Задачi найкращоi одночасноi апроксимацii кiлькох елементiв опуклими множинами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

нащональнл академш наук укра1ни 1нститут математики

На правах рукопису ГНАТЮК Юрт Васильевич

ЗАДАЧ1 НАЙКРАЩО! ОДНОЧАСНО! АПРОКСИМАЦЙ КШЬКОХ БЛБМБНТ1В ОПУКЛИМИ МНОЖИНАМИ

01.01.01 — математичний аналдо АВТОРЕФЕРАТ

дисертац!? на одобутт* паукового ступеня кандидата фЬико-математичних наук

КиГв — 1997

Дисертад] сю с рукопис

_ Робота виюонака в Кам'шець-Под1 льсысому державному педагог! чному 1нститут1

Наухов1 кер! внюси :

доктор ф! зико - математичних наук , професор СТЕПАНЕЦЬ 0.1.

доктор ф! зико - математичних наук , професор ТЕПЛ1 НСЬКИй D.B.

Оф1 m rhi опоненти :

доктор ф! зико - математичних наук

ПЕРЕВЕР36В C.B.

доктор ф1 зико - математичних наук ЗАДЕРЕИ П.В.

Пров) дна установа: (Си1 вськия наш ональния ун! верситет IM. Т. Г. Шевчелка

Захист В1 дбудеться " " Uj^yut 1997 року о 15 годин! на зас!данн! сиец! ал! зовано! ради Д 01.66.01 при 1нститут1 —- математики 11 Ali Укра! ни за адресов:

252601 КИ1В-4, МСП, вуя. Терещенк! вська, 3.

3 дисертац! ею южна ознайомитись в б! бл| отец1 1 нституту .

Автореферат роз) слано " Л "• траА^ 1997 р.

Вченкй еекретар

спец! ал! зовано! ради

доктор ф) - математичних наук

ГУСАК Д. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬН1СТЬ ТЕШ. У робот1 доел! давно задач! найкрашр! одно-часно1 апроюсинац! I к! лькох елемент! в норнованого простору X образами деяко! опукло! шдюгаиини лип иного норнованого простору У при В1 добразвнн! 11 дов1 льюши л1 н1 яними непарервними операторами , шр д1 сть з У в X.

Основна задача, ио розглядасться в робот] . полягае в наступ-нону.

Нехая р>, ,)-ТЛ". . 1 -ТГга. -опукл! на X непарервн! функцп, ,

.)-Т7Г.- вгнут! на X неперервн! функцп. А^В,. ,}=ТГГ. . 1-ТТй.-

Л1 н1 Лн1 неперервн! оператори, щэ дють з У в X, х]. у^=Т7Г. г1,

1 -ТТи,- фпссован! елементи простору X. и -олугсла множила простору

У. р « { и: и с и. К^С^и 1 » ТГш }.

Ставиться задача в! дшукання величини

Г Р*.^ 1 р,С А, и - х )

а = Е| » 1пГ тах -1-1— . С и

Uj.yj.BjF. ^ТТП иег В,и-у,)

яка розглядасться в рол! ш ри . шо характеризуе наякрашв одноча-

с)ю наближення еленент) в х}. у, опуклиии шгожинами А^.В^.^ТТТ.

Прилускаеться . шр СВ}и - у,}>0 для вс!х ,1°ТЛ" . и «Г, а у

випадау. коли серед функщя д,..)-ТХ е в!да!нн1 в!д аф1 шшх, то.

кр!н того, шах р,(А.и - для вс1х и * Р.

1 <г 51 ' ' '

Перша задача, яка вкладаеться в описану ишцз схему постановки задач! в! дшукання величини С1) . була розглянута П. Л. Чебишовим .

г г к-«

Бона полягас у Шдаукалн! серед ус!х полигон! в виду 1 •>■ Е Акг

к = 1

тазеого . наксимуи но дуля якого на сегмент! 1-1; и мае найненше значения. ' .

Згодон було доел! данно взлику к! лью сть задач под!бного роду, коли окр; ' фушец! I наблилались ■ за допомогою алгебра! Ч1В1Х, триго-

нометричних пол! ном! в . рад! ональних функц1 й ß метриках pl зних простор! в С, L, , Ц , Lp I i. п .

Внасл! док цих доел! дань була сформульована б! льш загальна задача наблшкшш ф! ксовадаго еленонта х^Х ф! юсованою опуклою множимою А з X , тобто задача El дшукан"я величшш

ECx.A)« inf flx-ull . С2)

и ел

Величина С.2) вивчалась багатыга авторами. Основк! результата цих досл1даень п| дсунован! , зокреыа, у юкограф!ях H.I. Ах!езе-ра , В.К.Дзядака , М.ПЛСорн! йчука, П.-Ж.Лорана , 0.i .Стенания, В. М. Тихомирова та )н .

У вшшдку, коли Y=X, F=U , 1-1 ¿.дДи)"!. Atu=u для вс!х и^Х, величину а будомо позначати через FX.xt,U). Отав, в цьому ви-падку

а - ЕХр,,х,.U)- inf рДи-х,). (3)

и си

Ясно , шр при р4Си)"11иЦ для bclx U <=.Х , и»а . х,=х величина EXPj.Xj.W дор!внюе величин! EXx.AJ, тобто задача El дшукання величшш (2) вкладаеться в схему постановки задач! в! дшукання

в8лич1ши с1).

Величшш СЗ; мае сенс te лише тод!. коля функщ я ptCJ е кормою. а я в б!льш загальшо: ситуатях. Так, функшя р,С.) лога бути п! вноршю, несинетркчною нормою, нэсимэтричною ш внормою. суб-л1 н! /тог, опуклою функц! со тощз. В цих випадках задачу вг дшукання величини С.З) будемо наз1тати в!дпов!дно задаче» наякращзго за п!в-шрмою , несиметричною нормою, несиметричиою п! внормозо. субл1 и! я-юю, опуклою функц) сю наближення елемента х, опуклою множимою ü .

Задача наякращзго за ni ^нормою наближегаш ф! ксо&шого елемента опуклою ' множимою розглядалася, напршелад. П. -Ж.Лораном , за иесиметричною нормою-М. Г. Крейном I А. А.Нудельнаном, несиметрячною швнормою - М. П. Корн! ячуком, субл! н! яною функц! ею- В.Ф.Дэм'яновим

- з -

1 О.М.Руб!новин, опуклов функц!ею - В.О.Гнатшом I B.C. Щирбов.

Вищз пшлося про задач! наближенмя единого элемента. Ц1 задач! южна розглядати як частковI иша/цси задач! одночасного наближзн-ня к! лькох елеиент! в . Др задач одночасного наближешш к! лышх елеменП в можна в! днести задачу Штеянера, задачу в! дшукання чеби-швсысого центра систеш1 точок, задачу одночасного наближзння фушсц) я i IX ПОХ1ДНИХ. OOIOBHI результат« досл!даення яко) отри-нано 0.1. Степанцвм , та ! нш1.

Важливия клас задач в Teopi I наближень утшршгь задач! алро-ксимащ I з обиешшшми. Початок ц! Я лроблекатиц) також по ¡oía дано знаменитими працями П. Л. Чебшгава про многочлени 1 раш ональн! фушсц11 , ер наяне нее в1 дхиляиться в) д нуля.

Результата досл1 джень , шр стосуеться апроксимац!! пол! номами 31 зв'язками , висвилен) , зокреиа . у монограф) ях 11.1. Ах)езера, В.К.Дзядика , В.М.Тихомирова..

Задач1 наякраирго наблияюшш з до дат ко вили обмвжвннями типу mpl вкостеп розглядались €. Г. Гольштеяном , В. Ф. Дем' яновим I й.М.РубПювим , М.П.Коршячуком , А. 0. Л) гунон , В.Г.Дррон! ним . П. -(Я. Лораном та 1шпими.

Зрозум1 ло, ер вишезгадан! задач! иожна розглядати як частков! внпадки задач! в) дшукання величшш С1) .

Тому розгляд задач! в! дшукання величини С1) дозволяе з едино! точки soру поднвнтись на результат»! доел! дань цих задач наблишв-

ШШ.

ICplu Того, (снуюгь важлив1 проблвми апроксинац1 йного характеру , jcoTpi вишезгаданими постановками не охоплотгъся i разом з tim зводятьсп до в1 дшукання ввличини (1). Серед них, зокрама, задача дискретного рац? опального наблияйння , узагальнена проблема момент! в з моментами I з многогранник! в , задача про розв- яэн! сть

проблеми коментних нер!вностей . апроксимац! йна задача з додатко-шши обиеиешшми , узагальнена задача дробово-опукло-вгнуто! м1н1шзацп в простор1 Кп тошр.

МЕТА РОБОТИ. З'ясування питань 1снувазпш экстремального еле-мелта для веллчики С и , встановлення сп! вв! дношекь дво!стост1 та критер! I в еюстреыально! посл1 довност! I экстремального елемента для ш с) величини, коисретизащ я отринаних результат1 в на ваашив! частков! вкладки, побудова чкселышх кетод1 в розв'язування задач! в! дшукання величини С1) . застосування результат! в досл1 дження ц! €1 задач! для доел! дження та побудови шхельиого методу розв'я-зувашш узагальнеш! проблеми коиенп в з моментами 1 з многогранник! в.

МЕТОДИ Д0СЛ1 Д£ЕННЯ. Уиови 1снування экстремального еленента для величини С1) , сш вв1 дношення два! стост! та критер! I экстремально! поел!довност1 1 екстрекалыюго елемзота для те! величтш вдалось встановктк , базухнксь на теоремах в1дд!лыюст! та теоремах дао! стост1 в задачах спукло! оптшизацп.

Побудован! в робот! чи :ельн! метода розв'язуЕання задач лайкрам одночасно! дробово! ;шровс)шад11 ю лькох елекенп в опутают шшашани грунтувгься на I деях кетод! в с! чш! пловдош Келл!, звз-дешш С шляхом зам!ни зм1 нних) розв'язувашш задач! дробово-л1 н! Я-ного програыування до розв'язування задач! л!н!йного програмуван-¡¡л Маркса 1 Купера, алроксинац! I ююнапш та функц! онаду и! н1 к! -зацп субл! ш тгого функцюналу на опуклону гакпаот! В. Дек 'яно-ва, 0,М.Руб1 нова. •

Результат)! .доел! дження узагальнеш! проблем! номекпв отрина-по шляхом конкретизац!! результат! в доел! джзння задач! в1 даукання Ееличшш С1) .

- Б -

ОСНОБН1 РЕЗУЛЬТАТ» . ЩО ВИНОСЯГЬСЯ НА 3АХИСТ:

1. Встановлено теореми юнувашя екстремалъного елеыента для величини С1).

2. Для величини (.1) встановлен1 сп! вв1 дношання дво! стост1, ]сри-тер11 екстремально! поел! довност) та екстремального елемента . Побудовано задачу, дво1 сту до задач! в! дшукання величини С1) , доведено теорени дво! стост1. Отриман! результати конкретизова-но на важлив! частков! вшидки задач! найкрашр! одночасн о ! дробово! алроксимац! I к! лытх елемент1 в опуклимн множинами .

3. Побудовано зб!яш! чисельн1 метода розв'язування задач найкра-щз! одночасно1 дробово! алроксимац! 1 к1 лысох елемент1 в опукли-Ш! множинами . Отримано двосторонн! оц| нки , що дозволяхлъ в окраних виладках в1даукувати величини найкрашрго иаближення з наперед заданою тачн! стю.

4. Встаношено сп! вв) дношення два! стост! для узагальнено! пробле-1Ш момент! в з моментами I з многогранник! в та побудовано чи-сельния метод !! розв'язування.

НАЖОВА НОВИЗНА. Отриман! результати е новими 1 вперше опубл! кован! в роботах , перел!к яких наведено в к!нц! автореферату.

ПРАШЧНЕ ЗНАЧЕНИЯ . Результати дисертац! йно! роботи можуть знайти застосування для подальшого розвитку теорИ наблишення, в! дшукання величин найкрашрго наблиненпя з наперед заданою точ-шстю , розв'язування задач матенатичного програмування та задач оптимального керування.

АПР08АЦ1Я РОБОТИ. Основн! результати роботи допов! дались на : - 1сонференц! 1 •• Екстрамалыл эадач1 теор| [ наближення I ! х засто-^вання" С м. Ш в, 1990 р.);

- Всеукра! нськ1 й школ! ce«! нар] « Нелш яш граничн! задач! математично! ф! зики та IX застосування" См.Черн!вц!, 1995р.);

- 3,4.5- я М!жнародних конференщях I меш акадешта М.Кравчука (.m.Khi в. 1994,1S95.1995 pp.);

- сем1нар| В1ДД1ЛУ теорП функц1й 1 : .стигуту математики HAH Ук-paimi ri"* кер1йшщвом доктора ф! зико-математичних наук , професора О. I. Стелшщя См.Шв, 1996 р.) ;

- наукпвому сем!нар1 факультету мбэрнатики !Си!вського нац1 о-нального ун! верситету ш.д кер! взйщтбон доктора ф! шсса-иате-матичних наук , професора В.Л.Макарова См.Ки!в, 1995 р.).

ПУБЛ1КАЦ11. 3 теми дисертац! I опубл! ковано 20 праць. I х список подано в автореферат!.

СТРУКТУРА ТА ОБСЯГ РОБОТИ.. Дисертац! я складаеться s! вступу , трьох розд! л! в . ер каоть 15 параграф! в, craicicy л! тературл , иютить 83 найиенуЕаиня. Обсяг роботи складаг 145 сториюк шг HonitcHoro тексту.

ОСНОВНИП 3MICT ЖЕРТЛЦ11

Для вшсладу отриманих з робот! результат! в введено таза поз-начегаш : X*. У*-лросторн, с пряжек! з просторами X.V; р". а". h% функц! I. спряжен! з функшяии v}. 0j, h. ; doa p*. don g*. clom h*-ефективл! множили фушсц! fi p* , gj , h* ; о р^Сх) . ¿>q. С x). о ^Сх^-субдиференШ али функц!Я р,. Qj. в точщ х; А*. В*. С*-опера~ори , спряжен! з операторами А,. В, . CL в!дпов1дно. J=Ï7T,

i-t;i ; s, =» { •: ç ° (.ç?,,..;,^). г <rt.....<5 =

4(5,.....<5J-, К - U,...... и - С я,.....Pj. (ion p*. Г^

rlorn g". i\ m.j-ТЛ". £ \, "1, «dorn h* u *0,i »ТТш} ; F-асимптоти-

1 J i SI 1

чний конус нноймии F; p, mtx)-sup( ç « dorn p'j-асшптотичний

функцюнал функцп р,, J°1Л\ х^х, g)ajtx)-inf { rtx) : г^от д*} -

асшштотишшЯ функцюнал фушщ|! gJ, J=T7T, х^х.

Елвнентом кайкрадаго одночасного за функщямн р^ та а, набли-

лэшш елеменпв xj, опуклюш мнояшнами F , F, J-ТТГ. або

просто езсстреналыш элементом для велншпш С1) будамо називати

елелент такий , що

Р.. х,. A.F, J-ТГГ 1 р.СА,и*- x,) 1 - шах ——--—

. „ Г P.. x,. A.F, j-ет 1 a » Е i J 1 - та

Uj. У,. B f. j-I7T J «ü

Sj, У,. BjF. J-ТТГ J SjlBjU-y,)

У вступ! подасться стислий огляд доел! дань,' близъких до тени

дисерташ ! , обгрунтовусться актуальш сть дисертац! Шю! тени . а

тазгаш вшсладаються основн! результата , шо виносяться на захист.

Першнй розд! л дисертац! йно! роботи присвячений питаннян 1 с-

нування езсстремальюго еленента, питаннян дво! ctocti та зеритер! ян

екстрзнально1 поел! довност! I езктремального едемзнта для величи-

ни одночаезю! апроксимац!! к! льзеох елемент! в опуклюш мноаошами.

В § 1 розглязгуто постазювзсу задач! ei дшукання величини С. 1) та

езсв1 валентну форму запису ц! el задач!.

В § 2 наведено умовд 1сиувазшя екстренального елемезгга для

вэлнчиш! С1). Тут доводиться так! твердяення.

Теорема 2.1. Язшр F-замшена лозсалыю козтазстна мзюкнна,

PjCAjCu^te) - х )

. \XJL. ,3ft г уtim + 00

для деязеого u0 q F ! вс!х е eF0, б'Ю , то езестремалышя елемент для взличзпш С1) I с31ус.

Наел! док 2.1. Якадэ F- зазшзезш лозсалыю томпактна мзю-ша 1

lin шах п (и ц. - v J ' + ®

V++CO 1 Si il «Л0)"!! для будь-язсо! посл! довност! (ц,^?, ► ^ е f i и «к » —» * о» . то

еюстреналымй еленезгт для ввличйш С1) ! ciiy&.

Теорема 2.2. Якшр Р-заикнена лакйльна компактна множина 1 для будь-якого е « рв , е-Ю, 1снуе шо д10вСВ,е)«=О,

ало ж р^А^Х), або !снуе JCf 1. —, 1 } , щр д](о(.В,е}>0 р1а,(А.е) .

I —-1—>а , то езостремалышя ель.«ент длй валичши С1) I снуе.

ОО^

Теорема 2.3.Якадэ Р-замккена локально компактна! мждаина, а* - ск1 нченна величина I для будь-якого е <= , е " О, та

.....1> д^СВ,е)Ю, то екстремальнип елемейт. для вэлишши С и

I снуе тод| ! т! лыш тод1 , коли 1 снуе точка й « Г . для яко!

а » глх --- 5 1пГ так -.

. о.СВ.и - у.) • 6 V вю^®3

о ^ О

Зрозум! ло. щэ з теорем 2,1 та 2.2 легко вшишвае розглянуте , зокрема , вмонографп М.П. Корн!йчука 11,с.20,213 твэрдаення про те , шо для задач! в! дшукання величин« С 2) будь-який ск1 нченкови-м! рниЯ п1дпрост|р I , 61 льш загально, будь-яка замкнона лозсалыю компактна мноааша А простору X с множимою I снувашш Стобто такою шшшою, шр для вс!х х=Х 1снус елемэот налкрашрго наблингзшш ).

В! дпрашшм пунктом при розв' язуванн! задач апрошшацН часто виступаюгь сп! вв! дношек ш дво! стост! , як! вводить задачу нал-кращого наближзння в Л1 н! гиому нормованому простор) до дао! сто! задач! в спряжзноиу простор! .

В § 3 для задач! в! даукаккя взличшш С1) в терм! пах спрянэ-

них (Т1У1ИШ1 я встановлено таке сп1 вв! дношзння дво! стост! :

р,1А,и - х,)

а* • 1 пГ шах —---=

и^ .<151 о (с и - у,)

I . т

-тах I тГ ........^---------------------------:

• Е В,и -у,)- 0*С.Г,))

слг;в;л;до«з4>. t«

Якщэ для задач) ыдшукання величшш tl) gä СВ_, и-у4 ^>0 для вс1х j»T7T. u^U . то.зф!н pi шюст1 (4),-нас нюце такой сп!вв! дношзння

SXjCpjlAjU -х )- Р*С?,))- E/itd^u -z^-h't^)) a*=max U nf -;-^-:

ueu E^Ci-jCBjU -y,)- g'ir,))

(. piriölhip)^}. C5J

5? випадеу bi дшукання величшш (2) , коли апроксннухно» мно-

нашою с cicl нченновин! рний п! дпрост! р. улернв сп! вв! дношення дво! -

CTOCTS отринав Z.U. Школьсышй 121, що дозволило дому встановмти

точи! результата в окрених задачах найкращрго. наближзння .

Ним, зокрена , встановлено . щр коли \.....хп - фпссована

система елеменпв простору X. то для будь-якого х « X

mf { 0 х- Е А^ II : СХ4.....Kri) е r">- .

i «1

=sup ( ftx):f a X*. ¡1 Г 8s 1, ГСХ^-О. 1-lTn). t6) 1 стотш узагальнення цього сп! bbi дношзння на випадок, коли апроксимухною мновашою е дов! льна опукла замгашна множила , 1 , зокреиа, дов! лышй Сю обов'язково ск1 нченновим1 рния) п) дпрост! р простору X, м!ститься в монографп М.П КорШйчука 11,с. 281 : якщз А - onyiraa заменена шюншна л!н!йного нормованого простору X , то для будь-шсого елекента хеХ справедлива сш вв! дношення

1 nf й х- u II = sup.C fCx)- sup ftu)). C7)

u CA I ex UEA

¡СЬнкретизац! я cnl bei дношення двоютост! С 5) на випадок задач! в!даукагаш велишши (3) приводить до такси pibhüctI toi :

1 nf PjС"- u ) ■ sup я С ЮО - sup KU)) (.8)

ueu fed от р uffJ

«

для будь - яюзго x с К . .

Зроэу!?' ло щэ cnl вв! дношення С4), С5) шина розглядати тс

- ю -

¡поширення на випадок задач! в!дшукашш величини (.1) сш вв! д-ношень дво1 ctocti Í6J48) .

Сп1 вв! дношення дво! ctocti виступаюгь ефективним засобом вста-новлення критер! I в елемента наЯкрадрго наблюкення . Тай критер! I для задач! в! дшукання величини С1) роз: лядаеться в § 4 дисерта-ц1йно1 роботи.

Теорема 4.4 С критер! Я ехстренального елемента для величию! ш ) . НехаЯ о,св}и-ул; > 0 для bcix J-ТТГ, u«u. Для того шрб у мнокин! F елемент и* був екстремальним елементом для вели-чини (.1), необх!дно I досить 1снування вектора (.р*\г*'.6*',К*',ц*) -

< р,.....рх . rt.....í\; 6t.....óm; \..........nj «иош-

ни S, такого, вю:

1) PjCAJU*- Xj) - p*CAjU*-

а,СВ,и*- у,) - ^СВ,ц*- ул)~д*(.г"). j-ТТГ, h^CCju*- zl) - й'сс^и*- zt)-!{(. ó*). hjtCku#- zt) - 0, i«T7m.

• pjcaju - x,) p¡(.atu - xjj

max

fljtBjU-y,) «si<v g^BjU - y,;

- 0. j-ТТГ ;

, E X? Сp?CА, и- x.)-p*Cf¡)} * E Có'CC^u-z^-h^Có*))

z) mf -----i-^-:--

ueü tu; tr'CB^ - у^-фф)

e a^p^ajü*- x, ♦ e £ (d"CCtu*- z j-lfló*))

i ««

ех; Сг^и*- у^-д^г*))

1 е о р е » а 4.? ( субдиференц! альна форма критерГв екстре-мального елемента для величини (.1) ). Для того щрб у шюжин! Г елемент и* був екстремальним елементом для величини С1), необх1д-но I досить (снуйання елемент!в р*. г", б* простору X* та чисел /'"• ^-Т71". 1-ГГп, як! мають властивост!:

1)P*eepjCAiu"-xJ), г*в<хЗ)СBju*-yj),j-T7T, ¿"«вндс,u*-zt),i-Т7ш;

2) 2= 0, j-ТТГ. E l* » l, » 0, 1-1ТЙ ;

i*«

Ъ) l-TTn.

, PjCAjU*- x,) % PjCAjU*- X;)

X* J -;--0.1=0. J"TT. Д6 Ü." НИХ -s-;

' i GjtBjU - X,J 4 .SJÄ QjCBjU'-y,)

4) inf ( E \*CAV" - CX.B>*J - E RC.V xu) -

u eu 1» ' ' ' ' * is*

С E xTlA.V - a.B*r*) ♦ E /\C*<5* Xu" J.

j с * 11 ' ' i««

В цьому ж параграф! встановлен! гаком теореми харакгеризад! I экстремально! поел! довност) для величинн 11).

Зауважимо, що конкретизащ я теорем 4.4 та 4.7 на випадок задач! в! дцдосання величинн (.2) приводить до критерия элемента най-кращрго наближення , вказаного М.П. Корншчуком у пращ t I.e.341.

В § 5 дисертац! йно1 роботи розглядаеться дво1ста задача до задач! в!дшукання величини tlj. Бона полягае у в!дшуканн! величинн

5 - sup { а : (.ац>;г;б;к;и) « w >. С9; де W- множила вектор! в Ca; р; г; б; Кт, /ичац),..........rt;

<5„.....6т; .....\ : я,...... то задовольняоть умови

1 • 1 *

EAjt^itX,) * Pjtp,)) " e,5/itrityJ)* + ♦ E RtöjCz.) ♦ h^)) ♦ E Jl.AV ♦ a E У -

IB«1 1 j «i ' ' ' J »I 1 ' 1

- E /\C*Ö.) 5 0, i»i

p, с don p*. fj e dorn g", J-TX 6i с dorn h*. i-lTi. _ » _

* 0, j-TX R 2:0. 1 -ТТп,

1 1 ■=>

де <3® -функц! я, спряжена з характеристичною функщею множили U. Т! crom зв 'язок н! ж задачами в! дшукання величин С1) та (9;

встаиовлюсться у форм1 nepmoi та другй1 f еорек дво! стост!.

В § 6 дисертат I розглгасуто • ряд часткових випадкз в задач1 BI дшукання величини С D , niel сам1 по соб! в) Д1 грапгь валике зна-чешш в теор! I апроюсимац! I та оптйм! зац! I. В цьону параграф ре-зультати параграф! в 1-5 юанкретизуюгЬсп, зокрена, на випадки, коли U- конус, ш дпрост! р, а такон на випадки задач в! дшукання

величин inf шах р. С A, u-x,). inF max йА.и-х, Ц ,

ив ' ' ' иег »SJSI 1 '

p.t A.U-XJ

i nf max ---— , i nf max p, (.A, u-x.) . i nf max ЦА. u-x. ¡j,

и® i<j<i B,u-yj) ист iíia ' . 1 иgu i¿¡<i ' 1

p.CuJ ,_

inf { max -- : hCujso, í.^TTmi и в U > тошр.

i^i si g,tu)

Отрикан! в персону p озд! л! разультати слушать теоретичшш фундаментом побудови чиселыок кетод1 в розв'язуванля задач най-краадэ! одночасно! дробово! апроксинац! 1 и лысох елемэнп в опукли-¡ш ююяошами, яким присвячаю друпт роздт диеврташ fflioi роботк. В цьону розд1л! щлтускаеться , ¡да U-опуклий компакт простору

У.

В § 1 розглядаягься деш допон!юп твардаегаш . В § 2 побудовано чисе; эния метод розв'язування , тазе звано! , дискретно! задач! одночасно! дробово! аттроксюид! I и лькох еле-кент! в многогранники кнокошами. ЭДориулжко цо задачу.

я я

Пехай П. е У,1-Па,и„«(и:и- Е ci и. .а гЮ,1-I7q, Е ct el>.Pike Xt 4 l«1 i«l

a¡v* R,j-f7I.li-lTm* x*. e Rj-O .k-ÍTra", ólk ex",

Припускаеться, шр rnС u-y,)k > 0 для bcix u « U q.Jaí71.

li=i7m?. Icjiys элемент u e f. для якого max Сб. .СС, u-z, )+£?. „)<0

' 4 »<k<n " 1 1

i

ДЛЯ BClX 1«K1.....Ш>. а у випадку, КОЛИ ДЛЯ деязсого Joe{l.....1>

sif Я » то шах шах . Cp.jtA.u-xJ £ 0 для вс1х и*F .

'о l<j<l l<k<m* J* J i J* <J

При цих уловах ставиться задача Bl дшукакня валичини

v тп . тах ---—— . с 10)

i

Якто позначиги а^Чр^СА,^).....Р^САД)), j« f7I.fr» 17и*.

Ь^^СВ,^).....?J1[CBiö4J),j-0.k-i7m^,clk4dl>!CClüj.....

Лк^«,». lBf7m . • ajka Щк~ PjkUji. J-O.

üjk" ß^-r^ii. k-iTm,, elk=clll-6lvCzl), 1-iTm. к-ГПч.

мч={ ача,.....c^o.i-fTq, ^sa^i >.

Q4B{ ача,.....ач): ae^.Cc^.cD+e^sO.i =17й,к-17пГ>,

то величину С10) жшга подати в там й Форш :

шах. (<а a>+ail(.)

1 Sk <т* ' '*

V» пап шах —:—'--•

ccgq »<¡£1 min , «ь.,.,со+р,.)'

4 1 <* <m iH

i

У випадку, коли серед чисел m*,j°f7I, е йдшнна bi д одиниц! . на попередньону jcpoui побудованого чиселыгаго методу в! дшукання

вэличзшн СЮ) вибираено вектор К1 ЧХ*.....Л*) eRl, Е Л'гО.

i =«

О. для якого Е шах . C<a,lt.a>+ai!!) г: о для вс|х а

i=» ' »<k<m* 1 ' 4

1снува}шя такого вектора доведено в % 1 . Яхшр и ш%1, J-17I, то i

вектор Л1, ЕЛ*"1. К- ärOj-Q, вибираеться дов! лыга.

|ч

На г - >гу зсроц! методу за допомогов л! Hl йного програмування знаходино величину

E X' max . C<aJk.tí>+aik) vr - min -¡-¡-, (11)

aeQq E Xj min 2 C<bJk,c£>+fiJk)

j«l ' «SkSm* J* >*

розв'язок a r-<a [,... .a r„) задач! в! дшукання величини

pr= min max С max .C<aik,a>-»c(ik)-ü. min ,C<blk.cO+0,k)) (.12)

aeQ 1<J<1 l<k<m, ' >* Г I <k <mf

It I

та розв'язок Cá¡k,j-Í71.k-Í7m \^^.j-ÍTI.k-O/li'ík.i-ÍTm.

fc-ÍTñ^X^'.j-ITl;^} дво!сто! до не1 задач! л1Ш Иного програыу-

вання в1 дшукання величини

1 2

I m¡ I mj m ГЧ

Pr- max С e Eo( e -e epjkçlk+ê C13)

J=» k»» J=» k = » 1=1 kxl

при обнеженнях

i 2 i mj i m

2 ajkaJk - E Ebik<Jb ♦ E E clkTjlk+ôe*0. U4)

k = » j = « k*» * I S|

m1 m2

EôJk-X.-0. E ?Jk- УД-O.j-Q. CIS)

E X, "1,\, J"Í7I. C16)

j=i ' '

ôjk*o . x-i^;' : ?Jk ¿o . j «т. h-í^* : ci7)

t?lk-=ïO , 1-Í7m . k-ITñT . C18)

дв e-U.....1). Т«{ j : J « {1.....Ihm* >1>.

"В"-{ J : J « (I.....l>.m* >1>.

Ha r+1- ну крод1 за допомогою метод! в Л1 m яного програмування знаходимо

Е XT*' шах . C<a.k,ci>-»û.k)

j=l J *< kSmj "

-Uli л ---'-" ,

am% ex;'1 min , C<bJk.tí>^Jk)

vr+t »min

|=« ' »<k<mj

/5 »min max С max Л <а,к,а>-»сг.к min г C<blk,c£»(3u)) í т.д.

4 ч J '

Нехая ür « E a [ 5. .

У робот! доведено зб! жн! сть цього методу , показано , Ер будъ-яка часткова границя поел! довност! {ur>r® G екстремальюш елементом для величини С10), ^тримано двосторонн! оц1 нки зб1 жно-ст1 , щэ дозволять в1дшукати величхшу СЮ) з наперед задано»

T04HI СТХ5.

У § 3 другого розд! лу розглянуто дискретну задачу найкращр! одночасно! дробово! апроксимац! I юлькох елеменпв опуклими компактами.

Ця задача полягас у в! дшуканн! величини

иах . (p.kCA,u-x,) «йТ.)

l<k<mj ' ' 1 Jk

v - min max -—— , (19)

и er ^n^ t ^^BjU-yp^,)

i

де F - { ueU: max C<5,„C Cu -z. )♦£,„) s 0. i«T7m }.

»Sk<r>l v 1 1

Припускасться, як I вищз . щр U - опуклий компакт простору У, rJkCBju-yi)^k>0 для вс!х ueU. j-O. k-iTm^. 1снуе елемент u^F,

для яхого max C6ikC С^ц %)♦£,,,)< 0. а у випадку , коли т* >1

1 SVSrv О

для даякого j0 в {1.....1} . to. kplm того .

пах шах ■ СрцСА.и-х.) ♦ ctk) а 0 для bcix u®f.

iSJSl *<k<m* J* J i 1*

Для розв'язування задач! С19) запропоновано метод апроксима-ц! I множили U. за допомогою якого цю величину можна знаяти з наперед задано» точн!сто посл!довним розв'язуванням задач виду СЮ).

В § 4 для задач! B1 дшукання величини . С1) побудовано зб1 жния нетод одночасно! апроксимац! 1 множили U та функц! онал! в Pj , gä. j-ГЛ. 1\,1"17й. за допомогоп якого ця задача зволиться до розв'язування поел! довност! задач в! дшукання величин виду С19).

ЦеЯ метод е узагальненням на випадок задач! в! дшукання величини С1) методу м! н! м! зад! I субл! н! Яного функц! оналу на опухлому

]сошшкт1, залропоновавдго В.Ф./^м'яновим . С.М.Рубиювим у пращ [41 .

Показано, шс в окремих важлзших випадках за допоногою побудо-ваного методу велзмину С1) мозкна знайти з наперед заданою точн1-стю .

В § 5 побудовано чиселышй метод розв 'язування задач1 mihimi-зац[ I на опуклому компакт! дробово-л! hi йного функц) о налу, яка вис-тупае як допон!зкна задача при в1дшуканн! величшш С19) запропоио-ваюш у § 3 методом .

Важливим апаратом розв 'язування задач оптимального зсерування об 'ектами, щр описуягься системами даференц! альних р] шшнь з ф! зс-совашши початзсовими умовами, с L-проблема момзппв в абстрактному л) Hi йнону норнованому простор!, основзн результатл досл1 даэзш яко! отриман! Ы.Г. Крейном [Б].

Знашвш !нтерес представлязагь задач! оптимального керування з рухомими к! нцями (. див. . напршслад, монограф! ю В. Г. Болтянсьзшго t6i ) . Окрем! з цих задач зводяться до . тазе звано! , узагальна-но! проблеми з момезггами 1 з многогранник! в . язй я присвячено роз-д|л 3 дисертац1 йно! роботи.

В & 1 наведено постановку узагальнезю! проблеми мозезгпв з моментами I з многогразошк! в та розглянуто деяк! допои! ш тЕердавн-ня.

Нехай х°,....х°. s»17T,- системи лпняно нззалежних елемезглв

л!hiяного зюрмованого простору X, а с' » Сс^.....с^) д »ТГт,-точки

простору Rr', fe, s=I7T. - елемезгги простору Xе. спряжзного з X ,

МС f1.....fl ) - многограшшзс , шр с опузелозо оболонзеою точок

tf4x") s-ТТГ, М - многогранник , що е опузелозо обо-лозою ю точок с1 Ч с^.....с^, 1 "ТГЙ.

Узагальненою проблемою моиезгл в з моментами I а Мзюгогразшиза в

назвено задачу в1дшукання величини

L - . nun . max »f*».

»<.f_ .___,Г )г»г*0 1<а<1 '

Яодз позначити A-icHcc,,... .с^ )eRl :ae£0,s»I7r. Е а„-1>.

_ т

В-( ß<ßt.....^J^r^^O.i-T^i. Ei\-1> . G-{Cf:a;/j)4f*.....f1;

а,.....а iß.....ßj: F"eX .s»T7T;a ® a; /j*B; s crf'tx?)- 2 ac .

•«i i

"j"I7n>. то дя задача загашеться у вигляд!

L я min max »f». C20)

(.f :cr.;j)eG

Зрозум1ло , шо при l»m=l задача bi дшуказпш величини С 20) стае зсласичною L-пробленою момент 1 в.

Будено прилуасати. шо ОеМ, оси лыш у випадку О^м задача в! д-

шукания величини С20) мае трив!альния розв'язок Cf1.....f1)»

40.....0).

У § 2. третьего розд! лу' за допоногою доведених у 6 5 першого розд1 лу теорен дво! стост! встановлено сп! вв! дношення дво!стост1 для розглядувано! узагалышно: проблеми момет ч в та l х ганкрети-защ I.

Теорема 2.1. Задача в! диукання величини С20) мае роз-в'язгк. Справедливе cnl вв1 дношення дао!стост|

да

• £ XjXj »

Т ■ mf max max ——- . С21)

s X.cbo. lSl£m su! 1=1 1 ' 1»« i "ТГш

Доведено , шp для задач! в!дшукання величини С 20) !снуе ензггренальния елемент .

В цьому ж параграф! розглянуто критер! а экстремального еле-кента для величини С21).

В § 5 чнселышЯ метод, розроблений у другому розд! л! для рпз -

- is -

в'язування задач! в!дшукання величини С 1J> у внпадку, коли U- компакт, ганкретизовано для розв'язування задач1 шдшукання величина C21J).

Показано . пю запропонований метод дозвояяс також побудувати узагальнений розв'язок задач! в!дшукашш взличини С 20) . При цьоиу п! д узагапьнешш розв'язком задач! ыдшукання величини С20) будемо розун! ти таку поел! довн! сть {t f, ;а r г )>г"4 BeicropiB Cfr;a г;;з ГХ s-I7I.;a^, s«i7I;p [,i-i7m) 13 G. щр Пи пах if'»» L.

r - > со 1 £a ¿1

Встановлено таиш ошнки, як! моаша використати для в!дшукан-ня величин С20) та (.21) з наперед задано» точшетю.

В § 4 розглянуто задачу лшйного оптимального кврування з в! льнин < у межах многогранника Л1 вим к! нцен , яка зводиться до узагальнено! проблеми момент1 в з моментами t з многогранник! в.

Розв'язано конкретния пршелад тага! задач1 оптималышго керування.

Я радия можливост! висловити глибозеу та щиру вдячн! сть мо! и науковим кар! вникай професору Олександров! I вановичу Степанцв та професору Dpi ев! Володимировичу Тепл! нсыоому за консультащ I, повсякчасну ш дгримку. 1 нтерес та увагу до роботи.

СПИСОК: ЦИТОВАН01 Л! ТЕРАТУРИ

1. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. ~ М.: Наука,. 1976.-320 с.

2. Никольския С.М. Приближения функций тригонометричеааши полиномами в среднем ^ Изв. АН СССР* Сор. мат. - ,1946. "10.-С. 207-256.

3. Гнатш В.А.,Щ)фба B.C. Общие свойства наилучшего приближения по выпуклой непрерывной функции ^ Укр.мат. ¡кури. -

1982.-4,N 5.-С.608-613.

4. Дрньянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач, -л.: Изд-во ЛГУ, 1968. -178 с.

5. Ахиезер Н.И.. Крейн 11 Г. О некоторых вопросах теории 'моментов.- Харьков: ГОНТИ , 1938.-254 с.

6. Болтянский В. Г. Математические метода оптимального управле--ния. -М.:Наука, 1969.-408с.

0СН0ВН1 ПОЛОЖЕНИЯ Д-1СЕРТ/Щ11 0ПУБЛ1 КОВАН! У ТАКИХ РОБОТАХ :

1. Гнатш В.А., Гнатпс D.В. Критерии элемента наилучшего приб-жения в смысле дифференцируемой по Кларку функции "Зкстре-нальнъв задачи теории приближают и их приложения: Тез. дозсл. респ. науч. коиф. С Киев, 29-31 мая 1990 г. X-Киев: Ин-Т математики АН УССР. 1990. - С. 39.

2. Гнатш В.0.. Мойзсо В.В..Гнатш D.B. Ochobhi властивост! задач! ' наякращрго наближзння по дробов! й функц! I "В1 сн. Ш в. ун-ту. Ф1з.-мат.науки.-1ЭЭ1.-Bim.2.-0. 26-31

3. Гнатш В.0., Гнатш Ю. В. Дво!ст1 задач! дробово - л! н! яного програнування та чиселышй метод ix розв'язуваня •"Зб.наук. праць ¡Сам 'янець - Под! льсысого держ. пед. i н-ту .

Сер. Ф1з--мат. _ ¡сам'янець-Под! льсышй: Кан 'янець-Под! льсь-гат дэрз(. пед. !н-т, 1993.-Вип. 1.- С. 9-20.

4. Гнатш В.О. .Гнатш С.В. Дво!сте сп! вв! дношення для задач! найкравдго иаближешш за дробово-опуклою фушсщ ею

та критер! I елекента наякращрго наближення ^ Тези долов! лея 43 зв1 тно! науково! конфзренц!! кафедр ! нституту за 1991-1992 pp. -Кан'янець-Под! льський: ¡Сан 'янець-Под! льсь-1шя держ. пед. 1н-т, 1993.- С. 7.

5. Гнатш D.B. Чисельний метод розв'язування одн!с1 miшмалено! задач! дробового програмування ^ Тези допов! дей 43 зв1 тно! науково! к..1фэренци кафадр 1нституту за 1991-1992 рр.-

Кам'янець-Под! льський: Кам'янець-Под! льський держ. пед. 1н-т, 1993." С. а.

6. Гнатис В.0.. Гнатшс Ю.В. Двоюте сш вв! дношення та критер! Я елемента наякрашрго наблишення для задач! опукло! апрокеима-ц!! з додатковими обмеженнями // Нелинейниа кразвш задачи математической физики и их приложения : Сб. науч. тр.-Kw в : I н-т математшеи HAH Укра! ни. 1995 . -С. 64-67.

7. ГнатшВ.О.. Гнатш Ю.В.Основн! вдастивост! задач! дробово-кусково-л! н! иного програмування та двоютий метод п розв'язування ^ 36. наук, праць Кам'янець - Под!льсышго держ.пзд. !н-ту. Сер. ф1з.-мат. - Кам 'янець-Под! льський : ¡Сам'янець-Под! льськия дещ.пед. !н-т .1995.-Вил. 2.-С. 1-14.

6. ГнатшВ.О.. Гнатюк Ю.В. Одна задача наякрашрго наблиазння юлыоох елеменпв з операторним обмеженням та П зв'язок а узагальненою проблемою момент! в Нел! н! йн! крайов1 задач! математично! ф! зики 1 1 х застосування : 36. наук, праць. -Ки! в : 1н-т математики HAH Укра! ни. 1996 .-Ч.2.-С. 27-29.

9. ГнатшВ.О.. Гнатш Ю. В. Задача. дво!ста до узагалькено! задач! дробово-опукло-вгнуто! апроксимац! I " Тези допов! дей Л'ято! М!жнародно1 науково! конференцп !м. акадзмпса

М. Кравчука .-Ки!в. 1998.- С. 93.

10. Гнатш Ю.В. Чисельний метод розв'язування узагальнено! зада-ч1 дробово-опукло-угнутого програмувшшя ^ 1нтегралыи rts-ретворення l IX застосування до крайових задач: 36. наук, праць. - Ки!в : 1н-г математики HAH Укра! ни, 1994 .-ВШ1.6.-С. 26-40.

11. Гнатш D.D. ЧиселышЯ метод розв'язувалня задач1 дробово-опукло! апроксимащ I у вкладку наближенння компактною jaю¡кино» " ! нтегральн! перетьорення 1 IX застосування до крайо-вих задач: 36. нале, праць. - ¡Chi в : I н-т математики НАЛ" Укра! ни, 1S94 .-Вил.7.-С. 73-S8.

12. Гнатмс D.B. Дво1сте cnl вв! дношення для задач! найкращрго за дробово - опуююю функц! си наблинвння id лькох еленент! в та критер! I элемента найкращзго наближення ^ Тези допов! дей Третьо! М! жнародно1 наукоЕО! кжференц! I 1 н. академ! кл

М. Кравчука .-¡Си!в, 1994,-С.36.

13. Гнатнс Ю. В. Део! ст! сп! bei днокення для задач1 найкращзго за дробово-оппелою фукц! сю наближегаш к! лькох еленент! в та кри-тер! I еленента найкращого наблгаэння // Доп. HAH Kcpal ни . -1995.- H 6.-С. 23-26.

14. Гнатгк О.В.Теореии дво!стост! для задач! дробово-опуклого програмувания та критерп оптинальност! допустизюго розз'я-зку ^ ¡нтегральн! перетворення 1 !х застосування до краяошк задач: 36. наук, праць. - Ки!в : !н-т математики HAH y.tpaljni, 1995 .-Вил.9.-С. 187-199.

15. Гнатш D. В. Дво1 ст1 сп! вв! дношення для узагальнено! проблем нокент! в ^ Нелинейные краевые задачи математической физики и их прилокетшя : Сб. науч. тр. -KhIb : 1н-т математики НА!! УкраПШ, 1995 .-€. 57-70.

16. Гнатхк Ю. В. Задача дробоЕо-опукло-вгнуто1 апрокешац! i ia лькох еленент! в компактною нномшою та чисельн! нетоди ! ! розв'язування ^v 36.наук, праць Кам'пнець-Под! льського держ. лед. lH-ту . Сер. Ф1з.-кат. - Кам'янець-Под! льсь-гаш: Клз'Гянець-Под! льсышй дери. пед. !н-т . 1995.-Внп.2.~

С. 14-36.