Чисельне розв'язання задач про деформацiю гнучких прямокутних в планi пологих оболонок на основi сплайн-апроксимацii тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

/ 3 МАЯ 1ЬЬЗ :

АКАДЕЖЯ НАУК УКРА1НИ 1НСТШУТ МЕХАН1КИ

На правах рунопису

I ВАН ОВД Ш1я 1гор1ша

УДК 539.3

ЧИСЕЛШЕ РОЗВ'ЯЗАНЫЯ ЗАДАЧ ПРО ДЕФОРМАЩЮ 1НУЧШ тамошних В ПДАН1 ПСЛОШ'СБОЛШСК НА ОСНОВ1 СПЛШ^АПРСКСИМАЦН

01.02.04 - махан!ка деформ!вного твердого т!ла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертац!* на здобуття вченого ступеня кандидата ф!зико-математичних наук

Ки?в 1993

Роботу виконано в 1нститут1 ыехан!ки АН УкраКни Ыауковий кер1внвк - академ!к АН УкраУки

ГРИГОРЕНКО Я.М.<

Ыауковий консультант - доктор теШчнизс наук

КРШОВ М.М.'

0$1ц1йы1 опоаенти - доктор'ф1зико-ыатематичких

наук, профеоор КАРНАУХОВ В. Г.

- доктор ф!зико-математичних наук МСШЪЧЕНКО Л;В.

Пров!дна орган!зац1я - Льв1вський уц!верс1тет !ыен!

1вана Франка

Захист в!дйудвться " 27 " Кв1тня 1993р.. в 10 годин на зас!данн| спец!ал1зовано¥ рада К 016.49.01 Хнституту ыехан!ки АН УкраХни ( 252067, Ки1'в-57, вул.Нестерова,3).

8 дисертац!ею мохна ознайомихись в б!с5л!отец! 1нституту механ!кя АН УкраХни.

Автореферат роз!слано № » 1993 р.

Вчений секретар спец!ал!зовано1 ради

доктор техн!чних

наук

ашиГЬНА. ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АктуалънЮть роботи. Шираке використання елемент!в конст-<укц1У та прилад!в у виглвд! гнучких оболонок у р!зних галузях 1ашинобудування, що працкготь в широкому д!алазон! зм!ни силових ■а коятурних наваятажень," призводить до необх!дност! використо-увати нел!н!йн! модел! дефорадуваняя. Важлкве М1сце в геометрич-:о нелШ!йн!й теорП оболонок пос!дають прямокутн: в план! по-:ог! оболонки пост!йно'1 та зм!яноУ товщини при р!зних видах на-|1нтаяення 1 закрШленяя контур!з, що застосовуються в р!зних рикладних задачах. Розрахунок напружено-деформованого стану нучких прямокутних в план! пологих оболонок з! зы1няпми пара-[етрами приводить до р!шення двовим!рних нелШйних крайових адач для систем диференц!альних р!внянь в частинних пох!дних 1 зм!ннши коеф!ц!ентами. Складн1сть розв'язання цих задач бумовлзоеться не т!льки нел!н!£н1стЕ розв'язухгао? система р!э-янь, зм!нн!стю П коеф!ц!ент!в, а такоас необх!дн!стю точ^о за-овольняти задан! граничн! уыови на вс!х контурах оболонки.'

ЗначниЙ вклад в розробку теор!* розрахунку оболонок внесли .Г.Бубнов, В.З.Власов, А.С.Волъы!р, Ы.Ворович, К.З.Гал1мов, .Л.Гольденвейзер, М.О.Кильчевсышй, А.I.Лурье, Х.М.%штар!, .В.Новолшлов, П.Ф.Попкович, С.Д.Тимошенко, ВЛ.Феодосьев та нш! яауковд!.

Не звакаючи на те, що основя! р!вяяяня теорИ оболонок уло отршано ран!ше, точн! анал!тичн1 розв'язки було побудова-о т!льки для окремих простих задач.

Р!зноман!тн1 вар!ац!йн! та проекц!йн! ыетоди не дозволяють достатньоо точн1стю задовольнити умови на границ!, тому роз-•язки для цього класу задач отриман!, в основному, для оболо-ок та пластин стало? товщини в л!н!йн!й постанови! та при ростах граничите умовах.

Оса'анн!м часом в практиц! розрахунк!в тонкост!нних елемен-!в конструкц!й широко використовуються сплайн-функцИ. Це ысскна-ояснити перевагами апарагу сплайн-наближень пор!вняно з 1ншкки. о числа основних переваг сплайн-функц!й мозша вхднести настугш!:

- ст!йк!сть сплайн!в в!дносно локальяих збурень, тобто по-ед!нка сплайна в окол! точки не впливае на повед!нку сплайна ц!лоыу, як це, наприклад, мае ы!сце при пол!ноы!альн1Й !нтер-

поляц!!";

- добра зб!жн!сть са1лайн-!нтерподяц!Х на в!дм1ну в1д по-л!ном!ально?;

- простота та зручн!сть в реалгзацИ алгоритм!в побудови сплайн1в на ЕСМ.

Досв1д застосування сплайн-функц!* як аларату наближення функц!й в чисельному аншйз! доводить, що в ус!х в!дошгх вкладках було отримано В1дчутн! результата пор!вняно з класичним апаратом многочлен!в.

1снуе незначна к!льк!сть роб 1т в!дчизняних та заруб 120шх автор!в, присвячених розв'язанню крайових задач теорП пластин та обол он ок !з застосуванням сплайн-функц!й.- В б!лыпост! цих р< б!т сплайни застосовуютъся до розв'язання одновиЛрних крайовш задач. Ще менша к!лък!сть роб!т, пов'язаних з вивченням напружен о-деформованого стану пластин та пологих, оболонок в геомет-рично нел1н!йн!й постановц!.

У зв'язку з циы, питания, що розглядаються в дисергац!йн!1 робот!; пов'язан! з розробкою п!дходу до розв'язання двовим!р-них нелШйних крайових задач. теор11' прямокутних в план! гнуч-ких пологих оболонок з! зм!нними геометричниш параметрами пр складних граничите умовах на основ! сплайн-апроксимац!? е акту-алъними.

Мета поботи формулюеться таким чином:

- розробка п!дходу до чисельного розв'язання двовим!рних нелШйних крайових задач статики прямокутних в план! гнучких пологих оболонок двояко! кривизни 1 зы!нно! в двох координатяю напрямках форсткост!*, як! зазнають дН розпод!леного нормального навантахення? на основ! сплайн-апроксшац11;

- чисельна реал!зад!я запропонованого п1дходу ! створшня на його основ! програмного комплексу^ що дозволяе проводити досл!дкення напрукено-деформованого стану пологих оболонок зазначеного класу;

- проведения на основ! запропонованого п1дходу дослхдаенш напруаено-деформованого стану прямокутних в план! пологих обол* нок 1 пластин в широкому д!апазон! зм!ни геометричних параметр] механ!чних характеристик матер!алу оболонки 1 способ!в закр!п-лення X! контур!в.'

Наукова новизна роботи'полягас в таких основных положениях, що виносяться на захист:

- розробка пхдходу до розз'язаняя дзов:::.'.:рнпх нелхн!.1них крайових задач Teopii гкучких тошсгх хзотролнюс пряксхутнгх з планх пологах об ол он ок 3i змШтми в двох коордгааткпх напряк-ках параметрами на ochobi методу сплайн-апрокслмацГх;

- побудова 1 реал!зац1я на ЕОМ алгоритму i прогрели чпеелъ-яого розв'язання задач зазначеного класу;

- дослхдаення i анслхз напрузено-деформованого стану гнучкпх прямокутних в план: пологах обол он ок i пластин при рхзних гра-ничнпх умовах.

Методика розв'язання-двова/лтих нелШЕних крайових задач базуеться на сильному використанн! методов Л1нсарпзацп, спла£н-коялокацП та дискретно! ортогонал1зацГ1. За додомогою методу л1неаризацп двозиг.арна нелшпша крайова задача зводиться до посл1дозност! лШйних дзовимхрних крайових задач, к села з яких розз'язуеться за допомогою апроксимащ i Ь -сплайнами в одногду з коордикатяих напряык1В з застосуваннягл методу колокаци i чп-сального 1нтегрування одновиыхрних лШйних крайових задач в

1ншому координатное налрямку методом дискретно'* ортогоналхзаП.

*

Достов!ш1сть отриманих в po6oTi результатхв забезпечена коректнхето постановки задач:, точнхета математичннх перетворень, використанням обгрунтованих методхв розв'язання, порхвнянням з результатами 1нших авторгв, проведениям розрахушив з достатнъозэ точн1стю, що контролюеться за допомогда р1заих ^чдуктивних спо-

COdiB.

Практична iiiHHicrb робота полягае в розробЦ1 пхдходу до розв'язання двовим!рних нелШ1йних крайових задач розглянутого класу та реал1зац11 його алгоритму у вигляд! програш для ЕОМ на мов! Фортран, що дозволяе проводити досл1дження налружено-деформованого стану прямокутних в план1 пологих оболонок 3i зм1нними геометричними параметрами. Результати розр^^ункхв мо-куть бути використан1 на пхдариемствах та в науково-дослхдких орган!зац!ях для оцхнки м1цност! елемент!в конструкц!й.

Апробация роботи.Основн! поланення i результати роботи до-повхдались i обговорввались на:

1. ХУ1 науков!й конференцИ молодшс науковц!в 1нституту ыехан1ки АН УкраКни (Ки1в, 1991 р.).

2. ХУЛ науков!й конференцП молодшс науковц!в 1нституту механ!ки АН Укра?ни (Ки'1'в, 1992 р.).

3. Сем!нарах в!дд!лу обчислювальних метод!в 1нституту механхки АН УкраУни (Кихв, 1989-1992 рр.}.

4. Сеы1Нарх за науковиы напрямком пБуд!вельна механ!ка обалояковлх систем."

5. Сеы1нар! кафедри ыехак!ки суц!лъних середовшц КиКвського ун!веро!тету хмен! Тараса Шевчеяка (Кихв, 1992 р.).

ПублткадН. За результатами досл!даень,.виконаних в дисер-тац!I, опубл!ковано чотири робота.

Структура та об'ем робота. Дисертац!йна робота складаетъся з вяступу, чотирьох глав, заключения, б!бл10граф!чного списку та додатку. Загальний об'сы складае 182 сторхнки, в тому числ!: 114 стор1нок машинописного тексту, 27 стор!нок рисунк!в, 6 сторонок таблиць, 16 стор!нок сшску л!тератури, 19 стор!нок додатку.

Автор висловлве глибоку вдячн!сть науковим кер!внжам ака-дем!ку АН УкраХни, Професору Я.м.Григоренку та доктору технхчних наук М.Ц.Крюкову за пост1йну увагу, допомогу в робот! та обгово-ренн! результат!в.

ЗгДСТ РОБОТИ

У всгуп! даеться обгрунтування актуальност! розглянутих в робот! питань, наводиться короткий огляд роб1т по дослхдаеншо напрунено-дефорыованого стану гцучких пршокутяих в план! пологих обол он ок 1 пластин, а такой по застосувашш сплайл-фуккц!й до розв'язання задач теор!1 пластин та оболонок, зфорадульовано ыету досл!даення, зазначена наукова новизна х практична значи-ы!сть роботи. Коротко викладено змхст дасертац!! за главам.

В перш1й глав! наведено основн! сп!вв!дношення геомотрич-но нел!н!йно'х теор!5с тонких !зотропних прямокутних в плал! пологих оболонок двояко? кривизни ! зм!нно! в двох координатних нап-рямках корсткост!. За вих!дн! обкраються геометрично нел!н!йн! сп1вв1ДНошення теорН пологих оболонок, що базуються на г!потез! Кхрхгофа-Ляза.

Р!вняння piBHOBam:

эх ay "и * зу + зх u'

ан* äii_ n 3Mt , ан _ n

эх зу "ay эх ~ '

(i)

Ü4

Зв'язок Mis деформац!ями i перем1щеннями

с _ ÜL 4. k^ . fawt. зх * Ri. (аЗГ/ '

зу R* (ay J

aet

ax

г •

** ¿Jb* '

(2)

/: 3U- , ay* atv aw ay «зх ах зу

зе

«

3V_

Сп1вв1даосеяня пружност!

Ni-3).. ;

S= 3)м 6« i

H = ^

(3)

Тут i - тангенз^1альна та згинна корсткост! в!дпо-

BiflHo: ;

У виразах (I)-(3) U- t V ¿ W - перем^ення, di , rf* ; S , Mi , M* ■ ¿ H , Hi , Q« - зусилля i момента, £j. ; £« ¿ » att у эс-г ¿ зе«4 - тангенцШ! i згиннх дефоршцГ*. Система вих!дних сл1вв1дношенъ (1)-(3), що описуе деформа-qlD пологих оболонок 3míhhoí xopcTKOCTi, як! знаходяться п!д д{еп розпод1льних норюальних навантажень, перетворюеться на

систему трьох даференц11:них р!внянь в частинних пох^днкх в пе-рсмхцсшшх. Цп систему мсзна подати в безрозм!рн1й форм! у 2::х\лдд!:

и (м, и)«и «, у-, <, <. К) •

и (Щ") - и (К, К <, , ) ; (4)

Тут Ц ( 3 = 1,2,3) - Л1Н!йН1 оператори, ( I = 1,2,3) -нелШ2я1 вирази. Перше х друге рхвняшя - р!вняння другого порядку, трете - р1вкянля четвертого порядку.1

Безроз:лрн1 величина Оуло введено таким чином:

■■ = «««..«'*•

де знаком "Т1льда" позначено розшря! величши.

Для визнг :енкя дов1лншх сталих, що :д!стяться в загалиюыу розв'язку системи р:р.нянь (4), необххдно додати граничил умови на контурах, що обнекують оболонку. Граничн1 укови на контурах оболонки С1 ( х = ) I С2 ( а = co^lsi ) запишеыо

так:

' Я.СиЛ^|С4> - о ; (5)

В роботх наведено могливх варханти граничите умов на контурах оболонки.

Лругу глазу присвячено розробгц методики розв'язашш дбови-1.црн:пс нелШГшкх крайових задач статики прямокутних в план!

гнучких пологих !зотропних оболонок двояко! кривизни ! зм!нноУ в двох коорданатних напряыках яорсткост!. Методика базуеться на зведенн! двовиШрно!' нелШйно*' крайого? задач! до послхдов-ност1 лш!йних двовпм!рних кра£ових задач за допомогою методу л!неаризацП. Пот1м, кожна з двовкШряцх задач посшдовност! зводиться до ода озим грн 01 за допомогою методу сплайн-колокац! 1 в одному з координатних налрямкхв. Огримана таким чином однови-М1рна крайова задача розв'язуеться'за допомогою ст!йкого чисель-ного методу дискретно? ортогоналхзацп.

В першому параграф! ще! глави викладено метод л!неариза-Д1х 1 на його основ! побудовано !терад!йну систему у вигляцЦ:

7 (7)

Э4з(-) / , Ос") , ( . 1«*о_ .

* лц; -и* ) + аи'ч Цч )

В1ДП0В1ДН0 граничн! умови

(и0"-; к(м,)) | = ъ (ис*\ ^^ ■ (8;

При цьому початкове наближення обираеться з дояких м!ряувань.

В другому параграф! викладено деяк! в!домост1 з теорП сплайн!в, що використовуються в робот!. Наведено формула для обчислення Ъ -сшюйр!в третього ! п'ятого ступеН1в, побудова-них на р!вном!рн!й с!тц!. В робот! побудовано лШйн! комНна-ц!? Ъ -сплайн!в, що дозволяють задовольнити р!зн1 уыови на к!н-цях в!др!зка. Такой коротко викладено суть методу сплаш-коло-кгцП.

Цуканий розв'язок крайово! задач! представляемо у вигляд!:

U;.00 If; (у) ; \/(х;!/)-2:У£Сх>^03) ■ Uo (10)

-к .

де ^ , Wi (*) _ функщ i', як! необхгдао визначити,

Id*4*, - Л1н!йн! коькИнац!? сплайн!в третьего та п'ято-

го ступея!в, BimoBimo, на piBHOMipHifi с!тд!

if*) , як! точно задовольняють граничн! умови на контурах V»coHji оболонки.

Для зведення двовкм!рно1 крайово? задач! до одновшд!рно! використовуемо метод спла.1н-колокац! 'ii Щдставлтачи вирази (10) в р!вняння (7) ! вимагаючи, щоб р!вняння задовольнялись в точках-колокацН ^€[0,13 ,(«"•= 0, »» ), вих!дну двовим!рну задачу вводимо до одновиШрно'ь що приймае вигляд:

- ¿60S + fiK) ; ' ( о« х& О : (II)

о х

= ¿4. ; Ъя1Схы) * 1г ; (12)

де s = vt,...,^,л*,v;,

r , а штрих п означаг диферадц!ювання no x % ЛОО - квадратна ыатриця розм!рност! 8( М + I), 9(х) -вектср-стовпець npasoi частини; 3i t 5>i - прямокутнх матриц! розмхрност! 4( N I) * 8( ы -v I)? 1t » \ - задан! вектори BiflnoBiflHoi розм!рност!.

Гранича! умови (12) отриман!, виходячи з заданих умов на контурах оболонки х = const

Для того щоб отримати ст!йкий обчислювальний процес дня розв'язання одновиы!рних крайових задач в дисертац!йн!й робот! використовуеться чисельний метод дискретно!" ортогонал!зац!!' Годунова, що добре зарекомендував себе в драктвд! розв'язання задач reopi'i пластин ! оболонок. Ыакопичений досв!д застосуваяня

цього методу п!дтвержуе його ефективн!сть, високу точн!сть 1 зручн!сть при чисельноцу розв'язанн1 задач на ЕОМ.

Суть методу дискретно! ортогснал1зацП коротко викладено в четвертому параграф! друго! глави.

В трет!й глав! описано алгоритм 1 побудовану на його основ! програму розрахунку пологих прямокутних в план! гнучких оболонок двояко1 кривизнп ! зм1нно"1 в двох коордкнатних напрямках аорст-кост!, цо знаходяться п!д Д1ею р!зних поверхневих навантааень.

Алгоритм, що розроблено, дозволяе отрицувати розв'язок зазначеного класу задач в широкому д!апазон! зм!ни геометричних . параметр!в, механхчних характеристик матер!алу оболонки, вид!в закрепления контур!в; визначати вс! фактори величини, що харак-теризують напружений стан оболонки.' При реал!зад!! алгоритму передбачалось щоб в!н мав нахбхльпу загальн1сть у точц! зору формуляванкя ! розв'язання розглянутого класу задач, був ефек-тствнта в!дносно стхйкост! ! точност! розв'язку, економ!чнтл за часом ! зикористанням пач'ят! ЕОМ. На конкретному приклад! наведено характеристику вхШдног хнформацН ! результат!в реал1-зац!: програми.' Розроблений алгоритм реализовано у вигляд! пакету программ на мов! Оортран для 6С ЕОМ.

Програма складаеться з окремих модул! в, що реал!зушь окре-м! частини обчислювального продесу. Модул! за свош призначенням лод!ляшься па модулг загального ! спец!ального призначення.'

Четверга глава присвячена оц!нц! достовхрност! отримаяих результат!в, анал1зу напружено-деформованого стану !зотропних гнучких прямокутних в план! пологих оболонок I пластин при р!з-них способах закр1плення контур!в п!д д!ею розпод!леного нормального навантаження.

В першему параграф! ц!сх глави за допомогою таких !ндуктив-них способов проведено анал!з достов!рност! отриманих результата: I) лоршьишя розв'язк!в нелШйно! задач! за наблиненняыи; 2) пор1Бняння результат!в розв'язку задач!, отриманих при р!зному числ! точок коло1сад!"1; 3) пор!вняння результат!в, виходяч! з м!ркувань сшлетр!! розглянутоК задач!; 4) иор!вняння результа-т1в розв'язку задач!, отриманих на баз! р!зних спососИв апрок-симац!!'; 5) пор!вняння результат1в, отриманих за пропонованш методикою з результатами, отримагш/л !ншими авторами. Наведен!

результата св!дчать про достатню точн!сть одержаних розв'язк!в.

В настушшх параграфах на базг розробленого д1дходу проведено досл1даення налружено-деформованого стану гнучких прямокутних пластин 1 прямокутних в план: пологих оболонок залежно в!д Ух геометричних параметр!в 1 вид!в граничних умов. Так, проведено дослдаеяня впливу зм!шост1 товщини на деформування гнучких пластин 1 пологих оболонок двояко!' кривизни, що знаходяться щд д1ею рхвном!рно розпод!леного нормального навантаження при жор-сткому закр!пленн! вс!х сторгк; вшшву кривизли цил!ндричноТ оболонки на II напружено-деформований стан при жорсткоцу закр1п-лен! вс!х стор1н; вшшву визу граничите умов на напружено-де-формований стан гнучких пологих оболонок з прямокутнш планом.

Одержано деяк! законом1ряост1 в розпод1ленн1 пол!в перем1-щень 1 напружень. Вивчено вшшв врахування геометрично*' нел!-иШюст1 на розпод1Л напружень 1 перем!щень в обслонках.

В додагку наведено такая програми розв'язання нелШйних задач про напружено-деформований стан гнучких прямокутних в пла-Н1 пологих оболонок з! зм1нншш геометричними параметра«®.

В заключенн! формулюються основн! результата отриман! в робот!:

Розроблено п!дх1д до розв'язання задач статики !зотропних гнучких прямокутних в план! пологих оболонок двояко? кривизни 1 зм!нно1 в двох координатних напрямках жорсткост! при складних граничних умовах на основ!. сплайн^апроксимацхй. За допомогсао розробленого п!дходу, який реал!зовано у вигляд! програмного комплексу, проведено досл!дження напружено-деформованого стану гнучких пологих оболонок залежно в!д ?х геометричних ! механ!ч-них параметр!в ! способ!в закр!плення контур1в.

При цьому отримано так! конкретн! результати:

1. Дано вив!д розв'язуючоХ системи диференц!альних р!внянь в частинних пох!дних з! зм!нними параметрами в безрозШрн1й форм!, записано! в перем!щеннях, яка описуе напружено-деформований стан гаучких !зотропних прямокутних в план! пологих оболонок з! зм!нними параметрами п!д д!ею норыальних навангажень.1

2. Розроблено методику чисельного розв'язання двовтгёрних геометрично нел!н!йних крайових задач про напружено-деформований стан прямокутних в план! пологих оболонок двояко! кривизни !

зм!нно? в двох координатних' напряыках жорсткост! при складних граничних умовах,- яка базуеться на сильному вжористанн! мето-Д1В л1кеарЕзац1'г, сплайн-колокац!й 1 дискретно? ортогонал!зац!?.'

3. Побудовано алгоритм чисельного розв'язачня задач про деформащю гнучких прямокутних пластин 1 прямокутних в план! пологих оболонок двояко? кривизни 1 31йнно? жорсткост!; який реал!зовано у вигляд1 програмного комплексу для 6С ЕОМ.

4. Достов1рН1Сть отриманих результатхв забезпечуеться точ-^стю ыатематичних перетворенъ, застосуванням обгрунтованих ые-тод!в розв'язаняя, пор1внянняы з результатами !не/х автор!в; ви-користаннят.5 р!ЗНПХ !НДуКТИВНИХ СП0С061В.1

5. На основ! розробленого п!дходу провед-яо досл!дження напружено-деформованого стану гнучких прямокутних пластин ! пря-мокутних в план! пологих оболонок залеяно в!д ?х геометричних• параметр1в, механ!чних характеристик матсрхалу ! вид!в граничнпх умов.' Вивчено вшшв вр?хування геометрично? нелШйност1 на нап-ружено-деформований стан пологих оболонок ! пластин. Проведено досл!даення вшшву з;л!нност! товщини на деформузаккя пластин ! оболонок.

Таким чином, отриман! в робот! результата св!дчать про мож-лив!сть вшсорсстаная розробленого п1дходу "для досл!джеяня нап-рунено-дефорловалого стану гнучких прямокутних з план! пологих оболонок двояко? кривизни ! зм!нно? жорсткост! ! прямокутних пластин, як Ухнього окремого вшадку, при р!зних умовах закр!п-лення контур1в п!д д!ею кормальних навантажень.

Основа! результати дисертац!? опубл!ковано в таких роботах:

1. 1ванова ЮЛ. Про один алгоритм розв'язку нел!н1йяо? кра-йово? задач! про згин прямокутних пластин на основ! сплайн-апрок-симац!? // Пр.- ХУ1 науково? конф. мол. вчених 1нституту механ!ки АН Укра?ни; АН Укра?ни, 1н-т механ!ки. - Ки?в, 1991. - 4.1. -С.86-90. Деп. в ВШИ, Л 4259-В91.

2. 1ванова ЮЛ. Досл!даення деформування гнучких прямокутних пластин зы!нно? товщини з застосуванням сплайн-функц!й // Пр. ХУЛ науково? конф. мол. вчених 1нституту механ!ки АН Укра?ни;

АН Укра?ни, 1н—т механ!ки. - Ки?в, 1992. - 4.1. - С.82-85, Дел.' вУкр1НТЕ1 07.07.92. Л 10 91-УК92.

3. Григоренко Я.М.-; Крюков М.М., 1ванова ЮЛ.1 Про один П1дх1д до розв'язання келШйних задач про згш прямокутних пластин на основ! сплайн-апроксЕмад!! // Докл. АН Украгни. -1992. - Л5. - С.54-57. ...

4, &гс^огенко Уа.М., Кгци.со* Ы.М., 1*ало»л XI. ЗЪе а«а£у5£.5 о{ деоте-и1са£д поп&пелг «/^огта+и»» о4 -1Ке з&а^Ьэт"/'

иа^з 4Ье . (Досигёдяення геомет-

рично нелШйного дсформування пологих оболонок використовуичи сшийн-фгякцШ. и 50оАН и«<ипе - 1992.' - !* II. -Р. 41-44.'

Подписано к печати г«..ог.1993г, формат 60x84/16 Бумат офсетная Уся.-пвч.лист.(,о.Уч.-изд. лист 1,0. Тираж юо. Заказ хчь. Бесплатно

Полиграф. уч-к Института электродинамики АН Украины, 252057, Киев-57, проспект Победи, 56.