выполняются щцие условия:

i) если 3 с щр), то Х(р) = Ь 1 Р(р);

ii) если 3 £ Н(р), то Н(р) Л 3 = Р(р).

4.1.4. Теорема. Пусть 3 - локальная формация и тс s ти(3), где [. Тогда в том и только том случае формация § 1 3 р-локальна зсех р е it и для любой локальной формации когда 3 =

При доказательстве этих теорем важную роль играют следующие леммы, доказанные в разделе 4.1.

4.1.1. Леша. Пусть $ - собственная р-локальная подформация иьной формации 5> а Р и X - максимальные внутренние р-локальные шты формаций 3 и Z = liorm (g | Р(р)) соответственно. Тогда

ь i р(р) = т-.

4.1.3. Лемма. Пусть 3 - такая формация, что 3 = 9t Тогда

ация 1 = р-локальна для всех локальных формаций В разделе 4.1 доказана также следующая теорема, дополняющая зждения теорем 4.1.4 и 4.1.2.

4.1.5. Теорема. Пусть § ~ неединичная локальная формация. М з формация 5J.3 р-локальна для всех локальных формаций 3- Тог-юли р е то § = к

Рассматривая в качестве универсума К класс всех конечных i мы получаем следующие два результата.

4.1.6. Следствие ([11], теорема А). Пусть 3 - собственная ломя подформация локальной формации ¡5, $ = § | 3- и щстъ Н -шальный внутренний локальный экран формации ¡5» а Р и X - мак-!ьные внутренние локальные экраны формаций 3 и liorm (3?) соот-гвенно. Тогда в том и только том случае формация Зс локальна,

когда выполняются следующие условия:

I) если g £ Н(р), то. Х(р) = § | Р(Р);

il) если g £ Н(р), то Н(р) П $ = F(p).

4.1.7. Следствие ([И], теорема Б). Пусть g - локальная формация и % = iu(g)где J тс | > 1. Формация 5 1 $ локальна Для всех локальных формаций g: тогда, и только тогда, когда g = для всякого простого р Ç 1с.

Отметим, что в работе [И] ограничение |ic|>l отсутствует Однако, как показывает приведенный в диссертации пример 4.1.8, npi |ic| = 1 теорема неверна.

Исследования, посвященные изучению максимальных подгрупп, составили важное направление в теории конечных груш. Исток такого направления восходит--к классической теореме Ope о сопряженности максимальных равноядерных подгрупп в конечных разрешимых грушах. Е дальнейшем этот результат был распространен С.А.Чунихином [13] не классы р-разрешишх груш, а Л.А.Шеметковым'[14] на классы частичнс разрешимых груш.в рамках общей теорий локальных формаций.

Второй и не менее содержательной задачей является задача исследования пересечений максимальных подгрупп. Такая задача восходит к работе Фраттини [15], где было доказано, что пересечение всех максимальных подгруппг конечной группы нжльпотентно. Впоследствии этот результат получил много обобщений в рамках теории локальных формаций.

Целью главы 5 является применение р-локальных формаций при исследовании пересечений и сопряженности максимальных подгрупп.

В разделе.. 5.1 доказывается следующая теорема, которая дает некоторые критерии сопряженности g-абнормальных максимальных подгрупп.

5.1.7. Теорема. Пусть g - р-локальная формация, G - группа с р-разрешимым g-корадикалом. M пусть M и H - такие g-абнормальные максимальные подгруппы группы G, что

IL П = Нг П G^

ir Ь

и

о делит нормальные индексы этих подгрупп. Тогда ¡Кий сопряжены кду собой ВС.

В этой теореме нормальным индексом п(0:М) максимальной под-диш I группы & называется [16] порядок главного фактора Н/К {плы где Н - минимальная среди-нормальных подгрупп группы 5 со зйством ЕМ = {?.

Теорема 5.1.7 имеет много следствий. Часть из них приведена в зделе 5.1.

5.1.9. Следствие (Чунихин [13]). Пусть I и И - максимальные цгруппы неразрешимой группы в. Если |и |<3:Н| являются шслами и Ма = На, то М и Я сопряжены между собой в 0.

5.1.10. Следствие (Шеметков [14]). Пусть /-корадикал группы С разрешим, f - р-однородный экран, М и И - /-абнормальные макси-

льные подгруппы группы 0. Если Ма П = На Л С? и р делит

7:М|,|С:Я|), то М ж Н сопряжены между собой в в.

В монографиях [6,7,17] рассматривалось строение пересечения

(0) всех ^-абнормальных максимальных подгрупп и пересечения д®((?)

зх тех $-абнормальных максимальных подгрупп, индексы которых не лягся на данное простое число р. Там же доказаны теоремы Оеметкова, М.В.Селькина и В.Н.Семенчука, в частности, о том, о если 3 - локальная Б -замкнутая формация, содержащая класс Л

льпотенгных групп, то д^(б)£ $ и (С) е д.

В разделе 5.2 эти результаты расширены следующим образом

5.2.4. Теорема. Пусть $ - Б^-замкнутая формация и ^ а 31 для которого простого р. Если $ р-локальна, то - р'-группа.

5.2.5. Теорема. Пусть р - простое число и $ - ¿^-замкнутая -локальная формация, содержащая 31 Тогда для любой группы О еет место

д|(С)/ор((?) £ д.

В этой теореме л , - класс всех нильпотентных р'-групп.

I ¿V

ЛИТЕРАТУРА

1. Скиба А.Н., Шеметков I.A. О частично локальных формациях // Докл. АН Беларуси. - 1995. - Т. 39, £ 3.- С. 123-143,

2. Жевнова Н.Г., Скиба А.Н. р-насыщенные формации с дополняемыми р-насщенными подформациями // Мзв. Вузов. Математика. -1997, J 5. - С. 1-7 .

3. Ballester-Bolinches A., Shemetkov L.A. On lattices of p~local formations of finite groups. - Препринт / ГГУ им. Ф.Ско-рины.-- Гомель, 1996. - J£> 37. - 10 с.

4. Shemetkov L.A. Frattini extensions of finite groups and formations // Comunications in Algebra. - 1997. - Vol. 25, & 3. -P. 955 - 984.

5. Скиба А.Н., Шеметков I.A. Кратно «-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп. - Препринт / ГГУ им. Ф.Скорины. -Гомель, 1997. - № 63. - 42 с.

6. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. -272с.

7. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989. -256с.

8. Doerk К., Hawkes Т. Finite soluble groups. - Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992. - 891 p.

9. D'Aroy, P. On formations on finite groups. Arch.. Math. (Basel) 25, 3-7 (1974).

10. Скиба А.Н. О критических формациях // Мзв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.- 1980, * 4.- С. 27-33.

11. А.Валлестер-Волинчес, П.Хименес-Серал, I.A. Эскверро. О насыщенных формациях конечных групп // Сиб. Мат. I., 1995.- Т.36, № 6.~ С.1225-1223.

12. ■ Doerk К. Zur Sättigung einer Formation endlicher auflösbarer Gruppen.- Arch. Math.- 28, P 561-571(1977).

13. Чушшш С. А. О существовании и сопряженности подгрупп у конечной группы.- Матем. сб., 1953, 33, II, с. 111-132.

14. Шеметков Л. А. Факторизации непростых конечных групп.-(гебра и логика, 1976, 15, I 6, с.684~715.

15. Fratinni G. Intorno alia generaslon del gruppl operazion ' Attl Acad, del Llncei. 1885. Vol. 1. P. 281-285.

16. Deskins W. E. On maximal subgroups // Proc. Sympos. Pure Ltii. 1959. V. 1. p. 100-104.

17. Се лысин M.B. Максимальные подгруппы в теории классов коне-шх групп. - Мн.: Беларуская навука, 1997. - 144с.

ВЫВОДЫ

В диссертации получены следующие результаты:

(1) найдено новое описание минимального р-локального сателлита -локальных формаций конечных групп;

(2) развиты новые методы конструирования «-локальных формаций;

(3) найдены критерии р-локальности некоторых классов непустых ормацнй;

(4) исследованы пересечения ^-абнормальных максимальных под-рупп конечных групп - р-локальная формация);

(5) найден критерий сопряженности $-абнормальннх максимальных одгрупп конечных частично разрешимых групп - р-локальная фор-ация).

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Аль-Шаро Халед. О ю-локальных формациях // Алгебра и йбернетикз. Материалы междунар. матем. конф., посвящ. 90-летию ¡.А.Чушгаш: Тез. докл. конф. - Гомель, 1995. - ч.1. - С. 148.

2. Аль-Шаро Халед. О пересечение максимальных подгрупп конеч-мх групп // Алгебра и кибернетика. Материалы междунар. матем. тф., посвящ. 90-летт О.А.Чушшша: Тез. докл. конф. - Гомель, 995. - ч.1. - С. 148.

3. Аль-Шаро Халед. О р-насыщенных формациях конечных групп / Материалы меадунар. алгебр, конф., посвщ. памяти Д.К.Фаддеева Тез. докл. конф. - Санкт-Петербург, 1997. - С.299-300.

4. Аль-Шаро Халед. О минимальных локальных экранах // Ма териалы меадунар. алгебр, конф., посвящ. памяти Л.М.Глускина: Те докл. конф. - Славянок. - 1997. - С.45.

5. Аль-Шаро Халед. Общие свойства ш-локальных формаций. - Пре принт / ГГУ им. Ф. Скорины. - Гомель, 1996. - № 51. - 12 с.

6.Аль-Шаро Халед. Критерии р-насыщенности формаций конечны: групп. - Препринт / ГГУ им. Ф. Скорины. - Гомель, 1996. - № 55. • 15 с.

7. Аль-Шаро Халед. Еще одно описание минимальных р-локаль- ны; сателлитов. - Препринт / ГГУ им. Ф. Скорины. - Гомель, 19Э6. - J 55. - 15 с. ■

8. Аль-Шаро Халед. О сопряженности. ненормальных максимальны: подгрупп. - Препринт / ГГУ им. Ф. Скорины. - Гомель, !9Э7. - № 65. И с.

9. Аль-Шаро Халед. О пересечении некоторого семейства максимальных подгрупп // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во ГГУ ем, Ф. Скорины, 1996. - Вып. 9. - С. 144-152.

10. Аль-Шаро Халед. Некоторые критерии р-насыщенности формацй конечных групп // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во ГГУ им, Ф.Скорины, 1996. - Вып. И. - С.107-114.

11. Аль-Шаро Халед Ахмад. Новое описание минимальных локальных экранов П Вестн. Белорус, ун-та. Сер. физ.-мат. наук. - 19Э£ .-#1. (принято к печати)

РЭЗЮМЕ

АЛЬ-ШАРО Халед Ахмад Халед Частковэ лакальшя фармацы! i макс!мальшя падгрупы канечных труп

Ключавыя словы: канечная група, ^-карадзшал, $-праектар, -абнармальная максимальная падгрупа, клас груп, фармация груп, ла-эльная фармацыя, œ-лакальная фармация, «-лакальны сацэл!т.

У дысертацы! дадзена новае anicame м!н1мальнага р-лакальнага щэл!та р-лакальных фармацый груп; пабудаваны новыя серы! -лакальных фармацый; адшуканы крытзры р-лакальнасц! нека-торых насау непустых фармацый; адшукан крытэр спалучанасц! -абнармальных макс!мальных падгруп канечных часткова развязальных зуп (g - р-лакальная фармацыя); даследаваны перасячэтй -абнармальных макс!мальных падгруп канечных груп (g - р-лакальная эрмацыя).

Усе асноуныя вын1к! працы з'я^ляюцца новым!. Яш магоць эарэтычны характар i могуць быць выкарыстаны f даследаваннях па юры! фармацый, а таксама яры выкладанн! спецкурса^ у 5яркун1верс1тэтах i педшстытутах.

РЕЗЮМЕ

АЛЬ-ШАРО Халед Ахмад Халед Частично локальные формации и максимальные подгруппы конечных груш

Ключевые слова: конечная груша, ^-корадикал, ^-проекто] $-абнормальная максимальная подгруша, класс груш, формация груш локальная формация, ^-локальная формация, «-локальный сателлит.

В диссертации дано новое описание минимального р-локально! сателлита р-локальных формаций груш; построеш новые сер] «-локальных формаций; найдены критерии р-локальности некотор] классов непустых формаций; найден критерий сопряженное $-абнормальных максимальных подгрупп конечных частично разрешим груш О - р-локальная формация); исследоваш пересечен $-абнормальных максимальных подгрупп конечных груш р-локальная формация).

Все основные результаты работы являются новыми. Они имеют те ретический характер и могут быть использованы в исследованиях теории формаций алгебраических систем, а также при чтении спе курсов в университетах и пединститутах.

Summary

Al-Sharo Khaled Ahmad Khaled Partially local formations and maximal subgroups of finite groups

Key words: finite group, $-coradical, g-projector, ^-abnormal ,ximal subgroup, class of groups, formation of groups, local for-,tion, "-local formation, ^-local satellite.-

In this thesis was given a new describtion of the minimal local satelline of p~local formations of groups; established a ries of «-local formations; founded the criteries of p-locality >r some nonempty classes of groups 3; founden the criteries of n,]'ougcy of the g-abnomal maximal subgroups of partlaly soluble nite groups (g is a p-local formation); studed the intersection ' g-abnormal maximal subgroups of finite groups (3 is a p-local Tmation).

All the main results of this thesis are new. They are of a teoretic character and may be used while providing investigations ; the theory of the algebraic systems formations and while ¡aching special courses in universities and pedagogical Lstitutes.